Lösung von irrationalen Integralen Beispiele. Komplexe Integrale

Wir erinnern uns an die glücklichen Schuljahre. Pioniere in den Lehren der Mathematik, beginnend, die Wurzeln zu studieren, erster Linie mit Quadratwurzel. wir gehen wir einkaufen gleicher Weg.

Beispiel 1.

Finden Sie ein unbestimmte Integral

Analysieren der integrierten Funktion, Sie kommen zur traurigen Ausgabe, dass er die Tabellenintegrale überhaupt nicht erinnert. Wenn das alles im Zähler gut war, wäre es einfach. Oder die Wurzel war nicht an der Unterseite. Oder Polynom. Nein methoden der Integration von Fraktionenauch nicht helfen. Was zu tun ist?

Die Hauptrezeptionslösung von irrationalen Integralen ist ein Ersatz einer Variablen, die uns von allen Wurzeln in der integrierten Funktion speichert.

Beachten Sie, dass dieser Ersatz etwas eigenartig ist, seine technische Implementierung unterscheidet sich von der "klassischen" Methode des Austauschs, die in der Lektion berücksichtigt wird. Ersatzmethode in einem unbestimmten Integral.

IM dieses Beispiel Wir müssen ersetzen x. = t. 2, das ist anstelle von "Iksa" unter der Wurzel, die wir haben werden t. 2 Warum ist der Ersatz nur so? Weil, und als Ergebnis des Ersetzens der Wurzel verschwindet.

Wenn in der Integranden-Funktion statt einer Quadratwurzel, die wir hatten, dann hätten wir ersetzt. Wenn es gäbe, wäre ich so weiter verbracht worden.

Nun, wir werden uns eindringen. Was passiert mit dem Polynom? Keine Schwierigkeiten: Wenn, dann .

Es bleibt zu erfahren, was das Differential abnimmt. Dies geschieht wie folgt:

Wir nehmen unseren Ersatz und inspirieren Sie Unterschiede in beiden Teilen:

(Sprechen Sie so detailliert wie möglich).

Die Dekoration der Lösung sollte so etwas aussehen:

.

Wir werden ersetzen: .

.

(1) Wir führen nach dem Ersatz eine Substitution aus (z. B. was und wo, wo es bereits überprüft wurde).

(2) Wir ertragen die Konstante außerhalb des Integrals. Zähler und Nenner reduzieren sich auf t..

(3) Das resultierende Integral ist tabellarisch, wir bereiten es auf Integration vor, um das Quadrat hervorzuheben.

(4) Wir integrieren mit der Formel auf den Tisch

.

(5) einen Ersatz durchführen. Wie es gemacht wird? Wir erinnern uns, was getanzt wurde: Wenn dann.

Beispiel 2.

Finden Sie ein unbestimmte Integral

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung. Komplette Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Irgendwie ist es passiert, dass in Beispiele 1, 2 "nackt" Zähler mit einem einzigen Differential. Korrigieren Sie die Situation.

Beispiel 3.

Finden Sie ein unbestimmte Integral

Die Voranalyse der Integrandenfunktion zeigt erneut, dass es keinen leichten Pfad gibt. Und deshalb müssen Sie die Wurzel loswerden.

Wir werden ersetzen :.

Pro wir zeigen den gesamten Ausdruck unter der Wurzel an. Ersetzen von früheren Beispielen hier ist nicht geeignet (genauer kann es erfolgen, aber es speichert uns nicht von der Wurzel).

Verwandeln Sie die Differentiale in beiden Teilen:

Der Zähler hat herausgefunden. Was tun mit dem Nenner?

Wir nehmen unseren Ersatz und drücken es davon aus :.

Wenn, dann.

(1) Wir führen eine Substitution in Übereinstimmung mit dem Ersatz durch.

(2) Haar des Zählers. Die Konstante hier entschied ich mich dafür, das integrierte Zeichen nicht zu ertragen (Sie können es tun, es gibt keinen Fehler)

(3) Entriegeln Sie den Zähler in der Menge. Wieder einmal empfehlen wir dringend, mit dem ersten Absatz der Lektion vertraut zu sein Integration einiger Fraktionen. Erzzidrigen sich mit der Zersetzung des Zählers in der Menge an irrationale Integrale Es wird reichlich sein, es ist sehr wichtig, diese Technik auszuarbeiten.

(4) den Zähler an den Nenner liefern.

(5) Verwenden Sie die Eigenschaften der Linearität eines unsicheren Integrals. Im zweiten Integral legen wir das Quadrat auf die anschließende Integration auf den Tisch hervor.

(6) Wir integrieren wir auf den Tisch. Das erste Integral ist völlig einfach, in der zweiten Verwendung verwenden wir die Tabellenformel des hohen Logarithmus .

(7) Wir führen den umgekehrten Ersatz durch. Wenn wir einen Ersatz durchgeführt haben, dann zurück :.

Beispiel 4.

Finden Sie ein unbestimmte Integral

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung, wenn Sie in den vorherigen Beispielen unzureichend bearbeitet haben, dann einen Fehler ermöglichen! Komplette Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Im Prinzip sind auch Integrale mit mehreren gelöst das gleichewurzeln zum Beispiel

Usw. Und was ist, wenn in der integrierten Funktion der Wurzeln anders?

Beispiel 5

Finden Sie ein unbestimmte Integral

Die Abrechnung kam also für nackte Ziffern. Wenn ein solches Integral gefunden wird, wird es normalerweise unheimlich. Aber die Ängste sind vergeblich, nachdem der Integrand nach einem geeigneten Ersatz geleitet wird, vereinfacht. Die Aufgabe ist wie folgt: Um einen guten Ersatz auszugeben, um alle Wurzeln sofort loszuwerden.

Wenn verschiedene Wurzeln gegeben werden, ist es bequem, an einem bestimmten Lösungsschema einzuhalten.

Erstens schreiben wir die ursprüngliche Funktion auf dem Entwurf ab, während alle Wurzeln im Formular präsentieren:

Wir werden interessiert sein denominantengrad:

Die Klasse der irrationalen Funktionen ist breit, daher kann der universelle Weg zur Integration von ihnen nicht sein. In diesem Artikel werden wir versuchen, die charakteristischen Arten von irrationalen Integranten hervorzuheben und sie in Übereinstimmung mit der Integrationsmethode einzusetzen.

Es gibt Fälle, wenn geeignete Verwendung des Verfahrens zum Zusammenfassen eines Differentialzeichens. Wenn zum Beispiel unsichere Integrale der Arten gefunden werden, wo p. - rationaler Fraktion.

Beispiel.

Finden Sie ein unbestimmte Integral .

Entscheidung.

Das ist nicht schwer zu bemerken. Daher summieren wir uns für das Anzeichen des Differentials und verwenden eine Primitive-Tabelle:

Antworten:

.

13. Fraktionale lineare Substitution

Integrale des Typs, in dem A, B, C, D, sind gültige Zahlen, A, B, ..., D, G - natürliche Zahlen, die in die Integrale von einer rationalen Funktion reduziert werden, indem sie an den kleinsten General des Mehrfachs ersetzt werden Nenner von Fraktionen.

In der Tat folgt er von der Substitution, die

i.E. X und DX werden durch rationale Funktionen von t ausgedrückt. In diesem Fall wird jeder Fraktionsgrad durch eine rationale Funktion von t ausgedrückt.

Beispiel 33.4.. Integral finden.

Lösung: Der kleinste General ist die mehreren Nenner der Fraktionen 2/3 und 1/2 sind 6.

Daher nehmen wir x + 2 \u003d t 6, x \u003d t 6 -2, dx \u003d 6t 5 dt, daher, daher

Beispiel 33.5. Geben Sie die Ersetzung an, um die Integrale zu finden:

Lösung: Für i 1 Substitution x \u003d t 2, für i 2 Substitution

14. Trigonometrische Substitution.

Type Integrale werden auf Integrale aus Funktionen angetrieben, die rational abhängig von trigonometrischen Funktionen mit den folgenden trigonometrischen Substitutionen angewiesen sind: x \u003d und SINT für das erste Integral; X \u003d A TGT für das zweite Integral; für das dritte Integral.

Beispiel 33.6. Integral finden.

Lösung: Setzen Sie x \u003d 2 sin t, dx \u003d 2 cos tdt, t \u003d arcsin x / 2. Dann

Hier ist die integrierte Funktion eine rationale Funktion relativ zu X und Markieren Sie ein volles Platz unter dem Radikal und machen Sie eine Substitution, Integrale angegebener Typ. Die Integrale sind bereits dem integrierten Typ, d. H. Zu den Typintegrals, bereitgestellt Diese Integrale können mit den entsprechenden trigonometrischen Substitutionen berechnet werden.

Beispiel 33.7. Integral finden.

Lösung: Da x 2 + 2x-4 \u003d (x + 1) 2 -5, dann x + 1 \u003d t, x \u003d t-1, dx \u003d dt. deshalb Stellen

Hinweis: Type Integral es ist komfortabel, mit der X \u003d 1 / T-Substitution zu finden.

15. Ein spezifisches Integral

Angenommen, die Funktion wird auf das Schneiden eingestellt, das ein Primitiv aufweist. Behinderung bestimmte Integral Funktionen zum Schneiden werden bezeichnet. So,

Der Unterschied ist in das Formular geschrieben, dann . Nizheninat die Grenzen der Integration .

Beispielsweise eines der primitiven Funktionen. deshalb

16 . Wenn c eine konstante Anzahl und Funktion ƒ (x) integrierbar ist, dann

d. H. Der dauerhafte Multiplizierer mit kann aus einem bestimmten integralen Zeichen genommen werden.

▼ Machen Sie einen integrierten Betrag für eine Funktion mit ƒ (x). Wir haben:

Dann folgt er, dass die Funktion ƒ (x) auf [a; b] und Formel (38.1). ▲

2. Wenn die Funktionen 1 (x) und ƒ 2 (x) integrierbar auf [a; b] integrierbar sind, dann in [a; b] ihre Summe u

d. H. Das Integral aus dem Betrag entspricht dem Betrag der Integralen.

▼
▲

Eigenschaft 2 gilt für den Betrag einer begrenzten Anzahl von Bedingungen.

3.

Diese Eigenschaft kann per Definition ergriffen werden. Diese Eigenschaft wird auch von der Newton-Leibnic-Formel bestätigt.

4. Wenn die Funktion ƒ (x) auf [a; b] und a< с < b, то

d. H. Das Integral überall im Segment entspricht dem Betrag der Integrale in Teilen dieses Segments. Diese Eigenschaft wird als Additivität eines bestimmten Integrals (oder der Eigenschaft der Additivität) bezeichnet.

Beim Aufteilen des Segments [a; b] am Teil, um den Punkt mit der Anzahl der Teilungspunkte einzuschalten (dies kann aufgrund der Unabhängigkeit der integrierten Menge auf das Verfahren zum Aufteilen des Segments [a; b] an Das Teil). Wenn c \u003d x m, kann der integrale Betrag in zwei Beträge unterteilt werden:

Jede der schriftlichen Summen ist integral für Segmente [A; b], [a; C] und [c; b]. Wenden Sie sich in der letzten Gleichheit bei n → ∞ (λ → 0), um die Gleichheit (38.3) zu erhalten.

Die Eigenschaft 4 gilt für einen beliebigen Ort der Punkte A, B, C (Wir glauben, dass die Funktion ƒ (x) in die größere der resultierenden Segmente integrierbar ist).

Also zum Beispiel wenn ein< b < с, то

(Eigenschaften 4 und 3 werden verwendet).

5. "Der mittlere Theorem." Wenn die Funktion ƒ (x) auf dem Segment kontinuierlich ist [a; b], dann gibt es ein dünnes mit є [a; b] so dass das

▼ durch Newton-Labealen-Formel

wobei f "(x) \u003d ƒ (x). Auf Anwenden der Differenz f (b) -f (a) des Lagrange-Satzes (theorem auf dem endgültigen Inkrement der Funktion), erhalten wir

F (b) -f (a) \u003d f "(c) (B - A) \u003d ƒ (c) (B - A). ▲

Eigenschaft 5 ("Theorem im Durchschnitt") bei ƒ (x) ≥ 0 hat eine einfache geometrische Bedeutung: Der Wert eines bestimmten Integrals ist gleich, mit einigen mit є (a; b), dem Bereich des Rechtecks \u200b\u200bmit a Höhe ƒ (c) und die Basis B-A (siehe Fig. 170). Nummer

den Durchschnittswert der Funktion ƒ (x) auf dem Segment [A; b].

6. Wenn die Funktion ƒ (x) ein Zeichen auf dem Segment behält [A; b] wo und< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼ Auf dem "Middle Theorem" (Eigenschaft 5)

wo mit є [a; b]. Und seit ƒ (x) ≥ 0 für alle x î [a; b] dann

ƒ (c) ≥0, B - A\u003e 0.

Daher ƒ (c) (B - a) ≥ 0, d. H. ▲

7. Ungleichheit zwischen kontinuierlichen Funktionen auf dem Segment [A; b], (a

▼ Seit ƒ 2 (x) -ƒ 1 (x) ≥0, dann wann< b, согласно свойству 6, имеем

Oder laut der Eigentum 2,

Beachten Sie, dass es unmöglich ist, Ungleichheiten zu differenzieren.

8. Bewertung des Integrals. Wenn M und M jeweils die kleinsten und die größten Werte der Funktion y \u003d ƒ (x) auf dem Segment [a; b], (und< b), то

▼ Seitdem haben wir für jedes X є [A; B], wir haben m ≤ (x) ≤M, dann haben wir laut der Eigenschaft 7

Mit der extremen integrierten Eigenschaft 5 erhalten wir

▲

Wenn ƒ (x) ≥0, dann zeigt die Eigenschaft 8 Xia geometrisch: Die Fläche des krümmungslosen Trapeziums wird zwischen den Bereichen der Rechtecke abgeschlossen, deren Basis ist, und die Höhen sind gleich M und M (siehe Abb. 171).

9. Das Modul eines bestimmten Integrals überschreitet das Integral nicht vom Ersatzfunktionsmodul:

▼ Anwenden von Eigentum 7 auf offensichtliche Ungleichheiten - | ƒ (x) | ≤ƒ (x) ≤ | ƒ (x) |, wir bekommen

Daher folgt das

▲

10. Die Ableitung eines bestimmten Integrals in der variablen oberen Grenze ist gleich der Integrandenfunktion, in der die Integrationsvariable durch diese Grenze ersetzt wird, d. H.

Die Berechnung der Figur der Figur ist eines der einfachen Probleme der Raumtheorie. Im Schullauf der Geometrie haben wir gelernt, den Bereich der wichtigsten geometrischen Figuren zu finden, zum Beispiel ein Kreis, ein Dreieck, Rauten usw. Es kommt jedoch viel häufiger auf die Berechnung der Quadrate komplexerer Figuren. Bei der Lösung solcher Aufgaben müssen Sie auf integrale Berechnung zurückgreifen.

In diesem Artikel werden wir die Aufgabe der Berechnung des Bereichs des CurvilIlinear Trapeziums in Betracht ziehen, und wir werden uns in einem geometrischen Sinne nähern. Dadurch können wir die direkte Verbindung zwischen einem spezifischen Integral und einem Bereich des kurvilenartigen Trapezs herausfinden.

Es gibt keine universelle Methode zur Lösung irrationaler Gleichungen, da ihre Klasse durch Mengen gekennzeichnet ist. Der Artikel wird die charakteristischen Arten von Substitutionsgleichungen unter Verwendung der Integrationsmethode hervorheben.

Um die direkte Integrationsmethode zu verwenden, ist es notwendig, die unbestimmten Integrale des Typs ∫ k x + b p d x zu berechnen, wobei P eine rationale Aufnahme ist, K und B sind gültige Koeffizienten.

Beispiel 1.

Finden und Berechnen der primitiven Funktionen y \u003d 1 3 x - 1 3.

Entscheidung

Gemäß der Regelungsregel ist es erforderlich, die Formel ∫ F (k · x + b) dx \u003d 1 k · f (k · x + b) + c anzuwenden, und das Primärtabelle legt nahe, dass es ein Bereit ist -marke Lösung dieser Funktion. Wir bekommen das

∫ dx 3 x - 1 3 \u003d ∫ (3 x - 1) - 1 3 dx \u003d 1 3 · 1 - 1 3 + 1 · (3 x - 1) - 1 3 + 1 + c \u003d \u003d 1 2 (3 x - 1) 2 3 + c

Antworten: ∫ D x 3 x - 1 3 \u003d 1 2 (3 x - 1) 2 3 + c.

Es gibt Fälle, in denen Sie das Verfahren zum Summieren des Differentialzeichens verwenden können. Dies ist auf dem Prinzip der Festlegung unsicherer Integrale des Formulars ∫ F "(x) · (f (x)) p d x, wenn der Wert P als rationaler Schuss betrachtet wird.

Beispiel 2.

Finden Sie ein unbestimmter Integral ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 D X.

Entscheidung

Beachten Sie, dass D x 3 + 5 x - 7 \u003d x 3 + 5 x - 7 "d x \u003d (3 × 2 + 5) d x \u003d (3 × 2 + 5) d x. Dann ist es notwendig, das Differential mit Tischen des Primitivs zusammenzufassen. Wir bekommen, dass wir erhalten

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 DX \u003d ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 · (3 x 2 + 5) dx \u003d \u003d ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 D (x 3 + 5 x - 7) \u003d x 3 + 5 x - 7 \u003d z \u003d \u003d ∫ Z - 7 6 dz \u003d 1 - 7 6 + 1 Z - 7 6 + 1 + c \u003d - 6 Z - 1 6 + C \u003d Z \u003d x 3 + 5 x - 7 \u003d - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + c

Antworten: ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x \u003d - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + c.

Die Lösung unsicherer Integrale sorgt für die Formel des Formel ∫ d x x 2 + p x + q, wobei p und q gültige Koeffizienten sind. Dann ist es notwendig, ein volles Quadrat von der Wurzel hervorzuheben. Wir bekommen das

x 2 + p x + q \u003d x 2 + p x + p 2 2 - P 2 2 + q \u003d x + p 2 2 + 4 q - P 2 4

Anwenden der Formel, die sich in der Tabelle unsicherer Integrale befindet, erhalten wir:

∫ D X x 2 ± α \u003d LN x + x 2 ± α + c

Dann wird die Berechnung des Integrals erzeugt:

∫ dxx 2 + px + q \u003d ∫ dxx + p 2 2 + 4 q - p 2 4 \u003d ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + c \u003d ln x + p 2 + x 2 + px + q + c

Beispiel 3.

Finden Sie ein unbestimmte Integral des Formulars ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1.

Entscheidung

Um zu berechnen, müssen Sie die Nummer 2 ertragen und vor dem Radikal anordnen:

∫ D x 2 x 2 + 3 x - 1 \u003d ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 \u003d 1 2 ∫ d x x x 2 + 3 2 x - 1 2

Machen Sie die Zuteilung eines kompletten Quadrats im Fütterungsausdruck. Wir bekommen das

x 2 + 3 2 x - 1 2 \u003d x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 \u003d x + 3 4 2 - 17 16

Dann erhalten wir ein unbestimmter Integral des Formulars 1 2 ∫ d xx 2 + 3 2 x - 1 2 \u003d 1 2 ∫ d xx + 3 4 2 - 17 16 \u003d 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + c

Antworten: d x x 2 + 3 x - 1 \u003d 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + c

Die Integration irrationaler Funktionen erfolgt auf dieselbe Weise. Anwendbar für Funktionen des Formulars y \u003d 1 - x 2 + p x + q.

Beispiel 4.

Finden Sie ein unbestimmte Integral ∫ d x - x 2 + 4 x + 5.

Entscheidung

Zuerst müssen Sie das Quadrat des Nenner vom Wurzelausdruck abheben.

∫ dx - x 2 + 4 x + 5 \u003d ∫ dx - x 2 - 4 x - 5 \u003d \u003d ∫ dx - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 \u003d ∫ dx - x - 2 2 - 9 \u003d ∫ dx - (x - 2) 2 + 9

Das Tabellenintegral hat das Formular ∫ DXA 2 - X 2 \u003d ARC SIN XA + C, dann erhalten wir das ∫ dx - x 2 + 4 × + 5 \u003d ∫ dx - (x - 2) 2 + 9 \u003d Bogen sin x - 2 3 + C.

Antworten: ∫ D X - X 2 + 4 x + 5 \u003d A R C SIN X - 2 3 + C.

Das Verfahren zum Finden der primitiven irrationalen Funktionen des Formulars y \u003d m x + nx 2 + px + q, wobei die verfügbaren M, N, P, Q gültige Koeffizienten sind und mit der Integration der einfachen Fraktionen des dritten Ähnlichkeiten aufweisen Art. Diese Transformation hat mehrere Stufen:

summieren des Differentials unter Wurzel, Zuteilung eines kompletten Quadrats des Ausdrucks unter der Wurzel, der Tabellenformeln anwendet.

Beispiel 5

Finden Sie die primitiven Funktionen y \u003d x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Entscheidung

Aus der Bedingung haben wir das d (x 2 - 3 x + 1) \u003d (2 x - 3) dx und x + 2 \u003d 1 2 (2 x - 3) + 7 2, dann (x + 2) dx \u003d 1 2 (2 x - 3) + 7 2 DX \u003d 1 2 D (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 DX.

Berechnen Sie das Integral: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 dx \u003d 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ dxx 2 - 3 x + 1 \u003d 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ dxx - 3 2 2 - 5 4 \u003d 1 2 · 1 - 1 2 + 1 · x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 Ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + c \u003d \u003d x 2 - 3 x + 1 + 7 2 Ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + c

Antworten: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x \u003d x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + c.

Die Suche nach unsicheren Integralen der Funktion ∫ x m (a + b x n) p d x wird unter Verwendung einer Substitutionsmethode durchgeführt.

Um zu lösen, geben Sie neue Variablen ein:

1. Wenn die Zahl P integer ist, wird angenommen, dass x \u003d z n, und n ein gemeinsamer Nenner für m, n ist.
2. Wenn M + 1 N eine ganze Zahl ist, dann ist A + B x N \u003d Z n, und n ein Nenner der Zahl P.
3. Wenn M + 1 N + P eine Ganzzahl ist, ist der Eingang der Variablen A x n + b \u003d z n, und n ist der Nenner der Zahl P.

Beispiel 6.

Finden Sie ein bestimmtes integrales ∫ 1 x 2 x - 9 d x.

Entscheidung

Wir erhalten das ∫ 1 x 2 x - 9 d x \u003d ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x. Daraus folgt, dass m \u003d - 1, n \u003d 1, p \u003d - 1 2, dann m + 1 n \u003d - 1 + 1 1 \u003d 0 eine ganze Zahl ist. Sie können eine neue Variable des Formulars eingeben - 9 + 2 x \u003d Z 2. Es ist notwendig, x bis z. Bei den Ausgängen bekommen wir das

9 + 2 x \u003d z 2 ⇒ x \u003d z 2 + 9 2 ⇒ d x \u003d z 2 + 9 2 "d z \u003d z d z - 9 + 2 x \u003d z

Es ist notwendig, an dem angegebenen Integral eine Substitution zu ersetzen. Wir haben das

∫ D X x 2 x - 9 \u003d ∫ Z D Z Z 2 + 9 2 · Z \u003d 2 ∫ D Z Z 2 + 9 \u003d 2 3 A R C T G Z 3 + C \u003d 2 3 A R c C T G 2 x - 9 3 + c

Antworten: ∫ D x x 2 x - 9 \u003d 2 3 A R c c t G 2 x - 9 3 + c.

Um die Lösung irrationaler Gleichungen zu vereinfachen, werden die wichtigsten Integrationsmethoden angewendet.

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Unter irrational Verstehen Sie den Ausdruck, in dem eine unabhängige Variable %% x %% oder ein Polynom- %% p_n (x) %% des Grads %% n \\ in \\ mathbb (n) %% enthalten ist radikale (von Latein. radix. - Wurzel), d. H. Frühzeitig in einem fraktionalen Grad. Einige irrationale Klassen relativ zu %% x %% der Ersatzausdrücke der Variablen können auf rationale Ausdrücke in Bezug auf die neue Variable reduziert werden.

Das Konzept der rationalen Funktion einer Variablen kann auf mehrere Argumente erweitert werden. Wenn der %% u, v, \\ dotsc, w %%, wenn der Wert der Funktion berechnet wird, werden nur arithmetische Maßnahmen und der Konstruktion des ganzen Grades in der rationalen Funktion dieser Argumente bereitgestellt, die normalerweise von %% bezeichnet wird R (u, v, \\ dotsc, w) %%. Die Argumente einer solchen Funktion selbst können Funktionen von unabhängigen Permaal %% x %% sein, einschließlich Radikalen des Typs %% \\ sqrt [n] (x), n \\ in \\ mathbb (n) %%. Beispielsweise die rationale Funktion $$ R (u, v, w) \u003d \\ frac (u + v ^ 2) (w) $$ bei %% u \u003d x, v \u003d \\ sqrt (x) %% und %% W \u003d \\ \\ sqrt (x ^ 2 + 1) %% ist eine rationale Funktion $$ R \\ Left (X, \\ sqrt (x), \\ sqrt (x ^ 2 + 1) \\ \\ sqrt (x ^ 2 + 1) \\ \\ Sqrt (x ^ 2 + 1) \\ Right) \u003d \\ frac (x + \\ SQRT (x ^ 2)) (\\ sqrt (x ^ 2 + 1)) \u003d f (x) $$ von %% x %% und Reste %% \\ sqrt (x) %% und %% \\ sqrt (x ^ 2 + 1) %%, während die %% f (x) -Funktion %% eine irrationale (algebraische) Funktion einer unabhängigen Variablen %% x %% ist.

Betrachten Sie die Integrale des Formulars %% \\ Int R (x, \\ sqrt [n] (x)) \\ mathrm (d) x %%. Solche Integrale werden durch Ersetzen der Variablen %% t \u003d \\ sqrt [n] (x) %%, dann %% x \u003d t ^ n, \\ mathrm (d) x \u003d nt ^ (n - 1) %% rationalisiert.

Beispiel 1.

Finden Sie %% \\ displaystyle \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x)) %%.

Die integrierte Funktion des gewünschten Arguments wird als Funktion aus Radikalen des Grads %% von 2 %% und %% von 3 %% geschrieben. Da die kleinste Gesamtzahl der mehreren Anzahl %% 2 %% und %% 3 %% %% 6 %% ist, dann ist dieses Integral der integrierte Typ %% \\ Int R (x, \\ sqrt (x)) \\ mathrm (d) x %% und kann durch Ersetzen von %% \\ sqrt (x) \u003d t %% rationalisiert werden. Dann %% x \u003d t ^ 6, \\ mathrm (d) x \u003d 6t \\ mathrm (d) t, \\ sqrt (x) \u003d t ^ 3, \\ sqrt (x) \u003d t ^ 2 %%. Folglich $$ \\ int \\ frac (\\ madhrm (d) x) (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x)) \u003d \\ int \\ frac (6t ^ 5 \\ mathrm (d) t) (t ^ 3 + T ^ 2) \u003d 6 \\ int \\ frac (t ^ 3) (t + 1) \\ mathrm (d) T. $$ erstellen %% t + 1 \u003d z, \\ mathrm (d) t \u003d \\ mathrm (d) z, z \u003d t + 1 \u003d \\ sqrt (x) + 1 %% und $$ \\ beginn (array) (ll ) \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x)) δ \u003d 6 \\ int \\ frac ((z-1) ^ 3) (z) \\ mathrm (d) T \u003d \\\\ & \u003d 6 \\ int z ^ 2 dz -18 \\ int z \\ mathrm (d) z + 18 \\ int \\ mathrm (d) z -6 \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) z) (z ) \u003d \\\\ & \u003d 2z ^ 3 - 9 z ^ 2 + 18z -6 \\ ln | Z | + C \u003d \\\\ \\ \u003d 2 \\ links (\\ sqrt (x) + 1 \\ rechts) ^ 3 - 9 \\ linke (\\ sqrt (x) + 1 \\ rechts) ^ 2 + \\\\ & + ~ 18 \\ links ( \\ Sqrt (x) + 1 \\ rechts) - 6 \\ ln \\ link | \\ sqrt (x) + 1 \\ Right | + C \\ end (array) $$

Die Integrale des Typs %% \\ int R (x, \\ sqrt [n] (x)) \\ mathrm (d) x %% sind ein besonderer Fall von fraktionalen linearen Irrationalitäten, d. H. Integrale des Formulars %% \\ Displaystyle \\ Int R \\ Left (X, \\ SQRT [N] (\\ DFRAc (AX + B) (CD + D)) \\ Rechts) \\ mathrm (d) x %%, wobei %% Ad - BC \\ neq 0 %%, die Rationalisierung ermöglichen, indem die Variable %% t \u003d \\ sqrt [n] (\\ dfrac (AX + B) (cd + d)) %%, dann %% x \u003d \\ DFRAc ( Dt ^ n - b) (a - ct ^ n) %%. Dann $$ \\ mathrm (d) x \u003d \\ frac (n t ^ (n - 1) (ad - bc)) (\\ linke) ^ 2) \\ mathrm (d) T. $$.

Beispiel 2.

Finden Sie %% \\ DisplayStyle \\ Int \\ SQRT (\\ DFRAc (1 -X) (1 + x)) \\ DFRAc (\\ mathrm (d) x) (x + 1) %%.

Erstellen Sie %% t \u003d \\ SQRT (\\ DFRAc (1 -X) (1 + x)) %%, dann %% x \u003d \\ DFRAc (1 - T ^ 2) (1 + T ^ 2) %%, $$ \\ Begin (array) (l) \\ mathrm (d) x \u003d - \\ frac (4t \\ mathrm (d) t) (\\ linke (1 + t ^ 2 \\ rechts) ^ 2), \\\\ 1 + x \u003d \\ Frac (2) (1 + t ^ 2), \\\\ \\ frac (1) (x + 1) \u003d \\ frac (1 + t ^ 2) (2). \\ End (array) $$ Deshalb $$ \\ begin (array) (l) \\ int \\ sqrt (\\ dfrac (1 -x) (1 + x)) \\ frac (\\ mathrm (d) x) (x + 1 ) \u003d \\\\ \u003d \\ frac (t (1 + t ^ 2)) (2) \\ linke (- \\ frac (4t \\ mathrm (d) t) (\\ linke (1 + t ^ 2 \\ rechts) ^ 2) \\ Rechts) \u003d \\\\ \u003d -2 \\ int \\ frac (t ^ 2 \\ mathrm (d) t) (1 + t ^ 2) \u003d \\\\ \u003d -2 \\ int \\ mathrm (d) t + 2 \\ Int \\ Frac (\\ mathrm (d) t) (1 + t ^ 2) \u003d \\\\ \u003d -2t + \\ text (arCTG) ~ t + c \u003d \\\\ \u003d -2 \\ sqrt (\\ dFRAc (1 -x) (1 + x)) + \\ text (arCTG) ~ \\ sqrt (\\ dfrac (1 -x) (1 + x)) + C. \\ end (Array) $$

Betrachten Sie die Integrale des Formulars %% \\ Int R \\ Left (X, \\ SQRT (AX ^ 2 + BX + C) \\ RECHTS) \\ mathrm (d) x %%. In den einfachsten Fällen werden solche Integrale auf tabellarisch reduziert, wenn nach dem Zuteilung eines kompletten Quadrats die Variablen ersetzt werden.

Beispiel 3.

Finden Sie den integralen %% \\ displaystyle \\ int \\ dfrac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x ^ 2 + 4x + 5)) %%.

In Anbetracht dessen, dass %% x ^ 2 + 4x + 5 \u003d (x + 2) ^ 2 + 1 %% ist, nehmen wir %% t \u003d x + 2, \\ mathrm (d) x \u003d \\ mathrm (d) t %% , Dann $$ \\ beginn (array) (ll) \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x ^ 2 + 4x + 5)) & \u003d \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) t ) (\\ Sqrt (t ^ 2 + 1)) \u003d \\\\ \\ \\ ln \\ link | t + \\ sqrt (t ^ 2 + 1) \\ Right | + C \u003d \\\\ \\ \u003d \\ l \\ Links | x + 2 + \\ sqrt (x ^ 2 + 4x + 5) \\ Right | + C. \\ end (array) $$

In komplexeren Fällen, um die Integrale des Typs %% \\ Int R \\ Left (x, \\ sqrt (AX ^ 2 + BX + C) \\ RECHTS) \\ mathrm (d) x %% zu finden

Die irrationale Funktion von der Variablen ist eine Funktion, die aus variablen und beliebigen Konstanten unter Verwendung einer endlichen Anzahl von Additionsvorgängen, Subtraktion, Multiplikation (Erektion in einem ganzzahligen Grad), einer Teilung und zum Extrahieren von Wurzeln gebildet wird. Die irrationale Funktion unterscheidet sich von rational, da die irrationale Funktion Root-Extraktionsvorgänge enthält.

Es gibt drei Haupttypen von irrationalen Funktionen, unsicheren Integralen, aus denen Integrale aus rationalen Funktionen gegeben werden. Dies sind Integrale, die die Wurzeln der beliebigen Ganzzahlgrade aus der fraktionalen linearen Funktion enthalten (Wurzeln können aus verschiedenen Grad sein, sondern von der gleichen, fraktionalen linearen Funktion); Integrale von Differential Binoma und Integralen mit Quadratwurzel von quadratischen Drei-Schüssen.

Wichtige Bemerkung. Wurzeln sind sinnvoll!

Bei der Berechnung der integrierten Integrale, die Wurzeln enthalten, werden häufig die Art des Formulars gefunden, in dem sich einige Funktion aus der Integrationsvariablen befindet. Es sollte berücksichtigt werden, dass. Das ist mit t\u003e 0, | t | \u003d T. . Mit T.< 0, | t | \u003d - t. Wenn Sie also solche Integrale berechnen, müssen Sie daher die Fälle t\u003e in Betracht ziehen 0 und T.< 0 . Dies kann erfolgen, wenn Sie Zeichen schreiben oder wo es notwendig ist. Implizieren, dass das obere Zeichen auf den Fall T\u003e bezieht 0 und der Boden - zum Fall t< 0 . Mit der weiteren Umwandlung werden diese Anzeichen normalerweise gegenseitig reduziert.

Ein zweiter Ansatz ist möglich, bei dem die integrierte Funktion und das Ergebnis der Integration als komplexe Funktionen von komplexen Variablen betrachtet werden können. Dann können Sie Anzeichen in den freistehenden Ausdrücken nicht folgen. Dieser Ansatz ist anwendbar, wenn die integrierte Funktion analytisch ist, dh eine differenzierte Funktion von einer komplexen Variablen. In diesem Fall sind die integrierte Funktion und das Integral davon mehrwertige Funktionen. Nach der Integration ist es nach der Integration, wenn er numerische Werte ersetzt, den einheitlichen Zweig (riemannische Oberfläche) der Integrandenfunktion ausgewählt und den entsprechenden Zweig des Integrationsergebnisses auswählen.

Lineare Irrationalität.

Dies sind die Integrale mit Wurzeln aus derselben fraktionalen linearen Funktion:
,
Wenn R eine rationale Funktion ist - Rationale Zahlen, M 1, N 1, ..., M S, n S sind ganze Zahlen, α, β, γ, δ - gültige Zahlen.
Diese Integrale werden auf das Integral aus der rationalen Funktionsfunktion reduziert:
wobei n ein gemeinsamer Nenner der Zahlen R 1, ..., R s ist.

Wurzeln dürfen nicht unbedingt aus einer fraktionalen linearen Funktion sein, sondern auch von linear (γ \u003d 0, δ \u003d 1) oder von der Integrationsvariablen X (α \u003d 1, β \u003d 0, γ \u003d 0, δ \u003d 1).

Hier sind Beispiele für solche Integrale:
, .

Integrale aus differentiellen Binomen

Integrale aus differenziellen Binomes haben das Formular:
,
Wo M, N, P rationale Zahlen ist, A, B - gültige Zahlen.
Solche Integrale werden in drei Fällen auf Integrale von rationalen Funktionen reduziert.

1) Wenn p eine ganze Zahl ist. Die Substitution X \u003d T N, wobei n der gesamte Nenner der Fraktionen M und N ist.
2) Wenn - das Ganze. Substitution a x n + b \u003d t m, wobei m die Anzahl der Zahlen p ist p.
3) Wenn - ein Ganzes. Substitution A + B x - N \u003d T M, wobei M der Nenner der Zahl P ist.

In anderen Fällen werden solche Integrale nicht durch Elementarfunktionen ausgedrückt.

Manchmal können solche Integrale mit Formeln vereinfacht werden:
;
.

Integrale, die Quadratwurzel von Quadrat drei enthalten

Solche Integrale sind:
,
wobei R eine rationale Funktion ist. Für jedes solche Integral gibt es mehrere Lösungsmethoden.
1) Transformationen verwenden, um zu einfacheren Integralen zu führen.
2) Trigonometrische oder hyperbolische Substitutionen auftragen.
3) Euler-Substitutionen anwenden.

Betrachten Sie diese Methoden detaillierter.

1) Umwandlung der Integrandenfunktion

Bringen Sie mit der Formel und bringen Sie algebraische Transformationen eine Wiedereintragsfunktion an:
,
wobei φ (x), ω (x) rationale Funktionen ist.

Ich tippe

Das Integral des Formulars:
,
wobei p n (x) ein Polynomgrad n ist.

Solche Integrale sind die Methode unsicherer Koeffizienten mit Identität:

.
Differenzieren dieser Gleichung und Gleichung der linken und rechten Teile finden wir die Koeffizienten a i.

Ii-Typ.

Das Integral des Formulars:
,
wobei p m (x) ein Polynomstudium ist m.

Substitution t \u003d. (X - α) -1 Dieses Integral wird an den vorherigen Typ angetrieben. Wenn m ≥ n, sollte der Fraktion dem gesamten Teil zugeteilt werden.

Iii-Typ.

Hier machen wir einen Ersatz:
.
Danach wird das Integral das Formular annehmen:
.
Als nächstes, permanent α, β müssen Sie so wählen, dass in dem Nenner die Koeffizienten bei T auf Null gedreht werden:
B \u003d 0, B 1 \u003d 0.
Dann zerfällt das Integral die Summe der Integrale von zwei Typen:
,
,
die von Substitutionen integriert werden:
u 2 \u003d a 1 t 2 + c 1,
v 2 \u003d A 1 + C 1 T -2.

2) trigonometrische und hyperbolische Substitutionen

Für Integrale des Formulars a > 0 ,
Wir haben drei Hauptsubstitutionen:
;
;
;

Für Integrale, a > 0 ,
Wir haben folgende Substitutionen:
;
;
;

Und schließlich für Integrale, a > 0 ,
Substitutionen sind wie folgt:
;
;
;

3) Euler-Substitutionen

Auch Integrale können auf Integrale von rationalen Funktionen eines der drei Ersetzungen von Euler reduziert werden:
mit einem\u003e 0;
mit c\u003e 0;
wobei x 1 die Wurzel der Gleichung A x 2 + B x + C \u003d 0 ist. Wenn diese Gleichung gültige Wurzeln hat.

Elliptische Integrale

Beachten Sie abschließend die Integrale des Formulars:
,
wobei R eine rationale Funktion ist ,. Solche Integrale werden elliptisch bezeichnet. Im Allgemeinen werden sie nicht durch Elementarfunktionen ausgedrückt. Es gibt jedoch Fälle, in denen die Beziehungen zwischen den Koeffizienten A, B, C, D, E, mit solchen Integralen, durch Elementarfunktionen exprimiert werden.

Nachfolgend ist ein Beispiel mit Return Polynomials verbunden. Die Berechnung solcher Integrale wird unter Verwendung von Substitutionen durchgeführt:
.

Beispiel

Berechnen Sie das Integral:
.

Entscheidung

Eine Substitution machen.

.
Hier bei x\u003e 0 (U\u003e. 0 ) Wir nehmen das Top-Zeichen "+". Mit x.< 0 (U.< 0 ) - Niedriger '-'.

.

Antworten

Verweise:
N.m Gunter, R.O. Kuzmin, Sammlung von Aufgaben auf höherer Mathematik, "LAN", 2003.