Erstellen Sie einen Graphen einer linearen Funktion y 3. Lineare Funktion und ihr Graph. Lineare Funktionseigenschaften
Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form y = kx + b, wobei x eine unabhängige Variable ist, k und b beliebige Zahlen sind.
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
1. Bauen Funktionsgraph, wir benötigen die Koordinaten zweier Punkte, die zum Funktionsgraphen gehören. Um sie zu finden, müssen Sie zwei Werte von x nehmen, sie in die Funktionsgleichung einsetzen und daraus die entsprechenden Werte von y berechnen.
Um beispielsweise die Funktion y = x + 2 darzustellen, ist es praktisch, x = 0 und x = 3 zu nehmen, dann sind die Ordinaten dieser Punkte gleich y = 2 und y = 3. Wir erhalten die Punkte A (0; 2) und B (3; 3). Wir verbinden sie und erhalten den Graphen der Funktion y = x + 2:
2.
In der Formel y = kx + b wird die Zahl k als Proportionalitätskoeffizient bezeichnet:
wenn k> 0, dann wächst die Funktion y = kx + b
wenn k
Der Koeffizient b zeigt die Verschiebung des Funktionsgraphen entlang der OY-Achse:
wenn b> 0, dann erhält man den Graphen der Funktion y = kx + b aus dem Graphen der Funktion y = kx durch Verschieben von b Einheiten entlang der OY-Achse
wenn b
Die folgende Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen y = 2x + 3; y = ½ x + 3; y = x + 3
Beachten Sie, dass in all diesen Funktionen der Koeffizient k Über Null, und Funktionen sind zunehmend. Darüber hinaus ist der Neigungswinkel der Geraden zur positiven Richtung der OX-Achse umso größer, je größer der Wert von k ist.
In allen Funktionen b = 3 - und wir sehen, dass alle Graphen die OY-Achse im Punkt (0; 3) schneiden
Betrachten Sie nun die Graphen der Funktionen y = -2x + 3; y = – ½ x + 3; y = -x + 3
Diesmal ist in allen Funktionen der Koeffizient k weniger als Null, und Funktionen verringern. Koeffizient b = 3, und die Graphen schneiden wie im vorherigen Fall die OY-Achse im Punkt (0; 3)
Betrachten Sie die Graphen der Funktionen y = 2x + 3; y = 2x; y = 2x-3
Nun sind in allen Funktionsgleichungen die Koeffizienten k gleich 2. Und wir haben drei parallele Geraden.
Die b-Koeffizienten sind jedoch unterschiedlich, und diese Diagramme schneiden die OY-Achse an verschiedenen Punkten:
Der Graph der Funktion y = 2x + 3 (b = 3) schneidet die OY-Achse im Punkt (0; 3)
Der Graph der Funktion y = 2x (b = 0) schneidet die OY-Achse im Punkt (0; 0) - dem Ursprung.
Der Graph der Funktion y = 2x-3 (b = -3) schneidet die OY-Achse im Punkt (0; -3)
Wenn wir also die Vorzeichen der Koeffizienten k und b kennen, können wir uns sofort vorstellen, wie der Graph der Funktion y = kx + b aussieht.
Wenn k 0
Wenn k> 0 und b> 0, dann hat der Graph der Funktion y = kx + b die Form:
Wenn k> 0 und b, dann hat der Graph der Funktion y = kx + b die Form:
Wenn k, dann hat der Graph der Funktion y = kx + b die Form:
Wenn k = 0, dann wird aus der Funktion y = kx + b die Funktion y = b und ihr Graph sieht so aus:
Die Ordinaten aller Punkte des Graphen der Funktion y = b sind gleich b If b = 0, dann geht der Graph der Funktion y = kx (direkte Proportionalität) durch den Ursprung:
3. Separat beachten wir den Graphen der Gleichung x = a. Der Graph dieser Gleichung ist eine gerade Linie parallel zur OY-Achse, deren alle Punkte eine Abszisse x = a haben.
Der Graph der Gleichung x = 3 sieht beispielsweise so aus:
Beachtung! Die Gleichung x = a ist keine Funktion, also entspricht ein Wert des Arguments unterschiedliche Bedeutungen Funktion, die nicht mit der Funktionsdefinition übereinstimmt.
4. Die Bedingung für die Parallelität zweier Linien:
Der Graph der Funktion y = k 1 x + b 1 ist parallel zum Graph der Funktion y = k 2 x + b 2, wenn k 1 = k 2
5. Die Bedingung für die Rechtwinkligkeit zweier Geraden:
Der Graph der Funktion y = k 1 x + b 1 steht senkrecht auf dem Graph der Funktion y = k 2 x + b 2 wenn k 1 * k 2 = -1 oder k 1 = -1 / k 2
6. Schnittpunkte des Graphen der Funktion y = kx + b mit den Koordinatenachsen.
Mit der OY-Achse. Die Abszisse jedes Punktes, der zur OY-Achse gehört, ist Null. Um den Schnittpunkt mit der OY-Achse zu finden, müssen Sie daher Null in der Funktionsgleichung anstelle von x einsetzen. Wir erhalten y = b. Das heißt, der Schnittpunkt mit der OY-Achse hat Koordinaten (0; b).
Mit OX-Achse: Die Ordinate eines beliebigen Punktes der OX-Achse ist Null. Um den Schnittpunkt mit der OX-Achse zu finden, müssen Sie daher Null in der Funktionsgleichung anstelle von y einsetzen. Wir erhalten 0 = kx + b. Daher x = -b / k. Das heißt, der Schnittpunkt mit der OX-Achse hat Koordinaten (-b / k; 0):
Definition einer linearen Funktion
Wir führen die Definition einer linearen Funktion ein
Definition
Eine Funktion der Form $ y = kx + b $, wobei $ k $ ungleich Null ist, wird als lineare Funktion bezeichnet.
Linearer Funktionsgraph - Gerade. Die Zahl $ k $ heißt Steigung der Geraden.
Für $ b = 0 $ heißt die lineare Funktion direkte Proportionalitätsfunktion $ y = kx $.
Betrachten Sie Abbildung 1.
Reis. 1. Die geometrische Bedeutung der Steigung einer Geraden
Betrachten Sie ein Dreieck ABC. Wir sehen, dass $ ВС = kx_0 + b $ ist. Ermitteln Sie den Schnittpunkt der Geraden $ y = kx + b $ mit der Achse $ Ox $:
\ \
Also $ AC = x_0 + \ frac (b) (k) $. Lassen Sie uns das Verhältnis dieser Parteien ermitteln:
\ [\ frac (BC) (AC) = \ frac (kx_0 + b) (x_0 + \ frac (b) (k)) = \ frac (k (kx_0 + b)) ((kx) _0 + b) = k\]
Andererseits gilt $ \ frac (BC) (AC) = tg \ angle A $.
Somit kann folgende Schlussfolgerung gezogen werden:
Ausgabe
Geometrische Bedeutung des Koeffizienten $ k $. Die Steigung der Geraden $ k $ ist gleich der Tangente des Neigungswinkels dieser Geraden zur Achse $ Ox $.
Untersuchung der linearen Funktion $ f \ left (x \ right) = kx + b $ und ihres Graphen
Betrachten Sie zunächst die Funktion $ f \ left (x \ right) = kx + b $, wobei $ k > 0 $ ist.
- $ f "\ links (x \ rechts) = (\ links (kx + b \ rechts))" = k> 0 $. Folglich nimmt diese Funktion über den gesamten Definitionsbereich zu. Es gibt keine Extrempunkte.
- $ (\ mathop (lim) _ (x \ bis - \ infty) kx \) = - \ infty $, $ (\ mathop (lim) _ (x \ bis + \ infty) kx \) = + \ infty $
- Diagramm (Abb. 2).
Reis. 2. Graphen der Funktion $ y = kx + b $, für $ k> 0 $.
Betrachten wir nun die Funktion $ f \ left (x \ right) = kx $, wobei $ k
- Der Umfang ist alle Zahlen.
- Der Bereich umfasst alle Zahlen.
- $ f \ links (-x \ rechts) = -kx + b $. Die Funktion ist weder gerade noch ungerade.
- Für $ x = 0 gilt f \ links (0 \ rechts) = b $. Für $ y = 0,0 = kx + b, \ x = - \ frac (b) (k) $.
Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: $ \ left (- \ frac (b) (k), 0 \ right) $ und $ \ left (0, \ b \ right) $
- $ f "\ links (x \ rechts) = (\ links (kx \ rechts))" = k
- $ f ^ ("") \ left (x \ right) = k "= 0 $. Daher hat die Funktion keine Wendepunkte.
- $ (\ mathop (lim) _ (x \ bis - \ infty) kx \) = + \ infty $, $ (\ mathop (lim) _ (x \ bis + \ infty) kx \) = - \ infty $
- Diagramm (Abb. 3).
Lineare Funktion heißt Funktion der Form y = kx + b auf der Menge aller reellen Zahlen gegeben. Hier k- Steigung (reelle Zahl), B – freie Laufzeit (reelle Zahl), x Ist die unabhängige Variable.
In einem besonderen Fall, wenn k = 0, erhalten wir eine konstante Funktion y = b, dessen Graph eine gerade Linie parallel zur Ox-Achse ist, die durch einen Punkt mit den Koordinaten verläuft (0; b).
Wenn b = 0, dann erhalten wir die Funktion y = kx, welches ist direkte Verhältnismäßigkeit.
B – Segmentlänge, die von der Linie entlang der Oy-Achse abgeschnitten wird, vom Ursprung aus gezählt.
Die geometrische Bedeutung des Koeffizienten k – Neigungswinkel eine gerade Linie zur positiven Richtung der Ox-Achse, wird gegen den Uhrzeigersinn gezählt.
Lineare Funktionseigenschaften:
1) Der Bereich einer linearen Funktion ist die gesamte reelle Achse;
2) Wenn k ≠ 0, dann ist der Wertebereich der linearen Funktion die gesamte reelle Achse. Wenn k = 0, dann besteht der Wertebereich der linearen Funktion aus der Zahl B;
3) Evenness und Oddness einer linearen Funktion hängen von den Werten der Koeffizienten ab k und B.
ein) b 0, k = 0, somit, y = b - gerade;
B) b = 0, k 0, somit y = kx - ungerade;
C) b 0, k ≠ 0, somit y = kx + b ist eine allgemeine Funktion;
D) b = 0, k = 0, somit y = 0 - sowohl gerade als auch ungerade Funktion.
4) Die lineare Funktion besitzt nicht die Periodizitätseigenschaft;
5) Schnittpunkte mit Koordinatenachsen:
Ochse: y = kx + b = 0, x = -b / k, somit (-b / k; 0)- der Schnittpunkt mit der Abszissenachse.
Oy: y = 0k + b = b, somit (0; b)- der Schnittpunkt mit der Ordinatenachse.
Hinweis: Wenn b = 0 und k = 0, dann die Funktion y = 0 verschwindet für jeden Wert der Variablen NS... Wenn b ≠ 0 und k = 0, dann die Funktion y = b verschwindet für keinen Wert der Variablen NS.
6) Die Intervalle mit konstantem Vorzeichen hängen vom Koeffizienten k ab.
ein) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b / k.
y = kx + b- ist positiv bei x von (-b / k; + ∞),
y = kx + b- ist negativ bei x von (-∞; -b / k).
B) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b- ist positiv bei x von (-∞; -b / k),
y = kx + b- ist negativ bei x von (-b / k; + ∞).
C) k = 0, b > 0; y = kx + büber den gesamten Definitionsbereich positiv ist,
k = 0, b< 0; y = kx + b ist in der gesamten Domäne negativ.
7) Die Monotonieintervalle der linearen Funktion hängen vom Koeffizienten k.
k> 0, somit y = kx + büber den gesamten Definitionsbereich zunimmt,
k< 0 , somit y = kx + b nimmt über den gesamten Definitionsbereich ab.
8) Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Um eine Gerade zu bauen, genügt es, zwei Punkte zu kennen. Die Position der Geraden auf der Koordinatenebene hängt von den Werten der Koeffizienten ab k und B... Nachfolgend finden Sie eine Tabelle, die dies deutlich veranschaulicht.
