学生のための派生物と主要な派生物の表。印刷

学校コース代数は、統合と差別化を含みます。この材料を探索する必要があります デリバティブと積分のテーブル。それらの使い方を理解するために、あなたは主な言葉を決定する必要があります。

派生物 f（x） - グラフの任意の時点でのプリミティブ関数f（x）の変化の妥当性の特性。これは、関数の増分とその引数の最大比率を表します。関数が任意の時点で有限派生物を持っている場合、それは区別されます。派生物の計算は区別です。

積分 ✓グラフの特定の部分のサイズを表す引用派の派生値です。統合プロセスは、プリミティブ関数の発見です。

同じ関数はいくつかのプリミティブを持つことができます。たとえば、x ^ 2です。そのための主な一次はX ^ 3/3です。 x ^ 3/3 + 1。最後の桁文字Cと式は次のようになります。

Cが任意の値を有する場合、具体的に定義されている場合、積分は不確実である。

テーブル派生機能と テーブルの積分 彼らはすばやくそして正確に複雑な数学的タスクに対処するのを助けます。彼らは、最も適用されている価値観、生徒が暗記する必要がないと感謝しますたくさんの式

派生機能の表

必要な材料が常に手にあるように、あなたはテーブル式をダウンロードすることができます . メインを計算するための式が含まれていますエレメンタリー機能:

三角符号
対数
パワー;
指数関数

また、特別なものがあります 複雑な関数の誘導体の表。それはまた関数、それらの合計、そしてプライベートの製品のための式も含まれています。

不確実性と特定の積分の表

統合のために迅速かつ正しくタスクを実行するには、 積分テーブルをダウンロードしてください最も適用されているすべての式が収集されます。それらは2つの列で構成されています。最初に数式が含まれています。

テーブルが含まれています 基本積分以下の機能

合理的な;
指数関数
対数
不合理な;
三角符号
双曲線

さらに、不確実な積分の表をダウンロードすることができます。

積分とデリバティブのテーブルを持つチートシート

多くの教師は、学生が心臓で複雑な処方を記憶することを要求しています。記憶する最も簡単な方法は恒久的な慣習であり、必要な材料が手にあることで、あなたは彼らのプリントアウトをする必要があります。

テーブルデリバティブのチートシート そして積分はあなたが必要な式をすばやく覚えておくのを助け、試験に成功しました。コンパクトで使用するのに便利なので、通常のシートの半分を選択する必要があります。

このページでは、見つけることができます：

1.実際には、プリミティブのテーブル - それはダウンロードできます pDFフォーマットそして印刷する。

2.このテーブルの使用方法に専念したビデオ。

3.さまざまな教科書と制御作業からプライマリを計算する例の束。

ビデオ自体では、最初の機能を数える必要があるタスクが多数分析されますが、非常に複雑ですが、主なものは程度ではありません。上記の表に登録されているすべての機能は、派生物のように、心臓で知られている必要があります。それらがなければ、実用的な仕事を解決するために積分とそれらのアプリケーションをさらに研究することは不可能である。

今日私たちはプリミティブに従事し続け、もう少し難しいトピックに行きます。最後に、電力関数とやや複雑なデザインのみから最初の形を見た場合、今日は三角法を分析します。

最後の職業で話したように、デリバティブとは異なり、標準的な規則のある「ストロイ」によって決して解決されることはありません。また、悪いニュースは、導関数とは異なり、一次が考慮されていない可能性があるということです。完全にランダムな機能を書いて派生物を見つけようとすると、それは私たちの非常に高い可能性が高いですが、この場合はほとんど起こりませんでした。しかし、優れたニュースもあります：小学校と呼ばれるかなり広範囲の関数のクラスの関数があり、それから非常によく知られているのはとても簡単です。そして、実際には、あらゆる種類の管理、独立した試験で与えられている他のすべての複雑な設計は、追加、減算、およびその他の簡単な行動によってこれらの基本関数から構成されています。最初の機能は長い間カウントされ、特別な表に縮小されています。それは私たちが今日働くような機能と表と共にあります。

しかし、いつものように、繰り返しで始めましょう。主なものは何ですか、なぜ彼らの無限に多く、そして彼らの一般的な外観を決定するかはなぜですか。このために、私は2つの簡単なタスクを拾いました。

光学の溶液

例1の例1。

$ \\ fRAC（\\ text（）\\！\\！\\ pi \\！\\！\\ text（））（6）$と一般的には、$ \\ text（）\\！\\ pi \\！\\！ \\ text（）$はすぐに望ましいプリミティブ関数が三角法に関連付けられていることを私たちにすぐにヒントします。そして、実際には、テーブルを見れば、$ \\ fRAC（1）（1 +（（x）^（2））$は$ \\ text（arctg）x $以下であることがわかります。だから書きなさい：

見つけるためには、次のものを記録する必要があります。

\\ [\\ frac（\\ PI）（6）\u003d \\ text（arctg）\\ sqrt（3）+ c \\]

\\ [\\ frac（\\ text（）\\！\\！\\ pi \\！\\！\\ text（））（6）\u003d \\ frac（\\ text（）\\！\\！\\ PI \\！\\ text（））（3）+ C \\]

例2の例2。

ここでも話しています三角関数。テーブルを見れば、確かに、それは判明します。

私たちは、指定された点を通過するものを検索するプリミティブのセット全体の中に必要です。

\\ [\\ text（）\\！\\！\\ pi \\！\\ text（）\u003d \\ arcsin \\ frac（1）（2）+ c \\]

\\ [\\ text（）\\！\\！\\ pi \\！\\ text（）\u003d \\ frac（\\ text（）\\！\\ pi \\！\\！\\ text（））（6）+ c \\]

ついに書き留めましょう：

それは簡単です。唯一の問題は、プリミティブの単純な機能を考慮することです、あなたはプリミティブのテーブルを学ぶ必要があります。しかし、あなたのためにデリバティブのテーブルを研究した後、私はそれが問題にならないと思います。

指示機能を含むタスクを解決する

まず最初に書いてください。

\\ [（（e）^（x））\\ to（（e）^（x））\\]

\\ [（（a）^（x））\\ to \\ frac（（（a）^（x）））（\\ ln a）\\]

どのようにして実際にどのように機能するかを見てみましょう。

例1の例1。

括弧内の内容を見ると、プリミティブの表にそのような表現がないことに注意してください。$（（E）^（x））$は正方形に立っているので、この広場は開示されている必要があります。これを行うには、省略形の略称の式を使用します。

各用語のプリミティブを見つけましょう。

\\ [（（e）^（2x））\u003d（（\\ left（（（e）^（2））\\ ^（x））\\ to \\ frac（（（（（\\ left（（（（（e）^）（2））\\ right）^（x）））（\\ ln（（e）^（2）））\u003d \\ frac（（（e）^（2x）））（2）\\]

\\ [（（e）^（ - 2x））\u003d（（\\ left（（（e）^（ - 2））\\ ^（x））\\ \\ frac（（（（\\ left（（）^）（ - 2））^（x）））（\\ Ln（（e）^（ - 2）））\u003d \\ frac（1）（ - 2（（e）^（2x）））））

そして今、私たちは単一の式のすべてのコンポーネントを収集し、全体的なプライマリを取得します。

例2の例2。

今回は、程度が大きくなるため、省略された乗算の式は非常に複雑になります。だから括弧を明らかにします。

それでは、私たちの処方からプライマリを取りますようにしましょう。

あなたが見ることができるように、主な指示機能に複雑で超自然的なものは何もありません。ただし、テーブルを介して考慮されますが、丁寧な学生はおそらく、プリミティブ$（（e）^（2x））$が$（（e）^（x））$にはずっと$（（e）^（x））$によくよくわかります（（ a）^（x））$。だから、プリミティブ$（（E）^（x））$を知ることを可能にするいくつかの種類の特別な規則があるでしょう。（（e）^（2x））$？はい、そのような規則が存在します。そしてさらに、典型的な表との作業の不可欠な部分である。私たちは今働いたばかりの同じ表現の例でそれを分析します。

一次テーブルを持つ働き条件

もう一度、私たちは私たちの関数を撃退します：

前の場合は、次の式を解決するために使用しました。

\\ [（（a）^（x））\\ to \\ frac（（（a）^（x）））（\\ operatorname（LNA））\\]

しかし今、私たちはやや違いを進めます：1ドル（（e）^（x））\\ to（（e）^（x））$を覚えておいてください。派生$（（e）^（x））$は$（（e）^（x））$であるため、その最初のものは同じ$に等しくなります。 x））$。しかし、問題は$（（e）^（2倍））$と$（（e）^（ - 2x））$を持っているということです。今、私たちはデリバティブ$を見つけようとします（（E）^（2x））$：

\\ [（（\\ left（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（\\ Prime））\u003d（（e）^（2x））\\ cdot（（\\ left（2x \\ right）） ^（\\ Prime））\u003d 2 \\ CDOT（（E）^（2x））\\]

私たちのデザインを再書き直しましょう。

\\ [（（左（（（（（（（e）^（2x））^（\\ Prime））\u003d 2 \\ CDOT（（E）^（2x））\\]

\\ [（（e）^（2x））\u003d（（\\ left（\\ frac（（（（（e）^（2x））））（2）\\ right）^（\\ Prime））\\]

これはプリミティブ$を見つけるとき（（E）^（2x））$私たちは次のようになります。

\\ [（（e）^（2x））\\ to \\ frac（（（e）^（2x）））（2）\\]

ご覧のとおり、以前と同じ結果が得られましたが、$（（a）^（x））$を見つけるための式を利用しなかった。今、それはナンセンスのように思えるかもしれません：標準的な式があるときに計算を複雑にするのですか？しかし、わずかに複雑な表現では、この受信が非常に効果的であることを確認するでしょう、すなわちプリミティブを見つけるための誘導体の使用

同様に、ワークアウトとして$（（E）^（2倍））からプライマリを見つけましょう。

\\ [（\\ left））^（\\ Prime））\u003d（（e）^（ - 2x））\\ g cdot \\ left（-2 \\ right）\\]

\\ [（（e）^（ - 2x））\u003d（（\\ left（\\ frac（（（（（（（（^（ - 2x））））（ - 2）\\ right））^（\\ Prime））\\]

計算するとき、私たちの設計は次のように記録されます：

\\ [（（e）^（ - 2x））\\ to - \\ frac（（（e）^（ - 2x）））（2）\\]

\\ [（（e）^（ - 2x））\\ to - \\ frac（1）（2 \\ Cdot（（E）^（2x）））\\]

私たちはまったく同じ結果を得ましたが、他の方法で行った。将来的には、より複雑なプライマリを計算し、テーブルを使用するのがより効果的になるでしょう。

注意！これはとてもです大会：有効な方法と派生物をセットと見なすことができる違う方法。ただし、すべての計算と計算が等しい場合、答えは同じであることが判明します。 $（（E）^（ - 2X））$の例についてはこれを確信しています。一方では、このプリミティブの「アルカリ」を定義し、変換の助けを借りて計算します。一方で、$（（e）^（ - 2x））$を$（（\\ left（（（（（e）^（ - 2））\\ right））^（x））$と表現できることを思い出しました。その後、$関数（（a）^（x））$の最初に使われます。ただし、すべての変換後、結果が想定されていると同じようになりました。

そして今、私たち全員が理解したとき、それはより充実した何かに行く時が来ました。今度は2つのシンプルなデザインを分析しますが、解決したときに敷設されるレセプションは、テーブルから隣接するプリミティブ間の単純な「乞 "」よりも強力で便利なツールです。

タスクを解決する：プリミティブ関数を見つける

例1の例1。

分子に立っている金額を、3つの別々の画分に広がりましょう。

これはかなり自然でわかりやすい移行です - ほとんどの学生は彼に問題はありません。次のように私たちの表現を書き直しましょう。

そして今、この式を覚えてみましょう。

私たちの場合は、次のようになります。

これらすべての3階建ての画分を取り除くために、私は次のことを提案します。

例2の例2。

分母の以前の分数とは対照的に、それは作品ではなく、その量ではありません。この場合、私たちはもはやいくつかの単純な小さなフロアの量で私たちの割合を分割することはできません、そしてあなたは何のものにする必要があるようにあなたはそれを決定する必要がありますので、分母とほぼ同じ表現がある。この場合、これは非常に単純です。

数学の言語では「ゼロの追加」と呼ばれるこのようなエントリは、2つの部分に小数を再び分割することを可能にします。

今、私たちはあなたが探していたものを見つけます：

それがすべての計算です。以前の課題よりも大きなように見えるにもかかわらず、計算量はさらに小さくなることがわかった。

ニュアンスソリューション

これは、まず表形式で作業するのが主な困難さであり、特に2番目のタスクに特に顕著です。その事実は、テーブルを通して簡単に考慮されるいくつかの要素を割り当てるために、私たちは私たちがどのようなものを探しているのかを知る必要があり、そしてそれはこれらの要素の検索にあり、原始的なすべての計算で構成されています。

言い換えれば、プリミティブのテーブルを入手するだけでは不十分です - まだ何かを見ることができるが、私が著者とこのタスクのコンパイラを意味するものを見ることができる。そのため、多くの数学、教師、教授が絶えず主張している理由です。「主要なまたは統合の服用は何ですか - ツールやこの現実の芸術であるのか」です。実際、個人的には、統合は芸術ではありません - それに崇高なものは何もありません、それは練習と再び練習しています。そして練習するために、もう3つの深刻な例を決定しましょう。

実際に統合して訓練しています

タスク番号1。

そのような処方を書く：

\\ [（（x）^（n））\\ to \\ frac（（（x）^（n + 1）））（n + 1）\\]

\\ [\\ frac（1）（x）\\ to \\ ln x \\]

\\ [\\ frac（1）（1 +（（x）^（2）））\\ to \\ text（arctg）x \\]

以下を書いてみましょう。

タスク番号2

次のように書き換えます。

全プリミティブは以下に等しくなります。

タスク番号3

このタスクの複雑さは、以前の関数とは対照的に、まったく変数$ x $を存在しないということです。少なくとも以下のものと同様のものを得るために、追加、減算することは私たちには明らかではありません。ただし、実際には、この機能は次のように書き換えることができるため、この式は以前の構造からでもさらに簡単に考えられます。

あなたは今尋ねることができます：なぜこれらの機能が等しいのですか？確認しよう：

私も書き換えます：

私たちは私たちの表現を少し変換します。

そして私がこれを私の弟子たちに説明するとき、ほとんど同じ問題が発生します。 3番目の例を解決するには？実際、恐れてはいけません。最新のプリミティブを計算するときに使用した受信は、「最も簡単な関数の分解」と呼ばれ、これは非常に深刻な受信であり、別のビデオチュートリアルは彼に捧げられます。

その間、私たちが今検討したばかりの事実、すなわち指標関数と幾分ややそれらのコンテンツを複雑にするという事実に戻ることを提案する。

プリミティブ指標関数の解のより複雑な作業

タスク番号1。

次の点に注意してください。

\\ [（（2）^（x））\\ cdot（（5）^（x））\u003d（（\\ left（2 \\ cdot 5 \\ right））^（x））\u003d（（10）^（x））\\]

プライマリ式を見つけるためには、単に標準式 - $（（a）^（x））\\ to \\ frac（（（（a）^（x）））（\\ ln a）$を単に使用するだけで十分です。

私たちの場合、プライマリは次のようになります。

もちろん、私たちが決定したばかりの建設の背景に対して、これはより単純に見えます。

タスク番号2

繰り返しになりますが、この機能は2つの別々の用語に分割するのが簡単なことです。再書き換え：

上記の式に従って、これらの用語のそれぞれからプライマリを見つけることは残っています。

パワーと比較して指示機能の一見重要な複雑さにもかかわらず、計算と計算の総額ははるかに簡単であることが判明しました。

もちろん、知識豊富な学生のために、私たちが分解したばかりの事実（特に私たちが以前に分解したことの背景に対して）上位表現のように思えるかもしれません。しかし、今日のビデオチュートリアルのためのこれらのタスクのうちの2つを選択して、私はあなたに別の複雑で問題を抱えたレセプションを伝えることを目標にしませんでした - それを見せたかったすべてのものは、代数の標準的な方法を使用することを恐れている必要はないということです。ソース関数を変換します。

「秘密」受付を使用して

結論として、片手では、私たちが主に今日分解したという事実を超えているもう一つの面白いテクニックを分解したいが、その一方で、彼はまず第一に、難しくない、すなわちそれは初心者の学生でも習得することができ、次に、それはあらゆる種類の管理と独立した仕事について非常によく見られます。原始的なテーブルの知識に加えて、それは非常に役立つでしょう。

タスク番号1。

明らかに、我々は力機能と非常に似たものを持っています。この場合、どうすればいいですか？ $ x-5 $は$ x $とは異なります。ただ$ -5 $を追加しました。私たちはこのように書く：

\\ [（（x）^（4））\\ to \\ frac（（（x）^（5）））（5）\\]

\\ [（（\\ left））^（\\ Prime））\u003d \\ frac（5 \\ Cdot（（x）^（4））））（5）\u003d（（x）^（4））\\]

$から派生物を見つけようとしましょう（（\\ left（x-5 \\ right））^（5））$：

\\ [（左（（\\ left（（（\\ left）^（5））^（\\ PRIME）\u003d 5 \\ CDOT（（\\ left（x-5 \\ right）） ^（4））\\ cdot（（\\ left（x-5 \\ right））^（\\ Prime））\u003d 5 \\ cdot（（\\ left（x-5 \\ right））^（4））\\]

これは次のとおりです。

\\ [（（\\ left（x-5 \\ right））^（4））\u003d（（\\ left（\\ frac（（（（（（（\\ left（（\\ left（（（x-5 \\ right））^（5）））（5）\\右））^（\\ Prime））\\

テーブルにはそのような値はありませんので、非常に主な機能の標準式を使用して、この式を自分でもたらしました。答えを書いてみましょう。

タスク番号2

最初の決定を見てみる多くの学生は、すべてが非常に簡単であるように見えるかもしれません：それは$ x $の強力な関数に直線的な表現に置き換えるのに十分です、そしてすべてが整っています。残念ながら、すべてがとても簡単ではありません、そして今、私たちはこれを確信していきます。

最初の式と同様に、次のように書いています。

\\ [（（x）^（9））\\ frac（（（x）^（10）））（10）\\]

\\ [（（\\ left）^（10））^（10））^（\\ PRIME）\u003d 10 \\ CDOT（（\\ left（4-3x \\ right）） ^（9））\\ CDot（（\\ left（4-3x \\ right））^（\\ Prime））\u003d \\]

\\ [\u003d 10 \\ CDOT（（\\ left（4-3x \\ right））^（9））\\ jerd（-3 \\ right）\u003d - 30 \\ CDOT（（\\ left（4-3x右）） ^（9））\\

私たちのデリバティブに戻る、私たちは書くことができます：

\\ [（left（\\ left）^（10））^（10））^（\\ PRIME））\u003d 30 \\ CDOT（（\\ left（4-3x \\ right））^（9））\\]

\\ [（（\\ left（4-3x \\ right））^（9））\u003d（（\\ left（\\ frac（（（（（（（4-3x右））^（10）））（ - 30） \\ right））^（\\ Prime））\\]

ここから直ちに次のようになります。

ニュアンスソリューション

ご注意：最後に何も変更された場合は、2番目の場合では、$ -10 $の代わりに$ -30 $が表示されます。 $ 10 $から$ -30ドルの違いは何ですか？明らかに、乗数は$ -3 $です。質問：彼はどこから来ましたか？主要下でのx $が表示されます$で立っていた係数を - それを見て、それが派生複雑な関数の計算の結果として取っていることが分かります。これは、私が最初に今日のビデオチュートリアルに分解することを計画していない非常に重要な規則ですが、テーブルのプレゼンテーションは不完全です。

だからもう一度一度。主要な電力機能を備えてください。

\\ [（（x）^（n））\\ to \\ frac（（（x）^（n + 1）））（n + 1）\\]

そして今ではなく、$ X $の代わりに$ KX + B $を置き換えましょう。それから何が起こるでしょうか？次のことを見つける必要があります。

\\ [（（（\\ left））^（n））\\ to \\ frac（（（（kx + b右））^（n + 1）））（\\ left（n + 1 \\ right）\\ cdot k）\\]

私たちはこれを肯定しますか？とても簡単です。上記のデザインの派生物を見つけましょう。

\\ [（（\\ left（\\ frac（\\ frac（（\\ left））^（n + 1）））（\\ left（n + 1 \\ right）\\ cdot k）\\ right）^（\\ Prime）））\u003d \\ frac（1）（\\ left（n + 1 \\右）\\ cdot k）\\ g cdot \\ left（n + 1 \\ right）\\ cdot（（\\ left（kx + b右））^（ n））\\ cdot k \u003d（（\\ left（kx + b右））^（n））\\]

これはもともとであった最も表現です。したがって、この式も当てはまり、プリミティブのテーブルを補完することができ、テーブル全体を覚えているだけでよい。

「秘密：受信：

実際には、テーブルの中で指定されたプリミティブに縮小することができると考えられていると、程度を開示することによって、両方の機能を縮小することができますが、4度に対処することができれば、私がすべてのリスクが発生しないであろう9度開示する、明らかにする。
私たちが学位を明らかにした場合、私たちは簡単なタスクが不十分な時間をかけていたというような計算量を受け取るでしょう。
そのような線形表現が直面しているような作業は、「全体」を解決する必要はありません。テーブルの中にあるものとは異なるプリミティブに会うとすぐに、$ kx + b $内の存在のみ、すぐに上記の式を覚えておいてください。それをテーブルのプライマリに置き換えてください。はるかに速くて簡単です。

当然のことながら、この入場の複雑さと深刻さのおかげで、将来のビデオチュートリアルでは繰り返し検討に戻りますが、今日はすべてがあります。私はこのレッスンが原始的および統合において理解したい学生が本当に助けることを願っています。

早い材料では、派生物を見つけるという問題が検討され、そのさまざまな用途が示されました：スケジュールの角度係数の計算、最\u200b\u200b適化の問題の解決、単調および極値の機能の研究。 $ \\ \\ NEWCOMMAND（\\ TG）（\\ mathop（\\ Mathrm（TG））\\ Nolimits）$ \\ \\ newcommand（\\ mathop（\\ mathrm（ctg））\\ nolimits）$ $ \\ n newCommand（\\ arctg）（\\ MATHOP（\\ Mathrm（ARCTG））\\ Nolimits）$ \\ ewcommand（\\ arcctg）（\\ mathop（\\ mathrm（arcctg））\\ nolimits）$

写真1。

また、関数$ S（t）$で表される以前に知られているパスへの所定のパスを使用して、$ v（t）$の瞬間率を見つけることも考えられました。

図2。

POST $ t $の速度を知っているパス$ s（t）$を見つける必要がある場合は、$ t $ v（t）$の速度を知っている経路$ s（t）$を見つける必要がある場合も逆のタスクです。覚えていれば、$ v（t）$の瞬間率は、パス関数$ s（t）$：$ v（t）\u003d s '（t）$の派生物として位置しています。それは、フィードバックを解決するために、つまりパスを計算するために、その派生物は速度関数に等しくなる関数を見つける必要があることを意味します。しかし、我々は道の派生物が速度、すなわち$ s '（t）\u003d v（t）$であることを知っています。速度は時の加速の作業に等しい。$ v \u003d $。目的のパス関数が表示されることを確認するのは簡単です。$ s（t）\u003d \\ frac（^ 2）（2）$。しかし、これは完全な解決策ではありません。完全な解決策は表示されます。$ S（t）\u003d \\ frac（^ 2）（2）+ C $。ここで、$ C $は一定です。なぜこれがそれが次に言われるかということです。その間に、見つかった解決策の正当性を確認してください。$ s "（t）\u003d \\ left（\\ frac（^ 2）（2）+ c \\ right）" \u003d 2 \\ frac（at）（2）+ 0 \u003d at \u003d v（t）$。

スピードの経路を見つけることは、プリミティブの身体的な意味であることは注目に値します。

取得した関数$ s（t）$は、プリミティブ関数$ v（t）$と呼ばれます。かなり興味深く異常な名前は真実ではありません。それは本質を説明する大きな意味ですこの概念そして彼の理解につながる。「最初」と「画像」の2つの単語がそれに締結されていることに注意してください。彼らは自分自身のために話します。つまり、これは既存のものの元の派生物である機能です。そして、私たちはこの派生物にいます。最初に「最初」、「まず」、つまりプライマリのものを探しています。それは時々原始関数または反導体的とも呼ばれます。

既に知っているように、派生物を見つけるプロセスは区別と呼ばれます。また、プライマリを見つけるプロセスは統合と呼ばれます。統合操作は微分操作には逆です。右および逆のステートメント

定義。 最初の$ f（x）$は、そのような関数$ f（x）$というそのような関数$ f（x）$と呼ばれ、そのデリバティブは、指定された間隔からのすべての$ x $の$ f（x）$に等しい：$ f ' （x）\u003d f（x）$。

誰かが質問をするかもしれません：定義から$ f（x）$と$ f（x）$が$ s（t）$と$ v（t）$であった場合、$ f（x）$と$ f（x）$があるかもしれません。その事実は、$ S（t）$と$ v（t）$がこの場合に特定の意味を持つ関数の指定の特別な場合です。つまり、これはそれぞれ関数と速度関数です。変数$ T $で同じことを意味します。 $ F $と$ X $は、それぞれ関数と変数の一般的な指定の従来のバージョンです。プリミティブ$ f（x）$の指定に特に注意を払う価値があります。まず、$ F $は資本です。パーフェクト大文字。次に、文字が一致します。$ F $と$ F $。つまり、関数$ g（x）$の場合、最初は$ z（x）$ - $ Z（x）$のために$ g（x）$によって表されます。指定に関係なく、プリミティブ関数を見つけるための規則は常に同じです。

いくつかの例を検討してください。

実施例1。 関数$ f（x）\u003d \\ frac（1）（5）\\ sin5x $はプリミティブ関数$ f（x）\u003d \\ cos5x $です。

証明するために、定義を使用するか、むしろ$ f '（x）\u003d f（x）$という事実を使用し、関数$ f（x）$：$ f'（x）\u003d（\\ frac）の派生物を見つけるという事実を使用します。（1）（5）\\ SIN5X） '\u003d \\ frac（1）（5）\\ CDOT 5 \\ cos5x \u003d \\ cos5x $。そのため、$ f（x）\u003d \\ frac（1）（5）\\ sin5x $はプリミティブ$ f（x）\u003d \\ cos5x $です。 q.e.d.

実施例2。 次のプリミティブのどちらの機能があるかを見つける：a）$ f（z）\u003d \\ tg z $; b）$ g（l）\u003d \\ sin l $。

望ましい機能を見つけるために、それらの派生物を計算します。
a）$ f '（z）\u003d（\\ tg z）' \u003d \\ frac（1）（\\ cos ^ 2 z）$。
b）$ g（l）\u003d（\\ sin l） '\u003d \\ cos l。

実施例3。 $ f（x）\u003d 0 $の原始的なものは何ですか？
定義を使います。どの関数が$ 0 $に等しい派生量を持つことができるかと思います。デリバティブのテーブルを覚えているので、任意の定数がそのような派生物を持つことを得る。希望するものは、$ f（x）\u003d c $です。

得られた溶液は、幾何学的および物理的に説明することができる。幾何学的には、それはこのグラフの各点における$ Y \u003d F（x）$水平グラフに接することを意味し、それは$ OX $ axisと一致します。それは、ゼロに等しい速度を有する点、すなわち経路が変化しないという事実によって物理的に説明される。これに基づいて、次の定理を定式化できます。

定理。 (関数の恒星の兆候）。 $ F ''（x）\u003d 0 $のあるギャップである場合、関数$ f（x）$はこのギャップで一定です。

実施例4。 判断すると、プリミティブ関数は関数A）$ F_1 \u003d \\ frac（x ^ 7）（7）$です。 b）$ F_2 \u003d \\ frac（x ^ 7）（7） - $ 3; c）$ F_3 \u003d \\ frac（x ^ 7）（7）+ 9 $。 d）$ F_4 \u003d \\ frac（x ^ 7）（7）+ A $。ここで、$ A $は数値です。
定義定義を使用して、このタスクを解決するためには、プリミティブ関数の米国にデリバティブデータを計算する必要があります。計算するときは、派生物が一定であること、つまり任意の数はゼロであることを忘れないでください。
a）$ F_1 \u003d（\\ frac（x ^ 7）（7）） "\u003d 7 \\ cdot \\ frac（x ^ 6）（7）\u003d x ^ 6 $）。
b）$ F_2 \u003d \\ left（\\ frac（x ^ 7）（7） - 3 \\ right） "\u003d 7 \\ cdot \\ frac（x ^ 6）（7）\u003d x ^ 6 $
c）$ F_3 \u003d（\\ frac（x ^ 7）（7）+ 9） '\u003d x ^ 6 $。
d）$ F_4 \u003d（\\ frac（x ^ 7）（7）+ a） '\u003d x ^ 6 $。

私たちは何を見ますか？いくつかの異なる関数はプリミティブ1と同じ関数です。これは、任意の関数が無限に多くのプリミティブを持ち、それらには$ f（x）+ c $の形式があります。ここで、$ C $は任意の定数です。つまり、区別動作とは対照的に、統合動作は多値値です。プリミティブの基本特性を記述するこの定理に基づいて定式化します。

定理。 (基本的なプロパティはプリミティブです）。 $ F_1 $と$ F_2 $の機能をある間隔で$ f（x）$のプリミティブ関数です。その後、このギャップのすべての値について、次のような等価性が有効です。$ F_2 \u003d F_1 + C $。ここで、$ C $は一定です。

無限のプリミティブの存在の事実は幾何学的に解釈することができる。 $ OY $の軸に沿った並列転送の助けを借りて、あなたは$ f（x）$のための2つの非常に原始的なグラフィックを得ることができます。これはプリミティブの幾何学的意味です。

$ C $定数の選択が特定の点を介してプリミティブのチャートによって達成できるという事実に注意を払うことは非常に重要です。

図3。

実施例5。 最初に機能する$ f（x）\u003d \\ frac（x ^ 2）（3）+ 1 $を見つけます。そのグラフは、ポイント$（3; 1）$を通過します。
最初はすべてが$ f（x）$：$ f（x）\u003d \\ frac（x ^ 3）（9）+ x + c $のための非常に原始的です。
次に、スケジュール$ Y \u003d \\ FRAC（X ^ 3）（9）+ X + C $がポイント$（3; 1）$を通過します。これを行うために、ポイント座標をグラフ方程式に置き換え、$ C $を基準にします。
$ 1 \u003d \\ fRAC（3 ^ 3）（9）+ 3 + C $、$ C \u003d -5 $。
プリミティブ$ f（x）\u003d \\ frac（x ^ 3）（9）+ x-5 $に対応するグラフ$ y \u003d \\ frac（x ^ 3）（9）+ x-5 $を受け取りました。

予備表

原始症状を見つけるための式の表は、式発見誘導体を用いて編集することができる。

テーブル

関数	per per
$0$	$ C $。
$1$	$ x + c $
$ a \\ in R $	$ AX + C $
$ x ^ n、n \\ ne1 $	$ \\ displaystyle \\ frac（x ^（n + 1））（n + 1）+ C $
$ \\ displaystyle \\ frac（1）（x）$	$ \\ ln \| X \| + C $
$ \\ sin x $	$ - \\ cos x x + c $
$ \\ cos x $	$ \\ sin x + c $
$ \\ displaystyle \\ frac（1）（\\ sin ^ 2 x）$	$ - \\ ctg x + c $
$ \\ displaystyle \\ frac（1）（\\ cos ^ 2 x）$	$ \\ tg x + c $
$ e ^ x $	$ e ^ x + c $
$ a ^ x、a\u003e 0、a \\ ne1 $	$ \\ displaystyle \\ frac（a ^ x）（\\ ln a）+ c $
$ \\ displayStyle \\ frac（1）（\\ sqrt（1-x ^ 2））$	$ \\ arcsin x + c $
$ \\ displayStyle - \\ frac（1）（\\ sqrt（1-x ^ 2））$	$ \\ arccos x + c $
$ \\ displaystyle \\ frac（1）（1 + x ^ 2）$	$ \\ arctg x + c $
$ \\ displaystyle - \\ frac（1）（1 + x ^ 2）$	$ \\ arcctg x + c $

テーブルの正確さを確認するには、次のようになります。右側の列にある各プリミティブのセットについてはデリバティブが見つかります。その結果、左側の列に対応する関数が得られます。

プリミティブを見つけるためのいくつかの規則

ご存知のとおり、多くの機能はプリミティブの表で指定されたものよりも複雑な種を持っており、この表からの任意の量と機能の作品の任意の組み合わせである可能性があります。そして、この質問は原始的な計算方法を起こしますそのような機能。たとえば、テーブルから、プリミティブ$ x ^ $ 3 $、$ \\ sin x $ and $ 10 $の計算方法を知っています。そして、例えば、プリミティブ$ x ^ 3-10 \\ sin x $を計算する方法楽しみにして、$ \\ frac（x ^ 4）（4）+10 \\ cos x $に等しくなることは注目に値します。
1. $ f（x）$が$ f（x）$、$ g（x）$の原始的な場合、$ g（x）$のために、$ f（x）+ g（x）$ for最初に$ f（x）+ g（x）$に等しい。
2. $ f（x）$が$ f（x）$と$ a $のプリミティブである場合、$ af（x）$の場合は$ af（x）$です。
3. $ f（x）$がプリミティブ$ f（x）$、$ a $と$ b $ - 定数、その後$ \\ fRAC（1）（a）f（a）f（a）f（a）f（a）$ f for $ f （AX + B）$。
受信したルールを使用して、プリミティブのテーブルを拡張できます。

関数	per per
$（ax + b）^ n、n \\ ne1、a \\ ne0 $	$ \\ DISPLAYSTYLE \\ FRAC（（AX + B）^ N）（A（N + 1））+ C $
$ \\ displayStyle \\ frac（1）（AX + B）、A \\ NE0 $	$ \\ displayStyle \\ frac（1）（a）\\ ln \| ax + b \| + C $
$ E ^（AX + B）、A \\ NE0 $	$ \\ displaystyle \\ frac（1）（a）^（a）（a）（ax + b）+ c $
$ \\ sin（ax + b）、\\ ne0 $	$ \\ displayStyle - \\ frac（1）（a）\\ cos（AX + B）+ C $
$ \\ cos（AX + B）、A \\ NE0 $	$ \\ displayStyle \\ frac（1）（a）\\ sin（a）+ sin（ax + b）+ C $