İki matrisin çarpımının determinantını hesaplayın. Matrislerin çarpımının determinantı. İki kare matrisin çarpımının determinantı

Ders 6

4.6 İki kare matrisin çarpımının determinantı.

İki kare matrisin çarpımı N-'inci sıra her zaman tanımlanır. Bu durumda aşağıdaki teorem önemlidir.

Teorem. Matris çarpımının determinantı, faktör matrislerinin determinantlarının çarpımına eşittir:

Kanıt.İzin vermek

Ve
,

.

Yardımcı bir determinant oluşturalım

.

Laplace teoreminin sonucu olarak şunu elde ederiz:

.

Bu yüzden,
bunu göstereceğiz
. Bunu yapmak için determinantı aşağıdaki gibi dönüştürüyoruz. İlkler ilk P
, a ekle
-inci sütun. Sonra ilk P sütunların çarpımı
, a ekle
-inci sütun vb. Son adımda
ilk sütun eklenecek P sütunların çarpımı
. Sonuç olarak determinantı elde ederiz

.

Ortaya çıkan determinantın Laplace teoremini kullanarak sonuncu terim cinsinden genişletilmesi P sütunlarda şunları buluyoruz:

Yani eşitlikler kanıtlandı
Ve
, bundan şu sonuç çıkıyor
.

4.7.Ters matris

Tanım 1 . Bir kare matris verilsin A P-inci sipariş. Kare matris
aynı sırada denir tersi matrise A eğer , nerede e-kimlik matrisi P-inci sipariş.

İfade. Matrisin tersi bir matris varsa A o zaman böyle bir matris benzersizdir.

Kanıt. Diyelim ki matris
matrisin tersi olan tek matris değildir A. Başka bir ters B matrisi alalım. O zaman koşullar sağlanır

Hadi işe bakalım
. Onun için eşitlikler var

bundan şu sonuç çıkıyor
. Böylece ters matrisin tekliği kanıtlanmış olur.

Ters bir matrisin varlığına ilişkin teoremi ispatlarken “eşleşik matris” kavramına ihtiyacımız olacak.

Tanım 2 . Matris verilsin

.

elemanları cebirsel tamamlayıcılar olan elementler matrisler A, isminde ilhak edilmiş matristen matrise A.

Eş matrisi oluşturmak için şuna dikkat edelim İLE matris elemanları A bunları cebirsel eklemelerle değiştirmeniz ve ardından ortaya çıkan matrisi transpoze etmeniz gerekir.

Tanım 3. Kare matris A isminde dejenere olmayan , Eğer
.

Teorem. Matris için A ters bir matris vardı
matrisin gerekli ve yeterli olması A dejenere değildi. Bu durumda matris
formülle belirlenir

, (1)

Nerede - matris elemanlarının cebirsel toplamları A.

Kanıt. Matris olsun A ters bir matrisi vardır
. Daha sonra onu takip eden koşullar yerine getirilir. Son eşitlikten determinantların olduğunu elde ederiz.
Ve
. Bu belirleyiciler ilişkiyle ilişkilidir
. Matrisler A Ve
dejenere değildir çünkü determinantları sıfır değildir.

Şimdi matrisi alalım A dejenere olmayan. Matrisin olduğunu kanıtlayalım A ters bir matrisi vardır
ve formül (1) ile belirlenir. Bunu yapmak için işe bakalım

matrisler A ve onunla ilişkili matris İLE.

Matris çarpım kuralına göre eleman İşler
matrisler A Ve İLEşu forma sahiptir: . Elementlerin çarpımlarının toplamı olduğundan Ben karşılık gelen elemanların cebirsel tamamlayıcılarının satırları J- inci satır sıfıra eşittir
ve determinantı
. Buradan,

Nerede e– kimlik matrisi P-inci sipariş. Eşitlik benzer şekilde kanıtlanır
. Böylece,

, bu şu anlama geliyor
ve matris matrisin tersidir A. Bu nedenle tekil olmayan matris A formül (1) ile belirlenen ters bir matrise sahiptir.

Sonuç 1 . Matris belirleyicileri A Ve
ilişkiyle ilgili
.

Sonuç 2 . Birleşik matrisin ana özelliği İLE matrise A ifade edilir

eşitlikler
.

Sonuç 3 . Tekil olmayan bir matrisin determinantı A ve onunla ilişkili matris

İLE eşitlikle bağlı
.

Sonuç 3 eşitlikten çıkar
ve determinantların özellikleri, buna göre çarpıldığında P- bu sayının kuvveti. Bu durumda

nereden geliyor
.

Örnek. A:

.

Çözüm. Matris determinantı

sıfırdan farklı. Bu nedenle matris A tam tersi var. Bunu bulmak için önce cebirsel tümleyenleri hesaplıyoruz:

,
,
,

,
,
,

,
.

Şimdi formül (1)'i kullanarak ters matrisi yazıyoruz

.

4.8. Matrisler üzerinde elemanter dönüşümler. Gauss algoritması.

Tanım 1. Altında temel dönüşümler boyut matrisinin üstünde

aşağıdaki adımları anlayın.

Bir matrisin herhangi bir satırını (sütununu) sıfırdan farklı herhangi bir sayıyla çarpmak.

Herhangi birine ekleme Ben herhangi birinin matrisinin inci satırı J- dizenin rastgele bir sayıyla çarpılması.

Herhangi birine ekleme Ben herhangi birinin matrisinin inci sütunu J- inci sütun rastgele bir sayıyla çarpılır.

Bir matrisin satırlarını (sütunlarını) yeniden düzenleme.

Tanım 2. Matrisler A Ve İÇİNDE arayacağız eş değer , temel dönüşümler kullanılarak bunlardan biri diğerine dönüştürülebilirse. Yazacak
.

Matris eşdeğerliği aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Tanım 3 . Kademeli matris denir A aşağıdaki özelliklere sahip:

1) eğer Ben-inci satır sıfırdır, yani. tamamı sıfırlardan oluşuyorsa
-'inci satır da sıfırdır;

2) sıfır olmayan ilk elemanlar ise Ben inci ve
satırlar sayıların bulunduğu sütunlarda bulunur k Ve ben, O
.

Örnek. Matrisler

Ve

adım adımdır ve matris

adım atılmıyor.

Temel dönüşümleri kullanarak matrisi nasıl azaltabileceğimizi gösterelim. A kademeli bir görünüme.

Gauss algoritması . Matris'i düşünün A boyut
. Genelliği kaybetmeden şunu varsayabiliriz:
. (Eğer matriste ise A En azından sıfırdan farklı bir eleman varsa önce satırları sonra sütunları yeniden düzenleyerek bu elemanın ilk satır ile birinci sütunun kesişiminde olmasını sağlayabiliriz.) Matrisin ikinci satırına ekleme yapın A ilk olarak çarpıldı , üçüncü satıra – birinci ile çarpılır vesaire.

Sonuç olarak bunu anlıyoruz

.

En sondaki öğeler
çizgiler formüllerle belirlenir:

,
,
.

Matris'i düşünün

.

Tüm matris elemanları ise sıfıra eşittir, o halde

ve eşdeğer matris adım adımdır. Matris elemanları arasında ise en az biri sıfırdan farklıysa, genelliği kaybetmeden şunu varsayabiliriz:
(bu, matrisin satır ve sütunlarının yeniden düzenlenmesiyle elde edilebilir ). Bu durumda matrisi dönüştürmek tıpkı bir matris gibi A, alıyoruz

sırasıyla,

.

Burada
,
,
.

Ve
,
, … ,
. Matriste A Tçizgiler ve belirtilen şekilde adım adım forma getirmek için artık ihtiyacınız olmayacak T adımlar. Daha sonra süreç şu tarihte sona erebilir: k-th adım ancak ve ancak matrisin tüm elemanları ise

sıfıra eşittir. Bu durumda

Ve
,
, … ,
.

4.9. Temel dönüşümleri kullanarak ters matrisi bulma.

Büyük bir matris için, matrisler üzerindeki temel dönüşümleri kullanarak ters matrisi bulmak uygundur. Bu yöntem aşağıdaki gibidir. Bileşik matrisi yazın
ve Gauss yöntemi şemasına göre, bu matrisin satırlarında (yani aynı anda matriste) gerçekleştirilirler. A ve matriste e) temel dönüşümler. Sonuç olarak matris A birim matrise dönüştürülür ve matris e– matrisin içine
.

Örnek. Bir matrisin tersini bulma

.

Çözüm. Bileşik matrisi yazalım
ve onu Gauss yöntemine uygun olarak temel dizi dönüşümlerini kullanarak dönüştürün. Sonuç olarak şunu elde ederiz:

.

Bu dönüşümlerden şu sonuca varıyoruz:

.

4.10 Matris sıralaması.

Tanım. Tamsayı R isminde rütbe matrisler A küçük bir sipariş varsa R, sıfırdan farklı ve tüm küçükler daha yüksek düzeydedir R sıfıra eşittir. Matrisin sırası sembolü ile gösterilecektir.
.

Matrisin sırası yöntem kullanılarak hesaplanır sınırdaki küçükler .

Örnek. Küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak matrisin sırasını hesaplayın

.

Çözüm.

Yukarıdaki yöntem her zaman uygun değildir çünkü... büyük hesaplama ile ilgili

belirleyicilerin sayısı.

İfade. Bir matrisin rütbesi, satır ve sütunlarının temel dönüşümleri sırasında değişmez.

Belirtilen ifade bir matrisin sıralamasını hesaplamanın ikinci yolunu gösterir. denir temel dönüşümler yöntemiyle . Bir matrisin rütbesini bulmak için, onu kademeli forma indirgemek için Gauss yöntemini kullanmanız ve ardından sıfır olmayan maksimum küçük değeri seçmeniz gerekir. Bunu bir örnekle açıklayalım.

Örnek. Temel dönüşümleri kullanarak matrisin sırasını hesaplayın

.

Çözüm. Gauss yöntemine uygun olarak bir dizi temel dönüşüm gerçekleştirelim. Sonuç olarak eşdeğer matrislerden oluşan bir zincir elde ederiz.

Tanım.İki matrisin çarpımı A Ve İÇİNDE matris denir İLE elemanı kesişme noktasında bulunan Bençizgi ve J sütun, elemanların çarpımlarının toplamına eşittir Ben matrisin inci satırı A karşılık gelen (sırayla) öğelere J inci matris sütunu İÇİNDE.

Bu tanımdan matris elemanı formülü gelir C:

Matris çarpımı A matrise İÇİNDE ile gösterilir AB.

Örnek 1.İki matrisin çarpımını bulun A Ve B, Eğer

,

.

Çözüm. İki matrisin çarpımını bulmak kolaydır A Ve İÇİNDEŞekil 2'deki gibi yazın:

Diyagramda gri oklar matrisin hangi satırlarının eleman olduğunu gösterir A matrisin hangi sütununda yer alan elemanlara İÇİNDE matris elemanlarını elde etmek için çarpmamız gerekir İLE ve çizgiler matris öğesinin renkleridir C karşılık gelen matris elemanları bağlanır A Ve B bir matris elemanı elde etmek için ürünleri eklenen C.

Sonuç olarak matris çarpımının elemanlarını elde ederiz:

Artık iki matrisin çarpımını yazacak her şeye sahibiz:

.

İki matrisin çarpımı AB yalnızca matris sütunlarının sayısı varsa anlamlıdır A matris satırlarının sayısıyla çakışır İÇİNDE.

Aşağıdaki hatırlatıcıları daha sık kullanırsanız bu önemli özelliğin hatırlanması daha kolay olacaktır:

Matrislerin çarpımının satır ve sütun sayısına göre önemli bir özelliği daha vardır:

Matrislerin çarpımında AB satır sayısı matrisin satır sayısına eşittir A ve sütun sayısı matris sütun sayısına eşittir İÇİNDE .

Örnek 2. Bir matrisin satır ve sütun sayısını bulma C iki matrisin çarpımı olan A Ve B aşağıdaki boyutlar:

a) 2 X 10 ve 10 X 5;

b) 10 X 2 ve 2 X 5;

Örnek 3. Matrislerin çarpımını bulun A Ve B, Eğer:

.

A B- 2. Dolayısıyla matrisin boyutu C = AB- 2X2.

Matris elemanlarının hesaplanması C = AB.

Matrislerin bulunan çarpımı: .

Bu ve benzeri sorunların çözümünü adresinden kontrol edebilirsiniz. çevrimiçi matris çarpım hesaplayıcısı .

Örnek 5. Matrislerin çarpımını bulun A Ve B, Eğer:

.

Çözüm. Matristeki satır sayısı A- 2, matristeki sütun sayısı B C = AB- 2X1.

Matris elemanlarının hesaplanması C = AB.

Matrislerin çarpımı sütun matrisi olarak yazılacaktır: .

Bu ve benzeri sorunların çözümünü adresinden kontrol edebilirsiniz. çevrimiçi matris çarpım hesaplayıcısı .

Örnek 6. Matrislerin çarpımını bulun A Ve B, Eğer:

.

Çözüm. Matristeki satır sayısı A- 3, matristeki sütun sayısı B- 3. Dolayısıyla matrisin boyutu C = AB- 3X3.

Matris elemanlarının hesaplanması C = AB.

Matrislerin bulunan çarpımı: .

Bu ve benzeri sorunların çözümünü adresinden kontrol edebilirsiniz. çevrimiçi matris çarpım hesaplayıcısı .

Örnek 7. Matrislerin çarpımını bulun A Ve B, Eğer:

.

Çözüm. Matristeki satır sayısı A- 1, matristeki sütun sayısı B- 1. Dolayısıyla matrisin boyutu C = AB- 1 X 1.

Matris elemanının hesaplanması C = AB.

Matrislerin çarpımı tek elemanlı bir matristir: .

Bu ve benzeri sorunların çözümünü adresinden kontrol edebilirsiniz. çevrimiçi matris çarpım hesaplayıcısı .

İki matrisin çarpımının C++ dilinde yazılım uygulaması “Bilgisayarlar ve Programlama” bloğundaki ilgili makalede tartışılmaktadır.

Matris üssü

Bir matrisin üssünü yükseltmek, bir matrisi aynı matrisle çarpmak olarak tanımlanır. Bir matris çarpımı yalnızca birinci matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısıyla çakıştığında mevcut olduğundan, yalnızca kare matrislerin üssü alınabilir. N Bir matrisin kuvveti, matrisin kendisiyle çarpılmasıyla elde edilir N bir kere:

Örnek 8. Bir matris verildi. Bulmak A² ve A³ .

Matris çarpımını kendiniz bulun ve çözüme bakın

Örnek 9. Bir matris verildiğinde

Verilen matris ile aktarılan matrisin çarpımını, aktarılan matris ile verilen matrisin çarpımını bulun.

İki matrisin çarpımının özellikleri

Mülk 1. Herhangi bir A matrisinin ve karşılık gelen sıradaki birim matris E'nin çarpımı, hem sağda hem de solda, A matrisiyle çakışır, yani. AE = EA = A.

Yani birim matrisin matris çarpımındaki rolü, birimlerin sayı çarpımındaki rolüyle aynıdır.

Örnek 10. Matris ürünlerini bularak Özellik 1'in doğru olduğunu doğrulayın

sağdaki ve soldaki birim matrisine.

Çözüm. Matristen beri Aüç sütun içeriyorsa ürünü bulmanız gerekir AE, Nerede

-
üçüncü dereceden kimlik matrisi. İşin unsurlarını bulalım İLE = AE :

Şekline dönüştü AE = A .

Şimdi ürünü bulalım EA, Nerede e A matrisi iki satır içerdiğinden ikinci dereceden birim matristir. İşin unsurlarını bulalım İLE = EA :

Teorem. A ve B n mertebeden iki kare matris olsun. O zaman bunların çarpımının determinantı, determinantların çarpımına eşittir, yani.

| AB | = | A| | B|.

¢ A = (a ij) n x n, B = (b ij) n x n olsun. 2n mertebesindeki d 2 n determinantını düşünün

d2n = | bir | | B | (-1) 1 + ... + n + 1 + ... + n = | bir | | B|.

d 2 n'nin determinantının C=AB matrisinin determinantına eşit olduğunu gösterirsek teorem kanıtlanmış olacaktır.

d 2 n'de aşağıdaki dönüşümleri yapacağız: 1 satıra (n+1) satırını 11 ile çarparak ekleyeceğiz; (n+2) dizenin 12 ile çarpılması vb. (2n) dizenin 1 n ile çarpılması. Ortaya çıkan determinantta ilk satırın ilk n elemanı sıfır olacak, diğer n elemanı ise şu şekilde olacaktır:

a 11 b 11 + a 12 b 21 + ... + a 1n b n1 = c 11;

a 11 b 12 + a 12 b 22 + ... + a 1n b n2 = c 12;

a 11 b 1n + a 12 b 2n + ... + a 1n b nn = c 1n.

Benzer şekilde, d 2 n determinantının 2, ..., n satırında sıfırlar elde ederiz ve bu satırların her birindeki son n eleman, C matrisinin karşılık gelen elemanları olacaktır. Sonuç olarak, d 2 n determinantı şöyledir: eşit bir determinant haline dönüştürülür:

d2n = | C | (-1) 1 + ... + n + ... + 2n = |AB|. £

Sonuçlar. Sonlu sayıda kare matrisin çarpımının determinantı, bunların determinantlarının çarpımına eşittir.

¢ İspat tümevarımla gerçekleştirilir: | A 1 ... A i +1 | = | A 1 ... A i | | A ben +1 | = ... = = | bir 1 | ... | A ben +1 | . Bu eşitlik zinciri teoreme göre doğrudur. £

Ters matris.

A = (a ij) n x n, P alanı üzerinde bir kare matris olsun.

Tanım 1. Determinantının 0'a eşit olması durumunda A matrisine tekil matris denir. Aksi halde A matrisine tekil olmayan matris denir.

Tanım 2. A Î P n olsun. AB = BA=E ise B Î P n matrisine A'nın tersi diyeceğiz.

Teorem (matris tersinirlik kriteri). Bir A matrisi ancak ve ancak tekil değilse tersinirdir.

¢ A'nın bir ters matrisi olsun. O halde AA -1 = E ve determinantların çarpımı teoremini uygulayarak | bir | | A-1 | = | E | veya | bir | | A-1 | = 1. Bu nedenle | bir | 0 numara.

Bırak, geri dön, | bir | ¹ 0. AB = BA = E şeklinde bir B matrisinin olduğunu göstermek gerekir. B olarak aşağıdaki matrisi alıyoruz:

burada A ij, a ij elemanının cebirsel tümleyenidir. Daha sonra

Sonucun bir birim matris olacağına dikkat edilmelidir (Laplace teoremi § 6'nın Sonuçları 1 ve 2'yi kullanmak yeterlidir), yani. AB = E. Benzer şekilde BA = E olduğu da gösterilmiştir. £

Örnek. A matrisi için ters matrisi bulun veya var olmadığını kanıtlayın.

det A = -3 ters matris mevcuttur. Şimdi cebirsel toplamaları hesaplıyoruz.

Bir 11 = -3 Bir 21 = 0 Bir 31 = 6

bir 12 = 0 bir 22 = 0 bir 32 = -3

Bir 13 = 1 Bir 23 = -1 Bir 33 = -1

Yani ters matris şuna benzer: B = =

A matrisinin ters matrisini bulma algoritması.

1. Det A'yı hesaplayın.

2. Eğer 0 ise ters matris mevcut değildir. Eğer det A 0'a eşit değilse cebirsel toplamaları hesaplarız.

3. Cebirsel toplamaları uygun yerlere koyuyoruz.

4. Ortaya çıkan matrisin tüm elemanlarını det A'ya bölün.

1. Egzersiz. Ters matrisin benzersiz olup olmadığını öğrenin.

Egzersiz 2. A matrisinin elemanları rasyonel tamsayılar olsun. Ters matrisin elemanları rasyonel tamsayılar mı olacak?

Doğrusal denklem sistemleri.

Tanım 1. a 1 x 1 + ....+a n x n =b formunda bir denklem; burada a, ...,a n sayılardır; x 1 , ... , x n - bilinmeyenler, doğrusal denklem olarak adlandırılır N Bilinmeyen.

S ile denklemler N bilinmeyenlere sistem denir S ile doğrusal denklemler N bilinmiyor, yani

Sistem (1)'in bilinmeyenlerine ait katsayılardan oluşan A matrisine sistem (1)'in matrisi denir.

.

A matrisine serbest terimlerden oluşan bir sütun eklersek, sistemin (1) genişletilmiş matrisini elde ederiz.

X = - bilinmeyenler sütunu.

Ücretsiz üyelerin sütunu.

Matris formunda sistem şuna benzer: AX=B (2).

Sistem (1)'in çözümü sıralı bir kümedir N sayılar (α 1 ,…, α n) öyle ki (1) x 1 = α 1 , x 2 = α 2 ,…, x n = α n'de bir değişiklik yaparsak sayısal özdeşlikler elde ederiz.

Tanım 2. Sistem (1) eğer çözümleri varsa tutarlı, değilse tutarsız olarak adlandırılır.

Tanım 3.Çözüm kümeleri çakışıyorsa iki sisteme eşdeğer denir.

Sistem (1)'i çözmenin evrensel bir yolu vardır - Gauss yöntemi (bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması yöntemi), bkz. sayfa 15.

Durumu daha ayrıntılı olarak ele alalım s = n. Bu tür sistemleri çözmek için Cramer'in yöntemi var.

d = det olsun,

d j, d'nin determinantıdır, burada j'inci sütunun yerine serbest terimlerden oluşan bir sütun gelir.

Teorem (Cramer kuralı). Sistemin determinantı d ¹ 0 ise, sistemin aşağıdaki formüllerle elde edilen benzersiz bir çözümü vardır:

x 1 = d 1 / d …x n = d n / d

¢İspatın amacı, (1) sistemini bir matris denklemi biçiminde yeniden yazmaktır. Hadi koyalım

ve bilinmeyen bir sütun matrisi X ile AX = B (2) denklemini düşünün. A, X, B boyut matrisleri olduğundan n x n, n x 1, n x 1 Buna göre AX dikdörtgen matrislerinin çarpımı tanımlıdır ve B matrisi ile aynı boyutlara sahiptir. Dolayısıyla denklem (2) anlamlıdır.

Sistem (1) ile denklem (2) arasındaki bağlantı, belirli bir sistemin çözümünün ancak ve ancak şu şekilde olduğudur:

sütun denklem (2)'nin çözümüdür.

Aslında bu ifade eşitlik anlamına gelir.

=

Çünkü ,

burada A ij, d determinantındaki a ij öğesinin cebirsel tümleyenidir, bu durumda

= ,

nereden (4).

Eşitlik (4)'te parantez içinde, d determinantının değiştirilmesinden sonra elde edilen dj determinantının j'inci sütununun elemanlarına açılımı yazılır.

j'inci sütun serbest terimler sütunudur. Bu yüzden, x j = d j / d.£

Sonuçlar. Eğer homojen bir n doğrusal denklem sistemi varsa N bilinmeyenlerin sıfır olmayan bir çözümü varsa, bu sistemin determinantı sıfıra eşittir.

KONU 3. Tek değişkenli polinomlar.

Bir matrisin determinantı gösterilir. Başka bir deyişle, bir matrisin determinantı, kümedeki ürünlerin toplamının karşılık gelen ikame işaretiyle çarpılmasıdır.

İkinci dereceden determinant, ana köşegendeki elemanların çarpımından yan köşegendeki elemanların çarpımının çıkarılmasına eşittir.

Üçgen kuralını elde ettik:

Determinantların en basit özellikleri

Satırı (sütun) sıfır olan bir matrisin determinantı sıfıra eşittir

Üçgen bir matrisin determinantı, ana köşegen üzerinde bulunan elemanların çarpımına eşittir.

Ana köşegenin altındaki elemanlar sıfır ise üçgen bir matristir.

Köşegen matrisin determinantı, ana köşegen üzerinde bulunan elemanların çarpımına eşittir. Ana köşegenin dışında bulunan tüm elemanlar sıfır ise bir matris köşegendir.

Belirleyicilerin temel özellikleri

skaler alan,

Kanıt:

hadi belirtelim Eğer tüm setin içinden "geçiyorsa", aynı zamanda her şeyin "içinden geçiyordur", yani.

Bir matrisin iki sütununu (satırını) yeniden düzenlerken determinantının işareti değişecektir.

Kanıt:

I) Sütunların yeniden düzenlenmesi:

İki sütunun sayılarla yeniden düzenlenmesiyle elde edilen bir matris olsun. Aktarımı ele alalım:

Transpozisyon tuhaf bir ikamedir,

İspatta eşitliği kullanacağız:

Eğer tüm değerler kümesinden geçiyorsa, o zaman aynı zamanda tüm değerlerden de geçer ve

II) Dizinin yeniden düzenlenmesi

İki satırlık bir permütasyondan elde edilsin, sonra iki sütunluk bir permütasyondan elde edilsin, sonra

III) Sıfıra eşit iki özdeş satıra (sütun) sahip bir matrisin determinantı

Kanıt:

Öyle bir alan için çalışalım ki

Yorum

Kulikova'nın Cebir ve Sayılar Teorisi ders kitabında bu durumun kanıtını bulun

Sayıların olduğu iki özdeş doğru olsun ve burada satırları değiştirelim ve bir matris elde edelim

İki özdeş sütun varsa, aktarılan matrisin iki özdeş satırı vardır

IV) Matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanları ile çarpılırsa determinant ile çarpılır.

Kanıt:

Satırlarla çarpılarak elde edilsin

o zamandan beri

Sütunlar için benzer kanıt

V) İki satırı (sütunları) sıfırla orantılı olan bir matrisin determinantı

Kanıt:

Matristeki satırların orantılı olmasına izin verin, yani. -string, -string'in çarpımına eşittir. İzin vermek

Sütunlar için:

,'den elde edilsin. Sütunlar hem orantılı hem de

VI) Bir kare matrisin bir satırının (sütununun) her bir elemanı iki elemanın toplamı ise, o zaman determinant iki determinantın toplamına eşittir. Birinci determinantın matrisinde - satırına (sütununa) ilk terimler, ikinci determinantın matrisine ise ikinci terimler yazılır. Bu belirleyicilerin matrislerinin geri kalan elemanları matrisinkilerle aynıdır.

Kanıt:

VII) Determinant matrisinin herhangi bir satırına (sütununa) başka bir satır (sütun) ile çarpılırsa determinant değişmeyecektir.

Kanıt:

Sütunlar için de aynısı.

VIII) Matrisin herhangi bir satırı (sütun) diğer satırların (sütunların) doğrusal bir birleşimi ise, o zaman determinant

Kanıt:

Eğer bir dize diğer dizelerin doğrusal bir birleşimiyse, o zaman buna başka dizeler eklenebilir, skalerlerle çarpılarak sıfır dize elde edilebilir. Böyle bir matrisin determinantı sıfıra eşittir.

(önce ilk satırı -2 ile çarpıp ikinciyle, ardından -3 ile üçüncüyle toplayın). Bu üçgen biçime indirgeme kuralı, sıranın belirleyicileri için kullanılır:

çünkü üçgen bir matrisin determinantı ana köşegen üzerinde bulunan elemanların çarpımına eşittir.

Bir kare matris bazı matrislerin (dikdörtgen de olabilir) çarpımı ise, o zaman çarpımın determinantını faktörlerin özellikleri açısından ifade edebilmek genellikle önemlidir. Aşağıdaki teorem bunun güçlü bir göstergesidir.

Küçükler ve cebirsel tümleyenler.

Determinant teoremleri.

skaler alan,

Def. Sıra determinantının küçük elemanı, -satır ve -sütunların çizilmesiyle elde edilen sıra determinantıdır.

Belirleyicinin asıl reşit olmayanları

Büyük küçükler için elemeler var

Matrisi düşünün ve küçüklerini hesaplayın

Tanım. Bir elementin cebirsel tümleyeni bir sayıdır

Örnek: Hesaplayalım,

Kanıt:

(toplamda yalnızca bu terimler sıfır değildir, burada)

O zaman ikame şu şekilde olur: , nerede. Değiştirmeyi eşleştirelim, yani.

Böyle bir yazışmaya permütasyon kümesinden permütasyon kümesine bire bir eşleme denir. Açıkçası, aynı ters çevrilmelere sahipler, bu da aynı pariteye ve işaretlere sahip oldukları anlamına gelir.

Bir matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanları, bir eleman hariç, sıfıra eşitse, matrisin determinantı bu elemanın ve onun cebirsel tamamlayıcısının çarpımına eşittir.

Kanıt:

Eleman dışındaki tüm elemanların matrisin satırları olmasına izin verin

satır ve sütunları yeniden düzenleyerek öğeyi sağ alt köşeye, yani satır ve sütunlara taşıdık. İşaret bir kez değişecek ve sonuç, son satırın belki de sıfıra eşit olan tüm elemanlarının olduğu bir matris olacaktır. Lemma 1'e göre, çünkü

Lagrange teoremi

matrisin herhangi bir sütununun (satırının) elemanlarının ve bunların cebirsel tamamlayıcısının çarpımlarının toplamına eşittir. Başka bir deyişle: matrisin -sütununa göre ayrıştırma şu şekildedir: ve matrisin -satırına göre ayrıştırma:

Kanıt:

Matrisin -sütununu göz önünde bulundurun ve determinantların 6. özelliğine göre bunu şu şekilde yazın:

determinant matris lagrange matematiksel

Bir matrisin -satırındaki ayrıştırma formülü de benzer şekilde kanıtlanmıştır.

Teorem 2

Aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

Aşağıdaki gibi bir matristen elde edilen bir matris düşünün: Matrisin . sütunu dışındaki tüm sütunları matrisinkilerle aynıdır. Matrisin th sütunu -th sütunuyla çakışıyor, o zaman iki özdeş sütun var, yani matrisin determinantı sıfıra eşit, matrisin determinantını -th sütununda genişletelim.

Daha sonra. Formül (2) benzer şekilde gösterilmektedir.

Sonuçlar:

Matris çarpımının determinantı

skaler alan,

Temel matrisin düzenli olmasına izin verin, o zaman eşitlik doğrudur:

1) ., yani. -satırın bir skalerle çarpılmasıyla matristen elde edilir. Matris determinantı.

Matris, -satırın bir skalerle çarpılmasıyla elde edilir, yani determinant

-satıra eklenerek elde edilen matris

• -temel matrisler
• 1), kanıt Lemma 1'den gelir

2), ifade (1)'deki kanıt sağlanmıştır

Teorem 1

İki matrisin çarpımının determinantı, determinantlarının çarpımına eşittir, yani.

Kanıt:

Matrisin satırlarının doğrusal olarak bağımsız olmasına izin verin, o zaman bir temel dönüşüm zinciri vardır

daha sonra Lemma 2'ye göre bunu takip eder. () elimizdeki şeyden: , o zaman

2) Satırlar doğrusal olarak bağımlıdır, bu durumda sıfır satıra sahip bir basamak matrisine dönüşen bir temel dönüşüm zinciri vardır, yani. , . Daha sonra

Üründe sıfır çizgisinin de bulunmasından dolayı, çünkü

Determinantın sıfıra eşit olması için gerekli ve yeterli koşullar

skalerlerin alanı, - alanın üzerindeki matris

Teorem 1

Matrisin satırları (sütunları) doğrusal olarak bağımlıdır

Yeterlilik:

Bir matrisin satırları (sütunları) doğrusal olarak bağımlıysa, o zaman bazı satırlar diğer satırların doğrusal bir birleşimidir (her biri 8 determinant özelliği)

Gereklilik:

İzin vermek. Satırların doğrusal bağımlı olduğunu kanıtlayalım. Dizilerin doğrusal olarak bağımsız olduğunu varsayalım, o zaman ötelenen bir temel dönüşümler zinciri vardır. II. maddede kanıtlananlardan şu sonuç çıkıyor. Bir çelişkiyle karşılaştık. Matrisin -satırının doğrusal bağımlı olduğunu, ancak (sütun vektörlerinin sayısının) doğrusal bağımlı olduğunu kanıtlayalım.

Teorem 2

Aşağıdaki koşullar denktir:

• 2) - doğrusal olarak bağımlı
• 3) -geri dönüşümlü
• 4) temel matrislerin bir ürünü olarak temsil edilebilir

Kanıt:

Teorem 1'de kanıtlanmış

Matris bölümleme

Matris, matris, matris ve matris şeklinde yazılırsa

Sonra bir miktar matris oluştururlar. Bu durumda matris blokları olarak adlandırılabilirler. Ve buna göre işaretlendi. Temsil (1)'e matris bölümleme adı verilir.

Matris çarpımı mevcutsa ve bloklara bölünmüşse ve matrisin sütunları boyunca bölüm, matris satırları boyunca bölüme karşılık geliyorsa, formül tarafından verilen bloklara sahip olmasını bekleyebiliriz.

Dolayısıyla, faktörlerin uygun şekilde bölünmesiyle elde edilen bloklar cinsinden matrislerin çarpımının, bu matrislerin skaler öğeler cinsinden çarpımı ile resmi olarak örtüştüğünü varsayıyoruz. Bunu bir örnekle gösterelim:

1. Egzersiz. İzin vermek

Bu doğrudan hesaplamayla doğrulanabilir

Teorem (1)

Matrisin blokları olsun, burada matris olsun ve matrisi blok boyutunda olsun. Daha sonra bloklar var

Kanıt. Her çarpımın var olduğunu ve bir matris olduğunu unutmayın. Dolayısıyla bir matris vardır ve olacaktır. Sabit için her birinin sütunları vardır ve sabit için her birinin satırları vardır, bu da bir matrisin blokları anlamına gelir.

Bir blok hücrede yer alan bir matris elemanı olsun. Hücrelerde ve matrislerde elementlerin toplamı olduğundan, . Ancak bir hücredeki matris elemanı, matris satırındaki elemanlarla matris sütunundaki elemanların çarpımlarının toplamıdır. Ayrıca, matrisin satırının elemanları, endeksin eşitsizlikler tarafından belirlendiği satırın bazı elemanlarıyla çakışır.

Matris sütununun elemanları içindeki elemanlar olacaktır. Buradan,

Determinant için küçükler mertebesini tanımladık. Genel olarak, bir matristen satırlar hariç tüm satırları ve sütunlar hariç tüm sütunları kaldırırsak, ortaya çıkan matrisin determinantına sıra matrisinin küçük kısmı denir, o zaman

Matris için asıl olarak adlandırılan küçükler. Eğer bir matris ise, o zaman cebirsel tümleyen örneğin

Bir kare matris bazı matrislerin (dikdörtgen de olabilir) ürünü ise, bazen ürünün determinantını faktörlerin özellikleri açısından ifade etmek önemlidir. Aşağıdaki teorem bu türden güçlü bir sonuçtur.

Yorum. Matris çarpımının işlemi değişmeli değildir, yani. Aslında, AB çarpımı mevcutsa, boyutların uyumsuzluğundan dolayı BA hiç mevcut olmayabilir (önceki örneğe bakın). Hem AB hem de BA mevcutsa, farklı boyutlara (if) sahip olabilirler.

Aynı mertebeden kare matrisler için AB ve BA çarpımları mevcuttur ve aynı boyuta sahiptir, ancak bunlara karşılık gelen elemanlar genellikle eşit değildir.

Ancak bazı durumlarda AB ve BA çarpımları çakışmaktadır.

Aynı mertebeden bir kare matris A ile birim matris E'nin çarpımını düşünün:

EA ürünü için de aynı sonucu elde ediyoruz. Yani herhangi bir kare matris için A AE = EA = A.

Ters matris.

Tanım 3.7. Bir kare matris A'ya tekil if ve tekil olmayan if denir.

Tanım 3.8. AB = BA = E ise, B kare matrisine aynı mertebeden A kare matrisinin tersi denir. Bu durumda B gösterilir.

Belirli bir matrisin tersi olan bir matrisin varoluş koşulunu ve onu hesaplama yöntemini ele alalım.

Teorem 3.2. Ters bir matrisin var olması için orijinal matrisin tekil olmaması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt.

1) Gereklilik: o zamandan beri (Teorem 3.1), dolayısıyla

2) Yeterlilik: matrisi aşağıdaki biçimde ayarlayın:

Bu durumda, çarpımın (veya) ana köşegen üzerinde yer almayan herhangi bir elemanı, A matrisinin bir satırının (veya sütununun) elemanlarının, başka bir sütunun elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları ile çarpımlarının toplamına eşittir ve bu nedenle, 0'a eşittir (iki eşit sütunlu bir determinant olarak). Ana köşegen üzerindeki elemanlar eşittir.

*=. Teorem kanıtlandı.

Yorum. Ters matrisi hesaplama yöntemini bir kez daha formüle edelim: elemanları, aktarılan A matrisinin elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarının determinantına bölümüdür.