Таблица перевода из одной системы счисления в другую. Перевод чисел в различные системы счисления с решением
Способы перевода чисел из одной системы счисления в другую.
Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую: перевод целых чисел.
Чтобы перевести целое число из одной системы счисления с основанием d1 в другую с основанием d2 необходимо последовательно делить это число и получаемые частные на основание d2 новой системы до тех пор, пока не получится частное меньше основания d2. Последнее частное - старшая цифра числа в новой системе счисления с основанием d2, а следующие за ней цифры - это остатки от деления, записываемые в последовательности, обратной их получению. Арифметические действия выполнять в той системе счисления, в которой записано переводимое число.
Пример 1. Перевести число 11(10) в двоичную систему счисления.
Ответ: 11(10)=1011(2).
Пример 2. Перевести число 122(10) в восьмеричную систему счисления.
Ответ: 122(10)=172(8).
Пример 3. Перевести число 500(10) в шестнадцатеричную систему счисления.
Ответ: 500(10)=1F4(16).
Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую: перевод правильных дробей.
Чтобы перевести правильную дробь из системы счисления с основанием d1 в систему с основанием d2, необходимо последовательно умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание новой системы счисления d2. Правильная дробь числа в новой системе счисления с основанием d2 формируется в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого.
Если при переводе получается дробь в виде бесконечного или расходящегося ряда, процесс можно закончить при достижении необходимой точности.
При переводе смешанных чисел, необходимо в новую систему перевести отдельно целую и дробную части по правилам перевода целых чисел и правильных дробей, а затем оба результата объединить в одно смешанное число в новой системе счисления.
Пример 1. Перевести число 0,625(10) в двоичную систему счисления.
Ответ: 0,625(10)=0,101(2).
Пример 2. Перевести число 0,6(10) в восьмеричную систему счисления.
Ответ: 0,6(10)=0,463(8).
Пример 2. Перевести число 0,7(10) в шестнадцатеричную систему счисления.
Ответ: 0,7(10)=0,В333(16).
Перевод двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в десятичную систему счисления.
Для перевода числа P-ичной системы в десятичную необходимо использовать следующую формулу разложения:
аnan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .
Пример 1. Перевести число 101,11(2) в десятичную систему счисления.
Ответ: 101,11(2)= 5,75(10) .
Пример 2. Перевести число 57,24(8) в десятичную систему счисления.
Ответ: 57,24(8) = 47,3125(10) .
Пример 3. Перевести число 7A,84(16) в десятичную систему счисления.
Ответ: 7A,84(16)= 122,515625(10) .
Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления и обратно.
Для перевода числа из восьмеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа записать трехразрядным двоичным числом (триадой).
Пример: записать число 16,24(8) в двоичной системе счисления.
Ответ: 16,24(8)= 1110,0101(2) .
Для обратного перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления, необходимо исходное число разбить на триады влево и вправо от запятой и представить каждую группу цифрой в восьмеричной системе счисления. Крайние неполные триады дополняют нулями.
Пример: записать число 1110,0101(2) в восьмеричной системе счисления.
Ответ: 1110,0101(2)= 16,24(8) .
Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа записать четырехразрядным двоичным числом (тетрадой).
Пример: записать число 7A,7E(16) в двоичной системе счисления.
Ответ: 7A,7E(16)= 1111010,0111111(2) .
Примечание: незначащие нули слева для целых чисел и справа для дробей не записываются.
Для обратного перевода двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления, необходимо исходное число разбить на тетрады влево и вправо от запятой и представить каждую группу цифрой в шестнадцатеричной системе счисления. Крайние неполные триады дополняют нулями.
Пример: записать число 1111010,0111111(2) в шестнадцатеричной системе счисления.
1. Порядковый счет в различных системах счисления.
В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».
Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.
Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.
Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.
Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.
Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.
Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.
Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.
3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.
Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.
Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:
Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.
Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.
Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.
4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).
Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.
Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:
Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Т.е.
Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.
Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.
Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.
Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:
2.3. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
2.3.1. Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую
Можно сформулировать алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q :
1. Основание новой системы счислениявыразитьцифрамиисходной системы счисления ивсепоследующие действия производить в исходной системе счисления.
2. Последовательно выполнять деление данного числаиполучаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.
3. Полученныеостатки,являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.
Пример 2.12. Перевестидесятичное число 173 10 в восьмеричную систему счисления:
Получаем:173 10 =255 8
Пример 2.13. Перевести десятичное число 173 10 в шестнадцатеричную систему счисления:
Получаем: 173 10 =AD 16 .
Пример 2.14. Перевести десятичное число 11 10 в двоичную систему счисления. Рассмотреннуювыше последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так:
Получаем: 11 10 =1011 2 .
Пример 2.15. Иногда более удобно записать алгоритм перевода в форме таблицы. Переведем десятичное число 363 10 в двоичное число.
|
Делитель |
|||||||||
Получаем: 363 10 =101101011 2
2.3.2. Перевод дробных чисел из одной системысчисленияв другую
Можно сформулировать алгоритм перевода правильнойдроби с основанием p в дробь с основанием q:
1. Основание новой системы счислениявыразитьцифрамиисходной системы счисленияивсепоследующие действия производить в исходной системе счисления.
2. Последовательноумножатьданноечислои получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведенияне станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.
3. Полученные целые части произведений,являющиеся цифрами числа в новой системе счисления,привести в соответствие с алфавитомновой системы счисления.
4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.
Пример 2.17. Перевести число 0,65625 10 в восьмеричную систему счисления.
Получаем: 0,65625 10 =0,52 8
Пример 2.17. Перевести число 0,65625 10 вшестнадцатеричнуюсистему счисления.
|
x 16 |
|
Получаем: 0,65625 10 =0,А8 1
Пример 2.18. Перевестидесятичнуюдробь 0,5625 10 в двоичную систему счисления.
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
Получаем: 0,5625 10 =0,1001 2
Пример 2.19. Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0.7 10 .
Очевидно, чтоэтот процесс может продолжаться бесконечно,давая все новые и новые знакивизображениидвоичногоэквивалентачисла 0,7 10 . Так,за четыре шага мы получаем число 0,1011 2 , а за семь шагов число 0,1011001 2 ,которое является более точным представлениемчисла 0,7 10 в двоичной системе счисления,и т.д.Такой бесконечный процесс обрывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа.
2.3.3. Перевод произвольных чисел
Перевод произвольных чисел,т.е. чисел, содержащих целую и дробную части,осуществляется в два этапа.Отдельно переводится целая часть, отдельно - дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).
Пример 2.20 . Перевести число 17,25 10 в двоичную систему счисления.
Получаем: 17,25 10 =1001,01 2
Пример 2.21. Перевести число 124,25 10 в восьмеричную систему.
Получаем: 124,25 10 =174,2 8
2.3.4. Перевод чисел из системы счисления с основанием 2 в систему счисления с основанием 2 n и обратно
Перевод целых чисел. Если основание q-ичной системы счисления является степеньючисла 2, топереводчисел из q-ичной системы счисления в 2-ичную и обратно можно проводить по более простым правилам. Для того, чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2 n , нужно:
1. Двоичное число разбить справа налево на группы по nцифр в каждой.
2. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.
Пример 2.22. Число 101100001000110010 2 переведем в восьмеричную систему счисления.
Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:
Получаем восьмеричное представление исходного числа: 541062 8 .
Пример 2.23. Число 1000000000111110000111 2 переведем в шестнадцатеричную систему счисления.
Разбиваем числосправа налево на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:
Получаем шестнадцатеричноепредставлениеисходногочисла: 200F87 16 .
Перевод дробных чисел. Длятого,чтобыдробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2 n , нужно:
1. Двоичное число разбить слева направо на группы по nцифр в каждой.
2. Еслив последней правой группе окажется меньше n разрядов,то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число изаписать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2 n .
Пример 2.24. Число0,10110001 2 переведем в восьмеричную систему счисления.
Разбиваем число слева направо на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:
Получаем восьмеричное представление исходного числа: 0,542 8 .
Пример 2.25. Число0,100000000011 2 переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:
Получаем шестнадцатеричноепредставлениеисходногочисла: 0,803 16
Перевод произвольных чисел. Для того, чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2 n , нужно:
1. Целую часть данногодвоичногочисларазбитьсправа налево, а дробную - слева направо на группы по n цифр в каждой.
2. Если в последних левой и/или правой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулямидо нужного числа разрядов;
3.Рассмотретькаждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2 n
Пример 2.26. Число 111100101,0111 2 переведем в восьмеричную систему счисления.
Разбиваем целую и дробную части числа на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:
Получаем восьмеричное представление исходного числа: 745,34 8 .
Пример 2.27. Число11101001000,11010010 2 переведем в шестнадцатеричную систему счисления.
Разбиваем целую и дробную части числа на тетрадыи под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:
Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 748,D2 16 .
Перевод чисел из систем счисления с основанием q=2 n в двоичную систему. Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q=2 n , перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-значным эквивалентом в двоичной системе счисления.
Пример 2.28 .Переведем шестнадцатеричное число 4АС35 16 вдвоичную систему счисления.
В соответствии с алгоритмом:
Получаем: 1001010110000110101 2 .
Задания для самостоятельного выполнения (Ответы )
2.38. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления.
|
Двоичная |
Восьмеричная |
Десятичная |
Шестнадцатеричная |
2.39. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же дробное число должно быть записано в различных системах счисления.
|
Двоичная |
Восьмеричная |
Десятичная |
Шестнадцатеричная |
2.40. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же произвольное число (число может содержать как целую, так и дробную часть) должно быть записано в различных системах счисления.
|
Двоичная |
Восьмеричная |
Десятичная |
Шестнадцатеричная |
|
59,B |
Теги: Система счисления, перевод системы счисления, родственные системы счисления
Изменение основания для позиционных систем счисления
В позиционной системе счисления с основанием q число может быть представлено в виде полинома
… + a 2 ∙q 2 + a 1 q 1 + a 0 ∙q 0 + a -1 ∙q -1 + a -2 ∙q -2 + …
где коэффициенты a i – это цифры системы счисления с основанием q.
Например, в десятичной системе счисления
124.733 = 1∙10 2 + 2∙10 1 + 4∙10 0 + 7∙10 -1 + 3∙10 -2 + 3∙10 -3
Число цифр в системе счисления с основанием q равно q, при этом максимальная цифра равна q - 1. Цифра не может стать равной q, потому что в этом случае произойдёт перенос единицы в новый разряд.
Например, нужно найти минимальное основание системы счисления, в которой записано число 7832. Так как максимальная цифра равна 8, то минимальное значение q = 8 + 1 = 9.
Основанием системы счисления может быть, в принципе, любой число: целое, отрицательное, рациональное, иррациональное, комплексное и т.д. Будем рассматривать только положительные целые основания.
Особый интерес для нас будут представлять основание 2 и основания, являющиеся степенью двойки – 8 и 16.
В случае, если основание с. с. больше десяти, то новые цифры берутся по порядку из алфавита. Например, для 16-ричной системы это будут цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Перевод целой части десятичной системы счисления
Первый способ перевода из десятичной системы счисления в n-ричную заключается в последовательном делении числа на новое основание.
123/12 = 10 (3) 10/12 = 0 (10=A)
Собираем в обратном порядке, сначала последнее значение (это 0), потом сверху вниз все остатки. Получаем 0A3 = A3
4563/8 = 570 (3) 570/8 = 71 (2) 71/8 = 8 (7) 8/8 = 1 (0)
Собираем обратно, получаем 10723
3349 10 → X 16
3349/16 = 209 (5) 209/16 = 13 (1) 13/16 = 0 (13 = D)
Собираем вместе: 0D15 = D15
545/2 = 272 (1) 272/2 = 136 (0) 136/2 = 68 (0) 68/2 = 34 (0) 34/2 = 17 (0) 17/2 = 8 (1) 8/2 = 4 (0) 4/2 = 2(0) 2/2 = 1 (0) 1/2 = 0(1)
Собираем 01000100001 = 1000100001
Перевод на бумаге обычно осуществляется делением в столбик. Пока деление не приведёт к нулю, каждый следующий ответ делится на основание с. с. В конце, из остатков от деления собирается ответ.
Также часто можно перевести число в другую с. с. , если в уме представить его как сумму степеней соответствующего основания, в которое мы хотим перевести число.
Например, 129 очевидно 128 + 1 = 2 7 + 1 = 10000001 2
80 = 81 - 1 = 3 4 - 1 = 10000 - 1 = 2222 3
Перевод в десятичную систему счисления целой части
Перевод осуществляется, используя представление числа в позиционной системе счисления. Пусть необходимо перевести A3 12 → X 10 Известно, что A3 – это 3∙q 0 + A∙q 1 , то есть 3*1 + A*12 = 3 + 120 = 123
10723 8 → X 10
1∙q 4 + 0∙q 3 + 7∙q 2 + 2∙q 1 + 3∙q 0 = 1∙8 4 + 0 + 7∙8 2 + 2∙8 + 3 = 1∙4096 + 7∙64 + 2∙8 + 3 = 4563
D∙16 2 + 1∙16 1 +5∙16 0 = 13∙256 + 16 + 5 = 3349
1000100001 2 → X 10
2 9 + 2 5 + 1 = 512 + 32 + 1 = 545.
Перевод на бумаге обычно осуществляется следующим образом. Над каждой цифрой по порядку пишут номер степени. Затем уже выписывают все слагаемые.
Перевод дробной части из десятичной системы
Во время перевода дробной части часто случается ситуация, когда конечная десятичная дробь превращается в бесконечную. Поэтому обычно при переводе указывается точность, с которой необходимо переводить. Перевод осуществляется путём последовательного умножения дробной части на основание системы счисления. Целая часть при этом откидывается и входит в состав дроби.
0.625 10 → X 2
0.625 * 2 = 1.250 (1) 0.25 * 2 = 0.5 (0) 0.5 * 2 = 1.0 (1)
0 – дальнейшее умножение будет давать только нули
Собираем сверху вниз, получаем 0.101
0.310 → X2 0.3 * 2 = 0.6 (0) 0.6 * 2 = 1.2 (1) 0.2 * 2 = 0.4 (0) 0.4 * 2 = 0.8 (0) 0.8 * 2 = 1.6 (1) 0.6 * 2 = 1.2 (1)
0.2 … получим периодическую дробь
Собираем, получаем 0.0100110011001… = 0.0(1001)
0.64510 → X5 0.645 * 5 = 3.225 (3) 0.255 * 5 = 1.275 (1) 0.275 * 5 = 1.375 (1) 0.375 * 5 = 1.875 (1) 0.875 * 5 = 4.375 (4) 0.375 * 5 = 1.875 (1) …
0.3111414… = 0.311(14)
Перевод дробной части в десятичную систему
Осуществляется аналогично переводу целой части, путём домножения цифры разряда на основание в степени, равной положению разряда в числе.
0.101 2 → X 10
1∙2 -1 + 0∙2 -2 + 1∙2 -3 = 0.5 + 0.125 = 0.625
0.134 5 → X 10
1∙5 -1 + 3∙5 -2 +4∙5 -3 = 0.2 + 3∙0.04 + 4∙0.008 = 0.2 + 0.12 + 0.032 = 0.352
Перевод из произвольной системы счисления в произвольную
Перевод из произвольной системы счисления в произвольную с. с. осуществляется с помощью десятичной с. с.
X N → X M ≡ X N → X 10 → X M
Например
1221201 3 → X 7
1221201 3 = 1∙3 6 + 2∙3 5 + 2∙3 4 + 1∙3 3 + 2∙3 2 + 1 = 729 + 2∙243 + 2∙81 + 27 + 9 + 1 = 1414 10
1414/7 = 202 (0) 202/7 = 28 (6) 28/7 = 4 (0) 4/7 = 0 (4)
1221201 3 → 4060 7
Родственные системы счисления
Системы счисления называют родственными, когда их основания являются степенями одного числа. Например, 2, 4, 8, 16. Перевод между родственными системами счисления можно осуществлять, воспользовавшись таблицей
| 10 | 2 | 4 | 8 | 16 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 000 | 00 | 0 |
| 1 | 0001 | 001 | 01 | 1 |
| 2 | 0010 | 002 | 02 | 2 |
| 3 | 0011 | 003 | 03 | 3 |
| 4 | 0100 | 010 | 04 | 4 |
| 5 | 0101 | 011 | 05 | 5 |
| 6 | 0110 | 012 | 06 | 6 |
| 7 | 0111 | 013 | 07 | 7 |
| 8 | 1000 | 020 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 021 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 022 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 023 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 030 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 031 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 032 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 033 | 17 | F |
Для перевода из одной родственной системы счисления в другую, сначала нужно перевести число в двоичную систему. Для перевода в двоичную систему счисления каждая цифра числа подменяется на соответствующую двойку (для четверичной), тройку (для восьмеричной) или четвёрку (для шестнадцатеричной).
Для 123 4 единица подменяется на 01, двойка на 10, тройка нa 11, получаем 11011 2
Для 5721 8 соответственно 101, 111, 010, 001, итого 101111010001 2
Для E12 16 получим 111000010010 2
Для перевода из двоичной системы следует разбить число на двойки (4-я), тройки (8-я) или четвёрки чисел (16-я), а затем подменить на соответствующие значения.
Замечание 1
Если вы хотите перевести число из одной системы счисления в другую, то удобнее для начала перевести его в десятичную систему счисления, и уже только потом из десятичной перевести в любую другую систему счисления.
Правила перевода чисел из любой системы счисления в десятичную
В вычислительной технике, использующей машинную арифметику, большую роль играет преобразование чисел из одной системы счисления в другую. Ниже приведем основные правила таких преобразований (переводов).
При переводе двоичного числа в десятичное требуется представить двоичное число в виде многочлена , каждый элемент которого представлен в виде произведения цифры числа и соответствующей степени числа основания, в данном случае $2$, а затем нужно вычислить многочлен по правилам десятичной арифметики:
$X_2=A_n \cdot 2^{n-1} + A_{n-1} \cdot 2^{n-2} + A_{n-2} \cdot 2^{n-3} + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$
Рисунок 1. Таблица 1
Пример 1
Число $11110101_2$ перевести в десятичную систему счисления.
Решение. Используя приведенную таблицу $1$ степеней основания $2$, представим число в виде многочлена:
$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_{10}$
Для перевода числа из восьмеричной системы счисления в десятичную требуется представить его в виде многочлена, каждый элемент которого представлен в виде произведения цифры числа и соответствующей степени числа основания, в данном случае $8$, а затем нужно вычислить многочлен по правилам десятичной арифметики:
$X_8 = A_n \cdot 8^{n-1} + A_{n-1} \cdot 8^{n-2} + A_{n-2} \cdot 8^{n-3} + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$
Рисунок 2. Таблица 2
Пример 2
Число $75013_8$ перевести в десятичную систему счисления.
Решение. Используя приведенную таблицу $2$ степеней основания $8$, представим число в виде многочлена:
$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_{10}$
Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную необходимо его представить в виде многочлена, каждый элемент которого представлен в виде произведения цифры числа и соответствующей степени числа основания, в данном случае $16$, а затем нужно вычислить многочлен по правилам десятичной арифметики:
$X_{16} = A_n \cdot 16^{n-1} + A_{n-1} \cdot 16^{n-2} + A_{n-2} \cdot 16^{n-3} + ... + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$
Рисунок 3. Таблица 3
Пример 3
Число $FFA2_{16}$ перевести в десятичную систему счисления.
Решение. Используя приведенную таблицу $3$ степеней основания $8$, представим число в виде многочлена:
$FFA2_{16} = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_{10}$
Правила перевода чисел из десятичной системы счисления в другую
- Для перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную его необходимо последовательно делить на $2$ до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный $1$. Число в двоичной системе представить как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример 4
Число $22_{10}$ перевести в двоичную систему счисления.
Решение:
Рисунок 4.
$22_{10} = 10110_2$
- Для перевода числа из десятичной системы счисления в восьмеричную его необходимо последовательно делить на $8$ до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный $7$. Число в восьмеричной системе счисления представить как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример 5
Число $571_{10}$ перевести в восьмеричную систему счисления.
Решение:
Рисунок 5.
$571_{10} = 1073_8$
- Для перевода числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на $16$ до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный $15$. Число в шестнадцатеричной системе представить как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример 6
Число $7467_{10}$ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.
Решение:
Рисунок 6.
$7467_{10} = 1D2B_{16}$
Для того чтобы перевести правильную дробь из десятичной системы счисления в недесятичную, необходимо дробную часть преобразуемого числа последовательно умножить на основание той системы, в которую ее требуется перевести. Дробь в новой системе будет представлена в виде целых частей произведений, начиная с первого.
Например: $0,3125_{(10)}$ в восьмеричной системе счисления будет выглядеть как $0,24_{(8)}$.
В данном случае можно столкнуться с проблемой, когда конечной десятичной дроби может соответствовать бесконечная (периодическая) дробь в недесятичной системе счисления. В данном случае количество знаков в дроби, представленной в новой системе, будет зависеть от требуемой точности. Также нужно отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби - дробями в любой системе счисления.
Правила перевода чисел из двоичной системы счисления в другую
- Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную, его необходимо разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, затем каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой согласно таблице 4.
Рисунок 7. Таблица 4
Пример 7
Число $1001011_2$ перевести в восьмеричную систему счисления.
Решение . Используя таблицу 4, переведем число из двоичной системы счисления в восьмеричную:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, его следует разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, затем каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой согласно таблице 4.
