Γράφημα γραμμικής συνάρτησης y 3. Γραμμική συνάρτηση και η γραφική παράσταση της. Γραμμικές ιδιότητες συνάρτησης

Μια γραμμική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της μορφής y=kx+b, όπου x είναι ανεξάρτητη μεταβλητή, k και b είναι οποιοιδήποτε αριθμοί.
Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή.

1. Χτίζω γράφημα συνάρτησης, χρειαζόμαστε τις συντεταγμένες δύο σημείων που ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Για να τα βρείτε, πρέπει να πάρετε δύο τιμές x, να τις αντικαταστήσετε στην εξίσωση της συνάρτησης και να υπολογίσετε τις αντίστοιχες τιμές y από αυτές.

Για παράδειγμα, για να σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y= x+2, είναι βολικό να πάρουμε x=0 και x=3, τότε οι τεταγμένες αυτών των σημείων θα είναι ίσες με y=2 και y=3. Παίρνουμε τους βαθμούς Α(0;2) και Β(3;3). Ας τα συνδέσουμε και πάρουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y= x+2:

2. Στον τύπο y=kx+b, ο αριθμός k ονομάζεται συντελεστής αναλογικότητας:
αν k>0, τότε η συνάρτηση y=kx+b αυξάνεται
αν κ
Ο συντελεστής b δείχνει τη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης κατά μήκος του άξονα OY:
αν b>0, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx μετατοπίζοντας b μονάδες προς τα πάνω κατά μήκος του άξονα OY
αν β
Το παρακάτω σχήμα δείχνει τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

Σημειώστε ότι σε όλες αυτές τις συναρτήσεις ο συντελεστής k Πάνω απο το μηδέν,και λειτουργίες είναι αυξανόμενη.Επιπλέον, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του k, τόσο μεγαλύτερη είναι η γωνία κλίσης της ευθείας προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα OX.

Σε όλες τις συναρτήσεις b=3 - και βλέπουμε ότι όλα τα γραφήματα τέμνουν τον άξονα OY στο σημείο (0;3)

Τώρα εξετάστε τα γραφήματα των συναρτήσεων y=-2x+3. y=- ½ x+3; y=-x+3

Αυτή τη φορά, σε όλες τις συναρτήσεις, ο συντελεστής k λιγότερο από το μηδένκαι χαρακτηριστικά μείωση.Ο συντελεστής b=3 και οι γραφικές παραστάσεις, όπως στην προηγούμενη περίπτωση, διασχίζουν τον άξονα OY στο σημείο (0;3)

Θεωρήστε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Τώρα, σε όλες τις εξισώσεις των συναρτήσεων, οι συντελεστές k είναι ίσοι με 2. Και πήραμε τρεις παράλληλες ευθείες.

Αλλά οι συντελεστές b είναι διαφορετικοί και αυτά τα γραφήματα τέμνουν τον άξονα OY σε διαφορετικά σημεία:
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=2x+3 (b=3) διασχίζει τον άξονα OY στο σημείο (0;3)
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=2x (b=0) διασχίζει τον άξονα OY στο σημείο (0;0) - την αρχή.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=2x-3 (b=-3) διασχίζει τον άξονα OY στο σημείο (0;-3)

Άρα, αν γνωρίζουμε τα πρόσημα των συντελεστών k και b, τότε μπορούμε αμέσως να φανταστούμε πώς μοιάζει η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b.
Αν k 0

Αν k>0 και b>0, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b μοιάζει με:

Αν k>0 και β, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b μοιάζει με:

Αν k, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b μοιάζει με:

Αν k=0, τότε η συνάρτηση y=kx+b μετατρέπεται σε συνάρτηση y=b και η γραφική παράσταση της μοιάζει με:

Οι τεταγμένες όλων των σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=b ισούνται με b Αν b=0, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx (ευθεία αναλογικότητα) διέρχεται από την αρχή:

3. Ξεχωριστά σημειώνουμε τη γραφική παράσταση της εξίσωσης x=a.Η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα OY, της οποίας όλα τα σημεία έχουν τετμημένη x=a.

Για παράδειγμα, η γραφική παράσταση της εξίσωσης x=3 μοιάζει με αυτό:
Προσοχή!Η εξίσωση x=a δεν είναι συνάρτηση, επομένως αντιστοιχεί μια τιμή του ορίσματος διαφορετικές έννοιεςσυνάρτηση, η οποία δεν ταιριάζει με τον ορισμό της συνάρτησης.

4. Συνθήκη για παραλληλισμό δύο ευθειών:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=k 1 x+b 1 είναι παράλληλη με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=k 2 x+b 2 αν k 1 =k 2

5. Η προϋπόθεση για δύο ευθείες να είναι κάθετες:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=k 1 x+b 1 είναι κάθετη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=k 2 x+b 2 αν k 1 *k 2 =-1 ή k 1 =-1/k 2

6. Σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=kx+b με τους άξονες συντεταγμένων.

με άξονα ΟΥ. Η τετμημένη κάθε σημείου που ανήκει στον άξονα ΟΥ ισούται με μηδέν. Επομένως, για να βρείτε το σημείο τομής με τον άξονα OY, πρέπει να αντικαταστήσετε το μηδέν αντί του x στην εξίσωση της συνάρτησης. Παίρνουμε y=b. Δηλαδή το σημείο τομής με τον άξονα OY έχει συντεταγμένες (0;b).

Με τον άξονα x: Η τεταγμένη οποιουδήποτε σημείου που ανήκει στον άξονα x είναι μηδέν. Επομένως, για να βρείτε το σημείο τομής με τον άξονα OX, πρέπει να αντικαταστήσετε το μηδέν αντί του y στην εξίσωση της συνάρτησης. Παίρνουμε 0=kx+b. Επομένως x=-b/k. Δηλαδή, το σημείο τομής με τον άξονα OX έχει συντεταγμένες (-b / k; 0):

Γραμμική συνάρτησηονομάζεται συνάρτηση της μορφής y = kx + b, που ορίζεται στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών. Εδώ κ– γωνιακός συντελεστής (πραγματικός αριθμός), σι – δωρεάν μέλος (πραγματικός αριθμός), Χείναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή.

Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, εάν k = 0, παίρνουμε μια σταθερή συνάρτηση y=b, του οποίου η γραφική παράσταση είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα Ox, που διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (0;β).

Αν b = 0, τότε παίρνουμε τη συνάρτηση y=kx, το οποίο είναι σε ευθεία αναλογία.

σι – μήκος τμήματος, που κόβει τη γραμμή κατά μήκος του άξονα Oy, μετρώντας από την αρχή.

Η γεωμετρική σημασία του συντελεστή κ – γωνία κλίσηςευθεία προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ox θεωρείται ότι είναι αριστερόστροφα.

Ιδιότητες γραμμικής συνάρτησης:

1) Το πεδίο ορισμού μιας γραμμικής συνάρτησης είναι ολόκληρος ο πραγματικός άξονας.

2) Αν k ≠ 0, τότε το εύρος της γραμμικής συνάρτησης είναι ολόκληρος ο πραγματικός άξονας. Αν k = 0, τότε το εύρος της γραμμικής συνάρτησης αποτελείται από τον αριθμό σι;

3) Η ομαλότητα και η περιττότητα μιας γραμμικής συνάρτησης εξαρτώνται από τις τιμές των συντελεστών κΚαι σι.

ένα) b ≠ 0, k = 0,Συνεπώς, y = b είναι άρτιος;

σι) b = 0, k ≠ 0,συνεπώς y = kx είναι περιττό.

ντο) b ≠ 0, k ≠ 0,συνεπώς y = kx + b είναι μια γενική συνάρτηση.

ρε) b = 0, k = 0,συνεπώς Το y = 0 είναι και άρτια και περιττή συνάρτηση.

4) Μια γραμμική συνάρτηση δεν έχει την ιδιότητα της περιοδικότητας.

5) Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων:

Βόδι: y = kx + b = 0, x = -b/k, Συνεπώς (-b/k; 0)- σημείο τομής με τον άξονα της τετμημένης.

Oy: y=0k+b=b, Συνεπώς (0;β)είναι το σημείο τομής με τον άξονα y.

Σημείωση.Αν b = 0Και k = 0, μετά η συνάρτηση y=0εξαφανίζεται για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής Χ. Αν b ≠ 0Και k = 0, μετά η συνάρτηση y=bδεν εξαφανίζεται για καμία τιμή της μεταβλητής Χ.

6) Τα διαστήματα σταθερότητας του πρόσημου εξαρτώνται από τον συντελεστή k.

ένα) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b- θετική σε Χαπό (-b/k; +∞),

y = kx + b- αρνητικό στο Χαπό (-∞; -b/k).

σι) κ< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- θετική σε Χαπό (-∞; -b/k),

y = kx + b- αρνητικό στο Χαπό (-b/k; +∞).

ντο) k = 0, b > 0; y = kx + bθετικά σε όλο το πεδίο ορισμού,

k = 0, β< 0; y = kx + b είναι αρνητικό σε όλο το πεδίο ορισμού.

7) Τα διαστήματα μονοτονίας μιας γραμμικής συνάρτησης εξαρτώνται από τον συντελεστή κ.

k > 0, Συνεπώς y = kx + bαυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού,

κ< 0 , Συνεπώς y = kx + bμειώνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.

8) Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης είναι ευθεία γραμμή. Για να τραβήξετε μια ευθεία γραμμή, αρκεί να γνωρίζετε δύο σημεία. Η θέση της ευθείας στο επίπεδο συντεταγμένων εξαρτάται από τις τιμές των συντελεστών κΚαι σι. Ακολουθεί ένας πίνακας που το δείχνει ξεκάθαρα.

Ορισμός γραμμικής συνάρτησης

Ας εισαγάγουμε τον ορισμό μιας γραμμικής συνάρτησης

Ορισμός

Μια συνάρτηση της μορφής $y=kx+b$, όπου η $k$ είναι μη μηδενική, ονομάζεται γραμμική συνάρτηση.

Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή. Ο αριθμός $k$ ονομάζεται κλίση της γραμμής.

Για $b=0$ η γραμμική συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση ευθείας αναλογικότητας $y=kx$.

Εξετάστε το σχήμα 1.

Ρύζι. 1. Η γεωμετρική σημασία της κλίσης της ευθείας

Θεωρήστε το τρίγωνο ABC. Βλέπουμε ότι $BC=kx_0+b$. Βρείτε το σημείο τομής της ευθείας $y=kx+b$ με τον άξονα $Ox$:

\ \

Άρα $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Ας βρούμε την αναλογία αυτών των πλευρών:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Από την άλλη πλευρά, $\frac(BC)(AC)=tg\γωνία A$.

Έτσι, μπορεί να εξαχθεί το εξής συμπέρασμα:

Παραγωγή

Γεωμετρική σημασία του συντελεστή $k$. Η κλίση της ευθείας $k$ είναι ίση με την εφαπτομένη της κλίσης αυτής της ευθείας στον άξονα $Ox$.

Μελέτη της γραμμικής συνάρτησης $f\left(x\right)=kx+b$ και της γραφικής της παράστασης

Αρχικά, θεωρήστε τη συνάρτηση $f\left(x\right)=kx+b$, όπου $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Επομένως, αυτή η συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού. Δεν υπάρχουν ακραία σημεία.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Γράφημα (Εικ. 2).

Ρύζι. 2. Γραφήματα της συνάρτησης $y=kx+b$, για $k > 0$.

Τώρα θεωρήστε τη συνάρτηση $f\left(x\right)=kx$, όπου $k

1. Το πεδίο εφαρμογής είναι όλοι οι αριθμοί.
2. Το πεδίο εφαρμογής είναι όλοι οι αριθμοί.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
4. Για $x=0,f\αριστερά(0\δεξιά)=b$. Για $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ και $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Επομένως, η συνάρτηση δεν έχει σημεία καμπής.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Γράφημα (Εικ. 3).