Wie man das Produkt von Matrizen berechnet. Matrixaktionen

In der vorherigen Lektion haben wir uns also die Regeln zum Hinzufügen und Subtrahieren von Matrizen angesehen. Diese Operationen sind so einfach, dass die meisten Schüler sie buchstäblich mitnehmen.

Sie freuen sich jedoch früh. Das Werbegeschenk ist vorbei - wir wenden uns der Multiplikation zu. Ich warne Sie sofort: Wenn Sie zwei Matrizen multiplizieren, multiplizieren Sie die Zahlen in den Zellen nicht mit denselben Koordinaten, wie Sie vielleicht denken. Hier macht alles viel mehr Spaß. Und Sie müssen mit vorläufigen Definitionen beginnen.

Übereinstimmende Matrizen

Eines der wichtigsten Merkmale einer Matrix ist ihre Größe. Wir haben bereits hundertmal darüber gesprochen: Wenn Sie $ A \u003d \\ left [m \\ times n \\ right] $ schreiben, bedeutet dies, dass die Matrix genau $ m $ Zeilen und $ n $ Spalten enthält. Wir haben bereits besprochen, wie man Zeilen nicht mit Spalten verwechselt. Jetzt ist etwas anderes wichtig.

Definition Matrizen der Form $ A \u003d \\ left [m \\ times n \\ right] $ und $ B \u003d \\ left [n \\ times k \\ right] $, bei denen die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen in der zweiten übereinstimmt, werden als konsistent bezeichnet.

Nochmals: Die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix entspricht der Anzahl der Zeilen in der zweiten! Hieraus ergeben sich gleich zwei Schlussfolgerungen:

1. Die Reihenfolge der Matrizen ist uns wichtig. Zum Beispiel sind die Matrizen $ A \u003d \\ left [3 \\ times 2 \\ right] $ und $ B \u003d \\ left [2 \\ times 5 \\ right] $ konsistent (2 Spalten in der ersten Matrix und 2 Spalten in der zweiten), aber umgekehrt - Die Matrizen $ B \u003d \\ left [2 \\ times 5 \\ right] $ und $ A \u003d \\ left [3 \\ times 2 \\ right] $ stimmen nicht mehr überein (5 Spalten in der ersten Matrix entsprechen 3 Zeilen in der zweiten )
2. Die Konsistenz lässt sich leicht überprüfen, indem alle Größen nacheinander ausgeschrieben werden. Im Beispiel aus dem vorherigen Absatz: "3 2 2 5" - in der Mitte sind die gleichen Zahlen, sodass die Matrizen konsistent sind. "2 5 3 2" ist jedoch nicht vereinbart, da in der Mitte unterschiedliche Zahlen stehen.

Außerdem weist der Kapitän offensichtlich darauf hin, dass quadratische Matrizen der gleichen Größe $ \\ left [n \\ times n \\ right] $ immer konsistent sind.

In der Mathematik wird häufig von geordneten Paaren gesprochen, wenn die Reihenfolge der Auflistung von Objekten wichtig ist (zum Beispiel ist in der obigen Definition die Reihenfolge der Matrizen wichtig). Wir haben sie in der Schule getroffen: Ich denke, es ist kein Problem, dass die Koordinaten $ \\ left (1; 0 \\ right) $ und $ \\ left (0; 1 \\ right) $ verschiedene Punkte in der Ebene definieren.

Also: Koordinaten sind auch geordnete Paare, die aus Zahlen bestehen. Aber nichts hindert ein solches Matrizenpaar daran. Dann können wir sagen: "Ein geordnetes Matrizenpaar $ \\ left (A; B \\ right) $ ist konsistent, wenn die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen in der zweiten übereinstimmt."

Na und?

Definition von Multiplikation

Es sei angenommen, dass zwei Matrizen übereinstimmen: $ A \u003d \\ left [m \\ times n \\ right] $ und $ B \u003d \\ left [n \\ times k \\ right] $. Und wir definieren für sie die Operation der Multiplikation.

Definition Das Produkt aus zwei Matrizen Matrizen $ A \u003d \\ left [m \\ times n \\ right] $ und $ B \u003d \\ left [n \\ times k \\ right] $ ist die neue Matrix $ C \u003d \\ left [m \\ times k \\ right] $, dessen Elemente nach folgender Formel berechnet werden:

\\ [\\ begin (align) & ((c) _ (i; j)) \u003d ((a) _ (i; 1)) \\ cdot ((b) _ (1; j)) + ((a) _ (i; 2)) \\ cdot ((b) _ (2; j)) + \\ ldots + (a) _ (i; n)) \\ cdot ((b) _ (n; j)) \u003d \\\\ Dieses Produkt wird standardmäßig mit $ C \u003d A \\ cdot B $ bezeichnet.

Diejenigen, die diese Definition zuerst sehen, haben sofort zwei Fragen:

Was ist das für ein wildes Spiel?

1. Warum ist es so kompliziert?
2. Nun, das Wichtigste zuerst. Beginnen wir mit der ersten Frage. Was bedeuten all diese Indizes? Und wie kann man bei der Arbeit mit echten Matrizen einen Fehler machen?

Zuallererst stellen wir fest, dass eine lange Zeile für die Berechnung von $ ((c) _ (i; j)) $ (Ich habe absichtlich ein Semikolon zwischen die Indizes gesetzt, um nicht verwirrt zu werden, aber ich brauche sie überhaupt nicht zu setzen - ich habe es satt, die Formel selbst in die Definition einzugeben) eigentlich kommt es auf eine einfache Regel an:

Nimm die $ i $ te Zeile in der ersten Matrix.

1. Nimm die $ j $ te Spalte in der zweiten Matrix;
2. Wir erhalten zwei Folgen von Zahlen. Wir multiplizieren die Elemente dieser Sequenzen mit denselben Zahlen und addieren dann die resultierenden Produkte.
3. Dieser Vorgang ist auf dem Bild leicht zu verstehen:

   Multiplikationsschema zweier Matrizen

Noch einmal: Wir fixieren die Zeile $ i $ in der ersten Matrix, die Spalte $ j $ in der zweiten Matrix, multiplizieren die Elemente mit den gleichen Zahlen und addieren dann die resultierenden Produkte - wir erhalten $ ((c) _ (ij)) $. Also für alle $ 1 \\ le i \\ le m $ und $ 1 \\ le j \\ le k $. Das heißt total wird $ m \\ times k $ solcher "Perversionen" sein.

Tatsächlich haben wir die Vervielfachung von Matrizen im Schullehrplan bereits nur in stark reduzierter Form kennengelernt. Geben Sie die Vektoren an:

\\ [\\ begin (align) & \\ vec (a) \u003d \\ left (((x) _ (a)); ((y) _ (a)); ((z) _ (a)) \\ right); \\\\ & \\ overrightarrow (b) \u003d \\ left (((x) _ (b)); ((y) _ (b)); ((z) _ (b)) \\ \u200b\u200bright). \\\\ \\ end (align) \\]

Dann ist ihr Skalarprodukt genau die Summe der paarweisen Produkte:

{!LANG-29cb3b97ac1718c2e1e857e7325cce66!}

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ times \\ overrightarrow (b) \u003d ((x) _ (a)) \\ cdot ((x) _ (b)) + ((y) _ (a)) \\ cdot ((y ) _ (b)) + ((z) _ (a)) \\ cdot ((z) _ (b)) \\]

In jenen fernen Jahren, als die Bäume grüner und der Himmel heller waren, multiplizierten wir einfach den Zeilenvektor $ \\ overrightarrow (a) $ mit dem Spaltenvektor $ \\ overrightarrow (b) $.

Heute hat sich nichts geändert. Jetzt gibt es nur noch mehr dieser Zeilen- und Spaltenvektoren.

Aber genug Theorie! Schauen wir uns echte Beispiele an. Beginnen wir mit dem einfachsten Fall - den quadratischen Matrizen.

Quadratmatrix-Multiplikation

Aufgabe 1. Führen Sie die Multiplikation durch:

\\ [\\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ -3 & 4 \\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & 4 \\\\ 3 & 1 \\\\\\ Ende (Array) \\ rechts] \\]

Lösung. Wir haben also zwei Matrizen: $ A \u003d \\ left [2 \\ times 2 \\ right] $ und $ B \u003d \\ left [2 \\ times 2 \\ right] $. Es ist klar, dass sie konsistent sind (quadratische Matrizen gleicher Größe sind immer konsistent). Deshalb führen wir die Multiplikation durch:

\\ [\\ begin (align) & \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ -3 & 4 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ 1 \\ cdot \\ left (-2 \\ right) + 2 \\ cdot 3 & 1 \\ cdot 4 + 2 \\ cdot 1 \\\\ -3 \\ cdot \\ left (-2 \\ right) + 4 \\ cdot 3 & -3 \\ cdot 4 + 4 \\ cdot 1 \\\\\\ Ende (Array) \\ rechts] \u003d \\\\ & \u003d \\ links [\\ begin (Array) (* (35) (r)) 4 & 6 \\\\ 18 & -8 \\\\\\ \\ end (align) \\]

Das ist alles!

Antwort: $ \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 4 & 6 \\\\ 18 & -8 \\\\ end (array) \\ right] $.

Aufgabe 2. Führen Sie die Multiplikation durch:

\\ [\\ left [\\ begin (Matrix) 1 & 3 \\\\ 2 & 6 \\\\\\ end (Matrix) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (Array) (* (35) (r)) 9 & 6 \\\\ -3 & -2 \\\\\\ Ende (Array) \\ rechts] \\]

Lösung. Wieder passende Matrizen, also führen wir die folgenden Aktionen aus: \\ [\\]

\\ [\\ begin (align) & \\ left [\\ begin (matrix) 1 & 3 \\\\ 2 & 6 \\\\\\ end (matrix) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) ( r)) 9 & 6 \\\\ -3 & -2 \\\\\\ Ende (Array) \\ rechts] \u003d \\ links [\\ begin (Array) (* (35) (r)) 1 \\ cdot 9 + 3 \\ cdot \\ cdot \\ left (-2 \\ right) \\\\\\ end (array) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (matrix) 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\\\ end (matrix) \\ right] . \\ end (align) \\]

Wie Sie sehen, ist das Ergebnis eine mit Nullen gefüllte Matrix

Antwort: $ \\ left [\\ begin (matrix) 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ end (matrix) \\ right] $.

Aus den obigen Beispielen ist es offensichtlich, dass die Matrixmultiplikation keine so komplizierte Operation ist. Zumindest für 2 mal 2 Quadratmatrizen.

Beim Berechnen haben wir eine Zwischenmatrix erstellt, in der wir direkt notiert haben, welche Zahlen sich in einer bestimmten Zelle befinden. Dies ist genau das, was bei der Lösung realer Probleme zu tun ist.

Die Haupteigenschaften des Matrixprodukts

Kurzgesagt. Matrix-Multiplikation:

1. Nicht kommutativ: $ A \\ cdot B \\ ne B \\ cdot A $ im allgemeinen Fall. Natürlich gibt es spezielle Matrizen, für die die Gleichheit $ A \\ cdot B \u003d B \\ cdot A $ gilt (zum Beispiel, wenn $ B \u003d E $ die Identitätsmatrix ist), aber in den allermeisten Fällen funktioniert dies nicht.
2. Assoziativ: $ \\ left (A \\ cdot B \\ right) \\ cdot C \u003d A \\ cdot \\ left (B \\ cdot C \\ right) $. Es gibt keine Optionen: Die in der Nähe stehenden Matrizen können multipliziert werden, ohne sich Gedanken darüber zu machen, was links und rechts von diesen beiden Matrizen ist.
3. Verteilung: $ A \\ cdot \\ left (B + C \\ right) \u003d A \\ cdot B + A \\ cdot C $ und $ \\ left (A + B \\ right) \\ cdot C \u003d A \\ cdot C + B \\ cdot C $ (Aufgrund der Nichtkommutativität des Produkts muss die Distributivität rechts und links separat registriert werden.

Und jetzt - egal, aber genauer.

Die Matrixmultiplikation ähnelt der klassischen Zahlenmultiplikation. Aber es gibt Unterschiede, von denen der wichtigste der ist matrixmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ.

Betrachten Sie noch einmal die Matrizen aus Problem 1. Wir kennen bereits ihr direktes Produkt:

\\ [\\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ -3 & 4 \\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & 4 \\\\ 3 & 1 \\\\\\ Ende (Array) \\ rechts] \u003d \\ links [\\ begin (Array) (* (35) (r)) 4 & 6 \\\\ 18 & -8 \\\\\\ Ende (Array) \\ rechts] \\]

Aber wenn wir die Matrizen tauschen, erhalten wir ein völlig anderes Ergebnis:

\\ [\\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) -2 & 4 \\\\ 3 & 1 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ -3 & 4 \\\\\\ Ende (Array) \\ rechts] \u003d \\ links [\\ begin (Matrix) -14 & 4 \\\\ 0 & 10 \\\\\\ Ende (Matrix) ) \\ right] \\]

Es stellt sich heraus, dass $ A \\ cdot B \\ ne B \\ cdot A $. Außerdem ist die Multiplikationsoperation nur für konsistente Matrizen $ A \u003d \\ left [m \\ times n \\ right] $ und $ B \u003d \\ left [n \\ times k \\ right] $ definiert, aber niemand hat garantiert, dass sie konsistent bleiben. wenn Sie sie tauschen. Zum Beispiel sind die Matrizen $ \\ left [2 \\ times 3 \\ right] $ und $ \\ left [3 \\ times 5 \\ right] $ in der angegebenen Reihenfolge ziemlich konsistent, aber die gleichen Matrizen $ \\ left [3 \\ times 5 \\ right] $ und $ \\ left [2 \\ times 3 \\ right] $ in umgekehrter Reihenfolge sind nicht mehr konsistent. Traurigkeit. :(

Unter den Quadratmatrizen einer gegebenen Größe $ n $ gibt es immer diejenigen, die das gleiche Ergebnis liefern, sowohl wenn sie in direkter als auch in umgekehrter Reihenfolge multipliziert werden. Wie man all diese Matrizen beschreibt (und wie viele davon im Allgemeinen), ist ein Thema für eine separate Lektion. Heute werden wir nicht darüber reden. :)

Die Matrixmultiplikation ist jedoch assoziativ:

\\ [\\ left (A \\ cdot B \\ right) \\ cdot C \u003d A \\ cdot \\ left (B \\ cdot C \\ right) \\]

Wenn Sie also mehrere Matrizen gleichzeitig in einer Reihe multiplizieren müssen, ist es nicht erforderlich, dies im Voraus zu tun: Es ist durchaus möglich, dass einige benachbarte Matrizen während der Multiplikation ein interessantes Ergebnis liefern. Zum Beispiel die oben diskutierte Nullmatrix, wie in Problem 2.

Bei realen Problemen müssen Sie meist quadratische Matrizen der Größe $ \\ left [n \\ times n \\ right] $ multiplizieren. Die Menge aller solcher Matrizen wird mit $ ((M) ^ (n)) $ bezeichnet (das heißt, die Einträge $ A \u003d \\ left [n \\ times n \\ right] $ und \\ mean das gleiche), und es enthält mit Sicherheit Matrix $ E $, die als Identitätsmatrix bezeichnet wird.

Definition Die Identitätsmatrix der Größe $ n $ ist eine solche Matrix $ E $, dass für jede quadratische Matrix $ A \u003d \\ left [n \\ times n \\ right] $ die Gleichheit gilt:

Eine solche Matrix sieht immer gleich aus: Sie hat Einheiten in der Hauptdiagonale und Nullen in allen anderen Zellen.

\\ [\\ beginne (ausrichten) & A \\ cdot \\ left (B + C \\ right) \u003d A \\ cdot B + A \\ cdot C; \\\\ & \\ left (A + B \\ right) \\ cdot C \u003d A \\ cdot C + B \\ cdot C \\\\ \\ end (align) \\]

Mit anderen Worten, wenn Sie eine Matrix mit der Summe der beiden anderen multiplizieren müssen, können Sie sie mit diesen beiden anderen multiplizieren und dann die Ergebnisse addieren. In der Praxis müssen Sie normalerweise das Gegenteil tun: Wir bemerken dieselbe Matrix, nehmen sie aus der Klammer heraus, führen eine Addition durch und vereinfachen so unser Leben. :)

Anmerkung: Um die Verteilungsfähigkeit zu beschreiben, mussten wir zwei Formeln schreiben: Wo ist die Summe im zweiten Faktor und wo ist die Summe im ersten. Dies ist genau auf die Tatsache zurückzuführen, dass die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist (und im Allgemeinen gibt es in der nicht kommutativen Algebra viele Witze, die Ihnen beim Umgang mit gewöhnlichen Zahlen nicht einmal in den Sinn kommen). Und wenn Sie diese Eigenschaft beispielsweise in einer Prüfung malen müssen, schreiben Sie unbedingt beide Formeln, da der Lehrer sonst möglicherweise etwas wütend wird.

Okay, das waren alles Geschichten von quadratischen Matrizen. Was ist mit den rechteckigen?

Der Fall von rechteckigen Matrizen

Aber nichts - egal wie bei quadratischen.

Aufgabe 3. Führen Sie die Multiplikation durch:

\\ [\\ left [\\ begin (Matrix) \\ begin (Matrix) 5 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\\\ end (Matrix) & \\ begin (Matrix) 4 \\\\ 5 \\\\ 1 \\\\\\ end (Matrix) \\ Lösung. Wir haben zwei Matrizen: $ A \u003d \\ left [3 \\ times 2 \\ right] $ und $ B \u003d \\ left [2 \\ times 2 \\ right] $. Wir schreiben die Zahlen, die die Größen in einer Reihe angeben:

{!LANG-08a9e41a60216854edddbf930672e7fb!}

Wie Sie sehen, stimmen die beiden zentralen Zahlen überein. Daher sind die Matrizen konsistent und können multipliziert werden. Und am Ausgang erhalten wir die Matrix $ C \u003d \\ left [3 \\ times 2 \\ right] $:

\\ [\\ begin (align) & \\ left [\\ begin (matrix) \\ begin (matrix) 5 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\\\ end (matrix) & \\ begin (matrix) 4 \\\\ 5 \\\\ 1 \\\\ \\ right] \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 5 \\ cdot \\ left (-2 \\ right) +4 \\ cdot 3 & 5 \\ cdot 5 + 4 \\ cdot 4 \\\\ 2 \\ cdot \\ left (-2 \\ right) +5 \\ cdot 3 & 2 \\ cdot 5 + 5 \\ cdot 4 \\\\ 3 \\ cdot \\ left (-2 \\ right) +1 \\ cdot 3 & 3 \\ cdot 5 + 1 \\ cdot 4 \\\\\\ Ende (Array) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (Array) (* (35) (r)) 2 & 41 \\\\ 11 & 30 \\\\ -3 & 19 \\ \\ end (align) \\]

Alles ist klar: In der endgültigen Matrix gibt es 3 Zeilen und 2 Spalten. Es ist ein ziemliches $ \u003d \\ left [3 \\ times 2 \\ right] $.

Antwort: $ \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) \\ begin (array) (* (35) (r)) 2 \\\\ 11 \\\\ -3 \\\\\\ end (array) & \\ begin (matrix) 41 \\\\ 30 \\\\ 19 \\\\\\ end (matrix) \\\\\\ end (array) \\ right] $.

Jetzt betrachten wir eine der besten Trainingsaufgaben für diejenigen, die gerade erst anfangen, mit Matrizen zu arbeiten. Es ist nicht nur notwendig, zwei Platten zu multiplizieren, sondern zuerst zu bestimmen: Ist eine solche Multiplikation zulässig?

Aufgabe 4. Finde alle möglichen paarweisen Produkte der Matrizen:

\\\\]; $ B \u003d \\ left [\\ begin (Matrix) \\ begin (Matrix) 0 \\\\ 2 \\\\ 0 \\\\ 4 \\\\\\ end (Matrix) & \\ begin (Matrix) 1 \\\\ 0 \\\\ 3 \\\\ 0 \\ $ C \u003d \\ left [\\ begin (matrix) 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\\\ end (matrix) \\ right] $.

Lösung. Schreiben Sie zunächst die Dimensionen der Matrizen auf:

\\; \\ B \u003d \\ left [4 \\ times 2 \\ right]; \\ C \u003d \\ left [2 \\ times 2 \\ right] \\]

Wir erhalten, dass die Matrix $ A $ nur mit der Matrix $ B $ abgeglichen werden kann, da die Anzahl der Spalten für $ A $ 4 ist und nur $ B $ eine solche Anzahl von Zeilen hat. Daher können wir das Produkt finden:

\\\\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 0 & 1 \\\\ 2 & 0 \\\\ 0 & 3 \\\\ 4 & 0 \\\\\\ end (array) \\ right] \u003d \\ Ich schlage vor, die Zwischenschritte selbst durchzuführen. Ich stelle nur fest, dass die Größe der resultierenden Matrix besser im Voraus bestimmt werden kann, noch bevor Berechnungen durchgeführt werden:

\\\\ cdot \\ left [4 \\ times 2 \\ right] \u003d \\ left [2 \\ times 2 \\ right] \\]

Mit anderen Worten, wir entfernen einfach die "Transit" -Koeffizienten, die die Matrixkonsistenz gewährleisten.

Welche anderen Optionen sind möglich? Natürlich können Sie $ B \\ cdot A $ finden, da $ B \u003d \\ left [4 \\ times 2 \\ right] $, $ A \u003d \\ left [2 \\ times 4 \\ right] $, also ist das geordnete Paar $ \\ left (B ; A \\ right) $ ist konsistent und die Dimension des Produkts ist:

{!LANG-6c9a9eee51b20f587700e18f724726ad!}

\\\\ cdot \\ left [2 \\ times 4 \\ right] \u003d \\ left [4 \\ times 4 \\ right] \\]

Kurz gesagt, die Ausgabe ist die Matrix $ \\ left [4 \\ times 4 \\ right] $, deren Koeffizienten leicht berechnet werden können:

\\\\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & ndash; 1 & ndash; 2 & ndash; 2 & ndash; 2 \\\\ end (array) \\ right] \u003d \\ 8 & -8 \\\\\\ Ende (Array) \\ rechts] \\]

Natürlich können Sie noch $ C \\ cdot A $ und $ B \\ cdot C $ abgleichen - das ist alles. Deshalb schreiben wir einfach die resultierenden Arbeiten:

Es war einfach :)

Antwort: $ AB \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) -10 & 7 \\\\ 10 & 7 \\\\\\ end (array) \\ right] $; $ BA \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\\\ 2 & -2 & 4 & -4 \\\\ 3 & 3 & 6 & 6 \\\\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\\\\ Ende (Array) \\ rechts] $; $ CA \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\\\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\\\\ end (array) \\ right] $; $ BC \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 0 \\\\ 0 & 2 \\\\ 3 & 0 \\\\ 0 & 4 \\\\\\ end (array) \\ right] $.

Im Allgemeinen empfehle ich dringend, dass Sie diese Aufgabe selbst ausführen. Und noch eine ähnliche Aufgabe, die in Hausaufgaben ist. Diese einfachen Reflexionen auf den ersten Blick helfen Ihnen dabei, alle wichtigen Stufen der Matrixmultiplikation zu erarbeiten.

Aber die Geschichte endet nicht dort. Wir gehen zu speziellen Fällen der Multiplikation über. :)

Zeilenvektor und Spaltenvektor

Eine der häufigsten Matrixoperationen ist die Multiplikation mit einer Matrix, in der sich eine Zeile oder eine Spalte befindet.

Definition Der Spaltenvektor ist eine Matrix der Größe $ \\ left [m \\ times 1 \\ right] $, d.h. bestehend aus mehreren Zeilen und nur einer Spalte.

Ein Zeilenvektor ist eine Matrix der Größe $ \\ left [1 \\ times n \\ right] $, d.h. bestehend aus einer Zeile und mehreren Spalten.

Tatsächlich haben wir uns bereits mit diesen Objekten getroffen. Beispielsweise ist der übliche dreidimensionale Vektor aus der Stereometrie $ \\ overrightarrow (a) \u003d \\ left (x; y; z \\ right) $ nichts weiter als ein Zeilenvektor. Theoretisch besteht kaum ein Unterschied zwischen Zeilen und Spalten. Nur einer sollte vorsichtig sein, wenn er mit den umgebenden Matrixfaktoren einverstanden ist.

Aufgabe 5. Führen Sie die Multiplikation durch:

\\ [\\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & ndash; 1 & ndash; 3 \\\\ 4 & ndash; 2 & ndash; 0 \\\\ -1 & ndash; 1 & ndash; 1 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\\\ end (array) \\ right] \\]

Lösung. Vor uns ist das Matrizenprodukt abgeglichen: $ \\ left [3 \\ times 3 \\ right] \\ cdot \\ left [3 \\ times 1 \\ right] \u003d \\ left [3 \\ times 1 \\ right] $. Finden Sie dieses Produkt:

\\ [\\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & ndash; 1 & ndash; 3 \\\\ 4 & ndash; 2 & ndash; 0 \\\\ -1 & ndash; 1 & ndash; 1 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\\\ end (array) \\ right] \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35 ) (r)) 2 \\ cdot 1+ \\ left (-1 \\ right) \\ cdot 2 + 3 \\ cdot \\ left (-1 \\ right) \\\\ 4 \\ cdot 1 + 2 \\ cdot 2 + 0 \\ cdot 2 \\ ) -3 \\\\ 8 \\\\ 0 \\\\\\ Ende (Array) \\ rechts] \\]

Antwort: $ \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) - 3 \\\\ 8 \\\\ 0 \\\\\\ end (array) \\ right] $.

Aufgabe 6. Führen Sie die Multiplikation durch:

\\ [\\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 & -3 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 3 & 1 & ndash; 1 \\\\ 4 & ndash; 1 & ndash; 3 \\\\ 2 & ndash; 6 & ndash; 0 \\\\\\ Ende (Array) \\ rechts] \\]

Lösung. Wieder ist alles vereinbart: $ \\ left [1 \\ times 3 \\ right] \\ cdot \\ left [3 \\ times 3 \\ right] \u003d \\ left [1 \\ times 3 \\ right] $. Wir betrachten das Produkt:

\\ [\\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 & -3 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 3 & 1 & ndash; 1 \\\\ 4 & ndash; 1 & ndash; 3 \\\\ 2 & ndash; 6 & ndash; 0 \\\\\\ Ende (Array) \\ rechts] \u003d \\ links [\\ Anfang (Array) (* (35) ( r)) 5 & -19 & 5 \\\\\\ Ende (Array) \\ rechts] \\]

Antwort: $ \\ left [\\ begin (matrix) 5 & -19 & 5 \\\\\\ end (matrix) \\ right] $.

Wie Sie sehen, erhalten wir beim Multiplizieren eines Zeilenvektors und eines Spaltenvektors mit einer quadratischen Matrix am Ausgang immer eine Zeile oder Spalte gleicher Größe. Diese Tatsache hat viele Anwendungen - von der Lösung linearer Gleichungen bis zu allen Arten von Koordinatentransformationen (die letztendlich auch auf Gleichungssysteme zurückzuführen sind, aber wir wollen nicht über traurige Dinge sprechen).

Ich denke, hier war alles offensichtlich. Wir kommen zum letzten Teil der heutigen Lektion.

Eine Matrix zu einer Macht erheben

Unter allen Multiplikationsoperationen verdient das Erhöhen zu einer Kraft besondere Aufmerksamkeit - dies ist der Fall, wenn wir dasselbe Objekt mehrmals mit uns selbst multiplizieren. Matrizen sind keine Ausnahme, sie können auch in unterschiedlichem Maße angehoben werden.

Solche Arbeiten sind immer konsequent:

\\\\ cdot \\ left [n \\ times n \\ right] \u003d \\ left [n \\ times n \\ right] \\]

Und werden genauso bezeichnet wie normale Abschlüsse:

\\ [\\ begin (align) & A \\ cdot A \u003d ((A) ^ (2)); \\\\ & A \\ cdot A \\ cdot A \u003d ((A) ^ (3)); \\\\ & \\ unterstrichen (A \\ cdot A \\ cdot \\ ldots \\ cdot A) _ (n) \u003d ((A) ^ (n)). \\\\ \\ end (align) \\]

Auf den ersten Blick ist alles einfach. Mal sehen, wie es in der Praxis aussieht:

Aufgabe 7. Heben Sie die Matrix auf das angegebene Maß an:

$ ((\\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (3)) $

Lösung. Okay, lass uns aufrichten. Zunächst zum Quadrat:

\\ [\\ begin (ausrichten) & ((\\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (2)) \u003d \\ left [\\ begin (matrix ) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ Ende (Matrix) \\ rechts] \\ cdot \\ links [\\ begin (Matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ Ende (Matrix) \\ rechts] \u003d \\\\ 0 \\ cdot 1 + 1 \\ cdot 1 \\\\\\ Ende (Array) \\ rechts] \u003d \\\\ & \u003d \\ links [\\ begin (Array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\ \\ [\\ begin (align) & ((\\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (3)) \u003d (\\ left [\\ begin (Matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ Ende (Matrix) \\ rechts]) ^ (3)) \\ cdot \\ links [\\ begin (Matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ Ende ( matrix) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [ \\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & 3 \\\\ Das ist alles.:)

Antwort: $ \\ left [\\ begin (matrix) 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (matrix) \\ right] $.

Aufgabe 8. Heben Sie die Matrix bis zum angegebenen Grad an:

\\ [(((\\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (10)) \\]

Lösung. Weinen Sie jetzt einfach nicht über die Tatsache, dass "der Grad zu groß ist", "die Welt nicht fair ist" und "die Lehrer völlig ihre Ufer verloren haben". In der Tat ist alles einfach:

\\ [\\ begin (align) & ((\\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (10)) \u003d (\\ left [\\ begin (Matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ Ende (Matrix) \\ rechts]) ^ (3) \\ cdot ((\\ links [\\ Anfang (Matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ cdot \\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left (\\ left [\\ begin (matrix) 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ Ende (Matrix) \\ rechts] \\ cdot \\ links [\\ begin (Matrix) 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ Ende (Matrix) \\ rechts] \\ rechts) \\ cdot \\ links (\\ links [ \\ begin (matrix) 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (matrix) \\ right ] \\ right) \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (matrix) 1 & 6 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (matrix) 1 & 4 \\\\ ]

Hinweis: In der zweiten Zeile haben wir die Assoziativität der Multiplikation verwendet. Eigentlich haben wir es in der vorherigen Aufgabe verwendet, aber da war es implizit.

Antwort: $ \\ left [\\ begin (matrix) 1 & 10 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (matrix) \\ right] $.

Wie Sie sehen, ist es nicht kompliziert, eine Matrix zu einer Potenz zu machen. Das letzte Beispiel kann zusammengefasst werden:

{!LANG-a855fd0ae6a37e70014d7c483f0dbb75!}

{!LANG-f4b1150ac7d24a07bad0672155aa2a15!}

\\ [(((\\ left [\\ begin (matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (n)) \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 1 & n \\\\ 0 & 1 \\\\\\ Ende (Array) \\ rechts] \\]

Diese Tatsache kann leicht durch mathematische Induktion oder direkte Multiplikation bewiesen werden. Es ist jedoch bei weitem nicht immer so, dass man solche Regelmäßigkeiten abfangen kann, wenn man zu einer Macht aufsteigt. Seien Sie daher vorsichtig: Es ist oft einfacher und schneller, mehrere Matrizen „durch“ zu multiplizieren, als dort nach einigen Regelmäßigkeiten zu suchen.

Suchen Sie im Allgemeinen nicht nach einer höheren Bedeutung, wenn sie nicht vorhanden ist. Abschließend betrachten wir die Potenzierung einer größeren Matrix - bereits $ \\ left [3 \\ times 3 \\ right] $.

Aufgabe 9. Erhöhen Sie die Matrix auf das angegebene Maß:

\\ [(((\\ left [\\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (3)) \\]

Lösung. Wir werden nicht nach Mustern suchen. Wir arbeiten "voraus":

\\ [(((\\ left [\\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (3)) \u003d (( \\ left [\\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ end (matrix) \\ right]) ^ (2)) \\ cdot \\ left [\\ begin (Matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\\\ Ende (Matrix) \\ rechts] \\]

Quadrieren wir zunächst diese Matrix:

\\ [\\ begin (align) & ((\\ left [\\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ ( 2)) \u003d \\ left [\\ begin (Matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ end (Matrix) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (Matrix) ) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\\\ Ende (Matrix) \\ rechts] \u003d \\\\ & \u003d \\ links [\\ begin (Array) (* (35) (r )) 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\\\ Ende (Array) \\ rechts] \\ Ende (ausrichten) \\]

Nun wollen wir würfeln:

\\ [\\ begin (align) & ((\\ left [\\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\\\ end (matrix) \\ right]) ^ ( 3)) \u003d \\ left [\\ begin (array) (* (35) (r)) 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\\\ end (array) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ end (matrix) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin ( Array) (* (35) (r)) 2 & 3 & 3 \\\\ 3 & 2 & 3 \\\\ 3 & 3 & 2 \\\\\\ Ende (Array) \\ rechts] \\ Ende (ausrichten) \\]

Das ist alles. Das Problem ist gelöst.

Antwort: $ \\ left [\\ begin (matrix) 2 & 3 & 3 \\\\ 3 & 2 & 3 \\\\ 3 & 3 & 2 \\\\ end (matrix) \\ right] $.

Wie Sie sehen, ist das Berechnungsvolumen größer geworden, aber die Bedeutung hat sich überhaupt nicht geändert. :)

Sie können diese Lektion beenden. Das nächste Mal werden wir die umgekehrte Operation betrachten: Wir werden nach den ursprünglichen Faktoren aus dem vorhandenen Produkt suchen.

Wie Sie wahrscheinlich bereits vermutet haben, werden wir über die inverse Matrix und Methoden zu deren Auffindung sprechen.

Matrixaddition:

Subtraktion und Matrixaddition   auf die entsprechenden Operationen an ihren Elementen reduziert. Matrix Addition Operation nur für matrizen   die gleiche Größe, d.h. matrizenfür die die Anzahl der Zeilen und Spalten jeweils gleich ist. Summe der Matrizen   A und B heißen matrix   C, dessen Elemente gleich der Summe der entsprechenden Elemente sind. C \u003d A + B cij \u003d aij + bij Ähnlich definiert matrixunterschied.

Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl:

Die Operation der Multiplikation (Division) der Matrix   Jede Größe durch eine beliebige Zahl wird reduziert, um jedes Element zu multiplizieren (zu dividieren) matrizen   auf dieser Nummer. Matrix-Produkt   Und die Nummer k heißt matrix   In diesem Sinne

b ij \u003d k × a ij. B \u003d k × A b ij \u003d k × a ij. Matrix   - A \u003d (-1) × A heißt das Gegenteil matrix   A.

Eigenschaften der Matrixaddition und Matrixmultiplikation mit einer Zahl:

Matrix-Additionsoperationen   und matrixmultiplikation   durch eine Zahl haben sie folgende Eigenschaften: 1. A + B \u003d B + A; 2. A + (B + C) \u003d (A + B) + C; 3. A + 0 \u003d A; 4. A - A \u003d 0; 5,1 × A \u003d A; 6. α × (A + B) \u003d αA + αB; 7. (α + β) × A \u003d αA + βA; 8. α × (βA) \u003d (αβ) × A; wobei A, B und C Matrizen sind, α und β Zahlen sind.

Matrixmultiplikation (Matrixprodukt):

Multiplikationsoperation von zwei Matrizen   wird nur für den Fall eingegeben, wenn die Anzahl der Spalten der ersten matrizen   gleich der Anzahl der Zeilen der Sekunde matrizen. Matrix-Produkt   Und m × n an die Matrix   In n × p genannt matrix   Mit m × p, so dass mit ik \u003d a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk, d. H. Es gibt die Summe der Produkte der Elemente der i-ten Reihe matrizen   Und auf die entsprechenden Elemente der j-ten Spalte matrizen   B. Wenn matrizen   A und B sind quadratisch gleich groß, dann existieren immer die Produkte von AB und VA. Es ist leicht zu zeigen, dass A × E \u003d E × A \u003d A ist, wobei A ein Quadrat ist matrix, E - Einheit matrix   gleiche Größe.

Matrix-Multiplikationseigenschaften:

Matrixmultiplikation   nicht kommutativ, d.h. AB ≠ VA auch wenn beide Produkte definiert sind. Wenn es jedoch welche gibt matrizen   ist das Verhältnis AB \u003d VA erfüllt, so ist z matrizen   Permutationen genannt. Das typischste Beispiel ist eine Single matrixwas mit jedem anderen durchlässig ist matrix   gleiche Größe. Nur ein Quadrat kann eine Permutation sein matrizen   in der gleichen Reihenfolge. A × E \u003d E × A \u003d A

Matrixmultiplikation   besitzt die folgenden Eigenschaften: 1. A × (B × C) \u003d (A × B) × C; 2. A × (B + C) \u003d AB + AC; 3. (A + B) × C \u003d AC + BC; 4. α × (AB) \u003d (αA) × B; 5. A × 0 \u003d 0; 0 × A \u003d 0; 6. (AB) T \u003d B T A T; 7. (ABC) T \u003d CTBTA; 8. (A + B) T \u003d A T + B T;

2. Determinanten 2. und 3. Ordnung. Eigenschaften von Determinanten.

Matrixdeterminante   zweiter Ordnung oder determinante   zweite Ordnung, eine Zahl genannt, die durch die Formel berechnet wird:

Matrixdeterminante   dritter Ordnung, oder determinante dritte Ordnung, eine Zahl genannt, die durch die Formel berechnet wird:

Diese Zahl stellt eine algebraische Summe dar, die aus sechs Begriffen besteht. Jeder Begriff enthält genau ein Element aus jeder Zeile und jeder Spalte matrizen. Jeder Term besteht aus dem Produkt von drei Faktoren.

Schilder mit welchen Mitgliedern matrixdeterminante   sind in der Formel enthalten finden der Determinante einer Matrix   Die dritte Ordnung kann unter Verwendung des obigen Schemas bestimmt werden, das die Regel der Dreiecke oder die Regel von Sarrus genannt wird. Die ersten drei Terme sind mit einem Pluszeichen versehen und werden aus der linken Abbildung ermittelt. Die nächsten drei Terme sind mit einem Minuszeichen versehen und werden aus der rechten Abbildung ermittelt.

Bestimmen Sie die Anzahl der zu suchenden Begriffe matrixdeterminanteIn der algebraischen Summe können wir die Fakultät berechnen: 2! \u003d 1 × 2 \u003d 2 3! \u003d 1 × 2 × 3 \u003d 6

Eigenschaften der Matrixdeterminanten

Eigenschaften von Matrixdeterminanten:

Eigenschaft Nr. 1:

Matrixdeterminante   ändert sich nicht, wenn die Zeilen durch Spalten ersetzt werden und jede Zeile eine Spalte mit derselben Nummer ist und umgekehrt (Transponieren). | A | \u003d | A | T

Die Konsequenz:

Spalten und Zeilen matrixdeterminante   sind gleich, daher sind die den Zeilen inhärenten Eigenschaften für Spalten erfüllt.

Grundstück Nr. 2:

Beim Neuanordnen von 2 Zeilen oder Spalten matrixdeterminante   wechselt das Vorzeichen in das Gegenteil, wobei der absolute Wert beibehalten wird, d.h.

Grundstück Nr. 3:

Matrixdeterminantezwei identische Zeilen zu haben ist gleich Null.

Grundstück Nr. 4:

Der gemeinsame Faktor von Elementen einer Zeile matrixdeterminante   kann für ein Zeichen durchgeführt werden qualifier.

Folgen der Eigenschaften Nr. 3 und Nr. 4:

Sind alle Elemente einer bestimmten Reihe (Zeile oder Spalte) proportional zu den entsprechenden Elementen einer parallelen Reihe, so ist z matrixdeterminante   gleich Null.

Grundstück Nr. 5:

matrixdeterminante   gleich Null dann selbst matrixdeterminante   gleich Null.

Grundstück Nr. 6:

Wenn alle Elemente einer Zeile oder Spalte qualifier   werden dann als die Summe von 2 Begriffen dargestellt qualifier matrizen   kann als die Summe von 2 dargestellt werden qualifikanten   nach der Formel:

Grundstück Nr. 7:

Wenn zu einer Zeile (oder Spalte) qualifier   addiere die entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (oder Spalte), multipliziert mit der gleichen Zahl, dann matrixdeterminante   wird seine Größe nicht ändern.

Beispiel für die Verwendung von Eigenschaften zur Berechnung matrixdeterminante:

1. Jahr, höhere Mathematik, Studium matrizen   und grundlegende Aktionen auf sie. Hier systematisieren wir die grundlegenden Operationen, die mit Matrizen durchgeführt werden können. Wo kann man anfangen, sich mit Matrizen vertraut zu machen? Natürlich von den einfachsten - Definitionen, Grundkonzepten und einfachsten Operationen. Wir versichern Ihnen, dass jeder, der sich mindestens ein wenig Zeit nimmt, die Matrizen versteht!

Matrix Definition

Matrix   Ist eine rechteckige Tabelle von Elementen. Nun, wenn in einfachen Worten - eine Tabelle mit Zahlen.

Üblicherweise werden Matrizen in lateinischen Großbuchstaben angegeben. Zum Beispiel die Matrix A Matrix B   usw. Matrizen können unterschiedlich groß sein: rechteckig, quadratisch, es gibt auch Zeilenmatrizen und Spaltenmatrizen, die als Vektoren bezeichnet werden. Die Größe der Matrix wird durch die Anzahl der Zeilen und Spalten bestimmt. Zum Beispiel schreiben wir eine rechteckige Größenmatrix m   auf n wo m   - die Anzahl der Zeilen und n   - die Anzahl der Spalten.

Elemente für die i \u003d j (a11, a22, .. ) bilden die Hauptdiagonale der Matrix und heißen Diagonale.

Was kann man mit Matrizen machen? Addiere / subtrahiere, multiplizieren Sie mit der Zahl, multiplizieren untereinander, transponieren. Nun zu all diesen Grundoperationen für Matrizen in der richtigen Reihenfolge.

Matrixadditions- und -subtraktionsoperationen

Wir werden Sie sofort warnen, dass Sie nur Matrizen der gleichen Größe falten können. Das Ergebnis ist eine Matrix gleicher Größe. Das Hinzufügen (oder Subtrahieren) von Matrizen ist einfach -   addieren Sie einfach ihre jeweiligen Elemente . Wir geben ein Beispiel. Wir addieren zwei Matrizen A und B in der Größe zwei mal zwei.

Die Subtraktion erfolgt analog nur mit dem entgegengesetzten Vorzeichen.

Jede Matrix kann mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden. Um dies zu tun, sie müssen jedes seiner Elemente mit dieser Zahl multiplizieren.   Multiplizieren Sie beispielsweise die Matrix A aus dem ersten Beispiel mit der Zahl 5:

Matrix-Multiplikationsoperation

Nicht alle Matrizen können untereinander multipliziert werden. Zum Beispiel haben wir zwei Matrizen - A und B. Sie können nur dann miteinander multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der Matrix A gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix B ist jedes Element der resultierenden Matrix in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte ist gleich der Summe der Produkte der entsprechenden Elemente in der i-ten Zeile des ersten Faktors und der j-ten Spalte der zweiten. Um diesen Algorithmus zu verstehen, schreiben wir, wie zwei Quadratmatrizen multipliziert werden:

Und ein Beispiel mit reellen Zahlen. Multiplizieren Sie die Matrizen:

Matrix-Transponierungsoperation

Die Matrixtransposition ist eine Operation, bei der die entsprechenden Zeilen und Spalten vertauscht werden. Zum Beispiel transponieren Sie die Matrix A aus dem ersten Beispiel:

Matrixdeterminante

Die Determinante, aber die Determinante ist eines der Grundkonzepte der linearen Algebra. Es war einmal, dass Menschen lineare Gleichungen entwickelten und danach eine Determinante erfanden. Infolgedessen muss man sich mit all dem auseinandersetzen, also der letzte Trottel!

Eine Determinante ist eine numerische Eigenschaft einer quadratischen Matrix, die zur Lösung vieler Probleme benötigt wird.
Um die Determinante der einfachsten quadratischen Matrix zu berechnen, müssen Sie die Differenz der Produkte der Elemente der Haupt- und Nebendiagonale berechnen.

Die Determinante einer Matrix erster Ordnung, die aus einem Element besteht, ist gleich diesem Element.

Und wenn die Matrix drei mal drei ist? Hier ist es komplizierter, aber Sie können damit umgehen.

Für eine solche Matrix ist der Wert der Determinante gleich der Summe der Produkte der Elemente der Hauptdiagonale und der Produkte der Elemente, die auf den Dreiecken mit einer Fläche parallel zur Hauptdiagonale liegen, von denen das Produkt der Elemente der Seitendiagonale und das Produkt der Elemente, die auf den Dreiecken mit einer Fläche parallel zur Seitendiagonale liegen, abgezogen werden.

Glücklicherweise ist die Berechnung von Determinanten für große Matrizen in der Praxis selten erforderlich.

Hier haben wir die Grundoperationen an Matrizen untersucht. Natürlich kann man im wirklichen Leben nicht einmal auf einen Hinweis auf ein Matrixsystem von Gleichungen stoßen oder umgekehrt - viel kompliziertere Fälle, in denen man sich wirklich den Kopf zerschlagen muss. Für solche Fälle gibt es einen Fachmann studentenservice   . Bitten Sie um Hilfe, erhalten Sie eine qualitativ hochwertige und detaillierte Lösung, genießen Sie den akademischen Erfolg und die Freizeit.