Την έννοια του σημείου σέλας. Kuna Taque Theorem. Η διατύπωση και η απόδειξη του θεώρημα Kuna-takker

Θεώρημα 7.2.Για το πρόβλημα του κυρτού προγραμματισμού (7.4) - (7.6), το σύνολο επιτρεπόμενων λύσεων των οποίων έχει μια ιδιότητα κανονικότητας, το σχέδιο είναι το καλύτερο σχέδιο και μόνο όταν υπάρχει ένας τέτοιος διάνυσμα
- Το σημείο Saddal της λειτουργίας Lagrange.

Αν υποθέσουμε ότι η λειτουργία στόχου
και λειτουργίες Συνεχής και διαφοροποιήσιμος, το θεώρημα Kun-Tacker μπορεί να συμπληρωθεί με αναλυτικές εκφράσεις που καθορίζουν την απαραίτητη και επαρκή κατάσταση για το σημείο
Υπήρχε ένα σημείο σέλας της λειτουργίας Lagrange, δηλ. Ήταν ένα πρόβλημα επίλυσης του κυρτού προγραμματισμού. Αυτές οι εκφράσεις έχουν την ακόλουθη φόρμα:

Οπου και - τις τιμές των αντίστοιχων ιδιωτικών παραγώγων των λειτουργιών Lagrange που υπολογίζονται στο σημείο σέλας.

Το θεώρημα Kuna-takker στη θεωρία του μη γραμμικού προγραμματισμού καταλαμβάνει μια κεντρική θέση. Ισχύει επίσης για τα καθήκοντα του λεγόμενου τετραγωνικού προγραμματισμού, δηλ. όπου η λειτουργία στόχου
Με περιορισμούς:

.

Σε γενικές γραμμές, λύσεις σε μη γραμμικά προβλήματα προγραμματισμού για τον προσδιορισμό του Global Extremma, δεν υπάρχει αποτελεσματική υπολογιστική μέθοδος, αν είναι άγνωστη ότι οποιοδήποτε τοπικό άκρο είναι και τα δύο παγκόσμια. Έτσι, στο πρόβλημα του κυρτή και τετραγωνικούς προγραμματισμούς, πολλές έγκυρες λύσεις κυρτές, εάν η λειτουργία στόχου είναι κοίλη, κάθε τοπικό μέγιστο είναι επίσης παγκόσμιο.

Παράδειγμα 7.3. Με τη βοήθεια του Θεώρου Kun-Takker να βρει
Με περιορισμούς

Λύμαστε γραφικά (Εικ. 7.2) και βρείτε:
;
;
(Για περισσότερες πληροφορίες, δείτε παρακάτω). Δείχνουμε ότι υπάρχει ένας διάνυσμα Y. 0 0, στην οποία στο σημείο βέλτιστου, πραγματοποιούνται οι συνθήκες του επιτραπέζιου ελέγχου. Κάντε μια λειτουργία Lagrange:

Απόφαση
Βρίσκουμε από το σύστημα:
. Από τη δεύτερη εξίσωση
Αντικαταστήσουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος. Διαφοροποίηση :
. Στην έκφραση και Αντικαθιστούμε τις τιμές
και
. Έχοντας τιμές ιδιωτικών παραγώγων περισσότερο μηδέν και με κατάσταση θα πρέπει να είναι μηδέν, τότε =0 και \u003d 0. Αφ 'ετέρου, μπορεί να λάβει μη μηδενικές τιμές, επειδή
Από εδώ
? τα παντα
εκείνοι. Συνεπώς, πραγματοποιούνται συνθήκες Kuna-Tacker, αυτό το σημείο είναι ένα άκρο.

Εικ.7.2. Γραφική λύση του προβλήματος της μη γραμμικής

ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7.3.

Απαιτούμενη κατάσταση λειτουργίας Για το πρόβλημα του μη γραμμικού προγραμματισμού, είναι δυνατόν να διατυπώσουμε ως εξής. Ας είναι
- Βέλτιστη λύση του προβλήματος (7.4) - (7.6) και λειτουργία
,
,
Διαφοροποιεί σε αυτό το σημείο. Αν ένα
- Μη μοναδικό σημείο του επιτρεπόμενου συνόλου των καθηκόντων (7.4) - (7.6), τότε είναι το σημείο του Kuan-Tacker αυτού του στόχου.

Έτσι, εάν το επιτρεπτό σύνολο
Εργασίες (7.4) - (7.6) δεν διαθέτει μοναδικά σημεία και λειτουργίες ΦΑ.(Μ),ΣΟΛ. ΕΓΩ. (Μ), (
) Διαφορετικά σε όλα τα σημεία
Η βέλτιστη λύση σε αυτή την εργασία θα πρέπει να αναζητηθεί μεταξύ των σημείων του Kuna-Tacker.

Όπως είναι γνωστό από τη μαθηματική ανάλυση, Ειδικό σημείο Σύνολα επιτρεπόμενων λύσεων ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων και ανισοτήτων της μορφής

δηλ. Πολλές επιτρεπόμενες λύσεις

Αν στο σημείο
Γραμμικές εξαρτώμενες κλίσεις αυτών των λειτουργιών
που απευθύνεται σε απευθείας σύνδεση . Για παράδειγμα,
- Ειδικό σημείο

Πραγματικά,

Έτσι, το γραμμικά εξαρτημένο σύστημα.

Λειτουργία κλίσης
- Αυτός είναι ένας φορέας των οποίων οι συντεταγμένες είναι αντίστοιχα ίσες με τις αξίες των ιδιωτικών λειτουργιών
Στο σημείο Μ. 0. Αυτός ο φορέας δείχνει την κατεύθυνση της ταχύτερης ανάπτυξης της λειτουργίας.

Η απαιτούμενη κατάσταση βελτιστοποίησης είναι ακατάλληλη για την επίλυση των περισσότερων προβλημάτων του μη γραμμικού προγραμματισμού, επειδή Μόνο σε σπάνιες περιπτώσεις, είναι δυνατόν να βρεθούν όλα τα σημεία του Kuna-Tacker του προβλήματος του μη γραμμικού προγραμματισμού.

Επαρκή προϋπόθεση για τη βελτιστοποίηση Για το πρόβλημα του μη γραμμικού προγραμματισμού: αν
- το σημείο σέλας της λειτουργίας Lagrange για πρόβλημα (7.4) - (7.6), τότε
Είναι η βέλτιστη ανάπτυξη αυτού του έργου.

Αυτή η κατάσταση δεν είναι γενικά απαραίτητη: η λειτουργία Lagrange μπορεί να μην έχει σημεία σέλας, ενώ ταυτόχρονα, το αρχικό πρόβλημα του μη γραμμικού προγραμματισμού έχει την καλύτερη λύση.

Διάφορες μέθοδοι είναι γνωστό ότι βρίσκουν τη βέλτιστη λύση του προβλήματος του μη γραμμικού προγραμματισμού που προσεγγίζεται. Ωστόσο, αυτές οι μέθοδοι δίνουν μια αρκετά καλή προσέγγιση μόνο για το πρόβλημα του κυρτού προγραμματισμού, όπου οποιοδήποτε τοπικό άκρο είναι και τα δύο παγκόσμια. Γενικά, κάτω βαθμίδαΜέθοδοι κατανοούν τις μεθόδους στις οποίες η κίνηση στο σημείο βέλτιστης λειτουργίας συμπίπτει με την κατεύθυνση της κλίσης αυτής της λειτουργίας, δηλ. Ξεκινώντας από κάποιο σημείο
Μια διαδοχική μετάβαση σε ορισμένα άλλα σημεία πραγματοποιείται μέχρις ότου αποκαλυφθεί αποδεκτή λύση της αρχικής εργασίας. Στην περίπτωση αυτή, οι μέθοδοι κλίσης μπορούν να χωριστούν σε 2 Ομάδες.

ΠΡΟΣ ΤΗΝ πρώταΗ ομάδα περιλαμβάνει μεθόδους κατά τη χρήση των σημείων δοκιμών δεν υπερβαίνει τα όρια των επιτρεπόμενων λύσεων του προβλήματος. Το πιο συνηθισμένο τέτοιες μεθόδους είναι η μέθοδος Frank-Wolf (Wulf). Η μέθοδος τέτοιων μεθόδων περιλαμβάνει τη μέθοδο Σχεδιασμένα Rosen κλίσεις, μέθοδος Επιτρεπόμενες περιοχές της Zoitenka.

Ko δεύτεροςΗ ομάδα περιλαμβάνει μεθόδους, όταν χρησιμοποιείτε την οποία τα μελετημένα σημεία μπορούν να ανήκουν και τα δύο και δεν ανήκουν στην περιοχή των επιτρεπτών λύσεων. Ωστόσο, ως αποτέλεσμα της εφαρμογής της επαναληπτικής διαδικασίας, υπάρχει ένα σημείο της περιοχής επιτρεπόμενων λύσεων που ορίζουν μια αποδεκτή λύση.

Από αυτές τις μεθόδους, η μέθοδος χρησιμοποιείται συχνότερα Λειτουργίες ποινής ή τη μέθοδο Arrow gurvitsa.

Κατά την επίλυση προβλημάτων με μεθόδους κλίσης, συμπεριλαμβανομένων εκείνων που ονομάζονται, η επαναληπτική διαδικασία πραγματοποιείται μέχρι τη βαθμίδα της λειτουργίας
Στο επόμενο σημείο
δεν θα είναι μηδέν ή μέχρι στιγμής
όπου - Ένας επαρκώς μικρός θετικός αριθμός που χαρακτηρίζει την ακρίβεια του ληφθέντος διαλύματος.

Η λύση σύνθετων προβλημάτων μη γραμμικού προγραμματισμού με μεθόδους κλίσης σχετίζεται με μεγάλο όγκο υπολογιστών και κατάλληλα μόνο υπολογιστές.

Στο παράδειγμα, δείχνουμε τη γενική έννοια των μεθόδων κλίσης για την επίλυση των προβλημάτων του μη γραμμικού προγραμματισμού.

Αφήστε να υπάρξει μια λειτουργία δύο μεταβλητών
. Αφήστε τις αρχικές τιμές των μεταβλητών να είναι
και την αξία της λειτουργίας
. Αν ένα
Δεν είναι ένα άκρο, τότε εντοπίστε τέτοιες νέες τιμές μεταβλητών.
και
έτσι ώστε η ακόλουθη λειτουργία
Αποδείχθηκε ότι ήταν πιο κοντά στο βέλτιστο από το προηγούμενο.

Πώς προσδιορίζεται το μέγεθος των αυξήσεων και ? Για αυτό στα σημεία και Η κατεύθυνση των αλλαγών στη λειτουργία προς το άκρο προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας μια κλίση. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του ιδιωτικού παραγώγου, τόσο πιο γρήγορα η λειτουργία αλλάζει προς το άκρο. Επομένως, τις αυξήσεις και Επιλέξτε αναλογικές τιμές ιδιωτικών παραγώγων και Σε σημεία
και
. Με αυτόν τον τρόπο,
και
όπου - μια τιμή που ονομάζεται ένα βήμα που κατέχει την κλίμακα των αλλαγών και .

Παράδειγμα 7.4.

Ας είναι απαραίτητο να μεγιστοποιήσετε τη λειτουργία

(Μέγιστο σημείο (3, 2))

.

Στο σημείο
,
Για
έχω

;
,

Ας σχεδιάσουμε μια άλλη επανάληψη. Στο σημείο
,
Για
έχω

;
,

Εικ.7.3. Γεωμετρική ερμηνεία δύο βημάτων

Μέθοδος κλίσης για παράδειγμα 7.4

Στο ΣΧ. 7.3 παρουσιάζει ένα κίνημα κλίσης που διεξήχθη στο Αυτό το παράδειγμα. Στάση Υποδεικνύει την κατεύθυνση αλλαγής της λειτουργίας προς το μέγιστο. Εάν η κλίση γίνεται με ένα σήμα μείον, τότε θα προχωρήσουμε προς το ελάχιστο.

Το συγκεκριμένο πρόβλημα των μεθόδων κλίσης είναι η επιλογή της βαθμίδας τιμής Τ.. Εάν βάζετε ένα μικρό βήμα, τότε θα αναζητήσουμε πολύ καιρό. Αν επιλέξετε την αξία του πολύ μεγάλη, τότε μπορείτε να "γλιστρήσετε" βέλτιστο. Το ενδιάμεσο έργο επιλογής του βέλτιστου βαθμιδίου βήματος επιλύεται με τις αντίστοιχες μεθόδους. Αν βήμα Τ. Προσδιορίζεται περίπου, τότε, κατά κανόνα, δεν είναι στο βέλτιστο, αλλά στη ζώνη του. Μέθοδοι κλίσης εξασφαλίζουν τον ορισμό του τοπικού βέλτιστου. Όταν βρίσκουν ένα παγκόσμιο βέλτιστο με μια κλίση, υπάρχει συχνά αμφιβολία ότι το βέλτιστο που βρέθηκε είναι παγκόσμιο. Αυτό είναι ένα μειονέκτημα αυτής της μεθόδου κατά την επίλυση των καθηκόντων του μη άκυρου προγραμματισμού.

Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο

Θέτοντας το πρόβλημα του μη γραμμικού προγραμματισμού.

Η διαδικασία εξεύρεσης μιας λύσης στο πρόβλημα του μη γραμμικού προγραμματισμού χρησιμοποιώντας τη γεωμετρική της ερμηνεία.

Αλγόριθμος της μεθόδου Lagrange της επίλυσης του προβλήματος του μη γραμμικού προγραμματισμού.

Η χρήση της μεθόδου Lagrange για την επίλυση του προβλήματος του μη γραμμικού προγραμματισμού στην περίπτωση που οι συνθήκες επικοινωνίας είναι ανισότητες.

Οι βοηθητικοί ορισμοί και τα θεωρήματα που είναι απαραίτητα για να εξετάσουν το κεντρικό θεώρημα του μη γραμμικού προγραμματισμού είναι το θεώρημα Kuna-takker.

Kuna Taque Theorem.

Απαιτείται και επαρκής προϋπόθεση βελτιστοποίησης για το πρόβλημα του μη γραμμικού προγραμματισμού.

Η γενική έννοια των μεθόδων κλίσης κατά προσέγγιση λύση των μη γραμμικών προβλημάτων προγραμματισμού.

Ομάδα μεθόδων κλίσης κατά προσέγγιση λύση των μη γραμμικών προβλημάτων προγραμματισμού.

Γράφουμε τη λειτουργία Lagrange: (4)
όπου λ, i \u003d 1..M είναι αβέβαιοι πολλαπλασιαστές lagrange. z (x) και Q i (x) - Κυρότερη λειτουργία.

Coon Tracker Theorem. Προκειμένου το σχέδιο x 0 να είναι μια λύση του προβλήματος (1) - (4), είναι απαραίτητο και αρκετό για τον φορέα λ 0 ≥ 0 έτσι ώστε το ζεύγος (x 0, λ 0,0) για όλα τα x ≥ 0 και Λ ≥ 0.
L (x, λ 0) ≤ l (x 0, λ 0) ≤ l (x 0, λ)

Διορισμός υπηρεσίας. Η ηλεκτρονική αριθμομηχανή χρησιμοποιείται για να βρει μια λειτουργία εξτρεμίου μέσω πολλαπλασιαστών Lagrange στο online Mode Με την επαλήθευση των λύσεων στο MS Excel. Ταυτόχρονα, επιλύονται τα ακόλουθα καθήκοντα:

1. Η λειτουργία Lagrange Lagrange καταρτίζεται ως ένας γραμμικός συνδυασμός της λειτουργίας f (x) και των περιορισμών g i (x).
2. Υπάρχουν ιδιωτικά παράγωγα λειτουργιών Lagrange, ∂l / ∂x i, ∂l / ∂λ i;
3. Ένα σύστημα είναι κατασκευασμένο από (n + m) εξισώσεων, ∂l / ∂x i \u003d 0.
4. Οι μεταβλητές X I και οι πολλαπλασιαστές Lagrange Α i) προσδιορίζονται.

Αριθμός περιορισμών, g i (x) 1 2 3 4
Περιορισμοί x i ≥ 0.

.

Στη λειτουργία δύο μεταβλητών φορέα (4) είχαν ένα σημείο σέλας, είναι απαραίτητο και αρκετά για να εκτελέσει τα ακόλουθα Συνθήκες CUNA-TECKER:
(5)
(6)
(7)
(8)

Εάν η εργασία επιλυθεί Σμικροποίηση, τότε υπάρχει σημείο καθίσματος (x 0, y 0) εάν εκτελούνται οι σχέσεις
L (x, λ 0) ≤ l (x 0, y 0) ≤ l (x 0, y)
Οι συνθήκες του Kun-Tacker της ύπαρξης του σημείου σέλας της λειτουργίας Lagrange θα αλλάξουν το σύμβολο (5) και (7) στο αντίθετο.

Παράδειγμα. Ελέγξτε την εκπλήρωση των δεξαμενών Coon. Βρείτε το βέλτιστο σημείο των γραμμικών εργασιών προγραμματισμού με τους περιορισμούς:
f (x) \u003d x 1 2 -x 2 → min
g 1 (x) \u003d x 1 - 1 ≥ 0
g 2 (x) \u003d 26 - x 1 2 -x 2 2 ≥ 0
h 1 (x) \u003d x 1 + x 2 - 6 \u003d 0

Απόφαση:
Λειτουργία Lagrange: L (x, λ) \u003d x 1 2 -x 2- λ 1 (1-χ 1) + λ3 (26- (χ 1 2 + χ 2 2)) + λ3 (6- (x 1 + x 2))
Η προϋπόθεση για τα άκρα της λειτουργίας Lagrange είναι η ισότητα μηδέν από τα ιδιωτικά παράγωγά του σε μεταβλητά I και αόριστους πολλαπλασιαστές λ.
Ελέγξτε την εκπλήρωση των δεξαμενών Coon. Υπολογίστε τους πίνακες των δεύτερων παραγώγων Λειτουργία στόχου και λειτουργίες περιορισμού.

Το Hesse Matrix H F είναι θετικά semeed σε όλες τις τιμές x, επομένως F (x) - κυρτή λειτουργία.
Το όριο g 1 (x) είναι μια γραμμική λειτουργία, η οποία είναι ταυτόχρονα κυρτή και κοίλη.
Η μήτρα Hessse για τη λειτουργία G 2 (x) έχει τη μορφή:

Δ1 \u003d -2, Δ 2 \u003d 4.
Δεδομένου ότι η μήτρα Η G 2 αποφασίζεται αρνητικά, τότε η G 2 (x) είναι κοίλη.
Η λειτουργία Η 1 (Χ) περιλαμβάνεται στον γραμμικό περιορισμό με τη μορφή της ισότητας. Κατά συνέπεια, πληρούνται οι συνθήκες (α), β) και γ) θεώρημα 1. Θα βρούμε τώρα το σημείο βέλτιστου x *.
Εχουμε:


Η εξίσωση λαμβάνει την ακόλουθη φόρμα:

Για j \u003d 1 και j \u003d 2, αντίστοιχα, μπορείτε να πάρετε τις ακόλουθες εκφράσεις:
j \u003d 1, 2x 1 -Μ 1 + 2x 2 μ 2 + λ 1 \u003d 0
j \u003d 2, -1 + 2x 2 μ2 + λ 1 \u003d 0
Έτσι, οι συνθήκες Coon-Takker για το παράδειγμά μας είναι οι εξής:
2x 1 -Μ 1 + 2x 2x 2 μ 2 + λ 1 \u003d 0
-1 + 2x 2x 2 μ 2 + λ 1 \u003d 0
x 1 + x 2 - 6 \u003d 0
Μ 1 (x 1 -1) \u003d 0
Μ 2 (26 - x 1 2 - x 2 2) \u003d 0
Μ 1, μ 2 ≥ 0

Από την τρίτη εξίσωση βρίσκουμε: x 1 \u003d 6-x 2. Σωστικό η τιμή του X 1 στις άλλες εξισώσεις, έχουμε:
2 (6-x 2) - μ 1 + 2Μ2 (6-x 2)
-1 + 2x 2x 2 μ 2 + λ 1 \u003d 0
Μ 1 (6-x 2 -1) \u003d 0 → x 2 \u003d 5, x 1 \u003d 1
μ 2 (26 - (6-x 2) 2 - x 2 2) \u003d 0
Υποκατάστατο x 2 \u003d 5 στην πρώτη και δεύτερη εξίσωση:

Από τη δεύτερη εξίσωση, Express λ και υποκατάστατο στην πρώτη εξίσωση:
3 - Μ 1 - 8Μ 2 \u003d 0
Ας μου μΐ \u003d 0,1 ≥ 0, κατόπιν μ2 \u003d 2,2 ≥ 0. Έτσι, το σημείο Χ * \u003d είναι ένα ελάχιστο σημείο.

Στην προηγούμενη ενότητα, κατασκευάζονται οι συνθήκες COON-Cker για εργασίες βελτιστοποίησης υπό όρους. Με τη βοήθεια της μεθόδου των πολλαπλασιαστών Lagrange, μια διαισθητική ιδέα ότι οι συνθήκες του coon - το δεξαμενόπλοιο συνδέονται στενά με τις απαραίτητες προϋποθέσεις για τη βελτιστοποίηση. Αυτή η ενότητα συζητά αυστηρά σκευάσματα των απαραίτητων και επαρκών συνθηκών για τη βελτιστοποίηση της επίλυσης του προβλήματος του μη γραμμικού προγραμματισμού.

Θεώρημα 1. Η ανάγκη για coon takker

Εξετάστε το πρόβλημα του μη γραμμικού προγραμματισμού (0) - (2). Ας είναι διαφοροποιήσιμες λειτουργίες και x * - η επιτρεπόμενη λύση αυτής της εργασίας. Βάζω. Στη συνέχεια, αφήστε το γραμμικά ανεξάρτητα. Εάν το x * είναι η βέλτιστη λύση στο πρόβλημα του μη γραμμικού προγραμματισμού, τότε υπάρχει ένα τέτοιο ζευγάρι φορείς, το οποίο είναι το διάλυμα του προβλήματος Koon-Tacker (3) - (7).

Η κατάσταση σύμφωνα με την οποία πρέπει να είναι γραμμική ανεξάρτητη, είναι γνωστή ως προϋπόθεση γραμμικής ανεξαρτησίας και ουσιαστικά αντιπροσωπεύει μια ορισμένη προϋπόθεση της κανονικότητας της επιτρεπόμενης περιοχής, η οποία σχεδόν πάντα εκτελείται για εργασίες βελτιστοποίησης. Ωστόσο, γενικά, ο έλεγχος της εκπλήρωσης της κατάστασης της γραμμικής ανεξαρτησίας είναι πολύ δύσκολη, καθώς απαιτείται η βέλτιστη λύση του προβλήματος είναι γνωστή εκ των προτέρων. Ταυτόχρονα, η κατάσταση της γραμμικής ανεξαρτησίας πραγματοποιείται πάντοτε για μη γραμμικά καθήκοντα προγραμματισμού με τις ακόλουθες ιδιότητες.

• 1. Όλοι οι περιορισμοί υπό μορφή ισοτιμιών και ανισοτήτων περιέχουν γραμμικές λειτουργίες.
• 2. Όλοι οι περιορισμοί υπό τη μορφή ανισοτήτων περιέχουν κοίλες λειτουργίες, όλοι οι περιορισμοί ισότητας είναι γραμμικές λειτουργίες και υπάρχει επίσης τουλάχιστον ένα επιτρεπτό σημείο Χ, το οποίο βρίσκεται στο εσωτερικό τμήμα της περιοχής που ορίζεται από τις ανισότητες. Με άλλα λόγια, υπάρχει ένα τέτοιο σημείο x ότι

Εάν δεν εκτελείται η κατάσταση της γραμμικής ανεξαρτησίας στο σημείο βέλτιστης περιοχής, η εργασία Kun-Tacker ενδέχεται να μην έχει λύσεις.

Σμικροποιώ

Με περιορισμούς

Στο ΣΧ. Το 1 δείχνει την περιοχή των επιτρεπόμενων διαλυμάτων που διατυπώνονται πάνω από την μη γραμμική εργασία. Είναι σαφές ότι η βέλτιστη λύση σε αυτή την εργασία είναι. Δείχνουμε ότι η κατάσταση της γραμμικής ανεξαρτησίας δεν εκτελείται στο σημείο του βέλτιστου.

Σύκο.

Είναι εύκολο να δείτε ότι οι φορείς είναι γραμμικά εξαρτώμενοι, δηλ. Η κατάσταση της γραμμικής ανεξαρτησίας στο σημείο δεν εκτελείται.

Γράφουμε τις συνθήκες του Kuna-Tacker και ελέγξτε αν εκτελούνται στο σημείο (1, 0). Οι συνθήκες (3), (6) και (7) λαμβάνουν την ακόλουθη μορφή.

Με την εξίσωση (11) προκύπτει ότι, ενώ η εξίσωση (14) δίνει, επομένως, το βέλτιστο σημείο δεν αποτελεί σημείο της δεξαμενής αυτοκινήτου.

Σημειώστε ότι η παραβίαση της κατάστασης της γραμμικής ανεξαρτησίας δεν σημαίνει απαραίτητα ότι το σημείο της δεξαμενής δεξαμενής δεν υπάρχει. Για να το επιβεβαιώσετε αυτό, αντικαταστήστε τη λειτουργία στόχου από τη λειτουργία αυτού του παραδείγματος. Σε αυτή την περίπτωση, το βέλτιστο εξακολουθεί να επιτυγχάνεται στο σημείο (1.0), στο οποίο δεν εκτελείται η κατάσταση της γραμμικής ανεξαρτησίας. Οι συνθήκες KUNA-TUCKER (12) - (16) παραμένουν αμετάβλητες και η εξίσωση (11) παίρνει

Είναι εύκολο να ελέγξετε ότι το σημείο είναι ένα σημείο του Kuna-Takker, δηλ. Ικανοποιεί τις συνθήκες του coon-tacker.

Το θεώρημα της ανάγκης για τις συνθήκες Coon-Tacker σας επιτρέπει να εντοπίσετε μη βέλτιστα σημεία. Με άλλα λόγια, το θεώρημα 1 μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξει ότι το δεδομένο επιτρεπτό σημείο που ικανοποιεί την κατάσταση της γραμμικής ανεξαρτησίας δεν είναι βέλτιστη εάν δεν πληροί τις συνθήκες του Kun-takker. Από την άλλη πλευρά, εάν σε αυτό το σημείο εκτελείται η κατάσταση του Kun-Tacker, τότε δεν υπάρχει καμία εγγύηση ότι βρίσκεται η βέλτιστη λύση της μη γραμμικής εργασίας. Για παράδειγμα, εξετάστε το ακόλουθο έργο του μη γραμμικού προγραμματισμού.

Το ακόλουθο θεωρητικό θεσπίζει τις συνθήκες κατά την εκτέλεση του σημείου Kuna-takker αντιστοιχεί αυτόματα στη βέλτιστη λύση του προβλήματος του μη γραμμικού προγραμματισμού.

Θεώρημα 2. Συνθήκες επάρκειας coon-tracker

Εξετάστε το πρόβλημα του μη γραμμικού προγραμματισμού (0) - (2). Αφήστε τη λειτουργία στόχου κυρτή, όλοι οι περιορισμοί με τη μορφή ανισοτήτων περιέχουν κοίλες λειτουργίες και οι περιορισμοί υπό τη μορφή ισοτιμιών περιέχουν γραμμικές λειτουργίες. Στη συνέχεια, εάν υπάρχει μια λύση που ικανοποιεί τις συνθήκες του Kun-Tacker (3) - (7), X * είναι η βέλτιστη λύση στο πρόβλημα του μη γραμμικού προγραμματισμού.

Εάν εκτελούνται οι συνθήκες του θεώρημα 2, τότε το σημείο διάταξης του Kuna-takker παρέχει τη βέλτιστη λύση στο πρόβλημα του μη γραμμικού προγραμματισμού.

Το θεώρημα 2 μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να αποδειχθεί η βελτιστοποίηση. Αυτή η λύση Εργασίες προγραμματισμού Nelinear. Ως απεικόνιση, θα εξετάσουμε το παράδειγμα:

Σμικροποιώ

Με περιορισμούς

Με τη βοήθεια του Θεώρημα 2, αποδεικνύουμε ότι η λύση είναι βέλτιστη. Εχω

Δεδομένου ότι η μήτρα είναι θετικά semeed για όλα τα x, η λειτουργία αποδειχθεί κυρτή. Ο πρώτος περιορισμός με τη μορφή ανισότητας περιέχει Γραμμική λειτουργίαη οποία ταυτόχρονα τόσο κυρτό όσο και κοίλη. Για

Για να δείξετε ότι η λειτουργία είναι κοίλη, υπολογίστε

Δεδομένου ότι η μήτρα ορίζεται αρνητικά, η λειτουργία είναι κοίλη. Η λειτουργία περιλαμβάνεται σε γραμμικό περιορισμό στην ισότητα Videia. Κατά συνέπεια, πληρούνται όλες οι συνθήκες θεώρημα 2. Αν το δείξουμε αυτό - το σημείο του Kun-takker, τότε δημιουργεί πραγματικά τη βελτιστοποίηση της λύσης. Οι συνθήκες KUNA-TUCKER για παράδειγμα 2 είναι

Το σημείο ικανοποιεί τους περιορισμούς (24) - (26) και, ως εκ τούτου, επιτρέπεται. Οι εξισώσεις (22) και (23) λαμβάνουν την ακόλουθη φόρμα:

Βάζοντας, παίρνουμε και. Έτσι, η λύση X * \u003d (1, 5), ικανοποιεί τις συνθήκες του Kun-Takker. Δεδομένου ότι πληρούνται οι συνθήκες θεώρημα 2, η βέλτιστη λύση του προβλήματος από το Παράδειγμα 3. Σημειώνεται ότι υπάρχουν και άλλες τιμές που ικανοποιούν το σύστημα (22) - (29).

Παρατηρήσεις

• 1. Για όσους συναντώνται στην πρακτική των καθηκόντων, συνήθως πραγματοποιείται η κατάσταση της γραμμικής ανεξαρτησίας. Εάν η εργασία είναι όλες οι διαφορικές λειτουργίες, το σημείο Tacker Kun-Tacker θα πρέπει να θεωρείται ως πιθανό σημείο βέλτιστης. Έτσι, πολλές από τις μεθόδους του μη γραμμικού προγραμματισμού συγκλίνουν στο σημείο του Kuna-Tacker. (Εδώ είναι σκόπιμο να γίνει μια αναλογία με την περίπτωση της άνευ όρων βελτιστοποίησης, όταν οι αντίστοιχοι αλγόριθμοι σάς επιτρέπουν να ορίσετε ένα σταθερό σημείο.)
• 2. Εάν πληρούνται οι συνθήκες του θεωρήματος 2, το σημείο Kuna-takker ταυτόχρονα αποδεικνύεται ότι είναι ένα παγκόσμιο ελάχιστο σημείο. Δυστυχώς, η επιθεώρηση επαρκών συνθηκών είναι πολύ δύσκολη και, επιπλέον, οι εφαρμοζόμενες εργασίες συχνά δεν έχουν τις απαιτούμενες ιδιότητες. Πρέπει να σημειωθεί ότι η παρουσία τουλάχιστον ενός μη γραμμικού περιορισμού με τη μορφή ισότητας οδηγεί σε παραβίαση των υποθέσεων του θεωρητικού 2.
• 3. Οι επαρκείς προϋποθέσεις που καθορίζονται από το θεώρημα 2 μπορούν να γενικευθούν σε περίπτωση καθηκόντων με μη αποσυνδέσεις λειτουργίες που περιλαμβάνονται στους περιορισμούς υπό μορφή ανισοτήτων, μη αποσυνδέσεως λειτουργιών στόχου και μη γραμμικών περιορισμών ισότητας. Αυτό χρησιμοποιεί τέτοιες γενικεύσεις κυρτών λειτουργιών όπως λειτουργίες οιονεί οστών και ψευδο-πόρπης.

Η κεντρική θέση στη θεωρία του μη γραμμικού προγραμματισμού καταλαμβάνει το θεώρημα Kuna-takker. Αφήστε το έργο του μη γραμμικού προγραμματισμού:

Βρείτε τη μέγιστη λειτουργία Z.=ΦΑ.(x 1, x 2, ..., x N.) Με περιορισμούς

Θα διαμορφώσουμε μια λειτουργία Lagrange για αυτή την εργασία:

(4.2)

Εάν πληρούται μια κατάσταση κανονικότητας (υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Χ για το οποίο g Ι.(Χ.)\u003e 0 για όλους ΕΓΩ.), τότε λαμβάνει χώρα το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα.Διάνυσμα Χ. (0) εάν και μόνο τότε είναι η βέλτιστη λύση του προβλήματος (4.1), όταν υπάρχει ένας τέτοιος φορέας λ (0), ο οποίος για όλα

Σημείο X (0), Λ (0)) που ονομάζεται ΣάντλοβαΣημείο για τη λειτουργία ΦΑ.(Χ., Λ), και το θεώρημα καλείται Θεωρητικό στο σημείο σέλας.Αποδεικνύουμε την επάρκεια των συνθηκών (4.3).

Απόδειξη. Ας είναι Χ. (0)\u003e 0 και λ (0)\u003e 0 - Sedlovaya Σημείο λειτουργιών ΦΑ.(Χ., Λ). Εάν στο (4.3) αντ 'αυτού ΦΑ.(Χ., Λ) Αντικαταστήστε την τιμή (4.2), τότε παίρνουμε

Για .

Η σωστή ανισότητα ισχύει για οποιαδήποτε, επομένως,

Στη συνέχεια, πάρτε από την αριστερή ανισότητα

Όπως ταυτόχρονα

ότι ΦΑ.(X (0))>ΦΑ.(Χ.).

Έτσι το σημείο X (0)ικανοποιεί (4.1) και σε όλα τα άλλα σημεία που ικανοποιούν (4.1), η λειτουργία παίρνει την αξία μικρότερη από X (0).

Αυτή η δήλωση οδηγεί στη λύση της εργασίας NLP για να βρείτε τα σημεία σέλας της λειτουργίας Lagrange ΦΑ.(Χ.,Λ).

Η απόδειξη της ανάγκης για όρους (4.3) δεν λαμβάνεται υπόψη η πολυπλοκότητά της.

Αν ένα ΦΑ.(Χ.) ΕΓΩ. g Ι.(Χ.) -Εφθαρμένες λειτουργίες, τότε οι συνθήκες (4.3) είναι ισοδύναμες με τις ακόλουθες τοπικές συνθήκες του Kuna-Takker:

Εκφραση

σημαίνει ότι η τιμή του ιδιωτικού παραγώγου της λειτουργίας Lagrange λαμβάνεται στο σημείο ( X (0), Λ (0)), όπου

X (0)=(x 1 (0) , x 2 (0) , ..., x N. (0)), λ (0) \u003d (λ 1 (0) , λ 2 (0) , ..., λ Ν. (0)).

Αυτές οι συνθήκες μπορούν να γραφτούν σε μορφή φορέα:

Παράδειγμα. Βρείτε max Z.=-Χ. 1 2 -Χ. 2 2 Κατά τους περιορισμούς

Δείχνουμε ότι υπάρχει λ (0) 0, στην οποία οι συνθήκες KUNA-TUCKER (4.4) (4.5) εκτελούνται στο βέλτιστο σημείο, (4.5) για τη λειτουργία ΦΑ.(Χ.,Λ):

ΦΑ.(Χ.,Λ)=- Χ. 1 2 -Χ. 2 2 + λ 1 (2 Χ. 1 +Χ. 2 -2) + λ 2 (8-2 Χ. 1 -Χ. 2) + λ 3 (6- Χ. 1 -Χ. 2).

Σύμφωνα με τις συνθήκες (4.5) λ 2 και λ3, οι μηδενικές τιμές πρέπει να λαμβάνουν, επειδή, υποκαθιστώντας Χ. 1 \u003d 0,8 και Χ. 2 \u003d 0,4 σε εκφράσεις

έχουν τιμές, μεγάλο μηδέν, αλλά με προϋπόθεση

Σύμφωνα με την κατάσταση λ 1, μπορεί να λάβει μη μηδενική τιμή, από τότε

Σύμφωνα με το (2.16) παράγωγο

πρέπει να λαμβάνουν μηδενικές τιμές ως συντεταγμένες του φορέα X (0)Διαφορετικό από το μηδέν. Βρίσκουμε λ 1 \u003d 0,8. Ως εκ τούτου, στο σημείο ( X (0), Λ (0)) Οι συνθήκες υποβολής των περιπτώσεων εκτελούνται και είναι πράγματι ένα σημείο άκρου.

Εξετάστε τις συνθήκες του Coon Treker σε μια ελαφρώς διαφορετική μορφή.

Ας έχουμε το πρόβλημα της βελτιστοποίησης με περιορισμούς υπό τη μορφή ισοτιμιών:

z.= ΦΑ.(Χ. 1 , Χ. 2 , …, xn.) → ελάχιστο

υπο προυποθεσεις:

g 1 ( Χ. 1 , Χ. 2 , ... , x N.) = 0,

g 2 ( Χ. 1 , Χ. 2 , ... , x N.) = 0,

ΣΟΛ. Ν.(Χ. 1 , Χ. 2 , . . . , x N.) = 0.

Λειτουργία ελάχιστης σημείων υπό όρους ΦΑ. Συμπίπτει με το σημείο σέλας της λειτουργίας Lagrange:

Ταυτόχρονα, το σημείο σέλας θα πρέπει να παρέχει τουλάχιστον τις μεταβλητές τους. x i.και μέγιστη μεταβλητή λ Ι..

Οι απαραίτητες προϋποθέσεις του στατικού σημείου είναι η ισότητα μηδέν από τα ιδιωτικά παράγωγα της πρώτης τάξης σε όλους τους αναπληρωτές:

Σημειώστε ότι από τη δεύτερη εξίσωση προκύπτει ότι μόνο επιτρεπόμενα σημεία θα πληρούν τις απαραίτητες προϋποθέσεις.

Για να επιτευχθεί επαρκής προϋπόθεση για την ύπαρξη ενός ελάχιστου, είναι απαραίτητο να προστεθεί η απαίτηση της θετικής σιγνότητας της λειτουργίας του Hessian Target.

Σκεφτείτε Γενικός Το καθήκον του μαθηματικού προγραμματισμού:

Z \u003d. ΦΑ.(X) → min,

υπο προυποθεσεις:

Οι περιορισμοί υπό μορφή ανισοτήτων μπορούν να μετατραπούν σε περιορισμούς υπό τη μορφή ισοτιμιών προσθέτοντας σε κάθε ένα από αυτά Αποδυναμώνω μεταβλητές

Δημιουργούμε μια λειτουργία Lagrange:

Στη συνέχεια, οι απαιτούμενες ελάχιστες συνθήκες λαμβάνουν τη φόρμα:

Η δεύτερη εξίσωση μπορεί να μετατραπεί με την απόρριψη μεταβλητών αποδυνάμωσης και τη μετάβαση σε περιορισμούς ανισότητας. Λαμβάνουμε περιορισμούς της αρχικής εργασίας. Η τρίτη εξίσωση μπορεί να πολλαπλασιαστεί ui/ 2 και να αντικαταστήσετε τις μεταβλητές αποδυνάμωσης εκφράζοντάς τα από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος.

Υπάρχει μια άλλη προϋπόθεση που πρέπει να εκτελείται σε ένα ελάχιστο σημείο. Αυτή η κατάσταση: Λ ΕΓΩ.\u003d 0, η οποία είναι συνέπεια της ανάλυσης της φυσικής σημασίας των συντελεστών της λειτουργίας Lagrange.

Μπορείτε να το δείξετε

Συντελεστή Lagrange σε ένα ελάχιστο σημείο.

ΦΑ.* - τη βέλτιστη τιμή της λειτουργίας.

Προφανώς, κατά την αύξηση του b ΕΓΩ. Η επιτρεπόμενη περιοχή επεκτείνεται, πράγμα που σημαίνει ότι η ελάχιστη τιμή μπορεί να μειωθεί μόνο, δηλαδή το παράγωγο πρέπει να είναι αρνητικό (αδιάβροχο). Κατά συνέπεια, στο σημείο του ελάχιστου υπό όρους

Λάβαμε τελικά τις απαραίτητες προϋποθέσεις για την προϋπόθεση Ελάχιστο:

Οι εκφράσεις στη δεύτερη γραμμή εξασφαλίζουν ότι το βέλτιστο σημείο θα επιτρεπτό.

Η τρίτη γραμμή περιέχει τις ακόλουθες πληροφορίες: Εάν το όριο είναι ενεργά (δηλ., Η έκφραση σε παρένθεση είναι μηδέν), τότε ο αντίστοιχος συντελεστής Lagrange είναι αυστηρά θετικός. Η θετικότητα του συντελεστή Lagrange σημαίνει τη δραστηριότητα του αντίστοιχου περιορισμού, δηλ. Το γεγονός ότι αυτός ο περιορισμός είναι ανεπαρκής, είναι ότι σταματά περαιτέρω βελτίωση της λειτουργίας στόχου. Εάν το όριο δεν είναι ενεργό (δηλ., Η έκφραση σε παρένθεση δεν είναι μηδέν), τότε ο αντίστοιχος συντελεστής Lagrange πρέπει να είναι μηδέν, δηλ. Αυτός ο περιορισμός δεν είναι διάσπαρτος, δεν επηρεάζει την περαιτέρω βελτίωση της λειτουργίας στόχου.

Για το σημείο του μέγιστου υπό όρους, οι συντελεστές Lagrange αλλάζουν το σήμα στο αντίθετο (επειδή η βέλτιστη τιμή της λειτουργίας στόχου στο σημείο του μέγιστου υπό όρους πρέπει να αυξηθεί).

Οι συνθήκες είναι ισοδύναμες coon Treker Theorem Και συχνά αναφέρονται στο ίδιο.

Μια επαρκής προϋπόθεση για ένα ελάχιστο (μέγιστο) είναι η κυρτότητα (κοίλη) της λειτουργίας στόχου σε ένα σταθερό σημείο. Αυτό σημαίνει ότι ο Hessian πρέπει να είναι θετικός (αρνητικά).

Η συνεπής αναπαράσταση του υλικού αυτού του κεφαλαίου μπορεί να προβληθεί σε δύο παρουσιάσεις:

Αρχείο "μη γραμμικός προγραμματισμός".

Αρχείο "Θεώρημα Kuna-Takker".

Στις διαφάνειες των 10-14, η παρουσίαση του "Θεώρου Kuna-Takker" δείχνει ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος Kuna-takker.

4.5. Ερωτήσεις ελέγχου

(Αναπτύχθηκε από τον Afanasyev M.yu. και Suvorov B.P.)

Ερώτηση 1. Dana έγκυρη λειτουργία ΦΑ.(Η. ΜΙΚΡΟ. \u003d. Ας είναι Η. 1 Ι. Η. 2 - Σημεία αυτού του τμήματος και 0 £ 1 £ 1.

Ποια από την ανισότητα παρακάτω είναι η προϋπόθεση της κυρτότητας της λειτουργίας;

Απαντήσεις Επιλογές:

Ερώτηση 2. Dana έγκυρη λειτουργία ΦΑ.(Χ.) που ορίζεται στο τμήμα έγκυρων αριθμών S \u003d.. Ας είναι Χ. 1 Ι. Χ. 2 - Σημεία αυτού του τμήματος και 0 £ l £ 1.

Ποια από την ανισότητα παρακάτω είναι η προϋπόθεση για την αυστηρή πρόκληση της λειτουργίας;

Απαντήσεις Επιλογές:

Ερώτηση 3. Λειτουργία

1) κυρτή;

2) αυστηρά κυρτή.

3) κοίλο?

4) αυστηρά κοίλη.

5) κυρτή και κοίλη.

Ερώτηση 4. Λειτουργία

3) κοίλο? 4) αυστηρά κοίλη.

5) κυρτή και κοίλη.

Ερώτηση 5. Λειτουργία

1) κυρτή; 2) ούτε κυρτό ούτε κοίλο.

3) Αυστηρά κυρτό. 4) Κοίλο:

5) κυρτή και κοίλη.

Ερώτηση 6. Το νέο μοντέλο της μοτοσικλέτας υψηλής ταχύτητας "σαλιγκάρι" πωλείται από την εταιρεία για την τιμή (30 - 2 Χ.) χιλιάδες δολάρια ένα κομμάτι όπου Η.- Αριθμός πώλησης μοτοσικλετών. Το κόστος μεταβλητής παραγωγής αποτελούν 6 χιλιάδες δολάρια ανά τεμάχιο, σταθερό κόστος - 30 χιλιάδες δολάρια. Μεγιστοποιεί το κέρδος της επιχείρησης την εβδομάδα.

Ας υποθέσουμε ότι ως αποτέλεσμα της αλλαγής του συντελεστή φόρου επί των πωλήσεων, ο τελευταίος (φόρος) ανήλθε σε επιπλέον 4 χιλιάδες δολάρια. Για κάθε πωλείται σε κάθε μοτοσικλέτα.

Πώς θα αλλάξει η βέλτιστη παραγωγή μοτοσικλετών σε σύγκριση με την αρχική κατάσταση;

(Λύστε τη χρήση της λειτουργίας Lagrange.)

Απαντήσεις Επιλογές:

1) Αύξηση 2 ? 2) θα μειωθεί 2 ;

3) δεν θα αλλάξει. 4) θα αυξηθεί 1 ;

5) θα μειωθεί 1 .

Ερώτηση 7. Ας υποθέσουμε ότι έχετε 2 εβδομάδες (14 ημέρες) διακοπές που μπορείτε να περάσετε στα Κανάρια Νησιά και στη Νίκαια. Αφήστε τη λειτουργία χρησιμότητάς σας να προβληθεί 2 Kn -3Σε 2 -4N 2,Οπου ΠΡΟΣ ΤΗΝκαι N - Ο αριθμός των ημερών που ξοδεύετε στις Καναρίους Νήσους και στη Νίκαια, αντίστοιχα.

Πόσες μέρες θα πρέπει να ξοδέψετε ωραία για να μεγιστοποιήσετε τη λειτουργία χρησιμότητάς σας;

(Για την επίλυση της λειτουργίας του Lagrange. Το αποτέλεσμα στρογγυλοποιείται στο πλησιέστερο σύνολο. Ελέγξτε εάν εκτελούνται οι συνθήκες για τη βελτιστοποίηση του Kuna - Takker.)

Απαντήσεις Επιλογές:

1) 3 ; 2) 4 ; 3) 5 ; 4) 6 ; 5) 7 .

Ερώτηση 8. Για το καθήκον του ερωτήματος 7, βρείτε την αξία της εκτίμησης διπλής ορίου.

(Το αποτέλεσμα είναι στρογγυλεμένο στο πλησιέστερο σύνολο.)

Απαντήσεις Επιλογές:

1) 41 ; 2) 34; 3) 29 ; 4) 39 ; 5) 44 .

Ερώτηση 9. Ο μονοπωλιακός σχεδιάζει το πρόγραμμα παραγωγής και τις πωλήσεις προϊόντων για την επόμενη περίοδο. Τιμές: r 1 = 14 – 0,25Χ. 1 (για το προϊόν 1). r 2 = 14 – 0,5Η. 2 (για το προϊόν 2), όπου Χ. 1 Ι. Η. 2 - Πωλήσεις προϊόντων. Ας υποθέσουμε ότι όλα τα κατασκευασμένα προϊόντα εφαρμόζονται. Μέγιστες συνολικές πωλήσεις - 57.

Ποια είναι η βέλτιστη απελευθέρωση του προϊόντος 2;

Απαντήσεις Επιλογές:

1) 36,4 ; 2) 30,7 ; 3) 26,3 ; 4) 20,6 ; 5) 41,8 .

Ερώτηση 10. Ο ιδιοκτήτης μιας μικρής επιχείρησης έχει 100 χιλιάδες ρούβλια για τον επόμενο μήνα, το οποίο μπορεί να δαπανήσει για αύξηση των πάγιων περιουσιακών στοιχείων ΠΡΟΣ ΤΗΝ (Προμήθεια εξοπλισμού) σε τιμή από 1 χιλιάδες ρούβλια ανά μονάδα ή να αγοράσει πρόσθετη εργασία ΜΕΓΑΛΟ. σε τιμή 50 ρούβλια / ώρα. Η αύξηση των τελικών προϊόντων που μπορούν να πωληθούν σε 10 χιλιάδες ρούβλια. ανά μονάδα, που καθορίζεται από τη λειτουργία παραγωγής F (K, L) \u003d L 2/7 έως 2/5.

Πόσα χρήματα πρέπει να δαπανηθούν για την αύξηση των πάγιων περιουσιακών στοιχείων;

Απαντήσεις Επιλογές:

1) 74,36 χιλιάδες τρίψιμο.; 2) 58,33 χιλιάδες ρούβλια. 3) 63,44 χιλιάδες ρούβλια.

4) 45,66 χιλιάδες ρούβλια. πέντε) 39,77 Χιλιάδες ρούβλια.

Απαντήσεις σε ερωτήσεις:

1 -4,2 - 1,3 -4,4 - 5,

5 -2, 6 -5,7- 4,8- 2,9- 4,10- 2.

Coon-Tacker Theorems - ένα γενικό όνομα για τους ισχυρισμούς του εαυτού τους

lagrange Θεώρημα σε περίπτωση εργασιών βελτιστοποίησης με περιορισμούς υπό μορφή ανισότητας, δηλ. Εργασίες

Επόμενο Τύπος:

gj (x)\u003e 0, j \u003d 1 ,.

Μ, (?)

x \u003d (x1, ..., xn) 2 x.

Εδώ f: x 7! R - (σύμφωνα με την καθορισμένη ορολογία) Χαρακτηριστικό στόχου, GR: x 7! R,

r \u003d 1 ,. . . , m, - οριακές λειτουργίες, το x _ rn είναι ένα ανοιχτό σετ.

Θεώρημα 196 (John Theorem στους όρους Sedlova):

Αφήστε τις λειτουργίες F (), G1 () ,. . . , Gn () είναι κοίλο και? X - την επίλυση του προβλήματος (?), Έτσι τι; x 2 intx.

Τότε υπάρχουν πολλαπλασιαστές Lagrange _J\u003e

Το x είναι μια λύση στο πρόβλημα

Παρουσιάζουμε αυτές τις δηλώσεις για την περίπτωση όταν οι λειτουργίες F, GR είναι διαφοροποιήσιμες (Κουλο Θεωρητικά

on-tacker σε διαφορική μορφή).

Θυμηθείτε ότι η λειτουργία

L (x, _) \u003d _0f (x) +

Ονομάζεται τη λειτουργία του Lagrange (Lagrangian) αυτού του προβλήματος και τους συντελεστές _j - πολλαπλασιαστές

Lagrange.

Υπάρχει η ακόλουθη δήλωση.

Θεώρημα 197 (John Theorem για διαφορικές λειτουργίες):

Αφήστε; x - Επίλυση του προβλήματος (?), Όπως τι; x 2 intx και λειτουργίες f (), g1 () ,. . . , Το gn () διαφέρουν

Κυκλίδες στο σημείο; x.

Στη συνέχεια, υπάρχουν πολλαπλασιαστές Lagrange _J\u003e 0, J \u003d 0 ,. . . , m, δεν είναι όλα ίσα μηδέν, έτσι ώστε

Οι ακόλουθοι λόγοι (συνθήκες Kuna-takker) εκτελούνται:

0, i \u003d 1 ,. . . , Ν.

J \u003d 0 (συνθήκες συμπληρωματικές

Ανακούφιση).

Σημειώστε ότι οι συνθήκες συμπληρωματικής κληρονομιάς μπορούν να γραφτούν ως

gj (? x) _j \u003d 0, j \u003d 1 ,. . . , Μ.

Από αυτές τις συνθήκες ακολουθεί ότι εάν ο πολλαπλασιαστής Lagrange είναι θετικός (_J\u003e 0), τότε το αντίστοιχο

Ο περιορισμός στην επίλυση του προβλήματος (με Χ \u003d? Χ) εκτελείται ως ισότητα (δηλ. GJ (? X) \u003d 0). Αλλα

Λέξεις, αυτός ο περιορισμός είναι ενεργά. Από την άλλη πλευρά, στην περίπτωση που το gj (? X)\u003e 0, τότε το αντίστοιχο

lagrange πολλαπλασιαστή _J είναι μηδέν.

Εάν στο πρόβλημα (?) Μέρος των περιορισμών έχει τη μορφή περιορισμών στη μη αρνητικότητα ορισμένων Xi,

Στη συνέχεια, για αυτούς δεν μπορείτε να εισάγετε πολλαπλασιαστές Lagrange, γράφοντας τέτοιους περιορισμούς χωριστά:

gj (x)\u003e 0, j \u003d 1 ,. . . , Μ, (??)

xi\u003e 0, i 2 p _ (1, ..., n). Στο εσωτερικό σημείο (με την έννοια ότι1; x 2 intx) συνθήκες της πρώτης τάξης για i 2 p

Θα έχει την ακόλουθη φόρμα:

Για το I / 2 P εδώ, όπως στην περίπτωση της παρουσίασης της εργασίας με τη μορφή (?), Το παράγωγο της λειτουργίας Lagrange

Με αυτή τη μεταβλητή θα είναι η φόρμα @l (? X, _)

Επίσης, οι συνθήκες ολοκληρώνονται επίσης

Από τη δεύτερη από αυτές τις συνθήκες, ακολουθεί ότι πότε; xi\u003e 0 (i 2 p)

Από την άλλη πλευρά, εάν @l (? X, _) / @ xi άλλη τροποποίηση του θεωρήματος σχετίζεται με την παρουσία περιορισμών υπό τη μορφή ισοτιμιών. Σημαίνω

Με πολλούς σχετικούς δείκτες μέσω του Ε. Η εργασία παίρνει την ακόλουθη μορφή:

gj (x)\u003e 0, J 2 (1, ..., m) \\ e,

gj (x) \u003d 0, j 2 e, (???)

xi\u003e 0, i 2 p _ (1, ..., n).

Ταυτόχρονα, η κατάσταση καταργείται στο Θεώρημα του Ιωάννη ότι όλοι οι πολλαπλασιαστές Lagrange είναι μη αρνητικοί -

lagrange πολλαπλασιαστές _J στο J 2 e μπορεί να έχει ένα αυθαίρετο σημάδι.

Το Θεώρημα John δεν εγγυάται ότι ο πολλαπλασιαστής καθυστέρησης της λειτουργίας στόχου, _0, είναι διαφορετικός από το μηδέν.

Ωστόσο, εάν _0 \u003d 0, τότε οι συνθήκες του Kuan-Takker δεν χαρακτηρίζονται από την απόφαση του υπό εξέταση προβλήματος, και

Η δομή ενός πληθυσμού περιορισμών στο σημείο; Χ και το θεώρημα δεν συνδέεται άμεσα με

Εργάζεται για τη μεγιστοποίηση της λειτουργίας f (), από την κλίση της λειτουργίας f (). Σταγόνες. του

Καλύψτε τους λάτρεις του coon.

Επομένως, είναι σημαντικό να χαρακτηρίζονται οι συνθήκες που εγγυώνται ότι _0\u003e 0.

Τέτοιες συνθήκες ονομάζονται συνθήκες κανονικότητας.

Στην περίπτωση που το υπό εξέταση πρόβλημα είναι κυρτό, μία από τις συνθήκες κανονικότητας -

Η αποκαλούμενη κατάσταση Slateter - έχει τη μορφή:

Στην περίπτωση που η λειτουργία στόχου και οι περιορισμοί του προβλήματος διαφοροποιούνται, απλά-

Η κατάσταση της κανονικότητας διατυπώνεται από την άποψη των βαθμίδων των λειτουργιών περιορισμών και έχει τη μορφή:

Οι κλίσεις των ενεργών περιορισμών στο σημείο; Χ είναι γραμμικά ανεξάρτητα. (Στον αριθμό των περιορισμένων

Πρέπει επίσης να συμπεριληφθούν περιορισμοί στη μη αρνητικότητα.)

Υποδηλώνει με ένα σύνολο δεικτών αυτών των περιορισμών που στο σημείο του βέλτιστου; X είναι ενεργές

(συμπεριλαμβανομένων των δεικτών όλων των περιορισμών με τη μορφή ισοτιμιών), δηλ.

gj (? x) \u003d 0, J 2 A.

Στη συνέχεια, αν οι διαβάθμιστοι περιορισμοί - διανύσματα

Γραμμικά ανεξάρτητη, τότε _0\u003e 0. Αυτή η κατάσταση ονομάζεται προϋπόθεση της κανονικότητας του Kun-Takker.

Σημειώστε ότι αν _0\u003e 0, κατόπιν _0 \u003d 1, το οποίο συνήθως γίνεται χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορεί να ληφθεί υπόψη.

Το κατάλληλο θεώρημα ονομάζεται πραγματικά (άμεσος) θεώρημα δεξαμενής Kun. Theorem 198 (Direct Kun-Takker Theorem, Προαπαιτούμενο βέλτιστη):

Αφήστε τις λειτουργίες F (), G1 () ,. . . , το gn () διαφοροποιεί και το x - την επίλυση του προβλήματος (?), έτσι ώστε

X 2 intx και η κατάσταση της κανονικότητας του kun-tacker πληρούνται.

Στη συνέχεια, υπάρχουν πολλαπλασιαστές Lagrange _J\u003e 0, J \u003d 1 ,. . . , m, έτσι ώστε σε _0 \u003d 1 εκτελούνται

Οι ακόλουθες αναλογίες:

0, i \u003d 1 ,. . . , Ν.

Είναι εύκολο να αναδιατυπωθεί αυτό το θεώρημα για εργασίες (??) και (???). Εδώ χρειάζεστε το ίδιο

Συνθήκες συνθηκών Coon-Takker, όπως στο John Theorem.

0, i \u003d 1 ,. . . , Ν.

Μπορείτε να ξαναγράψετε στη φόρμα:

Αυτός ο λόγος δείχνει ότι στο σημείο του βέλτιστου, η κλίση της λειτουργίας στόχου είναι μια γραμμική

bUTTION των αντι-διαφημίσεων των περιορισμών και όλους τους συντελεστές αυτού του γραμμικού συνδυασμού

tstenna. Σύκο. 17.1 απεικονίζει αυτό το ακίνητο. Διαισθητικά, η ιδέα αυτής της ιδιοκτησίας είναι αυτή

Εάν κάποιο είδος γραμμικού συντελεστή συνδυασμού ήταν αρνητικό, θα ήταν δυνατόν

Αυξήστε την τιμή της λειτουργίας στόχου, κινείται κατά μήκος αυτού του περιορισμού. Μία από τις επιλογές του αντίστροφου θεώρημα του Kuna-Takker ισχυρίζεται ότι όταν οι λειτουργίες είναι σύμφωνες

f (), (gk ()) εκτελούν αυτές τις συνθήκες στο επιτρεπτό διάλυμα; Χ (δηλ. Το σημείο που ικανοποιεί το όριο

necies) σε ορισμένους πολλαπλασιαστές lagrange που πληρούν τις απαιτήσεις του άμεσου θεώρησης,

εγγυάται ότι το x είναι μια λύση στο πρόβλημα.

Theorem 199 (αντίστροφη θεώρημα Kuna-tracker / επαρκείς προϋποθέσεις για τη βελτιστοποίηση /):

Αφήστε το f () να είναι μια διαφοροποιήσιμη κοίλη λειτουργία, G1 () ,. . . , GN () - Διαφορική

Οιονεί ψημένες λειτουργίες, ορίζοντας x Κυρ and point? X επιτρέπεται σε μια εργασία (?) Και? X 2

Αφήστε, επιπλέον, υπάρχουν πολλαπλασιαστές Lagrange _J\u003e 0, J \u003d 1 ,. . . , m, έτσι ώστε

0 \u003d 1 Οι ακόλουθες αναλογίες πληρούνται:

0, i \u003d 1 ,. . . , Ν.

Τότε το x είναι η λύση του προβλήματος (?).

Το θεώρημα μπορεί προφανώς να αναδιατυπώσει για εργασίες (??) και (??). Για εργασία (???)

Οι περιορισμοί με τη μορφή ισοτιμιών μπορούν να είναι γραμμικά μόνο (αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο περιορισμός στη φόρμα

Ισότητα, GJ (x) \u003d 0, θα πρέπει να υποβληθεί χρησιμοποιώντας δύο περιορισμούς υπό τη μορφή ανισοτήτων, GJ (x)\u003e 0

και? gj (x)\u003e 0, καθένα από τα οποία ορίζεται από μια οιονεί λυγισμένη λειτουργία. Αυτό μπορεί να είναι μόνο αν

Γραμμικό όριο).

Σε μια άλλη ενσωμάτωση, οι επαρκείς συνθήκες είναι η βελτιστοποίηση της παραδοχής του στόχου της κοιλότητας

Οι λειτουργίες αντικαθίστανται από την παραδοχή της οιονεί που δέσμευσης με την προσθήκη της κατάστασης του RF (~ x) 6 \u003d 0.