Irrationale Integrale. Integrale online lösen.

Unter irrational Verstehen Sie den Ausdruck, in dem eine unabhängige Variable %% x %% oder ein Polynom- %% p_n (x) %% des Grads %% n \\ in \\ mathbb (n) %% enthalten ist radikale (von Latein. radix. - Wurzel), d. H. Frühzeitig in einem fraktionalen Grad. Einige irrationale Klassen relativ zu %% x %% der Ersatzausdrücke der Variablen können auf rationale Ausdrücke in Bezug auf die neue Variable reduziert werden.

Das Konzept der rationalen Funktion einer Variablen kann auf mehrere Argumente erweitert werden. Wenn der %% u, v, \\ dotsc, w %%, wenn der Wert der Funktion berechnet wird, werden nur arithmetische Maßnahmen und der Konstruktion des ganzen Grades in der rationalen Funktion dieser Argumente bereitgestellt, die normalerweise von %% bezeichnet wird R (u, v, \\ dotsc, w) %%. Die Argumente einer solchen Funktion selbst können Funktionen von unabhängigen Permaal %% x %% sein, einschließlich Radikalen des Typs %% \\ sqrt [n] (x), n \\ in \\ mathbb (n) %%. Beispielsweise die rationale Funktion $$ R (u, v, w) \u003d \\ frac (u + v ^ 2) (w) $$ bei %% u \u003d x, v \u003d \\ sqrt (x) %% und %% W \u003d \\ \\ sqrt (x ^ 2 + 1) %% ist eine rationale Funktion $$ R \\ Left (X, \\ sqrt (x), \\ sqrt (x ^ 2 + 1) \\ \\ sqrt (x ^ 2 + 1) \\ \\ Sqrt (x ^ 2 + 1) \\ Right) \u003d \\ frac (x + \\ SQRT (x ^ 2)) (\\ sqrt (x ^ 2 + 1)) \u003d f (x) $$ von %% x %% und Reste %% \\ sqrt (x) %% und %% \\ sqrt (x ^ 2 + 1) %%, während die %% f (x) -Funktion %% eine irrationale (algebraische) Funktion einer unabhängigen Variablen %% x %% ist.

Betrachten Sie die Integrale des Formulars %% \\ Int R (x, \\ sqrt [n] (x)) \\ mathrm (d) x %%. Solche Integrale werden durch Ersetzen der Variablen %% t \u003d \\ sqrt [n] (x) %%, dann %% x \u003d t ^ n, \\ mathrm (d) x \u003d nt ^ (n - 1) %% rationalisiert.

Beispiel 1.

Finden Sie %% \\ displaystyle \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x)) %%.

Die integrierte Funktion des gewünschten Arguments wird als Funktion aus Radikalen des Grads %% von 2 %% und %% von 3 %% geschrieben. Da die kleinste Gesamtzahl der mehreren Anzahl %% 2 %% und %% 3 %% %% 6 %% ist, dann ist dieses Integral der integrierte Typ %% \\ Int R (x, \\ sqrt (x)) \\ mathrm (d) x %% und kann durch Ersetzen von %% \\ sqrt (x) \u003d t %% rationalisiert werden. Dann %% x \u003d t ^ 6, \\ mathrm (d) x \u003d 6t \\ mathrm (d) t, \\ sqrt (x) \u003d t ^ 3, \\ sqrt (x) \u003d t ^ 2 %%. Folglich $$ \\ int \\ frac (\\ madhrm (d) x) (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x)) \u003d \\ int \\ frac (6t ^ 5 \\ mathrm (d) t) (t ^ 3 + T ^ 2) \u003d 6 \\ int \\ frac (t ^ 3) (t + 1) \\ mathrm (d) T. $$ erstellen %% t + 1 \u003d z, \\ mathrm (d) t \u003d \\ mathrm (d) z, z \u003d t + 1 \u003d \\ sqrt (x) + 1 %% und $$ \\ beginn (array) (ll ) \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x)) δ \u003d 6 \\ int \\ frac ((z-1) ^ 3) (z) \\ mathrm (d) T \u003d \\\\ & \u003d 6 \\ int z ^ 2 dz -18 \\ int z \\ mathrm (d) z + 18 \\ int \\ mathrm (d) z -6 \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) z) (z ) \u003d \\\\ & \u003d 2z ^ 3 - 9 z ^ 2 + 18z -6 \\ ln | Z | + C \u003d \\\\ \\ \u003d 2 \\ links (\\ sqrt (x) + 1 \\ rechts) ^ 3 - 9 \\ linke (\\ sqrt (x) + 1 \\ rechts) ^ 2 + \\\\ & + ~ 18 \\ links ( \\ Sqrt (x) + 1 \\ rechts) - 6 \\ ln \\ link | \\ sqrt (x) + 1 \\ Right | + C \\ end (array) $$

Die Integrale des Typs %% \\ int R (x, \\ sqrt [n] (x)) \\ mathrm (d) x %% sind ein besonderer Fall von fraktionalen linearen Irrationalitäten, d. H. Integrale des Formulars %% \\ Displaystyle \\ Int R \\ Left (X, \\ SQRT [N] (\\ DFRAc (AX + B) (CD + D)) \\ Rechts) \\ mathrm (d) x %%, wobei %% Ad - BC \\ neq 0 %%, die Rationalisierung ermöglichen, indem die Variable %% t \u003d \\ sqrt [n] (\\ dfrac (AX + B) (cd + d)) %%, dann %% x \u003d \\ DFRAc ( Dt ^ n - b) (a - ct ^ n) %%. Dann $$ \\ mathrm (d) x \u003d \\ frac (n t ^ (n - 1) (ad - bc)) (\\ linke) ^ 2) \\ mathrm (d) T. $$.

Beispiel 2.

Finden Sie %% \\ DisplayStyle \\ Int \\ SQRT (\\ DFRAc (1 -X) (1 + x)) \\ DFRAc (\\ mathrm (d) x) (x + 1) %%.

Erstellen Sie %% t \u003d \\ SQRT (\\ DFRAc (1 -X) (1 + x)) %%, dann %% x \u003d \\ DFRAc (1 - T ^ 2) (1 + T ^ 2) %%, $$ \\ Begin (array) (l) \\ mathrm (d) x \u003d - \\ frac (4t \\ mathrm (d) t) (\\ linke (1 + t ^ 2 \\ rechts) ^ 2), \\\\ 1 + x \u003d \\ Frac (2) (1 + t ^ 2), \\\\ \\ frac (1) (x + 1) \u003d \\ frac (1 + t ^ 2) (2). \\ End (array) $$ Deshalb $$ \\ begin (array) (l) \\ int \\ sqrt (\\ dfrac (1 -x) (1 + x)) \\ frac (\\ mathrm (d) x) (x + 1 ) \u003d \\\\ \u003d \\ frac (t (1 + t ^ 2)) (2) \\ linke (- \\ frac (4t \\ mathrm (d) t) (\\ linke (1 + t ^ 2 \\ rechts) ^ 2) \\ Rechts) \u003d \\\\ \u003d -2 \\ int \\ frac (t ^ 2 \\ mathrm (d) t) (1 + t ^ 2) \u003d \\\\ \u003d -2 \\ int \\ mathrm (d) t + 2 \\ Int \\ Frac (\\ mathrm (d) t) (1 + t ^ 2) \u003d \\\\ \u003d -2t + \\ text (arCTG) ~ t + c \u003d \\\\ \u003d -2 \\ sqrt (\\ dFRAc (1 -x) (1 + x)) + \\ text (arCTG) ~ \\ sqrt (\\ dfrac (1 -x) (1 + x)) + C. \\ end (Array) $$

Betrachten Sie die Integrale des Formulars %% \\ Int R \\ Left (X, \\ SQRT (AX ^ 2 + BX + C) \\ RECHTS) \\ mathrm (d) x %%. In den einfachsten Fällen werden solche Integrale auf tabellarisch reduziert, wenn nach dem Zuteilung eines kompletten Quadrats die Variablen ersetzt werden.

Beispiel 3.

Finden Sie den integralen %% \\ displaystyle \\ int \\ dfrac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x ^ 2 + 4x + 5)) %%.

In Anbetracht dessen, dass %% x ^ 2 + 4x + 5 \u003d (x + 2) ^ 2 + 1 %% ist, nehmen wir %% t \u003d x + 2, \\ mathrm (d) x \u003d \\ mathrm (d) t %% , Dann $$ \\ beginn (array) (ll) \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x ^ 2 + 4x + 5)) & \u003d \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) t ) (\\ Sqrt (t ^ 2 + 1)) \u003d \\\\ \\ \\ ln \\ link | t + \\ sqrt (t ^ 2 + 1) \\ Right | + C \u003d \\\\ \\ \u003d \\ l \\ Links | x + 2 + \\ sqrt (x ^ 2 + 4x + 5) \\ Right | + C. \\ end (array) $$

In komplexeren Fällen, um die Integrale des Typs %% \\ Int R \\ Left (x, \\ sqrt (AX ^ 2 + BX + C) \\ RECHTS) \\ mathrm (d) x %% zu finden

Die irrationale Funktion von der Variablen ist eine Funktion, die aus variablen und beliebigen Konstanten unter Verwendung einer endlichen Anzahl von Additionsvorgängen, Subtraktion, Multiplikation (Erektion in einem ganzzahligen Grad), einer Teilung und zum Extrahieren von Wurzeln gebildet wird. Die irrationale Funktion unterscheidet sich von rational, da die irrationale Funktion Root-Extraktionsvorgänge enthält.

Es gibt drei Haupttypen von irrationalen Funktionen, unsicheren Integralen, aus denen Integrale aus rationalen Funktionen gegeben werden. Dies sind Integrale, die die Wurzeln der beliebigen Ganzzahlgrade aus der fraktionalen linearen Funktion enthalten (Wurzeln können aus verschiedenen Grad sein, sondern von der gleichen, fraktionalen linearen Funktion); Integrale von Differential Binoma und Integralen mit Quadratwurzel von quadratischen Drei-Schüssen.

Wichtige Bemerkung. Wurzeln sind sinnvoll!

Bei der Berechnung der integrierten Integrale, die Wurzeln enthalten, werden häufig die Art des Formulars gefunden, in dem sich einige Funktion aus der Integrationsvariablen befindet. Es sollte berücksichtigt werden, dass. Das ist mit t\u003e 0, | t | \u003d T. . Mit T.< 0, | t | \u003d - t. Wenn Sie also solche Integrale berechnen, müssen Sie daher die Fälle t\u003e in Betracht ziehen 0 und T.< 0 . Dies kann erfolgen, wenn Sie Zeichen schreiben oder wo es notwendig ist. Implizieren, dass das obere Zeichen auf den Fall T\u003e bezieht 0 und der Boden - zum Fall t< 0 . Mit der weiteren Umwandlung werden diese Anzeichen normalerweise gegenseitig reduziert.

Ein zweiter Ansatz ist möglich, bei dem die integrierte Funktion und das Ergebnis der Integration als komplexe Funktionen von komplexen Variablen betrachtet werden können. Dann können Sie Anzeichen in den freistehenden Ausdrücken nicht folgen. Dieser Ansatz ist anwendbar, wenn die integrierte Funktion analytisch ist, dh eine differenzierte Funktion von einer komplexen Variablen. In diesem Fall sind die integrierte Funktion und das Integral davon mehrwertige Funktionen. Daher nach Integration, wenn Substitution zahlenwerte, Ist es notwendig, den eindeutigen Zweig (riemannische Oberfläche) der Integrandenfunktion hervorzuheben, und den entsprechenden Zweig des Integrationsergebnisses auswählen.

Lineare Irrationalität.

Dies sind die Integrale mit Wurzeln aus derselben fraktionalen linearen Funktion:
,
Wenn R eine rationale Funktion ist - Rationale Zahlen, M 1, N 1, ..., M S, n S sind ganze Zahlen, α, β, γ, δ - gültige Zahlen.
Diese Integrale werden auf das Integral aus der rationalen Funktionsfunktion reduziert:
wobei n ein gemeinsamer Nenner der Zahlen R 1, ..., R s ist.

Wurzeln dürfen nicht unbedingt aus einer fraktionalen linearen Funktion sein, sondern auch von linear (γ \u003d 0, δ \u003d 1) oder von der Integrationsvariablen X (α \u003d 1, β \u003d 0, γ \u003d 0, δ \u003d 1).

Hier sind Beispiele für solche Integrale:
, .

Integrale aus differentiellen Binomen

Integrale aus differenziellen Binomes haben das Formular:
,
Wo M, N, P rationale Zahlen ist, A, B - gültige Zahlen.
Solche Integrale werden in drei Fällen auf Integrale von rationalen Funktionen reduziert.

1) Wenn p eine ganze Zahl ist. Die Substitution X \u003d T N, wobei n der gesamte Nenner der Fraktionen M und N ist.
2) Wenn - ein Ganzes. Substitution a x n + b \u003d t m, wobei m die Anzahl der Zahlen p ist p.
3) Wenn - ein Ganzes. Substitution A + B x - N \u003d T M, wobei M der Nenner der Zahl P ist.

In anderen Fällen werden solche Integrale nicht durchdrückt grundfunktionen.

Manchmal können solche Integrale mit Formeln vereinfacht werden:
;
.

Integrale, die Quadratwurzel von Quadrat drei enthalten

Solche Integrale sind:
,
wobei R eine rationale Funktion ist. Für jedes solche Integral gibt es mehrere Lösungsmethoden.
1) Transformationen verwenden, um zu einfacheren Integralen zu führen.
2) Trigonometrische oder hyperbolische Substitutionen auftragen.
3) Euler-Substitutionen anwenden.

Betrachten Sie diese Methoden detaillierter.

1) Umwandlung der Integrandenfunktion

Bringen Sie mit der Formel und bringen Sie algebraische Transformationen eine Wiedereintragsfunktion an:
,
wobei φ (x), ω (x) rationale Funktionen sind.

Ich tippe

Das Integral des Formulars:
,
wobei p n (x) ein Polynomgrad n ist.

Solche Integrale sind die Methode unsicherer Koeffizienten mit Identität:

.
Differenzieren dieser Gleichung und Gleichung der linken und rechten Teile finden wir die Koeffizienten a i.

Ii-Typ.

Das Integral des Formulars:
,
wobei p m (x) ein Polynomstudium ist m.

Substitution t \u003d. (X - α) -1 Dieses Integral wird an den vorherigen Typ angetrieben. Wenn m ≥ n, sollte der Fraktion dem gesamten Teil zugeteilt werden.

Iii-Typ.

Hier machen wir einen Ersatz:
.
Danach wird das Integral das Formular annehmen:
.
Als nächstes, permanent α, β müssen Sie so wählen, dass in dem Nenner die Koeffizienten bei T auf Null gedreht werden:
B \u003d 0, B 1 \u003d 0.
Dann zerfällt das Integral die Summe der Integrale von zwei Typen:
,
,
die von Substitutionen integriert werden:
u 2 \u003d a 1 t 2 + c 1,
v 2 \u003d A 1 + C 1 T -2.

2) trigonometrische und hyperbolische Substitutionen

Für Integrale des Formulars a > 0 ,
Wir haben drei Hauptsubstitutionen:
;
;
;

Für Integrale, a > 0 ,
Wir haben folgende Substitutionen:
;
;
;

Und schließlich für Integrale, a > 0 ,
Substitutionen sind wie folgt:
;
;
;

3) Euler-Substitutionen

Auch Integrale können auf Integrale von rationalen Funktionen eines der drei Ersetzungen von Euler reduziert werden:
mit einem\u003e 0;
mit c\u003e 0;
wobei x 1 die Wurzel der Gleichung A x 2 + B x + C \u003d 0 ist. Wenn diese Gleichung gültige Wurzeln hat.

Elliptische Integrale

Beachten Sie abschließend die Integrale des Formulars:
,
wobei R eine rationale Funktion ist ,. Solche Integrale werden elliptisch bezeichnet. Im Allgemeinen werden sie nicht durch Elementarfunktionen ausgedrückt. Es gibt jedoch Fälle, in denen die Beziehungen zwischen den Koeffizienten A, B, C, D, E, mit solchen Integralen, durch Elementarfunktionen exprimiert werden.

Nachfolgend ist ein Beispiel mit Return Polynomials verbunden. Die Berechnung solcher Integrale wird unter Verwendung von Substitutionen durchgeführt:
.

Beispiel

Berechnen Sie das Integral:
.

Entscheidung

Eine Substitution machen.

.
Hier bei x\u003e 0 (U\u003e. 0 ) Wir nehmen das Top-Zeichen "+". Mit x.< 0 (U.< 0 ) - Niedriger '-'.

.

Antworten

Verweise:
N.m Gunter, R.O. Kuzmin, Sammlung von Aufgaben höhere Mathematik, "LAN", 2003.

In diesem Absatz wird die Methode zur Integration der rationalen Funktionen in Betracht gezogen. 7.1. Brief Information Bei rationalen Funktionen der einfachsten rationalen Funktion ist ein Polynom-Ti-Grad, d. H. Funktion des Formulars, in dem - gültige Konstanten, mit A0 f 0. das Polynom qn (x), in dem der Koeffizient A0 \u003d 1 als oben genannt wird. Die tatsächliche Zahl B wird als Wurzel des Polynom-Qn (Z), falls q "(b) \u003d 0 genannt Spezies, in denen p, q - die tatsächlichen Koeffizienten und quadratische Multiplizierungen keine echten Wurzeln haben und daher auf gültigen linearen Multiplizierern uneingeordnet sind. Die Kombination derselben Multiplizierer (falls vorhanden) und der Glauben, für die Einfachheit halber, kann das angegebene Polynom qn (x) in Multiplikatoren in der Form, in der - natürliche Zahlen, in Multiplizierer ausgegten werden. Da der Grad der Polynom-Qn (X) gleich n ist, dann ist die Summe aller Indikatoren A, / 3, ... und, gefaltet mit der verdoppelten Summe aller Indikatoren, ..., C, gleich P: Wurzel und das Polynom wird als einfacher oder einmaliges, wenn A \u003d 1 und mehrere, wenn A\u003e 1, bezeichnet wird; Die Nummer A wird als Wurzel des Root A bezeichnet. Gleiches gilt für andere zahlreiche Wurzeln. Die rationale Funktion f (x) oder eine rationale Fraktion wird als Verhältnis von zwei Polynomen bezeichnet, und es wird angenommen, dass die Polynome von RT (X) und QN (X) keine gemeinsamen Faktoren haben. Die rationale Fraktion wird korrekt bezeichnet, wenn der in dem Zähler stehende Grad des Polynoms geringer ist als der in dem Nenner stehende Grad des Polynoms, der in dem Nenner, d. H. Wenn m p, dann wird die rationale Fraktion falsch bezeichnet und in diesem Fall ist es in diesem Fall in diesem Fall auf den Nenner gemäß der Regel der Aufteilung der Polynomiale, in der Form dargestellt, wo - einige Polynome und ^^ der richtige ist Rationaler Schuss. Beispiel 1. Eine rationale Fraktion ist eine falsche Fraktion. Die "Ecke" teilen wir uns deshalb. Hier. Und der richtige Fraktion. Definition. Die einfachsten (oder elementaren) Fraktionen werden rationale Fraktionen der folgenden vier Arten bezeichnet: wobei - gültige Zahlen, k - eine natürliche Zahl, mehr oder gleich 2, und das Quadrat drei halb x2 + rx + q nicht gültig Wurzeln, so dass -2 _2 in Algebra diskriminiert wird, wird der folgende Theorem bewiesen. Satz 3. Die korrekte rationale Fraktion mit gültigen Koeffizienten, deren Nenner, dessen Qn (X) das Formular hat, zersetzt sich der einzige Weg in der Höhe der einfachsten Fraktionen in Bezug auf die Regel der rationalen Funktionen Eulerersubstitution in dieser Zersetzung ist einige gültige Konstanten , von denen einige Null sein können. Um diese Konstanten zu finden, führt das Recht der Gleichheit (I) zu einem gemeinsamen Nenner und untergeht dann Koeffizienten mit den gleichen Abschlüssen X in den Zähler der linken und rechten Teile. Dies ergibt ein System von linearen Gleichungen, aus denen sich die erforderlichen Konstanten befinden. . Diese Methode, unbekannte Konstanten zu finden, wird als Methode unsicherer Koeffizienten bezeichnet. Manchmal ist es bequemer, ein anderes Verfahren zum Finden unbekannter Konstanten anzuwenden, dh der nach dem Ausgleich der Zähler, der Identität relativ zu X erhalten wird, in dem das Argument X einige Werte angibt, beispielsweise die Werte der Wurzeln, was ergibt in Gleichungen zum Finden von Konstanten. Es ist besonders praktisch, wenn der Nenner Q "(X) nur gültige einfache Wurzeln aufweist. Beispiel 2. Geben Sie den einfachsten Fraktion an, den diese Fraktion korrekt ist. Entscheiden Sie den Nenner auf den Talten von ATE: Da die Wurzeln des Nenner gültig sind und unterschiedlich sind, dann auf der Grundlage der Formel (1) die Zersetzung der Fraktion auf dem einfachsten die Art des Antriebs der richtigen Ehre "von Diese Gleichheit gegenüber dem allgemeinen Nenner und dem Ausgleich der Zahlen und ihrer linken und rechten Teile erhalten wir eine Identität oder einen unbekannten Koeffizienten A. 2?, wir werden auf zwei Arten finden. Erster Zauber. Gleichende Koeffizienten mit dem gleichen Grad X, T.V. mit (freiem Mitglied) und den linken und rechten Teilen der Identität bekommen wir lineares System Gleichungen zum Finden unbekannter Koeffizienten A, B, C: Dieses System verfügt über eine einzige Lösung mit dem zweiten Weg. Tech Da die Wurzeln des Nenner in mich 0 zerrissen werden, erhalten wir 2 \u003d 2a, von wo ein * 1; G 1, wir bekommen -1 * -in, von wo 5 * 1; x I 2, wir bekommen 2 \u003d 2c. Von dem, worin C "1 und die gewünschte Zersetzung das Formular 3 hat. Gerechtry nicht der einfachste Fraktion Rational Fraktion 4 zersetzt ein Polynom und die ENAEVTVLA für Multiplikatoren :. Der Nenner verfügt über zwei verschiedene DVS und eine Wurzel: X \\ \u003d 0 Multiplizität der Multiplizität 3. Daher ist die Zersetzung dieser Fraktion nicht das einfachste Aussehen rechter Teil Zum allgemeinen Nenner finden wir oder der erste Weg. Gleichung der Koeffizienten mit den gleichen Abschlüssen x in den linken und rechten Teilen der letzten Identität. Wir erhalten ein lineares System von Gleichungen. Dieses System hat eine einzelne Lösung und die gesuchte Zersetzung wird die zweite Methode sein. In der daraus resultierenden Identität gehen wir von X \u003d 0 an, wir erhalten 1 A A2 oder A2 \u003d 1; Das Feld * gay x \u003d -1, wir bekommen -3 i c) oder bj i -3. Bei Ersetzen der gefundenen Werte der Koeffizienten a \\ und b) und der Identität dauert es die Form oder den Glauben von X \u003d 0 und dann x \u003d -i. Wir finden das \u003d 0, B2 \u003d 0 und. Also, in \\ \u003d 0. Somit erhalten wir wieder ein Beispiel 4. Um sich auf der einfachsten Fraktion zu zersetzen, hat der rationale Fraktion 4 Nenner der Fraktion keine gültigen Wurzeln, da die Funktion x2 + 1 nicht aufufele. Egal welche Werte x. Daher sollte die Zersetzung auf der einfachsten Fraktion einen Look von hier aus haben, wir bekommen oder. Gleichung der Koeffizienten in den verkürzten Grad x in den linken und rechten Teilen der letzten Gleichheit haben wir von dort, wo wir finden, und daher sei darauf hingewiesen, dass in einigen Fällen die Zersetzung auf der einfachsten Fraktion schneller und einfacher erhalten werden kann , auf andere Weise handeln, ohne das Verfahren unsicherer Koeffizienten zu verwenden. Um beispielsweise die Zersetzung von Fraktionen in Beispiel 3 zu erhalten, können Sie den SK2-Zähler hinzufügen und abziehen und eine Division erstellen, da sie unten reduziert wird. 7.2. Die Integration der einfachsten Fraktionen, wie oben erwähnt, kann eine falsche rationale Fraktion als eine Summe einiger polynomialer und ordnungsgemäßer rationaler Fraktion (§7) dargestellt werden, und diese Darstellung ist einzigartig. Die Integration des Polynoms repräsentiert nicht Schwierigkeiten, berücksichtigen Sie also die Frage der Integration der korrekten rationalen Fraktion. Da jeglicher rationaler Fraktion in Form der Summe der einfachsten Fraktionen vorhanden ist, wird seine Integration auf die Integration der einfachsten Fraktionen reduziert. Berücksichtigen Sie jetzt die Frage ihrer Integration. III. Um das Integral aus dem einfachsten Bruchteil des dritten Typs zu finden, markieren wir die quadratischen dreigeriebenen Zweige im Quadrat: Seit dem zweiten Begriff setzen wir ihn dann gleich A2, wo und dann eine Substitution. Dann in Betracht ziehen lineare Eigenschaften Integral, finden wir: Beispiel 5. Integral 4 Finden Sie das Integral 4 Die Integrandenfunktion ist der einfachste Bruchteil des dritten Typs, da das Quadrat drei Hälften X1 + Ah + 6 keine gültigen Wurzeln aufweist (sein Diskriminierant ist negativ: und im Zähler Es ist das erste Grad-Polynom. Daher machen wir es wie folgt: 1) Wir weisen ein volles Platz im Nenner an. 2) Wir ersetzen (hier 3) auf * odim Integral, um das Integral aus dem einfachsten Bruchteil des vierten Teils zu finden Typ, wie oben ,. Dann erhalten wir das Integral in dem richtigen Teil, den wir durch LIVE tun und wie folgt verwandeln: Integral in der rechten Seite integriert in Teilen integriert, glauben von jedem oder integrierenden rationalen Funktionen. Kurzinformationen über rationale Funktionen integrieren in der Integration der einfachsten Fraktionen Von irrationalen Funktionen Die erste Euler-Substitution Die zweite Substitution von Euler ist der dritte Substitutions-Euler, den wir die sogenannte wiederkehrende Formel erhalten haben, mit der Sie das integrale JK für alle K \u003d 2, 3, ... In der Tat ist das Integral J \\ tabellarisch: Das Glauben an die wiederkehrende Formel, wir werden das Wissen und Glauben von L \u003d 3 finden, wir können JJ leicht finden und so weiter. Im Endergebnis ersetzen wir überall anstelle von T und und ihre Ausdrücke durch X- und Koeffizienten p und q, wir erhalten für das anfängliche Integral eine Expression des Aserers X und die angegebenen Zahlen M, LH, P, Q. Beispiel 8. Neji Integral "Integrierte Funktion ist der einfachste Bruchteil des vierten Typs, da die Diskriminante eines Quadrats drei negativ ist, d. H. Dies bedeutet, dass der Nenner echter Wurzeln nicht hat, und der Zähler ist ein Polynom des 1. Grades. 1) Wir weisen den Nenner-Full-Square 2 an) Wir machen eine Substitution: Das Integral ergreift das Formular: Glauben an die wiederkehrende Formel * \u003d 2, A3 \u003d 1. Wir werden haben, und daher wird das gewünschte RVVV-Integral zurückkehrt Variable x, wir erhalten endlich 7.3. Allgemeiner Fall aus PP-Ergebnissen. 1 und 2 dieses Absatzes folgen direkt einem wichtigen Satz. Satz! 4. Ein unbestimmter Integral aus einer rationalen Funktion ist immer (in Abständen, in denen der Denomotor der Fraktion Q "(x) f 0) durch eine endliche Anzahl von Elementarfunktionen exprimiert wird, nämlich eine algebraische Summe, deren Elemente können Seien Sie nur Minonana, rationale Fraktionen, natürliche Logarithmen und Arcthantes. Um ein unbestimmter Integral aus einer fraktionalrationalen Funktion zu finden, sollten Sie den Weg folgen: 1) Wenn der rationale Fraktion falsch ist, zeichnet sich der Divisor des Nenner durch ein ganzteiliges Teil aus, dh diese Funktion ist als ein Summe der Polynom und der richtige rationale Fraktion; 2) Dann zersetzt der Nenner der richtigen Fraktion an dem Produkt von linearen und quadratischen Multiplikatoren; 3) Diese korrekte Fraktion zersetzt sich auf die Summe der einfachsten Fraktionen; 4) Verwenden der Linearität des Integrals und der Formel P. 2, gibt es Integrale von jedem komplizierten separat. Beispiel 7. Finden Sie das Integral M, da der Nenner ein Polynom einer dritten Lenkung ist, dann ist der Integrand der falsche Schuss. Wir weisen den ganzen Teil darin zuordnen: Deshalb werden wir haben. Der Nenner der richtigen Fraktion hat einen unterschiedlichen gültigen Wurzel: Und daher hat seine Zersetzung auf der einfachsten Fraktion einen Look von hier aus wir finden. Das Argument für die Werte, die den Wurzeln des Nenner entsprechen, finden wir von dieser Identität, dass: Daher das gewünschte Integral gleich Beispiel ist 8. Finden Sie das Integral 4 Die Integrandenfunktion ist der richtige Schuss, der Nenner, der Nenner von denen zwei verschiedene gültige Wurzeln aufweist: x - Über Multiplizität 1 und x \u003d 1 Multiplizität 3, so dass die Exploraner der Integrandenfunktion auf die einfachste Fraktion die Form, die die rechte Seite dieser Gleichheit an den allgemeinen Nenner leitet und beides verringert Teil der Gleichheit, um den Nenner zu stecken, erhalten wir oder. Wir setzen die Koeffizienten in den gleichen Abschlüssen X in den linken und rechten Teilen dieser Identität: Wir finden von hier. Ersetzen der gefundenen Werte der Koeffizienten in der Zersetzung, wir werden integrieren, findend sein: Beispiel 9. Finden Sie das Integral 4 Das Denomotor ist nicht gültiger Wurzeln. Daher ist die Zersetzung auf dem einfachsten Bruchteil der integrierten Funktion von hier aus dem Erscheinungsbild von hier oder gleich, wobei die Koeffizienten mit demselben Grad x in den linken und rechten Teilen dieser Identität gleichgesetzt werden, wir werden von dort aus haben, wo wir finden, und daher Anmerkung. In dem obigen Beispiel kann der Integrand als Summe der einfachsten Fraktionen mehr dargestellt werden einfacher Weg , nämlich im Numerator des Knopfes, weisen wir Binsin in Znamentel auf, und produzieren dann die Bodenabteilung: §8. Integration von irrationalen Funktionen Die Funktion der Spezies ist RT und £? "Die Art des Gradtyps bzw. von den Variablen von и" 2, ... wird als razonale Funktion von UBU2J genannt ... zum Beispiel ein zweiter Grad Polynom aus zwei Variablen und \\ und и2 hat eine Ansicht, in der ein echtes dauerhaftes und Beispiel 1 eine rationale Funktion von Variablen G und Y ist, da es das Verhältnis des Polynoms eines dritten Grades und das Polynom des Fünften darstellt Grad und das Hämmern der Tees ist nicht. In dem Fall, in dem die Variablen wiederum die Funktionen einer Variablen W: diese Funktion] sind, wird von den Funktionen des Beispiels als rationale Funktion bezeichnet. Die FEU ist eine rationale Funktion von R- und RVDikvlv-Vorgänger. Funktionen werden nicht immer durch Elementarfunktionen ausgedrückt. Zum Beispiel werden die in den Anwendungen üblichen Integralen nicht durch Elementarfunktionen ausgedrückt; Diese Integrale werden als elliptische Integrale des ersten bzw. des zweiten Gatters bezeichnet. Betrachten Sie die Fälle, in denen die Integration irrationaler Funktionen mit einigen Substitutionen auf die Integration rationaler Funktionen reduziert werden kann. 1. Lassen Sie es erforderlich sein, das Integral zu finden, in dem R (x, y) die rationale Funktion seiner Argumente x und y ist; m £ 2 - eine natürliche Zahl; A, 6, S, D - Gültige Konstanten, die den Zustand ADC ^ O erfüllen (mit der Anzeige \u003d 0 Die Koeffizienten A und B sind proportional zu den Koeffizienten von C und D und tatsächlich, dass es nicht abhängig ist; es bedeutet Dass in diesem Fall die Integrandenfunktion eine rationale Funktion der Variablen X ist, deren Integration bisher in Betracht gezogen wurde). Wir ersetzen einen Ersatz für eine Variable in diesem Integral, setzen Sie sie von hier aus, um die Variable x durch eine neue Variable auszudrücken, die wir mit x \u003d - rationaler Funktion von t haben. Als nächstes finden wir oder nach einer Vereinfachung, wohin L1 (t) eine rationale Funktion von * ist, so dass die rationale Funktion aus der rationalen Funktion sowie das Produkt rationaler Funktionen rationale Funktionen sind. Wir können rationale Funktionen integrieren. Lassen Sie dann das gewünschte Integral gleich sein. Integral 4 integriert * Die Funktion ist eine rationale Funktion aus. Daher nimm es t \u003d dann die Integration rationaler Funktionen. Kurze Informationen über rationale Funktionen integrieren die einfachsten Fraktionen. Allgemeiner Fall Integration irrationaler Funktionen Die erste Euler-Substitution Die zweite Eulerersatz ist der dritte Ersatz von Euler auf diese Weise, wir bekommen ein primäres Ersatz von Euler 5 Finden Sie das Integral, das der Gesamtnetzwerk der fraktionalen Indikatoren von Grad X 12 ist, ist 12, so dass der Integrand als 1 _ 1_ dargestellt werden kann, wenn es klar ist, dass es sich um eine rationale Funktion handelt: Folglich berücksichtigen wir Intefses der Form, in der die Befestigungsfunktion so ist, dass wir durch Austauschen des radikalen ® / AH2 + B) radikal in ihr ersetzen, die Funktion R (x) y) - rational rational relativ zu beiden Argumenten x und y. Dieses Integral wird auf das Integral der rationalen Funktion einer anderen Euler-Substitutionsvariablen reduziert. 8.1. Euler's erster Substitution. Lassen Sie den Koeffizienten A\u003e 0. Wir setzen ihn oder von hier aus, wir finden X als rationale Funktion von und somit wird der angegebene Substitution rational über * geäußert. Deshalb werden wir dort an der Bemerkung haben. Die erste Substitution von Euler kann auch als Beispiel angemessen werden. 6. Integral finden Sie, daher werden wir eine DX-Substitution von Euler haben, zeigen, dass 8.2. Die zweite Substitution von Euler lassen dreiher AH2 + L + C verschiedene gültige Wurzeln I] und X2 (der Koeffizient kann jedes Zeichen haben). In diesem Fall gehen wir davon aus, dass wir als x, dxn y / aH2 + sein + с rational über t exprimiert werden, dann wird das anfängliche Integral auf das Integral der rationalen Funktion reduziert, dh wo ist die Aufgabe. Mit der ersten Substitution von Euler zeigen Sie die - rationale Funktion von t. Beispiel 7. Neji Integral DX M-Funktion] - X1 hat verschiedene gültige Wurzeln. Daher verwenden wir die zweite Substitution von Eileele von hier aus Wir finden den Ersatz der in diesem gefundenen Grundlage in diesem? V * GIVL; Wir bekommen 8.3. Dritter-StylerIler lässt den Koeffizienten c\u003e 0. Wir machen den Austausch der Variablen, Setzen. Beachten Sie, dass das Integral des Integrals aus der rationalen Funktion der ersten und der zweiten Substitution von Euler eingesetzt wird. In der Tat, wenn der diskriminante B2 -4AS\u003e 0, dann die Wurzeln des Quadrats drei Decar AH + B) + mit dem gültigen, und in diesem Fall ist die zweite Substitution von Euler anwendbar. Wenn dann das Zeichen der AH2 + LH + C mit dem Koeffizienten ein Zeichen übereinstimmt, und da es positiv sein sollte, dann ist ein\u003e 0. In diesem Fall ist der erste Eulerersatz anwendbar. Um die Integrale des oben angegebenen Bestimmungen zu finden, ist es nicht immer ratsam, Euler-Substitutionen anzuwenden, sodass sie auch andere Integrationsmethoden finden können, die schneller zum Ziel führen können. Betrachten Sie einige dieser Integrale. 1. Um die Integrale der Spezies zu finden, zeichnet es sich von einem Pannenquadrat aus dem quadratischen Drei-Schlaganfall aus: wo dies danach die Substitution macht, und empfangen, wo die Koeffizienten A und P unterschiedliche Anzeichen haben oder beide positiv sind. Wenn ebenso wie bei A\u003e 0 und das Integral auf den Logarithmus reduziert werden, wenn er zum Arksinus ist. Beim. Finde den IMTEGREL 4 Takakak dann. Glauben, wir bekommen Prmmmar 9. Finden. Ich glaubte, X -, wir werden 2. Das Integral der Arten ist dem Integral aus Absatz 1 wie folgt zur Verfügung gestellt. In Anbetracht dessen, dass das Derivate () "\u003d 2, wir es in dem Zähler zuordnen: 4 Erkennen Sie das Derivat der Fütterungsausdruck im Zähler. Seit (x haben wir das Ergebnis von Beispiel 9, 3. die Integrale des Spezies, in denen R "(x) ein Polynom-Grad ist, kann durch das Verfahren von unbestimmten Koeffizienten gefunden werden, das wie folgt ist. Angenommen, eine Gleichheit ist ein Beispiel 10. MAITH Integral, wo QN-I (S) -MnoRargers (n - 1) -Th-Grad mit unsicheren Koeffizienten: Unbekannte Koeffizienten für die Differenzierung beider Teile (1): dann führt die rechte Seite der Gleichheit (2) zu einem gemeinsamen Nenner, der dem Nenner der linken Seite gleich ist, dh y / AH2 + L + S, Schneiden, zu dem beide Teile (2) in beiden Teilen Identität empfangen, in denen in beiden Teilen das Polynom zu den Grad der Gleichgrade der Gleichspannungskoeffizienten auf den gleichen Grad X in den linken und rechten Teilen (3) aufweisen Erhalten Sie n + 1 der Gleichungen, aus denen wir die gewünschten Koeffizienten J4 * (FC \u003d 0,1,2, ...,) finden. Ersetzen Sie ihre Werte auf die rechte Seite (1) und findet das Integral + mit dem Empfang die Antwort für Dieses Integral. Beispiel 11. Finden Sie ein Integral, um beide Gleichstellungssuiten zu registrieren, wir haben die rechte Seite des allgemeinen Nenners und reduzieren beide Teile darauf, wir erhalten Identität oder. Die Koeffizienten mit den gleichen Abschlüssen x gleichsetzen, werden wir zum System von Gleichungen kommen, von denen wir finden \u003d dann finden Sie das Integral, das im rechten Teil der Gleichheit (4) steht: Daher ist das gewünschte Integral gleich

Definition 1.

Die Kombination aller angegebenen primitiven Funktionen $ y \u003d f (x) $, das auf einem bestimmten Segment definiert ist, wird als unsicheres Integral aus einer bestimmten Funktion $ y \u003d f (x) $ bezeichnet. Das unbestimmte Integral wird durch das Symbol von $ \\ int f (x) dx $ angezeigt.

Kommentar

Definition 2 kann wie folgt geschrieben werden:

\\ [\\ int f (x) dx \u003d f (x) + c. \\]

Nicht aus jeder irrationalen Funktion kann durch ein integrales durch Elementarfunktionen ausgedrückt werden. Die meisten solcher Integrale mit Substitutionen können jedoch in Integrale aus rationalen Funktionen gebracht werden, die durch das Integral durch Elementarfunktionen ausgedrückt werden können.

$ \\ int r \\ links (x, x ^ (m / n), ..., x ^ (r / s) \\ rechts) dx $;

$ \\ Int R \\ Left (X, \\ Links (\\ FRAC (AX + B) (CX + D) \\ RECHTS) ^ (m / n), ..., \\ links (\\ frac (AX + B) (CX + d) \\ rechts) ^ (r / s) \\ rechts) dx $;

$ \\ Int R \\ Left (x, \\ sqrt (AX ^ (2) + BX + C) \\ Right) DX $.

ICH.

Wenn Sie das Integral des Typs $ \\ Int R \\ Left (X, X ^ (m / n), ..., x ^ (r / s) \\ Right) finden, müssen Sie die folgende Substitution ausführen:

Mit dieser Substitution wird jeder fraktionierte Grad der Variablen von $ X $ in einem gängigen Grad an variablen $ T $ ausgedrückt. Infolgedessen wird die Integrandenfunktion aus der Variablen von $ T $ in eine rationale Funktion umgewandelt.

Beispiel 1.

Integration durchführen:

\\ [\\ int \\ frac (x ^ (1/2) dx) (x ^ (3/4) +1). \\]

Entscheidung:

$ k \u003d 4 $ - der Gesamtnetzwerk des Bruchteils von $ \\ frac (1) (2), \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, (3) $.

\\ \\ [\\ beginnend (array) (l) (\\ int \\ frac (x ^ (1/2) dx) (x ^ (3/4) +1) \u003d 4 \\ int \\ frac (t ^ (2)) (T ^ (3) +1) \\ cdot t ^ (3) dt \u003d 4 \\ int \\ frac (t ^ (5)) (t ^ (3) +1) dt \u003d 4 \\ Int \\ Left (t ^ ( 2) - \\ frac (t ^ (2)) (t ^ (3) +1) \\ rechts) dt \u003d 4 \\ int t ^ (2) dt -4 \\ int ^ frac (t ^ (2)) (t ^ (3) +1) dt \u003d \\ frac (4) (3) \\ cdot t ^ (3) -) \\\\ (- \\ frac (4) (3) \\ cdot \\ ln | t ^ (3) +1 | + C) \\ Ende (Array) \\]

\\ [\\ int \\ frac (x ^ (1/2) dx) (x ^ (3/4) +1) \u003d \\ frac (4) (3) \\ cdot \\ link + c \\]

II.

Wenn Sie ein Integral des Typs von $ \\ int r \\ links finden (X, \\ Left (\\ FRAC (AX + B) (CX + D) \\ RECHTS) ^ (m / n), ..., \\ left (\\ FRAC (AX + B) (CX + D) \\ RECHTS) ^ (R / S) \\ RECHTS) DX $ Sie müssen die folgende Substitution ausführen:

wo $ K $ der gesamte Nenner des Bruchteils von $ \\ frac (m) (n), ..., \\ frac (r) ist $ $.

Infolge dieser Substitution wird die Integrandenfunktion aus der Variablen von $ T $ in eine rationale Funktion umgewandelt.

Beispiel 2.

Integration durchführen:

\\ [\\ int \\ frac (\\ sqrt (x + 4)) (x) dx. \\]

Entscheidung:

Lassen Sie uns die folgende Substitution machen:

\\ \\ [\\ Int \\ frac (\\ sqrt (x + 4)) (x) dx \u003d \\ int \\ frac (t ^ (2)) (t ^ (2) -4) dt \u003d 2 \\ Int \\ Left (1 + \\ Frac (4) (t ^ (2) -4) \\ rechts) dt \u003d 2 \\ int dt +8 \\ int \\ frac (dt) (t ^ (2) -4) \u003d 2t + 2 \\ l \\ linke | \\ Frac (t-2) (t + 2) \\ rechts | + c \\]

Nachdem wir einen Ersatz getroffen haben, erhalten wir das Endergebnis:

\\ [\\ int \\ frac (\\ sqrt (x + 4)) (x) dx \u003d 2 \\ sqrt (x + 4) +2 \\ ln \\ link | \\ frac (\\ sq + 4) -2) (\\ SQRT (X + 4) +2) \\ RECHTS | + C. \\]

III.

Wenn das Integral des Typs von $ \\ int r \\ links (x, \\ sqrt (AX ^ (2) + BX + C) \\ RECHTS) DX $ von der sogenannten Euler-Substitution durchgeführt wird (einer von drei möglichen Substitutionen ist benutzt).

Die erste Substitution von Euler

Für den Fall von $ A\u003e

Das $ \\ sqrt (a) $ $ sign "+", wir bekommen

Beispiel 3.

Integration durchführen:

\\ [\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (x ^ (2) + c)). \\]

Entscheidung:

Wir werden die folgende Substitution machen (Fall $ A \u003d 1\u003e 0 $):

\\ [\\ sqrt (x ^ (2) + c) \u003d -x + t, \\, \\, x \u003d \\ frac (t ^ (2) -c) (2t), \\, \\, dx \u003d \\ frac (t ^ (2) + c) (2t ^ (2)) dt, \\, \\, \\ sqrt (x ^ (2) + c) \u003d - \\ frac (t ^ (2) -c) (2t) + t \u003d \\ Frac (t ^ (2) + c) (2t). \\] \\] \\] \\] \\] \\ [\\ Int \\ frac (dx) (\\ sqrt (x ^ (2) + c)) \u003d \\ int \\ frac (\\ frac (t ^ (2) + c) (2t ^ (2)) dt) (\\ frac (t ^ (2) + c) (2t)) \u003d \\ int \\ frac (dt) (t) \u003d \\ ln | t | + c \\]

Nachdem wir einen Ersatz getroffen haben, erhalten wir das Endergebnis:

\\ [\\ int \\ frac (dx) (\\ \\ sqrt (x ^ (2) + c)) \u003d \\ ln | \\ sqrt (x ^ (2) + c) + x | + c. \\]

Die zweite Substitution von Euler

Für den Fall von $ c\u003e 0 $ müssen Sie die folgende Substitution ausführen:

$ \\ Sqrt (c) $ sign "+", wir bekommen

Beispiel 4.

Integration durchführen:

\\ [\\ int \\ frac ((1- \\ sqrt (1 + x + x ^ (2))) ^ (2)) (x ^ (2) \\ sqrt (1 + x + x ^ (2))) dx . \\]

Entscheidung:

Lassen Sie uns die folgende Substitution machen:

\\ [\\ sqrt (1 + x + x ^ (2)) \u003d xt + 1. \\]

\\ \\ [\\ \\ sqrt (1 + x + x ^ (2)) \u003d xt + 1 \u003d \\ frac (t ^ (2) -t + 1) (1-t ^ (2)) \\] \\

$ \\ int \\ frac ((1- \\ sqrt (1 + x + x ^ (2))) ^ (2)) (x ^ (2) \\ sqrt (1 + x + x ^ (2))) dx \u003d \\ int \\ frac ((- 2t ^ (2) + t) ^ (2) (1-t) ^ (2) (1-t ^ (2)) (2t ^ (2) -2t + 2)) ( (1-t ^ (2)) ^ (2) (2t-1) ^ (2) (t ^ (2) -t + 1) (1-t ^ (2)) ^ (2)) dt \u003d \\ Int \\ frac (t ^ (2)) (1-t ^ (2)) dt \u003d -2t + \\ ln \\ link | \\ frac (1 + t) (1-t) \\ RECHTS | + C $ Austausch , Erhalten wir das Endergebnis:

\\ \\ \\ beginnend (array) (l) (\\ int \\ frac ((1- \\ sqrt (1 + x + x ^ (2))) ^ (2)) (x ^ (2) \\ sqrt (1 + x + x ^ (2))) dx \u003d -2 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (1 + x + x ^ (2) -1) (x) + \\ ln \\ link | \\ frac (x + \\ sqrt (1 + x + x ^ (2)) -1) (X- \\ SQRT (1 + x + x ^ (2)) +1) \\ rechts | + c \u003d -2 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (1 + x + x ^ (2)) -1) (x) +) \\\\ (+ \\ ln \\ links | 2x + 2 \\ sqrt (1 + x + x ^ (2)) +1 \\ rechts | + c) \\ ende (Array) \\]

Die dritte Substitution von Euler

Wir erinnern uns an die glücklichen Schuljahre. Pioniere in den Lehren der Mathematik, beginnend, die Wurzeln zu studieren, erster Linie mit Quadratwurzel. wir gehen wir einkaufen gleicher Weg.

Beispiel 1.

Finden Sie ein unbestimmte Integral

Analysieren der integrierten Funktion, Sie kommen zur traurigen Ausgabe, dass er die Tabellenintegrale überhaupt nicht erinnert. Wenn das alles im Zähler gut war, wäre es einfach. Oder die Wurzel war nicht an der Unterseite. Oder Polynom. Nein methoden der Integration von Fraktionenauch nicht helfen. Was zu tun ist?

Die Hauptrezeptionslösung von irrationalen Integralen ist ein Ersatz einer Variablen, die uns von allen Wurzeln in der integrierten Funktion speichert.

Beachten Sie, dass dieser Ersatz etwas eigenartig ist, seine technische Implementierung unterscheidet sich von der "klassischen" Methode des Austauschs, die in der Lektion berücksichtigt wird. Ersatzmethode in einem unbestimmten Integral.

IM dieses Beispiel Wir müssen ersetzen x. = t. 2, das ist anstelle von "Iksa" unter der Wurzel, die wir haben werden t. 2 Warum ist der Ersatz nur so? Weil, und als Ergebnis des Ersetzens der Wurzel verschwindet.

Wenn in der Integranden-Funktion statt einer Quadratwurzel, die wir hatten, dann hätten wir ersetzt. Wenn es gäbe, wäre ich so weiter verbracht worden.

Nun, wir werden uns eindringen. Was passiert mit dem Polynom? Keine Schwierigkeiten: Wenn, dann .

Es bleibt zu erfahren, was das Differential abnimmt. Dies geschieht wie folgt:

Wir nehmen unseren Ersatz und inspirieren Sie Unterschiede in beiden Teilen:

(Sprechen Sie so detailliert wie möglich).

Die Dekoration der Lösung sollte so etwas aussehen:

.

Wir werden ersetzen: .

.

(1) Wir führen nach dem Ersatz eine Substitution aus (z. B. was und wo, wo es bereits überprüft wurde).

(2) Wir ertragen die Konstante außerhalb des Integrals. Zähler und Nenner reduzieren sich auf t..

(3) Das resultierende Integral ist tabellarisch, wir bereiten es auf Integration vor, um das Quadrat hervorzuheben.

(4) Wir integrieren mit der Formel auf den Tisch

.

(5) einen Ersatz durchführen. Wie es gemacht wird? Wir erinnern uns, was getanzt wurde: Wenn dann.

Beispiel 2.

Finden Sie ein unbestimmte Integral

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung. Komplette Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Irgendwie ist es passiert, dass in Beispiele 1, 2 "nackt" Zähler mit einem einzigen Differential. Korrigieren Sie die Situation.

Beispiel 3.

Finden Sie ein unbestimmte Integral

Die Voranalyse der Integrandenfunktion zeigt erneut, dass es keinen leichten Pfad gibt. Und deshalb müssen Sie die Wurzel loswerden.

Wir werden ersetzen :.

Pro wir zeigen den gesamten Ausdruck unter der Wurzel an. Ersetzen von früheren Beispielen hier ist nicht geeignet (genauer kann es erfolgen, aber es speichert uns nicht von der Wurzel).

Verwandeln Sie die Differentiale in beiden Teilen:

Der Zähler hat herausgefunden. Was tun mit dem Nenner?

Wir nehmen unseren Ersatz und drücken es davon aus :.

Wenn, dann.

(1) Wir führen eine Substitution in Übereinstimmung mit dem Ersatz durch.

(2) Haar des Zählers. Die Konstante hier entschied ich mich dafür, das integrierte Zeichen nicht zu ertragen (Sie können es tun, es gibt keinen Fehler)

(3) Entriegeln Sie den Zähler in der Menge. Wieder einmal empfehlen wir dringend, mit dem ersten Absatz der Lektion vertraut zu sein Integration einiger Fraktionen. Erzzidrigen sich mit der Zersetzung des Zählers in der Menge an irrationale Integrale Es wird reichlich sein, es ist sehr wichtig, diese Technik auszuarbeiten.

(4) den Zähler an den Nenner liefern.

(5) Verwenden Sie die Eigenschaften der Linearität eines unsicheren Integrals. Im zweiten Integral legen wir das Quadrat auf die anschließende Integration auf den Tisch hervor.

(6) Wir integrieren wir auf den Tisch. Das erste Integral ist völlig einfach, in der zweiten Verwendung verwenden wir die Tabellenformel des hohen Logarithmus .

(7) Wir führen den umgekehrten Ersatz durch. Wenn wir einen Ersatz durchgeführt haben, dann zurück :.

Beispiel 4.

Finden Sie ein unbestimmte Integral

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung, wenn Sie in den vorherigen Beispielen unzureichend bearbeitet haben, dann einen Fehler ermöglichen! Komplette Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Im Prinzip sind auch Integrale mit mehreren gelöst das gleichewurzeln zum Beispiel

Usw. Und was ist, wenn in der integrierten Funktion der Wurzeln anders?

Beispiel 5

Finden Sie ein unbestimmte Integral

Die Abrechnung kam also für nackte Ziffern. Wenn ein solches Integral gefunden wird, wird es normalerweise unheimlich. Aber die Ängste sind vergeblich, nachdem der Integrand nach einem geeigneten Ersatz geleitet wird, vereinfacht. Die Aufgabe ist wie folgt: Um einen guten Ersatz auszugeben, um alle Wurzeln sofort loszuwerden.

Wenn verschiedene Wurzeln gegeben werden, ist es bequem, an einem bestimmten Lösungsschema einzuhalten.

Erstens schreiben wir die ursprüngliche Funktion auf dem Entwurf ab, während alle Wurzeln im Formular präsentieren:

Wir werden interessiert sein denominantengrad: