Vypočítajte determinant súčinu dvoch matíc. Determinant súčinu matríc. Determinant súčinu dvoch štvorcových matíc

Prednáška 6

4.6 Determinant súčinu dvoch štvorcových matíc.

Súčin dvoch štvorcových matíc n-tý poriadok je vždy definovaný. V tomto prípade je dôležitá nasledujúca veta.

Veta. Determinant maticového súčinu sa rovná súčinu determinantov faktorových matíc:

Dôkaz. Nechaj

A
,

.

Vytvorme si pomocný determinant

.

V dôsledku Laplaceovej vety máme:

.

takže,
, to si ukážeme
. Aby sme to dosiahli, transformujeme determinant nasledovne. Najprv tí prví P
, pridať k
-tý stĺpec. Potom prvý P stĺpcov vynásobených
, pridať k
-tý stĺpec atď. V poslednom kroku k
pridá sa prvý stĺpec P stĺpcov vynásobených
. Výsledkom je, že získame determinant

.

Rozšírenie výsledného determinantu pomocou Laplaceovej vety z hľadiska posledného P stĺpce, nájdeme:

Takže rovnosť bola preukázaná
A
, z čoho vyplýva, že
.

4.7.Inverzná matica

Definícia 1 . Nech je daná štvorcová matica A P- poradie. Štvorcová matica
rovnakého rádu sa nazývajú obrátene do matice A, ak , kde E- matica identity P- poradie.

Vyhlásenie. Ak existuje matica inverzná k matici A, potom je takáto matica jedinečná.

Dôkaz. Predpokladajme, že matica
nie je jedinou maticou inverznou k matici A. Zoberme si inú inverznú maticu B. Potom sú podmienky splnené

Pozrime sa na prácu
. Pre neho existujú rovnosti

z čoho vyplýva, že
. Jedinečnosť inverznej matice je teda dokázaná.

Pri dokazovaní vety o existencii inverznej matice budeme potrebovať koncept „adjungovanej matice“.

Definícia 2 . Nech je daná matrica

.

ktorých prvkami sú algebraické doplnky prvkov matice A, volal pripojený matrica na matricu A.

Venujme pozornosť skutočnosti, že na zostrojenie adjungovanej matice S maticové prvky A musíte ich nahradiť algebraickými sčítaniami a potom transponovať výslednú maticu.

Definícia 3. Štvorcová matica A volal nedegenerované , Ak
.

Veta. Aby bola matrica A mali inverznú maticu
, je potrebné a postačujúce, aby matica A bola nedegenerovaná. V tomto prípade matica
sa určuje podľa vzorca

, (1)

Kde - algebraické sčítania prvkov matice A.

Dôkaz. Nechajte maticu A má inverznú maticu
. Potom sú splnené podmienky, z ktorých to vyplýva. Z poslednej rovnosti získame, že determinanty
A
. Tieto determinanty sú spojené vzťahom
. Matrice A A
nedegenerované, pretože ich determinanty sú nenulové.

Teraz nechajme maticu A nedegenerované. Dokážme, že matica A má inverznú maticu
a určuje sa podľa vzorca (1). Aby sme to dosiahli, pozrime sa na prácu

matice A a maticu s ňou spojenú S.

Podľa pravidla násobenia matice prvok Tvorba
matice A A S má tvar: . Keďže súčet súčinov prvkov i riadkov k algebraickým doplnkom zodpovedajúcich prvkov j- tý riadok sa rovná nule at
a determinant at
. teda

Kde E– matica identity P- poradie. Rovnosť sa dokazuje podobným spôsobom
. teda

, čo znamená, že
a matice je inverzná hodnota matice A. Preto nesingulárna matica A má inverznú maticu, ktorá je určená vzorcom (1).

Dôsledok 1 . Maticové determinanty A A
súvisí vzťahom
.

Dôsledok 2 . Hlavná vlastnosť adjungovanej matice S do matice A sa vyjadruje

rovnosti
.

Dôsledok 3 . Determinant nesingulárnej matice A a maticu s ňou spojenú

S viazaný rovnosťou
.

Z rovnosti vyplýva dôsledok 3
a vlastnosti determinantov, podľa ktorých pri násobení o P- mocnina tohto čísla. V tomto prípade

odkiaľ z toho vyplýva
.

Príklad. A:

.

Riešenie. Maticový determinant

odlišný od nuly. Preto matica A má opak. Aby sme to našli, najprv vypočítame algebraické doplnky:

,
,
,

,
,
,

,
.

Teraz pomocou vzorca (1) napíšeme inverznú maticu

.

4.8. Elementárne transformácie nad maticami. Gaussov algoritmus.

Definícia 1. Pod elementárne transformácie nad maticou veľkostí

porozumieť nasledujúcim krokom.

Násobenie ľubovoľného riadka (stĺpca) matice ľubovoľným nenulovým číslom.

Pridanie do ľubovoľného i riadok matice ktorejkoľvek z nich j- reťazec vynásobený ľubovoľným číslom.

Pridanie do ľubovoľného i tý stĺpec matice ktorejkoľvek z nich j- stĺpec vynásobený ľubovoľným číslom.

Preusporiadanie riadkov (stĺpcov) matice.

Definícia 2. Matrice A A IN zavoláme ekvivalent , ak je možné jednu z nich premeniť na druhú pomocou elementárnych transformácií. Bude písať
.

Maticová ekvivalencia má nasledujúce vlastnosti:

Definícia 3 . Stupňovaný nazývaná matica A majúce nasledujúce vlastnosti:

1) ak i-tý riadok je nulový, t.j. pozostáva zo všetkých núl
-tý riadok je tiež nula;

2) ak sú prvé nenulové prvky i th a
riadky sú umiestnené v stĺpcoch s číslami k A l, To
.

Príklad. Matrice

A

sú stupňovité a matice

nie je stupňovité.

Ukážme si, ako pomocou elementárnych transformácií môžeme zredukovať maticu A do stupňovitého pohľadu.

Gaussov algoritmus . Zvážte maticu A veľkosť
. Bez straty všeobecnosti to môžeme predpokladať
. (Ak je v matrici A Ak existuje aspoň nenulový prvok, potom preusporiadaním riadkov a potom stĺpcov môžeme zabezpečiť, aby tento prvok padol na priesečník prvého riadka a prvého stĺpca.) Pridať do druhého riadku matice A najprv vynásobený , do tretieho riadku – prvý, vynásobený atď.

V dôsledku toho to dostaneme

.

Prvky v najnovšom
riadky sú určené vzorcami:

,
,
.

Zvážte maticu

.

Ak všetky prvky matice sa teda rovnajú nule

a ekvivalentná matica je stupňovitá. Ak medzi maticovými prvkami aspoň jedna sa líši od nuly, potom môžeme bez straty všeobecnosti predpokladať, že
(to sa dá dosiahnuť preskupením riadkov a stĺpcov matice ). V tomto prípade transformácia matice presne ako matrix A, dostaneme

resp.

.

Tu
,
,
.

a
,
, … ,
. V matici A T riadky a na jeho uvedenie do postupného tvaru uvedeným spôsobom už viac nebudete potrebovať T kroky. Potom môže proces skončiť o k-tý krok vtedy a len vtedy, ak všetky prvky matice

sa rovnajú nule. V tomto prípade

a
,
, … ,
.

4.9. Nájdenie inverznej matice pomocou elementárnych transformácií.

Pre veľkú maticu je vhodné nájsť inverznú maticu pomocou elementárnych transformácií na matice. Táto metóda je nasledovná. Napíšte kompozitnú maticu
a podľa schémy Gaussovej metódy sa vykonávajú na riadkoch tejto matice (t.j. súčasne v matici A a v matici E) elementárne transformácie. V dôsledku toho matica A sa prevedie na maticu identity a maticu E– do matrice
.

Príklad. Nájdite inverznú maticu k matici

.

Riešenie. Napíšme zloženú maticu
a transformovať ho pomocou elementárnych reťazcových transformácií v súlade s Gaussovou metódou. V dôsledku toho dostaneme:

.

Z týchto premien usudzujeme

.

4.10 Poradie matice.

Definícia. Celé číslo r volal hodnosť matice A, ak má drobnú zákazku r, nenulové a všetky neplnoleté osoby sú rádovo vyššie r sa rovnajú nule. Hodnosť matice bude označená symbolom
.

Hodnosť matice sa vypočíta pomocou metódy hraničiace s maloletými .

Príklad. Pomocou metódy ohraničenia maloletých vypočítajte hodnosť matice

.

Riešenie.

Vyššie uvedená metóda nie je vždy vhodná, pretože... spojené s výpočtom veľkých

počet determinantov.

Vyhlásenie. Hodnosť matice sa nemení počas elementárnych transformácií jej riadkov a stĺpcov.

Uvedené tvrdenie naznačuje druhý spôsob výpočtu poradia matice. To sa nazýva metódou elementárnych transformácií . Ak chcete nájsť poradie matice, musíte použiť Gaussovu metódu na jej zmenšenie na postupnú formu a potom vybrať maximálnu nenulovú vedľajšiu hodnotu. Vysvetlime si to na príklade.

Príklad. Pomocou elementárnych transformácií vypočítajte hodnosť matice

.

Riešenie. Urobme reťazec elementárnych transformácií v súlade s Gaussovou metódou. Výsledkom je reťazec ekvivalentných matíc.

Definícia. Súčin dvoch matíc A A IN nazývaná matica S, ktorého prvok sa nachádza na križovatke i riadok a j stĺpec, ktorý sa rovná súčtu súčinov prvkov i riadok matice A na zodpovedajúce (v poradí) prvky j stĺpec matice IN.

Z tejto definície vyplýva vzorec maticového prvku C:

Matrixový produkt A do matice IN označené AB.

Príklad 1 Nájdite súčin dvoch matíc A A B, Ak

,

.

Riešenie. Je vhodné nájsť súčin dvoch matíc A A IN napíšte ako na obrázku 2:

V diagrame sivé šípky označujú, ktoré riadky matice sú prvky A na prvky toho ktorého stĺpca matice IN je potrebné vynásobiť, aby ste získali maticové prvky S a čiary sú farby prvku matice C príslušné maticové prvky sú spojené A A B, ktorého produkty sa pridávajú na získanie prvku matrice C.

V dôsledku toho získame prvky maticového produktu:

Teraz máme všetko na to, aby sme zapísali súčin dvoch matíc:

.

Súčin dvoch matíc AB má zmysel len vtedy, ak počet stĺpcov matice A sa zhoduje s počtom riadkov matice IN.

Túto dôležitú funkciu si ľahšie zapamätáte, ak budete nasledujúce pripomienky používať častejšie:

Existuje ďalšia dôležitá vlastnosť súčinu matíc, pokiaľ ide o počet riadkov a stĺpcov:

V súčine matríc AB počet riadkov sa rovná počtu riadkov matice A a počet stĺpcov sa rovná počtu stĺpcov matice IN .

Príklad 2 Nájdite počet riadkov a stĺpcov matice C, ktorý je súčinom dvoch matíc A A B nasledujúce rozmery:

a) 2 x 10 a 10 x 5;

b) 10 x 2 a 2 x 5;

Príklad 3 Nájdite súčin matíc A A B, Ak:

.

A B- 2. Preto rozmer matice C = AB- 2 x 2.

Výpočet prvkov matice C = AB.

Nájdený súčin matíc: .

Riešenie tohto a ďalších podobných problémov môžete skontrolovať na online maticová produktová kalkulačka .

Príklad 5. Nájdite súčin matíc A A B, Ak:

.

Riešenie. Počet riadkov v matici A- 2, počet stĺpcov v matici B C = AB- 2 x 1.

Výpočet prvkov matice C = AB.

Súčin matíc sa zapíše ako stĺpcová matica: .

Riešenie tohto a ďalších podobných problémov môžete skontrolovať na online maticová produktová kalkulačka .

Príklad 6. Nájdite súčin matíc A A B, Ak:

.

Riešenie. Počet riadkov v matici A- 3, počet stĺpcov v matici B- 3. Preto rozmer matice C = AB- 3 x 3.

Výpočet prvkov matice C = AB.

Nájdený súčin matríc: .

Riešenie tohto a ďalších podobných problémov môžete skontrolovať na online maticová produktová kalkulačka .

Príklad 7. Nájdite súčin matíc A A B, Ak:

.

Riešenie. Počet riadkov v matici A- 1, počet stĺpcov v matici B- 1. Preto rozmer matice C = AB- 1 x 1.

Výpočet prvku matice C = AB.

Súčin matíc je matica jedného prvku: .

Riešenie tohto a ďalších podobných problémov môžete skontrolovať na online maticová produktová kalkulačka .

Softvérová implementácia produktu dvoch matíc v C++ je popísaná v príslušnom článku v bloku „Počítače a programovanie“.

Umocňovanie matice

Zvýšenie matice na mocninu je definované ako vynásobenie matice rovnakou maticou. Keďže súčin matíc existuje iba vtedy, keď sa počet stĺpcov prvej matice zhoduje s počtom riadkov druhej matice, iba štvorcové matice môžu byť umocnené. n mocninu matice vynásobením matice sebou samým n raz:

Príklad 8. Daná matica. Nájsť A² a A³ .

Nájdite matricový produkt sami a potom sa pozrite na riešenie

Príklad 9. Daná matica

Nájdite súčin danej matice a transponovanej matice, súčin transponovanej matice a danej matice.

Vlastnosti súčinu dvoch matíc

Nehnuteľnosť 1. Súčin ľubovoľnej matice A a matice identity E zodpovedajúceho rádu, vpravo aj vľavo, sa zhoduje s maticou A, t.j. AE = EA = A.

Inými slovami, úloha matice jednotiek pri násobení matíc je rovnaká ako úloha jednotiek pri násobení čísel.

Príklad 10. Overte, či je vlastnosť 1 pravdivá nájdením maticových produktov

na maticu identity vpravo a vľavo.

Riešenie. Od matice A obsahuje tri stĺpce, potom musíte nájsť produkt AE, Kde

-
matica identity tretieho rádu. Poďme nájsť prvky práce S = AE :

Ukazuje sa, že AE = A .

Teraz poďme nájsť produkt EA, Kde E je matica identity druhého rádu, pretože matica A obsahuje dva riadky. Poďme nájsť prvky práce S = EA :

Veta. Nech A a B sú dve štvorcové matice rádu n. Potom sa determinant ich súčinu rovná súčinu determinantov, t.j.

| AB | = | A| | B|.

¢ Nech A = (a ij) n x n , B = (b ij) n x n . Uvažujme determinant d 2 n rádu 2n

d2n = | A | | B | (-1) 1 + ... + n + 1 + ... + n = | A | | B|.

Ak ukážeme, že determinant d 2 n sa rovná determinantu matice C=AB, potom bude veta dokázaná.

V d 2 n vykonáme nasledujúce transformácie: k 1 riadku pripočítame (n+1) riadok vynásobený 11; (n+2) reťazec vynásobený 12 atď. (2n) reťazec vynásobený 1 n . Vo výslednom determinante bude prvých n prvkov prvého riadku nuly a ďalších n prvkov bude vyzerať takto:

a 11 b 11 + a 12 b 21 + ... + a 1n b n1 = c 11;

a 11 b 12 + a 12 b 22 + ... + a 1n b n2 = c 12;

a 11 b 1n + a 12 b 2n + ... + a 1n b nn = c 1n.

Podobne získame nuly v 2, ..., n riadkoch determinantu d 2 n a posledných n prvkov v každom z týchto riadkov sa stane zodpovedajúcimi prvkami matice C. Výsledkom je, že determinant d 2 n je transformované na rovnaký determinant:

d2n = | C | (-1) 1 + ... + n + ... + 2n = |AB|. £

Dôsledok. Determinant súčinu konečného počtu štvorcových matíc sa rovná súčinu ich determinantov.

¢ Dôkaz sa vykonáva indukciou: | A 1 ... A i +1 | = | A 1 ... A i | | A i +1 | = ... = = | A 1 | ... | A i +1 | . Tento reťazec rovnosti je podľa vety správny. £

Inverzná matica.

Nech A = (a ij) n x n je štvorcová matica nad poľom P.

Definícia 1. Matica A sa bude nazývať singulárnou, ak sa jej determinant rovná 0. V opačnom prípade sa matica A bude nazývať nesingulárnou.

Definícia 2. Nech A Î P n . Maticu B Î P n budeme nazývať inverznou k A, ak AB = BA=E.

Veta (kritérium invertibility matice). Matica A je invertibilná práve vtedy, ak je nesingulárna.

¢ Nech A má inverznú maticu. Potom AA -1 = E a použitím vety o násobení determinantov dostaneme | A | | A -1 | = | E | alebo | A | | A -1 | = 1. Preto | A | č. 0.

Nechať, späť, | A | ¹ 0. Je potrebné ukázať, že existuje matica B taká, že AB = BA = E. Ako B berieme nasledujúcu maticu:

kde A ij je algebraický doplnok k prvku a ij. Potom

Treba si uvedomiť, že výsledkom bude matica identity (stačí použiť Dôsledky 1 a 2 z Laplaceovej vety § 6), t.j. AB = E. Podobne je ukázané, že BA = E. £

Príklad. Pre maticu A nájdite inverznú maticu alebo dokážte, že neexistuje.

det A = -3 existuje inverzná matica. Teraz vypočítame algebraické sčítania.

A11 = -3 A21 = 0 A31 = 6

A 12 = 0 A 22 = 0 A 32 = -3

A13 = 1 A23 = -1 A33 = -1

Inverzná matica teda vyzerá takto: B = =

Algoritmus na nájdenie inverznej matice pre maticu A.

1. Vypočítajte det A.

2. Ak je 0, potom inverzná matica neexistuje. Ak sa det A nerovná 0, vypočítame algebraické sčítania.

3. Algebraické sčítania dáme na príslušné miesta.

4. Všetky prvky výslednej matice vydeľte det A.

Cvičenie 1. Zistite, či je inverzná matica jedinečná.

Cvičenie 2. Nech prvky matice A sú racionálne celé čísla. Budú prvky inverznej matice racionálne celé čísla?

Sústavy lineárnych rovníc.

Definícia 1. Rovnica v tvare a 1 x 1 + ....+a n x n =b, kde a, ...,a n sú čísla; x 1 , ... , x n - neznámych, nazývaných lineárna rovnica s n neznámy.

s rovnice s n neznáme sa nazýva systém s lineárne rovnice s n neznámy, t.j.

Matica A, zložená z koeficientov pre neznáme sústavy (1), sa nazýva matica sústavy (1).

.

Ak k matici A pridáme stĺpec voľných členov, dostaneme rozšírenú maticu systému (1).

X = - stĺpec neznámych.

Stĺpec voľných členov.

V maticovej forme systém vyzerá takto: AX=B (2).

Riešením systému (1) je usporiadaná množina nčísla (α 1 ,…, α n) tak, že ak vykonáme substitúciu v (1) x 1 = α 1 , x 2 = α 2 ,…, x n = α n , dostaneme číselné identity.

Definícia 2. Systém (1) sa nazýva konzistentný, ak má riešenia, a inak nekonzistentný.

Definícia 3. Dva systémy sa nazývajú ekvivalentné, ak sa ich množiny riešení zhodujú.

Existuje univerzálny spôsob riešenia sústavy (1) - Gaussova metóda (metóda postupnej eliminácie neznámych), pozri stranu 15.

Pozrime sa podrobnejšie na prípad, kedy s = n. Na riešenie takýchto systémov existuje Cramerova metóda.

Nech d = det,

d j je determinant d, v ktorom je j-tý stĺpec nahradený stĺpcom voľných členov.

Veta (Cramerovo pravidlo). Ak je determinant systému d ¹ 0, potom má systém jedinečné riešenie získané podľa vzorcov:

x1 = d1 / d ... x n = d n / d

¢Myšlienkou dôkazu je prepísať systém (1) vo forme maticovej rovnice. Položme

a uvažujme rovnicu AX = B (2) s neznámou stĺpcovou maticou X. Keďže A, X, B sú matice veľkosti n x n, n x 1, n x 1 Podľa toho je definovaný súčin pravouhlých matíc AX a má rovnaké rozmery ako matica B. Rovnica (2) teda dáva zmysel.

Súvislosť medzi sústavou (1) a rovnicou (2) je v tom, aké je riešenie danej sústavy vtedy a len vtedy

stĺpec je riešením rovnice (2).

Toto vyhlásenie skutočne znamená rovnosť

=

Pretože ,

kde A ij je algebraický doplnok prvku a ij v determinante d, potom

= ,

odkiaľ (4).

V rovnosti (4) v zátvorkách je napísané rozšírenie na prvky j-tého stĺpca determinantu d j , ktorý sa získa z determinantu d po jeho nahradení.

j-tý stĺpec je stĺpec voľných výrazov. Preto, xj = dj/d.£

Dôsledok. Ak homogénna sústava n lineárnych rovníc z n neznámych má nenulové riešenie, potom je determinant tejto sústavy rovný nule.

TÉMA 3. Polynómy v jednej premennej.

Označuje sa determinant matice. Inými slovami, determinant matice je súčet produktov z množiny vynásobený znamienkom zodpovedajúcej substitúcie.

Determinant druhého rádu sa rovná súčinu prvkov hlavnej uhlopriečky odčítajte súčin prvkov na bočnej uhlopriečke.

Máme pravidlo trojuholníka:

Najjednoduchšie vlastnosti determinantov

Determinant matice s nulovým riadkom (stĺpcom) sa rovná nule

Determinant trojuholníkovej matice sa rovná súčinu prvkov umiestnených na hlavnej diagonále

Ide o trojuholníkovú maticu, ak sú prvky pod hlavnou uhlopriečkou nulové.

Determinant diagonálnej matice sa rovná súčinu prvkov umiestnených na hlavnej diagonále. Matica je diagonálna, ak sú všetky prvky umiestnené mimo hlavnej uhlopriečky nulové.

Základné vlastnosti determinantov

skalárne pole,

dôkaz:

označme Ak „prebehne“ celú zostavu, tak „prebehne“ aj všetko, t.j.

Pri preusporiadaní dvoch stĺpcov (riadkov) matice zmení jej determinant znamienko.

dôkaz:

I) Preusporiadanie stĺpcov:

Nech je matica získaná preusporiadaním dvoch stĺpcov s číslami, kde. Zoberme si transpozíciu:

Transpozícia je nepárna substitúcia,

V dôkaze použijeme rovnosť:

Ak prechádza celým súborom hodnôt, potom prechádza aj všetkými hodnotami a

II) Preskupenie strún

Nech sa získa z permutácie dvoch riadkov, potom získaná z permutácie dvoch stĺpcov

III) Determinant matice, ktorá má dva rovnaké riadky (stĺpce) rovné nule

dôkaz:

Vykonajme pre také pole, kde

Komentujte

Nájdite dôkaz pre tento prípad v Kulikovej učebnici Algebra a teória čísel

Nech sú dva rovnaké riadky s číslami a kde, riadky prehodíme a dostaneme maticu

Ak sú dva rovnaké stĺpce, potom má transponovaná matica dva rovnaké riadky

IV) Ak sú všetky prvky ktoréhokoľvek riadku (stĺpca) matice vynásobené, potom sa determinant vynásobí

dôkaz:

Nech sa získa násobením riadkami

odvtedy

Podobný dôkaz pre stĺpce

V) Determinant matice, ktorej dva riadky (stĺpce) sú úmerné nule

dôkaz:

Nech sú riadky v matici proporcionálne, t.j. -string sa rovná súčinu -string. Nechaj

Pre stĺpce:

Nech sa získa z, . Stĺpce sú proporcionálne aj

VI) Ak je každý prvok riadku (stĺpca) štvorcovej matice súčtom dvoch prvkov, potom sa determinant rovná súčtu týchto dvoch determinantov. V matici prvého determinantu sa v - riadku (stĺpci) zapisujú prvé členy a v matici druhého determinantu sa zapisujú druhé členy. Zvyšné prvky matíc týchto determinantov sú rovnaké ako prvky matice

dôkaz:

VII) Ak pridáte ďalší riadok (stĺpec) vynásobený k akémukoľvek riadku (stĺpcu) matice determinantu, potom sa determinant nezmení.

dôkaz:

To isté pre stĺpce.

VIII) Ak je ktorýkoľvek riadok (stĺpec) matice lineárnou kombináciou iných riadkov (stĺpcov), potom determinant

dôkaz:

Ak je nejaký reťazec lineárnou kombináciou iných reťazcov, môžu sa k nemu pridať ďalšie reťazce, vynásobené skalármi, takže sa získa nulový reťazec. Determinant takejto matice sa rovná nule.

(najprv vynásobte prvý riadok -2 a pridajte s druhým, potom -3 a pridajte tretím). Toto pravidlo redukcie na trojuholníkový tvar sa používa pre determinanty poradia:

pretože determinant trojuholníkovej matice sa rovná súčinu prvkov umiestnených na hlavnej diagonále.

Ak je štvorcová matica súčinom niektorých matíc (ktoré môžu byť pravouhlé), potom je často dôležité vedieť vyjadriť determinant súčinu z hľadiska vlastností faktorov. Nasledujúca veta je toho silným indikátorom.

Vedľajšie a algebraické doplnky.

Determinantné vety.

skalárne pole,

Def. Vedľajší prvok determinantu poradia je determinant poradia získaný prečiarknutím -riadku a -stĺpca.

Hlavné neplnoleté osoby determinantu

Existujú kvalifikácie pre hlavných maloletých

Zvážte maticu a vypočítajte jej maloletých

Definícia. Algebraickým doplnkom prvku je číslo

Príklad: Vypočítajme,

dôkaz:

(v súčte sú len tie výrazy nenulové, kde)

Potom má substitúcia tvar: , kde. Porovnajme substitúciu t.j.

Takáto korešpondencia sa nazýva mapovanie jedna ku jednej z množiny permutácií na množinu permutácií, . Je zrejmé, že majú rovnaké inverzie, čo znamená, že majú rovnakú paritu a znamienka

Ak sú všetky prvky ktoréhokoľvek riadku (stĺpca) matice rovné nule, možno s výnimkou jedného prvku, potom sa determinant matice rovná súčinu tohto prvku a jeho algebraického doplnku.

dôkaz:

Nech sú všetky prvky riadkami matice okrem prvku

preskupením riadkov a stĺpcov sme presunuli prvok do pravého dolného rohu, čo znamená riadky a stĺpce. Znamienko sa raz zmení, potom bude výsledkom matica, v ktorej sa všetky prvky posledného riadku môžu rovnať nule. Podľa Lemy 1, pretože

Lagrangeova veta

sa rovná súčtu súčinov prvkov ľubovoľného stĺpca (riadku) matice a ich algebraického doplnku. Inými slovami: rozklad pozdĺž -stĺpca matice má tvar: a rozklad pozdĺž -riadku matice:

dôkaz:

uvažujte -stĺpec matice a zapíšte ho v tvare: , podľa 6. vlastnosti determinantov:

determinantná matica lagrangeov matematický

Vzorec pre rozklad v -riadku matice je dokázaný podobným spôsobom.

Veta 2

Platia nasledujúce rovnosti:

Uvažujme maticu, ktorá sa získa z matice takto: všetky stĺpce matice, okrem tého stĺpca, sú rovnaké ako stĺpce matice. Stĺpec matice sa zhoduje s -tým stĺpcom, potom majú dva rovnaké stĺpce, takže determinant matice sa rovná nule, rozšírme determinant matice v -tom stĺpci.

Potom. Vzorec (2) je znázornený podobne.

Dôsledok:

Determinant matricového produktu

skalárne pole,

Nech je elementárna matica usporiadaná, potom platí rovnosť:

1), t.j. získané z matice vynásobením -riadku skalárom. Maticový determinant.

Matica sa získa vynásobením -riadku skalárom, teda determinantom

Matica získaná pridaním do -riadku

• -elementárne matice
• 1), dôkaz vyplýva z Lemy 1

2), poskytnutý dôkaz z vyhlásenia (1).

Veta 1

Determinant súčinu dvoch matíc sa rovná súčinu ich determinantov, t.j.

dôkaz:

Nech sú riadky matice lineárne nezávislé, potom existuje reťazec elementárnych transformácií

potom z Lemy 2 vyplýva, že. Z čoho () máme: , teda

2) Riadky sú lineárne závislé, potom existuje reťazec elementárnych transformácií, ktorý sa pretaví do echelónovej matice, ktorá má nulový riadok, t.j. , . Potom

Z toho, že v produkte je aj nulový riadok, pretože

Nevyhnutné a postačujúce podmienky na to, aby sa determinant rovnal nule

pole skalárov, - matica nad poľom

Veta 1

riadky (stĺpce) matice sú lineárne závislé

Primeranosť:

Ak sú riadky (stĺpce) matice lineárne závislé, potom je niektorý riadok lineárnou kombináciou iných riadkov (každý 8 vlastností determinantov)

Nevyhnutnosť:

Nechať byť. Dokážme, že riadky sú lineárne závislé. Predpokladajme, že reťazce sú lineárne nezávislé, potom existuje reťazec elementárnych transformácií, ktoré sa prekladajú. Z toho, čo bolo preukázané v bode II, vyplýva, že. Dostali sme rozpor. Dokážme, že ak je -riadok matice lineárne závislý, ale (počet stĺpcových vektorov) je lineárne závislý.

Veta 2

nasledujúce podmienky sú ekvivalentné:

• 2) - lineárne závislé
• 3) - reverzibilné
• 4) môže byť reprezentovaný ako súčin elementárnych matíc

dôkaz:

dokázané vo vete 1

Rozdelenie matice

Ak sa matica, matica, matica a matica zapisujú vo forme

Potom vytvoria nejakú matricu. V tomto prípade ich možno nazvať maticovými blokmi. A podľa toho označené. Znázornenie (1) sa nazýva maticové rozdelenie.

Ak maticový produkt existuje a je rozdelený na bloky a rozdelenie pozdĺž stĺpcov matice zodpovedá rozdeleniu pozdĺž riadkov matice, potom môžeme očakávať, že má bloky dané vzorcom

Predpokladáme teda, že súčin matíc z hľadiska blokov získaný vhodným rozdelením faktorov sa formálne zhoduje so súčinom týchto matíc z hľadiska skalárnych prvkov. Ukážme si to na príklade:

Cvičenie 1. Nechaj

Dá sa to overiť priamym výpočtom

Veta (1)

Nech matica má bloky kde je matica a matica má bloky veľkosti. Potom má bloky

Dôkaz. Všimnite si, že každý produkt existuje a je maticou. Preto existuje a bude matica. Pre pevné má každý stĺpce a pre pevné má každý riadky, čo znamená, že bloky nejakej matice.

Nech je nejaký maticový prvok umiestnený v blokovej bunke. Keďže v bunkách a matriciach je súčet prvkov, . Ale prvok matice v bunke je súčtom súčinov prvkov v riadku matice a prvkov v stĺpci matice. Prvky riadku matice sa ďalej zhodujú s niektorými prvkami riadku, konkrétne s, kde je index určený nerovnosťami

Prvky stĺpca matice budú prvky v. teda

Pre determinant sme definovali poradie maloletých. Vo všeobecnosti, ak z matice odstránime všetky riadky okrem riadkov a všetky stĺpce okrem stĺpcov, potom sa determinant výslednej matice nazýva vedľajšia matica poriadku, potom

Maloletí, pre ktoré sa v matici nazývajú hlavné. Ak je matica, potom napríklad algebraický doplnok je

Ak je štvorcová matica súčinom niektorých matíc (ktoré môžu byť pravouhlé), potom je niekedy dôležité vyjadriť determinant súčinu z hľadiska vlastností faktorov. Nasledujúca veta je silným výsledkom tohto druhu.

Komentujte. Operácia násobenia matíc je nekomutatívna, t.j. V skutočnosti, ak existuje produkt AB, potom BA nemusí existovať vôbec kvôli nesúladu rozmerov (pozri predchádzajúci príklad). Ak existujú AB aj BA, potom môžu mať rôzne rozmery (ak).

Pre štvorcové matice rovnakého rádu existujú produkty AB a BA a majú rovnaký rozmer, ale ich zodpovedajúce prvky sa vo všeobecnosti nerovnajú.

V niektorých prípadoch sa však produkty AB a BA zhodujú.

Uvažujme súčin štvorcovej matice A a matice identity E rovnakého rádu:

Rovnaký výsledok dostaneme pre produkt EA. Takže pre akúkoľvek štvorcovú maticu A AE = EA = A.

Inverzná matica.

Definícia 3.7. Štvorcová matica A sa nazýva singulární, ak a nesingulární, ak.

Definícia 3.8. Štvorcová matica B sa nazýva inverzia štvorcovej matice A rovnakého rádu, ak AB = BA = E. V tomto prípade sa označí B.

Uvažujme podmienku existencie matice inverznej k danej a spôsob jej výpočtu.

Veta 3.2. Na existenciu inverznej matice je potrebné a postačujúce, aby pôvodná matica bola nesingulárna.

Dôkaz.

1) Nevyhnutnosť: odvtedy (Veta 3.1), preto

2) Dostatočnosť: nastavte maticu v nasledujúcom tvare:

Potom sa ktorýkoľvek prvok súčinu (alebo), ktorý neleží na hlavnej uhlopriečke, rovná súčtu súčinov prvkov jedného riadka (alebo stĺpca) matice A algebraickými doplnkami k prvkom iného stĺpca, a preto sa rovná 0 (ako determinant s dvoma rovnakými stĺpcami). Prvky na hlavnej diagonále sú rovnaké.

*=. Veta bola dokázaná.

Komentujte. Sformulujme ešte raz metódu výpočtu inverznej matice: jej prvky sú algebraické doplnky k prvkom transponovanej matice A, delené jej determinantom.