Τύπος παρεμβολής μεταξύ δύο τιμών. Προσδιορισμός της ενδιάμεσης τιμής με γραμμική παρεμβολή
Παρεμβολή. Εισαγωγή Γενική ρύθμιση της εργασίας
Κατά την επίλυση διαφόρων πρακτικών προβλημάτων, τα αποτελέσματα των ερευνών γίνονται με τη μορφή πινάκων που εμφανίζουν την εξάρτηση από μία ή περισσότερες μετρούμενες τιμές από μία καθοριστική παράμετρο (όρισμα). Αυτό το είδος πίνακα παρουσιάζεται συνήθως με τη μορφή δύο ή περισσοτέρων σειρών (στήλες) και χρησιμοποιούνται για να σχηματίσουν μαθηματικά μοντέλα.
Οι λειτουργίες που καθορίζονται στα μαθηματικά μοντέλα συνήθως γράφονται στους πίνακες φόρμας:
Y1 (x) | Y (x0) | Y (x1) | Y (xn) | ||
Ym (x) | Y (x0) | Y (x1) | Y (xn) |
Οι περιορισμένες πληροφορίες που παρέχονται από τέτοιους πίνακες σε ορισμένες περιπτώσεις απαιτούν τις τιμές των λειτουργιών yj (x) (j \u003d 1.2, ..., m) σε σημεία που δεν ταιριάζουν με τα κόντρα του Πίνακα Ι (i \u003d 0 , 1,2, ..., N). Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί κάποια αναλυτική έκφραση Φ J (x) για τον υπολογισμό των κατά προσέγγιση τιμών της λειτουργίας της λειτουργίας J (x) σε αυθαίρετα καθορισμένα σημεία. Η λειτουργία Φ J (x) που χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των κατά προσέγγιση τιμών της λειτουργίας J (x) ονομάζεται συνάρτηση κατά προσέγγιση (από τη λατινοστοιχύμη - πλησιάζει). Η εγγύτητα της συνάρτησης κατά προσέγγιση Φ J (x) στην προσέγγιση λειτουργία J (x) εξασφαλίζεται επιλέγοντας τον αντίστοιχο αλγόριθμο προσέγγισης.
Όλες οι περαιτέρω σκέψεις και συμπεράσματα που θα κάνουμε για πίνακες που περιέχουν τα αρχικά δεδομένα μιας λειτουργίας υπό μελέτη (δηλ. Για πίνακες με m \u003d 1).
1. Μέθοδοι παρεμβολής
1.1 Δήλωση του προβλήματος της παρεμβολής
Τις περισσότερες φορές για τον προσδιορισμό της συνάρτησης φ (x), χρησιμοποιείται δήλωση, που ονομάζεται διαμόρφωση του προβλήματος παρεμβολής.
Σε αυτή την κλασική ρύθμιση του προβλήματος παρεμβολής, απαιτείται να προσδιοριστεί η κατά προσέγγιση αναλυτική λειτουργία (x), οι τιμές των οποίων στα κόντρα του κόμβου Ι Συμπίπτουν με τιμέςY (x i) Πίνακας πηγής, δηλ. Συνθήκες
Φ (x i) \u003d y i (i \u003d 0,1,2, ..., n) |
Η συνάρτηση κατά προσέγγιση φ (x) που κατασκευάστηκε με αυτόν τον τρόπο επιτρέπει την επίτευξη αρκετά στενής προσέγγιση στην παρεμβαλλόμενη λειτουργία (Χ) εντός της περιοχής των τιμών του όρου [x 0. X n] που ορίζεται από τον πίνακα. Κατά τον καθορισμό των τιμών των επιχειρημάτων, Δεν ανήκωΑυτό το διάστημα, το πρόβλημα της παρεμβολής μετατρέπεται σε αντικειμενική αποτελεσματικότητα. Σε αυτές τις περιπτώσεις ακρίβεια
Οι τιμές που λαμβάνονται με τον υπολογισμό των τιμών της συνάρτησης φ (x) εξαρτώνται από την απόσταση των τιμών των επιχειρήσεων από 0, εάν<Х 0 , или отХ n , еслиХ >X n.
Στη μαθηματική μοντελοποίηση, η υπηρεσία παρεμβολής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των κατά προσέγγιση τιμών της λειτουργίας υπό μελέτη στα ενδιάμεσα σημεία των επιμέρους μελετών [x i. X i + 1]. Μια τέτοια διαδικασία ονομάζεται Τραπέζι σφραγίδων.
Ο αλγόριθμος παρεμβολής προσδιορίζεται με τη μέθοδο υπολογισμού των τιμών της συνάρτησης φ (x). Η απλούστερη και εμφανής ενσωμάτωση της λειτουργίας παρεμβολής είναι η αντικατάσταση της λειτουργίας λειτουργίας (x) στο διάστημα [x i. X I + 1] Με μια ευθεία γραμμή που συνδέει το σημείο Ι, ΥΙ + 1. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται μια μέθοδος γραμμικής παρεμβολής.
1.2 Γραμμική παρεμβολή
Με μια γραμμική παρεμβολή, η τιμή της λειτουργίας στο σημείο Χ, το οποίο μεταξύ των κόμβων Ι του I + 1 τους καθορίζεται από τον τύπο μιας ευθείας γραμμής που συνδέει δύο γειτονικά σημεία επιτραπέζιων σημείων
Y (x) \u003d y (xi) + | Y (xi + 1) - y (xi) | (X - xi) (i \u003d 0,1,2, ..., n), | |
X i + 1- x i | |||
Στο ΣΧ. Το 1 δείχνει ένα παράδειγμα ενός πίνακα που λαμβάνεται ως αποτέλεσμα των μετρήσεων μιας συγκεκριμένης τιμής y (x). Γραμμές, ο πίνακας πηγής επισημαίνεται σε πλήρωση. Στα δεξιά του πίνακα έχτισε ένα διάγραμμα σημείων που αντιστοιχεί σε αυτόν τον πίνακα. Η σφραγίδα του πίνακα γίνεται λόγω του υπολογισμού του τύπου
(3) Οι τιμές της προσέγγισης λειτουργίας στα σημεία του Χ που αντιστοιχούν στις μεσαίες ράβδους (i \u003d 0, 1, 2, ..., n).
Εικ.1. Ο συμπιεσμένος πίνακας της λειτουργίας y (x) και το αντίστοιχο διάγραμμα
Όταν εξετάζετε το χρονοδιάγραμμα στο ΣΧ. 1 Μπορεί να φανεί ότι τα σημεία που λαμβάνονται ως αποτέλεσμα της στεγανοποίησης του πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο γραμμικής παρεμβολής βρίσκονται στα τμήματα των άμεσων σημείων σύνδεσης του πίνακα προέλευσης. Γραμμική ακρίβεια
Η παρεμβολή, ουσιαστικά εξαρτάται από τη φύση της παρεμβολής λειτουργίας και στην απόσταση μεταξύ των κόμβων του πίνακα x i, x i + 1.
Προφανώς, εάν η λειτουργία είναι ομαλή, τότε, ακόμη και σε σχετικά μεγάλη απόσταση μεταξύ των κόμβων, το γράφημα που κατασκευάζεται συνδέοντας τα σημεία των ευθειών γραμμών, σας επιτρέπει να υπολογίσετε με ακρίβεια με ακρίβεια την ακριβή εκτίμηση του χαρακτήρα της λειτουργίας y (x). Εάν η λειτουργία αλλάξει αρκετά γρήγορα και οι αποστάσεις μεταξύ κόμβων είναι μεγάλες, η γραμμή γραμμικής παρεμβολής δεν επιτρέπει την απόκτηση μιας αρκετά ακριβούς προσέγγισης σε μια πραγματική λειτουργία.
Η γραμμή γραμμικής παρεμβολής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη γενική προκαταρκτική ανάλυση και την αξιολόγηση της ορθότητας των αποτελεσμάτων παρεμβολής που λαμβάνονται από άλλες ακριβέστερες μεθόδους. Μια ιδιαίτερα σημαντική τέτοια αξιολόγηση γίνεται σε περιπτώσεις όπου οι υπολογισμοί εκτελούνται χειροκίνητα.
1.3 Interpolation Canonical Polynomial
Η μέθοδος παρεμβολής της λειτουργίας κανονική πολυώνυμη βασίζεται στην κατασκευή μιας λειτουργίας παρεμβολής ως πολυώνυμου στη φόρμα [1]
Φ (Χ) \u003d PN (Χ) \u003d C0 + C1 χ + C2 X2 + ... + CN XN |
Οι συντελεστές με τα πολυώνυμα I (4) είναι δωρεάν παραμέτρους παρεμβολής, οι οποίες προσδιορίζονται από τις συνθήκες Lagrange:
Pn (xi) \u003d yi, (i \u003d 0, 1, ..., n)
Χρησιμοποιώντας (4) και (5) γράφουμε ένα σύστημα εξισώσεων
C x + c x2 | C xn \u003d y |
|||||||
C x + c x2 | C xn. | |||||||
C x2. | C xn \u003d y |
|||||||
Διανυσματικά διαλόγους με i (i \u003d 0, 1, 2, ..., N) γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (6) υπάρχει και μπορεί να βρεθεί εάν δεν υπάρχει συμπίπτουσα μεταξύ κόμβων. Ο καθοριστικός παράγοντας του συστήματος (6) ονομάζεται ο καθοριστικός παράγοντας Vandermond1 και έχει μια αναλυτική έκφραση [2].
1 καθοριστικός vandermond που ονομάζεται καθοριστικός
Είναι ίση με το μηδέν αν και μόνο αν το xi \u003d xj για μερικούς. (Υλικό Wikipedia - Δωρεάν Εγκυκλοπαίδεια)
Για να προσδιορίσετε τις τιμές των συντελεστών με i (i \u003d 0, 1, 2, ..., n)
Οι εξισώσεις (5) μπορούν να γραφτούν σε μορφή φορέα-μήτρας
A * c \u003d y,
Όπου α, η μήτρα των συντελεστών που ορίζονται από τον πίνακα του βαθμού του φορέα όρου x \u003d (xi 0, xi, xi2, ..., xin) t (i \u003d 0, 1, 2, ..., n)
x0 2. | x0 Ν. | ||||||||
xn 2. | xn N. | ||||||||
C - Συντελεστές στήλης Vector I (i \u003d 0, 1, 2, ..., N), Ay - Vector-Vector-στήλη τιμών Ι (i \u003d 0, 1, 2, N) παρεμβαλλόμενη λειτουργία σε κόμβους παρεμβολής.
Το διάλυμα αυτού του συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων μπορεί να ληφθεί με μία από τις μεθόδους που περιγράφονται στο [3]. Για παράδειγμα, από τον τύπο
C \u003d A - 1 Y, |
όπου a -1 είναι η μήτρα αντίστροφη μήτρα. Για να αποκτήσετε μια αντίστροφη μήτρα Α -1, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις λειτουργίες (), το οποίο περιλαμβάνεται στο σύνολο των τυπικών λειτουργιών Προγράμματα της Microsoft Προέχω.
Αφού προσδιοριστούν οι τιμές των συντελεστών Ι χρησιμοποιώντας τη λειτουργία (4), οι τιμές της παρεμβαλλόμενης λειτουργίας μπορούν να υπολογιστούν για οποιαδήποτε αξία των επιχειρήσεων.
Γράφουμε το Matrix A για τον πίνακα που φαίνεται στο σχήμα 1, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη οι γραμμές σφράγισης.
Εικ.2 μήτρα του συστήματος εξισώσεων για τον υπολογισμό των συντελεστών του κανονικού πολυωνυμικού
Χρησιμοποιώντας τη λειτουργία ορείχαλκου (), λαμβάνουμε τη μήτρα μήτρας Α-1 αντίστροφη μήτρα (Εικ. 3). Μετά από αυτό, σύμφωνα με τον τύπο (9), λαμβάνουμε τον φορέα των συντελεστών \u003d (C 0, C1, C2, ..., CN) Τ, που φαίνεται στο ΣΧ. τέσσερα.
Για τον υπολογισμό των τιμών του κανονικού πολυωνυμικού στην κυψέλη K Canonic, που αντιστοιχεί στις τιμές 0, εισάγουμε τον τύπο που μετατρέπεται στον ακόλουθο τύπο που αντιστοιχεί στη μηδενική γραμμή του συστήματος (6)
\u003d ((((C 5 | * x 0 + C 4) * x 0 + C 3) * x 0 + C 2) * x 0 + C 1) * x 0 + C 0 | |
C0 + X * (C1 + X * (C2 + X * (C3 + X * (C4 + X * C5)))))
Αντί να καταγράφει το "C i" στον τύπο που εισάγεται στο κελί Τραπέζια Excel, πρέπει να υπάρχει απόλυτη αναφορά στο αντίστοιχο κύτταρο που περιέχει αυτόν τον συντελεστή (βλέπε σχήμα 4). Αντί του "x 0" - μια σχετική αναφορά στο κύτταρο των στηλών (βλέπε σχήμα 5).
Y κανονικές (0) τιμές που συμπίπτουν με την τιμή του κυττάρου LIN (0). Όταν τεντώνοντας τον τύπο που καταγράφεται στο κανονικό (0) κελί (0), θα πρέπει επίσης να ταιριάζει και οι τιμές της κανονικής (i) που αντιστοιχεί στα κόντρα του αρχικού
Πίνακες (βλ. Σχήμα 5).
Σύκο. 5. Χάρτες χτισμένα σε γραμμικούς και κανονικούς πίνακες παρεμβολής
Σύγκριση γραφημάτων λειτουργιών που χτίστηκαν σύμφωνα με τους πίνακες που υπολογίζονται με γραμμικούς και κανονικούς τύπους παρεμβολής, βλέπουμε σε έναν αριθμό ενδιάμεσων κόμβων μια σημαντική απόκλιση των τιμών που λαμβάνονται χρησιμοποιώντας γραμμικούς και κανονικούς τύπους παρεμβολής. Είναι λογικότερο να κρίνουμε την ακρίβεια της παρεμβολής, με βάση την απόκτηση πρόσθετων πληροφοριών σχετικά με τη φύση της προσομοιωμένης διαδικασίας.
Εντολή
Συχνά, κατά τη διεξαγωγή εμπειρικών σπουδών, είναι απαραίτητο να αντιμετωπιστούν το σύνολο των τιμών που λαμβάνονται με τυχαίο δείγμα. Από αυτή τη σειρά αξιών, απαιτείται να δημιουργηθεί ένα γράφημα μιας συνάρτησης στην οποία άλλες τιμές που λαμβάνονται με μέγιστη ακρίβεια. Αυτή η μέθοδος, και ακριβέστερα, η λύση αυτού του προβλήματος είναι μια προσέγγιση μιας καμπύλης, δηλ. Αντικατάσταση ενός αντικειμένων ή φαινομένων από άλλα, κοντά στην παράμετρο πηγής. Η παρεμβολή, με τη σειρά του, είναι ένα είδος προσέγγισης. Η παρεμβολή της καμπύλης ονομάζεται διαδικασία στην οποία περνά η καμπύλη της κατασκευασμένης λειτουργίας μέσω των διαθέσιμων σημείων δεδομένων.
Το έργο είναι πολύ κοντά στην παρεμβολή, η ουσία του οποίου θα είναι η προσέγγιση της αρχικής πολύπλοκης λειτουργίας μιας άλλης, πολύ απλούστερης λειτουργίας. Εάν μια ξεχωριστή λειτουργία είναι πολύ για τον υπολογισμό, μπορείτε να προσπαθήσετε να υπολογίσετε την τιμή του σε διάφορα σημεία και στο προκύπτον κατασκεύασμα (Interpolate) μια απλούστερη λειτουργία. Ωστόσο, η απλοποιημένη λειτουργία δεν θα επιτρέψει την επίτευξη ως ακριβή και αξιόπιστα δεδομένα, τα οποία θα δίνουν τη λειτουργία της πηγής.
Παρεμβολή μέσω αλγεβρικού στριμμένης ή γραμμικής παρεμβολής
Γενικά, εμφανίζεται η παρεμβολή ορισμένων δεδομένης λειτουργίας F (x), η οποία λαμβάνει την τιμή στα σημεία x0 και x1, το τμήμα του αλγεβρικού στριμμένου P1 (x) \u003d Ax + B. Εάν έχουν οριστεί περισσότερες από δύο τιμές της λειτουργίας, τότε η επιθυμητή γραμμική λειτουργία αντικαθίσταται με μια λειτουργία γραμμικού τεμαχίου, κάθε μέρος της λειτουργίας είναι μεταξύ δύο καθορισμένων τιμών της λειτουργίας σε αυτά τα σημεία στο παρελθόν τμήμα.
Παρεμβολή από τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών
Αυτή η μέθοδος είναι μία από τις απλούστερες και εκτεταμένες μεθόδους παρεμβολής. Η ουσία της στην αντικατάσταση των διαφορικών συντελεστών της εξίσωσης για παράγοντες διαφοράς. Αυτή η ενέργεια θα σας επιτρέψει να μετακινηθείτε στο διάλυμα της διαφορικής εξίσωσης μέσω της διαφοράς της ανάλογης, με άλλα λόγια, για να την οικοδομήσουμε ένα σύστημα πεπερασμένων διαφοράς
Οικοδόμηση μιας λειτουργίας spline
Ένα σχιστό σε μαθηματική μοντελοποίηση είναι μια συγκεκριμένη λειτουργία, η οποία με λειτουργίες που έχουν απλούστερη σε κάθε στοιχείο διαχωρισμού της περιοχής ορισμού του. Η σφήνα από μια μεταβλητή χτίζεται διαιρώντας την περιοχή ορισμού σε ένα πεπερασμένο αριθμό τμημάτων και, σε κάθε μία από τις οποίες η σφήνα θα συμπέσει με κάποιο αλγεβρικό πολυώνυμο. Ο μέγιστος βαθμός χρησιμοποιημένης σύνδεσης είναι η σύνδεση.
Λειτουργίες Spline για την εργασία και την περιγραφή των επιφανειών στο Διάφορα συστήματα Προσομοίωση υπολογιστή.
Αυτό είναι το κεφάλαιο από το Bill Gelen.
Εργασία: Ορισμένα προβλήματα σχεδίασης μηχανικής απαιτούν τη χρήση πινάκων για τον υπολογισμό των τιμών παραμέτρων. Δεδομένου ότι οι πίνακες είναι διακριτές, ο σχεδιαστής χρησιμοποιεί μια γραμμική παρεμβολή για να ληφθεί μια ενδιάμεση τιμή παραμέτρου. Ο πίνακας (Σχήμα 1) περιλαμβάνει ύψος πάνω από το έδαφος (παράμετρος ελέγχου) και ταχύτητα ανέμου (υπολογιζόμενη παράμετρος). Για παράδειγμα, αν χρειαστεί να βρείτε την ταχύτητα του ανέμου, που αντιστοιχεί στο υψόμετρο 47 μέτρων, τότε ο τύπος πρέπει να εφαρμοστεί: 130 + (180 - 130) * 7 / (50 - 40) \u003d 165 m / s.
Λήψη σημείωσης σε μορφή ή, παραδείγματα σε μορφή
Τι γίνεται αν υπάρχουν δύο παραμέτρους ελέγχου; Είναι δυνατή η εκτέλεση υπολογισμών χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο; Ο πίνακας (Εικ. 2) δείχνει τιμές πίεσης του αιολικού για διάφορα ύψη και μέγεθος των δομών span. Απαιτείται να υπολογίσει την πίεση του ανέμου σε υψόμετρο 25 μέτρων και το μέγεθος του μεγέθους 300 μέτρων.
Λύση: Λύνουμε το πρόβλημα επεκτείνοντας τη μέθοδο που χρησιμοποιείται για μια περίπτωση με μία παράμετρο ελέγχου. Εκτελέστε τα παρακάτω βήματα.
Ξεκινήστε από τον πίνακα που φαίνεται στο ΣΧ. 2. Προσθέστε τα κύτταρα πηγής για το ύψος και το εύρος στα J1 και J2, αντίστοιχα (εικ. 3).
Σύκο. 3. Τύποι στα κελιά J3: J17 Εξηγήστε το έργο του megaformula
Για ευκολία στη χρήση, οι τύποι ορίζουν τα ονόματα (Εικ. 4).
Παρακολουθήστε το έργο του τύπου που μετακινείται διαδοχικά από το κύτταρο J3 στο κύτταρο J17.
Με αντίστροφη διαδοχική υποκατάσταση, συλλέγουν megaportulu. Αντιγράψτε το κείμενο του τύπου από το κύτταρο J17 στο J19. Αντικαταστήστε την αναφορά στο J15 στην τιμή στην τιμή του J15: J7 + (J8-J7) * J11 / J13. Και τα λοιπά. Αποδεικνύεται μια φόρμουλα που αποτελείται από 984 χαρακτήρες που δεν μπορούν να αντιληφθούν σε αυτή τη μορφή. Μπορείτε να το δείτε στο συνημμένο αρχείο Excel. Δεν είστε σίγουροι ότι αυτό το είδος megaformula είναι χρήσιμο σε χρήση.
Περίληψη: Η γραμμική παρεμβολή χρησιμοποιείται για την απόκτηση μιας ενδιάμεσης τιμής παραμέτρων, εάν οι τιμές του πίνακα έχουν οριστεί μόνο για τα όρια των ορίων. Προτείνεται η μέθοδος υπολογισμού για δύο παραμέτρους ελέγχου.
Πολλοί από εμάς έχουμε συναντήσει ακατανόητους όρους σε διαφορετικές επιστήμες. Αλλά υπάρχουν πολύ λίγοι άνθρωποι που δεν φοβούνται από ακατανόητα λόγια, αλλά αντίθετα, ενθαρρύνουν και κάνουν όλο και περισσότερο πάνε στο μελετημένο θέμα. Σήμερα θα είναι κάτι τέτοιο όπως η παρεμβολή. Αυτός είναι ένας τρόπος για να δημιουργήσετε γραφήματα σε γνωστά σημεία, επιτρέποντάς σας να προβλέψετε τη συμπεριφορά του σε συγκεκριμένες περιοχές της καμπύλης με έναν ελάχιστο αριθμό πληροφοριών σχετικά με τη λειτουργία.
Πριν από τη μετάβαση στην ουσία του ουσιαστικού ορισμού και το πείτε λεπτομερέστερα, θα βαθύτερα στην ιστορία.
Ιστορία
Η παρεμβολή ήταν γνωστή από την αρχαιότητα. Ωστόσο, αυτό το φαινόμενο απαιτείται από διάφορους εκκρεμείς μαθηματικούς του παρελθόντος: Newton, Leibnitsa και Gregory. Ήταν που ανέπτυξαν αυτή την ιδέα με τη βοήθεια πιο προηγμένων μαθηματικών μεθόδων διαθέσιμα εκείνη τη στιγμή. Πριν από αυτό, η παρεμβολή, φυσικά, χρησιμοποιήθηκε και χρησιμοποιήθηκε στους υπολογισμούς, αλλά οι εντελώς ανακριβείς τρόποι που απαιτούν Μεγάλος αριθμός Δεδομένα για την οικοδόμηση ενός μοντέλου, περισσότερο ή λιγότερο κοντά στην πραγματικότητα.
Σήμερα μπορούμε να επιλέξουμε ακόμη και ποιες μέθοδοι παρεμβολής κατάλληλα περισσότερο. Όλα μεταφέρονται σε μια γλώσσα υπολογιστή, η οποία με μεγάλη ακρίβεια μπορεί να προβλέψει τη συμπεριφορά της λειτουργίας σε μια συγκεκριμένη περιοχή, περιορίζεται από γνωστά σημεία.
Η παρεμβολή είναι μια μάλλον στενή έννοια, οπότε η ιστορία του δεν είναι τόσο πλούσια σε γεγονότα. Στην επόμενη ενότητα, θα ασχοληθούμε με ποια παρεμβολή είναι στην πραγματικότητα και πώς διαφέρει από την αντίθετη - παρέκταση.
Τι είναι η παρεμβολή;
Όπως έχουμε ήδη μιλήσει, αυτό είναι το γενικό όνομα των τρόπων οικοδόμησης ενός χρονοδιαγράμματος στα σημεία. Στο σχολείο, γίνονται κυρίως καταρτίζουν ένα τραπέζι, προσδιορίζοντας σημεία στο γράφημα και υποδειγματική κατασκευή των γραμμών τους που συνδέουν. Η τελευταία ενέργεια γίνεται με βάση τις εκτιμήσεις της ομοιότητας της μελετημένης λειτουργίας σε άλλους, ο τύπος των γραφημάτων των οποίων είμαστε γνωστοί.
Ωστόσο, υπάρχουν και άλλοι, πιο πολύπλοκοι και ακριβείς τρόποι για να εκτελέσετε το έργο της οικοδόμησης ενός γραφήματος σημείων. Έτσι, η παρεμβολή είναι στην πραγματικότητα η "πρόβλεψη" της συμπεριφοράς της λειτουργίας σε μια συγκεκριμένη τοποθεσία, περιορίζεται από γνωστά σημεία.
Υπάρχει μια παρόμοια έννοια που σχετίζεται με την ίδια περιοχή - παρέκταση. Αντιπροσωπεύει επίσης την πρόβλεψη του γραφήματος της λειτουργίας, αλλά εκτός των γνωστών σημείων του γραφήματος. Με αυτή τη μέθοδο, η πρόβλεψη γίνεται με βάση τη συμπεριφορά της λειτουργίας στο γνωστό διάστημα και στη συνέχεια η λειτουργία αυτή χρησιμοποιείται για ένα άγνωστο κενό. Αυτή η μέθοδος είναι πολύ βολική για πρακτική εφαρμογή και χρησιμοποιείται ενεργά, για παράδειγμα, στην οικονομία να προβλέψει την απογείωση και την πτώση στην αγορά και για την πρόβλεψη της δημογραφικής κατάστασης στη χώρα.
Αλλά απομακρύνουμε από το κύριο θέμα. Στην επόμενη ενότητα, θα περιγράψουμε ποια είναι η παρεμβολή και με τη βοήθεια τι οι τύποι μπορούν να γίνουν αυτή τη λειτουργία.
Τύποι παρεμβολής
Η ευκολότερη άποψη είναι η παρεμβολή από τον πλησιέστερο γείτονα. Με αυτή τη μέθοδο, έχουμε ένα πολύ κατά προσέγγιση χρονοδιάγραμμα που αποτελείται από ορθογώνια. Εάν έχετε δει τουλάχιστον μία φορά μια εξήγηση της γεωμετρική έννοια του ολοκληρώματος στο διάγραμμα, τότε θα καταλάβετε τι είναι μια γραφική μορφή.
Επιπλέον, υπάρχουν άλλες μέθοδοι παρεμβολής. Τα πιο διάσημα και δημοφιλή σχετίζονται με πολυώνυμα. Είναι ακριβέστερα και επιτρέπουν την πρόβλεψη της συμπεριφοράς της λειτουργίας με ένα επαρκώς σπάνιο σύνολο τιμών. Η πρώτη μέθοδος παρεμβολής που θα εξετάσουμε θα είναι μια γραμμική παρεμβολή από πολυώνυμα. Αυτός είναι ο ευκολότερος τρόπος από αυτή την κατηγορία και πιθανότατα χρησιμοποίησαν τον καθένα σας στο σχολείο. Η ουσία του είναι να χτίσει άμεση μεταξύ γνωστών τελείων. Όπως είναι γνωστό, σε δύο σημεία του αεροπλάνου, η μόνη ευθεία γραμμή, η εξίσωση της οποίας μπορεί να βρεθεί με βάση τις συντεταγμένες αυτών των σημείων. Με την κατασκευή αυτών ευθεία, έχουμε ένα σπασμένο χρονοδιάγραμμα, το οποίο είναι λεπτό, αλλά αντικατοπτρίζει τις υποδειγματικές αξίες των λειτουργιών και σε γενικές γραμμές συμπίπτει με την πραγματικότητα. Έτσι πραγματοποιείται η γραμμική παρεμβολή.
Πλήρεις τύποι παρεμβολής
Υπάρχει πιο ενδιαφέρον, αλλά ταυτόχρονα περισσότερα Περίπλοκο τρόπο Παρεμβολή. Ήρθε με τον γαλλικό μαθηματικό Joseph Louis Lagrangrangrange. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ο υπολογισμός της παρεμβολής σύμφωνα με αυτή τη μέθοδο ονομάζεται το όνομά του: παρεμβολή σύμφωνα με τη μέθοδο Lagrange. Εστίαση εδώ είναι: Εάν η μέθοδος που περιγράφεται στην προηγούμενη παράγραφο χρησιμοποιεί για να υπολογίσει μόνο Γραμμική λειτουργίαΗ αποσύνθεση της μεθόδου Lagrange περιλαμβάνει επίσης τη χρήση πολυώνυων υψηλής ταχύτητας. Αλλά δεν είναι τόσο εύκολο να βρεθούν οι τύποι της παρεμβολής για διαφορετικές λειτουργίες. Και τα περισσότερα σημεία είναι γνωστό, τόσο ακριβέστερα λαμβάνεται ο τύπος παρεμβολής. Αλλά υπάρχει μάζα άλλων μεθόδων.
Υπάρχει μια πιο τέλεια και κατά προσέγγιση μέθοδος πραγματικότητας του υπολογισμού. Ο τύπος παρεμβολής που χρησιμοποιείται σε αυτήν είναι ένα σύνολο πολυωνυμικών, η χρήση καθενός από τα οποία εξαρτάται από το τμήμα της λειτουργίας. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται λειτουργία spline. Επιπλέον, υπάρχουν επίσης τρόποι να πραγματοποιηθεί κάτι τέτοιο όπως η παρεμβολή των λειτουργιών δύο μεταβλητών. Υπάρχουν μόνο δύο μέθοδοι. Μεταξύ αυτών είναι η Bilinear ή η διπλή παρεμβολή. Αυτή η μέθοδος σάς επιτρέπει να δημιουργείτε εύκολα ένα πρόγραμμα σε σημεία σε τρισδιάστατο χώρο. Άλλες μέθοδοι δεν θα επηρεάσουν. Γενικά, η παρεμβολή είναι η καθολική αναρρίχηση για όλους αυτούς τους τρόπους δημιουργίας γραφημάτων, αλλά η ποικιλία των μεθόδων που μπορεί να εφαρμοστεί αυτή η ενέργεια είναι να τα μοιράζονται σε ομάδες ανάλογα με τον τύπο της λειτουργίας που υπόκειται σε αυτή τη δράση. Δηλαδή, η παρεμβολή, το παράδειγμα του οποίου εξετάσαμε παραπάνω σχετίζεται με άμεσες μεθόδους. Υπάρχει επίσης μια αντίστροφη παρεμβολή, η οποία χαρακτηρίζεται από το ότι σας επιτρέπει να υπολογίζετε όχι άμεση, αλλά μια αντίστροφη λειτουργία (δηλ. Χ από το y). Δεν θα εξετάσουμε τις τελευταίες επιλογές, καθώς είναι αρκετά δύσκολο και απαιτεί μια καλή μαθηματική βάση γνώσεων.
Ας στραφούμε, ίσως ένα από τα σημαντικότερα τμήματα. Από αυτό, μαθαίνουμε πώς και πού συζητήσαμε ο συνδυασμός μεθόδων εφαρμόζεται στη ζωή.
Εφαρμογή
Μαθηματικά, όπως γνωρίζετε, βασίλισσες επιστήμες. Επομένως, ακόμη και αν δεν βλέπετε πρώτα το σημείο σε ορισμένες λειτουργίες, δεν σημαίνει ότι είναι άχρηστες. Για παράδειγμα, φαίνεται ότι η παρεμβολή είναι ένα άχρηστο πράγμα, με το οποίο μπορούν να κατασκευαστούν μόνο γραφήματα κατασκευής, οι οποίες είναι τώρα λίγοι άνθρωποι χρειάζονται. Ωστόσο, με τυχόν υπολογισμούς στην τεχνική, τη φυσική και πολλές άλλες επιστήμες (για παράδειγμα, βιολογία), είναι εξαιρετικά σημαντικό να αντιπροσωπεύουμε μια αρκετά πλήρη εικόνα του φαινομένου, ενώ έχει ένα συγκεκριμένο σύνολο αξιών. Οι τιμές που διασκορπίζονται σύμφωνα με το γράφημα δεν δίνουν πάντα σαφείς ιδέες σχετικά με τη συμπεριφορά της λειτουργίας σε μια συγκεκριμένη περιοχή, τις τιμές των παραγώγων και των σημείων διασταύρωσης με τους άξονες. Και αυτό είναι πολύ σημαντικό για πολλές περιοχές της ζωής μας μαζί σας.
Πώς θα έρθει σε εύχρηστο στη ζωή;
Είναι πολύ δύσκολο να απαντηθεί αυτή η ερώτηση. Αλλά η απάντηση είναι απλή: καμία περίπτωση. Είναι αυτή η γνώση ότι δεν θα είστε κατάλληλοι για εσάς. Αλλά αν καταλάβετε αυτό το υλικό και μεθόδους με τις οποίες πραγματοποιούνται αυτές οι ενέργειες, φροντίζετε τη λογική σας, η οποία είναι πολύ χρήσιμη στη ζωή. Το κύριο πράγμα δεν είναι η ίδια η γνώση, αλλά αυτές οι δεξιότητες που αποκτά ένα άτομο στη διαδικασία σπουδών. Μετά από όλα, δεν υπάρχει περίεργο ότι υπάρχει ένα ρητό: "Ζούμε - μαθαίνω για τα βλέφαρα".
Σχετικές έννοιες
Μπορείτε να καταλάβετε πόσο σημαντικό ήταν (και εξακολουθεί να μην χάσει τη σημασία της) αυτή την περιοχή των μαθηματικών, κοιτάζοντας την ποικιλία άλλων εννοιών που σχετίζονται με αυτό. Έχουμε ήδη μιλήσει για την παρέκταση, αλλά υπάρχει επίσης προσέγγιση. Ίσως έχετε ήδη ακούσει αυτή τη λέξη. Σε κάθε περίπτωση, αυτό που σημαίνει, αποσυναρμολογήσαμε επίσης σε αυτό το άρθρο. Η προσέγγιση, όπως η παρεμβολή, είναι έννοιες που σχετίζονται με την κατασκευή γραφημάτων λειτουργιών. Αλλά η διαφορά στην πρώτη από το δεύτερο είναι ότι είναι μια κατά προσέγγιση κατασκευή ενός γραφήματος που βασίζεται σε παρόμοια γνωστά γραφήματα. Αυτές οι δύο έννοιες είναι πολύ παρόμοιες μεταξύ τους και τόσο πιο ενδιαφέρον να μελετήσουμε κάθε ένα από αυτά.
συμπέρασμα
Μαθηματικά - Δεν είναι μια τόσο περίπλοκη επιστήμη, όπως φαίνεται με την πρώτη ματιά. Είναι μάλλον ενδιαφέρουσα. Και σε αυτό το άρθρο προσπαθήσαμε να το αποδείξουμε. Κοιτάξαμε τις έννοιες που σχετίζονται με την κατασκευή γραφημάτων, έμαθαν τι είναι διπλή παρεμβολή και αποσυναρμολογεί τα παραδείγματα όπου ισχύει.
Η παρεμβολή ονομάζεται ένα τέτοιο είδος προσέγγισης, στο οποίο η καμπύλη της κατασκευασμένης λειτουργίας περνά ακριβώς μέσω των διαθέσιμων σημείων δεδομένων.
Υπάρχει επίσης ένα πρόβλημα κοντά στην παρεμβολή, η οποία είναι να προσεγγίσει οποιαδήποτε σύνθετη λειτουργία μιας άλλης, απλούστερης λειτουργίας. Εάν κάποια λειτουργία είναι πολύ περίπλοκη για παραγωγικούς υπολογισμούς, μπορείτε να προσπαθήσετε να υπολογίσετε την τιμή του σε πολλά σημεία και να τα δημιουργήσετε, δηλαδή, παρεμβολή, απλούστερη λειτουργία. Φυσικά, η χρήση απλοποιημένης λειτουργίας δεν επιτρέπει την επίτευξη των ίδιων ακριβών αποτελεσμάτων που θα δοθεί η αρχική λειτουργία. Αλλά σε ορισμένες τάξεις, τα καθήκοντα πέτυχαν τα κέρδη στην απλότητα και το ποσοστό υπολογισμού μπορεί να μεταφράσει το προκύπτον σφάλμα στα αποτελέσματα.
Θα πρέπει επίσης να αναφερθεί και μια εντελώς διαφορετική ποικιλία μαθηματικών παρεμβολών, γνωστή ως "παρεμβολή χειριστών". Η κλασική εργασία για την παρεμβολή των χειριστών περιλαμβάνει το θεώρημα The Theorem Riesz-Thorin Thorin και Marcinkiewicz, η οποία αποτελεί τη βάση για μια ποικιλία άλλων έργων.
Ορισμοί
Εξετάστε ένα σύστημα ακατάλληλων σημείων () από κάποια περιοχή. Αφήστε τις λειτουργίες της λειτουργίας να είναι γνωστές μόνο σε αυτά τα σημεία:
Το έργο παρεμβολής είναι να αναζητήσετε μια τέτοια λειτουργία από μια δεδομένη κατηγορία λειτουργιών που
Παράδειγμα
1. Ας έχουμε μια λειτουργία πίνακα, όπως το παρακάτω που περιγράφεται παρακάτω, το οποίο για αρκετές τιμές καθορίζει τις αντίστοιχες τιμές:
| 0 | 0 |
| 1 | 0,8415 |
| 2 | 0,9093 |
| 3 | 0,1411 |
| 4 | −0,7568 |
| 5 | −0,9589 |
| 6 | −0,2794 |
Η παρεμβολή μας βοηθά να μάθουμε τι μια τιμή μπορεί να έχει μια τέτοια λειτουργία σε ένα σημείο διαφορετικό από αυτά που καθορίζονται (για παράδειγμα, Χ. = 2,5).
Μέχρι σήμερα, υπάρχουν πολλοί Διαφορετικοί τρόποι Παρεμβολή. Η επιλογή του καταλληλότερου αλγορίθμου εξαρτάται από τις απαντήσεις στις ερωτήσεις: όπως με ακρίβεια επιλέξιμη μέθοδος, ποιο είναι το κόστος της χρήσης του, πόσο ομαλή είναι μια λειτουργία παρεμβολής, η οποία ποσά των σημείων δεδομένων απαιτεί κλπ.
2. Βρείτε μια ενδιάμεση τιμή (μέθοδος γραμμικής παρεμβολής).
| 6000 | 15.5 |
| 6378 | ? |
| 8000 | 19.2 |
Μέθοδοι παρεμβολής
Παρεμβολή από τον πλησιέστερο γείτονα
Ο απλούστερος τρόπος για την παρεμβολή είναι η παρεμβολή από τον πλησιέστερο γείτονα.
Interpolation of Polynomials
Στην πράξη, η παρεμβολή χρησιμοποιείται συχνότερα από πολυώνυμα. Αυτό οφείλεται κυρίως στο γεγονός ότι τα πολυώνυμα είναι εύκολο να υπολογιστούν, είναι εύκολο να βρεθούν αναλυτικά τα παράγωγά τους και πολλά πολυώνυμα σφιχτά στο χώρο των συνεχών λειτουργιών (Weierstrass theorem).
- IMN-1 και IMN-2
- Lagrange πολυωνυμικό (πολυώνυμο παρεμβολής)
- Σύμφωνα με το σύστημα του eitken
Αντίστροφη παρεμβολή (θύμα x σε ένα δεδομένο y)
- Αντίστροφη παρεμβολή σύμφωνα με τον τύπο του Νεύτωνα
Παρεμβολή της λειτουργίας διαφόρων μεταβλητών
Άλλοι τρόποι παρεμβολής
- Τριγωνομετρική παρεμβολή
Σχετική έννοια
- Επεξεργασία - Μέθοδοι για την εξεύρεση σημείων εκτός του καθορισμένου διαστήματος (επέκταση καμπύλης)
- Προσέγγιση - Μέθοδοι για την κατασκευή προσεγγιστικών καμπυλών
δείτε επίσης
- Εξομάλυνση του πειράματος δεδομένων
Ίδρυμα Wikimedia. 2010.
Συνώνυμα:Παρακολουθήστε τι είναι "Interrolation" σε άλλα λεξικά:
1) μια μέθοδο για τον προσδιορισμό σε ορισμένα δεδομένα τις τιμές οποιωνδήποτε ενδιάμεσων τιμών μαθηματικών έκφρασης. Έτσι, για παράδειγμα, από το εύρος της πτήσης του πυρήνα υπό γωνία ανύψωσης του άξονα του καναλιού κανόνι 1 °, 2 °, 3 °, 4 °, κλπ., Μπορεί να προσδιοριστεί από τη βοήθεια ... . Λεξικό ξένων λέξεων της ρωσικής γλώσσας
Εισάγετε, παρεμβολή, ένταξη, βρείτε ένα λεξικό ρωσικών συνώνυξε. Interpolation Δείτε το ενημερωτικό λεξικό συνώνυμων της ρωσικής γλώσσας. Πρακτικός κατάλογος. M.: Ρωσικά. Ζ. Ε. Αλέξανδρο. 2 ... Συνώνυμο λεξικό
παρεμβολή - τον υπολογισμό των ενδιάμεσων τιμών μεταξύ δύο γνωστών σημείων. Για παράδειγμα: Γραμμική γραμμική Interpolation Εκτείνουσα εκθετική παρεμβολή Η διαδικασία της έγχρωμης εικόνας εξόδου όταν τα εικονοστοιχεία που ανήκουν στην περιοχή μεταξύ δύο χρωμάτων ... ... ... Τεχνικός κατάλογος μεταφραστή
- (παρεμβολή) εκτίμηση της αξίας μιας άγνωστης τιμής μεταξύ δύο σημείων ορισμένων γνωστών τιμών. Για παράδειγμα, η γνώση των δεικτών του πληθυσμού της χώρας που ελήφθησαν κατά τη διάρκεια της απογραφής του πληθυσμού που διεξάγεται στο διάστημα 10 ετών, ... ... Λεξικό Όρων επιχειρήσεων
Από τη λατινική δράση "ψεύτικο". Οι λεγόμενες λανθασμένες τροποποιήσεις ή αργότερα ένθετα στα χειρόγραφα που έγιναν από αλληλογραφία ή αναγνώστες. Ιδιαίτερα συχνά αυτός ο όρος χρησιμοποιείται στην κριτική των χεριών των αντίκα συγγραφέων. Σε αυτά τα χειρόγραφα ... ... Λογοτεχνική εγκυκλοπαίδεια
Βρείτε ενδιάμεσες τιμές ορισμένων προτύπων (λειτουργιών) για μια σειρά από γνωστές τιμές. Στα αγγλικά: παρεμβολή Δείτε επίσης: Τα δεδομένα μετατρέπουν το οικονομικό λεξικό Finam ... Οικονομικό λεξιλόγιο
παρεμβολή - και, g. Interpolation F. Lat. Αλλαγή interpolatio; Μεταβολή, παραμόρφωση. 1. Εισαγωγή αργότερα προέλευση στην οποία l. Το κείμενο που δεν ανήκει στο πρωτότυπο. BASS 1. Σε αρχαία χειρόγραφα, πολλές παρεμβολές που έγιναν από αλληλογραφία. Εποχές. 1934. 2 ... Ιστορικό Λεξικό του Gallicalism Ρωσική γλώσσα
ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ - (Interpolatio), αναπλήρωση Empirich. Μια σειρά τιμών οποιωνδήποτε τιμών των ελλείπουσων ενδιάμεσων τιμών του. Η παρεμβολή μπορεί να παραχθεί με τρεις τρόπους: τα μαθηματικά., Πρόγραμμα. και λογικό. Βασίζονται στη γενική υπόθεση σχετικά με αυτό ... Μεγάλη ιατρική εγκυκλοπαίδεια
- (Από τη λατινική ενδοπολάτιο αλλαγή, μεταβολή), βρίσκοντας τις ενδιάμεσες τιμές της τιμής σύμφωνα με ορισμένες γνωστές τιμές. Για παράδειγμα, η εύρεση των τιμών της λειτουργίας y \u003d f (x) στα σημεία x που βρίσκεται μεταξύ σημείων x0 και xn, x0 ... Σύγχρονη εγκυκλοπαίδεια
- (από το Lat. Interpolatio αλλαγή αλλαγής), στα μαθηματικά και στατιστικά στοιχεία, βρίσκοντας τις ενδιάμεσες τιμές της τιμής σύμφωνα με ορισμένες γνωστές τιμές. Για παράδειγμα, η εύρεση των τιμών της συνάρτησης f (x) σε σημεία x που βρίσκεται μεταξύ σημείων xo x1 ... xn, ... ... ... Μεγάλο εγκυκλοπαιδικό λεξικό
