Prędkość. Przyśpieszenie. Szybkość ruchu Prędkość punktu w mechanice klasycznej

Położenie materialnego punktu w przestrzeni w danym momencie wyznacza się w stosunku do jakiegoś innego ciała, które nazywa się organ referencyjny.

Kontaktuje się z nim ramy Odniesienia- zespół układów współrzędnych i zegarów związanych z ciałem, względem którego badany jest ruch innych punktów materialnych. Wybór układu odniesienia zależy od celów badania. W badaniach kinematycznych wszystkie układy odniesienia są równe (kartezjański, polarny). W zagadnieniach dynamiki dominującą rolę odgrywają inercyjne układy odniesienia, względem którego różniczkowe równania ruchu mają prostszą postać.

W kartezjańskim układzie współrzędnych położenie punktu A w danym momencie w stosunku do tego układu wyznaczają trzy współrzędne X, Na I z lub wektor promienia (ryc. 1.1). Kiedy punkt materialny się porusza, jego współrzędne zmieniają się w czasie. Ogólnie rzecz biorąc, jego ruch jest określony przez równania

lub równanie wektorowe

=(T). (1.2)

Równania te nazywane są kinematyczne równania ruchu punkt materialny.

Z wyłączeniem czasu T w układzie równań (1.1) otrzymujemy równanie trajektorie ruchu punkt materialny. Przykładowo, jeżeli kinematyczne równania ruchu punktu podane są w postaci:

wtedy, z wyłączeniem T, otrzymujemy:

te. punkt porusza się po płaszczyźnie z= 0 wzdłuż ścieżki eliptycznej z równymi półosiami A I B.

Trajektoria ruchu punktu materialnego jest linią opisaną przez ten punkt w przestrzeni. W zależności od kształtu trajektorii ruch może być prosty I krzywolinijny.

Rozważmy ruch punktu materialnego po dowolnej trajektorii AB(ryc. 1.2). Czas zaczniemy odliczać od momentu, kiedy punkt znalazł się na swoim miejscu A (T= 0). Długość odcinka trajektorii AB przemierzany przez punkt materialny od chwili T= 0, tzw długość ścieżki i jest skalarną funkcją czasu. Nazywa się wektor narysowany od początkowego położenia poruszającego się punktu do jego położenia w danym momencie wektor przemieszczenia. Podczas ruchu prostoliniowego wektor przemieszczenia pokrywa się z odpowiednim odcinkiem trajektorii, a jego moduł jest równy przebytej drodze.

Prędkość jest wektorową wielkością fizyczną wprowadzoną w celu określenia prędkości ruchu i jego kierunku w danym momencie.

Niech punkt materialny porusza się po zakrzywionej ścieżce i w danym momencie T odpowiada to wektorowi promienia. (ryc. 1.3). W krótkim odstępie czasu punkt przebędzie ścieżkę i doznaje nieskończenie małego przemieszczenia. Istnieją prędkości średnie i chwilowe.

Wektor średniej prędkości nazywa się stosunkiem przyrostu wektora promienia punktu do okresu czasu:

Wektor jest skierowany w taki sam sposób jak . Przy nieograniczonym spadku średnia prędkość dąży do wartości granicznej, która nazywa się chwilowa prędkość lub po prostu prędkość:

Zatem prędkość jest wielkością wektorową równą pierwszej pochodnej wektora promienia poruszającego się punktu po czasie. Ponieważ sieczna granicy pokrywa się ze styczną, wektor prędkości jest skierowany stycznie do trajektorii w kierunku ruchu.

W miarę zmniejszania się długości łuku coraz bardziej zbliża się on do długości cięciwy go zaciskającej, tj. wartość liczbowa prędkości punktu materialnego jest równa pierwszej pochodnej długości jego drogi po czasie:

Zatem,

Z wyrażenia (1.5) otrzymujemy Całkując w czasie od do , znajdujemy długość drogi przebytej przez materialny punkt w czasie:

Jeżeli kierunek wektora prędkości chwilowej nie zmienia się podczas ruchu punktu materialnego, oznacza to, że punkt porusza się po trajektorii, do której styczne we wszystkich punktach mają ten sam kierunek. Tylko proste trajektorie mają tę właściwość. Oznacza to, że dany ruch będzie prosty.

Jeżeli kierunek wektora prędkości punktu materialnego zmienia się w czasie, punkt ten będzie się opisywał krzywolinijny trajektoria.

Jeżeli wartość liczbowa prędkości chwilowej punktu podczas ruchu pozostaje stała, wówczas nazywa się taki ruch mundur. W tym przypadku

Oznacza to, że w dowolnych równych okresach czasu punkt materialny przemieszcza się po ścieżkach o jednakowej długości.

Jeżeli w dowolnych równych odstępach czasu punkt przemierza ścieżki o różnej długości, to wartość liczbowa jego prędkości zmienia się w czasie. Ten ruch nazywa się nierówny. W tym przypadku użyj wielkości skalarnej tzw średnia prędkość nierównomiernego ruchu na tym odcinku trajektorii. Jest ona równa liczbowej wartości prędkości takiego ruchu jednostajnego, w jakim na przebycie ścieżki przypada taki sam czas, jak dla danego ruchu nierównego:

Jeśli punkt materialny uczestniczy jednocześnie w kilku ruchach, to prawo niezależności ruchów powstałe w ten sposób przemieszczenie jest równe sumie wektorów przemieszczeń, jakie wykonuje w tym samym czasie w każdym z ruchów z osobna. Dlatego prędkość powstałego ruchu określa się jako sumę wektorową prędkości wszystkich ruchów, w których uczestniczy punkt materialny.

W naturze najczęściej obserwuje się ruchy, w których prędkość zmienia się zarówno pod względem wielkości (modułu), jak i kierunku, tj. muszą sobie radzić z nierównymi ruchami. Aby scharakteryzować zmianę prędkości takich ruchów, wprowadzono pojęcie przyśpieszenie.

Niech ruchomy punkt przesunie się z pozycji A na pozycję W(ryc. 1.4). Wektor wyznacza prędkość punktu w danej pozycji A. W ciąży W punkt nabrał prędkości różniącej się zarówno pod względem wielkości, jak i kierunku, i stał się równy . Przesuńmy wektor do punktu A i znajdziemy.

Średnie przyspieszenie nierówny ruch w przedziale czasu od do nazywany jest wielkością wektorową równą stosunkowi zmiany prędkości do przedziału czasu:

Oczywiście wektor pokrywa się w kierunku z wektorem zmiany prędkości.

Natychmiastowe przyspieszenie Lub przyśpieszenie materialnym punkcie w danym momencie będzie istniała granica średniego przyspieszenia:

Zatem przyspieszenie jest wielkością wektorową równą pierwszej pochodnej prędkości po czasie.

Rozłóżmy wektor na dwie składowe. Aby to zrobić od razu A w kierunku prędkości wykreślamy wektor równy . Następnie wektor równy wyznacza zmianę prędkości modulo(wartość) na czas, tj. . Druga składowa wektora charakteryzuje zmianę prędkości w czasie w kierunku - .

Nazywa się składową przyspieszenia, która określa zmianę wielkości prędkości składnik styczny. Numerycznie jest to pierwsza pochodna czasowa modułu prędkości:

Znajdźmy drugą składową przyspieszenia, tzw normalny komponent. Załóżmy, że o to chodzi W wystarczająco blisko celu A, dlatego ścieżkę można uznać za łuk koła o pewnym promieniu R, niewiele różniący się od akordu AB. Z podobieństwa trójkątów AOB I ED wynika z tego

skąd W granicy w zatem druga składowa przyspieszenia jest równa:

Jest skierowany w kierunku środka krzywizny trajektorii wzdłuż normalnej. Ona też jest nazywana przyspieszenie dośrodkowe.

Pełne przyspieszenie ciała jest sumą geometryczną składowych stycznych i normalnych:

Z ryc. 1.5 wynika, że ​​moduł całkowitego przyspieszenia jest równy:

Kierunek całkowitego przyspieszenia wyznaczany jest przez kąt pomiędzy wektorami i . To oczywiste

W zależności od wartości składowej stycznej i normalnej przyspieszenia, ruch ciała jest różnie klasyfikowany. Jeśli (wielkość prędkości nie zmienia się pod względem wielkości), ruch jest mundur. Jeśli > 0, ruch jest wywoływany przyśpieszony, Jeśli< 0 - powolny. Jeśli = const0, to ruch jest wywoływany równie zmienne. Wreszcie w dowolnym ruchu po linii prostej (nie ma zmiany kierunku prędkości).

Zatem ruch punktu materialnego może być następujących typów:

1) - prostoliniowy ruch jednostajny ();

2) - prostoliniowy ruch jednostajny. Z tego typu ruchem

Jeśli początkowy moment czasu wynosi , a prędkość początkowa wynosi , to oznaczając i , otrzymujemy:

Gdzie . (1.16)

Całkując to wyrażenie w zakresie od zera do dowolnego punktu w czasie, otrzymujemy wzór na obliczenie długości drogi, którą przebył punkt podczas ruchu jednostajnego:

3) - ruch liniowy ze zmiennym przyspieszeniem;

4) - prędkość bezwzględna się nie zmienia, co pokazuje, że promień krzywizny musi być stały. Dlatego ten ruch kołowy jest jednolity;

5) - równomierny ruch krzywoliniowy;

6) - krzywoliniowy ruch jednostajny;

7) - ruch krzywoliniowy ze zmiennym przyspieszeniem.

Kinematyka ruchu obrotowego ciała sztywnego

Jak już wspomniano, ruch obrotowy ciała absolutnie sztywnego wokół ustalonej osi to taki ruch, w którym wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach prostopadłych do ustalonej prostej, zwanej osią obrotu, i opisują okręgi, których środki leżą na tę oś.

Rozważmy ciało sztywne, które obraca się wokół ustalonej osi (ryc. 1.6). Wtedy poszczególne punkty tego ciała będą opisywać okręgi o różnych promieniach, których środki leżą na osi obrotu. Niech jakiś punkt A porusza się po okręgu o promieniu R. Jego pozycja po pewnym czasie zostanie wyznaczona przez kąt.

Prędkość kątowa obrót to wektor, który jest liczbowo równy pierwszej pochodnej kąta obrotu ciała po czasie i skierowany wzdłuż osi obrotu zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej:

Jednostką prędkości kątowej są radiany na sekundę (rad/s).

W ten sposób wektor określa kierunek i prędkość obrotu. Jeśli , to nazywa się obrót mundur.

Prędkość kątową można powiązać z prędkością liniową dowolnego punktu A. Niech punkt przebędzie w czasie drogę po łuku koła. Wtedy prędkość liniowa punktu będzie równa:

Można go scharakteryzować przy równomiernym obrocie okres rotacji T- czas, w którym punkt ciała wykonuje jeden pełny obrót, tj. obraca się o kąt 2π:

Nazywa się liczbą pełnych obrotów wykonanych przez ciało podczas ruchu jednostajnego po okręgu w jednostce czasu prędkość obrotowa:

Aby scharakteryzować nierówny obrót ciała, wprowadzono pojęcie przyspieszenie kątowe. Przyspieszenie kątowe jest wielkością wektorową równą pierwszej pochodnej prędkości kątowej po czasie:

Kiedy ciało obraca się wokół ustalonej osi, wektor przyspieszenia kątowego jest skierowany wzdłuż osi obrotu w stronę wektora prędkości kątowej (rys. 1.7); przy ruchu przyspieszonym wektor jest skierowany w tym samym kierunku co , a przy wolnym obrocie w przeciwnym kierunku.

Wyraźmy składową styczną i normalną przyspieszenia punktu A obracającego się ciała poprzez prędkość kątową i przyspieszenie kątowe:

W przypadku ruchu jednostajnego punktu po okręgu ():

gdzie jest początkowa prędkość kątowa.

Ruchy postępowe i obrotowe ciała sztywnego to tylko najprostsze rodzaje jego ruchu. Ogólnie rzecz biorąc, ruch ciała sztywnego może być bardzo złożony. Jednakże w mechanice teoretycznej udowodniono, że każdy złożony ruch ciała sztywnego można przedstawić jako kombinację ruchów postępowych i obrotowych.

Równania kinematyczne ruchów translacyjnych i obrotowych zestawiono w tabeli. 1.1.

Tabela 1.1

Progresywny	Rotacyjny
Mundur
Równie zmienne
Nierówny

Krótkie wnioski:

Część fizyki badająca wzorce ruchu mechanicznego i przyczyny powodujące lub zmieniające ten ruch nazywa się mechanika. Mechanika klasyczna (mechanika Newtona-Galileo) bada prawa ruchu ciał makroskopowych, których prędkości są małe w porównaniu z prędkością światła w próżni.

- Kinematyczny- dział mechaniki, którego przedmiotem badań jest ruch ciał bez uwzględnienia przyczyn powodujących ten ruch.

W mechanice do opisu ruchu ciał, w zależności od warunków konkretnych problemów, różne modele fizyczne: punkt materialny, ciało absolutnie sztywne, ciało absolutnie sprężyste, ciało absolutnie niesprężyste.

Ruch ciał odbywa się w przestrzeni i czasie. Dlatego, aby opisać ruch punktu materialnego, należy wiedzieć, w jakich miejscach w przestrzeni ten punkt się znajdował i w jakich momentach minął tę lub inną pozycję. Nazywa się kombinacją ciała odniesienia, powiązanego z nim układu współrzędnych i zsynchronizowanych ze sobą zegarów układu odniesienia.

Nazywa się wektor narysowany od początkowego położenia poruszającego się punktu do jego położenia w danym momencie wektor przemieszczenia. Nazywa się linię opisaną przez poruszający się punkt materialny (ciało) względem wybranego układu odniesienia trajektorię ruchu. W zależności od kształtu trajektorii istnieją prostoliniowy I krzywolinijny ruch. Nazywa się długość odcinka trajektorii, którą przebył punkt materialny w danym okresie czasu długość ścieżki.

- Prędkość jest wektorową wielkością fizyczną charakteryzującą prędkość ruchu i jego kierunek w danym momencie. Chwilowa prędkość wyznaczana jest przez pierwszą pochodną wektora promienia poruszającego się punktu po czasie:

Wektor prędkości chwilowej skierowany jest stycznie do trajektorii w kierunku ruchu. Wartość bezwzględna prędkości chwilowej punktu materialnego jest równa pierwszej pochodnej długości jego drogi po czasie:

- Przyśpieszenie- wektorowa wielkość fizyczna cechy nierówny ruchy. Określa szybkość zmiany prędkości pod względem wielkości i kierunku. Natychmiastowe przyspieszenie- wielkość wektorowa równa pierwszej pochodnej prędkości po czasie:

Składowa styczna przyspieszenia charakteryzuje szybkość zmiany prędkości W rozmiarze(skierowane stycznie do trajektorii ruchu):

Normalna składowa przyspieszenia charakteryzuje szybkość zmiany prędkości w kierunku(skierowany w stronę środka krzywizny toru):

Pełne przyspieszenie dla ruchu krzywoliniowego - suma geometryczna składowej stycznej i normalnej:

3. Co to jest układ odniesienia? Co to jest wektor przemieszczenia?

4. Jaki ruch nazywa się translacyjnym? Rotacyjny?

5. Czym charakteryzuje się prędkość i przyspieszenie? Zdefiniuj średnią prędkość i średnie przyspieszenie, prędkość chwilową i chwilowe przyspieszenie.

6. Napisz równanie na trajektorię ciała rzuconego poziomo z prędkością v 0 z określonej wysokości. Pomiń opór powietrza.

7. Czym charakteryzują się składowa styczna i normalna przyspieszenia? Jakie są ich moduły?

8. Jak można klasyfikować ruch ze względu na składową styczną i normalną przyspieszenia?

9. Jak nazywa się prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe? Jak wyznaczane są ich kierunki?

10. Jakie wzory wiążą liniowe i kątowe charakterystyki ruchu?

Przykłady rozwiązywania problemów

Problem 1. Pomijając opór powietrza, określ kąt pod jakim ciało zostanie wyrzucone do horyzontu, jeżeli maksymalna wysokość wzniesienia ciała będzie równa 1/4 zasięgu jego lotu (rys. 1.8).

Prędkość jest wielkością wektorową, która charakteryzuje nie tylko prędkość ruchu cząstki po trajektorii, ale także kierunek, w którym cząstka porusza się w każdym momencie.

Średnia prędkość w czasie z t 1 zanim t 2 jest równy stosunkowi ruchu w tym czasie do okresu, w którym ten ruch miał miejsce:

Zauważymy, że jest to prędkość średnia, umieszczając wartość średnią w nawiasach ostrych:<...>, jak zrobiono powyżej.

Powyższy wzór na wektor średniej prędkości jest bezpośrednią konsekwencją ogólnej matematycznej definicji wartości średniej<k(x)> dowolna funkcja k(x) w przedziale [ a, b]:

Naprawdę

Średnia prędkość może być zbyt przybliżoną miarą ruchu. Na przykład średnia prędkość w okresie oscylacji zawsze wynosi zero, niezależnie od charakteru tych oscylacji, z prostego powodu, że w pewnym okresie – z definicji okresu – ciało oscylacyjne powróci do punktu początkowego, a zatem , przesunięcie w okresie jest zawsze równe zeru. Z tego i wielu innych powodów wprowadza się prędkość chwilową – prędkość w danym momencie. W przyszłości, mając na myśli prędkość chwilową, będziemy pisać po prostu: „prędkość”, pomijając słowa „chwilowa” lub „w danym momencie”, o ile nie może to prowadzić do nieporozumień. T musimy zrobić oczywistą rzecz: obliczyć granicę stosunku w miarę upływu czasu t 2 – t 1 do zera. Dokonajmy kilku przeróbek: t 1 = t I t 2 = t + i przepisz górną relację jako:

Prędkość w czasie T równy granicy stosunku ruchu w czasie do okresu czasu, w którym ten ruch miał miejsce, przy czym ten ostatni dąży do zera

Ryż. 2.5. W stronę definicji prędkości chwilowej.

W tej chwili nie rozważamy kwestii istnienia tej granicy, zakładając, że ona istnieje. Zauważ, że jeśli istnieje skończone przemieszczenie i skończony okres czasu, to i są ich wartościami granicznymi: nieskończenie małym przemieszczeniem i nieskończenie małym okresem czasu. A więc prawa strona definicji prędkości

to nic innego jak ułamek - iloraz dzielenia przez, dlatego ostatnią relację można przepisać i bardzo często używa się jej w postaci

Zgodnie z geometrycznym znaczeniem pochodnej, wektor prędkości w każdym punkcie trajektorii jest skierowany stycznie do trajektorii w tym punkcie w kierunku jej ruchu.

Wideo 2.1. Wektor prędkości jest skierowany stycznie do trajektorii. Poeksperymentuj z temperówką.

Do bazy można rozwinąć dowolny wektor (w przypadku wektorów jednostkowych bazy, czyli wektorów jednostkowych określających dodatnie kierunki osi WÓŁ,OJ,OZ używamy odpowiednio notacji , lub ). Współczynniki tego rozszerzenia są rzutami wektora na odpowiednie osie. Ważne jest, co następuje: w algebrze wektorowej udowodniono, że rozwinięcie względem podstawy jest jednoznaczne. Rozwińmy wektor promienia jakiegoś poruszającego się punktu materialnego do podstawy

Uwzględniając stałość kartezjańskich wektorów jednostkowych , , , różniczkujemy to wyrażenie ze względu na czas

Natomiast rozwinięcie pod względem podstawy wektora prędkości ma postać

zestawienie dwóch ostatnich wyrażeń, biorąc pod uwagę jednoznaczność rozwinięcia dowolnego wektora względem bazy, daje następujący wynik: rzuty wektora prędkości na osie kartezjańskie są równe pochodnym czasowym odpowiednich współrzędnych, czyli Jest

Wielkość wektora prędkości jest równa

Uzyskajmy inne, ważne wyrażenie na wielkość wektora prędkości.

Zauważono już, że gdy wartość || różni się coraz mniej od odpowiedniej ścieżki (patrz ryc. 2). Dlatego

i w limicie (>0)

Innymi słowy moduł prędkości jest pochodną przebytej drogi po czasie.

Wreszcie mamy:

Średnia wielkość wektora prędkości, definiuje się następująco:

Wartość średnia modułu wektora prędkości jest równa stosunkowi przebytej drogi do czasu przebycia tej drogi:

Tutaj s(t 1 , t 2)- ścieżka w czasie od t 1 zanim t 2 i odpowiednio, s(t 0 , t 2)- ścieżka w czasie od t 0 zanim t 2 I s(t 0 , t 2)- ścieżka w czasie od t 0 zanim t 1.

Wektor średniej prędkości lub po prostu średnia prędkość, jak podano powyżej, to

Należy pamiętać, że jest to przede wszystkim wektor, jego moduł – modułu wektora średniej prędkości nie należy mylić ze średnią wartością modułu wektora prędkości. W ogólnym przypadku nie są one równe: moduł średniego wektora wcale nie jest równy średniemu modułowi tego wektora. Dwie operacje: obliczenie modułu i obliczenie średniej w ogólnym przypadku nie mogą być zamieniane.

Spójrzmy na przykład. Niech punkt porusza się w jednym kierunku. Na ryc. 2.6. pokazuje wykres przebytej drogi S w od czasu (w czasie od 0 zanim T). Używając fizycznego znaczenia prędkości, użyj tego wykresu, aby znaleźć moment, w którym chwilowa prędkość jest równa średniej prędkości względem ziemi w pierwszych sekundach ruchu punktu.

Ryż. 2.6. Wyznaczanie prędkości chwilowej i średniej ciała

Moduł prędkości w zadanym czasie

będąc pochodną ścieżki po czasie, jest równy współczynnikowi kątowemu wychylenia do wykresu zależności punktu odpowiadającego momentowi czasu T*. Średni moduł prędkości w okresie od 0 zanim T* jest współczynnikiem kątowym siecznej przechodzącej przez punkty tego samego wykresu odpowiadające początkowi t = 0 i koniec t = t* Przedział czasowy. Musimy znaleźć taki moment w czasie T*, gdy oba nachylenia się pokrywają. Aby to zrobić, narysuj linię prostą przez początek układu współrzędnych, styczną do trajektorii. Jak widać z rysunku, punkt styczności tego prostego wykresu wynosi s(t) i daje T*. W naszym przykładzie okazuje się

> Średnia prędkość wektora: interpretacja graficzna

Średnia prędkość według wielkości wektorów: definicja, jak znaleźć średnią prędkość ciała, jednostka miary prędkości wektora, wzór i obliczenie.

Średnia prędkość wektora– zmiana pozycji podczas ruchu.

Cel uczenia się

• Zrozum stałą prędkość i fizyczność.

Główne punkty

• Prędkość średnią oblicza się, dzieląc całkowite przemieszczenie przez czas ruchu.
• Średnia prędkość nie mówi nic o tym, co dzieje się z obiektem pomiędzy dwoma punktami.
• Średnia prędkość wektorowa różni się od prędkości skalarnej tym, że uwzględnia kierunek ruchu i ogólną zmianę położenia.

Termin

Prędkość wektora jest wielkością wskazującą szybkość zmiany położenia w czasie lub kierunku.

Jeśli mówimy o życiu codziennym, prędkość wektorową i skalarną nazywa się po prostu prędkością i nie ma żadnych różnic. Ale w fizyce są one wyraźnie zauważalne. Prędkość skalarna ma tylko wielkość, ale średnia prędkość wektorowa dodaje kierunek do wielkości.

Średnią prędkość skalarną oblicza się jako odległość przebytą w całkowitym czasie ruchu. A wektor to zmiana pozycji w ciągu całego czasu ruchu.

Średnia = Δx/t

Jednostką prędkości w układzie SI jest m/s, ale może to być także km/h, mph, cm/s. Załóżmy, że pasażer pociągu przemieścił się o 4 m w ciągu 5 s (znak minus oznacza ruch do tyłu). Następnie średnia prędkość wektora:

V = Δx/t = -4m/5s = -0,8 m/s.

Jednak dane te nie mówią nam nic o tym, co stało się z obiektem pomiędzy dwoma punktami. Nie dowiemy się, czy się zatrzymał, czy wrócił. Aby poznać szczegóły, trzeba będzie zagłębić się w mniejsze okresy czasu.

Spójrzmy na inny przykład, aby wyraźnie rozróżnić prędkość wektorową i skalarną. Załóżmy, że znajdziesz się w małym prostokącie. Poruszasz się 3 m na północ, 4 m na wschód, 3 m na południe i 4 m na zachód. Wszystko to trwało pół minuty. Obliczenia skalarne zaczniemy od przebycia pełnej odległości (3 + 4 + 3 + 4 = 14 m), a stąd - 14/30 = 0,47 m/s.

Jednakże wektor reaguje na przemieszczenie w czasie. Wracasz do punktu początkowego, więc przemieszczenie = 0. Zatem średnia prędkość wektora wynosi 0 m/s.

(1 oceny, średnia: 5,00 z 5)

Kinematyka punktu, kinematyka ciała sztywnego, ruch translacyjny, ruch obrotowy, ruch płasko-równoległy, twierdzenie o rzutach prędkości, chwilowy środek prędkości, wyznaczanie prędkości i przyspieszeń punktów ciała płaskiego, złożony ruch punktu

Treść

Kinematyka nadwozia sztywnego

Aby jednoznacznie określić położenie bryły sztywnej, należy określić trzy współrzędne (x A , y A , z A ) jeden z punktów A ciała i trzy kąty obrotu. Zatem położenie ciała sztywnego wyznacza się za pomocą sześciu współrzędnych. Oznacza to, że ciało sztywne ma sześć stopni swobody.

W ogólnym przypadku zależność współrzędnych punktów na ciele sztywnym od ustalonego układu współrzędnych określa się za pomocą dość uciążliwych wzorów. Natomiast prędkości i przyspieszenia punktów wyznacza się dość prosto. Aby to zrobić, należy znać zależność współrzędnych od czasu jednego, dowolnie wybranego punktu A i wektora prędkości kątowej. Różniczkując ze względu na czas, wyznaczamy prędkość i przyspieszenie punktu A oraz przyspieszenie kątowe ciała:
; ; .
Następnie prędkość i przyspieszenie punktu ciała o wektorze promienia wyznaczają wzory:
(1) ;
(2) .
Tutaj i poniżej iloczyny wektorów w nawiasach kwadratowych oznaczają iloczyny wektorów.

Zauważ to wektor prędkości kątowej jest taki sam dla wszystkich punktów ciała. Nie zależy to od współrzędnych punktów ciała. Również wektor przyspieszenia kątowego jest taki sam dla wszystkich punktów ciała.

Zobacz dane wyjściowe formuły (1) I (2) na stronie: Prędkość i przyspieszenie punktów ciała sztywnego > > >

Ruch postępowy ciała sztywnego

Podczas ruchu postępowego prędkość kątowa wynosi zero. Prędkości wszystkich punktów ciała są równe. Każda linia prosta narysowana w ciele porusza się, pozostając równoległa do swojego początkowego kierunku. Zatem, aby zbadać ruch ciała sztywnego w ruchu translacyjnym, wystarczy zbadać ruch dowolnego punktu tego ciała. Patrz sekcja.

Ruch równomiernie przyspieszony

Rozważmy przypadek ruchu jednostajnie przyspieszonego. Niech rzut przyspieszenia punktu ciała na oś x będzie stały i równy a x. Następnie rzut prędkości v x i x - współrzędne tego punktu zależą od czasu t zgodnie z prawem:
vx = vx 0 + a x t;
,
gdzie vx 0 i x 0 - prędkość i współrzędna punktu w początkowej chwili czasu t = 0 .

Ruch obrotowy ciała sztywnego

Rozważmy ciało obracające się wokół stałej osi. Wybierzmy stały układ współrzędnych Oxyz ze środkiem w punkcie O. Skierujmy oś z wzdłuż osi obrotu. Zakładamy, że współrzędne z wszystkich punktów ciała pozostają stałe. Następnie ruch następuje w płaszczyźnie xy. Prędkość kątowa ω i przyspieszenie kątowe ε są skierowane wzdłuż osi z:
; .
Niech φ będzie kątem obrotu ciała zależnym od czasu t. Stwierdzamy, że różniczkowanie ze względu na czas rzuty prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego do osi z:
;
.

Rozważmy ruch punktu M, który znajduje się w odległości r od osi obrotu. Trajektoria ruchu to okrąg (lub łuk koła) o promieniu r.
Prędkość punktowa:
v = ωr.
Wektor prędkości jest skierowany stycznie do trajektorii.
Przyspieszenie styczne:
za τ = ε r .
Przyspieszenie styczne jest również kierowane stycznie do trajektorii.
Normalne przyspieszenie:
.
Jest skierowany w stronę osi obrotu O.
Pełne przyspieszenie:
.
Ponieważ wektory i są do siebie prostopadłe, zatem moduł przyspieszający:
.

Ruch równomiernie przyspieszony

W przypadku ruchu jednostajnie przyspieszonego, w którym przyspieszenie kątowe jest stałe i równe ε, prędkość kątowa ω i kąt obrotu φ zmieniają się w czasie t zgodnie z prawem:
ω = ω 0 + εt;
,
gdzie ω 0 i φ 0 - prędkość kątowa i kąt obrotu w początkowej chwili czasu t = 0 .

Ruch płasko-równoległy ciała sztywnego

Płasko-równoległe lub płaskie to ruch ciała sztywnego, w którym wszystkie jego punkty poruszają się równolegle do pewnej ustalonej płaszczyzny. Wybierzmy prostokątny układ współrzędnych Oxyz. Umieścimy osie x i y w płaszczyźnie, w której poruszają się punkty ciała. Wtedy wszystkie z – współrzędne punktów ciała pozostają stałe, z – składowe prędkości i przyspieszeń są równe zeru. Natomiast wektory prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego są skierowane wzdłuż osi z. Ich składowe x i y wynoszą zero.

Rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na oś przechodzącą przez te punkty są sobie równe.
w A cos α = v B cos β.

Środek prędkości chwilowej

Środek prędkości chwilowej jest punktem figury płaskiej, której prędkość wynosi obecnie zero.

Aby wyznaczyć położenie chwilowego środka prędkości P figury płaskiej, wystarczy znać kierunki prędkości oraz jej dwa punkty A i B. Aby to zrobić, poprowadź linię prostą przez punkt A, prostopadle do kierunku prędkości. Przez punkt B poprowadzimy linię prostą prostopadłą do kierunku prędkości. Punkt przecięcia tych prostych jest chwilowym środkiem prędkości P. Prędkość kątowa obrotu ciała:
.

Jeżeli prędkości dwóch punktów są do siebie równoległe, to ω = 0 . Prędkości wszystkich punktów ciała są sobie równe (w danym momencie).

Jeżeli znana jest prędkość dowolnego punktu A ciała płaskiego i jego prędkość kątowa ω, to prędkość dowolnego punktu M określa się ze wzoru (1) , które można przedstawić jako sumę ruchu translacyjnego i obrotowego:
,
gdzie jest prędkością ruchu obrotowego punktu M względem punktu A. Oznacza to, że prędkość, jaką miałby punkt M, obracałby się po okręgu o promieniu |AM| z prędkością kątową ω, gdyby punkt A był nieruchomy.
Moduł prędkości względnej:
v MA = ω |AM| .
Wektor jest skierowany stycznie do okręgu o promieniu |AM| ze środkiem w punkcie A.

Wyznaczanie przyspieszeń punktów ciała płaskiego przeprowadza się za pomocą wzoru (2) . Przyspieszenie dowolnego punktu M jest równe sumie wektorów przyspieszenia pewnego punktu A i przyspieszenia punktu M podczas obrotu wokół punktu A, przy założeniu, że punkt A jest nieruchomy:
.
można rozłożyć na przyspieszenia styczne i normalne:
.
Przyspieszenie styczne jest kierowane stycznie do trajektorii. Przyspieszenie normalne skierowane jest z punktu M do punktu A. Tutaj ω i ε są prędkością kątową i przyspieszeniem kątowym ciała.

Złożony ruch punktowy

Niech O 1 x 1 y 1 z 1- stały prostokątny układ współrzędnych. Prędkość i przyspieszenie punktu M w tym układzie współrzędnych będziemy nazywać prędkością bezwzględną i przyspieszeniem bezwzględnym.

Niech Oxyz będzie ruchomym prostokątnym układem współrzędnych, powiedzmy, sztywno połączonym z pewnym sztywnym ciałem poruszającym się względem układu O 1 x 1 y 1 z 1. Prędkość i przyspieszenie punktu M w układzie współrzędnych Oxyz będziemy nazywać prędkością względną i przyspieszeniem względnym. Niech będzie prędkością kątową obrotu układu Oxyz względem O 1 x 1 y 1 z 1.

Rozważmy punkt, który w danym momencie pokrywa się z punktem M i jest nieruchomy względem układu Oxyz (punkt sztywno połączony z ciałem stałym). Prędkość i przyspieszenie takiego punktu w układzie współrzędnych O 1 x 1 y 1 z 1 nazwiemy to przenośną szybkością i przenośnym przyspieszeniem.

Twierdzenie o dodawaniu prędkości

Prędkość bezwzględna punktu jest równa sumie wektorów prędkości względnych i przenośnych:
.

Twierdzenie o dodawaniu przyspieszenia (twierdzenie Coriolisa)

Przyspieszenie bezwzględne punktu jest równe sumie wektorów przyspieszeń względnych, transportowych i Coriolisa:
,
Gdzie
- Przyspieszenie Coriolisa.

Bibliografia:
S. M. Targ, Krótki kurs mechaniki teoretycznej, „Szkoła Wyższa”, 2010.

Szybkość jest jedną z głównych cech. Wyraża samą istotę ruchu, tj. określa różnicę istniejącą pomiędzy ciałem nieruchomym a ciałem poruszającym się.

Jednostką prędkości w układzie SI jest SM.

Należy pamiętać, że prędkość jest wielkością wektorową. Kierunek wektora prędkości jest wyznaczany przez ruch. Wektor prędkości jest zawsze skierowany stycznie do trajektorii w punkcie, przez który przechodzi poruszające się ciało (rys. 1).

Weźmy na przykład pod uwagę koło jadącego samochodu. Koło się obraca, a wszystkie punkty koła poruszają się po okręgach. Wylatujące z koła plamy będą lecieć stycznie do tych okręgów, wskazując kierunki wektorów prędkości poszczególnych punktów koła.

Zatem prędkość charakteryzuje kierunek ruchu ciała (kierunek wektora prędkości) i prędkość jego ruchu (moduł wektora prędkości).

Ujemna prędkość

Czy prędkość ciała może być ujemna? Tak, może. Jeżeli prędkość ciała jest ujemna, oznacza to, że ciało porusza się w kierunku przeciwnym do kierunku osi współrzędnych w wybranym układzie odniesienia. Rysunek 2 przedstawia ruch autobusu i samochodu osobowego. Prędkość samochodu jest ujemna, a prędkość autobusu dodatnia. Należy pamiętać, że mówiąc o znaku prędkości mamy na myśli rzut wektora prędkości na oś współrzędnych.

Ruch równomierny i nierówny

Ogólnie rzecz biorąc, prędkość zależy od czasu. W zależności od charakteru zależności prędkości od czasu, ruch może być równomierny lub nierówny.

DEFINICJA

Jednolity ruch– jest to ruch ze stałą prędkością modułu.

W przypadku nierównomiernego ruchu mówimy o:

Przykłady rozwiązywania problemów na temat „Prędkość”

PRZYKŁAD 1

Ćwiczenia	Samochód pierwszą połowę podróży pomiędzy dwiema osadami pokonał z prędkością 90 km/h, a drugą połowę z prędkością 54 km/h. Wyznacz średnią prędkość samochodu.
Rozwiązanie	Błędem byłoby obliczanie średniej prędkości samochodu jako średniej arytmetycznej dwóch wskazanych prędkości. Skorzystajmy z definicji prędkości średniej: Ponieważ zakłada się ruch jednostajny prostoliniowy, znaki wektorów można pominąć. Czas spędzony przez samochód na pokonaniu całego dystansu: gdzie to czas spędzony na ukończeniu pierwszej połowy ścieżki, a to czas spędzony na ukończeniu drugiej połowy ścieżki. Całkowity ruch jest równy odległości między obszarami zaludnionymi, tj. . Podstawiając te stosunki do wzoru na średnią prędkość, otrzymujemy: Przeliczmy prędkości na poszczególnych odcinkach na układ SI: Wtedy średnia prędkość samochodu wynosi: (SM)
Odpowiedź	Średnia prędkość samochodu wynosi 18,8 m/s

PRZYKŁAD 2

Ćwiczenia	Samochód jedzie przez 10 sekund z prędkością 10 m/s, a następnie przez kolejne 2 minuty jedzie z prędkością 25 m/s. Wyznacz średnią prędkość samochodu.
Rozwiązanie	Zróbmy rysunek.