Umrechnungstabelle von einem Zahlensystem in ein anderes. Umwandeln von Zahlen in verschiedene Zahlensysteme mit einer Lösung
Methoden zum Übersetzen von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes.
Übersetzung von Zahlen von einem Positionszahlensystem in ein anderes: Übersetzung von ganzen Zahlen.
Um eine ganze Zahl von einem Zahlensystem mit der Basis d1 in ein anderes mit der Basis d2 umzuwandeln, ist es notwendig, diese Zahl und die resultierenden Quotienten sequentiell durch die Basis d2 des neuen Systems zu dividieren, bis der Quotient kleiner als die Basis d2 ist. Der letzte Quotient ist die höchstwertige Ziffer der Zahl in neues System Zahlen mit der Basis d2, und die folgenden Ziffern sind die Reste der Division, die in umgekehrter Reihenfolge ihres Eingangs geschrieben werden. Führe arithmetische Operationen in dem Zahlensystem durch, in das die übersetzte Zahl geschrieben wird.
Beispiel 1. Wandle die Zahl 11 (10) in das binäre Zahlensystem um.
Antwort: 11 (10) = 1011 (2).
Beispiel 2. Wandeln Sie die Zahl 122 (10) in das oktale Zahlensystem um.
Antwort: 122 (10) = 172 (8).
Beispiel 3. Wandeln Sie die Zahl 500 (10) in das hexadezimale Zahlensystem um.
Antwort: 500 (10) = 1F4 (16).
Konvertieren von Zahlen von einem Positionszahlensystem in ein anderes: Übersetzen von regulären Brüchen.
Um einen regulären Bruch aus dem Zahlensystem mit der Basis d1 in das System mit der Basis d2 umzuwandeln, ist es notwendig, den ursprünglichen Bruch und die Bruchteile der resultierenden Produkte sequentiell mit der Basis des neuen Zahlensystems d2 zu multiplizieren. Der korrekte Bruch einer Zahl im neuen Zahlensystem mit der Basis d2 wird in Form ganzer Teile der resultierenden Produkte, beginnend mit dem ersten, gebildet.
Stellt sich heraus, dass die Übersetzung ein Bruch in Form einer unendlichen oder divergenten Reihe ist, kann der Vorgang abgeschlossen werden, wenn die erforderliche Genauigkeit erreicht ist.
Bei der Übersetzung gemischter Zahlen ist es erforderlich, den ganzzahligen und gebrochenen Teil getrennt nach den Regeln für die Übersetzung von ganzen Zahlen und regulären Brüchen in das neue System zu übersetzen und dann beide Ergebnisse zu einer gemischten Zahl im neuen Zahlensystem zu kombinieren.
Beispiel 1. Wandle die Zahl 0,625 (10) in das binäre Zahlensystem um.
Antwort: 0,625 (10) = 0,101 (2).
Beispiel 2. Wandeln Sie die Zahl 0.6 (10) in das oktale Zahlensystem um.
Antwort: 0,6 (10) = 0,463 (8).
Beispiel 2. Wandeln Sie die Zahl 0.7 (10) in das hexadezimale Zahlensystem um.
Antwort: 0,7 (10) = 0, B333 (16).
Konvertiert binäre, oktale und hexadezimale Zahlen in dezimale Notation.
Um die Zahl des P-stufigen Systems in eine Dezimalzahl umzuwandeln, müssen Sie die folgende Erweiterungsformel verwenden:
аnan-1 ... а1а0 = аnPn + аn-1Pn-1 + ... + а1P + a0.
Beispiel 1. Wandeln Sie die Zahl 101.11 (2) in das dezimale Zahlensystem um.
Antwort: 101,11 (2) = 5,75 (10).
Beispiel 2. Wandle die Zahl 57,24 (8) in das dezimale Zahlensystem um.
Antwort: 57,24 (8) = 47,3125 (10).
Beispiel 3. Wandeln Sie die Zahl 7A, 84 (16) in das dezimale Zahlensystem um.
Antwort: 7A, 84 (16) = 122,515625 (10).
Konvertieren von Oktal- und Hexadezimalzahlen in Binärzahlen und umgekehrt.
Um eine Zahl aus dem oktalen Zahlensystem in ein Binärsystem umzuwandeln, muss jede Ziffer dieser Zahl mit einer dreistelligen Binärzahl (Dreiklang) niedergeschrieben werden.
Beispiel: Schreiben Sie die Zahl 16.24 (8) in binärer Notation.
Antwort: 16,24 (8) = 1110,0101 (2).
Für die Rückübersetzung einer Binärzahl in das oktale Zahlensystem ist es erforderlich, die ursprüngliche Zahl links und rechts vom Komma in Dreiergruppen zu unterteilen und jede Gruppe als Ziffer im oktalen Zahlensystem darzustellen. Extrem unvollständige Triaden werden mit Nullen aufgefüllt.
Beispiel: Notieren Sie die Zahl 1110.0101 (2) in oktaler Schreibweise.
Antwort: 1110.0101 (2) = 16.24 (8).
Um eine Zahl von einem hexadezimalen Zahlensystem in ein Binärsystem umzuwandeln, muss jede Ziffer dieser Zahl mit einer vierstelligen Binärzahl (Tetrade) aufgeschrieben werden.
Beispiel: Schreiben Sie die Zahl 7A, 7E (16) in binärer Notation. 
Antwort: 7A, 7E (16) = 1111010.0111111 (2).
Hinweis: Führende Nullen links für ganze Zahlen und rechts für Brüche werden nicht geschrieben.
Für die Rückübersetzung einer Binärzahl in ein hexadezimales Zahlensystem ist es erforderlich, die ursprüngliche Zahl links und rechts vom Komma in Tetraden aufzuteilen und jede Gruppe als Ziffer im hexadezimalen Zahlensystem darzustellen. Extrem unvollständige Triaden werden mit Nullen aufgefüllt.
Beispiel: Notieren Sie die Zahl 1111010,0111111 (2) in hexadezimaler Schreibweise.
1. Ordnungskonto in verschiedenen Zahlensystemen.
Im modernen Leben verwenden wir Positionszahlensysteme, dh Systeme, bei denen die durch eine Zahl bezeichnete Zahl von der Position der Zahl im Zahlendatensatz abhängt. Daher werden wir im Folgenden nur über sie sprechen und den Begriff "positional" weglassen.
Um zu lernen, wie man Zahlen von einem System in ein anderes übersetzt, werden wir anhand eines Beispiels verstehen, wie die sequentielle Erfassung von Zahlen abläuft Dezimalsystem.
Da wir ein dezimales Zahlensystem haben, haben wir 10 Zeichen (Ziffern) zum Konstruieren von Zahlen. Wir beginnen die Ordnungszahl: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Die Zahlen sind vorbei. Wir erhöhen die Ziffernkapazität der Zahl und setzen das niedrigstwertige Bit auf Null: 10. Dann erhöhen wir das niedrigstwertige Bit erneut, bis alle Ziffern aufgebraucht sind: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Erhöhen Sie das höchstwertige Bit um 1 und nullen Sie das niedrigstwertige: 20. Wenn wir alle Ziffern für beide Ziffern verwenden (wir erhalten die Zahl 99), erhöhen wir erneut die Ziffernkapazität der Zahl und setzen die vorhandenen Ziffern zurück: 100. Usw.
Versuchen wir dasselbe im 2., 3. und 5. System (wir geben die Bezeichnung für das 2. System, für das 3. usw. ein):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Wenn das Zahlensystem eine Basis von mehr als 10 hat, müssen wir zusätzliche Zeichen eingeben, es ist üblich, Buchstaben des lateinischen Alphabets einzugeben. Für das 12er-System benötigen wir beispielsweise zusätzlich zu zehn Ziffern zwei Buchstaben (n):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Umrechnung vom Dezimalzahlensystem in ein anderes.
Um eine ganzzahlige positive Dezimalzahl in ein Zahlensystem mit einer anderen Basis umzuwandeln, müssen Sie diese Zahl durch die Basis dividieren. Teilen Sie den resultierenden Quotienten erneut durch die Basis und weiter, bis der Quotient kleiner als die Basis ist. Als Ergebnis schreiben Sie in einer Zeile den letzten Quotienten und alle Reste beginnend mit der letzten.
Beispiel 1. Konvertieren von dezimalen 46 in ein binäres Zahlensystem.
Beispiel 2. Konvertieren von Dezimal 672 in Oktalzahlensystem.
Beispiel 3. Lassen Sie uns die Dezimalzahl 934 in das hexadezimale Zahlensystem konvertieren.
3. Umrechnung von einem beliebigen Zahlensystem in Dezimalzahlen.
Um zu lernen, wie man Zahlen aus einem anderen System in Dezimalzahlen umwandelt, analysieren wir die übliche Schreibweise einer Dezimalzahl.
Zum Beispiel ist die Dezimalzahl 325 5 Einheiten, 2 Zehner und 3 Hunderter, d.h.
In anderen Zahlensystemen ist die Situation genauso, nur werden wir nicht mit 10, 100 usw. multiplizieren, sondern mit dem Grad der Basis des Zahlensystems. Nehmen wir als Beispiel die Ternärzahl 1201. Nummerieren wir die Ziffern von rechts nach links, beginnend bei Null und stellen unsere Zahl als Summe der Produkte einer Ziffer durch eine Drei im Grad der Ziffer der Zahl dar:
Dies ist die dezimale Darstellung unserer Zahl, d.h.
Beispiel 4. Konvertieren der Oktalzahl 511 in die Dezimalschreibweise.
Beispiel 5. Wandeln wir die hexadezimale Zahl 1151 in das dezimale Zahlensystem um.
4. Übersetzung von Binärsystem in ein System mit einer Basis "Zweierpotenz" (4, 8, 16 usw.).
Um eine binäre Zahl in eine Zahl mit der Basis "Zweierpotenz" umzuwandeln, ist es notwendig, die binäre Folge entsprechend der Anzahl der Ziffern gleich der Potenz von rechts nach links in Gruppen zu unterteilen und jede Gruppe durch die entsprechende Ziffer von . zu ersetzen das neue Zahlensystem.
Konvertieren Sie beispielsweise binär 1100001111010110 in oktal. Dazu teilen wir es in Gruppen von 3 Zeichen auf, beginnend von rechts (seit), und verwenden dann die Korrespondenztabelle und ersetzen jede Gruppe durch eine neue Ziffer:
Wir haben in Abschnitt 1 gelernt, wie man eine Korrespondenztabelle erstellt.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Jene.
Beispiel 6. Konvertieren Sie die binäre 1100001111010110 in eine hexadezimale Zahl.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | EIN |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Übertragung vom System mit der Basis "Zweierpotenz" (4, 8, 16 usw.) in binär.
Diese Übersetzung ähnelt der vorherigen in Rückseite: Wir ersetzen jede Ziffer durch eine Gruppe von Binärziffern aus der Nachschlagetabelle.
Beispiel 7.Übersetzen wir die Hexadezimalzahl C3A6 in ein binäres Zahlensystem.
Dazu ersetzen wir jede Ziffer der Nummer durch eine Gruppe von 4 Ziffern (seit) aus der Korrespondenztabelle und fügen bei Bedarf die Gruppe mit Nullen am Anfang hinzu:
2.3. Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umwandeln
2.3.1. Umrechnung von ganzen Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes
Es ist möglich, einen Algorithmus zum Übersetzen von ganzen Zahlen aus einem System mit einer Radix . zu formulieren P in ein System mit einer Basis Q :
1. Die Basis des neuen Zahlensystems wird in den Zahlen des ursprünglichen Zahlensystems ausgedrückt und alle nachfolgenden Aktionen werden im ursprünglichen Zahlensystem ausgeführt.
2. Führen Sie nacheinander eine Division der gegebenen Anzahl der resultierenden ganzzahligen Quotienten auf der Grundlage des neuen Zahlensystems durch, bis wir den Quotienten erhalten, der kleiner als der Divisor ist.
3. Die resultierenden Reste, das sind die Ziffern einer Zahl im neuen Zahlensystem, sollen an das Alphabet des neuen Zahlensystems angeglichen werden.
4. Bilden Sie eine Zahl im neuen Zahlensystem und schreiben Sie sie auf, beginnend mit dem letzten Rest.
Beispiel 2.12. Konvertieren Sie die Dezimalzahl 173 10 in das Oktalzahlensystem:
Wir erhalten: 173 10 = 255 8
Beispiel 2.13. Konvertieren Sie die Dezimalzahl 173 10 in die hexadezimale Notation:
Wir erhalten: 173 10 = 16 n. Chr.
Beispiel 2.14. Konvertieren Sie die Dezimalzahl 11 10 in die binäre Notation. Bequemer ist es, den oben betrachteten Handlungsablauf (Übersetzungsalgorithmus) wie folgt darzustellen:
Wir erhalten: 11 10 = 1011 2.
Beispiel 2.15. Manchmal ist es bequemer, den Übersetzungsalgorithmus in Form einer Tabelle aufzuschreiben. Konvertieren von dezimalen 363 10 in binär.
|
Teiler |
|||||||||
Wir erhalten: 363 10 = 101101011 2
2.3.2. Bruchzahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umwandeln
Es ist möglich, einen Algorithmus zur Übersetzung des richtigen Robi mit einer Radix zu formulieren P in Bruch mit basis Q:
1. Die Basis des neuen Zahlensystems wird in den Zahlen des ursprünglichen Zahlensystems ausgedrückt und alle nachfolgenden Aktionen werden im ursprünglichen Zahlensystem ausgeführt.
2. Multiplizieren Sie die gegebene Anzahl der resultierenden Bruchteile der Produkte sequentiell auf der Grundlage des neuen Systems, bis der Bruchteil des Produkts gleich Null wird oder die erforderliche Genauigkeit der Zahlendarstellung erreicht ist.
3. Die resultierenden ganzen Teile der Produkte, die die Ziffern einer Zahl im neuen Zahlensystem sind, sollen an das alphabetische neue Zahlensystem angepasst werden.
4. Bilden Sie den Nachkommateil der Zahl im neuen Zahlensystem, beginnend mit dem ganzen Teil des ersten Produkts.
Beispiel 2.17. Konvertieren Sie 0,65625 10 in die hexadezimale Notation.
Wir erhalten: 0,65625 10 = 0,52 8
Beispiel 2.17. Konvertieren Sie 0,65625 10 in die hexadezimale Notation.
|
x 16 |
|
Wir erhalten: 0.65625 10 = 0, A8 1
Beispiel 2.18. Konvertieren Sie dezimal 0,5625 10 in binäre Notation.
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
Wir erhalten: 0,5625 10 = 0,1001 2
Beispiel 2.19. Dezimalbruch in binäre Notation umwandeln 0.7 10.
Offensichtlich kann dieser Prozess unbegrenzt fortgesetzt werden und gibt immer mehr Zeichen des Bildes des binären Äquivalents von 0,7 10. In vier Schritten erhalten wir also die Zahl 0.1011 2 und in sieben Schritten die Zahl 0.1011001 2, die eine genauere Darstellung der Zahl 0.7 10 in binärer Form ist Zahlensystem und Ein derartiger endloser Prozess wird bei irgendeinem Schritt beendet, wenn davon ausgegangen wird, dass die erforderliche Genauigkeit der Zahlendarstellung erreicht wurde.
2.3.3. Übersetzung beliebiger Zahlen
Übersetzung beliebiger Zahlen, d.h. Zahlen, die ganzzahlige und gebrochene Teile enthalten, werden in zwei Schritten ausgeführt: der ganze Teil wird separat übersetzt und der Bruchteil wird separat übersetzt. Im letzten Datensatz der resultierenden Zahl wird der ganzzahlige Teil vom Komma (Punkt) getrennt.
Beispiel 2.20... Konvertieren Binärzahl 17,25 10.
Wir erhalten: 17,25 10 = 1001,01 2
Beispiel 2.21. Konvertieren Sie 124,25 10 in das Oktalsystem.
Wir erhalten: 124,25 10 = 174,2 8
2.3.4. Konvertieren von Zahlen von der Basis 2 zur Basis 2 n und zurück
Übersetzung von ganzen Zahlen. Wenn die Basis eines q-ären Zahlensystems eine Potenz von 2 ist, dann kann die Umwandlung von Zahlen von einem q-ären Zahlensystem in ein 2-äres und umgekehrt durchgeführt werden mehr einfache Regeln... Um eine ganzzahlige Binärzahl in die Basis q = 2 n zu schreiben, benötigen Sie:
1. Teilen Sie die Binärzahl von rechts nach links in Gruppen von jeweils n Ziffern auf.
2. Wenn die letzte linke Gruppe weniger als n Stellen enthält, muss sie links mit Nullen auf die erforderliche Anzahl Stellen aufgefüllt werden.
Beispiel 2.22. Wandeln wir die Zahl 101100001000110010 2 in das oktale Zahlensystem um.
Wir teilen die Zahl von rechts nach links in Dreiergruppen und schreiben unter jede davon die entsprechende Oktalziffer:
Wir erhalten die oktale Darstellung der Originalnummer: 541062 8.
Beispiel 2.23. Die Zahl 1000000000111110000111 2 wird in ein hexadezimales Zahlensystem umgewandelt.
Wir teilen die Zahl von rechts nach links in Tetraden und notieren jeweils die entsprechende Hexadezimalzahl:
Wir erhalten die hexadezimale Darstellung der ursprünglichen Zahl: 200F87 16.
Übersetzung von Bruchzahlen. Um eine gebrochene Binärzahl in die Basis q = 2 n zu schreiben, benötigen Sie:
1. Teilen Sie die Binärzahl von links nach rechts in Gruppen von jeweils n Ziffern auf.
2. Enthält die letzte rechte Gruppe weniger als n Stellen, so muss sie von rechts bis zur gewünschten Stellenzahl mit Nullen ergänzt werden.
3. Betrachten Sie jede Gruppe als eine n-Bit-Binärzahl und schreiben Sie sie mit der entsprechenden Ziffer in der Basis q = 2 n auf.
Beispiel 2.24. Die Zahl 0.10110001 2 wird in das oktale Zahlensystem umgerechnet.
Wir teilen die Zahl von links nach rechts in Dreiergruppen und schreiben unter jede davon die entsprechende Oktalziffer:
Wir erhalten die oktale Darstellung der ursprünglichen Zahl: 0,542 8.
Beispiel 2.25. Wir übersetzen die Zahl 0.100000000011 2 in ein hexadezimales Zahlensystem. Wir teilen die Zahl von links nach rechts in Tetraden und notieren jeweils die entsprechende Hexadezimalziffer:
Wir erhalten die hexadezimale Darstellung der ursprünglichen Zahl: 0.803 16
Übersetzung beliebiger Zahlen. Um eine beliebige Binärzahl in die Basis q = 2 n zu schreiben, benötigen Sie:
1. Teilen Sie den ganzzahligen Teil einer gegebenen Binärzahl von rechts nach links und den Bruchteil von links nach rechts in Gruppen von jeweils n Ziffern auf.
2. Sind in der letzten linken und/oder rechten Gruppe weniger als n Stellen vorhanden, müssen diese links und/oder rechts mit Nullen bis zur erforderlichen Stellenzahl ergänzt werden;
3. Betrachten Sie jede Gruppe als eine n-Bit-Binärzahl und schreiben Sie sie mit der entsprechenden Ziffer in die Basis q = 2 n
Beispiel 2.26. Lassen Sie uns die Zahl 111100101.0111 2 in das oktale Zahlensystem umwandeln.
Wir teilen die ganzzahligen und gebrochenen Teile der Zahl in Dreiergruppen auf und schreiben unter jede von ihnen die entsprechende oktale Ziffer:
Wir erhalten die oktale Darstellung der ursprünglichen Zahl: 745.34 8.
Beispiel 2.27. Die Zahl 11101001000,11010010 2 wird in ein hexadezimales Zahlensystem umgewandelt.
Wir teilen die ganzzahligen und gebrochenen Teile der Zahl in Notizbücher auf und schreiben unter jedes von ihnen die entsprechende hexadezimale Ziffer:
Wir erhalten die hexadezimale Darstellung der ursprünglichen Zahl: 748, D2 16.
Umwandeln von Zahlen aus Zahlensystemen mit der Basis q = 2n zu binär. Damit eine beliebige Zahl, die im System zur Basis q = 2 n geschrieben ist, in das binäre Zahlensystem umgewandelt werden kann, muss jede Ziffer dieser Zahl durch ihr n-stelliges Äquivalent im binären Zahlensystem ersetzt werden.
Beispiel 2.28.Übersetzen wir die Hexadezimalzahl 4АС35 16 in ein binäres Zahlensystem.
Nach dem Algorithmus:
Wir erhalten: 10010101100000110101 2.
Aufgaben zum Selbststudium (Antworten)
2.38. Füllen Sie die Tabelle aus, in der in jeder Zeile dieselbe ganze Zahl in verschiedenen Zahlensystemen geschrieben werden muss.
|
Binär |
Oktal |
Dezimal |
Hexadezimal |
2.39. Füllen Sie die Tabelle aus, in der in jeder Zeile die gleiche Bruchzahl in verschiedenen Zahlensystemen geschrieben werden muss.
|
Binär |
Oktal |
Dezimal |
Hexadezimal |
2.40. Füllen Sie die Tabelle aus, in der in jeder Zeile dieselbe beliebige Zahl (die Zahl kann sowohl ganzzahlige als auch gebrochene Teile enthalten) in verschiedenen Zahlensystemen geschrieben werden muss.
|
Binär |
Oktal |
Dezimal |
Hexadezimal |
|
59, B |
Stichworte: Zahlensystem, Zahlensystemübersetzung, verwandte Zahlensysteme
Ändern des Radix für Positionszahlensysteme
Im Positionszahlensystem mit der Basis q lässt sich die Zahl als Polynom darstellen
… + A 2 ∙ q 2 + a 1 q 1 + a 0 ∙ q 0 + a -1 ∙ q -1 + a -2 ∙ q -2 +…
wobei die Koeffizienten a i Ziffern mit der Basis q sind.
Zum Beispiel in Dezimalschreibweise
124.733 = 1∙10 2 + 2∙10 1 + 4∙10 0 + 7∙10 -1 + 3∙10 -2 + 3∙10 -3
Die Anzahl der Stellen im Basissystem q beträgt q, während die maximale Stelle q - 1 ist. Die Stelle kann nicht gleich q werden, da in diesem Fall die Einheit auf eine neue Stelle übertragen wird.
Sie müssen beispielsweise die minimale Basis finden, in der die Zahl 7832 geschrieben ist. Da die maximale Ziffer 8 ist, ist der minimale Wert q = 8 + 1 = 9.
Die Basis des Zahlensystems kann im Prinzip jede Zahl sein: ganz, negativ, rational, irrational, komplex usw. Wir betrachten nur positive ganzzahlige Basen.
Von besonderem Interesse für uns sind die Basis 2 und die Basen, die Zweierpotenzen sind - 8 und 16.
Für den Fall, dass die Basis mit. mit. mehr als zehn, dann werden die neuen Zahlen alphabetisch geordnet. Für das Hexadezimalsystem sind dies beispielsweise die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Übersetzung des ganzzahligen Teils des Dezimalzahlensystems
Die erste Möglichkeit, von dezimal in n-är umzuwandeln, besteht darin, die Zahl sequentiell durch die neue Basis zu dividieren.
123/12 = 10 (3) 10/12 = 0 (10 = A)
Wir sammeln in umgekehrte Reihenfolge, zuerst der letzte Wert (dies ist 0), dann von oben nach unten alle Reste. Wir erhalten 0A3 = A3
4563/8 = 570 (3) 570/8 = 71 (2) 71/8 = 8 (7) 8/8 = 1 (0)
Wenn wir es wieder zusammensetzen, erhalten wir 10723
3349 10 → X 16
3349/16 = 209 (5) 209/16 = 13 (1) 13/16 = 0 (13 = D)
Zusammensetzen: 0D15 = D15
545/2 = 272 (1) 272/2 = 136 (0) 136/2 = 68 (0) 68/2 = 34 (0) 34/2 = 17 (0) 17/2 = 8 (1) 8/2 = 4 (0) 4/2 = 2(0) 2/2 = 1 (0) 1/2 = 0(1)
Wir sammeln 01000100001 = 1000100001
Die Übersetzung auf Papier erfolgt in der Regel durch lange Division. Bis die Division zu Null führt, wird jede nachfolgende Antwort durch die Basis s geteilt. mit. Am Ende wird die Antwort aus den Resten der Division zusammengesetzt.
Sie können auch oft eine Zahl in eine andere s umwandeln. mit. , wenn wir es uns im Kopf als die Summe der Grade der entsprechenden Basis vorstellen, in die wir die Zahl übersetzen wollen.
Zum Beispiel ist 129 offensichtlich 128 + 1 = 2 7 + 1 = 10000001 2
80 = 81 - 1 = 3 4 - 1 = 10000 - 1 = 2222 3
Umwandlung in dezimale Notation des ganzzahligen Teils
Die Übersetzung erfolgt über die Darstellung der Zahl im Stellenzahlensystem. Es sei notwendig, A3 12 → X 10 zu übersetzen. Es ist bekannt, dass A3 3 ∙ q 0 + A ∙ q 1 ist, dh 3 * 1 + A * 12 = 3 + 120 = 123
10723 8 → X 10
1 ∙ q 4 + 0 ∙ q 3 + 7 ∙ q 2 + 2 ∙ q 1 + 3 ∙ q 0 = 1 ∙ 8 4 + 0 + 7 ∙ 8 2 + 2 ∙ 8 + 3 = 1 ∙ 4096 + 7 ∙ 64 + 2 ∙ 8 + 3 = 4563
D ∙ 16 2 + 1 ∙ 16 1 + 5 ∙ 16 0 = 13 ∙ 256 + 16 + 5 = 3349
1000100001 2 → X 10
2 9 + 2 5 + 1 = 512 + 32 + 1 = 545.
Die Übersetzung auf Papier erfolgt normalerweise wie folgt. Über jede Ziffer schreiben Sie der Reihe nach die Nummer des Abschlusses. Dann werden alle Begriffe ausgeschrieben. 
Umwandeln eines Bruchteils aus dem Dezimalsystem
Bei der Übersetzung des Bruchteils kommt es häufig vor, dass der letzte Dezimalbruch in einen unendlichen wird. Daher wird beim Übersetzen normalerweise die Genauigkeit angegeben, mit der übersetzt werden muss. Die Übersetzung erfolgt durch sequentielles Multiplizieren des Bruchteils mit der Basis des Zahlensystems. Gleichzeitig wird das ganze Teil zurückgelehnt und in die Fraktion aufgenommen.
0,625 10 → X 2
0.625 * 2 = 1.250 (1) 0.25 * 2 = 0.5 (0) 0.5 * 2 = 1.0 (1)
0 - weitere Multiplikation ergibt nur Nullen
Wenn wir es von oben nach unten setzen, erhalten wir 0,101
0,310 → X2 0,3 * 2 = 0,6 (0) 0,6 * 2 = 1,2 (1) 0,2 * 2 = 0,4 (0) 0,4 * 2 = 0,8 (0) 0,8 * 2 = 1,6 (1) 0,6 * 2 = 1,2 (1 )
0.2 ... erhalten wir einen periodischen Bruch
Zusammengenommen erhalten wir 0,0100110011001 ... = 0,0 (1001)
0,64510 → X5 0,645 * 5 = 3,225 (3) 0,255 * 5 = 1,275 (1) 0,275 * 5 = 1,375 (1) 0,375 * 5 = 1,875 (1) 0,875 * 5 = 4,375 (4) 0,375 * 5 = 1,875 (1 ) ...
0.3111414… = 0.311(14)
Bruchteil in Dezimalsystem umwandeln
Es wird ähnlich wie die Übersetzung des ganzen Teils durchgeführt, indem die Ziffer der Ziffer mit der Basis in einem Grad multipliziert wird, der der Position der Ziffer in der Zahl entspricht.
0,101 2 → X 10
1∙2 -1 + 0∙2 -2 + 1∙2 -3 = 0.5 + 0.125 = 0.625
0,134 5 → X 10
1∙5 -1 + 3∙5 -2 +4∙5 -3 = 0.2 + 3∙0.04 + 4∙0.008 = 0.2 + 0.12 + 0.032 = 0.352
Umwandlung von einem beliebigen Zahlensystem in ein beliebiges Zahlensystem
Übersetzung von einem beliebigen Zahlensystem in ein beliebiges s. mit. durchgeführt mit dezimalen s. mit.
X N → X M ≡ X N → X 10 → X M
Beispielsweise
1221201 3 → X 7
1221201 3 = 1∙3 6 + 2∙3 5 + 2∙3 4 + 1∙3 3 + 2∙3 2 + 1 = 729 + 2∙243 + 2∙81 + 27 + 9 + 1 = 1414 10
1414/7 = 202 (0) 202/7 = 28 (6) 28/7 = 4 (0) 4/7 = 0 (4)
1221201 3 → 4060 7
Verwandte Zahlensysteme
Zahlensysteme werden als verwandt bezeichnet, wenn ihre Basen Potenzen derselben Zahl sind. Zum Beispiel 2, 4, 8, 16. Die Übersetzung zwischen verwandten Zahlensystemen kann mit der Tabelle erfolgen
| 10 | 2 | 4 | 8 | 16 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 000 | 00 | 0 |
| 1 | 0001 | 001 | 01 | 1 |
| 2 | 0010 | 002 | 02 | 2 |
| 3 | 0011 | 003 | 03 | 3 |
| 4 | 0100 | 010 | 04 | 4 |
| 5 | 0101 | 011 | 05 | 5 |
| 6 | 0110 | 012 | 06 | 6 |
| 7 | 0111 | 013 | 07 | 7 |
| 8 | 1000 | 020 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 021 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 022 | 12 | EIN |
| 11 | 1011 | 023 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 030 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 031 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 032 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 033 | 17 | F |
Um von einem verwandten Zahlensystem in ein anderes zu übersetzen, müssen Sie zuerst die Zahl in das Binärsystem umwandeln. Um in das Binärsystem umzuwandeln, wird jede Ziffer der Zahl durch die entsprechenden zwei (für vierfach), drei (für oktal) oder vier (für hexadezimal) ersetzt.
Für 123 4 wird 01 durch eins ersetzt, durch zwei durch 10, durch drei durch 11, erhalten wir 11011 2
Für 5721 8, bzw. 101, 111, 010, 001, insgesamt 101111010001 2
Für E12 16 erhalten wir 111000010010 2
Um aus dem Binärsystem zu übersetzen, müssen Sie die Zahl in Zweier (4.), Dreier (8.) oder Vierer von Zahlen (16.) aufteilen und sie dann durch die entsprechenden Werte ersetzen.
Anmerkung 1
Wenn Sie eine Zahl von einem Zahlensystem in ein anderes umwandeln möchten, ist es bequemer, mit der Übersetzung in das Dezimalzahlensystem zu beginnen und erst dann von der Dezimalzahl in ein anderes Zahlensystem.
Regeln zum Umwandeln von Zahlen aus einem beliebigen Zahlensystem in Dezimalzahlen
IN Computer, bei der maschinellen Arithmetik spielt die Umrechnung von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes eine wichtige Rolle. Nachfolgend sind die Grundregeln für solche Transformationen (Übersetzungen) aufgeführt.
Bei der Umwandlung einer Binärzahl in eine Dezimalzahl ist es erforderlich, die Binärzahl in Form eines Polynoms darzustellen, von dem jedes Element als Produkt der Ziffer der Zahl und der entsprechenden Potenz der Basiszahl dargestellt wird, in dieser Fall$ 2 $, und dann müssen Sie das Polynom nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:
$ X_2 = A_n \ cdot 2 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 2 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 2 ^ 1 + A_1 \ cdot 2 ^ 0 $
Abbildung 1. Tabelle 1
Beispiel 1
Die Zahl $ 11110101_2 $ in Dezimalschreibweise umwandeln.
Lösung. Mit der Tabelle von $ 1 $ Basisgrad $ 2 $ stellen wir die Zahl in Form eines Polynoms dar:
$ 11110101_2 = 1 \ cdot 27 + 1 \ cdot 26 + 1 \ cdot 25 + 1 \ cdot 24 + 0 \ cdot 23 + 1 \ cdot 22 + 0 \ cdot 21 + 1 \ cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_ (10) $
Um eine Zahl aus dem oktalen Zahlensystem in eine dezimale Zahl umzuwandeln, müssen Sie sie als Polynom darstellen, von dem jedes Element als Produkt der Ziffer der Zahl und der entsprechenden Potenz der Basiszahl dargestellt wird, in diesem Fall $ 8 $, und dann müssen Sie das Polynom nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:
$ X_8 = A_n \ cdot 8 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 8 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 8 ^ 1 + A_1 \ cdot 8 ^ 0 $
Abbildung 2. Tabelle 2
Beispiel 2
Die Zahl $ 75013_8 $ wird in Dezimalschreibweise umgewandelt.
Lösung. Mit der Tabelle von $ 2 $ Basisgrad $ 8 $ stellen wir die Zahl in Form eines Polynoms dar:
$ 75013_8 = 7 \ cdot 8 ^ 4 + 5 \ cdot 8 ^ 3 + 0 \ cdot 8 ^ 2 + 1 \ cdot 8 ^ 1 + 3 \ cdot 8 ^ 0 = 31243_ (10) $
Um eine Zahl von einem hexadezimalen Zahlensystem in ein dezimales Zahlensystem umzuwandeln, muss sie als Polynom dargestellt werden, wobei jedes Element davon als Produkt der Ziffer der Zahl und der entsprechenden Potenz der Basiszahl dargestellt wird, in diesem Fall $ 16 $, und dann müssen Sie das Polynom nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:
$ X_ (16) = A_n \ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 16 ^ (n-3) +. .. + A_2 \ cdot 16 ^ 1 + A_1 \ cdot 16 ^ 0 $
Abbildung 3. Tabelle 3
Beispiel 3
Wandeln Sie die Zahl $ FFA2_ (16) $ in die Dezimalschreibweise um.
Lösung. Mit der obigen Tabelle von $ 3 $ Basisgrad $ 8 $ stellen wir die Zahl in Form eines Polynoms dar:
$ FFA2_ (16) = 15 \ cdot 16 ^ 3 + 15 \ cdot 16 ^ 2 + 10 \ cdot 16 ^ 1 + 2 \ cdot 16 ^ 0 = 61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_ (10) $
Regeln zum Umwandeln von Zahlen von einem dezimalen Zahlensystem in ein anderes
- Um eine Zahl von dezimal in binär umzuwandeln, muss sie sequentiell durch $ 2 $ geteilt werden, bis ein Rest kleiner oder gleich $ 1 $ übrig bleibt. Die Zahl im Binärsystem wird als Folge des letzten Divisionsergebnisses und des Rests der Division in umgekehrter Reihenfolge dargestellt.
Beispiel 4
Die Zahl $ 22_ (10) $ wird in binäre Notation umgewandelt.
Lösung:
Figur 4.
$22_{10} = 10110_2$
- Um eine Zahl von dezimal in oktal umzuwandeln, muss sie sequentiell durch 8 $ geteilt werden, bis ein Rest kleiner oder gleich 7 $ bleibt. Die Oktalzahl wird als Ziffernfolge des letzten Divisionsergebnisses und des Rests der Division in umgekehrter Reihenfolge dargestellt.
Beispiel 5
Die Zahl $ 571_ (10) $ wird in oktale Notation umgewandelt.
Lösung:
Abbildung 5.
$571_{10} = 1073_8$
- Um eine Zahl von dezimal in hexadezimal umzuwandeln, muss sie sequentiell durch 16 $ geteilt werden, bis ein Rest kleiner oder gleich 15 $ bleibt. Die Zahl im Hexadezimalsystem wird als Ziffernfolge des letzten Divisionsergebnisses und des Rests der Division in umgekehrter Reihenfolge dargestellt.
Beispiel 6
Die Zahl $ 7467_ (10) $ wird in die hexadezimale Schreibweise umgewandelt.
Lösung:
Abbildung 6.
$ 7467_ (10) = 1D2B_ (16) $
Um einen korrekten Bruch aus dem dezimalen Zahlensystem in einen nicht-dezimalen umzuwandeln, ist es notwendig, den Bruchteil der umzuwandelnden Zahl sequentiell mit der Basis des Systems zu multiplizieren, in das es umgewandelt werden soll. Bruchteile im neuen System werden in Form von ganzen Werkteilen präsentiert, beginnend mit dem ersten.
Zum Beispiel: $ 0.3125 _ ((10)) $ in Oktal wird wie $ 0.24 _ ((8)) $ aussehen.
In diesem Fall können Sie auf ein Problem stoßen, wenn ein unendlicher (periodischer) Bruch in einem nicht dezimalen Zahlensystem einem letzten Dezimalbruch entsprechen kann. In diesem Fall hängt die Anzahl der Stellen des Bruchs im neuen System von der erforderlichen Genauigkeit ab. Es sollte auch beachtet werden, dass in jedem Zahlensystem ganze Zahlen ganz bleiben und reguläre Brüche Brüche bleiben.
Regeln zum Umwandeln von Zahlen von einem binären Zahlensystem in ein anderes
- Um eine Zahl von einem binären Zahlensystem in ein Oktalsystem umzuwandeln, muss sie in Dreiergruppen (Zifferndreier) unterteilt werden, beginnend mit dem niederwertigsten Bit, ggf zu Tabelle 4.
Abbildung 7. Tabelle 4
Beispiel 7
Wandeln Sie die Zahl $ 1001011_2 $ in die oktale Notation um.
Lösung... Konvertieren wir die Zahl anhand von Tabelle 4 von binär in oktal:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Um eine Zahl vom binären Zahlensystem in hexadezimal umzuwandeln, sollte sie in Tetraden (vierstellig) unterteilt werden, beginnend mit dem niederwertigsten Bit, ggf zu Tabelle 4.
