Die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl ist eine Formel. Grundoperationen auf Matrizen (Addition, Multiplikation, Transposition) und ihre Eigenschaften

1. Jahr, Höhere Mathematik, Studium Matrizen und grundlegende Aktionen auf ihnen. Hier systematisieren wir die wichtigsten Operationen, die mit Matrizen durchgeführt werden können. Wie fange ich mit Matrizen an? Natürlich von den einfachsten - Definitionen, Grundkonzepten und einfachsten Operationen. Wir versichern Ihnen, dass Matrizen von jedem verstanden werden, der ihnen zumindest ein wenig Zeit widmet!

Matrixdefinition

Matrix ist eine rechteckige Tabelle von Elementen. Gut, wenn einfache Sprache- Zahlentafel.

Matrizen werden normalerweise mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet. Zum Beispiel Matrix EIN , Matrix B usw. Matrizen können verschiedene Größen haben: rechteckig, quadratisch, es gibt auch Zeilenmatrizen und Spaltenmatrizen, die Vektoren genannt werden. Die Größe der Matrix wird durch die Anzahl der Zeilen und Spalten bestimmt. Lassen Sie uns zum Beispiel eine rechteckige Größenmatrix schreiben m auf der n , wo m ist die Anzahl der Zeilen, und n ist die Anzahl der Spalten.

Elemente für die ich=j (a11, a22, .. ) bilden die Hauptdiagonale der Matrix und heißen Diagonale.

Was kann man mit Matrizen machen? Addieren/Subtrahieren, mit einer Zahl multiplizieren, untereinander vermehren, transponieren. Nun zu all diesen grundlegenden Operationen auf Matrizen in der richtigen Reihenfolge.

Matrixadditions- und -subtraktionsoperationen

Wir warnen Sie gleich davor, dass Sie nur Matrizen derselben Größe hinzufügen können. Das Ergebnis ist eine Matrix gleicher Größe. Das Addieren (oder Subtrahieren) von Matrizen ist einfach − fügen Sie einfach die entsprechenden Elemente hinzu . Nehmen wir ein Beispiel. Lassen Sie uns die Addition von zwei Matrizen A und B der Größe zwei mal zwei durchführen.

Die Subtraktion erfolgt analog, nur mit umgekehrtem Vorzeichen.

Jede Matrix kann mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden. Um dies zu tun, Sie müssen jedes seiner Elemente mit dieser Zahl multiplizieren. Lassen Sie uns zum Beispiel die Matrix A aus dem ersten Beispiel mit der Zahl 5 multiplizieren:

Matrixmultiplikationsoperation

Nicht alle Matrizen können miteinander multipliziert werden. Zum Beispiel haben wir zwei Matrizen - A und B. Sie können nur dann miteinander multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der Matrix A gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix B ist. Außerdem gilt: jedes Element der resultierenden Matrix in der i-ten Zeile und j-te Spalte, gleich der Summe der Produkte der entsprechenden Elemente in der i-ten Zeile des ersten Faktors und der j-ten Spalte des zweiten. Um diesen Algorithmus zu verstehen, schreiben wir auf, wie zwei quadratische Matrizen multipliziert werden:

Und ein Beispiel mit reellen Zahlen. Lassen Sie uns die Matrizen multiplizieren:

Matrix-Transponierungsvorgang

Die Matrixtransposition ist eine Operation, bei der die entsprechenden Zeilen und Spalten vertauscht werden. Zum Beispiel transponieren wir die Matrix A aus dem ersten Beispiel:

Matrixdeterminante

Die Determinante, oh die Determinante, ist einer der Grundbegriffe der linearen Algebra. Einmal kamen die Leute mit lineare Gleichungen, und dahinter mussten wir eine Determinante erfinden. Am Ende liegt es an Ihnen, mit all dem fertig zu werden, also der letzte Schubs!

Die Determinante ist eine numerische Eigenschaft einer quadratischen Matrix, die zur Lösung vieler Probleme benötigt wird.
Um die Determinante der einfachsten quadratischen Matrix zu berechnen, müssen Sie die Differenz zwischen den Produkten der Elemente der Haupt- und Nebendiagonalen berechnen.

Die Determinante einer Matrix erster Ordnung, die also aus einem Element besteht, ist gleich diesem Element.

Was ist, wenn die Matrix drei mal drei ist? Das ist schwieriger, aber es geht.

Für eine solche Matrix ist der Wert der Determinante gleich der Summe der Produkte der Elemente der Hauptdiagonale und der Produkte der Elemente, die auf Dreiecken mit einer zur Hauptdiagonale parallelen Fläche liegen, woraus sich das Produkt der Elemente ergibt der Nebendiagonale und dem Produkt der auf Dreiecken mit zur Nebendiagonale parallelen Fläche liegenden Elemente subtrahiert.

Glücklicherweise, um die Determinanten von Matrizen zu berechnen große Größen kommt in der Praxis selten vor.

Hier haben wir die grundlegenden Operationen auf Matrizen betrachtet. Natürlich kann man im wirklichen Leben nie auch nur auf die Andeutung eines Matrix-Gleichungssystems stoßen oder umgekehrt auf viel komplexere Fälle stoßen, in denen man sich wirklich den Kopf zerbrechen muss. Für solche Fälle gibt es einen professionellen Studentenservice. Bitten Sie um Hilfe, erhalten Sie Qualität und ausführliche Lösung, genießen Sie akademischen Erfolg und Freizeit.

Dieser Leitfaden hilft Ihnen dabei, dies zu lernen Matrixoperationen: Addition (Subtraktion) von Matrizen, Transposition einer Matrix, Multiplikation von Matrizen, Finden der Inversen einer Matrix. Das gesamte Material wird in einer einfachen und zugänglichen Form präsentiert, relevante Beispiele werden gegeben, sodass auch eine unvorbereitete Person lernen kann, wie man Aktionen mit Matrizen ausführt. Zur Selbstkontrolle und zum Selbsttest können Sie kostenlos einen Matrixrechner herunterladen >>>.

Ich werde versuchen, theoretische Berechnungen zu minimieren, an einigen Stellen sind Erklärungen „an den Fingern“ und die Verwendung unwissenschaftlicher Begriffe möglich. Liebhaber solider Theorie, bitte keine Kritik, das ist unsere Aufgabe lernen, mit Matrizen zu arbeiten.

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Eine Matrix ist eine rechteckige Tabelle von einigen Elemente. Als Elemente Wir betrachten Zahlen, also numerische Matrizen. ELEMENT ist ein Begriff. Es ist wünschenswert, sich an den Begriff zu erinnern, er wird oft vorkommen, es ist kein Zufall, dass ich ihn fett hervorgehoben habe.

Bezeichnung: Matrizen werden normalerweise mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet

Beispiel: Betrachten Sie eine Zwei-mal-drei-Matrix:

Diese Matrix besteht aus sechs Elemente:

Alle Zahlen (Elemente) innerhalb der Matrix existieren für sich alleine, d.h. von einer Subtraktion kann keine Rede sein:

Es ist nur eine Tabelle (ein Satz) von Zahlen!

Wir werden auch zustimmen nicht umstellen Nummer, sofern in der Erläuterung nichts anderes angegeben ist. Jede Zahl hat ihren eigenen Standort und Sie können sie nicht mischen!

Die betreffende Matrix hat zwei Zeilen:

und drei Spalten:

STANDARD: wenn man über die Dimensionen der Matrix spricht, dann Erste geben Sie die Anzahl der Zeilen an und erst dann die Anzahl der Spalten. Wir haben gerade die Zwei-mal-Drei-Matrix aufgeschlüsselt.

Wenn die Anzahl der Zeilen und Spalten einer Matrix gleich ist, wird die Matrix aufgerufen Platz, Beispielsweise: ist eine Drei-mal-drei-Matrix.

Wenn die Matrix eine Spalte oder eine Zeile hat, werden solche Matrizen auch genannt Vektoren.

Tatsächlich kennen wir das Konzept einer Matrix seit der Schule, betrachten Sie zum Beispiel einen Punkt mit den Koordinaten „x“ und „y“: . Im Wesentlichen werden die Koordinaten eines Punktes in eine Eins-zu-Zwei-Matrix geschrieben. Übrigens, hier ist ein Beispiel für Sie, warum die Reihenfolge der Zahlen wichtig ist: und sind zwei völlig unterschiedliche Punkte der Ebene.

Kommen wir nun zum Studium. Matrixoperationen:

1) Aktion eins. Entfernen eines Minus aus einer Matrix (Einfügen eines Minus in eine Matrix).

Zurück zu unserer Matrix . Wie Sie wahrscheinlich bemerkt haben, enthält diese Matrix zu viele negative Zahlen. Dies ist sehr unpraktisch in Bezug auf die Durchführung verschiedener Aktionen mit der Matrix, es ist unpraktisch, so viele Minuspunkte zu schreiben, und es sieht im Design einfach hässlich aus.

Lassen Sie uns das Minus außerhalb der Matrix verschieben, indem wir das Vorzeichen JEDES Elements der Matrix ändern:

Wie Sie verstehen, ändert sich bei Null das Vorzeichen nicht, Null - es ist auch in Afrika Null.

Umgekehrtes Beispiel: . Sieht hässlich aus.

Wir fügen ein Minus in die Matrix ein, indem wir das Vorzeichen JEDES Elements der Matrix ändern:

Nun, es ist viel hübscher. Und was am wichtigsten ist, es wird EINFACHER sein, alle Aktionen mit der Matrix auszuführen. Weil es so ein mathematisches Volkszeichen gibt: je mehr Minuspunkte - desto mehr Verwirrung und Fehler.

2) Aktion zwei. Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl.

Beispiel:

Es ist einfach, um eine Matrix mit einer Zahl zu multiplizieren, die Sie benötigen jeder Multiplizieren Sie das Matrixelement mit der angegebenen Zahl. v dieser Fall- für drei.

Ein weiteres nützliches Beispiel:

– Multiplikation einer Matrix mit einem Bruch

Schauen wir uns zuerst an, was zu tun ist NICHT NÖTIG:

Es ist NICHT ERFORDERLICH, einen Bruch in die Matrix einzugeben, das macht es erstens nur schwierig Nächste Schritte mit einer Matrix, zweitens erschwert es dem Lehrer die Überprüfung der Lösung (insbesondere wenn - die endgültige Antwort der Aufgabe).

Und speziell, NICHT NÖTIG Teile jedes Element der Matrix durch minus sieben:

Aus dem Artikel Mathematik für Dummies oder wo anfangen, erinnern wir uns, dass Dezimalbrüche mit einem Komma in der höheren Mathematik auf jede erdenkliche Weise zu vermeiden versucht werden.

Die einzige Sache wünschenswert In diesem Beispiel müssen Sie ein Minus in die Matrix einfügen:

Aber falls ALLE Matrixelemente wurden durch 7 geteilt ohne jede Spur, dann wäre es möglich (und notwendig!) zu teilen.

Beispiel:

In diesem Fall können Sie MÜSSEN Multiplizieren Sie alle Elemente der Matrix mit , da alle Zahlen in der Matrix durch 2 teilbar sind ohne jede Spur.

Hinweis: Theoretisch höhere Mathematik es gibt kein Schulkonzept der "Teilung". Anstelle des Satzes „Dies wird durch dies geteilt“ können Sie immer sagen „Dies wird mit einem Bruch multipliziert“. Das heißt, die Division ist ein Sonderfall der Multiplikation.

3) Aktion drei. Matrixtransposition.

Um eine Matrix zu transponieren, müssen Sie ihre Zeilen in die Spalten der transponierten Matrix schreiben.

Beispiel:

Matrix transponieren

Hier gibt es nur eine Zeile und die muss laut Regel in eine Spalte geschrieben werden:

ist die transponierte Matrix.

Die transponierte Matrix wird normalerweise durch einen hochgestellten Index oder einen Strich oben rechts gekennzeichnet.

Beispiel Schritt für Schritt:

Matrix transponieren

Zuerst schreiben wir die erste Zeile in die erste Spalte um:

Dann schreiben wir die zweite Zeile in die zweite Spalte um:

Und schließlich schreiben wir die dritte Zeile in die dritte Spalte um:

Bereit. Transponieren bedeutet grob gesagt, die Matrix auf die Seite zu drehen.

4) Aktion vier. Summe (Differenz) von Matrizen.

Die Summe von Matrizen ist eine einfache Operation.
NICHT ALLE MATRIXEN SIND FALTBAR. Um eine Addition (Subtraktion) von Matrizen durchzuführen, ist es notwendig, dass sie die GLEICHE GRÖSSE haben.

Wenn zum Beispiel eine Zwei-mal-Zwei-Matrix gegeben ist, dann kann sie nur zu einer Zwei-mal-Zwei-Matrix addiert werden und zu keiner anderen!

Beispiel:

Matrizen hinzufügen und

Um Matrizen hinzuzufügen, müssen Sie ihre entsprechenden Elemente hinzufügen:

Für die Differenz von Matrizen ist die Regel ähnlich, es ist notwendig, den Unterschied der entsprechenden Elemente zu finden.

Beispiel:

Finden Sie den Unterschied der Matrizen ,

Wie entscheiden gegebenes Beispiel einfacher, Verwechslungen zu vermeiden? Es ist ratsam, unnötige Minuspunkte loszuwerden, dazu fügen wir der Matrix ein Minus hinzu:

Hinweis: In der Theorie der höheren Mathematik gibt es keinen Schulbegriff der „Subtraktion“. Anstelle des Satzes „subtrahiere das hiervon“ kannst du auch sagen „addiere eine negative Zahl dazu“. Das heißt, die Subtraktion ist ein Sonderfall der Addition.

5) Aktion fünf. Matrix-Multiplikation.

Welche Matrizen können multipliziert werden?

Damit eine Matrix mit einer Matrix multipliziert werden kann, so dass die Anzahl der Spalten der Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix ist.

Beispiel:
Kann man eine Matrix mit einer Matrix multiplizieren?

Sie können also die Daten der Matrix multiplizieren.

Werden die Matrizen aber umgestellt, dann ist in diesem Fall keine Multiplikation mehr möglich!

Daher ist eine Multiplikation unmöglich:

Nicht selten kommt es bei Aufgaben mit einem Trick vor, dass ein Schüler aufgefordert wird, Matrizen zu multiplizieren, deren Multiplikation offensichtlich unmöglich ist.

Es ist zu beachten, dass es in einigen Fällen möglich ist, Matrizen auf beide Arten zu multiplizieren.
Beispielsweise sind für Matrizen sowohl Multiplikation als auch Multiplikation möglich

Dieses Thema behandelt Operationen wie Addition und Subtraktion von Matrizen, Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl, Multiplikation einer Matrix mit einer Matrix, Matrixtransposition. Alle auf dieser Seite verwendeten Symbole stammen aus dem vorherigen Thema.

Addition und Subtraktion von Matrizen.

Die Summe $A+B$ der Matrizen $A_(m\times n)=(a_(ij))$ und $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ist die Matrix $C_(m \times n) =(c_(ij))$, wobei $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ für alle $i=\overline(1,m)$ und $j=\overline( 1,n) $.

Eine ähnliche Definition wird für die Differenz von Matrizen eingeführt:

Die Differenz $AB$ der Matrizen $A_(m\times n)=(a_(ij))$ und $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ist die Matrix $C_(m\times n)=( c_(ij))$, wobei $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ für alle $i=\overline(1,m)$ und $j=\overline(1, n)$.

Erklärung für den Eintrag $i=\overline(1,m)$: show\hide

Der Eintrag "$i=\overline(1,m)$" bedeutet, dass sich der Parameter $i$ von 1 auf m ändert. Beispielsweise besagt der Eintrag $i=\overline(1,5)$, dass der Parameter $i$ die Werte 1, 2, 3, 4, 5 annimmt.

Es ist erwähnenswert, dass Additions- und Subtraktionsoperationen nur für Matrizen derselben Größe definiert sind. Im Allgemeinen sind die Addition und Subtraktion von Matrizen Operationen, die intuitiv klar sind, weil sie eigentlich nur die Summation oder Subtraktion der entsprechenden Elemente bedeuten.

Beispiel 1

Gegeben sind drei Matrizen:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Ist es möglich, die Matrix $A+F$ zu finden? Finde die Matrizen $C$ und $D$ wenn $C=A+B$ und $D=A-B$.

Matrix $A$ enthält 2 Zeilen und 3 Spalten (mit anderen Worten, die Größe von Matrix $A$ ist $2\times 3$), und Matrix $F$ enthält 2 Zeilen und 2 Spalten. Die Dimensionen der Matrix $A$ und $F$ stimmen nicht überein, also können wir sie nicht addieren, d.h. die Operation $A+F$ für diese Matrizen ist nicht definiert.

Die Größen der Matrizen $A$ und $B$ sind gleich, d.h. Matrixdaten enthalten eine gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten, sodass die Additionsoperation auf sie anwendbar ist.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Finde die Matrix $D=A-B$:

$$ D=AB=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Antworten: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl.

Das Produkt der Matrix $A_(m\times n)=(a_(ij))$ und der Zahl $\alpha$ ist die Matrix $B_(m\times n)=(b_(ij))$, wobei $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ für alle $i=\overline(1,m)$ und $j=\overline(1,n)$.

Einfach ausgedrückt, eine Matrix mit einer Zahl zu multiplizieren bedeutet, jedes Element der gegebenen Matrix mit dieser Zahl zu multiplizieren.

Beispiel #2

Gegeben sei eine Matrix: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Finden Sie die Matrizen $3\cdot A$, $-5\cdot A$ und $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$

Die Notation $-A$ ist eine Abkürzung für $-1\cdot A$. Das heißt, um $-A$ zu finden, müssen Sie alle Elemente der $A$-Matrix mit (-1) multiplizieren. Tatsächlich bedeutet dies, dass sich das Vorzeichen aller Elemente der Matrix $A$ in das Gegenteil ändert:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Antworten: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Das Produkt zweier Matrizen.

Die Definition dieser Operation ist umständlich und auf den ersten Blick unverständlich. Daher werde ich zuerst eine allgemeine Definition angeben und dann im Detail analysieren, was sie bedeutet und wie man damit arbeitet.

Das Produkt der Matrix $A_(m\times n)=(a_(ij))$ und der Matrix $B_(n\times k)=(b_(ij))$ ist die Matrix $C_(m\times k )=(c_(ij))$ wobei jedes Element $c_(ij)$ gleich der Summe der Produkte der entsprechenden Elemente ist i-te Zeile Matrix $A$ durch Elemente der j-ten Spalte von Matrix $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\ ; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Schritt für Schritt analysieren wir die Multiplikation von Matrizen anhand eines Beispiels. Allerdings solltest du sofort darauf achten, dass nicht alle Matrizen multipliziert werden können. Wenn wir die Matrix $A$ mit der Matrix $B$ multiplizieren wollen, müssen wir zuerst sicherstellen, dass die Anzahl der Spalten der Matrix $A$ gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix $B$ ist (solche Matrizen werden oft als einverstanden). Beispielsweise kann die Matrix $A_(5\times 4)$ (Matrix enthält 5 Zeilen und 4 Spalten) nicht mit der Matrix $F_(9\times 8)$ (9 Zeilen und 8 Spalten) multipliziert werden, da die Anzahl der Spalten von Matrix $A $ ist nicht gleich der Zeilenanzahl von Matrix $F$, d.h. $4\neq 9$. Aber es ist möglich, die Matrix $A_(5\times 4)$ mit der Matrix $B_(4\times 9)$ zu multiplizieren, da die Anzahl der Spalten der Matrix $A$ gleich der Anzahl der Zeilen der ist Matrix $B$. In diesem Fall ist das Ergebnis der Multiplikation der Matrizen $A_(5\times 4)$ und $B_(4\times 9)$ die Matrix $C_(5\times 9)$, die 5 Zeilen und 9 Spalten enthält:

Beispiel #3

Gegebene Matrizen: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (array) \right)$ und $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Finde die Matrix $C=A\cdot B$.

Zunächst bestimmen wir gleich die Größe der Matrix $C$. Da die Matrix $A$ die Größe $3\times 4$ hat und die Matrix $B$ die Größe $4\times 2$ hat, ist die Größe der Matrix $C$ gleich $3\times 2$:

Als Ergebnis des Produkts der Matrizen $A$ und $B$ sollten wir also die Matrix $C$ erhalten, die aus drei Zeilen und zwei Spalten besteht: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Wenn die Bezeichnungen der Elemente Fragen aufwerfen, dann können Sie sich das vorherige Thema ansehen: "Matrizen. Arten von Matrizen. Grundbegriffe", zu dessen Beginn die Bezeichnung der Matrixelemente erläutert wird. Unser Ziel ist es, die Werte aller Elemente der Matrix $C$ zu finden.

Beginnen wir mit dem Element $c_(11)$. Um das Element $c_(11)$ zu erhalten, müssen Sie die Summe der Produkte der Elemente der ersten Zeile der Matrix $A$ und der ersten Spalte der Matrix $B$ finden:

Um das Element $c_(11)$ selbst zu finden, müssen Sie die Elemente der ersten Zeile der Matrix $A$ mit den entsprechenden Elementen der ersten Spalte der Matrix $B$ multiplizieren, d.h. das erste Element zum ersten, das zweite zum zweiten, das dritte zum dritten, das vierte zum vierten. Wir fassen die erzielten Ergebnisse zusammen:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Lassen Sie uns die Lösung fortsetzen und $c_(12)$ finden. Dazu müssen Sie die Elemente der ersten Zeile der Matrix $A$ und der zweiten Spalte der Matrix $B$ multiplizieren:

Ähnlich wie beim vorherigen haben wir:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Alle Elemente der ersten Zeile der Matrix $C$ werden gefunden. Wir gehen zur zweiten Zeile über, die mit dem Element $c_(21)$ beginnt. Um es zu finden, müssen Sie die Elemente der zweiten Zeile der Matrix $A$ und der ersten Spalte der Matrix $B$ multiplizieren:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Das nächste Element $c_(22)$ wird gefunden, indem die Elemente der zweiten Zeile der Matrix $A$ mit den entsprechenden Elementen der zweiten Spalte der Matrix $B$ multipliziert werden:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Um $c_(31)$ zu finden, multiplizieren wir die Elemente der dritten Zeile der Matrix $A$ mit den Elementen der ersten Spalte der Matrix $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Und um schließlich das Element $c_(32)$ zu finden, müssen Sie die Elemente der dritten Zeile der Matrix $A$ mit den entsprechenden Elementen der zweiten Spalte der Matrix $B$ multiplizieren:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Alle Elemente der Matrix $C$ werden gefunden, es bleibt nur aufzuschreiben, dass $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \richtig)$ . Oder um es komplett zu schreiben:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Antworten: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Übrigens gibt es oft keinen Grund, die Position jedes Elements der Ergebnismatrix im Detail zu beschreiben. Für Matrizen, deren Größe klein ist, können Sie Folgendes tun:

Es ist auch erwähnenswert, dass die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist. Das bedeutet im Allgemeinen $A\cdot B\neq B\cdot A$. Nur für einige Arten von Matrizen, die aufgerufen werden Permutation(oder Pendeln), die Gleichheit $A\cdot B=B\cdot A$ ist wahr. Aufgrund der Nichtkommutativität der Multiplikation muss genau angegeben werden, wie wir den Ausdruck mit der einen oder anderen Matrix multiplizieren: rechts oder links. Beispielsweise bedeutet der Ausdruck „beide Seiten der Gleichheit $3EF=Y$ mit der Matrix $A$ rechts multiplizieren“, dass Sie die folgende Gleichheit erhalten möchten: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot $.

Transponiert zur Matrix $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ist die Matrix $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, für Elemente mit $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Einfach ausgedrückt, um die transponierte Matrix $A^T$ zu erhalten, müssen Sie die Spalten in der ursprünglichen Matrix $A$ durch die entsprechenden Zeilen nach diesem Prinzip ersetzen: Da war die erste Zeile - die erste Spalte wird; es gab eine zweite Reihe - die zweite Spalte wird; es gab eine dritte Reihe - es wird eine dritte Spalte geben und so weiter. Lassen Sie uns zum Beispiel die transponierte Matrix in die Matrix $A_(3\times 5)$ finden:

Wenn also die ursprüngliche Matrix die Größe $3\times 5$ hatte, dann hat die transponierte Matrix die Größe $5\times 3$.

Einige Eigenschaften von Operationen auf Matrizen.

Es wird hier angenommen, dass $\alpha$, $\beta$ einige Zahlen sind und $A$, $B$, $C$ Matrizen sind. Für die ersten vier Eigenschaften habe ich die Namen angegeben, der Rest kann analog zu den ersten vier benannt werden.

1. $A+B=B+A$ (Kommutativität der Addition)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (Additionsassoziativität)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (Verteilbarkeit der Multiplikation mit einer Matrix bezüglich der Addition von Zahlen)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (Verteilbarkeit der Multiplikation mit einer Zahl bzgl. Matrixaddition)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, wobei $E$ die Identitätsmatrix der entsprechenden Ordnung ist.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, wobei $O$ eine Nullmatrix entsprechender Größe ist.
10. $\links(A^T \rechts)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

Im nächsten Teil wird die Operation zum Potenzieren einer Matrix mit einer nicht negativen ganzzahligen Potenz betrachtet, und es werden Beispiele gelöst, bei denen mehrere Operationen an Matrizen erforderlich sind.