Oblicz wyznacznik iloczynu dwóch macierzy. Wyznacznik iloczynu macierzy. Wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych

Wykład 6

4.6 Wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych.

Iloczyn dwóch macierzy kwadratowych N-ta kolejność jest zawsze zdefiniowana. W tym przypadku ważne jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie. Wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników macierzy czynnikowych:

Dowód. Pozwalać

I
,

.

Stwórzmy wyznacznik pomocniczy

.

Z twierdzenia Laplace'a mamy:

.

Więc,
, pokażemy to
. W tym celu przekształcamy wyznacznik w następujący sposób. Najpierw te pierwsze P
, dodać do
-ta kolumna. Potem pierwszy P kolumny pomnożone przez
, dodać do
-ta kolumna itp. W ostatnim kroku do
pierwsza kolumna zostanie dodana P kolumny pomnożone przez
. W rezultacie otrzymujemy wyznacznik

.

Rozszerzanie otrzymanego wyznacznika za pomocą twierdzenia Laplace'a w odniesieniu do ostatniego P kolumny, znajdujemy:

Zatem równości zostały udowodnione
I
, z czego to wynika
.

4.7.Macierz odwrotna

Definicja 1 . Niech będzie dana macierz kwadratowa A P-ta kolejność. Macierz kwadratowa
tego samego rzędu są nazywane odwracać do matrixa A, jeśli , gdzie mi-macierz jednostkowa P-ta kolejność.

Oświadczenie. Jeśli istnieje macierz odwrotna do macierzy A, to taka macierz jest wyjątkowa.

Dowód. Załóżmy, że macierz
nie jest jedyną macierzą odwrotnością macierzy A. Weźmy inną macierz odwrotną B. Wtedy warunki są spełnione

Spójrzmy na pracę
. Dla niego istnieją równości

z czego to wynika
. W ten sposób udowodniono wyjątkowość macierzy odwrotnej.

Dowodząc twierdzenia o istnieniu macierzy odwrotnej, będziemy potrzebować pojęcia „macierzy sprzężonej”.

Definicja 2 . Niech będzie dana macierz

.

których elementy są dopełnieniami algebraicznymi elementy matryce A, zwany zaanektowany matryca do matrycy A.

Zwróćmy uwagę na fakt, że do skonstruowania macierzy sprzężonej Z elementy matrycy A musisz zastąpić je dodatkami algebraicznymi, a następnie transponować powstałą macierz.

Definicja 3. Macierz kwadratowa A zwany niezdegenerowany , Jeśli
.

Twierdzenie. Aby uzyskać matrycę A miał macierz odwrotną
, konieczne i wystarczające jest, aby macierz A nie był zdegenerowany. W tym przypadku macierz
określa się na podstawie wzoru

, (1)

Gdzie - algebraiczne dodawanie elementów macierzy A.

Dowód. Niech matryca A ma macierz odwrotną
. Wtedy spełnione są warunki z których wynika. Z ostatniej równości otrzymujemy wyznaczniki
I
. Wyznaczniki te powiązane są zależnością
. Matryce A I
niezdegenerowane, ponieważ ich wyznaczniki są niezerowe.

Niech teraz macierz A niezdegenerowany. Udowodnimy, że macierz A ma macierz odwrotną
i wyznacza się to wzorem (1). Aby to zrobić, spójrzmy na pracę

matryce A i związana z nim macierz Z.

Zgodnie z zasadą mnożenia macierzy element Pracuje
matryce A I Z ma postać: . Ponieważ suma iloczynów elementów I wiersze do uzupełnień algebraicznych odpowiednich elementów J- wiersz jest równy zero w
i wyznacznik w
. Stąd,

Gdzie mi- macierz jednostkowa P-ta kolejność. Równość udowadnia się w podobny sposób
. Zatem,

, co oznacza że
i matryca jest odwrotnością macierzy A. Dlatego macierz nieosobliwa A ma macierz odwrotną, którą wyznacza wzór (1).

Wniosek 1 . Wyznaczniki macierzy A I
powiązane relacją
.

Konsekwencja 2 . Główna właściwość macierzy sprzężonej Z do matrixa A jest wyrażony

równości
.

Konsekwencja 3 . Wyznacznik macierzy nieosobliwej A i związana z nim macierz

Z związane równością
.

Z równości wynika wniosek 3
i właściwości wyznaczników, zgodnie z którymi po pomnożeniu przez P- potęga tej liczby. W tym przypadku

skąd to wynika
.

Przykład. A:

.

Rozwiązanie. Wyznacznik macierzy

różny od zera. Dlatego matryca A ma odwrotnie. Aby to znaleźć, najpierw obliczamy uzupełnienia algebraiczne:

,
,
,

,
,
,

,
.

Teraz korzystając ze wzoru (1) zapisujemy macierz odwrotną

.

4.8. Transformacje elementarne na macierzach. Algorytm Gaussa.

Definicja 1. Pod elementarne przemiany nad matrycą rozmiarów

zrozumieć następujące kroki.

Mnożenie dowolnego wiersza (kolumny) macierzy przez dowolną liczbę niezerową.

Dodawanie do dowolnego I wiersz macierzy dowolnego z jej wierszy J- ciąg pomnożony przez dowolną liczbę.

Dodawanie do dowolnego I th kolumna macierzy dowolnego z jej J- kolumna pomnożona przez dowolną liczbę.

Przestawianie wierszy (kolumn) macierzy.

Definicja 2. Matryce A I W zadzwonimy równowartość , jeśli jeden z nich można przekształcić w inny za pomocą przekształceń elementarnych. Napisze
.

Równoważność macierzy ma następujące właściwości:

Definicja 3 . Weszłam zwaną macierzą A posiadający następujące właściwości:

1) jeśli I-ta linia ma wartość zero, tj. składa się zatem z samych zer
-ta linia również wynosi zero;

2) jeśli pierwsze niezerowe elementy I i
wiersze znajdują się w kolumnach z liczbami k I l, To
.

Przykład. Matryce

I

są krokowe i macierz

nie jest schodkowy.

Pokażmy, jak za pomocą przekształceń elementarnych można zredukować macierz A do widoku schodkowego.

Algorytm Gaussa . Rozważ macierz A rozmiar
. Bez utraty ogólności możemy to założyć
. (Jeśli w matrixie A Jeśli jest przynajmniej element niezerowy, to przestawiając wiersze, a następnie kolumny, możemy zapewnić, że element ten wypadnie na przecięciu pierwszego wiersza i pierwszej kolumny.) Dodaj do drugiego wiersza macierzy A najpierw pomnożone przez , do trzeciej linii – pierwszej, pomnożonej przez itp.

W rezultacie to otrzymujemy

.

Elementy w najnowszym
linie wyznaczane są za pomocą wzorów:

,
,
.

Rozważ macierz

.

Jeśli wszystkie elementy macierzy są wówczas równe zeru

a równoważna macierz jest stopniowa. Jeśli wśród elementów macierzy co najmniej jeden jest różny od zera, to możemy to założyć bez utraty ogólności
(można to osiągnąć poprzez zmianę kolejności wierszy i kolumn macierzy ). W tym przypadku transformacja macierzy zupełnie jak matrix A, otrzymujemy

odpowiednio,

.

Tutaj
,
,
.

I
,
, … ,
. W matrixie A T linii i aby stopniowo doprowadzić je do wskazanej formy, nie będziesz już potrzebował więcej T kroki. Wtedy proces może zakończyć się o godz k-ty krok wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy macierzy

są równe zeru. W tym przypadku

I
,
, … ,
.

4.9. Znajdowanie macierzy odwrotnej za pomocą przekształceń elementarnych.

W przypadku dużej macierzy wygodnie jest znaleźć macierz odwrotną za pomocą elementarnych transformacji macierzy. Ta metoda jest następująca. Zapisz macierz złożoną
i zgodnie ze schematem metody Gaussa są one wykonywane na wierszach tej macierzy (czyli jednocześnie w macierzy A i w matrixie mi) przekształcenia elementarne. W rezultacie matryca A jest konwertowany na macierz jednostkową i macierz mi– do matrixa
.

Przykład. Znajdź macierz odwrotną macierzy

.

Rozwiązanie. Napiszmy macierz złożoną
i przekształcić go za pomocą elementarnych transformacji strun zgodnie z metodą Gaussa. W rezultacie otrzymujemy:

.

Z tych przekształceń wnioskujemy, że

.

4.10 Ranga matrycy.

Definicja. Liczba całkowita R zwany ranga matryce A, jeśli ma mniejsze zamówienie R, niezerowe i wszystkie elementy podrzędne są rzędu wyższego R są równe zeru. Ranga macierzy będzie oznaczona symbolem
.

Rangę macierzy oblicza się metodą graniczących z nieletnimi .

Przykład. Korzystając z metody graniczących nieletnich, oblicz rząd macierzy

.

Rozwiązanie.

Powyższa metoda nie zawsze jest wygodna, ponieważ... związane z obliczeniami dużych

liczba wyznaczników.

Oświadczenie. Ranga macierzy nie zmienia się podczas elementarnych przekształceń jej wierszy i kolumn.

Podane stwierdzenie wskazuje drugi sposób obliczania rangi macierzy. Nazywa się to metodą przekształceń elementarnych . Aby znaleźć rząd macierzy, należy zastosować metodę Gaussa, aby sprowadzić ją do postaci krokowej, a następnie wybrać maksymalny niezerowy moll. Wyjaśnijmy to na przykładzie.

Przykład. Korzystając z przekształceń elementarnych, oblicz rząd macierzy

.

Rozwiązanie. Wykonajmy łańcuch przekształceń elementarnych zgodnie z metodą Gaussa. W efekcie otrzymujemy łańcuch macierzy równoważnych.

Definicja. Iloczyn dwóch macierzy A I W zwaną macierzą Z, którego element znajduje się na przecięciu I linia i J kolumna, równa sumie iloczynów pierwiastków I rząd macierzy A do odpowiednich (w kolejności) elementów J kolumna macierzy W.

Z tej definicji wynika wzór na element macierzy C:

Produkt matrixowy A do matrixa W oznaczony przez AB.

Przykład 1. Znajdź iloczyn dwóch macierzy A I B, Jeśli

,

.

Rozwiązanie. Wygodnie jest znaleźć iloczyn dwóch macierzy A I W napisz jak na ryc. 2:

Na diagramie szare strzałki wskazują, które wiersze macierzy są elementami A do elementów której kolumny macierzy W trzeba pomnożyć, żeby otrzymać elementy macierzy Z, a linie to kolory elementu macierzy C odpowiednie elementy macierzy są połączone A I B, których produkty dodaje się w celu uzyskania elementu matrycy C.

W efekcie otrzymujemy elementy iloczynu macierzowego:

Teraz mamy już wszystko do zapisania iloczynu dwóch macierzy:

.

Iloczyn dwóch macierzy AB ma sens tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A pokrywa się z liczbą wierszy macierzy W.

Ta ważna funkcja będzie łatwiejsza do zapamiętania, jeśli częściej będziesz korzystać z następujących przypomnień:

Jest jeszcze jedna ważna cecha iloczynu macierzy w odniesieniu do liczby wierszy i kolumn:

W iloczynie macierzy AB liczba wierszy jest równa liczbie wierszy macierzy A, a liczba kolumn jest równa liczbie kolumn macierzy W .

Przykład 2. Znajdź liczbę wierszy i kolumn macierzy C, który jest iloczynem dwóch macierzy A I B następujące wymiary:

a) 2 X 10 i 10 X 5;

b) 10 X 2 i 2 X 5;

Przykład 3. Znajdź iloczyn macierzy A I B, Jeśli:

.

A B- 2. Zatem wymiar matrycy C = AB- 2X2.

Obliczanie elementów macierzy C = AB.

Znaleziony iloczyn macierzy: .

Rozwiązanie tego i innych podobnych problemów możesz sprawdzić na stronie kalkulator produktu matrycowego online .

Przykład 5. Znajdź iloczyn macierzy A I B, Jeśli:

.

Rozwiązanie. Liczba wierszy macierzy A- 2, liczba kolumn w macierzy B C = AB- 2X1.

Obliczanie elementów macierzy C = AB.

Iloczyn macierzy zostanie zapisany jako macierz kolumnowa: .

Rozwiązanie tego i innych podobnych problemów możesz sprawdzić na stronie kalkulator produktu matrycowego online .

Przykład 6. Znajdź iloczyn macierzy A I B, Jeśli:

.

Rozwiązanie. Liczba wierszy macierzy A- 3, liczba kolumn w macierzy B- 3. Zatem wymiar matrycy C = AB- 3 X 3.

Obliczanie elementów macierzy C = AB.

Znaleziony iloczyn macierzy: .

Rozwiązanie tego i innych podobnych problemów możesz sprawdzić na stronie kalkulator produktu matrycowego online .

Przykład 7. Znajdź iloczyn macierzy A I B, Jeśli:

.

Rozwiązanie. Liczba wierszy macierzy A- 1, liczba kolumn w macierzy B- 1. Zatem wymiar matrycy C = AB- 1 X 1.

Obliczanie elementu macierzy C = AB.

Iloczyn macierzy jest macierzą jednego elementu: .

Rozwiązanie tego i innych podobnych problemów możesz sprawdzić na stronie kalkulator produktu matrycowego online .

Implementację programową iloczynu dwóch macierzy w języku C++ omówiono w odpowiednim artykule w bloku „Komputery i programowanie”.

Potęgowanie macierzy

Podniesienie macierzy do potęgi definiuje się jako pomnożenie macierzy przez tę samą macierz. Ponieważ iloczyn macierzy istnieje tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszej macierzy pokrywa się z liczbą wierszy drugiej macierzy, do potęgi można podnieść tylko macierze kwadratowe. N potęgę macierzy poprzez pomnożenie macierzy przez nią samą N raz:

Przykład 8. Biorąc pod uwagę macierz. Znajdować A² i A³ .

Znajdź sam iloczyn matrycy, a następnie spójrz na rozwiązanie

Przykład 9. Biorąc pod uwagę macierz

Znajdź iloczyn danej macierzy i macierzy transponowanej, iloczyn macierzy transponowanej i danej macierzy.

Własności iloczynu dwóch macierzy

Właściwość 1. Iloczyn dowolnej macierzy A i macierzy tożsamości E odpowiedniego rzędu, zarówno po prawej, jak i po lewej stronie, pokrywa się z macierzą A, tj. AE = EA = A.

Innymi słowy, rola macierzy jednostkowej w mnożeniu macierzy jest taka sama, jak rola jednostek w mnożeniu liczb.

Przykład 10. Sprawdź, czy Właściwość 1 jest prawdziwa, znajdując iloczyny macierzy

do macierzy tożsamości po prawej i lewej stronie.

Rozwiązanie. Od matrixa A zawiera trzy kolumny, musisz znaleźć produkt AE, Gdzie

-
macierz tożsamości trzeciego rzędu. Znajdźmy elementy dzieła Z = AE :

Okazało się, że AE = A .

Teraz znajdźmy produkt EA, Gdzie mi jest macierzą tożsamości drugiego rzędu, ponieważ macierz A zawiera dwa wiersze. Znajdźmy elementy dzieła Z = EA :

Twierdzenie. Niech A i B będą dwiema macierzami kwadratowymi rzędu n. Wtedy wyznacznik ich iloczynu jest równy iloczynowi wyznaczników, tj.

| AB | = | A| | B|.

¢ Niech A = (a ij) n x n , B = (b ij) n x n . Rozważmy wyznacznik d 2 n rzędu 2n

d2n = | | | B | (-1) 1 + ... + n + 1 + ... + n = | | | B|.

Jeśli pokażemy, że wyznacznik d 2 n jest równy wyznacznikowi macierzy C=AB, wówczas twierdzenie zostanie udowodnione.

W d 2 n dokonamy następujących przekształceń: do 1 linii dodajemy (n+1) linię pomnożoną przez 11; (n+2) ciąg znaków pomnożony przez 12 itd. (2n) ciąg znaków pomnożony przez 1 n . W wynikowym wyznaczniku pierwszych n elementów pierwszego wiersza będzie zerami, a pozostałych n elementów będzie wyglądało następująco:

za 11 b 11 + za 12 b 21 + ... + za 1n b n1 = do 11;

za 11 b 12 + za 12 b 22 + ... + za 1n b n2 = do 12;

za 11 b 1n + za 12 b 2n + ... + za 1n b nn = do 1n.

Podobnie otrzymujemy zera w 2, ..., n wierszach wyznacznika d 2 n, a ostatnich n elementów w każdym z tych wierszy stanie się odpowiednimi elementami macierzy C. W efekcie wyznacznik d 2 n wynosi przekształcony w równy wyznacznik:

d2n = | C | (-1) 1 + ... + n + ... + 2n = |AB|. £

Konsekwencja. Wyznacznik iloczynu skończonej liczby macierzy kwadratowych jest równy iloczynowi ich wyznaczników.

¢ Dowód przeprowadza się metodą indukcji: | ZA 1 ... ZA i +1 | = | A 1 ... A ja | | A i +1 | = ... = = | 1 | ... | A i +1 | . Ten łańcuch równości jest poprawny zgodnie z twierdzeniem. £

Odwrotna macierz.

Niech A = (a ij) n x n będzie macierzą kwadratową nad ciałem P.

Definicja 1. Macierz A nazwiemy liczbą pojedynczą, jeżeli jej wyznacznik będzie równy 0. W przeciwnym razie macierz A nazwiemy nieosobliwą.

Definicja 2. Niech A Î P n . Nazwiemy macierz B Î P n odwrotną do A jeśli AB = BA=E.

Twierdzenie (kryterium odwracalności macierzy). Macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest osobliwa.

¢ Niech A ma macierz odwrotną. Następnie AA -1 = E i stosując twierdzenie o mnożeniu wyznaczników otrzymujemy | | | A-1 | = | E | lub | | | A-1 | = 1. Dlatego | | Nie. 0.

Niech, z powrotem, | | ¹ 0. Należy pokazać, że istnieje taka macierz B, że AB = BA = E. Jako B bierzemy macierz:

gdzie A ij jest dopełnieniem algebraicznym elementu a ij. Następnie

Należy zaznaczyć, że wynikiem będzie macierz jednostkowa (wystarczy skorzystać z Wniosków 1 i 2 z twierdzenia Laplace’a § 6), tj. AB = E. Podobnie pokazano, że BA = E. £

Przykład. Dla macierzy A znajdź macierz odwrotną lub udowodnij, że ona nie istnieje.

det A = -3 istnieje macierz odwrotna. Teraz obliczamy dodawanie algebraiczne.

ZA 11 = -3 Za 21 = 0 Za 31 = 6

Za 12 = 0 Za 22 = 0 Za 32 = -3

ZA 13 = 1 Za 23 = -1 Za 33 = -1

Zatem macierz odwrotna wygląda następująco: B = =

Algorytm znajdowania macierzy odwrotnej macierzy A.

1. Oblicz det A.

2. Jeżeli wynosi 0, to macierz odwrotna nie istnieje. Jeśli det A nie jest równe 0, obliczamy dodawanie algebraiczne.

3. W odpowiednich miejscach wstawiamy dodatki algebraiczne.

4. Podziel wszystkie elementy powstałej macierzy przez det A.

Ćwiczenie 1. Dowiedz się, czy macierz odwrotna jest wyjątkowa.

Ćwiczenie 2. Niech elementy macierzy A będą liczbami całkowitymi wymiernymi. Czy elementy macierzy odwrotnej będą liczbami całkowitymi wymiernymi?

Układy równań liniowych.

Definicja 1. Równanie w postaci a 1 x 1 + ....+a n x n =b, gdzie a, ...,a n są liczbami; x 1 , ... , x n - niewiadome, zwane równaniem liniowym z N nieznany.

S równania z N niewiadome nazywa się systemem S równania liniowe z N nieznany, tj.

Macierz A złożona ze współczynników niewiadomych układu (1) nazywana jest macierzą układu (1).

.

Jeśli do macierzy A dodamy kolumnę wolnych wyrazów, otrzymamy rozszerzoną macierz układu (1).

X = - kolumna niewiadomych.

Kolumna wolnych członków.

W postaci macierzowej układ wygląda następująco: AX=B (2).

Rozwiązaniem układu (1) jest zbiór uporządkowany N liczby (α 1 ,…, α n) takie, że jeśli dokonamy podstawienia w (1) x 1 = α 1 , x 2 = α 2 ,…, x n = α n , to otrzymamy tożsamości numeryczne.

Definicja 2. System (1) nazywa się spójnym, jeśli ma rozwiązania, a niespójnym w przeciwnym razie.

Definicja 3. Dwa systemy nazywamy równoważnymi, jeśli ich zbiory rozwiązań pokrywają się.

Istnieje uniwersalny sposób rozwiązania układu (1) - metoda Gaussa (metoda sekwencyjnej eliminacji niewiadomych), patrz strona 15.

Rozważmy bardziej szczegółowo przypadek, kiedy s = n. Istnieje metoda Cramera do rozwiązywania takich układów.

Niech d = det,

d j jest wyznacznikiem d, w którym j-ta kolumna zostaje zastąpiona kolumną wolnych terminów.

Twierdzenie (reguła Cramera). Jeżeli wyznacznik układu d ¹ 0, to układ ma jednoznaczne rozwiązanie, otrzymane za pomocą wzorów:

x 1 = re 1 / re…x n = re n / re

¢Idea dowodu polega na przepisaniu układu (1) w postaci równania macierzowego. Włóżmy

i rozważ równanie AX = B (2) z nieznaną macierzą kolumnową X. Ponieważ A, X, B są macierzami wielkości n x n, n x 1, n x 1 W związku z tym iloczyn macierzy prostokątnych AX jest zdefiniowany i ma takie same wymiary jak macierz B. Zatem równanie (2) ma sens.

Związek między układem (1) a równaniem (2) polega na tym, jakie jest rozwiązanie danego układu wtedy i tylko wtedy

kolumna jest rozwiązaniem równania (2).

Rzeczywiście, to stwierdzenie oznacza równość

=

Ponieważ ,

gdzie A ij jest dopełnieniem algebraicznym elementu a ij w wyznaczniku d, wówczas

= ,

skąd (4).

W równości (4) w nawiasie zapisano rozwinięcie na elementy j-tej kolumny wyznacznika d j , które otrzymuje się z wyznacznika d po jego zastąpieniu

j-ta kolumna to kolumna wolnych terminów. Dlatego, x jot = re jot / re.£

Konsekwencja. Jeśli jednorodny układ n równań liniowych z N niewiadomych ma rozwiązanie niezerowe, to wyznacznik tego układu jest równy zero.

TEMAT 3. Wielomiany w jednej zmiennej.

Oznaczono wyznacznik macierzy. Innymi słowy wyznacznikiem macierzy jest suma iloczynów ze zbioru pomnożona przez znak odpowiedniego podstawienia.

Wyznacznik drugiego rzędu jest równy iloczynowi elementów przekątnej głównej, odejmując iloczyn elementów znajdujących się na przekątnej bocznej.

Mamy regułę trójkąta:

Najprostsze własności wyznaczników

Wyznacznik macierzy z zerowym wierszem (kolumną) jest równy zero

Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów znajdujących się na głównej przekątnej

Jest to macierz trójkątna, jeśli elementy pod główną przekątną wynoszą zero.

Wyznacznik macierzy diagonalnej jest równy iloczynowi elementów znajdujących się na głównej przekątnej. Macierz jest diagonalna, jeśli wszystkie elementy znajdujące się poza główną przekątną mają wartość zero.

Podstawowe własności wyznaczników

pole skalarów,

Dowód:

oznaczmy Jeśli „przebiega” przez cały zbiór, to „przechodzi” także przez wszystko, tj.

Przy zmianie układu dwóch kolumn (wierszy) macierzy jej wyznacznik zmieni znak.

Dowód:

I) Zmiana układu kolumn:

Niech będzie macierzą uzyskaną przez przestawienie dwóch kolumn z liczbami, gdzie. Rozważmy transpozycję:

Transpozycja to dziwne podstawienie,

W dowodzie skorzystamy z równości:

Jeśli przebiega przez cały zestaw wartości, to przebiega również przez wszystkie wartości i

II) Przegrupowanie strun

Niech to będzie otrzymane z permutacji dwóch wierszy, a następnie otrzymane z permutacji dwóch kolumn

III) Wyznacznik macierzy mającej dwa identyczne wiersze (kolumny) równe zero

Dowód:

Przeprowadźmy dla takiego pola, gdzie

Komentarz

Znajdź dowód na tę tezę w podręczniku Kulikovej „Algebra i teoria liczb”.

Niech będą dwie identyczne linie z liczbami, a gdzie zamienimy linie i otrzymamy macierz

Jeśli są dwie identyczne kolumny, wówczas transponowana macierz ma dwa identyczne wiersze

IV) Jeśli pomnożymy wszystkie elementy dowolnego wiersza (kolumny) macierzy przez, to wyznacznik zostanie pomnożony przez

Dowód:

Niech to będzie otrzymane z mnożenia przez wiersze

od tego czasu

Podobny dowód dla kolumn

V) Wyznacznik macierzy, której dwa wiersze (kolumny) są proporcjonalne do zera

Dowód:

Niech wiersze macierzy będą proporcjonalne, tj. -string jest równy iloczynowi -stringu. Pozwalać

Dla kolumn:

Niech zostanie uzyskany z , . Kolumny są zarówno proporcjonalne, jak i

VI) Jeżeli każdy element wiersza (kolumny) macierzy kwadratowej jest sumą dwóch elementów, to wyznacznik jest równy sumie obu wyznaczników. W macierzy pierwszego wyznacznika, w wierszu (kolumnie) - zapisuje się pierwsze wyrazy, natomiast w macierzy drugiego wyznacznika zapisuje się drugie człony. Pozostałe elementy macierzy tych wyznaczników są takie same jak macierzy

Dowód:

VII) Jeśli do dowolnego wiersza (kolumny) macierzy wyznacznika dodamy kolejny wiersz (kolumnę) pomnożony przez, to wyznacznik nie ulegnie zmianie.

Dowód:

To samo z kolumnami.

VIII) Jeżeli dowolny wiersz (kolumna) macierzy jest liniową kombinacją innych wierszy (kolumn), to wyznacznik

Dowód:

Jeśli jakiś ciąg jest liniową kombinacją innych ciągów, to można do niego dodać inne ciągi, pomnożone przez skalary, tak aby otrzymać ciąg zerowy. Wyznacznik takiej macierzy jest równy zero.

(najpierw pomnóż pierwszą linię przez -2 i dodaj do drugiej, następnie przez -3 i dodaj do trzeciej). Ta zasada redukcji do postaci trójkątnej jest stosowana w przypadku wyznaczników porządku:

ponieważ wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów znajdujących się na głównej przekątnej.

Jeśli macierz kwadratowa jest iloczynem niektórych macierzy (które mogą być prostokątne), wówczas często ważna jest umiejętność wyrażenia wyznacznika iloczynu w kategoriach właściwości czynników. Poniższe twierdzenie jest tego mocnym wskaźnikiem.

Minory i dopełnienia algebraiczne.

Twierdzenia wyznacznikowe.

pole skalarów,

def. Drobnym elementem wyznacznika porządku jest wyznacznik porządku uzyskany przez skreślenie -wiersza i -kolumny.

Główne nieletnie wyznacznika

Istnieją kwalifikacje dla głównych nieletnich

Rozważmy macierz i obliczmy jej elementy drugorzędne

Definicja. Dopełnieniem algebraicznym elementu jest liczba

Przykład: Obliczmy,

Dowód:

(w sumie tylko te wyrazy są niezerowe, gdzie)

Wtedy podstawienie ma postać: , gdzie. Dopasujmy podstawienie, tj.

Taka zgodność nazywana jest odwzorowaniem jeden do jednego ze zbioru permutacji na zbiór permutacji. Oczywiście mają te same inwersje, co oznacza, że ​​mają tę samą parzystość i znaki

Jeżeli wszystkie elementy dowolnego wiersza (kolumny) macierzy są równe zeru, z możliwym wyjątkiem jednego elementu, to wyznacznik macierzy jest równy iloczynowi tego elementu i jego uzupełnienia algebraicznego

Dowód:

Niech wszystkie elementy będą wierszami macierzy z wyjątkiem elementu

przestawiając wiersze i kolumny przesunęliśmy element w prawy dolny róg, czyli wiersze i kolumny. Znak zmieni się raz, po czym wynikiem będzie macierz, w której wszystkie elementy ostatniego wiersza z wyjątkiem może być równe zeru. Zgodnie z Lematem 1, ponieważ

Twierdzenie Lagrange'a

jest równa sumie iloczynów elementów dowolnej kolumny (wiersza) macierzy i ich uzupełnienia algebraicznego. Innymi słowy: rozkład wzdłuż -kolumny macierzy ma postać: , a rozkład wzdłuż -rzędu macierzy:

Dowód:

rozważ -kolumnę macierzy i zapisz ją w postaci: , zgodnie z 6. właściwością wyznaczników:

wyznacznik macierzy lagranżowskiej matematycznej

Wzór na rozkład w wierszu macierzy dowodzi się w podobny sposób.

Twierdzenie 2

Obowiązują następujące równości:

Rozważmy macierz otrzymaną z macierzy w następujący sposób: wszystkie kolumny macierzy, z wyjątkiem kolumny th, są takie same jak kolumny macierzy. Kolumna macierzy pokrywa się z -tą kolumną, wówczas mają dwie identyczne kolumny, więc wyznacznik macierzy jest równy zeru, rozwińmy wyznacznik macierzy w -tej kolumnie.

Następnie. Wzór (2) pokazano podobnie.

Konsekwencja:

Wyznacznik iloczynu macierzowego

pole skalarów,

Niech macierz elementarna będzie uporządkowana, wtedy spełniona będzie równość:

1) ., tj. otrzymane z macierzy poprzez pomnożenie wiersza przez skalar. Wyznacznik macierzy.

Macierz otrzymuje się mnożąc wiersz - przez skalar, a więc wyznacznik

Macierz uzyskana przez dodanie do -row

• -macierze elementarne
• 1), dowód wynika z Lematu 1

2), dowód z dostarczonego twierdzenia (1).

Twierdzenie 1

Wyznacznik iloczynu dwóch macierzy jest równy iloczynowi ich wyznaczników, tj.

Dowód:

Niech wiersze macierzy będą liniowo niezależne, wówczas istnieje łańcuch przekształceń elementarnych

to z Lematu 2 wynika, że. Z czego () mamy: , zatem

2) Wiersze są zależne liniowo, wówczas istnieje łańcuch przekształceń elementarnych, który przekłada się na macierz rzutową, która ma wiersz zerowy, tj. , . Następnie

Z tego, że w produkcie jest również linia zerowa, ponieważ

Warunki konieczne i wystarczające, aby wyznacznik był równy zero

pole skalarne, - macierz nad polem

Twierdzenie 1

wiersze (kolumny) macierzy są liniowo zależne

Adekwatność:

Jeżeli wiersze (kolumny) macierzy są zależne liniowo, to jakiś wiersz jest liniową kombinacją innych wierszy (każdy po 8 właściwości wyznaczników)

Konieczność:

Zostawiać. Udowodnimy, że wiersze są liniowo zależne. Załóżmy, że ciągi są liniowo niezależne, wówczas istnieje łańcuch elementarnych transformacji, który się tłumaczy. Z tego, co zostało udowodnione w punkcie II wynika, że. Otrzymaliśmy sprzeczność. Udowodnimy, że jeśli -wiersz macierzy jest liniowo zależny, ale (liczba wektorów kolumnowych) jest liniowo zależna.

Twierdzenie 2

następujące warunki są równoważne:

• 2) - liniowo zależny
• 3) -odwracalne
• 4) można przedstawić jako iloczyn macierzy elementarnych

Dowód:

udowodnione w Twierdzeniu 1

Podział macierzy

Jeśli macierz, macierz, macierz i macierz są zapisane w formie

Następnie tworzą pewną matrycę. W tym przypadku można je nazwać blokami matrycowymi. I odpowiednio oznakowane. Reprezentacja (1) nazywana jest podziałem macierzy.

Jeżeli iloczyn macierzy istnieje i jest podzielony na bloki, a podział wzdłuż kolumn macierzy odpowiada podziałowi wzdłuż rzędów macierzy, to możemy się spodziewać, że ma ona bloki określone wzorem

Zakładamy zatem, że iloczyn macierzy w postaci bloków otrzymany przez odpowiednie podziały czynników formalnie pokrywa się z iloczynem tych macierzy w postaci elementów skalarnych. Pokażmy to na przykładzie:

Ćwiczenie 1. Pozwalać

Można to sprawdzić za pomocą bezpośrednich obliczeń

Twierdzenie (1)

Niech macierz ma bloki, gdzie jest macierzą, a macierz z blokami o rozmiarze. Następnie ma bloki

Dowód. Należy pamiętać, że każdy produkt istnieje i jest macierzą. Zatem istnieje i będzie matryca. W przypadku stałych każdy ma kolumny, a w przypadku stałych każdy ma wiersze, co oznacza, że ​​​​bloki jakiejś macierzy.

Pozwolić będzie jakimś elementem macierzy znajdującym się w komórce blokowej. Ponieważ w komórkach i macierzach istnieje suma elementów, . Ale element macierzy w komórce jest sumą iloczynów elementów w wierszu macierzy i elementów w kolumnie macierzy. Ponadto elementy wiersza macierzy pokrywają się z niektórymi elementami wiersza w, a mianowicie z, gdzie indeks jest określony przez nierówności

Elementy kolumny macierzy będą elementami w. Stąd,

Zdefiniowaliśmy drugorzędne porządki dla wyznacznika. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli z macierzy usuniemy wszystkie wiersze z wyjątkiem wierszy i wszystkie kolumny z wyjątkiem kolumn, to wyznacznik otrzymanej macierzy nazywa się mollem macierzy rzędu, wówczas

Minory, dla których nazywane są głównymi dla macierzy. Jeśli jest macierzą, to na przykład uzupełnieniem algebraicznym jest

Jeśli macierz kwadratowa jest iloczynem niektórych macierzy (które mogą być prostokątne), to czasami ważne jest wyrażenie wyznacznika iloczynu za pomocą właściwości czynników. Poniższe twierdzenie jest tego rodzaju potężnym wynikiem.

Komentarz. Operacja mnożenia macierzy jest nieprzemienna, tj. Rzeczywiście, jeśli produkt AB istnieje, to BA może w ogóle nie istnieć z powodu niedopasowania wymiarów (patrz poprzedni przykład). Jeśli istnieją zarówno AB, jak i BA, to mogą mieć różne wymiary (jeśli).

W przypadku macierzy kwadratowych tego samego rzędu iloczyny AB i BA istnieją i mają ten sam wymiar, ale odpowiadające im elementy na ogół nie są równe.

Jednak w niektórych przypadkach produkty AB i BA pokrywają się.

Rozważmy iloczyn macierzy kwadratowej A i macierzy jednostkowej E tego samego rzędu:

Ten sam wynik otrzymujemy dla produktu EA. Zatem dla dowolnej macierzy kwadratowej A AE = EA = A.

Odwrotna macierz.

Definicja 3.7. Macierz kwadratową A nazywa się liczbą pojedynczą jeśli i nieosobliwą jeśli.

Definicja 3.8. Macierz kwadratową B nazywa się odwrotnością macierzy kwadratowej A tego samego rzędu, jeśli AB = BA = E. W tym przypadku oznacza się B.

Rozważmy warunek istnienia macierzy odwrotnej do zadanej i sposób jej obliczenia.

Twierdzenie 3.2. Aby istniała macierz odwrotna, konieczne i wystarczające jest, aby macierz pierwotna była nieosobliwa.

Dowód.

1) Konieczność: od tego czasu (Twierdzenie 3.1) dlatego

2) Wystarczalność: ustaw macierz w postaci:

Wtedy dowolny element iloczynu (lub) nie leżący na głównej przekątnej jest równy sumie iloczynów elementów jednego wiersza (lub kolumny) macierzy A przez dopełnienia algebraiczne do elementów innej kolumny, a zatem jest równa 0 (jako wyznacznik w dwóch równych kolumnach). Elementy na głównej przekątnej są równe, zatem

*=. Twierdzenie zostało udowodnione.

Komentarz. Sformułujmy jeszcze raz sposób obliczania macierzy odwrotnej: jej elementy są algebraicznymi dopełnieniami elementów transponowanej macierzy A, podzielonych przez jej wyznacznik.