İrrasyonel integrallerin örnekleri. Karmaşık integraller

Mutlu okul yıllarını hatırlıyoruz. Matematik derslerindeki öncüler, kökleri incelemeye başlıyor, her şeyden önce kare kök ile tanıştı. Biz hadi alışverişe gidelim aynı şekilde.

Örnek 1.

Belirsiz bir integral bul

Entegre fonksiyonun analiz edilmesi, tablo integrallerine hiç hatırlatmadığı üzücü çıktıya gelirsiniz. Şimdi, eğer tüm bunlar sayısal olarak iyiydi - kolay olurdu. Ya da kök altta değildi. Veya polinom. Hayır kesirlerin Entegrasyon Yöntemleriayrıca yardım etmeyin. Ne yapalım?

İrrasyonel integrallerin ana resepsiyon çözümü, bizi tüm köklerden entegre fonksiyondan kurtaracak bir değişkenin değiştirilmesidir.

Bu değiştirme biraz tuhaf olduğuna dikkat edin, teknik uygulaması, derste göz önünde bulundurulan "Klasik" değiştirme yönteminden farklıdır. Belirsiz bir integralde yedek yöntemi.

İÇİNDE bu örnek Değiştirmeliyiz x. = t. 2, yani, kökünün altındaki "iksa" yerine sahip olacağız. t. 2. Değiştirme neden bu şekilde? Çünkü ve kökünü değiştirmenin bir sonucu olarak kaybolur.

Eğer bir kare kökü yerine Integrand fonksiyonunda ise, o zaman değiştirirdik. Varsa, o zaman harcanırdım.

Döneceğiz. Polinomu ne olur? Zorluk yok: eğer, sonra .

Diferansiyelin neler içine girdiğini öğrenmek için kalır. Bu böyle yapılır:

Değişimizi alıyoruz ve her iki parçadaki farklılıklar ilham vermek:

(Mümkün olduğu kadar ayrıntılı konuşun).

Çözümün dekorasyonu şöyle görünmelidir:

.

Değiştireceğiz: .

.

(1) Değiştirildikten sonra bir ikame (neler ve nerede gözden geçirildiği gibi) yürütüyoruz.

(2) İntegral dışındaki sabiti dayanırız. Sayısal ve paydayı azaltıyor t..

(3) Elde edilen integral tablodur, siteyi vurgulayarak entegrasyon için hazırlarız.

(4) Formülü kullanarak masaya entegre ediyoruz

.

(5) değiştirme yapmak. Nasıl bitti? Neyin dans ettiğini hatırlıyoruz: Eğer o zaman.

Örnek 2.

Belirsiz bir integral bul

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Her nasılsa, tek bir diferansiyel ile Örnek 1, 2 "çıplak" sayısal olarak gerçekleşti. Durumu düzeltin.

Örnek 3.

Belirsiz bir integral bul

Integrand fonksiyonunun ön analizi tekrar ışık yolu olmadığını gösterir. Ve bu yüzden kökten kurtulmanız gerekir.

Değiştireceğiz :.

Başına kök altındaki tüm ifadeyi belirtiriz. Buradaki önceki örneklerden değiştirilmesi uygun değildir (daha kesin olarak, yapılabilir, ancak bizi kökten kurtarmaz).

Her iki parçadaki farkları da çevirin:

Numarator çözdü. Payda ne yapmalı?

Değişimimizi alır ve ondan ifade ediyoruz :.

Eğer o zaman.

(1) Değiştirme uyarınca bir ikame gerçekleştiriyoruz.

(2) Saç numarası. Buradaki sabit, entegre işaretine katlanmamayı seçtim (bunu yapabilirsiniz, hata olmayacak)

(3) Numarayı miktarın kilidini açın. Bir kez daha, dersin ilk paragrafını tanıdıklarını şiddetle tavsiye ediyoruz. Bazı fraksiyonları entegre etmek. Sayısalın miktarında ayrışması ile rakipler irrasyonel integraller Bolca olacak, bu tekniği çözmek çok önemlidir.

(4) Numarayı paydaşa gönderin.

(5) Belirsiz bir integralin doğrusallığının özelliklerini kullanın. İkinci integralde, masanın üzerine sonraki entegrasyon için kareyi vurguluyoruz.

(6) Masayı entegre ediyoruz. İlk integral tamamen basittir, ikincisinde yüksek logaritmun tablo formülünü kullanıyoruz .

(7) Ters değiştirme yaptık. Eğer bir değiştirme yaptıysak, daha sonra geri:.

Örnek 4.

Belirsiz bir integral bul

Bu, daha önce önceki örneklerle çalıştırdıysanız, bağımsız bir çözüm için bir örnektir, sonra bir hataya izin verin! Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Prensip olarak, birkaç ile integraller de çözüldü aynısıÖrneğin kökler

Vb. Ve ne köklerin entegre işlevinde olursa farklı?

Örnek 5.

Belirsiz bir integral bul

Böylece bordro çıplak rakamlar için geldi. Böyle bir ayrılmaz bulunduğunda, genellikle korkutucu olur. Ancak korkular boşuna, uygun bir replasman yaptıktan sonra, Integrand basitleştirildi. Görev şu şekildedir: Derhal tüm köklerden kurtulmak için iyi bir değiştirme harcamak.

Farklı kökler verildiğinde, kesin bir çözüm şemasına uymak uygundur.

İlk olarak, taslaktaki orijinal işlevi yazıyoruz, tüm kökler formda sunuyoruz:

İlgileneceğiz mezarlıklardereceler:

İrrasyonel fonksiyonların sınıfı geniştir, bu nedenle bunları entegre etmenin evrensel yolu olamaz. Bu yazıda, en karakteristik irrasyonel bütünleştiricilerin en iyi türlerini vurgulamaya çalışacağız ve bunları entegrasyon yöntemine uymaya çalışacağız.

Diferansiyel bir işareti özetleme yönteminin uygun şekilde kullanıldığında durumlar vardır. Örneğin, türlerin belirsiz integrallerini bulurken, nerede p. - rasyonel kesir.

Misal.

Belirsiz bir integral bul .

Karar.

Bunu fark etmek zor değil. Bu nedenle, farkın işareti için özetliyoruz ve ilkel bir tablo kullanıyoruz:

Cevap:

.

13. Kesirli doğrusal ikame

A, B, C, D türünün integralleri geçerlidir, A, B, ..., D, G - doğal sayılar, rasyonel bir fonksiyonun entegrelerine - çok sayıda en küçük genel olarak Kesirlerin paydaları

Aslında, ikameden itibaren takip eder.

i.E. X ve DX, T'nin rasyonel fonksiyonlarıyla ifade edilir. Bu durumda, her fraksiyon derecesi, T'nin rasyonel bir işlevi ile ifade edilir.

Örnek 33.4.. İntegral bul

Çözüm: En küçük genel, fraksiyonların 2/3 ve 1 / 2'sinin çoklu paydasıdır.

Bu nedenle, X + 2 \u003d T 6, X \u003d T 6 -2, DX \u003d 6T 5 DT, bu nedenle,

Örnek 33.5. Entegreleri bulma yerini belirleyin:

Çözüm: I 1 Değiştirme X \u003d T 2, I 2 Değiştirme için

14. Trigonometrik Değiştirme

Tip integralleri, aşağıdaki trigonometrik ikameleri kullanarak trigonometrik fonksiyonlara bağlı fonksiyonlardan gelen integrallere yönlendirilir: X \u003d ve ilk integral için paramparça edin; x \u003d ikinci integral için bir TGT; üçüncü integral için.

Örnek 33.6. İntegral bulmak

Çözüm: X \u003d 2 SIN T, DX \u003d 2 COS TDT, T \u003d ARCSIN X / 2'yi yerleştirin. Sonra

Burada, entegre fonksiyon, X'e göre rasyonel bir fonksiyondur ve Radikal altında tam bir kareyi vurgulayın ve bir ikame, integraller belirtilen tür İntegraller zaten integral tipe, yani türde entegrallere verilir. Bu integraller uygun trigonometrik ikameler kullanılarak hesaplanabilir.

Örnek 33.7. İntegral bulmak

Çözüm: X2 + 2x-4 \u003d (x + 1) 2 -5, daha sonra X + 1 \u003d T, X \u003d T-1, DX \u003d DT. bu nedenle Koymak

Not: Tip entegral x \u003d 1 / T değiştirme kullanılarak bulmak kouracklydir.

15. Belirli bir integral

Fonksiyonun kesimde ayarlandığını varsayalım. Sakatlık belirli integral Kesim için fonksiyonlar gösterilir. Yani,

Fark formda yazılmıştır, o zaman . Nijenin entegrasyonun sınırları .

Örneğin, ilkel fonksiyonlardan biri. bu nedenle

16 . C sabit bir numara ise ƒ (x) açık, sonra

yani. Kalıcı çarpan, belirli bir bütünleşik işaretten çıkarılabilir.

▼ ƒ (x) ile bir fonksiyon için entegre bir miktarda bulunun. Sahibiz:

Sonra ƒ (x) işlevinin entegre olduğunu, [a; B] ve formül (38.1). ▲

2. ƒ 1 (x) ve ƒ 2 (x) işlevleri [a; b] 'e entegre edilirse, daha sonra [a; b] onların toplamı

yani. Miktardan gelen integral, integrallerin miktarına eşittir.

▼
▲

Mülkiyet 2, sonlu sayıların miktarının miktarı için geçerlidir.

3.

Bu özellik tanımla alınabilir. Bu özellik Newton Leibnic formülü tarafından da doğrulanmıştır.

4. İşlev ƒ (X) entegre edilmişse [a; b] ve bir< с < b, то

yani, segmentin her yerindeki integral, bu segmentin parçalarındaki integrallerin miktarına eşittir. Bu özelliğin belirli bir integral (veya katkı özelliğinin özelliğinin) katkı maddesi olarak adlandırılır.

Bölümün [a; b] bölümündeki bölümün üzerine bölünmesi durumunda, bölünme noktaları sayısıyla (bu, [a; b] bölümünü bölme yöntemi üzerindeki entegre miktarın bağımsızlığı nedeniyle yapılabilir. parça). Eğer c \u003d x m ise, entegral miktar iki miktara ayrılabilir:

Yazılı toplamların her biri sırasıyla, segmentler için entegredir; B], [a; C] ve [c; b]. N → ∞ (λ → 0) 'de son eşitlikte sınıra dönüş, eşitlik elde ediyoruz (38.3).

Mülkiyet 4, A, B, C noktalarının herhangi bir yeri için geçerlidir (ƒ (x) işlevinin ortaya çıkan segmentlerin daha büyüklerinde entegre olduğuna inanıyoruz).

Yani, örneğin, eğer bir< b < с, то

(Özellikler 4 ve 3 kullanılır).

5. "Orta teoremi." İşlev ƒ (X) segmentte sürekli ise [a; b], sonra є [a; b] öyle ki

▼ Newton-Ladeen Formula tarafından

burada f "(x) \u003d ƒ (x). Farkı uygulamak f (b) -f (a) Lagrange teoremi (fonksiyonun son artışındaki teorem), biz alırız

F (b) -f (a) \u003d f "(c) (b - a) \u003d ƒ (c) (b - a). ▲

Mülkiyet 5 ("ortalama" teoremi ") ƒ (x) ≥ 0, basit bir geometrik anlamı vardır: belirli bir integralin değeri, bazıları ile (a; b), bir olan dikdörtgenin alanı ile eşittir. Yükseklik ƒ (c) ve taban B-A (bkz. Şekil 170). Numara

segmentteki ƒ (x) işlevinin ortalama değeri olarak adlandırılır. b].

6. İşlev ƒ (X) segmentte bir işaret tutarsa, [a; b] nerede ve< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼ "orta teorem" (Mülkiyet 5)

є [a; b]. Ve çünkü ƒ (x) ≥ 0, tüm x î [a; b] sonra

ƒ (c) ≥0, b - A\u003e 0.

Bu nedenle, ƒ (c) (b - a) ≥ 0, yani ▲

7. Segmentteki sürekli fonksiyonlar arasındaki eşitsizlik [a; b], (bir

▼ ƒ 2 (x) -ƒ 1 (x) ≥0, sonra ne zaman< b, согласно свойству 6, имеем

Veya, mülk 2'ye göre,

Eşitsizliği ayırt etmenin imkansız olduğunu unutmayın.

8. İntegralin değerlendirilmesi. M ve M, sırasıyla, segmentte y \u003d ƒ (x) işlevinin en küçük ve en büyük değerleri ise, [a; grup< b), то

▼den beri herhangi bir x є [a; b] biz m≤ƒ (x) ≤m, daha sonra, Mülkiyet 7'ye göre, biz var

Aşırı integral mülkü 5 kullanarak, biz

▲

Eğer ƒ (x) ≥0 ise, Mülkiyet 8 XIA'yı geometrik olarak göstermektedir: eğrisel trapezyumun alanı, tabanın, taban ve yüksekliklerin m ve m'ye eşittir (bakınız Şekil 2'ye eşittir). 171).

9. Belirli bir integralin modülü, değiştirme fonksiyon modülünden entegreyi aşmaz:

▼ Mülkiyet 7 Uygulama 7'nin açık eşitsizliklere - | ƒ (x) | ≤ƒ (x) ≤ | ƒ (x) |, biz al

Dolayısıyla bunu takip ediyor

▲

10. Değişken üst sınırdaki belirli bir integralin türevi, entegrasyon değişkeninin bu sınırla değiştirildiği integran fonksiyonuna eşittir, yani.

Şekildeki figürünün hesaplanması, alan teorisinin en basit sorunlarından biridir. Geometri okulunda, ana geometrik figürlerin alanını, örneğin bir daire, üçgen, eşkenar dörtgen vb. Bulmayı öğrendik. Bununla birlikte, çok daha sık, daha karmaşık figürlerin karelerinin hesaplanmasından çok daha fazla gelir. Bu tür görevleri çözerken, integral hesaplamaya başvurmanız gerekir.

Bu yazıda, eğrisel trapeziumun alanını hesaplama görevini göz önünde bulunduracağız ve biz geometrik bir anlamda yaklaşacağız. Bu, belirli bir integral ile bir eğrisel trapez alanı arasındaki doğrudan bağlantıyı bulmamıza izin verecektir.

Sınıfları miktarlarla karakterize edildiğinden, irrasyonel denklemleri çözmek için evrensel bir yöntem yoktur. Makale, entegrasyon yöntemini kullanarak karakteristik ikame denklem türlerini vurgulayacaktır.

Doğrudan entegrasyon yöntemini kullanmak için, ∫ K X + B P D X'in belirsiz integrallerini hesaplamak için gereklidir, burada p rasyonel bir çekimdir, K ve B geçerli katsayılardır.

Örnek 1.

İlkel fonksiyonları Y \u003d 1 3 x - 1 3 bul ve hesaplayın.

Karar

Entegrasyon kuralına göre, formül ∫ F (K · X + B) DX \u003d 1 K · F (K · X + B) + C'yi uygulamak gerekir ve birincil tablosu hazır olduğunu göstermektedir. - Bu fonksiyonun yapımı çözümü. Bunu alıyoruz

∫ DX 3 x - 1 3 \u003d ∫ (3 x - 1) - 1 3 DX \u003d 1 3 · 1 - 1 3 + 1 · (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C \u003d \u003d 1 2 (3 x - 1) 2 3 + c

Cevap: ∫ D x 3 x - 1 3 \u003d 1 2 (3 x - 1) 2 3 + c.

Diferansiyel işaretini toplama yöntemini kullanabileceğiniz durumlar vardır. Bu, ∫ F "(x) · (F (x)) P D X biçiminin belirsiz integrallerini bulma ilkesi üzerine çözülür.

Örnek 2.

Belirsiz bir integral ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 D X bulun.

Karar

D x 3 + 5 x 7 \u003d x 3 + 5 x 7 "d x \u003d (3 x 2 + 5) D x. Sonra ilkel tablolarını kullanarak farkı özetlemek için gereklidir. Biz elde ettik

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 DX \u003d ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 · (3 x 2 + 5) DX \u003d \u003d ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 D (x 3 + 5 x - 7) \u003d x 3 + 5 x - 7 \u003d z \u003d \u003d ∫ z - 7 6 DZ \u003d 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + c \u003d - 6 z - 1 6 + c \u003d z \u003d x 3 + 5 x - 7 \u003d - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + c

Cevap: ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 D X \u003d - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + c.

Belirsiz integrallerin çözümü, P ve Q'nin geçerli katsayıları olan ∫ D X X2 + P X + Q formülünü sağlar. O zaman kökten tam bir kareyi vurgulamak gerekir. Bunu alıyoruz

x 2 + P X + Q \u003d X 2 + P X + P 2 2 - P 2 2 + Q \u003d X + P 2 2 + 4 Q - P 2 4

Belirsiz integraller tablosunda bulunan formülü uygulamak, biz:

∫ d x x 2 ± α \u003d ln x + x 2 ± α + c

Daha sonra, integralin hesaplanması üretilir:

∫ DXX 2 + PX + Q \u003d ∫ DXX + P 2 2 + 4 Q - P 2 4 \u003d LN X + P 2 + X + P 2 2 + 4 Q - P 2 4 + C \u003d LN X + P 2 + X 2 + px + q + c

Örnek 3.

∫ D x 2 x 2 + 3 x - 1 formunun belirsiz bir integrali bulun.

Karar

Hesaplamak için, 2 numaraya katlanmanız ve radikalin önüne yerleştirmeniz gerekir:

∫ D x 2 x 2 + 3 x - 1 \u003d ∫ D x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 \u003d 1 2 ∫ D x x 2 + 3 2 x - 1 2

Besleme ifadesinde eksiksiz bir karenin tahsisini yapın. Bunu alıyoruz

x 2 + 3 2 x - 1 2 \u003d x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 \u003d x + 3 4 2 - 17 16

Sonra 1 2 ∫ D XX2 + 3 2 x - 1 2 \u003d 1 2 ∫ D XX + 3 4 2 - 17 16 \u003d 1 2 LN X + 3 4 + X 2 + 3 2 x Formunun belirsiz bir integrali alıyoruz. - 1 2 + c

Cevap: D X X2 + 3 x - 1 \u003d 1 2 LN X + 3 4 + X 2 + 3 2 x - 1 2 + C

İrrasyonel fonksiyonların entegrasyonu aynı şekilde yapılır. Y \u003d 1 - x 2 + p x + q formunun fonksiyonları için geçerlidir.

Örnek 4.

Belirsiz bir integral ∫ D x - x 2 + 4 x + 5 bulun.

Karar

Öncelikle payderinin karesini kök ifadesinden çekmeniz gerekir.

∫ DX - x 2 + 4 x + 5 \u003d ∫ DX - x 2 - 4 x - 5 \u003d \u003d ∫ DX - X 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 \u003d ∫ DX - X - 2 2 - 9 \u003d ∫ DX - (x - 2) 2 + 9

Tablo integrali, ∫ DXA 2 - X 2 \u003d ARC SIN XA + C formuna sahiptir, sonra ∫ DX - X2 + 4 x + 5 \u003d ∫ DX - (X - 2) 2 + 9 \u003d ARC SIN X - 2 3 + C.

Cevap: ∫ D X - X 2 + 4 x + 5 \u003d A R C SIN X - 2 3 + c.

Formun ilkel irrasyonel fonksiyonlarını bulma süreci, mevcut M, N, P, Q'nin geçerli bir katsayılar olduğu ve üçüncünün basit fraksiyonlarının entegrasyonu ile benzerliğe sahip olan Tür. Bu dönüşüm birkaç aşamaya sahiptir:

kökün alt kısmını, kök altındaki tam bir ifade karesinin tahsisi, tablo formüllerini uygulamak.

Örnek 5.

İlkel fonksiyonları bulun y \u003d x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Karar

Durumdan D (x 2 - 3 x + 1) \u003d (2 x - 3) DX ve X + 2 \u003d 1 2 (2 x - 3) + 7 2, daha sonra (x + 2) DX \u003d 1'e sahibiz. 2 (2 x - 3) + 7 2 DX \u003d 1 2 D (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 DX.

İntegrali hesaplayın: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 DX \u003d 1 2 ∫ D (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ DXX 2 - 3 x + 1 \u003d 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 D (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ DXX - 3 2 2 - 5 4 \u003d 1 2 · 1 - 1 2 + 1 · x 2 - 3 X + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 LN X - 3 2 + X - 3 2 - 5 4 + C \u003d \u003d x 2 - 3 x + 1 + 7 2 LN X - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + c

Cevap: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x \u003d x 2 - 3 x + 1 + 72 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + c.

∫ X M (A + B X N) P D X fonksiyonunun belirsiz integralleri arayışı, bir ikame yöntemi kullanılarak gerçekleştirilir.

Çözmek için yeni değişkenler girin:

1. P numarası tamsayısı olduğunda, X \u003d Z N ve N'nin m, n için ortak bir paydadır olduğuna inanılmaktadır.
2. M + 1 N bir tamsayı olduğunda, A + B X N \u003d Z N ve N, P sayısının bir paydasıdır.
3. M + 1 N + P bir tamsayı olduğunda, X değişkeninin girişi N + B \u003d Z N'dir ve N, P sayısının paydasıdır.

Örnek 6.

Belirli bir integral bul ∫ 1 x 2 x - 9 d x.

Karar

Bunu 1 x 2 x - 9 d x \u003d ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) 1 2 D X'dir. M \u003d - 1, n \u003d 1, p \u003d - 1 2, daha sonra M + 1 n \u003d - 1 + 1 1 \u003d 0'u takip eder. 9 + 2 x \u003d z 2 formunun yeni bir değişkeni girebilirsiniz. X üzerinden x'i ifade etmek gerekir. Çıkışlarda bunu alıyoruz

9 + 2 x \u003d z 2 ⇒ x \u003d z 2 + 9 2 ⇒ D x \u003d z 2 + 9 2 "D Z \u003d Z D Z - 9 + 2 x \u003d z

Belirtilen ayrılmaz bir ikame yapmak gerekir. Biz var

∫ D x x 2 x - 9 \u003d ∫ z d z z 2 + 9 2 · Z \u003d 2 ∫ D Z Z 2 + 9 \u003d 2 3 A R C T G 3 + C \u003d 2 3 A R C C T G 2 X - 9 3 + C

Cevap: ∫ D x x 2 x - 9 \u003d 2 3 A R C C T G 2 x - 9 3 + c.

İrrasyonel denklemlerin çözümünü basitleştirmek için, ana entegrasyon yöntemleri uygulanır.

Metinde bir hata görürseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşuna basın.

Altında irrasyonel Bağımsız bir değişkenin %% x %% veya bir polinomial %% P_N (x) 'nın %% N \\ in \\ Mathbb (n) %% Derecesi'nin %%'sının dahil edildiği ifadeyi anlayın. radikal (Latin'den radix. - kök), yani. Kesirli derecede erken. Değişkenin yedek ifadelerinin %% x %% x% X sınıfları, yeni değişkene göre rasyonel ifadelere indirgenebilir.

Bir değişkenin rasyonel fonksiyonu kavramı, birkaç argümana kadar uzatılabilir. %% u, v, \\ dotsc, w %%, fonksiyonun değerini hesaplarken, yalnızca aritmetik eylemler ve tüm derecenin yapımı, genellikle %% tarafından gösterilen bu argümanların rasyonel fonksiyonunda sağlanır. R (u, v, \\ dotsc, w) %%. Böyle bir fonksiyonun kendilerinin argümanları, %% \\ sqrt [n] (x), n \\ in \\ Mathbb (n), n \\ in \\ MathBB (n), n \\ in \\ Mathbb (n) %% olan radikaller dahil olmak üzere bağımsız permaal %% x fonksiyonları olabilir. Örneğin, rasyonel fonksiyon $$ r (u, v, w) \u003d \\ frac (U + V ^ 2) (W) $$ %% u \u003d x, v \u003d \\ sqrt (x) %% ve %% w \u003d \\ sqrt (x ^ 2 + 1) %%, rasyonel bir fonksiyondur $$ r \\ sol (x, \\ sqrt (x), \\ sqrt (x ^ 2 + 1) \\ sağ) \u003d \\ frac (x + \\ SQRT (x ^ 2)) (\\ sqrt (x ^ 2 + 1)) \u003d F (x) $$ %% x %% ve radikalleri %% \\ sqrt (x) %% ve %% \\ sqrt (x ^ 2 + 1) %%, %% F (x) işlevi %%, bir bağımsız değişkenin %% x %%'lik bir irrasyonel (cebirsel) işlevidir.

%% \\ int r (x, x, x, x, x, x, x, x, x) \\ mathrm (d) x %% olan integralleri göz önünde bulundurun. Bu tür integraller %% T \u003d \\ sqrt [n] (x) değişkenini değiştirerek rasyonalize edilir, ardından %% x \u003d t ^ n, \\ mathrm (d) x \u003d nt ^ (n - 1) %%.

Örnek 1.

%% \\ displayStyle \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x)) %%.

İstenilen argümanın entegre fonksiyonu, %% 2'sinin %%%%%%%3'ün radikallerinden bir fonksiyon olarak yazılmıştır. En küçük toplam çoklu numara %% 2 %% ve %%3 %%%%% 6'dır, o zaman bu integral, %% \\ int r (x, x, x, x) \\ mathrm (d) entegral tipidir. %% ve %% \\ sqrt (x) \u003d t %% değiştirilerek rasyonelleştirilebilir. Daha sonra %% x \u003d t ^ 6, \\ mathrm (d) x \u003d 6t \\ mathrm (d) t, \\ sqrt (x) \u003d t ^ 3, \\ sqrt (x) \u003d t ^ 2 %%. Sonuç olarak, $$ \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x)) \u003d \\ int \\ frac (6t ^ 5 \\ Mathrm (d) t) (t ^ 3 + T ^ 2) \u003d 6 \\ int \\ frac (t ^ 3) (t + 1) \\ Mathrm (d) T. $$ %% T \u003d 1 \u003d z, \\ mathrm (d) t \u003d \\ mathrm (d) z, z \u003d t + 1 \u003d \\ sqrt (x) + 1 %% ve $$ \\ BAŞLATMA (Diz) (LL) oluşturun ) \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x)) Δ \u003d 6 \\ int \\ frac ((z-1) ^ 3) (z) \\ Mathrm (d) T \u003d \\\\\\ & \u003d 6 \\ int z ^ 2 dz -18 \\ int z \\ mathrm (d) z + 18 \\ int \\ mathrm (d) z -6 \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) z) (z ) \u003d \\\\ & \u003d 2z ^ 3 - 9 z ^ 2 + 18Z -6 \\ ln | z | + C \u003d \\\\ \\ \u003d 2 \\ sol (\\ sqrt (x) + 1 \\ sağ) ^ 3 - 9 \\ Sol (\\ sqrt (x) + 1 \\ sağ) ^ 2 + \\\\ & + ~ 18 \\ Sol ( \\ Sqrt (x) + 1 \\ sağ) - 6 \\ ln \\ sol | \\ sqrt (x) + 1 \\ sağ | + C \\ end (dizi) $$

%% \\ int r (x, x, x, \\ sqrt [n] (x) \\ Mathrm (d) x %% Türünün integralleri, özel bir kesirli lineer meyillik durumundadır, yani. Form %% \\ DisplayStyle \\ Int R \\ sol (x, \\ sqrt [n] (\\ DFRAC (AX + B) (CD + D)) \\ sağ) \\ mathrm (d) x %%, %% AD - BC \\ NEQ% 0, %% T \u003d \\ SQRT [n] (\\ dFrac (Ax + B) (CD + D)) değişkenini değiştirerek rasyonalizasyona izin veren %%, daha sonra %% X \u003d \\ DFrac ( Dt ^ n - b) (a - ct ^ n) %%. Daha sonra $$ \\ Mathrm (d) x \u003d \\ frac (n t ^ (n - 1) (AD - BC)) (\\ sol) ^ 2) \\ Mathrm (d) T. $$.

Örnek 2.

%% \\ displayStyle \\ int \\ sqrt (\\ DFrac (1 -x) (1 + x)) \\ dFrac (\\ mathrm (d) x) (x + 1) %%.

%% t \u003d \\ sqrt (\\ dfrac (1 -x) (1 + x)) oluşturmak %%, o zaman %% x \u003d \\ dfrac (1 - t ^ 2) (1 + t ^ 2) (1 + t ^ 2) %%, $$ \\ BACAK (dizi) (l) \\ mathrm (d) x \u003d - \\ frac (4t \\ mathrm (d) t) (\\ sol (1 + t ^ 2 \\ sağ) ^ 2), \\\\ 1 + x \u003d \\ Frac (2) (1 + t ^ 2), \\\\ \\ frac (1) (x + 1) \u003d \\ frac (1 + t ^ 2) (2). \\ Ucu (dizi) $$ Bu nedenle $$ \\ BAŞLAT (Dizi) (L) \\ int \\ sqrt (\\ DFrac (1-x) (1 + x)) \\ frac (\\ mathrrm (d) x) (x + 1 ) \u003d \\\\ \u003d \\ frac (t (1 + t ^ 2)) (2) \\ sol (- \\ frac (4t \\ mathrm (d) t) (\\ sol (1 + T ^ 2 \\ sağ) ^ 2) \\ Sağ) \u003d \\\\ \u003d -2 \\ int \\ frac (t ^ 2 \\ mathrm (d) t) (1 + t ^ 2) \u003d \\\\ \u003d -2 \\ int \\ Mathrm (d) t + 2 \\ int \\ Frac (\\ mathrm (d) t) (1 + t ^ 2) \u003d \\\\ \u003d -2t + \\ Metin (ARCTG) ~ T + C \u003d \\\\ \u003d -2 \\ SQRT (\\ DFRAC (1-x) (1 + x)) + \\ Metin (ARCTG) ~ \\ SQRT (\\ DFRAC (1-x) (1 + x)) + C. \\ End (dizi) $$

%% \\ int r \\ sol formunun integrallerini göz önünde bulundurun (x, \\ sqrt (AX ^ 2 + BX + C) \\ sağ) \\ MATHRM (D) X %%. En basit durumlarda, değişkenleri değiştirmek için eksiksiz bir kareyi tahsis ettikten sonra, bu tür integraller sekmeli olarak azaltılır.

Örnek 3.

%% \\ DisplayStyle \\ Int \\ DFrac (\\ MathRM (D) X) (\\ SQRT (X ^ 2 + 4x + 5)) %%'yı bulun.

%% x ^ 2 + 4x + 5 \u003d (x + 2) ^ 2 + 1 %%, biz %% t \u003d x + 2, \\ mathrm (d) x \u003d \\ mathrm (d) t %% alacağız. , Sonra $$ \\ BAŞLATMA (dizi) (ll) \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x ^ 2 + 4x + 5)) & \u003d \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) t ) (\\ Sqrt (t ^ 2 + 1)) \u003d \\\\ \\ \\ \\ ln \\ Sol | t + \\ sqrt (t ^ 2 + 1) \\ sağ | + C \u003d \\\\ \\ \u003d \\ l \\ sol | x + 2 + \\ sqrt (x ^ 2 + 4x + 5) \\ sağ | + C. \\ End (dizi) $$

Daha karmaşık durumlarda, %% \\ int r \\ solundaki integralleri bulmak (x, \\ sqrt (AX ^ 2 + BX + C) \\ sağ) \\ mathrm (d) x %% kullanılır

Değişkenden gelen irrasyonel fonksiyon, değişken ve keyfi sabitlerden oluşan bir fonksiyondan, ekleme, çıkarma, çarpma (bir tamsayı derecesinde ereksiyon), bölünme ve çıkarma kökleri kullanılarak değişken ve keyfi sabitlerden oluşan bir fonksiyondur. İrrasyonel fonksiyon, irrasyonel fonksiyonun kök çıkarma işlemlerini içerdiğinden rasyonelden farklıdır.

Rasyonel fonksiyonlardan integrallere verilen üç ana irrasyonel fonksiyon, belirsiz integraller vardır. Bunlar, fraksiyonel doğrusal fonksiyondan keyfi tamsayı derecelerinin köklerini içeren integrallerdir (kökler çeşitli derecelerde olabilir, ancak aynı, fraksiyonel doğrusal fonksiyondan); Diferansiyel binomdan ve integrallerden kare kare kare kökü ile integraller.

Önemli bir açıklama. Kökler anlamlıdır!

Kökler içeren integralleri hesaplarken, formun türleri genellikle entegrasyon değişkeninden bazı fonksiyonların olduğu yerlerde bulunur. Aklında karşılanmalı. Bu, t\u003e ile 0, | t | \u003d T. . T. ile< 0, | t | \u003d - t. Bu nedenle, bu tür integralleri hesaplarken, durumları ayrı olarak düşünmeniz gerekir T\u003e 0 ve T.< 0 . Bu işaretler yazarsanız veya gerekli olduğu yerde yapılabilir. Üst tablonun durumuna işaret ettiğini ima eder\u003e 0 ve dibinde - kasaya t< 0 . Daha fazla dönüşüm ile, bu işaretler genellikle karşılıklı olarak azalır.

Entegre fonksiyonun ve entegrasyonun sonucunun karmaşık değişkenlerden karmaşık fonksiyonlar olarak kabul edilebileceği ikinci bir yaklaşım mümkündür. Sonra müstakil ifadelerdeki işaretleri takip edemezsiniz. Bu yaklaşım, entegre işlevin analitik olması durumunda, yani karmaşık bir değişkenden farklı bir işlevdir. Bu durumda, entegre fonksiyon ve bunun entegrali çok değerli fonksiyonlardır. Bu nedenle, entegrasyondan sonra, sayısal değerleri değiştirirken, Integrand fonksiyonunun belirsiz şubesini (Riemannian yüzeyi) seçmek ve entegrasyon sonucunun uygun dalını seçmek gerekir.

Lineer irrasyonalite

Bunlar, aynı fraksiyonel doğrusal fonksiyondaki kökleri olan integrallerdir:
,
R, rasyonel bir fonksiyondur - rasyonel sayılar, M1, n 1, ..., M, n, tam sayılar, α, β, γ, δ - geçerli numaralardır.
Bu tür integraller, rasyonel özellik işlevinden ayrılmazlığa düşürülür:
N, R1 sayısının ortak bir paydayıdır, ..., r s.

Kökler mutlaka bir kesirli doğrusal fonksiyondan değil, aynı zamanda doğrusaldan (γ \u003d) 0, δ \u003d 1) veya entegrasyon değişkeninden x (α \u003d 1, β \u003d 0, γ \u003d 0, δ \u003d 1).

İşte bu tür integrallerin örnekleri:
, .

Diferansiyel binomlardan entegraller

Diferansiyel binomlardan entegraller formu vardır:
,
Buradaki m, n, p rasyonel sayılar, A, B - geçerli numaralardır.
Bu tür integraller, üç olgudaki rasyonel fonksiyonlardan gelen integrallere düşürülür.

1) P bir tamsayı ise. N, N, N ve N bölümlerinin toplam paydası olduğu x \u003d tn.
2) Eğer - bütün. M yerine a x n + b \u003d t m, burada m sayısının sayısıdır.
3) Eğer - bir bütün. Değiştirme a + b x - n \u003d t m, burada M, P sayısının paydasıdır.

Diğer durumlarda, bu tür integraller temel fonksiyonlarla ifade edilmez.

Bazen bu tür integraller formüller kullanılarak basitleştirilebilir:
;
.

Kare kare kökü içeren integraller

Bu tür integraller:
,
R rasyonel bir fonksiyondur. Her bir entegre için çeşitli çözüm yöntemleri vardır.
1) Daha basit integrallere yol açmak için dönüşümleri kullanmak.
2) Trigonometrik veya hiperbolik ikameler uygulayın.
3) Euler değiştiricileri uygulayın.

Bu yöntemleri daha ayrıntılı olarak düşünün.

1) Integrand fonksiyonunun dönüşümü

Formülü kullanarak ve cebirsel dönüşümleri gerçekleştirme, zihin için bir rintroduct işlevi getirin:
,
burada φ (x), ω (x) rasyonel fonksiyonlardır.

Ben yazarım

Formun integrali:
,
p n (x) bir polinom derece n.

Bu tür integraller, kimlik kullanan belirsiz katsayıların yöntemidir:

.
Bu denklemi ayırt etmek ve sol ve sağ parçalara eşittir, bir I katsayılarını buluruz.

II Tip

Formun integrali:
,
P m (x) bir polinom derece m.

İkame t \u003d. (X - a) -1 Bu integral önceki türe yönlendirilir. M ≥ N ise, fraksiyonun tamamına tahsis edilmelidir.

III Tipi

Burada bir değiştirme yapıyoruz:
.
Bundan sonra ayrılmaz bir formu alır:
.
Sonra, Kalıcı α, β, Öyle ki, Öyleyse Katsayıların katsayıları sıfıra döndü:
B \u003d 0, b 1 \u003d 0.
Ardından, ayrılmaz, iki türün integrallerinin toplamını parçalayarak:
,
,
ikame ile entegre olan:
u 2 \u003d A 1 T 2 + Cı,
v 2 \u003d A 1 + Cı 1 T -2.

2) Trigonometrik ve hiperbolik ikameler

Formun integralleri için, > 0 ,
Üç ana ikame var:
;
;
;

İntegraller için bir > 0 ,
Aşağıdaki ikamelere sahibiz:
;
;
;

Ve nihayet integraller için, bir > 0 ,
İkameler aşağıdaki gibidir:
;
;
;

3) Euler Değiştiriciliği

Ayrıca, Euler'in üç ikamesinden birinin rasyonel fonksiyonlarından entegreleri de azaltılabilir:
,\u003e 0 ile;
, c\u003e 0 ile;
X 1, denklemin kökü olan X2 + B X + C \u003d 0'dır. Bu denklemin geçerli kökleri varsa.

Eliptik integraller

Sonuç olarak, formun integrallerini göz önünde bulundurun:
,
R rasyonel bir işlevdir. Bu tür integraller eliptik olarak adlandırılır. Genel olarak, temel fonksiyonlarla ifade edilmezler. Bununla birlikte, A, B, C, D, E katsayıları arasında ilişkiler olduğu durumlarda, bu tür integraller, temel fonksiyonlarla ifade edilir.

Aşağıda, dönüş polinomları ile ilişkili bir örnektir. Bu tür integrallerin hesaplanması, ikameler kullanılarak yapılır:
.

Misal

İntegrali hesaplayın:
.

Karar

İkame etmek.

.
Burada x\u003e 0 (U\u003e. 0 ) '+' İşaretini çekiyoruz. X ile< 0 (U.< 0 ) - düşük '-'.

.

Cevap

Referanslar:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Yüksek Matematik, "LAN", 2003'teki görevlerin toplanması.