Was ist ein Binärzahlensystem? Wie konvertiere ich eine Dezimalzahl in eine Binärzahl? Übersetzung von Zahlen in verschiedenen Zahlensystemen mit der Lösung

Die Übersetzung von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes ist ein wichtiger Bestandteil der Computerarithmetik. Beachten Sie die Grundregeln der Übersetzung.

1. Um eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss sie in Form eines Polynoms geschrieben werden, das aus Produkten von Ziffern einer Zahl und einer entsprechenden Potenz von 2 besteht, und nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnet werden:

Beim Übersetzen ist es zweckmäßig, die Tabelle der Zweierpotenzen zu verwenden:

Tabelle 4. Grad von 2

Ein Beispiel.

2. Um eine Oktalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss sie in Form eines Polynoms geschrieben werden, das aus dem Produkt der Ziffern der Zahl und der entsprechenden Potenz der Zahl 8 besteht, und nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnet werden:

Beim Übersetzen ist es zweckmäßig, die Tabelle der acht Potenzen zu verwenden:

Tabelle 5. Die Potenzen von 8

Ein Beispiel.Zahl wird in ein Dezimalzahlensystem übersetzt.

3. Um eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss sie in Form eines Polynoms geschrieben werden, das aus den Ziffern einer Zahl und der entsprechenden Potenz von 16 besteht, und nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnet werden:

Beim Übersetzen ist es bequem zu bedienen eine Blitzzahl von 16:

Tabelle 6. Grad von 16

Ein Beispiel.Zahl wird in ein Dezimalzahlensystem übersetzt.

4. Um eine Dezimalzahl in ein Binärsystem umzuwandeln, muss sie nacheinander durch 2 geteilt werden, bis ein Rest kleiner oder gleich 1 übrig bleibt.Die Zahl im Binärsystem wird als Folge des letzten Divisionsergebnisses und der Residuen der Division in umgekehrter Reihenfolge aufgezeichnet.

Ein Beispiel.Zahl wird in ein binäres Zahlensystem umgewandelt.

5. Um eine Dezimalzahl in das Oktalsystem umzuwandeln, muss sie nacheinander durch 8 geteilt werden, bis ein Rest kleiner oder gleich 7 übrig bleibt.

Ein Beispiel.Zahl wird in ein oktales Zahlensystem übersetzt.

6. Um eine Dezimalzahl in ein Hexadezimalsystem umzuwandeln, muss sie nacheinander durch 16 geteilt werden, bis ein Rest kleiner oder gleich 15 übrig bleibt.

Ein Beispiel.Zahl wird in ein hexadezimales Zahlensystem übersetzt.

1. Auftragszählung in verschiedenen Zahlensystemen.

Im modernen Leben verwenden wir Positionsnummernsysteme, dh Systeme, bei denen die mit einer Zahl bezeichnete Zahl von der Position der Zahl im Zahlensatz abhängt. Daher werden wir in Zukunft nur noch über sie sprechen und den Begriff „positionell“ weglassen.

Um zu lernen, wie man Zahlen von einem System in ein anderes übersetzt, lassen Sie uns am Beispiel eines Dezimalsystems verstehen, wie das aufeinanderfolgende Schreiben von Zahlen erfolgt.

Da wir ein Dezimalzahlensystem haben, haben wir 10 Zeichen (Ziffern) zum Konstruieren von Zahlen. Wir beginnen die Ordnungszahl: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Die Zahlen sind vorbei. Wir erhöhen die Ziffernkapazität der Zahl und setzen die niedrige Ordnung zurück: 10. Dann erhöhen wir die niedrige Ordnung erneut, bis alle Ziffern ausgehen: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Erhöhen Sie die hohe Ordnung um 1 und setzen Sie die niedrige Ordnung zurück: 20. Wenn wir alle Ziffern für beide Ziffern verwenden (wir erhalten die Nummer 99), erhöhen wir erneut die Anzahl der Ziffern und setzen die Ziffern zurück: 100. Und so weiter.

Versuchen wir, dasselbe im 2., 3. und 5. System zu tun (wir führen die Notation für das 2. System, für das 3. usw. ein):

Wenn das Zahlensystem eine Basis von mehr als 10 hat, müssen wir zusätzliche Zeichen eingeben, es ist üblich, Buchstaben des lateinischen Alphabets einzugeben. Zum Beispiel benötigen wir für ein 12-Punkt-System zusätzlich zu zehn Zahlen zwei Buchstaben:

2. Übertragen Sie vom Dezimalzahlensystem auf ein beliebiges anderes.

Um eine positive ganzzahlige Dezimalzahl in ein Zahlensystem mit einer anderen Basis zu übersetzen, müssen Sie diese Zahl in eine Basis unterteilen. Der resultierende Quotient wird erneut in eine Basis unterteilt, und zwar so lange, bis der Quotient kleiner als die Basis ist. Schreiben Sie daher in eine Zeile den letzten Quotienten und alle Reste, beginnend mit dem letzten.

Beispiel 1  Wir übersetzen die Dezimalzahl 46 in ein Binärzahlensystem.

Beispiel 2  Wir übersetzen die Dezimalzahl 672 in das Oktalzahlensystem.

Beispiel 3  Wir übersetzen die Dezimalzahl 934 in ein hexadezimales Zahlensystem.

3. Übersetzung von einem beliebigen Zahlensystem in eine Dezimalzahl.

Um zu lernen, wie man Zahlen aus einem anderen System in die Dezimalzahl umsetzt, analysieren wir den Datensatz der Dezimalzahl, die wir gewohnt sind.
  Beispielsweise beträgt die Dezimalzahl 325 5 Einheiten, 2 Zehner und 3 Hunderter, d.h.

In ähnlicher Weise multiplizieren wir in anderen Zahlensystemen nicht mit 10, 100 usw., sondern nur mit den Graden der Basis des Zahlensystems. Nehmen Sie zum Beispiel die Nummer 1201 in der ternären Notation. Nummerieren wir die Ziffern von rechts nach links, beginnend mit Null, und geben wir unsere Zahl als die Summe der Produkte der Zahl pro drei im Entladungsgrad der Zahl an:

Dies ist die Dezimalschreibweise unserer Zahl, d. H.

Beispiel 4  Wir übersetzen die Oktalzahl 511 in das Dezimalzahlensystem.

Beispiel 5  Wir übersetzen das Dezimalzahlensystem in Hexadezimalzahl 1151.

4. Umwandlung von einem binären System in ein System mit einer Zweierpotenz (4, 8, 16 usw.).

Um eine Binärzahl in eine Zahl mit der Basis "Zweierpotenz" umzuwandeln, ist es erforderlich, die Binärfolge entsprechend der Anzahl der Ziffern gleichen Grades von rechts nach links in Gruppen zu unterteilen und jede Gruppe durch die entsprechende Ziffer des neuen Zahlensystems zu ersetzen.

Übersetzen Sie beispielsweise die binäre Zahl 1100001111010110 in das Oktalsystem. Dazu teilen wir es in Gruppen von 3 Zeichen ein, beginnend von rechts (seit), und verwenden dann die Entsprechungstabelle und ersetzen jede Gruppe durch eine neue Nummer:

Die Entsprechungstabelle, die wir zu bauen gelernt haben, ist in S.1.

Dh

Beispiel 6  Wir übersetzen die binäre Zahl 1100001111010110 in das Hexadezimalsystem.

5. Übertragen Sie vom System mit dem Basisgrad „Zwei“ (4, 8, 16 usw.) in das Binärformat.

Diese Übersetzung ist der vorherigen ähnlich und erfolgt in umgekehrter Richtung: Wir ersetzen jede Ziffer durch eine Zifferngruppe im Binärsystem aus der Entsprechungstabelle.

Beispiel 7  Wir übersetzen die hexadezimale Zahl C3A6 in ein binäres Zahlensystem.

Dazu ersetzen wir jede Ziffer der Zahl durch eine Gruppe von 4 Ziffern (seit) aus der Entsprechungstabelle und fügen gegebenenfalls die Gruppe mit Nullen am Anfang hinzu:

Arithmetische Operationen in Positionszahlensystemen werden durch einen einzelnen Algorithmus erzeugt. Die Addition von Binärzahlen erfolgt also nach dem klassischen "kolumnaren" Algorithmus mit der Übertragung eines Vielfachen von zwei zu eins in die nächste Ziffer.

Betrachten Sie diesen Algorithmus am Beispiel zweier Binärzahlen 1010101 2 und 110111 2:

Das Ergebnis der Addition sieht aus wie 10001100 2. Überprüfen Sie das Ergebnis der Addition, für die wir alle Zahlen im Dezimalzahlensystem übersetzen:

1010101 2 =85 10 , 110111 2 =55 10 , 10001100 2 =140 10 , 85 10 +55 10 =140 10 .

Das binäre System, das die Grundlage der Computerarithmetik bildet, ist für den menschlichen Gebrauch sehr umständlich und unpraktisch. Daher verwenden Programmierer zwei Vielfache des Binärzahlensystems: Oktal und Hexadezimal. Im Falle eines Hexadezimalsystems aus arabischen Zahlen reicht das nicht aus, und als Zahlen werden die ersten sechs Großbuchstaben des lateinischen Alphabets verwendet. Beispiele für das Schreiben von natürlichen Zahlen von 1 bis 16 in vier Zahlensystemen finden Sie in Tabelle 2.

Tabelle 2. Beispiele für das Schreiben von natürlichen Zahlen von 1 bis 16

in vier Zahlensystemen

Von der Tabellen 2  Es ist zu erkennen, dass sich im Binärsystem die Aufzeichnung der Zahlen der zweiten Acht (von 8 bis 15) von der Aufzeichnung der ersten Acht (von 0 bis 7) durch das Vorhandensein einer Einheit in der vierten (rechten) Ziffer unterscheidet. Darauf basiert der Algorithmus zur Umwandlung von Binärzahlen in Oktale "nach Triaden". Um diesen Algorithmus zu verwenden, müssen Sie eine Binärzahl in Dreifachziffern aufteilen (von rechts zählen) und anstelle jeder Dreifachzahl eine Oktalzahl schreiben:

10101101 2 → 10 101 101 → 255 8 .

Das am weitesten links stehende Tripel kann unvollständig sein (wie im Beispiel). Um vollständige Tripel zu erhalten, können Sie fehlende Nullen links hinzufügen.

Stellen Sie sicher, dass der Algorithmus korrekt ist:

10101101 2 → 1*2 7 +1*2 5 +1*2 3 +2*2 1 +1*2 0 =173 10 ;

255 8 →2*2 6 +5*2 3 +5*2 0 =173 10 .

Um Zahlen aus dem Oktalsystem in die Binärzahl umzuwandeln, wird der umgekehrte Algorithmus verwendet: Die Oktalziffern werden durch Dreifachziffern ersetzt (bei Bedarf werden die fehlenden Nullen links hinzugefügt):

325 8 → 3 2 5 → 11 010 101 → 11010101 2 .

Um Zahlen aus dem Binärsystem in hexadezimale Zahlen umzuwandeln, wird der Algorithmus "von Tetraden" verwendet. Die Binärziffernfolge ist in vier Ziffern unterteilt, und stattdessen werden hexadezimale Ziffern geschrieben:

10101101 2 → 1010 1101 → AD 16.

Der inverse Algorithmus funktioniert auf die gleiche Weise: Statt hexadezimaler Ziffern werden vierfache Binärziffern eingesetzt.

Vom Oktalsystem zum Hexadezimalsystem und zurück ist es einfacher, durch das Binärsystem zu übersetzen:

D5 16 → D 5 → 1101 0101 → 11010101 2 → 11 010 101 → 325 8.

Wenn Sie Aufgaben zum Hinzufügen von Nummern verschiedener Nummernsysteme ausführen, müssen diese in ein Nummernsystem übertragen werden. Verwenden Sie am besten das System, in dem das Ergebnis präsentiert werden soll.

Aufgabe 14. (Task A6 Demo-Version 2004)

Berechnen Sie den Wert der Summe in Dezimalschreibweise:

10 2 +10 8 +10 16 = ? 10

Die Entscheidung.

Wir übersetzen alle Zahlen in Dezimalschreibweise:

10 2 +10 8 +10 16 = (1*2 1 +0*2 0) + (1*8 1 +0*8 0) + (1*16 1 +0*16 0) = 2+8+16=26 10 .

Die antwort: 26.

Aufgabe 15.

Suchen Sie die Summe von x + y, wenn x = 1110101 2, y = 1011011 2. Senden Sie die Antwort in Oktal.

Die Entscheidung.

Finden Sie die Menge: 1110101 2 + 1011011 2:

1110101 2 + 1011011 2 = 11010000 2

Wir übersetzen die resultierende Zahl aus dem Binärzahlensystem in die Oktalzahl:

11 010 000 → 320 8 .

Die antwort: 320.

Aufgabe 16.  (Aufgabe B1 für die Demoversion 2004)

Im Zahlensystem mit einer Basis wird die Zahl 12 als 110 geschrieben. Finden Sie diese Basis.

Die Entscheidung.

Bezeichne die gewünschte Basis mit n. Basierend auf den Regeln zum Schreiben von Zahlen in Positionsnummern 110 n = n 2 + n 1 + 0. Machen wir die Gleichung: n 2 + n = 12, finden Sie die Wurzeln: n 1 = -4, n 2 = 3. Die Wurzel n 1 = -4 passt nicht, da die Basis des Zahlensystems per Definition eine positive ganze Zahl größer als eins ist. Überprüfen Sie, ob die Wurzel n = 3 geeignet ist:

110 3 =1*3 2 +1*3 1 +0=9+3=12 10

Die antwort: 3.

Aufgabe17 .

In der Klasse 1111 2 Mädchen und 1100 2 Jungen. Wie viele Schüler sind in einer Klasse?

Die Entscheidung.

1111 2 =1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0 →8+4+2+1=15 10 .

1100 2 =1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +0*2 0 →8+4=12 10

15 10 +12 10 =27 10

Die antwort: In der Klasse sind 27 Schüler.

Aufgabe18 .

Es gibt 100 Obstbäume im Garten, 33 davon sind Apfelbäume, 22 sind Birnen, 16 sind Pflaumen und 5 sind Kirschen. In welchem ​​Zahlensystem werden Bäume gezählt?

Die Entscheidung.

100 x = 33 x + 22 x + 16 x + 5 x

1 * x 2 = 3 * x 1 + 3 * x 0 + 2 * x 1 + 2 * x 0 + 1 * x 1 + 6 * x 0 + 5 * x 0

x 2 = 3x + 3 + 2x + 2 + 1x + 6 + 5

D = b 2 -4ac = 36 + 4 * 16 = 36 + 64 = 100

x 1,2 =
= (6 ± 10) / 2

x 1 = - 2 - erfüllt nicht die Bedeutung des Problems,

x 2 = 8 - die Basis des erforderlichen Zahlensystems.

Die antwort: Bäume werden in oktaler Notation gezählt.

Aufgabe19 .

Geben Sie ein Komma in aufsteigender Reihenfolge aller Basen der Zahlensysteme ein, in denen der Satz der Zahl 17 mit 2 endet.

Die Entscheidung.

Die letzte Ziffer in der Zahl ist der Rest der Division der Zahl durch die Basis des Zahlensystems. Da 17-2 = 15 sind die gewünschten Basen der Zahlensysteme Teiler von 15, dies sind: 3, 5, 15.

Lassen Sie uns unsere Antwort überprüfen, indem wir die Nummer 17 in den entsprechenden Zahlensystemen darstellen:

Mit dem binären Zahlensystem begegnen wir beim Studium der Computerdisziplinen. Schließlich werden auf der Basis dieses Systems der Prozessor und einige Arten der Verschlüsselung erstellt. Es gibt spezielle Algorithmen zum Schreiben einer Dezimalzahl im Binärsystem und umgekehrt. Wenn Sie das Prinzip des Aufbaus eines Systems kennen, können Sie es leicht bedienen.

Das Prinzip, ein System aus Nullen und Einsen aufzubauen

Binärzahlensystem gebaut mit zwei zahlen: null und eins. Warum genau diese Zahlen? Dies ist auf das Prinzip des Aufbaus von Signalen zurückzuführen, die beim Betrieb des Prozessors verwendet werden. Auf der niedrigsten Ebene nimmt das Signal nur zwei Werte an: false und true. Daher wurde das Fehlen eines Signals "falsch" mit Null und sein Vorhandensein mit "wahr" mit Eins bezeichnet. Diese Kombination ist technisch einfach zu realisieren. Zahlen im Binärsystem werden auf die gleiche Weise wie in Dezimalzahlen gebildet. Wenn die Entladung ihre Obergrenze erreicht, wird sie auf Null zurückgesetzt und eine neue Entladung hinzugefügt. Nach diesem Prinzip erfolgt der Übergang durch ein Dutzend im Dezimalsystem. Zahlen bestehen also aus Kombinationen von Nullen und Einsen, und diese Kombination wird als "binäres Zahlensystem" bezeichnet.

Wie schreibe ich eine Binärzahl als Dezimalzahl?

Es gibt Online-Dienste, die Zahlen in ein binäres System umwandeln und umgekehrt. Es ist jedoch besser, dies selbst zu tun. Das Binärsystem in Übersetzung wird mit dem Index 2 bezeichnet, zum Beispiel 101 2. Jede Zahl in einem beliebigen System kann als Summe von Zahlen dargestellt werden, zum Beispiel: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 - im Dezimalsystem. Es repräsentiert auch eine Zahl in binärer Form. Nimm eine beliebige Zahl 101 und überlege es dir. Es gibt 3 Stellen, also erweitern wir die Zahl in dieser Reihenfolge: 101 2 = 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 4 + 1 = 5 10, wobei der Index 10 das Dezimalsystem bezeichnet.

Wie schreibe ich eine Primzahl in Binärform?

Es ist sehr einfach, in ein binäres Zahlensystem zu übersetzen, indem die Zahl durch zwei geteilt wird. Es ist notwendig zu teilen, bis es möglich ist, es vollständig zu tun. Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 871. Wir beginnen zu teilen und notieren den Rest:

871: 2 = 435 (Rest 1)

435: 2 = 217 (Rest 1)

217: 2 = 108 (Rest 1)

Die Antwort wird gemäß den erhaltenen Residuen vom Ende bis zum Anfang aufgezeichnet: 871 10 = 101100111 2. Sie können die Richtigkeit der Berechnungen anhand der zuvor beschriebenen Rückübersetzung überprüfen.

Warum muss ich die Übersetzungsregeln kennen?

Binärzahlsysteme werden in den meisten Bereichen der Mikroprozessorelektronik sowie der Codierung, Übertragung und Verschlüsselung von Daten in verschiedenen Bereichen der Programmierung eingesetzt. Kenntnisse über die Grundlagen der Übersetzung von einem System in ein Binärsystem helfen dem Programmierer, verschiedene Chips zu entwickeln und den Betrieb des Prozessors und anderer ähnlicher Systeme programmgesteuert zu steuern. Die Binärnotation ist auch für die Implementierung von Methoden zur Übertragung von Datenpaketen über verschlüsselte Kanäle und zur Erstellung von Client-Server-Softwareprojekten auf deren Basis erforderlich. Die Grundlagen des Übersetzens in ein binäres System und umgekehrt bilden im Informatikkurs die Grundlage für das zukünftige Programmierstudium und die Erstellung der einfachsten Programme.