Πίνακας παραγώγων και πρωταρχικός πλήρης για φοιτητές. ΕΚΤΥΠΩΣΗ

Το σχολικό μάθημα άλγεβρας περιλαμβάνει ολοκλήρωση και διαφοροποίηση. Για να εξερευνήσετε αυτό το υλικό είναι απαραίτητο Πίνακες παραγώγων και ολοκληρωμάτων. Για να κατανοήσετε πώς να τα χρησιμοποιήσετε, πρέπει να καθορίσετε τους κύριους όρους.

Παράγωγο F (x) - Το χαρακτηριστικό της πρόθεσης της αλλαγής στην πρωτόγονη λειτουργία F (x) σε οποιοδήποτε σημείο του γραφήματος. Εκφράζει τη μέγιστη αναλογία αυξήσεων της λειτουργίας και του επιχειρήματός της, που επιδιώκει το μηδέν. Σε περίπτωση που η λειτουργία έχει ένα πεπερασμένο παράγωγο σε οποιοδήποτε σημείο, είναι διαφοροποιημένο. Ο υπολογισμός του παραγώγου είναι διαφοροποίηση.

Αναπόσπαστο ∫ είναι μια τιμή παραγώγων που εκφράζει το μέγεθος ενός συγκεκριμένου μέρους του γραφήματος. Η διαδικασία ολοκλήρωσης είναι η εύρεση μιας πρωτόγονης λειτουργίας.

Η ίδια λειτουργία μπορεί να έχει αρκετούς πρωτόγονους. Για παράδειγμα, x ^ 2. Το κύριο πρωτογενές για αυτό είναι το x ^ 3/3. x ^ 3/3 + 1. Τελευταίο ψηφίο που υποδηλώνεται από το γράμμα C και ο τύπος μοιάζει με αυτό:

Εάν η C αντιπροσωπεύει έχει αυθαίρετη τιμή, το ολοκληρωμένο είναι αβέβαιο εάν ορίζεται το σκυρόδεμα.

Πίνακες που προέρχονται από λειτουργίες και Πίνακες ολοκλήρωμα Θα βοηθήσουν να αντιμετωπίσουν γρήγορα και σωστά με σύνθετα μαθηματικά καθήκοντα. Περιλαμβάνουν τις πιο εφαρμοσμένες αξίες, χάρη στην οποία οι μαθητές δεν χρειάζεται να απομνημονεύσουν ένας μεγάλος αριθμός από ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι

Πίνακας προερχόμενων λειτουργιών

Έτσι ώστε τα απαραίτητα υλικά να ήταν πάντα στο χέρι, μπορείτε να κατεβάσετε τους τύπους πίνακα . Περιέχει τύπους για τον υπολογισμό του κύριου Στοιχειώδεις λειτουργίες:

• τριγωνομετρική?
• λογαριθμικός;
• εξουσία;
• εκθετικός.

Επιπλέον, υπάρχει μια ειδική Πίνακας παραγώγων πολύπλοκων λειτουργιών. Περιέχει επίσης φόρμουλες για το προϊόν των λειτουργιών, τα ποσά τους και τους ιδιωτικούς τους.

Πίνακας αβέβαιων και ορισμένων ολοκλήρων

Να εκτελέσετε γρήγορα και σωστά τις εργασίες για την ολοκλήρωση, μπορείτε Κατεβάστε ενσωματωμένους πίνακεςόπου συλλέγονται όλοι οι πιο εφαρμοζόμενοι τύποι. Αποτελούνται από δύο στήλες: Το πρώτο περιέχει μαθηματικούς τύπους, τις δευτερεύουσες επεξηγήσεις.

Περιλαμβάνονται πίνακες Βασικά ολοκληρώματαΟι ακόλουθες λειτουργίες:

• λογικός;
• εκθετικός;
• λογαριθμικός;
• παράλογος;
• τριγωνομετρική?
• υπερβολικός.

Επιπλέον, μπορείτε να κατεβάσετε τον πίνακα των αβέβαιων ολοκλήρων.

Cheat φύλλα με πίνακες ολοκλήρων και παραγώγων

Πολλοί δάσκαλοι απαιτούν από τους μαθητές να απομνημονεύσουν πολύπλοκες φόρμουλες από την καρδιά. Ο ευκολότερος τρόπος απομνημόνευσης είναι μια μόνιμη πρακτική και ότι τα απαραίτητα υλικά είναι στο χέρι, πρέπει να κάνετε την εκτύπωσή τους.

Cheat φύλλο με παράγωγα πινάκων Και τα ολοκληρώματα θα σας βοηθήσουν να θυμάστε γρήγορα όλους τους απαραίτητους τύπους και να περάσετε επιτυχώς τις εξετάσεις. Έτσι ώστε να είναι συμπαγές και βολικό στη χρήση, πρέπει να επιλέξετε τη μορφή A5 - το ήμισυ του συνήθους φύλλου.

Σε αυτή τη σελίδα μπορείτε να βρείτε:

1. Στην πραγματικότητα, ο πίνακας πρωτόγονων - μπορεί να μεταφορτωθεί Μορφή pdf και εκτύπωση?

2. Βίντεο αφιερωμένο στο πώς η χρήση αυτού του πίνακα;

3. Μια δέσμη παραδειγμάτων υπολογισμού του πρωτεύοντος από διάφορα εγχειρίδια και έργα ελέγχου.

Στο ίδιο το βίντεο, θα αναλύσουμε πολλές εργασίες όπου πρέπει να μετρήσετε τις πρώτες λειτουργίες, συχνά αρκετά περίπλοκο, αλλά το κύριο πράγμα δεν είναι πτυχία. Όλες οι λειτουργίες που εγγράφονται στον προτεινόμενο πίνακα πρέπει να είναι γνωστό από την καρδιά, όπως ένα παράγωγο. Χωρίς αυτούς, είναι αδύνατο να μελετηθούν περαιτέρω τα ολοκληρωτικά και την εφαρμογή τους για την επίλυση πρακτικών εργασιών.

Σήμερα συνεχίζουμε να συμμετέχουμε σε πρωτόγονα και πηγαίνουμε σε ένα ελαφρώς πιο δύσκολο θέμα. Εάν η τελευταία φορά που θεωρήσαμε το πρώτο σχήμα μόνο από λειτουργίες ισχύος και ελαφρώς πιο σύνθετα σχέδια, σήμερα θα αναλύσουμε την τριγωνομετρία και πολλά άλλα.

Καθώς μίλησα στην τελευταία κατοχή, πρώτα σχήματος, σε αντίθεση με τα παράγωγα, δεν λυθούν ποτέ από το "Strous" με τυχόν τυποποιημένους κανόνες. Επιπλέον, τα κακά νέα είναι ότι, σε αντίθεση με το παράγωγο, ο πρωταρχικός μπορεί να μην εξεταστεί. Εάν γράψουμε μια εντελώς τυχαία λειτουργία και προσπαθήστε να το βρείτε ένα παράγωγο, τότε θα είναι με πολύ μεγάλη πιθανότητα μας, αλλά το πρώτο σχήμα σχεδόν ποτέ δεν συνέβη σε αυτή την περίπτωση. Αλλά υπάρχουν επίσης καλά νέα: υπάρχει μια αρκετά εκτεταμένη τάξη λειτουργιών, που ονομάζεται στοιχειώδης και πολύ εξοικειωμένος από τα οποία θεωρούνται πολύ εύκολα. Και όλα τα άλλα πιο σύνθετα σχέδια που δίνονται σε όλα τα είδη ελέγχου, ανεξάρτητων και εξετάσεων, στην πραγματικότητα, αποτελούνται από αυτές τις στοιχειώδεις λειτουργίες με την προσθήκη, την αφαίρεση και άλλες απλές ενέργειες. Οι πρώτες λειτουργίες έχουν μειωθεί εδώ και καιρό σε ειδικούς πίνακες. Είναι με τέτοιες λειτουργίες και πίνακες που θα εργαστούμε σήμερα.

Αλλά ας ξεκινήσουμε, όπως πάντα, με μια επανάληψη: θυμηθείτε τι είναι ο πρωταρχικός, γιατί είναι άπειρα πολύ και πώς να καθορίσουν τη γενική τους εμφάνιση. Για αυτό, πήρα δύο απλά καθήκοντα.

Λύση παραδειγμάτων φωτός

Παράδειγμα Αριθμός 1.

Σημειώστε αμέσως ότι $ \\ frac (\\ text () \\ \\ \\ \\ \\ pi \\! \\ \\ Text ()) (6) $ και γενικά η παρουσία $ \\ text () \\ \\ \\ \\ pi \\! ! \\ Text () $ Αμέσως σας υποδηλώνει ότι η επιθυμητή πρωτόγονη λειτουργία σχετίζεται με την τριγωνομετρία. Και, πράγματι, αν κοιτάξουμε το τραπέζι, θα διαπιστώσετε ότι $ \\ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) $ δεν είναι τίποτα περισσότερο από $ \\ text (arctg) x $. Γράψτε λοιπόν:

Για να βρείτε, πρέπει να καταγράψετε τα εξής:

\\ [\\ Frac (\\ Pi) (6) \u003d \\ Κείμενο (ARCTG) \\ SQRT (3) + C \\]

\\ [\\ Frac (\\ text () \\ \\ \\ \\ \\ pi \\ \\ \\ text ()) (6) \u003d \\ Frac (\\ Text () \\! \\ \\ \\ Pi \\! \\ \\ Text ()) (3) + C \\]

Παράδειγμα αριθ. 2.

Εδώ, μιλάμε επίσης τριγωνομετρικές λειτουργίες. Αν κοιτάξουμε το τραπέζι, τότε, πράγματι, θα αποδειχθεί:

Χρειαζόμαστε ανάμεσα στο σύνολο του πρωτόγονα να βρούμε αυτό που περνά μέσα από το καθορισμένο σημείο:

\\ [\\ Text () \\! \\ \\ \\ Pi \\ \\ \\ \\ text () \u003d \\ Arcsin \\ Frac (1) (2) + C \\]

\\ [\\ Text () \\ \\ \\ \\ pi \\ \\ \\ text () \u003d \\ frac (\\ text () \\! \\ \\ \\ Pi \\! \\ \\ Text ()) (6) + C \\]

Ας γράψουμε τελικά:

Αυτό είναι απλό. Το μόνο πρόβλημα είναι να εξετάσετε τα πρωτόγονα απλά χαρακτηριστικά, πρέπει να μάθετε τον πίνακα πρωτόγονων. Ωστόσο, μετά τη μελέτη του πίνακα των παραγώγων για εσάς, νομίζω ότι δεν θα είναι πρόβλημα.

Επίλυση εργασιών που περιέχουν ενδεικτική λειτουργία

Για να ξεκινήσετε, γράφουμε τέτοιοι τύποι:

\\ [((Ε) ^ (x)) \\ to ((ε) ^ (x)] \\]

\\ [(α) ^ (x)) \\ to \\ frac ((α) ^ (x))) (\\ ln α) \\]

Ας δούμε πώς λειτουργεί όλα στην πράξη.

Παράδειγμα Αριθμός 1.

Αν κοιτάξουμε το περιεχόμενο των παρένθρωπων, σημειώνουμε ότι δεν υπάρχει τέτοια έκφραση στον πίνακα πρωτόγονων, έτσι $ ((e) ^ (x)) $ στάθηκε σε ένα τετράγωνο, έτσι ώστε αυτό το τετράγωνο να αποκαλυφθεί. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιούμε τους τύπους συντομευμένου πολλαπλασιασμού:

Ας βρούμε ένα πρωτόγονο για καθέναν από τους όρους:

\\ [((Ε) (2x)) \u003d ((\\ αριστερά (((ε) ^ (2)) ^ (x)) \\ \\ frac (((\\ e) ^ ^ ^ (2)) \\ Δεξιά)) ^ (x))) (\\ ln ((ε) ^ (2))) \u003d \\ frac ((ε) ^ (2x))) (2) \\]

\\ [((ε) (- 2x)) \u003d ((\\ Αριστερά (((Ε) ^ (- 2)) \\ Δεξιά)) ^ (x)) \\ to \\ frac ((() ^ ^ ^ (- 2))) ^ (x))) (\\ ln ((ε) ^ (- 2))) \u003d \\ frac (1) (- 2 ((e) ^ (2x))) \\]

Και τώρα θα συλλέξουμε όλα τα εξαρτήματα σε μια ενιαία έκφραση και θα πάρουμε το συνολικό πρωτογενές:

Παράδειγμα αριθ. 2.

Αυτή τη φορά, ο βαθμός είναι μεγαλύτερος, επομένως ο τύπος του συντομευμένου πολλαπλασιασμού θα είναι αρκετά περίπλοκος. Έτσι αποκαλύψτε τα στηρίγματα:

Τώρα ας προσπαθήσουμε να πάρουμε την πρωταρχική από τη φόρμουλα μας:

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο και υπερφυσικό στην πρωτογενή ενδεικτική λειτουργία. Όλα αυτά θεωρούνται μέσω των πινάκων, ωστόσο, οι προσεκτικοί μαθητές θα παρατηρήσουν πιθανώς ότι το πρωτόγονο $ ((e) ^ (2x)) $ είναι πολύ πιο κοντά στα $ ((e) ^ (x)) $ και όχι $ ((( α) ^ (x)) $. Έτσι, ίσως υπάρχει κάποιο είδος ειδικού κανόνα που επιτρέπει, γνωρίζοντας το πρωτόγονο $ ((e) ^ (x)) $, για να βρείτε $ ((e) ^ (2x)) $; Ναι, υπάρχει ένας τέτοιος κανόνας. Και, επιπλέον, αποτελεί αναπόσπαστο μέρος της εργασίας με ένα τυπικό τραπέζι. Τώρα θα το αναλύσουμε στο παράδειγμα των ίδιων εκφράσεων που μόλις δουλέψαμε.

Όροι εργασίας με ένα πρωτεύον πίνακα

Για άλλη μια φορά, απωθούμε τη λειτουργία μας:

Στην προηγούμενη περίπτωση, χρησιμοποιήσαμε την επόμενη φόρμουλα:

\\ [(α) ^ (x)) \\ to \\ frac ((α) ^ (x))) (\\ OperatorName (LNA)) \\]

Αλλά τώρα θα προχωρήσουμε κάπως διαφορετικά: να θυμάστε τι $ 1 ((e) ^ (x)) \\ προς ((e) ^ (x)) $. Όπως ήδη είπε, επειδή το παράγωγο $ ((e) ^ (x)) $ δεν είναι τίποτα περισσότερο από $ ((e) ^ (x)) $, οπότε η πρώτη του θα είναι ίση με το ίδιο $ ((ε) ^ ( x)) $. Αλλά το πρόβλημα είναι ότι έχουμε $ ((e) ^ (2x)) $ και $ ((e) ^ (- 2x)) $. Τώρα θα προσπαθήσουμε να βρούμε το παράγωγο $ ((e) ^ (2x)) $:

\\ [((\\ αριστερά (((((((((())) ^ (\\ Prime)) \u003d ((E) ^ (2x)) \\ CDOT ((\\ αριστερά (2x \\ Right)) ^ (\\ Prime)) \u003d 2 \\ cdot ((e) ^ (2x)) \\]

Ας ξαναγράψουμε το σχεδιασμό μας ξανά:

\\ [((\\ αριστερά (((((((())) ^ (\\ prime)) \u003d 2 \\ cdot ((e) ^ (2x)) \\]

\\ [(Ε) (2x)) \u003d ((\\ αριστερά (\\ frac (\\ frac (((ε) (2χ))) (2) \\ "δεξιά)) ^ (\\ prime)) \\]

Και αυτό σημαίνει ότι όταν βρίσκετε ένα πρωτόγονο $ ((e) ^ (2x)) $ θα λάβουμε τα εξής:

\\ [((Ε) (2x)) \\ To \\ Frac (((Ε) ^ (2Χ))) (2) \\]

Όπως μπορείτε να δείτε, πήραμε το ίδιο αποτέλεσμα όπως και πριν, ωστόσο, δεν επωφεληθείτε από τη φόρμουλα για την εξεύρεση $ ((α) ^ (x)) $. Τώρα μπορεί να φαίνεται ανοησία: Γιατί να περιπλέξει τους υπολογισμούς όταν υπάρχει ένας τυποποιημένος τύπος; Ωστόσο, σε μια ελαφρώς πιο σύνθετες εκφράσεις, θα βεβαιωθείτε ότι αυτή η λήψη είναι πολύ αποτελεσματική, δηλ. Τη χρήση παραγώγων για την εξεύρεση πρωτόγονων.

Ας βρούμε ένα πρωταρχικό από $ ((e) ^ (2x)) ως προπόνηση με τον ίδιο τρόπο.

\\ [((\\ αριστερά ((((ε) (- 2x)) \\ Δεξιά)) ^ (\\ prime)) \u003d ((e) ^ (- 2x)) \\ cdot \\ αριστερά (-2 \\ δεξιά) \\]

\\ [((Ε) (- 2x)) \u003d ((\\ Αριστερά (\\ Frac (((Ε) ^ (- 2Χ))) (- 2) \\ ") ^ (\\ Prime))

Κατά τον υπολογισμό, ο σχεδιασμός μας καταγράφεται ως εξής:

\\ [(Ε) ^ (- 2x)) \\ to - \\ frac ((ε) ^ (- 2x))) (2) \\]

\\ [((Ε) (- 2x)) \\ to - \\ frac (1) (2 \\ cdot ((e) ^ (2x))) \\]

Έχουμε ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά πήγε από την άλλη πλευρά. Αυτός ο τρόπος που τώρα μας φαίνεται ελαφρώς πιο περίπλοκο, στο μέλλον θα είναι πιο αποτελεσματικό για τον υπολογισμό πιο περίπλοκων πρωτογενών και χρησιμοποιώντας πίνακες.

Σημείωση! Αυτό είναι πολύ Σημαντική στιγμή: Ισχύει πώς και τα παράγωγα μπορούν να θεωρηθούν ένα σετ Διαφορετικοί τρόποι. Ωστόσο, εάν όλοι οι υπολογισμοί και οι υπολογισμοί είναι ίσοι, η απάντηση θα αποδειχθεί η ίδια. Μόλις είμαστε πεπεισμένοι για αυτό για παράδειγμα $ ((e) ^ (- 2x)) $ - αφενός, θεωρήσαμε αυτό το πρωτόγονο "αλκαλικό", χρησιμοποιώντας τον ορισμό και τον υπολογισμό της με τη βοήθεια των μετασχηματισμών, Το άλλο χέρι, θυμόμαστε ότι το $ ((e) ^ (- 2x)) $ μπορεί να εκπροσωπείται ως $ ((\\ αριστερά ((((ε) ^ (- 2)) \\ σωστά)) ^ (x)) $ και Στη συνέχεια χρησιμοποιήθηκε πρώτα για τη λειτουργία $ ((α) ^ (x)) $. Ωστόσο, μετά από όλους τους μετασχηματισμούς, το αποτέλεσμα αποδείχθηκε το ίδιο με αυτό που υποτίθεται.

Και τώρα, όταν όλοι καταλαβαίνουμε, ήρθε η ώρα να πάμε σε κάτι πιο σημαντικό. Τώρα θα αναλύσουμε δύο απλά σχέδια, ωστόσο, η ρεσεψιόν που θα τοποθετηθεί όταν λυθεί είναι ένα ισχυρότερο και χρήσιμο εργαλείο από ένα απλό "rackware" μεταξύ των γειτονικών πρωτόγονων από το τραπέζι.

Επίλυση εργασιών: Βρείτε μια πρωτόγονη λειτουργία

Παράδειγμα Αριθμός 1.

Ας δώσουμε ένα ποσό που στέκεται σε αριθμούς, εξαπλώνεται σε τρία ξεχωριστά κλάσματα:

Αυτή είναι μια μάλλον φυσική και κατανοητή μετάβαση - οι περισσότεροι μαθητές δεν έχουν κανένα πρόβλημα μαζί του. Ας ξαναγράψουμε την έκφρασή μας ως εξής:

Και τώρα ας θυμηθούμε αυτή τη φόρμουλα:

Στην περίπτωσή μας, θα έχουμε τα εξής:

Για να απαλλαγείτε από όλα αυτά τα τριώροφα κλάσματα, προτείνω να κάνετε τα εξής:

Παράδειγμα αριθ. 2.

Σε αντίθεση με το προηγούμενο κλάσμα στον παρονομαστή, δεν είναι έργο, αλλά το ποσό. Σε αυτή την περίπτωση, δεν μπορούμε πλέον να διαιρέσουμε το κλάσμα μας στο ποσό πολλών απλών χρωμάτων, και πρέπει να προσπαθήσετε με κάποιο τρόπο να το κάνετε έτσι ώστε στον αριθμητικό να υπάρχει περίπου την ίδια έκφραση όπως στον παρονομαστή. Σε αυτή την περίπτωση, αυτό είναι αρκετά απλό:

Μια τέτοια καταχώρηση, η οποία στη γλώσσα των μαθηματικών ονομάζεται "προσθήκη μηδέν", θα μας επιτρέψει να διαιρέσουμε και πάλι το κλάσμα σε δύο κομμάτια:

Τώρα βρίσκουμε αυτό που ψάχνατε:

Αυτός είναι ο υπολογισμός. Παρά την φαινομενική πλειοψηφία από ό, τι στο προηγούμενο καθήκον, ο όγκος του υπολογισμού αποδείχθηκε ακόμη μικρότερος.

Λύσεις αποχρώσεων

Και αυτή είναι η κύρια δυσκολία να συνεργαστούμε πρώτα, είναι ιδιαίτερα αισθητή για τη δεύτερη εργασία. Το γεγονός είναι ότι για να διαθέσει κάποια στοιχεία που θεωρούνται εύκολα μέσω του πίνακα, πρέπει να γνωρίζουμε τι ακριβώς ψάχνουμε και είναι στην αναζήτηση αυτών των στοιχείων και αποτελείται από όλο τον υπολογισμό του πρωταρχικού.

Με άλλα λόγια, δεν αρκεί να πάρετε μόνο το τραπέζι του πρωτόγονα - πρέπει να είστε σε θέση να δείτε κάτι που δεν είναι ακόμα, αλλά αυτό που εννοούσα τον συγγραφέα και τον μεταγλωττιστή αυτού του έργου. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο πολλά μαθηματικά, καθηγητές και καθηγητές υποστηρίζουν συνεχώς: "Ποια είναι η λήψη πρωτογενούς ή ολοκλήρωσης - είναι απλώς ένα εργαλείο ή αυτή η πραγματική τέχνη;" Στην πραγματικότητα, κατά τη γνώμη μου, η ενσωμάτωση δεν είναι τέχνη - δεν υπάρχει τίποτα εξαιρετικό σε αυτό, είναι απλά πρακτική και πρακτική και πάλι. Και για να εξασκηθείτε, ας αποφασίσουμε άλλα τρία πιο σοβαρά παραδείγματα.

Εκπαιδεύουμε στην ολοκλήρωση στην πράξη

Αριθμός εργασίας 1.

Γράφουμε τέτοιους φόρμουλες:

\\ [((x) ^ (n)) \\ to \\ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \\]

\\ [\\ Frac (1) (x) \\ \\ ln x \\]

\\ [\\ Frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) \\ To \\ Text (ARCTG) X \\]

Ας γράψουμε τα εξής:

Αριθμός εργασίας 2.

Ξαναγράψτε τα εξής:

Το συνολικό πρωτόγονο θα είναι ίσο με:

Αριθμός εργασίας 3.

Η πολυπλοκότητα αυτού του στόχου είναι ότι, σε αντίθεση με τις προηγούμενες λειτουργίες, δεν υπάρχει καμία μεταβλητή $ x $ καθόλου, δηλ. Δεν είναι σαφές σε εμάς ότι προσθέστε, αφαιρέστε, για να πάρετε τουλάχιστον κάτι παρόμοιο με αυτό που είναι παρακάτω. Ωστόσο, στην πραγματικότητα, αυτή η έκφραση θεωρείται ακόμη πιο εύκολη από οποιαδήποτε έκφραση από προηγούμενες δομές, επειδή αυτή η λειτουργία μπορεί να ξαναγραφεί ως εξής:

Μπορείτε να ρωτήσετε τώρα: Γιατί είναι ίσοι αυτές οι λειτουργίες; Ας ελέγξουμε:

Επίσης, ξαναγράψω:

Μετατρέπουμε την έκφρασή μας ελαφρώς:

Και όταν εξηγώ όλα αυτά στους μαθητές μου, σχεδόν πάντα προκύπτει το ίδιο πρόβλημα: με την πρώτη λειτουργία όλα είναι περισσότερο ή λιγότερο σαφή, με το δεύτερο, όταν η τύχη ή η πρακτική μπορεί να αντιμετωπιστεί, αλλά ποια εναλλακτική συνείδηση \u200b\u200bπρέπει να κατέχει Για να λύσετε το τρίτο παράδειγμα; Στην πραγματικότητα, μην φοβάστε. Η υποδοχή που χρησιμοποιήσαμε κατά τον υπολογισμό των τελευταίων πρωτόγονων ονομάζεται "αποσύνθεση μιας συνάρτησης στην απλούστερη", και αυτή είναι μια πολύ σοβαρή ρεσεψιόν και ένα ξεχωριστό εκπαιδευτικό βίντεο θα είναι αφιερωμένο σε αυτόν.

Εν τω μεταξύ, προτείνω να επιστρέψω στο γεγονός ότι μόλις μελετήσαμε, δηλαδή, σε ενδεικτικές λειτουργίες και κάπως περιπλέκουν τα καθήκοντα με το περιεχόμενό τους.

Πιο σύνθετα καθήκοντα για τη λύση των πρωτόγονων ενδεικτικών λειτουργιών

Αριθμός εργασίας 1.

Σημειώστε τα εξής:

\\ [((2) ^ (x)) \\ CDOT ((5) ^ (x)) \u003d ((\\ αριστερά (2 \\ cdot 5 \\ δεξιά)) ^ (x)) \u003d ((10) ^ (x) )

Για να βρείτε μια πρωταρχική έκφραση, αρκεί να χρησιμοποιήσετε απλά τον τυποποιημένο τύπο - $ ((a) ^ (x)) \\ to \\ frac (((a) ^ (x))) (\\ ln a) $.

Στην περίπτωσή μας, η πρωταρχική θα είναι έτσι:

Φυσικά, στο φόντο της κατασκευής, την οποία μόλις αποφασίσαμε, αυτό φαίνεται απλούστερο.

Αριθμός εργασίας 2.

Και πάλι, είναι εύκολο να παρατηρηθεί ότι αυτή η λειτουργία είναι εύκολο να χωριστεί σε δύο ξεχωριστούς όρους - δύο ξεχωριστά κλάσματα. Επανεγγραφή:

Παραμένει η εξεύρεση πρωτεύουσας από κάθε ένα από αυτά τα όρια σύμφωνα με τον τύπο που περιγράφεται παραπάνω:

Παρά την φαινομενικά σημαντική πολυπλοκότητα των ενδεικτικών λειτουργιών σε σύγκριση με την εξουσία, η συνολική ποσότητα υπολογισμών και υπολογισμών αποδείχθηκε πολύ απλούστερη.

Φυσικά, για γνώστες φοιτητές, το γεγονός ότι μόλις αποσυναρμολογήσαμε (ειδικά στο φόντο αυτό που έχουμε αποσυναρμολογηθεί πριν) μπορεί να φανεί σαν στοιχειώδεις εκφράσεις. Ωστόσο, η επιλογή δύο από αυτά τα καθήκοντα για το σημερινό βιντεοπαιχνίδι, δεν έβαλα έναν στόχο να σας πω μια άλλη πολύπλοκη και ταραγμένη υποδοχή - όλα όσα ήθελα να δείξω είναι ότι δεν είναι απαραίτητο να φοβάστε να χρησιμοποιήσετε τις τυποποιημένες μεθόδους άλγεβρας σε Μετατρέψτε τις λειτουργίες πηγής.

Χρησιμοποιώντας τη "μυστική" υποδοχή

Συμπερασματικά, θα ήθελα να αποσυναρμολογήσω μια άλλη ενδιαφέρουσα τεχνική, η οποία, αφενός, υπερβαίνει το γεγονός ότι αποσυναρμολογήσαμε κυρίως σήμερα, αλλά, από την άλλη πλευρά, πρώτα απ 'όλα, δεν είναι δύσκολο, δηλ. Μπορεί να καταρρεύσει ακόμη και τους αρχάριους φοιτητές, και, δεύτερον, βρίσκεται συχνά σε κάθε είδους έλεγχο και ανεξάρτητη εργασία, δηλ. Γνώση Θα είναι πολύ χρήσιμη εκτός από τη γνώση του πίνακα πρωτόγονων.

Αριθμός εργασίας 1.

Προφανώς, έχουμε κάτι πολύ παρόμοιο με τη λειτουργία ισχύος. Πώς κάνουμε στην περίπτωση αυτή; Ας σκεφτούμε: Το $ X-5 $ είναι διαφορετικό από $ x $ όχι τόσο πολύ - μόλις πρόσθεσε $ -5 $. Γράφουμε έτσι:

\\ [((x) ^ (4)) \\ to \\ frac (((x) ^ (5))) (5) \\]

\\ [((\\ αριστερά (\\ frac (\\ frac (((x) ^ (5))) (5) \\ σωστά)) \u003d \\ frac (5 \\ cdot ((x) ^ (4)))) (5) \u003d ((x) ^ (4)) \\]

Ας προσπαθήσουμε να βρούμε ένα παράγωγο από $ ((\\ αριστερά (x-5 \\ δεξιά)) ^ (5)) $:

\\ [((\\ αριστερά ((((\\ αριστερά (X-5 \\ δεξιά)) ^ (5)) \\ Δεξιά)) ^ (\\ Prime)) \u003d 5 \\ CDOT ((\\ αριστερά (x-5 \\ δεξιά)) ^ (4)) \\ CDOT ((\\ αριστερά (x-5 \\ δεξιά)) ^ (\\ prime)) \u003d 5 \\ cdot ((\\ αριστερά (x-5 \\ δεξιά)) ^ (4))

Αυτό υπονοεί:

\\ [((\\ αριστερά (x-5 \\ δεξιά)) ^ (4)) \u003d ((\\ αριστερά (\\ frac (((\\ αριστερά (x-5 \\ δεξιά)) ^ (5)) Δεξιά)) ^ (\\ prime)) \\]

Δεν υπάρχει τέτοια αξία στον πίνακα, οπότε έχουμε φέρει τον εαυτό σας τον τύπο τον εαυτό σας χρησιμοποιώντας έναν τυποποιημένο τύπο για μια πολύ πρωταρχική λειτουργία. Ας γράψουμε την απάντηση στο:

Αριθμός εργασίας 2.

Πολλοί φοιτητές που θα εξετάσουν την πρώτη απόφαση μπορεί να φαίνονται ότι όλα είναι πολύ απλά: αρκεί να αντικατασταθεί στην ισχυρή λειτουργία των $ x $ σε μια γραμμική έκφραση, και όλα θα υπάρχουν. Δυστυχώς, όλα δεν είναι τόσο απλά, και τώρα θα είμαστε πεπεισμένοι για αυτό.

Κατ 'αναλογία με την πρώτη έκφραση που γράφουμε τα εξής:

\\ [((x) ^ (9)) \\ to \\ frac (((x) ^ ^ (10))) (10) \\]

\\ [((\\ αριστερά ((((\\ αριστερά (4-3x \\ δεξιά)) ^ (10)) \\ Right)) ^ (\\ Prime)) \u003d 10 \\ CDOT ((\\ Αριστερά (4-3x \\ Δεξιά)) ^ (9)) \\ CDOT ((\\ αριστερά (4-3x \\ δεξιά)) ^ (\\ prime)) \u003d \\]

\\ [\u003d 10 \\ CDOT ((\\ Αριστερά (4-3x \\ Δεξιά)) ^ (9)) \\ CDOT \\ Αριστερά (-3 \\ Δεξιά) \u003d - 30 \\ CDOT ((\\ Αριστερά (4-3x \\ Δεξιά)) ^ (9)) \\]

Επιστρέφοντας στο παράγωγό μας, μπορούμε να γράψουμε:

\\ [((\\ αριστερά (((\\ αριστερά (4-3x \\ δεξιά)) ^ (10)) \\ Δεξιά)) ^ (\\ Prime)) \u003d - 30 \\ CDOT ((\\ Αριστερά (4-3x \\ Right) ) ^ (9)) \\]

\\ [(\\ αριστερά (4-3x \\ δεξιά)) ^ (9)) \u003d ((\\ αριστερά (\\ frac (((\\ αριστερά (4-3x \\ σωστή)) ^ (10))) (- 30)) (- 30) \\ Δεξιά)) ^ (\\ prime)) \\]

Από εδώ ακολουθεί αμέσως:

Λύσεις αποχρώσεων

Παρακαλώ σημειώστε: Εάν η τελευταία φορά που δεν έχει αλλάξει τίποτα, στη συνέχεια στη δεύτερη περίπτωση, εμφανίστηκε ένα $ -30 $ αντί για $ -10 $. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ $ -10 $ και $ -30 $; Προφανώς, ο πολλαπλασιαστήρας είναι $ -3 $. Ερώτηση: Από πού προέρχεται; Το βλέμμα μπορεί να φανεί ότι χρειάστηκε ως αποτέλεσμα των υπολογισμών μιας παράγωγης πολύπλοκης λειτουργίας - ο συντελεστής που στάθηκε σε $ x $ εμφανίζεται στο πρωτεύον πυθμένα. Αυτός είναι ένας πολύ σημαντικός κανόνας που αρχικά δεν σχεδίαζα να αποσυναρμολογήσουν στο σημερινό εκπαιδευτικό βίντεο, αλλά χωρίς αυτό, η παρουσίαση των πινάκων θα ήταν ελλιπής.

Ας γράψουμε λοιπόν. Αφήστε την κύρια λειτουργία ισχύος μας:

\\ [((x) ^ (n)) \\ to \\ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \\]

Και τώρα αντί για $ x $ ας υποκαταστήσουμε την έκφραση $ kx + b $. Τι θα συμβεί τότε; Πρέπει να βρούμε τα εξής:

\\ [(((\\ αριστερά)) ^ (n)) \\ to \\ frac (((\\ αριστερά (kx + b \\ δεξιά)) ^ (n + 1))) (\\ αριστερά (n + 1 \\ δεξιά) \\ cdot Κ) \\]

Σε ποια βάση επιβεβαιώνουμε αυτό; Πολύ απλό. Ας βρούμε το παράγωγο του σχεδιασμού που γράφτηκε παραπάνω:

\\ [((\\ αριστερά (\\ frac (\\ αριστερά (kx + b \\ δεξιά)) ^ (n + 1))) (\\ αριστερά (n + 1 \\ δεξιά) \\ CDOT K) \\ RWORE) ^ (\\ Prime)) \u003d \\ frac (1) (\\ αριστερά (n + 1 \\ δεξιά) \\ cdot k) \\ cdot \\ αριστερά (n + 1 \\ δεξιά) \\ cdot ((\\ αριστερά (KX + B \\ RWEST)) ^ ( n)) \\ CDOT K \u003d ((\\ αριστερά (KX + B \\ Right)) ^ (n)) \\]

Αυτή είναι η πιο έκφραση που αρχικά ήταν και ήταν. Έτσι, αυτή η φόρμουλα είναι επίσης αλήθεια και μπορεί να συμπληρωθεί με έναν πίνακα πρωτόγονων και είναι καλύτερο να θυμάστε μόνο ολόκληρο το τραπέζι.

Συμπεράσματα από το "Μυστικό: Υποδοχή:

• Και οι δύο λειτουργίες που μόλις θεωρήσαμε, στην πραγματικότητα, μπορούν να μειωθούν στο πρωτόγονο που καθορίζεται στον πίνακα, με την αποκάλυψη πτυχίων, αλλά αν μπορέσαμε να αντιμετωπίσουμε τον τέταρτο βαθμό, τότε το ένατο βαθμό δεν θα κρισδιάνουμε καθόλου αποκαλύπτω.
• Εάν αποκαλύψαμε πτυχία, τότε θα λάβουμε έναν τέτοιο όγκο υπολογισμών ότι ένα απλό έργο θα είχε πάρει ανεπαρκώς μεγάλο χρονικό διάστημα.
• Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο τέτοιες εργασίες εντός των οποίων αντιμετωπίζουν οι γραμμικές εκφράσεις, δεν είναι απαραίτητο να λυθούν "απέναντι". Μόλις συναντήσετε ένα πρωτόγονο, το οποίο είναι διαφορετικό από αυτό που στο τραπέζι, μόνο η παρουσία μιας έκφρασης $ kx + b $ μέσα, θυμάται αμέσως τον τύπο που γράφτηκε παραπάνω, να το υποκαταστήσει στο τραπέζι σας πρωτογενή και όλα θα είναι πολύ ταχύτερη και ευκολότερη.

Φυσικά, λόγω της πολυπλοκότητας και της σοβαρότητας αυτής της αποδοχής, θα επιστρέψουμε επανειλημμένα στην εξέταση των μελλοντικών εκπαιδευτικών βίντεο, αλλά σήμερα έχω τα πάντα. Ελπίζω ότι αυτό το μάθημα θα βοηθήσει πραγματικά αυτούς τους μαθητές που θέλουν να κατανοήσουν πρωτόγονες και ενσωμάτωση.

Σε ένα προηγούμενο υλικό, εξετάστηκε το ζήτημα της εύρεσης ενός παραγώγου και οι διάφορες εφαρμογές της έδειξαν: υπολογίζοντας τον γωνιακό συντελεστή εφαπτομενικής για το χρονοδιάγραμμα, την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης, τη μελέτη των λειτουργιών για τη μονοτονία και το άκρο. $ \\ newcommand (\\ tg) (\\ mathrm (\\ mathrm (\\ tg)) \\ nolimits) $ \\ newcommand (\\ ctg) (\\ mathrm (\\ mathrm (ctg)) \\ nolimits) $ $ \\ newcommand (\\ arctg) Mathop (\\ mathrm (arctg)) \\ nolimits) $ \\ newcommand (\\ arcctg) (\\ mathrop (\\ mathrm (\\ mathrm (arcctg) \\ nolimits) $

Εικόνα 1.

Θεωρήθηκε επίσης το καθήκον να βρει ένα στιγμιαίο ποσοστό $ V (t) $ χρησιμοποιώντας μια προκαθορισμένη διαδρομή σε μια προηγουμένως γνωστή διαδρομή που εκφράζεται από τη λειτουργία $ s (t) $.

Σχήμα 2.

Είναι επίσης πολύ συχνά το αντίθετο καθήκον όταν είναι απαραίτητο να βρείτε το μονοπάτι $ s (t) $, πέρασε από ένα σημείο κατά τη διάρκεια του $ t $, γνωρίζοντας την ταχύτητα του σημείου $ v (t) $. Εάν θυμάσαι, το στιγμιαίο ποσοστό $ V (t) $ βρίσκεται, ως παράγωγο της λειτουργίας διαδρομής $ s (t) $: $ v (t) \u003d s '(t) $. Αυτό σημαίνει ότι για την επίλυση της ανατροφοδότησης, δηλαδή, για να υπολογίσετε τη διαδρομή, πρέπει να βρείτε μια λειτουργία, το παράγωγο του οποίου θα είναι ίσο με τη λειτουργία ταχύτητας. Αλλά γνωρίζουμε ότι το παράγωγο του μονοπατιού είναι η ταχύτητα, δηλαδή, $ s '(t) \u003d v (t) $. Η ταχύτητα είναι ίση με το έργο της επιτάχυνσης εκείνη τη στιγμή: $ V \u003d σε $. Είναι εύκολο να προσδιορίσετε ότι η επιθυμητή λειτουργία διαδρομής θα προβληθεί: $ s (t) \u003d \\ frac (^ 2) (2) $. Αλλά αυτό δεν είναι μια πλήρης λύση. Η πλήρης λύση θα προβληθεί: $ S (t) \u003d \\ Frac (στο ^ 2) (2) + C $, όπου $ C $ είναι κάποια σταθερά. Γιατί έτσι θα ειπωθεί στη συνέχεια. Εν τω μεταξύ, ελέγξτε την ορθότητα της λύσης που βρέθηκε: $ s "(t) \u003d \\ αριστερά (\\ frac (^ 2) (2) + c \\ δεξιά)" \u003d 2 \\ frac (at) (2) + 0 \u003d At \u003d v (t) $.

Αξίζει να σημειωθεί ότι η εύρεση της διαδρομής με ταχύτητα είναι η φυσική έννοια του πρωτόγορου.

Η ληφθείσα λειτουργία $ s (t) $ ονομάζεται πρωτόγονη λειτουργία $ v (t) $. Ένα μάλλον ενδιαφέρον και ασυνήθιστο όνομα δεν είναι αλήθεια. Είναι ένα μεγάλο νόημα που εξηγεί την ουσία Αυτή η έννοια Και οδηγεί στην κατανόησή του. Μπορεί να σημειωθεί ότι δύο λέξεις "πρώτα" και "εικόνα" ολοκληρώνονται σε αυτό. Μιλούν για τον εαυτό τους. Δηλαδή, αυτή είναι η λειτουργία που είναι το αρχικό παράγωγο για τα υπάρχοντα. Και είμαστε σε αυτό το παράγωγο ψάχνοντας τη λειτουργία που ήταν στην αρχή ήταν "πρώτα", "πρώτα", δηλαδή, το πρωταρχικό. Μερικές φορές ονομάζεται επίσης πρωτόγονη λειτουργία ή αντι-παράγωγο.

Όπως ήδη γνωρίζουμε, η διαδικασία εύρεσης ενός παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση. Και η διαδικασία εύρεσης πρωτεύουσας ονομάζεται ολοκλήρωση. Η λειτουργία ολοκλήρωσης είναι αντίστροφη για τη λειτουργία διαφοροποίησης. Δεξιά και αντίστροφη δήλωση.

Ορισμός. Το πρώτο που λειτουργεί $ F (x) $ ονομάζεται μια τέτοια λειτουργία $ f (x) $, το παράγωγο του οποίου είναι ίσο με αυτή τη λειτουργία $ f (x) $ για όλα τα $ x $ από το καθορισμένο διάστημα: $ f ' (x) \u003d f (x) $.

Κάποιος μπορεί να έχει μια ερώτηση: όπου υπήρχε $ f (x) $ και $ f (x) $ από τον ορισμό, αν ήταν αρχικά περίπου $ s (t) $ και $ v (t) $. Το γεγονός είναι ότι $ s (t) $ και $ v (t) $ είναι ειδικές περιπτώσεις του χαρακτηρισμού των λειτουργιών που έχουν ένα συγκεκριμένο νόημα σε αυτή την περίπτωση, δηλαδή αυτή είναι η λειτουργία λειτουργίας και ταχύτητας, αντίστοιχα. Το ίδιο με ένα μεταβλητό $ t $ - σημαίνει χρόνο. Ένα $ F $ και $ x $ είναι μια παραδοσιακή έκδοση της γενικής ονομασίας της λειτουργίας και της μεταβλητής, αντίστοιχα. Αξίζει να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή στην ονομασία ενός πρωτόγονου $ f (x) $. Πρώτον, το $ F $ είναι κεφάλαιο. Τέλειο καθορισμένο κεφαλαία γράμματα. Δεύτερον, τα γράμματα συμπίπτουν: $ f $ και $ f $. Δηλαδή, για τη λειτουργία $ g (x) $, το πρώτο θα δηλώνεται με $ g (x) $, για $ z (x) $ - $ z (x) $. Ανεξάρτητα από τις ονομασίες, οι κανόνες για την εξεύρεση μιας πρωτόγονης λειτουργίας είναι πάντα οι ίδιες.

Εξετάστε διάφορα παραδείγματα.

Παράδειγμα 1. Αποδείξτε ότι η λειτουργία $ f (x) \u003d \\ frac (1) (5) \\ sin5x $ είναι η πρωτόγονη λειτουργία $ f (x) \u003d \\ cos5x $.

Για να αποδείξουμε, χρησιμοποιούμε τον ορισμό, ή μάλλον το γεγονός ότι το $ f '(x) \u003d f (x) $ και βρείτε το παράγωγο της λειτουργίας $ f (x) $: $ f' (x) \u003d (\\ frac (1) (5) \\ sin5x) '\u003d \\ frac (1) (5) \\ cdot 5 \\ cos5x \u003d \\ cos5x $. Έτσι $ f (x) \u003d \\ frac (1) (5) \\ sin5x $ είναι ένα πρωτόγονο $ f (x) \u003d \\ cos5x $. Q.e.d.

Παράδειγμα 2. Βρίσκοντας ποιες λειτουργίες είναι οι ακόλουθες πρωταρχικές: α) $ f (z) \u003d \\ tg z $; β) $ g (l) \u003d \\ sin l $.

Για να βρείτε τις επιθυμητές λειτουργίες, υπολογίζουμε τα παράγωγά τους:
α) $ f '(z) \u003d (\\ tg z)' \u003d \\ frac (1) (\\ cos ^ 2 z) $;
β) $ g (l) \u003d (\\ sin l) '\u003d \\ cos l.

Παράδειγμα 3. Τι θα είναι πρωτόγονο για $ f (x) \u003d 0 $;
Χρησιμοποιούμε τον ορισμό. Πιστεύουμε ποια λειτουργία μπορεί να έχει ένα παράγωγο ίσο με $ 0 $. Θυμηθείτε τον πίνακα των παραγώγων, λαμβάνουμε ότι οποιαδήποτε σταθερά θα έχει ένα τέτοιο παράγωγο. Λαμβάνουμε ότι το επιθυμητό είναι το πρωτόγονο: $ f (x) \u003d c $.

Το εν λόγω διάλυμα μπορεί να εξηγηθεί γεωμετρικά και σωματικά. Γεωμετρίτως, σημαίνει ότι το εφαπτόμενο στο $ y \u003d f (x) $ οριζόντιο γράφημα σε κάθε σημείο αυτού του γράφου και, σημαίνει συμπίπτει με τον άξονα $ ox $. Εξηγείται φυσικά από το γεγονός ότι ένα σημείο που έχει ταχύτητα ίσο με μηδέν παραμένει στη θέση του, δηλαδή, η διαδρομή πέρασε αμετάβλητη. Με βάση αυτό, μπορείτε να διατυπώσετε το ακόλουθο θεωρητικό.

Θεώρημα. (Σημάδι της σταθερότητας των λειτουργιών). Εάν σε ένα συγκεκριμένο κενό $ f '(x) \u003d 0 $, τότε η λειτουργία $ f (x) $ είναι σταθερή σε αυτό το κενό.

Παράδειγμα 4. Προσδιορίστε, οι πρωταρχικές λειτουργίες είναι λειτουργίες α) $ f_1 \u003d \\ frac (x ^ 7) (7) $. β) $ f_2 \u003d \\ frac (x ^ 7) (7) - $ 3; γ) $ f_3 \u003d \\ frac (x ^ 7) (7) + 9 $; δ) $ f_4 \u003d \\ frac (x ^ 7) (7) + $, όπου $ a $ είναι ένας αριθμός.
Χρησιμοποιώντας τον ορισμό ορισμού, συμπεραίνουμε ότι για την επίλυση αυτής της εργασίας, πρέπει να υπολογίσουμε τα παράγωγα δεδομένα σε εμάς των πρωτόγονων λειτουργιών. Κατά τον υπολογισμό, θυμηθείτε ότι το παράγωγο είναι σταθερό, δηλαδή, οποιοσδήποτε αριθμός είναι μηδέν.
α) $ f_1 \u003d (\\ frac (x ^ 7) (7)) "\u003d 7 \\ cdot \\ frac (x ^ 6) (7) \u003d x ^ 6 $;
β) $ f_2 \u003d \\ αριστερά (\\ frac (x ^ 7) (7) - 3 \\ δεξιά) "\u003d 7 \\ cdot \\ frac (x ^ 6) (7) \u003d x ^ 6 $;
γ) $ f_3 \u003d (\\ frac (x ^ 7) (7) + 9) '\u003d x ^ 6 $;
δ) $ f_4 \u003d (\\ frac (x ^ 7) (7) + α) '\u003d x ^ 6 $.

Τι βλέπουμε; Αρκετές διαφορετικές λειτουργίες είναι η πρωτόγονη και η ίδια λειτουργία. Αυτό υποδηλώνει ότι οποιαδήποτε λειτουργία έχει απείρως πολλά πρωτόγονα και έχουν ένα έντυπο $ f (x) + c $, όπου $ c $ είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Δηλαδή, η λειτουργία ολοκλήρωσης είναι πολύτιμη, σε αντίθεση με τη λειτουργία διαφοροποίησης. Διατυπώνεται με βάση αυτό το θεώρημα που περιγράφει τη βασική ιδιότητα του πρωτόγονα.

Θεώρημα. (Το βασικό ακίνητο είναι πρωτόγονο). Αφήστε τις λειτουργίες του $ f_1 $ και $ f_2 $ είναι οι πρωταρχικές λειτουργίες του $ f (x) $ σε κάποιο διάστημα. Στη συνέχεια, για όλες τις τιμές από αυτό το κενό, η ακόλουθη ισότητα είναι έγκυρη: $ f_2 \u003d f_1 + c $, όπου $ C $ είναι κάποια σταθερά.

Το γεγονός της παρουσίας απεριόριστου συνόλου πρωτόγονου μπορεί να ερμηνευθεί γεωμετρικά. Με τη βοήθεια της παράλληλης μεταφοράς κατά μήκος του άξονα $ Oy $, μπορείτε να πάρετε ο ένας τον άλλον γραφικά δύο τυχόν πολύ πρωτόγονα για $ f (x) $. Αυτή είναι η γεωμετρική έννοια του πρωτόγοη.

Είναι πολύ σημαντικό να δώσουμε προσοχή στο γεγονός ότι η επιλογή μιας σταθεράς $ C $ μπορεί να επιτευχθεί από το διάγραμμα ενός πρωτόγονα μέσω ενός συγκεκριμένου σημείου.

Σχήμα 3.

Παράδειγμα 5. Βρείτε το πρώτο για να λειτουργήσει $ f (x) \u003d \\ frac (x ^ 2) (3) + 1 $, το γράφημα του οποίου περνά μέσα από το σημείο $ (3, 1) $.
Βρείτε στην αρχή όλα είναι πολύ πρωτόγονα για $ f (x) $: $ f (x) \u003d \\ frac (x ^ 3) (9) + x + c $.
Στη συνέχεια, θα βρούμε έναν τέτοιο αριθμό C, στο οποίο το πρόγραμμα $ y \u003d \\ frac (x ^ 3) (9) + x + c $ θα περάσει από το σημείο $ (3, 1) $. Για να το κάνετε αυτό, θα αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες σημείων στην εξίσωση γραφήματος και να το λύσουμε σε σχέση με $ c $:
$ 1 \u003d \\ Frac (3 ^ 3) (9) +3 + C $, $ c \u003d -5 $.
Έλαβε ένα γράφημα $ y \u003d \\ frac (x ^ 3) (9) + x-5 $, το οποίο αντιστοιχεί στο πρωτόγονο $ f (x) \u003d \\ frac (x ^ 3) (9) + x-5 $.

Προεδρείδι πίνακα

Ο πίνακας των τύπων για την εξεύρεση του πρωταρχικού μπορεί να καταρτιστεί χρησιμοποιώντας παράγωγα εύρεσης τύπων.

Πρώτα

Λειτουργίες	Διαπερατός
$0$	$ C $
$1$	$ x + c $
$ a \\ in r $	$ AX + C $
$ x ^ n, n \\ ne1 $	$ \\ displayStyle \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + c $
$ \\ displaystyle \\ frac (1) (x) $	$ \\ ln | x | + c $
$ \\ SIN X $	$ - \\ cos x + c $
$ \\ cos x $	$ \\ SIN X + C $
$ \\ displaystyle \\ frac (1) (\\ sin ^ 2 x) $	$ - \\ CTG X + C $
$ \\ displayStyle \\ frac (1) (\\ cos ^ 2 x) $	$ \\ tg x + c $
$ E ^ x $	$ E ^ x + c $
$ a ^ x, a\u003e 0, a \\ ne1 $	$ \\ displayStyle \\ frac (a ^ x) (\\ ln a) + c $
$ \\ displayStyle \\ frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) $	$ \\ Arcsin X + C $
$ \\ displayStyle - \\ frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) $	$ \\ arccos x + c $
$ \\ displaystyle \\ frac (1) (1 + x ^ 2) $	$ \\ ARCTG X + C $
$ \\ DisplayStyle - \\ Frac (1) (1 + x ^ 2) $	$ \\ arcctg x + c $

Για να ελέγξετε την ορθότητα του πίνακα έχει ως εξής: Για κάθε σύνολο πρωτόγονων, το οποίο στη δεξιά στήλη βρίσκεται ένα παράγωγο, με αποτέλεσμα τις αντίστοιχες λειτουργίες στην αριστερή στήλη.

Ορισμένοι κανόνες για την εξεύρεση πρωτόγονων

Όπως γνωρίζετε, πολλές λειτουργίες έχουν ένα πιο περίπλοκο είδος από αυτά που καθορίζονται στον πίνακα πρωτόγονων και μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αυθαίρετος συνδυασμός ποσών και έργων λειτουργιών από αυτόν τον πίνακα. Και στη συνέχεια τίθεται το ερώτημα πώς να υπολογίσει το πρωτόγονο Τέτοιες λειτουργίες. Για παράδειγμα, από το τραπέζι γνωρίζουμε πώς να υπολογίσετε το πρωτόγονο $ x € $ 3 $ 3 $, $ \\ SIN X $ και $ 10 $. Και πώς, για παράδειγμα, υπολογίστε το πρωτόγονο $ x ^ 3-10 \\ sin x $; Κοιτάζοντας μπροστά, αξίζει να σημειωθεί ότι θα είναι ίση με $ \\ frac (x ^ 4) (4) +10 \\ cos x $.
1. Εάν $ f (x) $ είναι πρωτόγονο για $ f (x) $, $ g (x) $ - για $ g (x) $, τότε για $ f (x) + g (x) $ first θα είναι ίση με $ f (x) + g (x) $.
2. Εάν $ f (x) $ είναι ένα πρωτόγονο για $ f (x) $ και $ a $ - μια σταθερή, στη συνέχεια για $ AF (x) $ θα είναι $ AF (x) $.
3. Εάν $ f (x) $ είναι ένα πρωτόγονο $ f (x) $, $ a $ και $ b $ - σταθερές, τότε $ \\ frac (1) (a) f (ax + b) $ QUIRIVE για $ f (AX + B) $.
Χρησιμοποιώντας τους κανόνες που ελήφθησαν, μπορούμε να επεκτείνουμε τον πίνακα του πρωτόγορου.

Λειτουργίες	Διαπερατός
$ (Ax + b) ^ n, n \\ ne1, a \\ ne0 $	$ \\ displayStyle \\ frac ((ax + b) ^ n) (a (n + 1)) + c $
$ \\ DisplayStyle \\ Frac (1) (AX + B), A \\ NE0 $	$ \\ displayStyle \\ frac (1) (a) \\ ln | ax + b | + c $
$ E ^ (AX + B), A \\ NE0 $	$ \\ displayStyle \\ frac (1) (a) e ^ (ax + b) + c $
$ \\ SIN (AX + B), A \\ NE0 $	$ \\ DisplayStyle - \\ Frac (1) (Α) \\ COS (AX + B) + C $
$ \\ cos (AX + B), A \\ NE0 $	$ \\ displayStyle \\ frac (1) (a) \\ sin (ax + b) + c $

Παράδειγμα 5. Βρείτε πρωτεύουσα για:

α) $ \\ displayStyle 4x ^ 3 + 10x ^ 7 $;

β) $ \\ displayStyle \\ frac (6) (x ^ 5) - \\ Frac (2) (x) $;

γ) $ \\ displayStyle 5 \\ cos x + \\ sin (3x + 15) $;

δ) $ \\ displaystyle \\ sqrt (x) -2 \\ sqrt (x) $.

α) $ 4 \\ frac (x ^ (3 + 1)) (3 + 1) +10 \\ frac (x ^ (7 + 1)) (7 + 1) + c \u003d x ^ 4 + \\ frac (5) (4) x ^ 8 + c $;

β) $ - \\ frac (3) (2x ^ 4) -2 \\ ln | x | + c $;

γ) $ 5 \\ sin x - \\ frac (1) (3) \\ cos (3x + 15) + c $.

δ) $ \\ frac (2) (3) x \\ sqrt (x) - \\ frac (3) (2) x \\ sqrt (x) + c $.