Tabelle der Derivate und primitive Elementarfunktionen. DRUCKEN

Der Schulkurs Algebra umfasst Integration und Differenzierung. Um dieses Material zu erkunden, ist notwendig tabellen von Derivaten und Integralen. Um zu verstehen, wie Sie sie verwenden, müssen Sie die wichtigsten Bedingungen ermitteln.

Derivat F (x) - das Merkmal der Bedeutung der Änderung der Veränderung der primitiven Funktion f (x) an einem beliebigen Punkt des Graphen. Es drückt das maximale Verhältnis von Inkrementen der Funktion und dessen Argument aus, das auf Null strebt. Für den Fall, dass die Funktion an einem beliebigen Punkt ein endliches Derivat aufweist, differenziert es. Die Berechnung des Derivats ist differenziert.

Integral ∫ ist ein zitierter derivativer Wert, der die Größe eines bestimmten Teils des Diagramms ausdrückt. Der Integrationsprozess ist die Suche nach einer primitiven Funktion.

Die gleiche Funktion kann mehrere Primitiven haben. Zum Beispiel x ^ 2. Das Haupt-Primärgerät ist x ^ 3/3; x ^ 3/3 + 1. Letzte Ziffer Mit dem Buchstaben C bezeichnet und die Formel sieht so aus:

Wenn der C-stellt einen beliebigen Wert aufweist, ist das Integral unsicher, ob Beton definiert ist.

Tabellen abgeleitete Funktionen und tische Integrale Sie helfen, mit komplexen mathematischen Aufgaben schnell und korrekt umzugehen. Sie umfassen die meisten angewandten Werte, dank der Studenten müssen nicht auswendig lernen große Menge Formuläre

Tabelle der abgeleiteten Funktionen

Damit die notwendigen Materialien immer zur Hand waren, können Sie die Tabellenformeln herunterladen . Es enthält Formeln zum Berechnen derivative Grundfunktionen:

• trigonometrisch;
• logarithmisch;
• leistung;
• exponentiell.

Darüber hinaus gibt es ein besonderes tabelle der Derivate komplexer Funktionen. Es enthält auch Formeln für das Produkt von Funktionen, ihre Summen und privat.

Tabelle unsicherer und bestimmter Integrale

So schnell und korrekt Aufgaben für die Integration durchführen, können Sie laden Sie integrierte Tabellen herunterwo alle angelegten Formeln gesammelt werden. Sie bestehen aus zwei Säulen: Die erste enthält mathematische Formeln, die zweitscharfenen Erklärungen.

Tische enthalten grundintegraledie folgenden Funktionen:

• rational;
• exponentiell;
• logarithmisch;
• irrational;
• trigonometrisch;
• hyperbolisch.

Außerdem können Sie die Tabelle unsicherer Integrale herunterladen.

Betrüger mit Tischen von Integralen und Derivaten

Viele Lehrer erfordern die Studierenden, komplexe Formeln auswendig auswendig zu lernen. Der einfachste Weg, sich zu merken, ist eine dauerhafte Praxis, und dass die notwendigen Materialien zur Verfügung stehen, müssen Sie ihren Ausdruck erstellen.

Throat-Blatt mit Tabellen-Derivaten Und die Integrale helfen Ihnen, sich schnell an alle notwendigen Formeln zu erinnern und die Prüfungen erfolgreich weiterzugeben. Damit es kompakt und bequem ist, um zu verwenden, müssen Sie A5-Format - Hälfte des üblichen Blatts auswählen.

In einem früheren Material wurde das Problem des Findens eines Derivats berücksichtigt, und ihre verschiedenen Anwendungen wurden gezeigt: Berechnen des Winkelkoeffizienten des Tangentials, um zu planen, und löst Probleme zur Optimierung, das Studium der Funktionen für Monotonie und Extremum. $ \\ newcommand (\\ tg) (\\ mathop (\\ mathrm (TG)) \\ nolimits) $ \\ newcommand (\\ ctg) (\\ mathop (\\ mathrm (ctg)) \\ nolimits) $ $ \\ newcommand (\\ arCTG) (\\ Mathop (\\ mathrm (arCTG)) \\ nolimits) $ \\ newcommand (\\ arcctg) (\\ mathop (\\ mathrm (arcctg)) \\ nolimits) $

Bild 1.

Es wurde auch als Aufgabe angesehen, eine momentane Rate von $ V (t) $ mit einem vorbestimmten Pfad zu einem zuvor bekannten Pfad zu finden, der von der Funktion $ S (T) $ 3 ausgedrückt wurde.

Figur 2.

Es ist auch sehr oft die entgegengesetzte Aufgabe, wenn es notwendig ist, den Weg $ s (t) $ zu finden, der von einem Punkt während des $ T $ übergeht, wodurch die Geschwindigkeit des Punktes $ V (t) $ kennt. Wenn Sie sich erinnern, befindet sich die momentane Rate von $ V (t) $, als Ableitung der Pfadfunktion $ s (t) $: $ v (t) \u003d s '(t) $ $. Es bedeutet, dass Um das Feedback zu lösen, dh um den Pfad zu berechnen, müssen Sie eine Funktion finden, deren Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion entspricht. Wir wissen jedoch, dass das Derivat des Weges die Geschwindigkeit ist, dh $ s '(t) \u003d v (t) $. Die Geschwindigkeit ist gleich der Arbeit der Beschleunigung der Beschleunigung: $ v \u003d bei $. Es ist einfach zu bestimmen, dass die gewünschte Pfadfunktion angezeigt wird: $ s (t) \u003d \\ frac (bei ^ 2) (2) $. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung. Die komplette Lösung wird angezeigt: $ s (t) \u003d \\ frac (bei ^ 2) (2) + c $, wo $ C $ ein Teil ständig ist. Warum wird es als nächstes gesagt? Überprüfen Sie in der Zwischenzeit die Richtigkeit der gefundenen Lösung: $ s "(t) \u003d \\ links (\\ frac (at ^ 2) (2) + c \\ rechts)" \u003d 2 \\ frac (at) (2) + 0 \u003d At \u003d v (t) $.

Es ist erwähnenswert, dass das Finden des Pfads in der Geschwindigkeit die physische Bedeutung des Primitivs ist.

Die erhaltene Funktion $ s (t) $ wird als primitive Funktion $ V (t) $ $ bezeichnet. Ein ziemlich interessanter und ungewöhnlicher Name ist nicht wahr. Es liegt eine große Bedeutung, die das Wesentliche erklärt dieses Konzept Und führt zu seinem Verständnis. Es kann darauf hingewiesen werden, dass zwei Wörter "First" und "Image" darin abgeschlossen werden. Sie sprechen für sich. Das heißt, dies ist die Funktion, die das ursprüngliche Ableitung für die vorhandenen ist. Und wir sind in diesem Derivat auf der Suche nach der Funktion, die am Anfang war, war "zuerst", "zuerst" das heißt, der primäre. Es wird manchmal auch als primitive Funktion oder Anti -derivat genannt.

Wie wir bereits wissen, wird der Prozess des Findens eines Derivats Differenzierung genannt. Und der Prozess des Findens eines Primärs wird als Integration bezeichnet. Der Integrationsbetrieb ist umgekehrt um den Differenzierungsvorgang. Rechte und umgekehrte Anweisung.

Definition. Der erste, der $ f (x) $ fungiert, wird als FUNKTION $ F (x) $ aufgerufen (x) \u003d f (x) $.

Jemand kann eine Frage haben: wo es ein $ f (x) $ und $ F (x) $ in der Definition gab, wenn er ursprünglich um $ s (t) $ und $ v (t) $ war. Tatsache ist, dass $ s (t) $ und $ v (t) $ besondere Fälle von der Bezeichnung von Funktionen, die in diesem Fall eine bestimmte Bedeutung haben, dh die Funktion und die Geschwindigkeitsfunktion sind. Dasselbe mit einer variablen $ t $ - es bedeutet Zeit. Ein $ F $ und $ X $ ist eine traditionelle Version der allgemeinen Bezeichnung der Funktion bzw. der Variablen. Es lohnt sich, besondere Aufmerksamkeit auf die Bezeichnung eines primitiven $ f (x) $ zu beachten. Erstens ist $ F $ Capital. Perfekt bezeichnet großbuchstaben. Zweitens stimmen Buchstaben zusammen: $ F $ und $ F $. Das heißt, für die Funktion $ g (x) $, der erste wird von $ g (x) $, für $ Z (x) $ - $ z (x) $ $, bezeichnet. Unabhängig von den Bezeichnungen sind die Regeln, um eine primitive Funktion zu finden, immer gleich.

Betrachten Sie mehrere Beispiele.

Beispiel 1. Beweisen Sie, dass die Funktion $ f (x) \u003d \\ frac (1) (5) \\ sin5x $ ist die primitive Funktion $ f (x) \u003d \\ cos5x $.

Um zu beweisen, verwenden wir die Definition oder eher die Tatsache, dass $ F '(x) \u003d f (x) $ $, und findet die Ableitung der Funktion $ f (x) $: $ f' (x) \u003d (\\ frac (1) (5) \\ sin5x) '\u003d \\ frac (1) (5) \\ cdot 5 \\ cos5x \u003d \\ cos5x $. $ F (x) \u003d \\ frac (1) (5) \\ sin5x $ ist ein primitives $ f (x) \u003d \\ cos5x $. Q.E.D.

Beispiel 2. Finden, welche Funktionen das folgende Primitive sind: a) $ f (z) \u003d \\ tg z $; b) $ g (l) \u003d \\ sin l $.

Um die gewünschten Funktionen zu finden, berechnen wir ihre Derivate:
a) $ f '(z) \u003d (\\ tg z)' \u003d frac (1) (\\ cos ^ 2 z) $;
b) $ g (l) \u003d (\\ sin l) '\u003d cos l.

Beispiel 3. Was wird für $ F (x) \u003d 0 $ primitiv sein?
Wir verwenden die Definition. Wir glauben, welche Funktion kann ein Derivat entsprechen, der gleich $ 0 $ ist. Wir erinnern an den Tisch der Derivate, wir erhalten, dass jede Konstante eine solche Ableitung haben wird. Wir verstehen, dass das gewünschte das Primitive ist: $ f (x) \u003d C $.

Die erhaltene Lösung kann geometrisch und physikalisch erläutert werden. Geometrisch bedeutet es, dass sich an jedem Punkt dieses Diagramms tangential zum $ y \u003d f (x) $ horizontal gipfel tangentoziiert und bedeutet, dass sie mit der $ ox $ -Axe übereinstimmen. Es wird physisch durch die Tatsache erklärt, dass ein Punkt mit einer Geschwindigkeit, die Null gleich ist, an Ort und Stelle bleibt, dh der Weg, der unverändert passiert ist. Basierend darauf können Sie den folgenden Satz formulieren.

Satz. (Zeichen der Konstanz von Funktionen). Wenn bei einer bestimmten Lücke von $ F '(x) \u003d 0 $, dann ist die Funktion $ F (x) $ in dieser Lücke konstant.

Beispiel 4. Bestimmen, die primitiven Funktionen sind Funktionen A) $ f_1 \u003d \\ frac (x ^ 7) (7) $; b) $ f_2 \u003d \\ frac (x ^ 7) (7) - $ 3; c) $ f_3 \u003d frac (x ^ 7) (7) + 9 $; d) $ f_4 \u003d \\ frac (x ^ 7) (7) + A $, wobei $ A $ eine Zahl ist.
Mit der Definitionsdefinition schließen wir daraus, dass wir zur Lösung dieser Aufgabe derivative Daten an uns der primitiven Funktionen berechnen müssen. Beachten Sie beim Berechnen, dass das Derivat konstant ist, das heißt, jede Zahl ist Null.
a) $ f_1 \u003d (\\ frac (x ^ 7) (7)) "\u003d 7 \\ cdot \\ frac (x ^ 6) (7) \u003d x ^ 6 $;
b) $ f_2 \u003d \\ Left (\\ frac (x ^ 7) (7) - 3 \\ rechts) "\u003d 7 \\ cdot \\ frac (x ^ 6) (7) \u003d x ^ 6 $;
c) $ f_3 \u003d (\\ frac (x ^ 7) (7) + 9) '\u003d x ^ 6 $;
d) $ f_4 \u003d (\\ frac (x ^ 7) (7) + a) '\u003d x ^ 6 $.

Was sehen wir? Mehrere verschiedene Funktionen sind die primitive Funktion und dieselbe Funktion. Dies deutet darauf hin, dass jede Funktion unendlich viele Primitive hat, und sie haben ein Formular $ F (x) + C $, in dem $ C $ eine willkürliche Konstante ist. Das heißt, der Integrationsbetrieb ist im Gegensatz zum Differenzierungsvorgang mehrwertig. Wir formulieren auf der Grundlage dieses Theorems, der die Grundeigenschaft des Primitivs beschreibt.

Satz. (Die Grundeigenschaft ist primitiv). Lassen Sie die Funktionen von $ F_1 $ und $ F_2 $ die primitiven Funktionen von $ F (x) $ in einiger Intervall sind. Für alle Werte aus dieser Lücke ist dann die folgende Gleichstellung gültig: $ F_2 \u003d F_1 + C $, wobei $ C $ ein bisschen konstant ist.

Die Tatsache der Anwesenheit eines unendlichen Primitivsatzes kann geometrisch interpretiert werden. Mit Hilfe der parallelen Übertragung entlang der Achse von $ oy $ können Sie sich gegenseitig von zwei Grafiken von zwei sehr primitiven für $ F (x) $ erhalten. Dies ist die geometrische Bedeutung des Primitivs.

Es ist sehr wichtig, auf die Tatsache zu achten, dass die Wahl einer $ C $ -Konstante durch das Diagramm eines Primitivs über einen bestimmten Punkt erreicht werden kann.

Figur 3.

Beispiel 5 Finden Sie den ersten, der $ f (x) \u003d \\ frac (x ^ 2) (3) + 1 $ ist, des Graphen, dessen Grafik durch den Punkt $ (3; 1) $ erfolgt.
Finden Sie zunächst alles sehr primitiv für $ F (x) $: $ f (x) \u003d \\ frac (x ^ 3) (9) + x + c $.
Als Nächstes finden wir eine solche Anzahl C, in der der Zeitplan $ y \u003d \\ frac (x ^ 3) (9) + x + c $ den Punkt (3; 1) $ passieren wird. Dazu ersetzen wir die Punktkoordinaten an die Graph-Gleichung und lösen sie relativ zu $ \u200b\u200bC $:
$ 1 \u003d \\ frac (3 ^ 3) (9) +3 + C $, $ c \u003d -5 $.
Erhalten ein Diagramm $ y \u003d \\ frac (x ^ 3) (9) + x-5 $, was dem primitiven $ f (x) \u003d \\ frac (x ^ 3) (9) + x-5 $ entspricht.

Prägte Tabelle

Der Tisch der Formeln zum Erfahren des Primordials kann mit den Formeln, die derivativen finden, kompiliert werden.

Tisch zuerst

Funktionen	Durchlässig
$0$	$ C $.
$1$	$ x + c $
$ a \\ in r $	$ AX + C $
$ x ^ n, n \\ ne1 $	$ \\ displaystyle \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + c $
$ \\ displaystyle \\ frac (1) (x) $	$ \\ ln | x | + C $
$ \\ sin x $	$ - \\ cos x + c $
$ \\ cos x $	$ \\ sin x + c $
$ \\ displaystyle \\ frac (1) (\\ sin ^ 2 x) $	$ - \\ ctg x + c $
$ \\ displaystyle \\ frac (1) (\\ cos ^ 2 x) $	$ \\ tg x + c $
$ E ^ x $	$ E ^ x + c $
$ a ^ x, a\u003e 0, a \\ ne1 $	$ \\ displaystyle \\ frac (a ^ x) (\\ ln a) + c $
$ \\ displaystyle \\ frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) $	$ \\ arcsin x + c $
$ \\ displaystyle - \\ frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) $	$ \\ arccos x + c $
$ \\ displaystyle \\ frac (1) (1 + x ^ 2) $	$ \\ arctg x + c $
$ \\ displaystyle - \\ frac (1) (1 + x ^ 2) $	$ \\ arcctg x + c $

Um die Richtigkeit des Tisches zu überprüfen, ist wie folgt: Für jeden primitiven Satz, der in der rechten Spalte ein Derivat gefunden wird, was zu den entsprechenden Funktionen in der linken Spalte führt.

Einige Regeln für das Finden von Primitiven

Wie Sie wissen, haben viele Funktionen eine komplexere Spezies als die in der primitiven Tabelle angegebenen und können beliebige Kombination von Mengen und Funktionen von Funktionen aus dieser Tabelle sein. Und dann stellt sich die Frage auf, wie man das Primitiv berechnet solche Funktionen. Zum Beispiel wissen wir von der Tabelle, wie wir das primitive $ × ^ $ 3 $, $ \\ sin x x $ und $ 10 $ berechnen können. Und wie beispielsweise das primitive $ x ^ 3-10 \\ sin x $ berechnen? Wenn ich mich freue, ist es erwähnenswert, dass es in Höhe von $ \\ frac (x ^ 4) (4) +10 \\ cos x $ ist.
1. Wenn $ F (x) $ für $ F (x) $, $ g (x) $ - für $ g (x) $ ist, dann für $ f (x) + g (x) $ $ erster gleich $ f (x) + g (x) $.
2. Wenn $ F (x) $ ein Primitiv für $ F (x) $ und $ A $ ist, ist ein Konstant, dann für $ AF (x) $ $ AF (x) $.
3. Wenn $ F (x) $ ein primitives $ F (x) $, $ A $ und $ B $ B $ - Constants ist, dann $ \\ frac (1) (a) f (AX + B) $ primitiv für $ f (AX + B) $.
Mit den empfangenen Regeln können wir die Primitive-Tabelle erweitern.

Funktionen	Durchlässig
$ (AX + B) ^ N, N \\ NE1, A \\ ne0 $	$ \\ displaystyle \\ frac ((AX + B) ^ n) (A (n + 1)) + C $
$ \\ displaystyle \\ frac (1) (AX + B), A \\ ne0 $	$ \\ displaystyle \\ frac (1) (a) \\ ln | AX + B | + C $
$ E ^ (AX + B), A \\ ne0 $	$ \\ displaystyle \\ frac (1) (a) e ^ (AX + B) + C $
$ \\ sin (AX + B), ein \\ ne0 $	$ \\ displaystyle - \\ frac (1) (a) \\ cos (AX + B) + C $
$ \\ cos (AX + B), A \\ ne0 $	$ \\ displaystyle \\ frac (1) (a) \\ sin (AX + B) + C $

Beispiel 5 Finde Primary für:

a) $ \\ displaystyle 4x ^ 3 + 10x ^ 7 $;

b) $ \\ displaystyle \\ frac (6) (x ^ 5) - \\ frac (2) (x) $;

c) $ \\ displaystyle 5 \\ cos x + \\ sin (3x + 15) $;

d) $ \\ displaystyle \\ sqrt (x) -2 \\ sqrt (x) $.

a) $ 4 \\ frac (x ^ (3 + 1)) (3 + 1) +10 \\ frac (x ^ (7 + 1)) (7 + 1) + c \u003d x ^ 4 + \\ frac (5) (4) x ^ 8 + C $;

b) $ - \\ frac (3) (2x ^ 4) -2 \\ ln | x | + C $;

c) $ 5 \\ sin x - \\ frac (1) (3) \\ cos (3x + 15) + C $;

d) $ \\ frac (2) (3) x \\ sqrt (x) - \\ frac (3) (2) x \\ sqrt (x) + c $.

Auf dieser Seite finden Sie:

1. Eigentlich kann der PRIMITIERT TABELLE - es kann in heruntergeladen werden pDF-Format und drucken;

2. Video, das sich der Verwendung dieser Tabelle benutzt;

3. Ein Bündel von Beispielen zur Berechnung des Primärs aus verschiedenen Lehrbüchern und Steuerarbeiten.

Im Video selbst analysieren wir viele Aufgaben, in denen Sie die ersten Funktionen zählen müssen, oft recht komplex, aber die Hauptsache ist nicht Abschlüsse. Alle in der oben vorgeschlagenen Tabelle eingeschriebenen Funktionen müssen auswendig bekannt sein, wie ein Derivat. Ohne sie ist es unmöglich, die Integrale und ihre Anwendung weiter zu studieren, um praktische Aufgaben zu lösen.

Heute engagieren wir uns weiter primitiv und gehen zu einem etwas schwierigeren Thema. Wenn wir das letzte Mal den ersten geformten, nur von Leistungsfunktionen und etwas komplexeren Designs angesehen haben, werden wir heute die Trigonometrie und vieles mehr analysieren.

Wie ich bei der letzten Besatzung sprach, werden im Gegensatz zu Derivaten an ersterförmig, im Gegensatz zu Derivaten, niemals von "Stroy" mit allen Standardregeln gelöst. Darüber hinaus ist schlechte Nachrichten, dass das Primärer im Gegensatz zum Derivat nicht berücksichtigt wird. Wenn wir eine völlig zufällige Funktion schreiben und versuchen, es ein Derivat zu finden, dann wird es mit einer sehr hohen Wahrscheinlichkeit von uns sein, aber der erste Form hat in diesem Fall fast nie passiert. Es gibt jedoch auch gute Nachrichten: Es gibt eine ziemlich umfangreiche Funktionsklasse, die als Elementary genannt wird, und sehr vertraut, von der sehr leicht berücksichtigt werden. Und alle anderen komplexeren Konstruktionen, die auf allen möglichen Kontroll-, Unabhängigen und Prüfungen enthalten sind, bestehen tatsächlich aus diesen Elementarfunktionen durch Zugabe, Subtraktion und andere einfache Aktionen. Die ersten Funktionen wurden seit langem gezählt und auf besondere Tische reduziert. Es ist mit solchen Funktionen und Tischen, die wir heute arbeiten werden.

Lassen Sie uns jedoch wie immer mit einer Wiederholung beginnen: erinnern Sie sich, was das Primärer ist, warum sie unendlich viel sind und wie sie ihr allgemeines Erscheinungsbild ermitteln können. Dafür habe ich zwei einfache Aufgaben aufgenommen.

Lösung von Lichtbeispielen

Beispiel Nummer 1.

Beachten Sie sofort, dass $ \\ frac (\\ text (text () \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\!) (6) $ $ und im Allgemeinen die Anwesenheit von $ \\ text () \\! \\! \\ Pi \\! \\ ! \\ text () $ $ tipps auf uns, dass das gewünschte mID-LIFE-Funktion Im Zusammenhang mit der Trigonometrie. Und wenn wir uns auf den Tisch ansehen, finden Sie dieses $ \\ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) $ ist nichts mehr als $ \\ text (arCTG) x $. Also schreiben Sie:

Um zu finden, müssen Sie Folgendes aufzeichnen:

\\ [\\ Frac (\\ pi) (6) \u003d \\ text (arCTG) \\ sqrt (3) + c \\]

\\ [\\ Frac (\\ text () \\! \\! \\! \\ Pi \\! \\! \\ Text ()) (6) \u003d \\ frac (\\ text () \\! \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ Text ()) (3) + c \\]

Beispiel Nummer 2.

Hier sprechen wir auch darüber trigonometrische Funktionen. Wenn wir auf den Tisch schauen, wird es tatsächlich herausfallen:

Wir brauchen unter dem gesamten primitiven Satz, der den angegebenen Punkt durchläuft:

\\ [\\ \\ Text () \\! \\! \\ Pi \\! \\! \\ Text () \u003d \\ arcsin \\ frac (1) (2) + c \\]

\\ [\\ \\ Text () \\! \\! \\! \\ Pi \\! \\! \\ Text () \u003d \\ frac (\\ text () \\! \\! \\! \\ Pi \\! \\! \\ Text ()) (6) + c \\]

Lass uns endlich aufschreiben:

Das ist so einfach. Das einzige Problem besteht darin, die primitiven einfachen Funktionen in Betracht zu ziehen, Sie müssen den primitiven Tisch lernen. Nach dem Studium der Tabelle der Derivate für Sie, denke ich, dass es kein Problem ist.

Lösen von Aufgaben, die eine indikative Funktion enthalten

Um zu beginnen, schreiben wir solche Formeln:

\\ [((E) ^ (x)) \\ bis ((e) ^ (x)) \\]

\\ [((a) ^ (x)) \\ to \\ frac (((a) ^ (x))) (\\ ln a) \\]

Mal sehen, wie alles in der Praxis arbeitet.

Beispiel Nummer 1.

Wenn wir uns den Inhalt der Klammern ansehen, beachten wir, dass es keinen solchen Ausdruck in der PRIMITIERT-Tabelle gibt, also $ ((e) ^ (x)) $ ((e) ^ (x)) in einem Quadrat, sodass dieses Feld offenbart werden muss. Dazu verwenden wir die Formeln der abgekürzten Multiplikation:

Lassen Sie uns ein Primitiv für jede der Bedingungen finden:

\\ [((E) ^ (2x)) \u003d ((\\ links (((((((((((((((((((((((((((\\)) ^ (x)) \\ to \\ frac ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((E) ^) (2)) \\ Rechts)) ^ (x))) (\\ ln ((e) ^ (2))) \u003d \\ frac ((((e) ^ (2x))) (2) \\]

\\ [(((e) ^ (- 2x)) \u003d ((\\ Left (((((((((((((- 2)) \\ rechts)) ^ (x) \\ to \\ frac (((((((((() ^) (- 2)) \\ rechts)) ^ (x))) (\\ ln (((e) ^ (- 2))) \u003d \\ frac (1) (- 2 ((e) ^ (2x))) \\]

Und jetzt sammeln wir alle Komponenten in einem einzigen Ausdruck und erhalten die Gesamtprämisse:

Beispiel Nummer 2.

Diesmal ist der Grad größer, daher ist die Formel der abgekürzten Multiplikation ziemlich kompliziert. So zeigen Sie die Klammern:

Versuchen wir nun, das Primär von unserer Formel zu nehmen:

Wie Sie sehen, gibt es in der primären Indikativfunktion nichts komplexes und übernatürliches. Alles wird durch die Tische betrachtet, aber aufmerksame Studierende werden wahrscheinlich bemerken, dass das primitive $ ((e) ^ (2x)) $ näher an $ ((e) ^ (x)) $ nicht näher ist als $ (( a) ^ (x)) $. Vielleicht gibt es vielleicht eine Art spezielle Regel, die es ermöglicht, das primitive $ ((e) ^ (x)) $ zu kennen, um $ ((e) ^ (2x)) $ zu finden? Ja, eine solche Regel ist vorhanden. Und außerdem ist es ein wesentlicher Bestandteil der Arbeit mit einer typischen Tabelle. Wir werden es jetzt am Beispiel der gleichen Ausdrücke analysieren, die wir gerade gearbeitet haben.

Arbeitsbedingungen mit einem primären Tisch

Wieder wehren wir unsere Funktion ab:

Im vorherigen Fall haben wir die folgende Formel gelöst:

\\ [((a) ^ (x)) \\ to \\ frac (((a) ^ (x))) (\\ operatorName (la)) \\]

Aber jetzt werden wir etwas anders fortfahren: Erinnern Sie sich an das, was $ 1 ((e) ^ (x)) \\ bis ((e) ^ (x)) $. Wie bereits gesagt, weil das Derivate $ ((E) ^ (x)) $ nichts mehr als $ ((e) ^ (x)) $ ist, so ist es jedoch der erste der gleichen $ ((e) ^ ( x)) $. Aber das Problem ist, dass wir $ ((e) ^ (2x)) $ und $ ((e) ^ (- 2x)) $ ((e) ^ (- 2x)) $ erhalten. Jetzt werden wir versuchen, das Derivate $ ((e) ^ (2x)) $:

\\ [(((\\ \\ Left ((((((((((((((((((((((((((( ^ (\\ Prime)) \u003d 2 \\ cdot ((e) ^ (2x)) \\]

Lassen Sie uns unser Design wieder umschreiben:

\\ [(((\\ Left ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((\\ Prime)) ^ (\\ prime)) \u003d 2 \\ cdot ((e) ^ (2x)) \\]

\\ [((E) ^ (2x)) \u003d ((\\ linke (\\ frac (((((((((((((((2))) (2) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \\]

Und das bedeutet, dass bei der Suche nach einem primitiven $ ((e) ^ (2x)) $ Folgendes Folgendes erhalten:

\\ [((E) ^ (2x)) \\ to \\ frac ((((e) ^ (2x))) (2) \\]

Wie Sie sehen, haben wir das gleiche Ergebnis wie zuvor erhalten, jedoch nicht die Formel, um $ ((a) ^ (x)) $ zu finden. Jetzt mag es unsinn sein: Warum die Berechnungen komplizieren, wenn eine Standardformel vorliegt? Bei einem etwas komplexeren Ausdrücken stellen Sie jedoch sicher, dass dieser Empfang sehr effektiv ist, d. H. Die Verwendung von Derivaten zum Ermitteln von Primitiven.

Finden wir ein primäres von $ ((e) ^ (2x)) als Training auf dieselbe Weise.

\\ [(((\\ Leck (((((((((((((((((((((((((((((((((((

\\ [((E) ^ (- 2x)) \u003d ((\\ linke (\\ frac ((((((((((((- 2x)))) (- 2) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \\]

Bei der Berechnung wird unser Design wie folgt aufgezeichnet:

\\ [((E) ^ (- 2x)) \\ to - \\ frac (((e) ^ (- 2x))) (2) \\]

\\ [((E) ^ (- 2x)) \\ to - \\ frac (1) (2 \\ cdot ((e) ^ (2x))) \\]

Wir haben genau das gleiche Ergebnis bekommen, aber der andere Weg. Es ist auf diese Weise, dass wir uns jetzt etwas komplexer erscheint, in der Zukunft ist es effektiver, komplexere Primär- und Verwendung von Tischen zu berechnen.

Beachten Sie! Das ist sehr wichtiger Moment: Gültig, wie und Derivate können als ein Set betrachtet werden verschiedene Wege. Wenn jedoch alle Berechnungen und Berechnungen gleich sind, erstellt sich die Antwort jedoch gleich. Wir sind gerade davon überzeugt, dass wir ein Beispiel von $ ((e) ^ (- 2x)) $ ((e) ^ (- 2x)) überzeugt wurden - einerseits haben wir dieses Primitive "alkalisch", mit der Definition und Berechnung mit Hilfe von Transformationen, an dagegen haben wir uns daran erinnert, dass $ ((e) ^ (- 2x)) $ als $ (((((((((((((((((((((((((((((((((())) ^ (X)) $ und dann zuerst für die $ -Funktion verwendet ((a) ^ (x)) $. Nach all den Transformationen erwies sich das Ergebnis jedoch als derselbe, wie angenommen wurde.

Und jetzt, wenn wir alle verstanden haben, ist es Zeit, zu etwas Wesentlicher zu gehen. Jetzt analysieren wir zwei einfache Designs, jedoch wird der Empfang, der gelöst wird, wenn sie gelöst werden, ein leistungsfähigeres und nützliches Werkzeug ist ein leistungsfähigeres und nützliches Werkzeug als ein einfacher "BegFor" zwischen benachbarten Primitiven aus dem Tisch.

Lösen von Aufgaben: Finden Sie eine primitive Funktion

Beispiel Nummer 1.

Lassen Sie uns einen Betrag geben, der in Zähler steht, auf drei separate Fraktionen ausbreiten:

Dies ist ein eher natürlicher und verständlicher Übergang - die meisten Schüler haben keine Probleme mit ihm. Lassen Sie uns unseren Ausdruck wie folgt umschreiben:

Und nun erinnern wir uns an diese Formel:

In unserem Fall erhalten wir Folgendes:

Um all diese dreistöckigen Fraktionen loszuwerden, schlage ich Folgendes vor:

Beispiel Nummer 2.

Im Gegensatz zur vorherigen Fraktion im Nenner ist es keine Arbeit, sondern der Betrag. In diesem Fall können wir unsere Fraktion nicht mehr in der Menge an mehreren einfachen Fellen teilen, und Sie müssen irgendwie versuchen, es so zu gestalten, dass es in dem Numerer etwa den gleichen Ausdruck wie im Nenner gibt. In diesem Fall ist das ganz einfach:

Ein solcher Eintrag, der in der Sprache der Mathematik "Hinzufügen von Null" genannt wird, ermöglicht es uns, die Fraktion wieder auf zwei Teile zu teilen:

Jetzt finden wir, wonach Sie gesucht haben:

Das sind alle Berechnungen. Trotz der scheinbaren Mehrheit als in der vorherigen Aufgabe stellte sich das Volumen der Berechnung als noch kleiner aus.

Nuancenlösungen

Und dies ist die Hauptschwierigkeit, mit tabellarischem zu arbeiten, es ist besonders auf die zweite Aufgabe wahrnehmbar. Die Tatsache ist, dass wir, um einige Elemente zuzuteilen, die leicht durch den Tisch gelten, wissen wir, was genau wir suchen, und es ist auf der Suche nach diesen Elementen und besteht aus der gesamten Berechnung der Primordial.

Mit anderen Worten, es reicht nicht aus, um einfach den Primitiven zu bekommen - Sie müssen etwas sehen können, das noch nicht ist, aber was ich den Autor und den Compiler dieser Aufgabe meinte. Deshalb argumentieren viele Mathematik, Lehrer und Professoren ständig: "Was ist die Take of Primary oder Integration - ist es nur ein Werkzeug oder diese echte Kunst?" Meiner Meinung nach meiner Meinung nach persönlich ist Integration keine Kunst - es gibt nichts Erhabenes darin, es übt einfach und praktiziert wieder. Und um zu üben, entscheiden wir weiter drei ernsthaftere Beispiel.

Wir trainieren in der Integration in der Praxis

Aufgabe Nummer 1.

Wir schreiben solche Formeln:

\\ [((x) ^ (n)) \\ to \\ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \\]

\\ \\ \\ Frac (1) (x) \\ to \\ ln x \\]

\\ [\\ Frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) \\ to \\ text (arCTG) x \\]

Schreiben wir das Folgende:

Task Nummer 2.

Umschreiben Sie wie folgt:

Total Primitive ist gleich:

Task Nummer 3.

Die Komplexität dieser Aufgabe ist, dass im Gegensatz zu früheren Funktionen keine variable $ x $ vorhanden ist, d. H. Es ist uns nicht klar, dass sie hinzugefügt, subtrahiert, zumindest etwas Ähnliches wie unten ähnelt. In der Tat wird dieser Ausdruck jedoch noch einfacher als jeder Ausdruck aus früheren Strukturen betrachtet, da diese Funktion wie folgt umgeschrieben werden kann:

Sie können jetzt fragen: Warum sind diese Funktionen gleich? Lass uns nachsehen:

Ich schreibe auch:

Wir konvertieren unseren Ausdruck leicht:

Und wenn ich all dies meinen Jüngern erkläre, entsteht fast immer das gleiche Problem: Mit der ersten Funktion ist alles mehr oder weniger klar, mit dem zweiten, wenn Glück oder Praxis behandelt werden kann, aber welches alternatives Bewusstsein sollte besitzen Um das dritte Beispiel zu lösen? Eigentlich keine Angst. Der Empfang, den wir bei der Berechnung des neuesten Primitivs verwendet haben, wird als "Zersetzung einer Funktion des einfachsten" bezeichnet, und dies ist ein sehr ernster Empfang, und ein separates Video-Tutorial wird ihm gewidmet.

In der Zwischenzeit schlage ich vor, auf die Tatsache zurückzukehren, dass wir gerade studiert haben, nämlich auf indikative Funktionen und etwas kompliziert die Aufgaben mit ihrem Inhalt.

Komplexere Aufgaben zur Lösung der primitiven indikativen Funktionen

Aufgabe Nummer 1.

Beachte das Folgende:

\\ [(((2) ^ (x)) \\ CDOT ((5) ^ (x)) \u003d ((\\ linke (2 \\ cdot 5 \\ rechts)) ^ (x)) \u003d ((10) ^ (x) ) \\]

Um einen primären Ausdruck zu finden, reicht es aus, einfach die Standard-Formel - $ ((a) ^ (x)) \\ to \\ frac (((a) ^ (x))) (\\ ln a) $ zu verwenden.

In unserem Fall wird das Primary so sein:

Natürlich, vor dem Hintergrund der Konstruktion, den wir gerade entschieden haben, sieht dies einfacher aus.

Task Nummer 2.

Es ist wieder einfach, dass diese Funktion leicht in zwei separate Begriffe aufteilen kann - zwei separate Fraktionen. Umschreiben:

Es bleibt, ein Primär von jedem dieser Ausdrücke gemäß der oben beschriebenen Formel zu finden:

Trotz der scheinbar wichtigen Komplexität der indikativen Funktionen im Vergleich zu der Leistung erwies sich der Gesamtbetrag der Berechnungen und Berechnungen als viel einfacher.

Selbstverständlich können für erfahrene Studenten die Tatsache, dass wir gerade zermontiert haben (insbesondere vor dem Hintergrund dessen, was wir zuvor demontiert haben) wie elementare Ausdrücke. Ich habe jedoch zwei dieser Aufgaben für das heutige Video-Tutorial ausgewählt, um Ihnen einen weiteren komplexen und unruhigen Empfang zu erzählen - alles, was ich zeigen wollte, ist, dass es nicht notwendig ist, Angst, um Standardmethoden von Algebra zu verwenden Quellfunktionen konvertieren.

Verwenden des "geheimen" Empfangs

Zusammenfassend möchte ich eine andere interessante Technik, die zum einen über die Tatsache hinausgeht, über die Tatsache hinausgeht, dass wir heute hauptsächlich demontiert haben, aber dagegen ist er zunächst nicht schwierig, d. H. Es kann selbst Noviktierende beherrscht werden, und zweitens ist es oft auf allen Arten von Kontrolle und unabhängigen Arbeiten, d. H. Kenntnis, dass es neben dem Wissen des Primitives sehr nützlich sein wird.

Aufgabe Nummer 1.

Natürlich haben wir der Stromfunktion etwas Ähnliches. Wie machen wir in diesem Fall? Denken wir an: $ x-5 $ unterscheidet sich von $ x $ nicht so sehr - nur $ -5 $ hinzugefügt. Wir schreiben so:

\\ [((x) ^ (4)) \\ to \\ frac (((x) ^ (5))) (5) \\]

\\ [((\\ \\ Left (\\ frac (((\\ frac ((((x) ^ (5))) (5) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d frac (5 \\ cdot ((x) ^ (4))) (5) \u003d ((x) ^ (4)) \\]

Versuchen wir, ein Derivat von $ ((links (x-5 \\ rechts)) ^ (5)) $:

\\ [(((\\ Left ((((((((((((((((((((((((((5)) \\ RECHTS)) ^ (\\ Prime)) \u003d 5 \\ CDOT ((links (x-5 \\ rechts)) ^ (4)) \\ cdot ((\\ linke (x-5 \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d 5 \\ cdot ((links (x-5 \\ rechts)) ^ (4)) \\]

Dies impliziert:

\\ [(((\\ \\ links (x-5 \\ rechts)) ^ (4)) \u003d ((\\ Left (\\ frac ((\\ frac ((((\\))) ^ (5))) (5) \\ Rechts)) ^ (\\ prime)) \\]

Es gibt keinen solchen Wert in der Tabelle, sodass wir diese Formel selbst mit einer Standardformel für eine sehr primäre Funktion mitgebracht haben. Schreiben wir die Antwort auf:

Task Nummer 2.

Viele Studenten, die sich die erste Entscheidung ansehen, mögen scheinen, dass alles sehr einfach ist: Es reicht aus, um in der leistungsstarken Funktion von $ x $ bis zu einem linearen Ausdruck zu ersetzen, und alles wird an Ort und Stelle sein. Leider ist alles nicht so einfach, und jetzt werden wir davon überzeugt sein.

Analog mit dem ersten Ausdruck schreiben wir Folgendes:

\\ [((x) ^ (9)) \\ to \\ frac (((x) ^ (10))) (10) \\]

\\ [(((\\ \\ Left ((((((((((((((((((((((((((((10)) \\ RECHTS)) ^ (\\ prime)) \u003d 10 \\ CDOT ((links (4-3x \\ rechts)) ^ (9)) \\ cdot ((\\ linke (4-3x \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d \\]

\\ [\u003d 10 \\ cdot ((\\ linke (4-3x \\ rechts)) ^ (9)) \\ CDOT \\ Left (-3 \\ rechts) \u003d - 30 \\ CDOT ((links (4-3x \\ rechts)) ^ (9)) \\]

Rückkehr zu unserem Derivaten können wir schreiben:

\\ [(((\\ \\ Left (((((((((((((((((((((((((((((10)) \\ RECHTS)) ^ (\\ prime)) \u003d - 30 \\ CDOT ((links (4-3x \\ rechts) ) ^ (9)) \\]

\\ [(((\\ \\ links (4-3x \\ rechts)) ^ (9)) \u003d ((\\ linke (\\ frac ((((\\ linke (4-3x \\ rechts)) ^ (10))) (- 30) \\ Rechts)) ^ (\\ prime)) \\]

Von hier aus folgt sofort:

Nuancenlösungen

Bitte beachten Sie: Wenn sich das letzte Mal in letzter Zeit nichts geändert hat, dann erscheint im zweiten Fall ein $ -30 $, anstatt $ -10 $ $. Was ist der Unterschied zwischen $ -10 $ und $ -30 $? Offensichtlich ist der Multiplizierer $ -3 $. Frage: Woher kommt er? Es ist ersichtlich, dass er sich ergibt, dass es infolge von Berechnungen einer derivativen Komplexfunktion dauerte - der Koeffizient, der bei $ x $ stand, in dem primären Boden erscheint. Dies ist eine sehr wichtige Regel, dass ich zunächst nicht dazuplante, im heutigen Video-Tutorial nicht zu demontieren, ohne dass die Präsentation von Tischen unvollständig wäre.

Also lass uns noch einmal sein. Lassen Sie unsere Hauptfunktion:

\\ [((x) ^ (n)) \\ to \\ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \\]

Und jetzt ersetzen wir den Ausdruck $ kX + b $. Was wird dann passieren? Wir müssen Folgendes finden:

\\ [((((((((((links)) ^ (n)) \\ to \\ frac (((\\ linke (kX + b \\ rechts)) ^ (n + 1))) ^ (n + 1))) (\\ linke (n + 1 \\ rechts) \\ cdot K) \\]

Welche Basis bestätigen wir das? Sehr einfach. Finden wir das Derivat des oben geschriebenen Designs:

\\ [((\\ linke (\\ frac (\\ frac ((\\ linke (kx + b \\ rechts)) ^ (n + 1))) ^ (n + 1))) (\\ linke (n + 1 \\ rechts) \\ cdot k) \\ richtig)) ^ (\\ Prime)) \u003d \\ frac (1) (\\ linke (n + 1 \\ rechts) \\ cdot k) \\ cdot \\ left (n + 1 \\ rechts) \\ cdot ((\\ linke (kx + b \\ rechts)) ^ ( n)) \\ cdot k \u003d ((\\ linke (kx + b \\ rechts)) ^ (n)) \\]

Dies ist der äußerste Ausdruck, der ursprünglich war und war. Somit ist diese Formel auch treu, und es kann mit einem primitiven Tisch ergänzt werden, und es ist besser, sich der gesamten Tabelle zu erinnern.

Schlussfolgerungen von "Secret: Empfang:

• Beide Funktionen, die wir gerade berücksichtigt haben, können in der Tat auf das in der Tabelle angegebene Primitive reduziert werden, indem er Grad offenbart, aber wenn wir mit dem vierten Grad fertig werden konnten, dann würde der neunte Grad, den ich nicht garantiere offenbaren.
• Wenn wir Abschlüsse enthüllten, würden wir ein solches Berechnungsvolumen erhalten, dass eine einfache Aufgabe unzureichend eine große Zeit genommen hätte.
• Deshalb ist solche Aufgaben, in denen lineare Ausdrücke gegenüberstehen, nicht notwendig, um "quer" zu lösen. Sobald Sie ein primitives Primitiv erfüllen, der sich von derjenigen, die sich in der Tabelle unterscheidet, nur das Vorhandensein eines EXPORT $ KX + B $ innen, erinnert sich sofort an die oben geschriebene Formel, ersetzen Sie es Ihrem Tisch primär, und alles wird sein viel schneller und einfacher.

Natürlich werden wir aufgrund der Komplexität und der Ernsthaftigkeit dieser Zulassung natürlich wiederholt in zukünftige Video-Tutorials zurückkehren, aber heute habe ich alles. Ich hoffe, dass diese Lektion den Studenten wirklich helfen wird, die primitiv und in der Integration verstehen wollen.