Kryptographie: laut Computer. Zahlensysteme und binäre Präsentation von Computerinformationen

Mit Hilfe dieses Online-Rechners können Sie ganze und fraktionale Zahlen von einem Nummernsystem in einen anderen übersetzen. Eine detaillierte Lösung wird mit Erklärungen angegeben. Geben Sie die ursprüngliche Nummer ein, geben Sie die Originalnummer ein, legen Sie die Sodennummer-Systembasis ein, stellen Sie die Basis des Nummernsystems ein, auf das Sie die Nummer übersetzen möchten, und klicken Sie auf die Schaltfläche "Übersetzen". Theoretische Teile und numerische Beispiele siehe unten.

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Übersetzung der ganzen und fraktionalen Zahlen von einem Nummernsystem auf eine andere - Theorie, Beispiele und Lösungen

Es gibt Positions- und keine Positionsnummernsysteme. Das arabische Nummernsystem, das wir im Alltag verwenden, ist eine Positionslage und Roman-Nr. In positionalen Chirurgie-Systemen bestimmt die Position der Zahl eindeutig den Wert der Anzahl. Betrachten Sie dies im Beispiel der Nummer 6372 in einem Dezimalzahlsystem. Nummer in dieser Nummer rechts unten, da Kratzer:

Dann kann die Nummer 6372 wie folgt dargestellt werden:

6372 \u003d 6000 + 300 + 70 + 2 \u003d 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.

Die Nummer 10 definiert das Zahlensystem (in diesem Fall ist es 10). Als Abschlüsse werden die Positionen der Anzahl dieser Anzahl ergriffen.

Betrachten Sie eine echte Dezimalzahl 1287.923. NUMMER ES ES WERDEN AUSGABEN DER STAKTION DER STACT DER ZAHLEN VON DER DECIMAL-PUNKT ZU LINKS UND RECHTS:

Dann kann die Zahl 1287.923 dargestellt werden als:

1287.923 \u003d 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 \u003d 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 10 -2 + 3 · 10 -3.

Im Allgemeinen kann die Formel wie folgt dargestellt werden:

C n · s. N + c n-1 · s. N-1 + ... + c 1 · s. 1 + C 0 · S 0 + D -1 · S -1 + D -2 · S -2 + ... + D -K · S -K

wobei C n eine Zahl in Position ist n., D-k - fraktionale Nummer in Position (-K), s. - Zahlensystem.

Einige Wörter über die Zahlensysteme. Die Zahl im Dezimalzahlsystem besteht aus mehreren Zahlen (0,1,2,3,4,5, 6,7, 8,9), in einem achtlichen Zahlensystem - von mehreren von Zahlen (0,1, 2, 3,4,5, 6,7), in einem Binärzahlsystem - von mehreren Zahlen (0,1), in einem Hexadezimalzahlsystem - von mehreren Zahlen (0,1,2 3,4,5,6, 7, 8, a, b, c, d, e, f), wobei a, b, c, d, e, f der Zahl 10, 11,12 entsprechen, 13,14,15. In Tabelle Tabelle.1 werden die Zahlen in verschiedenen Zahlensystemen dargestellt.

Tabelle 1
Notation
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	EIN.
11	1011	13	B.
12	1100	14	C.
13	1101	15	D.
14	1110	16	E.
15	1111	17	F.

Übersetzung von Zahlen von einem Nummernsystem zum anderen

Um die Zahlen von einer Zahl auf einen anderen auf einen anderen zu übertragen, ist der einfachste Weg, die Nummer zuerst in ein Dezimalzahlensystem zu übersetzen, und dann aus dem Dezimalzahlensystem, um in das gewünschte Nummernsystem zu übersetzen.

Übersetzung von Zahlen aus einem beliebigen Nummernsystem in einem Dezimalzahlsystem

Mit der Formel (1) können Sie Zahlen von einem beliebigen Nummernsystem in ein Dezimalzahlsystem übersetzen.

Beispiel 1. Übersetzen Sie die Nummer 1011101.001 aus dem Binärzahlsystem (SS) in einer Dezimalzehnels-SS. Entscheidung:

1 · 2 6 +0 · 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 + 0 · 2 -1 + 0 · 2 -2 + 1 · 2 -3 \u003d 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 \u003d 93.125

Beispiel2. Übersetzen Sie die Nummer 1011101.001 aus dem octaösen Ziffernsystem (SS) in einer Dezimalklasse SS. Entscheidung:

Beispiel 3 . Übersetzen Sie die Nummer AB572.CDF aus einem Hexadezimalnummer-System in einer Dezimal-SS. Entscheidung:

Hier EIN. - pro 10, B. - von 11, C.- um 12, F. - um 15.

Übersetzung von Nummern aus einem Dezimalzahlsystem in ein anderes Nummernsystem

Um Zahlen von einem dezimalen Nummerierungssystem in ein anderes Nummernsystem zu übertragen, ist es erforderlich, separat durch den ganzzahligen Teil der Anzahl und des fraktionierten Teils der Zahl zu übersetzen.

Ein ganzzahliger Teil der Zahl wird aus einer Dezimalstelle in ein anderes Nummernsystem übersetzt - eine sequentielle Abteilung eines ganzen Teils der Zahl auf der Basis des Zahlensystems (für ein binäres CC - von 2, für eine 8-stellige SS - um 8 für 16-Rauch-16 usw.), bevor er einen ganzen Rückstand, kleiner als die Basis der SS.

Beispiel 4 . Wir übersetzen die Zahl 159 der Dezimalanlage in die binäre SS:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Wie aus FIG. In Fig. 1 gibt die Zahl 159 während der Division um 2 den privaten 79 und den Rückstand 1. Als nächstes ergibt die Zahl 79 während der Division um 2 privat 39 und den Rückstand 1 usw. Dadurch erhalten wir durch den Aufbau einer Zahl aus den Galgen der Divisionen (rechts nach links) eine Zahl in Binary SS: 10011111 . Folglich können Sie schreiben:

159 10 =10011111 2 .

Beispiel 5 . Wir übersetzen die Nummer 615 der Dezimalkunde in die Oktal-SS.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Wenn die Zahl aus der Dezimalstelle in der Oktal ss ist, ist es notwendig, die Zahl auf 8 sequentiell zu teilen, bis der gesamte Rückstand weniger als 8 ist, als Ergebnis eine Nummer aus den Galitäten der Abteilung (rechts nach links), wir Holen Sie sich eine Zahl in der Oktan-SS: 1147 (Siehe Abb. 2). Folglich können Sie schreiben:

615 10 =1147 8 .

Beispiel 6 . Wir übertragen die Nummer 19673 vom Dezimalzahlsystem in hexadezimales SS.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Wie aus FIG.

Um die korrekten Dezimalfraktionen (reelle Zahl mit einer Nullzäher) mit dem Zählsystem mit der Basis S übertragen, muss eine gegebene Zahl mit S multipliziert werden, bis ein sauberer Null nicht in den fraktionierten Teil kommt, oder wir werden nicht das Erforderliche Anzahl der Entladungen. Wenn Sie eine Zahl mit einem ganzen Teil erhalten, unter anderem von Null, dann berücksichtigt dieser gesamte Teil nicht (sie werden konsequent im Ergebnis eingeschrieben).

Betrachten Sie das vorstehende in den Beispielen.

Beispiel 7 . Wir übertragen die Zahl von 0.214 vom Dezimalzahlsystem auf Binärer SS.

		0.214
	x.	2
0		0.428
	x.	2
0		0.856
	x.	2
1		0.712
	x.	2
1		0.424
	x.	2
0		0.848
	x.	2
1		0.696
	x.	2
1		0.392

Wie aus Fig. 4 ersichtlich ist, wird die Zahl 0,214 mit 2 multipliziert, wenn die Multiplikation mit einem vollständig von Null unterschiedlichen Teil erhalten wird, dann wird das ganzzahlige Teil separat (links von der Zahl) und der Zahl wird in die Zero Ganzzahl geschrieben. Wenn beim Multiplizieren eine Zahl mit einer Null-Ganzzahl erhalten wird, wird Null nach links geschrieben. Der Multiplikationsvorgang wird fortgesetzt, bis der fraktionierte Teil nicht reiner Null ergibt oder nicht die erforderliche Anzahl von Entladungen erhält. Aufnahme Fett-Zahlen (Abb. 4) Von oben nach unten handeln wir die gewünschte Anzahl im Binärzahlsystem: 0. 0011011 .

Folglich können Sie schreiben:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Beispiel 8 . Wir übersetzen die Nummer 0.125 aus dem Dezimalzahlsystem auf Binary SS.

		0.125
	x.	2
0		0.25
	x.	2
0		0.5
	x.	2
1		0.0

Um die Anzahl von 0,125 der Dezimalstelle in ein Binär zu bringen, wird diese Zahl mit 2 multipliziert. In der dritten Stufe erwies sich in der dritten Stufe 0. Daher stellte sich das folgende Ergebnis heraus:

0.125 10 =0.001 2 .

Beispiel 9 . Wir übersetzen die Zahl von 0,214 vom Dezimalzahlsystem auf Hexadezimal-SS.

		0.214
	x.	16
3		0.424
	x.	16
6		0.784
	x.	16
12		0.544
	x.	16
8		0.704
	x.	16
11		0.264
	x.	16
4		0.224

Nach den Beispielen 4 und 5 erhalten wir die Zahlen 3, 6, 12, 8, 11, 4, aber in hexadezimalem CC entsprechen die Zahlen 12 und 11 der Zahl C und B. Daher haben wir:

0,214 10 \u003d 0,36 c8b4 16.

Beispiel 10 . Wir übersetzen die Zahl 0.512 von einem Dezimalzahlsystem in der Oktal-SS.

		0.512
	x.	8
4		0.096
	x.	8
0		0.768
	x.	8
6		0.144
	x.	8
1		0.152
	x.	8
1		0.216
	x.	8
1		0.728

Empfangen:

0.512 10 =0.406111 8 .

Beispiel 11 . Wir übersetzen die Nummer 159.125 von einem Dezimalzahlensystem auf Binary SS. Dazu übersetzen wir separat einen ganzzahligen Teil der Zahl (Beispiel 4) und den fraktionierten Teil der Zahl (Beispiel 8). Als nächstes erhalten wir das Zusammenführen dieser Ergebnisse:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Beispiel 12 . Wir übertragen die Nummer 19673.214 von einem Dezimalzahlensystem in Hexadezimal. Dazu übersetzen wir separat einen ganzzahligen Teil der Zahl (Beispiel 6) und den fraktionierten Teil der Zahl (Beispiel 9). Als nächstes erhalten wir die Kombinationsergebnisse.

Antwort: 3).Lösung: Die leitende Entladung der Binäräquivalent Anzahl 83 beträgt 6, da 2 6 \u003d 64. Dies ist der maximale Grad an zweit, der weniger als die angegebene Anzahl ist. 83-64 \u003d 19 bedeutet, dass sich die nächste Einheit in der 4. Kategorie befindet. 19-16 \u003d 3. 3-2 \u003d 1 ist diese Einheit in einer Nullentladung, und die Zahl 2 ist eine Einheit in der ersten Entladung auf diese Weise, die Einheiten sind in 0, 1, 4, 6 entlädt, in der Verbleibende Entladungen - Nullen. Wir erhalten 1010011 2.

Berechnen Sie die Anzahl der Binärzahlen x. und y., wenn ein

x.=1010101 2

Antwort: 2).Lösung: Erinnern Sie sich, dass 1 2 + 1 2 \u003d 10 2, daher 1010101 2

Antwort: 3, 7, 21.

Option 2006.

Die Anzahl der signifikanten Nullen in der Binärzeichnung der Dezimalzahl 126 ist gleich

Antwort: 4).Lösung: x \u003d 1D 16 \u003d 11101 2, y \u003d 111010 2 11101 2

B1.

In dem Zahlensystem mit einer bestimmten Basis wird die Zahl 17 als 101 geschrieben. Geben Sie diese Basis an.

Antwort: Base \u003d 4.Lösung: 17: 4 \u003d 4, Rückstand 1, 4: 4 \u003d 1, Rückstand 0. Wir schreiben die letzten privaten und alle Überreste in umgekehrter Reihenfolge auf. Wir bekommen 101.

Option 2007.

A4.

Wie viele Einheiten in der binären Aufzeichnung der Nummer 195?

Antwort: 3).Lösung: 10 8 \u003d 1000 2, 1000 2 · 10 2 \u003d 10000 2, 10 16 \u003d 1000 2 Als Ergebnis von Addition 10000 2 + 10000 2 \u003d 100000 2

Oder übertragen Sie den Expression10 16 + 10 8 · 10 2 in ein Dezimalzahlensystem. Erhalten

16 + 8 · 2 \u003d 16 + 16 + 32 \u003d 100000 2

B1.

Geben Sie durch das Komma in der Reihenfolge der Erhöhung aller Basen der Zahlensysteme an, in der die Aufzeichnung der Zahl 22 an 4 endet.

Antwort: 6, 9, 18.Lösung: Um eine Zahl von einem Dezimalzahlsystem auf andere Weise zu übertragen, ist es notwendig, diese Nummer auf die Basis des gewünschten Nummernsystems zu teilen. Mit der ersten Division erhalten wir in den Rest der Integer-Division die letzte Zahl der gewünschten Nummer. Fig. 4 wird im Rückstand erhalten, indem die Anzahl von 22 auf 6, 9, 18 geteilt wird.

Option 2008.

EIN.4 Wie viele Einheiten in binärer Aufzeichnung der Dezimalzahl 194.5?

1) 5 2) 6 3) 3 4) 4

Antwort: 4).Entscheidung: Der ganzzahlige Teil der Anzahl. Die leitende Entladung des Binäräquivalents der Zahl 194 beträgt 7, als 2 7 \u003d 128. Dies ist der maximale Grad an zweit, der weniger als die angegebene Anzahl ist. 194-128 \u003d 66 bedeutet, dass sich die nächste Einheit in der 6. Kategorie befindet. 66-64 \u003d 2, diese Einheit - in der ersten Entladung, somit ist es im gesamten Teil der Anzahl der Einheiten 1, 6, 7 in den verbleibenden Entladungen - Nullen. Wir erhalten 11000010 2. Bruchteil Die Dezimalzahl 0,5 beträgt 0,1 2, da die Binäreinheit in -1 Entladung 2 -1 dezimal ist, dh 0,5. Wir bekommen 194.5 \u003d 11000010,1 2

Wie verschieben Sie eine Privilez-Dezimalstelle auf ein anderes Positionsnummernsystem?

Um die rechte Dezimalzahl dpobi zu übertragen F. auf den Niveau der Basis q notwendig F. Mal q , in demselben Dezimalsystem aufgezeichnet, dann fraktionierter Teil der resultierenden Arbeit wieder multipliziert von q, Bis zum doppelten Teil des nächsten Klicks ist kein neugieriger Null, oder die erforderliche Genauigkeit der Anzahl der Anzahl wird nicht erreicht F. im q- Amtssystem. Darstellung des fraktionierten Teils der Anzahl F. In dem neuen Nummernsystem wird eine Reihenfolge der ganzen Zahlen der erhaltenen Werke in der Reihenfolge ihrer Quittung aufgenommen und ein q- Freund. Wenn die erforderliche Übersetzungsgenauigkeit F. bilden k. Nach den Semikolons ist der Absolutfehler des Grenzwerts gleich q - (k + 1) / 2.

EIN.5 Berechnen Sie die Anzahl der Zahlen x. und y,zum x. \u003d A6 16, y. = 75 8 .

Bereiten Sie das Ergebnis in einem binären Nummernsystem vor.

Antwort: 3).Entscheidung: x. \u003d A6 16 \u003d 10100110 2, y. = 75 8 = 111101 2 10100110 2

B.1 Geben Sie in der Reihenfolge der Erhöhung durch das Komma, alle Basen der Zahlensysteme, in denen die Aufzeichnungsnummer 23 auf 2 endet.

Antwort: 3, 7, 21.Lösung: Um eine Zahl von einem Dezimalzahlsystem auf andere Weise zu übertragen, ist es notwendig, diese Nummer auf die Basis des gewünschten Nummernsystems zu teilen. Mit der ersten Division erhalten wir in den Rest der Integer-Division die letzte Zahl der gewünschten Nummer. Zwei im Rückstand wird erhalten, indem die Zahl 23 auf 3, 7, 21 geteilt wird.

Option 2009.

A3.Es wird a \u003d D7 16, B \u003d 331 8 gegeben. Welche der Zahlen vonAufgenommen im Binärsystem erfüllt die Bedingung eIN.< c.< b.?

1) 11011001 2) 11011100 3) 11010111 4) 11011000

Antwort: 4).Lösung: A \u003d 11010111 2

Vier leitender Entlastung aller Antworten und Zahlen eIN. und b. Gleiches, also werden wir die Summe der Gewichte der jüngeren vier Ziffern vergleichen. Es ist für eIN. - 7 10, für b. - 9 10, wir suchen eine Antwort mit einer Zahl von 8 10 in 4 jüngsten Entladungen. Dies ist 1000 2, dh die 4. Version der Antwort.

EIN.4 Was ist die Anzahl der Zahlen 43 8 und 56 16?

1) 121 8 2) 171 8 3) 69 16 4) 1000001 2

Antwort: 2).Entscheidung:

43 8 = 100011 2 56 16 = 1010110 2 1010110

1111001 2 = 171 8

B.3 Geben Sie durch das Komma an, um alle Dezimalzahlen zu erhöhen, höchstens 25 der Aufzeichnungen, deren Aufzeichnungen in dem Zahlensystem mit der Basis vier endet, endet an 11.

Antwort: 5, 21Lösung: Unter Dezimalzahlen\u003e 4 und<25 остаток 1 Wenn auf 4 (die letzte Ziffer der Zahl in dem Zahlensystem mit der Basis 4) nur in Zahlen 5, 9, 13, 17, 21 geteilt wird. Die letzten beiden Ziffern 11 anhang zielt nur auf 4 nur in der Zahl ab 5 (Rückstand 1 und privat 1) und in der Zahl 21 (Erste und zweite Remnants \u003d 1, das heißt, die beiden letzten Ziffern)

Oder einfacher:

11 4 = 4 1 + 4 0 = 5

111 4 = 4 2 + 5 = 21

1011 4 = 4 3 + 21 > 25

Option 2010.

EIN.1

Antwort: 2)Lösung: A \u003d 10011101 2

Es ist ersichtlich, dass die Nummer 4) nicht geeignet ist, es ist größer als B, mehr A und weniger B nur Nummer 2)

EIN.4

Berechnen Sie die Summe der Zahlen x und y, wenn

Bereiten Sie das Ergebnis in binärer Form vor.

Antwort: 4) Lösung: x \u003d 110111 2 \u003d 67 8

X + y \u003d 67 8 +135 8 \u003d 224 8 \u003d 10010100 2

EIN.11

Zur Übertragung über den Kommunikationskanal wird die Meldung, die nur aus den Symbolen A, B, B und G besteht, von nahtloser Codierung verwendet: A-00, B-11, B-010, MR.11. Eine Nachricht wird über den Kommunikationskanal übertragen: WAGBGV. Codieren Sie die Nachricht an diesen Code. Die resultierende Binärsequenz wird in eine hexadezimale Ansicht übertragen.

Um zu verstehen, wie der Computer denkt, beginnen Sie von Anfang an von Anfang an. Der Computer ist in der Tat viel Elektronik, zusammengebaut in der richtigen Reihenfolge. Und die Elektronik (vor dem hinzugefügten Programm) versteht nur einen: Es ist ein- oder ausgeschaltet, es gibt ein Signal oder kein Signal.

Normalerweise ist "Es gibt ein Signal" mit einem, und "kein Signal" - Null: Daher der Ausdruck, den "der Computer in der Sprache von Nullen und Einheiten spricht."

Diese Sprache von Nullen und Einheiten werden als ein anderes Binärnummernsystem bezeichnet - da es nur zwei Ziffern gibt. Unser übliches Nummernsystem ist dezimal, zehn Ziffern (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Es gibt jedoch viele andere - Oktal, fünf, elf und andere Weise.

Wir haben kein zahlen"Zehn", richtig? Nummer 10 besteht aus zwei zahlen - 1 und 0.

In gleicher Weise in einem fünfstündigen Nummernsystem gibt es keine Ziffer "5", nur 0, 1, 2, 3 und 4.

Betrachten Sie in einem fünffachen System: 0, 1, 2, 3, 4, 10 , 11, 12, 13, 14, 20 , 21, 22, 23, 24, 30 , 31, 32, 33, 34, 40 , 41, 42, 43, 44, 100 (!!!), 101, 102 usw. Man kann gesagt werden, dass als Zahlensystem aufgerufen wird, gibt es keine solche Ziffer darin. Unser Dezimalstelle gibt es keine Ziffer "10", es gibt keine Zahlen "5" (und das alles danach), in der Oktal - "8" und so weiter.

Und in Hexadezimal "16", zum Beispiel, ist! Daher sind wir für uns noch schwieriger, das sechzehntentige System zu verstehen. Betrachten wir in Hexadezimal:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10 , 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1a, 1b, 1c, 1d, 1e, 1f, 20 21, 22 ... 97, 98, 99, 9A, 9B, 9C, 9D, 9E, 9F, A0., A1, A2 ... F7, F8, F9, FA, FB, FC, FD, Fe, FF, 100 , 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 10A, 10B, 10C usw.

Das binäre Nummernsystem sieht jedoch auch Fremder für ungewöhnliche Look aus:

0, 1, 10 , 11, 100 , 101, 110, 111, 1000 , 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000 , 10001…

Das geht um solche Zahlen und denkt den Computer irgendwo in sich selbst. Aber die Person in solchen Zahlen, um völlig unangenehm zu denken, also verwandeln wir die Zahlen von Binärer in ein komfortableres Nummernsystem.

In Computerprogrammen werden odensickere und hexadezimale Systeme häufig verwendet: Der Computer ist leicht zu verstehen (da 8 \u003d 2 * 2 * 2, 16 \u003d 2 * 2 * 2 * 2, und mit einem binären Systemcomputer ist der Bekannter anfangs ), und für Menschen ist es bequem, denn näher an der üblichen Dezimalzahl.

So übersetzen Sie Zahlen von einem Nummernsystem zum anderen? Um das Prinzip zu verstehen, werden wir mit Ihnen lieben, mit Süßigkeiten umgehen.

Und auf den Süßigkeiten werden wir die Nummer 33 in das Oktalnummernsystem übersetzen. Wir entscheiden, dass die Einheiten selbst Süßigkeiten sind, und Dutzende sind Kästen, von denen jeder zehn Bonbons liegt. Daher stellt sich heraus, dass 33 3 Kartons mit 10 Bonbons und 3 mehr Süßigkeiten irgendwo an der Seite ist.

Wir übersetzen jedoch unseren Süßwarenvermögen in das Oktalzahlensystem, was bedeutet, dass wir alle Bonbons von Kisten von 10, in den Feldern von 8 gefaltet werden müssen, und sehen, was davon kommen wird.

Von den 33, 4 vollen Oktalkästen und 1 Süßigkeiten bleiben an sich selbst, seit 33/8 \u003d 4 (OST. 1). Das ist 33 \u003d 8 * 4 +1 - Also in dem Oktalnummernsystem wird die Zahl erhalten 41 .

33 In der Dezimalzahl - es ist 41 in der Oktal. Dies ist die gleiche Nummer, die gerade von verschiedenen Boxen entfaltet ist, in eine andere Basis übersetzt. Die Anzahl der Süßigkeiten änderte sich nicht, wir haben sie nur anders als anders angesehen!

Das Binärsystem, wie wir bereits aussehen, seltsam und ungewöhnlich für den menschlichen Aussehen. Versuchen wir, 33 auf Binary zu übersetzen. Es stellt sich bereits 16 Boxen 2 heraus! Und was zu tun? Das Schreiben von 16 ist irgendwie seltsam, erinnert sich daran, dass es nur null und eins im binären System gibt, und die Seistern, die wir für sechzehn brauchen, sind nicht genau nicht!

Schauen wir uns unser Dezimalsystem an. Darin betrachten wir Dutzende - 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 - und wenn wir zehn Dutzende haben, erhalten wir eine große Kiste - 100.

Wir haben 100 - es ist 10 * 10, 1000 - 10 * 10 * 10, 10 000 bis 10 * 10 * 10 * 10 und so weiter. Für andere Nummernsysteme funktioniert es auf dieselbe Weise! Im Oktalsystem 100 \u003d 8 * 8, 1000 \u003d 8 * 8 * 8; in binären 100 \u003d 2 * 2 und 1000 \u003d 2 * 2 * 2; Und in Hexadezimal (es gibt solche, erinnern Sie sich?) 100 \u003d 16 * 16, 1000 \u003d 16 * 16 * 16.

Hier verwenden wir Abschlüsse. Wenn Sie sie noch nicht in der Schule bestanden haben, haben Sie keine Angst, die Grade sind sehr einfach. Die Zahl in Abschluss ist die Zahl, wie oft von sich selbst multipliziert wird. Das ist 5 3 \u003d 5 * 5 * 5 ( fünf im dritte Grad ist fünf, drei Multiplizieren multipliziert von selbst: 5 * 5 * 5) oder 8 5 \u003d 8 * 8 * 8 * 8 * 8 ( acht im fünfte Grad ist acht, fünf Einmal multipliziert an sich selbst: 8 * 8 * 8 * 8 * 8).

Wenn wir uns an unsere 10.000 \u003d 10 * 10 * 10 * 10 in Dezimalstelle und 1000 \u003d 8 * 8 * 8 in der Oktal erinnern, kann leicht darauf hingewiesen werden, wie viele Nullen, so oft und sich selbst multiplizieren. Mit anderen Worten, die Anzahl der Zeichen unter dem Minus ist der Grad, in dem die Stiftung errichtet werden muss. Unter 1000 haben wir vier Charaktere, es bedeutet, sich zu multiplizieren 4–1 Das ist dreimal. Wenn die Basis 10 ist, dann sind tausend 10, dreimal von selbst multipliziert: 10 * 10 * 10. Wenn die Basis 8 ist, dann sind tausend 8, dreimal multipliziert von selbst: 8 * 8 * 8.

All dies begannen, zu reden, und versuchten, 33 in das Binärsystem zu übersetzen. Nur so teilen Sie diese Zahl auf den Boxen 2, die sich als schwierig erwiesen haben. Wenn Sie sich jedoch an unsere Hunderte, Tausende erinnern, können Sie denken: aber in binären 100 \u003d 2 * 2, 1000 \u003d 2 * 2 * 2, 10 000 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 und so weiter.

Um vom Dezimalsystem auf Binary zu übertragen, um sich an den Grad von Twos zu erinnern. Es kann sogar gesagt werden, dass ohne diese Tricks mit Grad müde sein werden, wir werden schmuggeln und leicht verrückt werden. Und Desinnte sehen so aus wie etwas:

Jetzt, Blick auf den Teller, sehen wir, dass 33 \u003d 2 5 +1, dh 33 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 + 1. Denken Sie daran - wie oft wir uns multiplizieren, so viel werden Nullen sein - das heißt, unser 2 * 2 * 2 * 2 * 2 beträgt 100.000 im Binärsystem. Ich werde den Rest des Geräts nicht vergessen, und das stellt sich das heraus 33 in der Dezimalzahl ist 100001 in Binärer. Richtig und schön ist es so geschrieben:

33 10 =100001 2

Lassen Sie uns (um sehr gut verstehen) in der binären Systemnummer 15.

1. Zunächst schauen wir uns das Tablet an.

a) Was ist der 15. Nummer in der Nähe? Nein, 16 passt nicht, es ist mehr, und wir brauchen das nächste, was weniger ist. Es stellt sich heraus, dass es 8 ist, das ist 2 3 Das heißt, 2 * 2 * 2.

b) acht Bonbons von 15 demontiert, blieb es - 15-8 - sieben. Was ist die nächste Nummer von der Platte? Nein, acht wird nicht wieder anpassen, siehe oben. Vier geeignet, das ist 2 2 Das heißt, 2 * 2.

c) vier der sieben Bonbons zerlegt, links - 7-4 - drei. Von der Platte verstehen wir, dass die nächste Zahl 2 ist, das ist 2 1 Das heißt, nur 2.

d) drei minus zwei - blieben 1 Süßigkeiten, hier gibt es keine Kammer. In den Anzeichen dieser Art können Sie nicht aussehen, wann Ihr Rückstand weniger als die Basis ist, und unsere Einheit ist genau weniger als zwei.

1. Wir sammeln alles in der Platte zusammen: 15 \u003d 2 3 + 2 2 + 2 1 + 1, ist: 15 \u003d 2 * 2 * 2 + 2 * 2 + 2 + 1.
2. Im binären System 2 * 2 * 2 \u003d 1000, 2 * 2 \u003d 100, 2 \u003d 10, erinnern Sie sich? Und wir erhalten 1000 + 100 + 10 + 1, dh 1111.
3. So,

15 10 =1111 2

Wenn Sie nur all diese Schritte ansehen, scheint es nur eine Kumpel aus Haufen verschiedener seltsamer schriftlicher Zahlen. Und werden all dies zum ersten Mal verwechselt - normalerweise. Und in der zweiten und dem dritten. Versuchen Sie es einfach noch einmal zu tun - um Schritte, wie oben geschrieben, und alles wird ausarbeiten.

Und im Gegenteil, es funktioniert auch! Zum Beispiel die Nummer 11010101 2 - Wie kann man ein klares Dezimalstellen daraus machen? Auf dieselbe Weise, mit der Platte. Lass uns vom Ende gehen:

1*2 0 +0*2 1 +1*2 2 +0*2 3 +1*2 4 +0*2 5 +1*2 6 +1*2 7 =

1*1+0*2+1*4+0*8+1*16+0*32+1*64+1*128=

1+0+4+0+16+0+64+128=213

11010101 2 = 213 10

So versteht der Computer die, die uns vertraut ist.

Wenn Sie dies zum ersten Mal ansehen, scheint es, dass dies zuerst völlig unverständlich ist, und zweitens wird es überhaupt nicht funktionieren. Daher werden wir jetzt etwas mathematische Magie mitnehmen, um sicherzustellen, dass das Nummernsystem derselbe ist wie ein echtes Ding, wie zum Beispiel die Aufgabe, fünf Kinder bis fünfzehn Leberleber zu ergeben. "

Nehmen Sie also ein Beispiel 15+6 Und lösen Sie es in verschiedenen Aufpreissystemen. Es ist klar, dass es in unserer Dezimalstelle 21 funktioniert. Und was wird zum Beispiel in der Oktal eins kommen?

Übertrag 15 auf ein Oktalnummernsystem. Wir haben den ersten Schritt, wenn wir auf ein anderes System übersetzen, um das Zeichen der Grade zu betrachten. 8 2 - Es ist schon 64, und in 15 wird es definitiv nicht passen, also nehmen wir 8 1 - das heißt, es ist einfach 8. 15-8 \u003d 7, es ist weniger als unsere Basis 8, also tun wir nichts mit es.

So stellte sich das heraus 15=8 1 +7 .

In dem Oktalsystem ist die Logik genau das gleiche wie zum Beispiel in Binär: 8 3 ist 1000, 8 2 - es ist 100, 8 1, 10 ist herausgestellt, dass:

15 10 =17 8

Lassen Sie mich Sie daran erinnern, unser Beispiel betrug 15 + 6. 15 Wir wurden in das Oktalsystem übertragen, wie man 6 übersetzt? Es ist weniger als 8, unsere Stiftung, also ist die Antwort, wie es ist. Unser Beispiel sieht jetzt so aus:

15 10 +6 10 =17 8 +6 8

Jetzt werden wir im achtlichen Zahlensystem gefaltet. Wie es gemacht wird? Genau wie in der Dezimalzahl, aber es sollte daran erinnert werden, dass die Top Ten im Oktalsystem acht und nicht zehn sind, und dass 8 und 9 nicht darin existieren.

Wenn wir im Dezimalsystem betrachten, tun wir dies in der Tat:

15+6=15+5+1=20+1=21

Versuchen wir den gleichen Fokus im Oktalsystem:

17 8 +6 8 =17 8 +1 8 +5 8 =20 8 +5 8 =25 8

Warum 17 + 1? Weil 7 + 1 \u003d 8 und 8 - das sind unser Dutzend! In dem Oktalsystem 7 + 1 \u003d 10 und damit 17 + 1 \u003d 20. Wenn an dieser Stelle Ihr Gehirn den Alarm schlägt und sagt, dass etwas hier falsch ist, gehen Sie zum Anfang des Artikels zurück, wo wir in verschiedenen Chirurgie-Systemen berücksichtigt werden.

Jetzt sieht unser Beispiel aus

15 10 +6 10 =17 8 +6 8 =25 8

Wir übersetzen 25 8 zurück in unser Zahlensystem. In der Dezimalzahl würden wir die Zahl 25 sehen, könnte sagen, dass es zwei Dutzend und fünf Einheiten darin gibt. In der Oktal, wie Sie wahrscheinlich schon erraten haben, sind die Zahl 25 8 zwei acht und fünf Einheiten. Das heißt, 25 8 \u003d 2 * 8 + 5 \u003d 21 10.

Unser Beispiel ist also ganz:

15 10 +6 10 =17 8 +6 8 =25 8 =21 10

Es stellte sich genau das gleiche 21 heraus, was zu Beginn bei uns passierte, als wir mit 15 + 6 mit üblicherweise in einem Dezimalsystem gezählt haben.

Die arithmetischen Regeln ändern sich nicht von der Tatsache, dass wir ein anderes Nummernsystem gewählt haben.

Daher verliert der Computer, das alles in Nullen und Einheiten übersetzt, das für uns unverständlich und sinnlos aussehen, nicht die Informationen, die wir ihm gegeben haben, und kann es in einem bequemen Formular berücksichtigen, um das Ergebnis zu geben, indem er sie zurückträgt zum üblichen Look.

Gegenstand: Nummerierungssysteme und binäre Informationsansicht im Computerspeicher.

Theorie:

· Algorithmus für Übersetzungsnummern zwischen Dezimal-, Binär-, Oktal- und Hexadezimaloperationssystemen

· Darstellung negativer Ganzzahlen im Speicher im Binary-Zusatzcode:
1 Weg:

1. Übersetzen Sie eine Nummer in ein binäres Nummernsystem,

2. Invertieren von Bits: Ersetzen Sie Nullen pro Einheiten und Einheiten in den Zeros innerhalb des Entladungsnetzs,

3. Stellen Sie 1 auf das Ergebnis ein, übertragen Sie 1 auf die nächste Entladung bei 2 Einheiten.

2-Wege:

1. Reduzieren Sie die Nummer 1 und übersetzen Sie eine Zahl in ein binäres Nummernsystem,

2. Machen Sie Bit-Inversion.

Regeln für das Lob der Zahlen im Binärsystem:

1. Die geraden Zahlen endet um 0, ungerade - um 1;

2. Die Zahlen, die durch 4 geteilt werden, endet um 00 und so weiter; Zahlen, die in 2K unterteilt sind, endet an k. Zerule

3. Wenn die Nummer n zum Intervall 2k-1 £ n gehört< 2k, в его двоичной записи будет всего k. Zahlen zum Beispiel für die Anzahl 125 :

ich. 26 \u003d 64 £ 125 < 128 = 27, 125 = 11111цифр)

4. Die Nummern des 2K-Typs werden im Binärsystem als Einheit aufgenommen und k. Zeros zum Beispiel:

5. 16 = 24 = 100002

6. Die Zahlen des 2K-1-Typs sind im Binärsystem geschrieben. k. Einheiten zum Beispiel:

7. 15 = 24-1 = 11112

wenn eine binäre Aufzeichnung von n Number N bekannt ist, kann dann die zweizeitige binäre Aufzeichnung der Zahl 2 · N leicht erhalten werden, indem beispielsweise an das Ende von Null zugeordnet werden kann:
15 = 11112, 30 = 60 = 1 120 =

I. Zahlen. A1_1.

1) Wie wird die Nummer 8310 im Binärnummernsystem angezeigt?

1) 100103) 10100

Lösung (Option 1, Abteilung basierend auf dem ZiffernsystemN.):

2) Seilen Sie die Zahl 83 nacheinander um 2 \u003d þ 3.

Entscheidung (Option 2, Zersetzung der Höhe des Grades):

1) Wir stellen die Anzahl der Grad-Erfassungen vor: 83 \u003d 64 + 16 + 2 + 1 \u003d 26 + 24 + 21 + 20 þ 3.

2) Wie wird die Nummer 25 im Binärnummernsystem angezeigt?

3) Wie ist die Nummer 82 in einem binären Nummernsystem?

4) Wie wird die Nummer 263 in dem achsenen Nummernsystem angezeigt?

5) Wie ist die Nummer 5678 im Binärnummernsystem?

6) Wie ist die Anzahl von A8716 im achtlichen Zahlensystem geschrieben?

7) Wie ist die Anzahl von 7548 in einem Hexadezimalzahlensystem geschrieben?

1) 73AEC16 4) A5616

II. Wie viele Einheiten (binäres System). A1_2.

1) Wie viele Einheiten in der binären Aufzeichnung der Nummer 1025?

Option 1, direkte Übersetzung:

1) Übertragen Sie die Nummer 1025 auf das Binärsystem: 1025 \u003d

2) Wir betrachten "1" þ 2.

Option 2, Zersetzung der Erkennungsbetrag zwei:

1) Präsentieren Sie die Anzahl der Erfassungen der beiden: 1025 \u003d 1024 + 1 \u003d 210 + 20,

2) Wie viele in der Menge anderer erfasst, sind zwei so viele "1" þ 2.

2) Wie viele Einheiten in der binären Aufzeichnung der Nummer 195?

3) Wie viele Einheiten in der binären Aufzeichnung der Nummer 173?

4) Wie viele Einheiten in der binären Aufzeichnung der Nummer 64?

5) Wie viele Einheiten in der binären Aufzeichnung der Zahl 127?

6) Wie viele bedeutet Nullen in der binären Aufzeichnung der Nummer 48?

7) Wie viele bedeutet Nullen in der binären Aufzeichnung der Zahl 254?

III. Beziehungen. A1_3.

1) Dano. : ICH. . Welche der Zahlen mitaufgenommen im Binärnummernsystem erfüllt erfüllt Ungleichheit eIN. < c. < b. ?

1) 110110

Entscheidung:

1. Übersetzen Sie alle Zahlen in das gleiche Nummernsystem und vergleichen Sie sie

2. auswahl des Nummernsystems -

ein. Mindestübersetzungsvorgänge,

b. Einfache Analyse der erhaltenen Zahlen (2)

Option 1 - Dezimalsystem:

3) = 217, 2= 220, = 215, =216

4) Die richtige Antwort beträgt 216 þ - 4.

Option 2 - Binäres System:

1) (jede Ziffer eines Hexadezimalsystems separatin vier binäre übersetzt - tetradsenior Nullen können nicht schreiben);

2) (Jede Ziffer des Oktalsystems separatin drei binäre übersetzt - triad. , ältere Nullen können nicht schreiben);

3) Wir analysieren die erste Zahl von der älteren in der jüngeren Kategorie, wir ordieren hervorragende Teile der Zahl BR \u003d 10012, AR \u003d 01112, von hier der Zahl zwischen - 1000, der richtigen Antwort - þ 4.

Option 3 - Oktische / Hexadezimalsysteme:

1) Für 8 - Sie müssen die binäre Aufzeichnung von Zahlen von 0 bis 7 kennen, die binäre Aufzeichnung der Zahl ist in Triaden unterteilt von rechts nach linksIch übersetze jeden Triad separat im Dezimalsystem;

2) Für den 16. - Sie müssen die binäre Aufzeichnung von Zahlen von 8 bis 15 kennen, die binäre Aufzeichnung der Zahl ist in Notebooks unterteilt von rechts nach linksJedes Tetrad wird in ein Hexadezimalsystem übersetzt. In diesem Fall können die Tetrads aus dem Binärsystem in übersetzt werden dezimalund ersetzen Sie dann alle Zahlen, groß 9, in den Buchstaben - A, B, C, D, E, F);

2) Danar: https://pandia.ru/text/78/108/images/image008_14.gif "Breite \u003d" 59 "Höhe \u003d" 24 SRC \u003d "\u003e .. GIF" WIDTH \u003d "60" Höhe \u003d "24 SRC \u003d "\u003e. GIF" Width \u003d "65" Höhe \u003d "19 SRC \u003d"\u003e?

4) Danar: https://pandia.ru/text/78/108/images/image013_7.gif "Breite \u003d" 59 "Höhe \u003d" 24 SRC \u003d "\u003e .. GIF" WIDTH \u003d "57" Höhe \u003d "24 SRC \u003d "\u003e. GIF" Width \u003d "65" Höhe \u003d "19 SRC \u003d"\u003e?

6) Danar: https://pandia.ru/text/78/108/images/image017_4.gif "Breite \u003d" 57 "Höhe \u003d" 24 SRC \u003d "\u003e ... GIF" Width \u003d "59" Höhe \u003d " 24 SRC \u003d "\u003e. GIF" Width \u003d "65" Höhe \u003d "19 SRC \u003d"\u003e?

8) Danar: https://pandia.ru/text/78/108/images/image021_4.gif "width \u003d" 57 "Höhe \u003d" 24 SRC \u003d "\u003e .. GIF" Breite \u003d "59" Höhe \u003d "24 SRC \u003d "\u003e. GIF" Width \u003d "65" Höhe \u003d "19 SRC \u003d"\u003e?

10) Danar: https://pandia.ru/text/78/108/images/image013_7.gif "width \u003d" 59 "Höhe \u003d" 24 SRC \u003d "\u003e .. GIF" Breite \u003d "59" Höhe \u003d "24 SRC \u003d "\u003e. GIF" Width \u003d "65" Höhe \u003d "19 SRC \u003d"\u003e?

12) Danar: https://pandia.ru/text/78/108/images/image015_4.gif "Breite \u003d" 59 "Höhe \u003d" 24 SRC \u003d "\u003e .. GIF" Breite \u003d "59" Höhe \u003d "24 SRC \u003d "\u003e. GIF" Width \u003d "65" Höhe \u003d "19 SRC \u003d"\u003e?

14) Danar: https://pandia.ru/text/78/108/images/image029_3.gif "Breite \u003d" 55 "Height \u003d" 24 src \u003d "\u003e. Welche der Nummern mit in das Binärnummernsystem erfüllt das Binärzählungssystem Ungleichung ??

19) Welche Zahl ist das kleinste?

20) Welche Zahl ist der größte?

IV. Erinnerung. A1_4.

1. Eine Ganzzahl mit einem Zeichen mit einem Byte speichern. Wie viele Einheiten enthalten eine interne Darstellung der Zahl (-78)?

Variante 1.

1) Wir übersetzen 78 auf das Binärzahlensystem, indem wir "Nullen" auf 8 Bits an die älteren Entladungen hinzufügen:

78 = 64 + 8 + 4 + 2 = 26 + 23 + 22 + 21 = 0

3) Einheit hinzufügen: + 1 \u003d;

4) Bei der Aufzeichnung der Anzahl der Nummer 4 þ Antwort - 2.

Option 2.

1) Reduzieren Sie die Nummer 1, wir übersetzen in ein binäres Nummernsystem, indem wir "Nullen" auf 8 Bits in älteren Entladungen hinzufügen

77 = 64 + 8 + 4 + 2 = 26 + 23 + 22 + 20 = 0

2) Wir machen Bit-Inversion (ersetzen Sie überall 0 bis 1 und 1 bis 0):

3) Bei der Aufzeichnung der Nummer 4 Einheiten þ Antwort - 2.

2. Eine Ganzzahl mit einem Zeichen mit einem Byte speichern. Wie viele Einheiten enthalten eine interne Darstellung der Nummer (-128)?

3. Um eine Ganzzahl mit einem Zeichen mit einem Byte zu speichern. Wie viele Einheiten enthalten eine interne Darstellung der Anzahl (-35) ?