Κατασκευάστε γραφική παράσταση γραμμικής συνάρτησης y 3. Γραμμική συνάρτηση και η γραφική παράσταση της. Ιδιότητες γραμμικής συνάρτησης

Μια γραμμική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της μορφής y = kx + b, όπου x είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, k και b είναι οποιοιδήποτε αριθμοί.
Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή.

1. Χτίζω γράφημα συνάρτησης, χρειαζόμαστε τις συντεταγμένες δύο σημείων που ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Για να τα βρείτε, πρέπει να πάρετε δύο τιμές του x, να τις αντικαταστήσετε στην εξίσωση της συνάρτησης και από αυτές να υπολογίσετε τις αντίστοιχες τιμές του y.

Για παράδειγμα, για να σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y = x + 2, είναι βολικό να πάρουμε x = 0 και x = 3, τότε οι τεταγμένες αυτών των σημείων θα είναι ίσες με y = 2 και y = 3. Παίρνουμε τους βαθμούς Α (0; 2) και Β (3; 3). Τα συνδέουμε και παίρνουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x + 2:

2. Στον τύπο y = kx + b, ο αριθμός k ονομάζεται συντελεστής αναλογικότητας:
αν k> 0, τότε η συνάρτηση y = kx + b αυξάνεται
αν κ
Ο συντελεστής b δείχνει τη μετατόπιση του γραφήματος της συνάρτησης κατά μήκος του άξονα OY:
αν b> 0, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = kx + b προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = kx μετατοπίζοντας b μονάδες προς τα πάνω κατά μήκος του άξονα OY
αν β
Το παρακάτω σχήμα δείχνει τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = 2x + 3; y = ½ x + 3; y = x + 3

Σημειώστε ότι σε όλες αυτές τις συναρτήσεις ο συντελεστής k Πάνω απο το μηδέν,και λειτουργίες είναι αυξανόμενη.Επιπλέον, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του k, τόσο μεγαλύτερη είναι η γωνία κλίσης της ευθείας προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα OX.

Σε όλες τις συναρτήσεις b = 3 - και βλέπουμε ότι όλα τα γραφήματα τέμνουν τον άξονα OY στο σημείο (0; 3)

Τώρα θεωρήστε τα γραφήματα των συναρτήσεων y = -2x + 3; y = - ½ x + 3; y = -x + 3

Αυτή τη φορά, σε όλες τις συναρτήσεις, ο συντελεστής k λιγότερο από το μηδέν,και λειτουργίες μείωση.Συντελεστής b = 3, και τα γραφήματα, όπως στην προηγούμενη περίπτωση, τέμνουν τον άξονα OY στο σημείο (0; 3)

Θεωρήστε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = 2x + 3; y = 2x; y = 2x-3

Τώρα σε όλες τις εξισώσεις των συναρτήσεων οι συντελεστές k είναι ίσοι με 2. Και πήραμε τρεις παράλληλες ευθείες.

Αλλά οι συντελεστές b είναι διαφορετικοί και αυτά τα γραφήματα τέμνουν τον άξονα OY σε διαφορετικά σημεία:
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x + 3 (b = 3) διασχίζει τον άξονα OY στο σημείο (0; 3)
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x (b = 0) τέμνει τον άξονα OY στο σημείο (0; 0) - την αρχή.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x-3 (b = -3) διασχίζει τον άξονα OY στο σημείο (0; -3)

Άρα, αν γνωρίζουμε τα πρόσημα των συντελεστών k και b, τότε μπορούμε αμέσως να φανταστούμε πώς μοιάζει η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = kx + b.
Αν k 0

Αν k> 0 και β> 0, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = kx + b έχει τη μορφή:

Αν k> 0 και β, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = kx + b έχει τη μορφή:

Αν k, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = kx + b έχει τη μορφή:

Αν k = 0, τότε η συνάρτηση y = kx + b μετατρέπεται στη συνάρτηση y = b και η γραφική παράσταση της μοιάζει με:

Οι τεταγμένες όλων των σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = b ισούνται με b Αν b = 0, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = kx (ευθεία αναλογικότητα) διέρχεται από την αρχή:

3. Ξεχωριστά, σημειώνουμε τη γραφική παράσταση της εξίσωσης x = a.Η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα OY, της οποίας όλα τα σημεία έχουν τετμημένη x = a.

Για παράδειγμα, η γραφική παράσταση της εξίσωσης x = 3 μοιάζει με αυτό:
Προσοχή!Η εξίσωση x = a δεν είναι συνάρτηση, επομένως αντιστοιχεί μία τιμή του ορίσματος διαφορετικές έννοιεςσυνάρτηση που δεν ταιριάζει με τον ορισμό της συνάρτησης.

4. Η προϋπόθεση για τον παραλληλισμό δύο ευθειών:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = k 1 x + b 1 είναι παράλληλη με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = k 2 x + b 2, αν k 1 = k 2

5. Η προϋπόθεση για την καθετότητα δύο ευθειών:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = k 1 x + b 1 είναι κάθετη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = k 2 x + b 2 αν k 1 * k 2 = -1 ή k 1 = -1 / k 2

6. Σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = kx + b με τους άξονες συντεταγμένων.

Με τον άξονα ΟΥ. Η τετμημένη κάθε σημείου που ανήκει στον άξονα ΟΥ είναι μηδέν. Επομένως, για να βρείτε το σημείο τομής με τον άξονα OY, πρέπει να αντικαταστήσετε το μηδέν στην εξίσωση της συνάρτησης αντί για το x. Παίρνουμε y = b. Δηλαδή, το σημείο τομής με τον άξονα OY έχει συντεταγμένες (0; b).

Με άξονα ΟΧ: Η τεταγμένη οποιουδήποτε σημείου που ανήκει στον άξονα ΟΧ είναι μηδέν. Επομένως, για να βρείτε το σημείο τομής με τον άξονα OX, πρέπει να αντικαταστήσετε το μηδέν στην εξίσωση της συνάρτησης αντί για το y. Παίρνουμε 0 = kx + b. Ως εκ τούτου x = -b / k. Δηλαδή, το σημείο τομής με τον άξονα OX έχει συντεταγμένες (-b / k; 0):

Ορισμός γραμμικής συνάρτησης

Ας εισαγάγουμε τον ορισμό μιας γραμμικής συνάρτησης

Ορισμός

Μια συνάρτηση της μορφής $ y = kx + b $, όπου η $ k $ είναι μη μηδενική, ονομάζεται γραμμική συνάρτηση.

Γράφημα γραμμικής συνάρτησης - ευθεία γραμμή. Ο αριθμός $ k $ ονομάζεται κλίση της γραμμής.

Για $ b = 0 $, η γραμμική συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση ευθείας αναλογικότητας $ y = kx $.

Εξετάστε το σχήμα 1.

Ρύζι. 1. Η γεωμετρική έννοια της κλίσης μιας ευθείας γραμμής

Θεωρήστε ένα τρίγωνο ABC. Βλέπουμε ότι $ ВС = kx_0 + b $. Βρείτε το σημείο τομής της ευθείας $ y = kx + b $ με τον άξονα $ Ox $:

\ \

Επομένως $ AC = x_0 + \ frac (b) (k) $. Ας βρούμε την αναλογία αυτών των κομμάτων:

\ [\ frac (BC) (AC) = \ frac (kx_0 + b) (x_0 + \ frac (b) (k)) = \ frac (kx_0 + b)) ((kx) _0 + b) = k \]

Από την άλλη πλευρά, $ \ frac (BC) (AC) = tg \ γωνία A $.

Έτσι, μπορεί να εξαχθεί το εξής συμπέρασμα:

συμπέρασμα

Γεωμετρική σημασία του συντελεστή $ k $. Η κλίση της ευθείας $ k $ είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης αυτής της ευθείας στον άξονα $ Ox $.

Διερεύνηση της γραμμικής συνάρτησης $ f \ αριστερά (x \ δεξιά) = kx + b $ και η γραφική παράσταση της

Αρχικά, θεωρήστε τη συνάρτηση $ f \ αριστερά (x \ δεξιά) = kx + b $, όπου $ k> 0 $.

1. $ f "\ αριστερά (x \ δεξιά) = (\ αριστερά (kx + b \ δεξιά))" = k> 0 $. Κατά συνέπεια, αυτή η συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού. Δεν υπάρχουν ακραία σημεία.
2. $ (\ mathop (lim) _ (x \ έως - \ infty) kx \) = - \ infty $, $ (\ mathop (lim) _ (x \ έως + \ infty) kx \) = + \ infty $
3. Γράφημα (Εικ. 2).

Ρύζι. 2. Γραφήματα της συνάρτησης $ y = kx + b $, για $ k> 0 $.

Τώρα θεωρήστε τη συνάρτηση $ f \ αριστερά (x \ δεξιά) = kx $, όπου $ k

1. Το πεδίο εφαρμογής είναι όλοι οι αριθμοί.
2. Το εύρος είναι όλα τα νούμερα.
3. $ f \ αριστερά (-x \ δεξιά) = - kx + b $. Η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
4. Για $ x = 0, f \ αριστερά (0 \ δεξιά) = b $. Για $ y = 0,0 = kx + b, \ x = - \ frac (b) (k) $.

Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: $ \ αριστερά (- \ frac (b) (k), 0 \ δεξιά) $ και $ \ αριστερά (0, \ b \ δεξιά) $

1. $ f "\ αριστερά (x \ δεξιά) = (\ αριστερά (kx \ δεξιά))" = k
2. $ f ^ ("") \ αριστερά (x \ δεξιά) = k "= 0 $. Επομένως, η συνάρτηση δεν έχει σημεία καμπής.
3. $ (\ mathop (lim) _ (x \ έως - \ infty) kx \) = + \ infty $, $ (\ mathop (lim) _ (x \ έως + \ infty) kx \) = - \ infty $
4. Γράφημα (Εικ. 3).

Γραμμική συνάρτησηονομάζεται συνάρτηση της μορφής y = kx + bδίνεται στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών. Εδώ κ- κλίση (πραγματικός αριθμός), σι – ελεύθερος όρος (πραγματικός αριθμός), ΧΕίναι η ανεξάρτητη μεταβλητή.

Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, εάν k = 0, παίρνουμε μια σταθερή συνάρτηση y = β, η γραφική παράσταση της οποίας είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα Ox που διέρχεται από ένα σημείο με συντεταγμένες (0; β).

Αν b = 0, τότε παίρνουμε τη συνάρτηση y = kx, το οποίο είναι ευθεία αναλογικότητα.

σι – μήκος τμήματος, το οποίο αποκόπτεται από τη γραμμή κατά μήκος του άξονα Oy, μετρώντας από την αρχή.

Η γεωμετρική σημασία του συντελεστή κ – γωνία κλίσηςμια ευθεία προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ox, μετράται αριστερόστροφα.

Ιδιότητες γραμμικής συνάρτησης:

1) Το πεδίο ορισμού μιας γραμμικής συνάρτησης είναι ολόκληρος ο πραγματικός άξονας.

2) Αν k ≠ 0, τότε το εύρος τιμών της γραμμικής συνάρτησης είναι ολόκληρος ο πραγματικός άξονας. Αν k = 0, τότε το εύρος τιμών της γραμμικής συνάρτησης αποτελείται από τον αριθμό σι;

3) Η ομαλότητα και η περιττότητα μιας γραμμικής συνάρτησης εξαρτώνται από τις τιμές των συντελεστών κκαι σι.

ένα) b ≠ 0, k = 0,ως εκ τούτου, y = b - άρτιο;

σι) b = 0, k ≠ 0,ως εκ τούτου y = kx - περιττό;

ντο) b ≠ 0, k ≠ 0,ως εκ τούτου y = kx + b είναι μια γενική συνάρτηση.

ρε) b = 0, k = 0,ως εκ τούτου y = 0 - και άρτια και περιττή συνάρτηση.

4) Η γραμμική συνάρτηση δεν διαθέτει την ιδιότητα περιοδικότητας.

5) Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων:

Βόδι: y = kx + b = 0, x = -b / k, ως εκ τούτου (-b / k; 0)- το σημείο τομής με τον άξονα της τετμημένης.

Oy: y = 0k + b = b, ως εκ τούτου (0; β)- το σημείο τομής με τον άξονα τεταγμένων.

Σημείωση: Αν b = 0και k = 0, μετά η συνάρτηση y = 0εξαφανίζεται για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής Χ... Αν b ≠ 0και k = 0, μετά η συνάρτηση y = βδεν εξαφανίζεται για καμία τιμή της μεταβλητής Χ.

6) Τα διαστήματα σταθερού πρόσημου εξαρτώνται από τον συντελεστή k.

ένα) k> 0; kx + b> 0, kx> -b, x> -b / k.

y = kx + b- είναι θετικό στο Χαπό (-b / k; + ∞),

y = kx + b- είναι αρνητικό στο Χαπό (-∞; -b / k).

σι) κ< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- είναι θετικό στο Χαπό (-∞; -b / k),

y = kx + b- είναι αρνητικό στο Χαπό (-b / k; + ∞).

ντο) k = 0, b> 0; y = kx + bείναι θετική σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού,

k = 0, β< 0; y = kx + b είναι αρνητικό σε ολόκληρο τον τομέα.

7) Τα διαστήματα μονοτονίας της γραμμικής συνάρτησης εξαρτώνται από τον συντελεστή κ.

k> 0, ως εκ τούτου y = kx + bαυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού,

κ< 0 , ως εκ τούτου y = kx + bμειώνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.

8) Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης είναι ευθεία γραμμή. Για να φτιάξετε μια ευθεία γραμμή, αρκεί να γνωρίζετε δύο σημεία. Η θέση της ευθείας στο επίπεδο συντεταγμένων εξαρτάται από τις τιμές των συντελεστών κκαι σι... Ακολουθεί ένας πίνακας που το δείχνει ξεκάθαρα.