Διάλυση των παραδείγματα παράλογων ολοκλήρων. Σύνθετα ολοκληρωμένα

Θυμάσουμε τα χαρούμενα σχολικά χρόνια. Πινακίδες στα διδάγματα των μαθηματικών, αρχίζοντας να μελετά τις ρίζες, πρώτα απ 'όλα να εξοικειωθούν με την τετραγωνική ρίζα. εμείς Ας πάμε για ψώνια τον ίδιο τρόπο.

Παράδειγμα 1.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Αναλύοντας την ολοκληρωμένη λειτουργία, έρχεστε στη θλιβερή έξοδο που δεν υπενθυμίζει καθόλου από τους πίνακες. Τώρα, αν όλα αυτά ήταν καλά στον αριθμητή - θα ήταν εύκολο. Ή η ρίζα δεν ήταν στο κάτω μέρος. Ή πολυώνυμο. Οχι Μέθοδοι ενσωμάτωσης των κλάσεωνΕπίσης δεν βοηθούν. Τι να κάνω?

Η κύρια λύση ρεσεψιόν των παράλογων ολοκληρωμάτων είναι μια αντικατάσταση μιας μεταβλητής που θα μας σώσει από όλες τις ρίζες στην ολοκληρωμένη λειτουργία.

Σημειώστε ότι αυτή η αντικατάσταση είναι λίγο περίεργη, η τεχνική εφαρμογή του είναι διαφορετική από την "κλασική" μέθοδο αντικατάστασης, η οποία θεωρείται στο μάθημα. Μέθοδος αντικατάστασης σε αόριστο ενσωματωμένο.

ΣΕ Αυτό το παράδειγμα Πρέπει να αντικαταστήσουμε Χ. = Τ. 2, δηλαδή, αντί να "iksa" κάτω από τη ρίζα που θα έχουμε Τ. 2. Γιατί είναι η αντικατάσταση ακριβώς όπως; Επειδή, και ως αποτέλεσμα της αντικατάστασης της ρίζας εξαφανίζονται.

Εάν στη λειτουργία ενσωμάτωσης, αντί μιας τετραγωνικής ρίζας, είχαμε, τότε θα είχαμε αντικατασταθεί. Εάν υπήρχε, τότε θα είχα δαπανηθεί ούτω καθεξής.

Λοιπόν, θα μετατραπεί. Τι συμβαίνει με το πολυώνυμο; Δεν υπάρχουν δυσκολίες: αν, τότε .

Παραμένει να μάθετε τι μετατρέπεται η διαφορά. Αυτό γίνεται όπως αυτό:

Παίρνουμε την αντικατάστασή μας και εμπνέουν διαφορές και στα δύο μέρη:

(Μιλήστε όσο το δυνατόν λεπτομερέστερα).

Η διακόσμηση της λύσης πρέπει να φαίνεται κάτι τέτοιο:

.

Θα αντικαταστήσουμε: .

.

(1) Διεξάγουμε μια υποκατάσταση μετά την αντικατάσταση (όπως τι και πού, ήδη επανεξετάζεται).

(2) Υποστηρίζουμε τη σταθερή εκτός του ολοκληρώματος. Αριθμητέας και παρονομαστής μειώνοντας Τ..

(3) Το προκύπτον ενσωματωμένο είναι πίνακες, το προετοιμάζουμε για ενσωμάτωση, επισημαίνοντας το τετράγωνο.

(4) Ενσωματώνουμε στο τραπέζι χρησιμοποιώντας τον τύπο

.

(5) Διεξαγωγή αντικατάστασης. Πώς γίνεται; Θυμάσουμε τι χορεύεται: αν, λοιπόν.

Παράδειγμα 2.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Κάπως συνέβη αυτό στα παραδείγματα 1, 2 "γυμνός" αριθμητής με ένα μόνο διαφορά. Διορθώστε την κατάσταση.

Παράδειγμα 3.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Η προ-ανάλυση της λειτουργίας ενσωμάτωσης δείχνει ξανά ότι δεν υπάρχει πορεία φωτός. Και επομένως πρέπει να απαλλαγείτε από τη ρίζα.

Θα αντικαταστήσουμε :.

Ανά Δείχνουμε όλη την έκφραση κάτω από τη ρίζα. Η αντικατάσταση από προηγούμενα παραδείγματα δεν είναι κατάλληλη (ακριβέστερα, μπορεί να γίνει, αλλά δεν μας σώζει από τη ρίζα).

Γυρίστε τις διαφορές και στα δύο μέρη:

Ο αριθμητής καταλάβει. Τι να κάνετε με τον παρονομαστή;

Παίρνουμε την αντικατάστασή μας και το εκφράζουμε από αυτό :.

Αν τότε.

(1) Διεξάγουμε υποκατάσταση σύμφωνα με την αντικατάσταση.

(2) μαλλιά τον αριθμητή. Η σταθερή εδώ επέλεξε να μην υπομείνει το ενσωματωμένο σημάδι (μπορείτε να το κάνετε, δεν θα υπάρξει σφάλμα)

(3) Ξεκλειδώστε τον αριθμητή στο ποσό. Για άλλη μια φορά συνιστούμε να εξοικειωθείτε με την πρώτη παράγραφο του μαθήματος Ενσωμάτωση ορισμένων κλασμάτων. Πλήρεις με την αποσύνθεση του αριθμητή στο ποσό του παράλογα ολοκληρωτικά Θα είναι άφθονο, είναι πολύ σημαντικό να επεξεργαστείτε αυτή την τεχνική.

(4) Παραδώστε τον αριθμητή στον παρονομαστή.

(5) Χρησιμοποιήστε τις ιδιότητες της γραμμικότητας ενός αβέβαιου ενσωματωμένου. Στο δεύτερο αναπόσπαστο, επισημαίνουμε την πλατεία για μεταγενέστερη ολοκλήρωση στο τραπέζι.

(6) Ενσωματώνουμε στο τραπέζι. Το πρώτο ολοκλήρωμα είναι εντελώς απλό, στο δεύτερο χρησιμοποιούμε τον πίνακα τύπου του υψηλού λογαρίματος .

(7) Εκτελούμε την αντίστροφη αντικατάσταση. Εάν πραγματοποιήσαμε αντικατάσταση, τότε, πίσω :.

Παράδειγμα 4.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση εάν εργάζεστε απροστατευτικά τα προηγούμενα παραδείγματα, τότε επιτρέψτε ένα σφάλμα! Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Κατ 'αρχήν, επιλύονται επίσης ολοκληρωμένα με πολλά Το ίδιοΡίζες, για παράδειγμα

Και τα λοιπά. Και τι γίνεται αν στην ολοκληρωμένη λειτουργία των ριζών διαφορετικός?

Παράδειγμα 5.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Έτσι η μισθοδοσία ήρθε για γυμνούς αριθμούς. Όταν εντοπιστεί ένα τέτοιο ολοκληρωμένο, συνήθως γίνεται τρομακτικό. Αλλά οι φόβοι είναι μάταια, μετά τη διεξαγωγή μιας κατάλληλης αντικατάστασης, η ενσωμάτωση απλοποιείται. Η εργασία έχει ως εξής: Για να περάσετε μια καλή αντικατάσταση για να απαλλαγείτε αμέσως από όλες τις ρίζες.

Όταν δίδονται διαφορετικές ρίζες, είναι βολικό να τηρθεύσετε ένα συγκεκριμένο σχήμα λύσης.

Πρώτον, γράφουμε την αρχική λειτουργία στο σχέδιο, ενώ όλες οι ρίζες παρουσιάζουν τη μορφή:

Θα μας ενδιαφέρει αρμονικόςβαθμούς:

Η τάξη των παράλογων λειτουργιών είναι ευρεία, επομένως ο καθολικός τρόπος ενσωμάτωσης τους δεν μπορεί να είναι. Σε αυτό το άρθρο, θα προσπαθήσουμε να επισημάνουμε τους πιο χαρακτηριστικούς τύπους παράλογων ολοκληρωτών και να τα θέσουμε σε συμμόρφωση με τη μέθοδο ολοκλήρωσης.

Υπάρχουν περιπτώσεις κατά την κατάλληλη χρήση της μεθόδου σύνοψης ενός διαφορικού σημείου. Για παράδειγμα, όταν βρίσκουν αβέβαιες ολοκληρώσεις του είδους, όπου Π. - λογικό κλάσμα.

Παράδειγμα.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο .

Απόφαση.

Δεν είναι δύσκολο να το παρατηρήσετε. Ως εκ τούτου, συνοψίζουμε το σημάδι της διαφοράς και χρησιμοποιούμε έναν πίνακα πρωτόγονων:

Απάντηση:

.

13. κλασματική γραμμική υποκατάσταση

Ολοκληρωμένα ολοκληρώματα του τύπου όπου A, B, C, D είναι έγκυροι αριθμοί, Α, Β, ..., D, G - φυσικοί αριθμοί, μειώνονται στα ολοκληρωτικά από μια ορθολογική λειτουργία με τον κατάλογο - το μικρότερο γενικό των πολλαπλών παρονομαστές κλάσεων

Πράγματι, από την αντικατάσταση

δηλ. Χ και DX εκφράζονται μέσω ορθολογικών λειτουργιών από το t. Στην περίπτωση αυτή, κάθε βαθμός κλάσματος εκφράζεται μέσω μιας ορθολογικής λειτουργίας από το t.

Παράδειγμα 33.4.. Βρείτε αναπόσπαστο

Λύση: Ο μικρότερος γενικός είναι οι πολλαπλές παρονομαστές των κλάσεων 2/3 και 1/2 είναι 6.

Επομένως, υποθέτουμε το x + 2 \u003d t 6, x \u003d t 6 -2, dx \u003d 6t 5 dt, επομένως,

Παράδειγμα 33.5. Καθορίστε την υποκατάσταση για την εξεύρεση ολοκληρώσεων:

Λύση: Για i 1 υποκατάσταση x \u003d t 2, για υποκατάσταση i 2

14. τριγωνομετρική υποκατάσταση

Τύπος ολοκλήρωμα οδηγούνται σε ολοκληρωτικά από λειτουργίες που εξαρτώνται από τις λειτουργικές λειτουργίες από τις τριγωνομετρικές λειτουργίες χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες τριγωνομετρικές υποκαταστάσεις: x \u003d και το Sint για το πρώτο ολοκληρωμένο. x \u003d ένα TGT για το δεύτερο ενσωματωμένο. για το τρίτο αναπόσπαστο.

Παράδειγμα 33.6. Βρείτε αναπόσπαστο

Λύση: Βάλτε X \u003d 2 SIN T, DX \u003d 2 COS TDT, T \u003d ARCSIN X / 2. Επειτα

Εδώ, η ολοκληρωμένη λειτουργία είναι μια ορθολογική λειτουργία σε σχέση με το Χ και το Υπογραμμίζοντας μια πλήρη πλατεία κάτω από την ριζοσπαστική και την υποκατάσταση, τα ολοκλήρωμα καθορισμένος τύπος Τα ολοκληρώματα παρέχονται ήδη στον ενσωματωμένο τύπο, δηλ. Στους τύπους ολοκληρωμένων Αυτά τα ολοκληρωτικά μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας κατάλληλες τριγωνομετρικές υποκαταστάσεις.

Παράδειγμα 33.7. Βρείτε αναπόσπαστο

Λύση: Επειδή το Χ 2 + 2Χ-4 \u003d (χ + 1) 2-5, κατόπιν Χ + 1 \u003d Τ, Χ \u003d Τ-1, DX \u003d DT. ως εκ τούτου Βάζω

Σημείωση: Πληκτρολογήστε αναπόσπαστο Είναι comuroRack για να βρείτε τη χρήση της υποκατάστασης x \u003d 1 / t.

15. Ένα συγκεκριμένο αναπόσπαστο

Ας υποθέσουμε ότι η λειτουργία έχει οριστεί στην κοπή έχει ένα πρωτόγονο. Αναπηρία Ορισμένα ενσωματωμένα Οι λειτουργίες για την κοπή είναι δηλώνονται. Ετσι,

Η διαφορά είναι γραμμένη με τη μορφή, τότε . Νυζενικός Τα όρια της ολοκλήρωσης .

Για παράδειγμα, μία από τις πρωταρχικές λειτουργίες. ως εκ τούτου

16 . Εάν το c είναι ένας σταθερός αριθμός και λειτουργία ƒ (x) ενσωματωθεί, τότε

δηλ. Ο μόνιμος πολλαπλασιαστήρας με μπορεί να αφαιρεθεί από ένα ορισμένο αναπόσπαστο σημάδι.

▼ Κάνετε ένα ολοκληρωμένο ποσό για μια λειτουργία με ƒ (x). Εχουμε:

Στη συνέχεια ακολουθεί ότι η λειτουργία ƒ (x) ενσωματώνεται σε [a; b] και ο τύπος (38.1). ▲

2. Εάν οι λειτουργίες ƒ 1 (x) και ƒ 2 (x) είναι ενσωματωμένα σε [a, b], στη συνέχεια ενσωματωμένα σε [a; b] το ποσό τους u

δηλ. Το αναπόσπαστο από το ποσό ισούται με το ποσό των ολοκληρωμένων.

▼
▲

Το ακίνητο 2 ισχύει για το ποσό οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού όρων.

3.

Αυτή η ιδιοκτησία μπορεί να ληφθεί εξ ορισμού. Αυτή η ιδιότητα επιβεβαιώνεται επίσης από τον τύπο Newton-Leibnic.

4. Εάν η λειτουργία ƒ (x) ενσωματώνεται σε [a; b] και ένα< с < b, то

δηλ. Το ολοκλήρωμα σε όλο το τμήμα είναι ίσο με το ποσό των ολοκληρώσεων σε μέρη αυτού του τμήματος. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται προσθήκη συγκεκριμένης ολοκλήρωσης (ή ιδιοκτησίας προσθετικότητας).

Κατά τη διάσπαση του τμήματος [a; b] από το μέρος για να ενεργοποιήσετε το σημείο με τον αριθμό των σημείων διαίρεσης (αυτό μπορεί να γίνει λόγω της ανεξαρτησίας του οροπέδου του ολοκληρωμένου ποσού στη μέθοδο διάσπασης του τμήματος [a, b] στο το μέρος). Εάν c \u003d x m, τότε το αναπόσπαστο ποσό μπορεί να χωριστεί σε δύο ποσά:

Κάθε ένα από τα γραπτά ποσά είναι αναπόσπαστο, αντίστοιχα, για τμήματα [a; Β], [Α; C] και [c; σι]. Όσον αφορά το όριο της τελευταίας ισότητας σε n → ∞ (λ → 0), λαμβάνουμε ισότητα (38,3).

Το ακίνητο 4 ισχύει για οποιαδήποτε θέση σημείων Α, Β, Γ (πιστεύουμε ότι η λειτουργία ƒ (x) είναι ενσωματωμένη στο μεγαλύτερο από τα προκύπτοντα τμήματα).

Έτσι, για παράδειγμα, αν α< b < с, то

(Ιδιότητες 4 και 3 χρησιμοποιούνται).

5. "Το μεσαίο θεώρημα." Εάν η λειτουργία ƒ (x) είναι συνεχής στο τμήμα [a; β], τότε υπάρχει ένα λεπτό με є [a; β] έτσι ώστε

▼ από τον Newton-Laben Formula

όπου f "(x) \u003d ƒ (x). Εφαρμόζοντας τη διαφορά F (b) -f (a) το θεώρημα Lagrange (θεώρημα στην τελική αύξηση της λειτουργίας), παίρνουμε

F (b) -f (a) \u003d f "(c) (b - a) \u003d ƒ (c) (b - a). ▲

Ακίνητα 5 ("Θεώρημα κατά μέσο όρο") στο ƒ (x) ≥ 0 έχει μια απλή γεωμετρική έννοια: η τιμή ενός συγκεκριμένου ολοκληρωμένου είναι ίσος, με μερικούς με є (a; β), την περιοχή του ορθογωνίου με ένα Ύψος ƒ (C) και τη βάση B-A (βλέπε σχήμα 170). Αριθμός

που ονομάζεται μέση τιμή της λειτουργίας ƒ (x) στο τμήμα [a; σι].

6. Εάν η λειτουργία ƒ (x) διατηρεί ένα σημάδι στο τμήμα [a; Β] Πού και< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼ στο "Μέσο Θεώρημα" (Ακίνητο 5)

όπου με є [a; σι]. Και από το ƒ (x) ≥ 0 για όλα τα x Î [a; b] Στη συνέχεια

ƒ (c) ≥0, b - a\u003e 0.

Ως εκ τούτου, ƒ (c) (b - a) ≥ 0, δηλ. ▲

7. Ανισότητα μεταξύ συνεχών λειτουργιών στο τμήμα [Α · Β], (α

▼ από το ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x) ≥0, τότε πότε< b, согласно свойству 6, имеем

Ή, σύμφωνα με το ακίνητο 2,

Σημειώστε ότι είναι αδύνατο να διαφοροποιηθούν οι ανισότητες.

8. Αξιολόγηση του ολοκληρώματος. Εάν m και m είναι, αντίστοιχα, οι μικρότερες και οι μεγαλύτερες τιμές της λειτουργίας y \u003d ƒ (x) στο τμήμα [a; β], (και< b), то

▼ Δεδομένου ότι για οποιοδήποτε x є [a, b] έχουμε m≤ƒ (x) ≤m, τότε, σύμφωνα με το ακίνητο 7, έχουμε

Χρησιμοποιώντας την ακραία ολοκληρωμένη ιδιότητα 5, παίρνουμε

▲

Εάν ƒ (x) ≥0, κατόπιν ιδιότητα 8 απεικονίζει το XIA γεωμετρικά 171).

9. Η ενότητα ενός συγκεκριμένου ολοκληρωμένου δεν υπερβαίνει τα ενσωματωμένα από τη μονάδα λειτουργίας αντικατάστασης:

▼ Εφαρμογή ακινήτου 7 σε προφανείς ανισότητες - | ƒ (x) | ≤ƒ (x) ≤ | ƒ (x) |

Ως εκ τούτου, το προκύπτει αυτό

▲

10. Το παράγωγο ενός συγκεκριμένου ολοκληρωμένου στο μεταβλητό ανώτερο όριο ισούται με τη λειτουργία ενσωμάτωσης στην οποία η μεταβλητή ολοκλήρωσης αντικαθίσταται από αυτό το όριο, δηλ.

Ο υπολογισμός του σχήματος του αριθμού είναι ένα από τα πιο απλά προβλήματα της θεωρίας του χώρου. Στη σχολική πορεία της γεωμετρίας, μάθαμε να βρούμε την περιοχή των κύριων γεωμετρικών στοιχείων, για παράδειγμα, κύκλο, τρίγωνο, ρόμβο κλπ. Ωστόσο, πολύ πιο συχνά συναντώνται τον υπολογισμό των τετραγώνων πιο περίπλοκων μορφών. Κατά την επίλυση τέτοιων εργασιών, πρέπει να καταφύγετε σε ολοκληρωμένο υπολογισμό.

Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε το καθήκον του υπολογισμού της περιοχής του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς και θα το πλησιάσουμε με μια γεωμετρική έννοια. Αυτό θα μας επιτρέψει να μάθουμε την άμεση σχέση μεταξύ ενός συγκεκριμένου ολοκληρωμένου και μιας περιοχής καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς.

Δεν υπάρχει καθολική μέθοδος για την επίλυση των παράλογων εξισώσεων, καθώς η τάξη τους χαρακτηρίζεται από ποσότητες. Το άρθρο θα επισημάνει τους χαρακτηριστικούς τύπους εξισώσεων υποκατάστασης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ενσωμάτωσης.

Για να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο άμεσης ολοκλήρωσης, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τα αόριστα ολοκληρώματα του τύπου ∫ k x + b p d x, όπου το P είναι ένα ορθολογικό πυροβολισμό, τα k και b είναι έγκυροι συντελεστές.

Παράδειγμα 1.

Βρείτε και υπολογίστε τις πρωτόγονες λειτουργίες y \u003d 1 3 x - 1 3.

Απόφαση

Σύμφωνα με τον κανόνα της ολοκλήρωσης, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ο τύπος ∫ f (k · x + b) dx \u003d 1 k · f (k · x + b) + c, και ο πίνακας πρωτοβάθμιας υποδείξεως ότι υπάρχει έτοιμος -Η διάλυμα αυτής της λειτουργίας. Το παίρνουμε

∫ DX 3 Χ - 1 3 \u003d ∫ (3 Χ - 1) - 1 3 DX \u003d 1 3 · 1 - 1 3 + 1 · (3 χ- 1) - 1 3 + 1 + C \u003d \u003d 1 2 (3 Χ - 1) 2 3 + c

Απάντηση: ∫ d x 3 x - 1 3 \u003d 1 2 (3 x - 1) 2 3 + c.

Υπάρχουν περιπτώσεις που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο της σύνοψης του διαφορικού σημείου. Αυτό επιλύεται στην αρχή της εύρεσης αβέβαιων ολοκληρώσεων της μορφής ∫ f "(x) · (f (x)) p d x, όταν η τιμή p θεωρείται ορθολογική βολή.

Παράδειγμα 2.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x.

Απόφαση

Σημειώστε ότι d x 3 + 5 x - 7 \u003d x 3 + 5 x - 7 "d x \u003d (3 x 2 + 5) dx. Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να συνοψίσω το διαφορικό χρησιμοποιώντας πίνακες πρωτόγονων. Παίρνουμε ότι λαμβάνουμε

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 dx \u003d ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 · (3 x 2 + 5) dx \u003d \u003d ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) \u003d x 3 + 5 x - 7 \u003d z \u003d \u003d ∫ z - 7 6 dz \u003d 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + c \u003d - 6 z - 1 6 + c \u003d z \u003d x 3 + 5 x - 7 \u003d - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + c

Απάντηση: ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x \u003d - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + c.

Το διάλυμα αβέβαιων ολοκλήρων προβλέπει τον τύπο της μορφής ∫ D x x x x x x x x x x x x x x x 2 + p x + q, όπου το p και q είναι έγκυροι συντελεστές. Τότε είναι απαραίτητο να επισημάνετε ένα πλήρες τετράγωνο από τη ρίζα. Το παίρνουμε

x 2 + p x + q \u003d x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 q q \u003d x + p 2 2 + 4 Q - P 2 4

Εφαρμόζοντας τον τύπο που βρίσκεται στον πίνακα των αβέβαιων ολοκλήρων, παίρνουμε:

∫ d x x x 2 ± α \u003d ln x + x 2 ± α + c

Στη συνέχεια παράγεται ο υπολογισμός του ολοκληρώματος:

∫ DXX 2 + PX + Q \u003d ∫ DXX + P2 2 + 4 Q - P 2 4 \u003d LN X + P 2 + X + P2 2 + 4 Q - P 2 4 + C \u003d LN X + P 2 + X 2 + px + q + c

Παράδειγμα 3.

Βρείτε ένα αόριστο ολοκλήρωμα της φόρμας ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1.

Απόφαση

Για να υπολογίσετε, πρέπει να υπομείνετε τον αριθμό 2 και να το κανονίσετε μπροστά από την ριζοσπαστική:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 \u003d ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 \u003d 1 2 ∫ d x x x 2 + 3 2 x - 1 2

Κάντε την κατανομή ενός πλήρους πλατείας στην έκφραση τροφοδοσίας. Το παίρνουμε

x 2 + 3 2 x - 1 2 \u003d x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 \u003d x + 3 4 2 - 17 16

Στη συνέχεια, έχουμε ένα αόριστο ολοκλήρωμα της μορφής 1 2 ° D XX 2 + 3 2 x-1 2 \u003d 1 2 ° D XX + 3 4 2 - 17 16 \u003d 1 2 LN x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + c

Απάντηση: d x x x 2 + 3 x - 1 \u003d 1 2 LN x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + c

Η ενσωμάτωση των παράλογων λειτουργιών γίνεται με τον ίδιο τρόπο. Ισχύει για τις λειτουργίες της φόρμας y \u003d 1 - x 2 + p x + q.

Παράδειγμα 4.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο ∫ d x-x 2 + 4 x + 5.

Απόφαση

Πρώτα πρέπει να αποσύρετε την πλατεία του παρονομαστή από την ριζική έκφραση.

∫ DX - x 2 + 4 x + 5 \u003d ∫ DX - x 2 - 4 x - 5 \u003d \u003d ∫ DX - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 \u003d ∫ DX - x - 2 2 - 9 \u003d ∫ DX - (x - 2) 2 + 9

Ο πίνακας Integral έχει τη φόρμα ∫ DXA 2 - x 2 \u003d ARC SIN XA + C, τότε λαμβάνουμε ότι ∫ DX - X 2 + 4 x + 5 \u003d ∫ DX - (x - 2) 2 + 9 \u003d ARC SIN X - 2 3 + C.

Απάντηση: ∫ d x-x 2 + 4 x + 5 \u003d ένα rc sin x-2 3 + c.

Η διαδικασία εύρεσης των πρωτόγονων παράλογων λειτουργιών της φόρμας y \u003d m x + nx 2 + px + q, όπου τα διαθέσιμα m, n, p, q είναι έγκυροι συντελεστές και έχουν ομοιότητα με την ενσωμάτωση των απλών κλασμάτων του τρίτου τύπος. Αυτός ο μετασχηματισμός έχει πολλά στάδια:

Σύνοψη της διαφοράς κάτω από τη ρίζα, την κατανομή ενός πλήρους πλατείας έκφρασης κάτω από τη ρίζα, εφαρμόζοντας πίνακες φόρμουλας.

Παράδειγμα 5.

Βρείτε τις πρωτόγονες λειτουργίες y \u003d x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Απόφαση

Από την κατάσταση έχουμε ότι το D (x 2-3x + 1) \u003d (2 χ-3) dx και x + 2 \u003d 12 (2 χ-3) + 72, τότε (x + 2) dx \u003d 1 2 (2 χ-3) + 7 2 dx \u003d 1 2 d (x 2-3 x + 1) + 7 2 dx.

Υπολογίστε το ενσωματωμένο: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 dx \u003d 1 2 ∫ D (χ 2 - 3 χ + 1) Χ 2 - 3x + 1 + 7 2 ∫ DXX 2 - 3 χ + 1 \u003d 1 2 ∫ (x 2-3 x + 1) - 1 2 d (x 2-3x + 1) + 7 2 ∫ DXX - 32 2-54 \u003d 1 2,1 - 1 2 + 1 · x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 LN Χ - 3 2 + Χ - 3 2 - 5 4 + C \u003d \u003d \u003d Χ 2 - 3 Χ + 1 + 7 2 LN Χ - 3 2 + Χ 2 - 3 Χ + 1 + c

Απάντηση: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x \u003d x 2-3 x + 1 + 7 2 ln χ-3 2 + x 2-3 x + 1 + + c.

Η αναζήτηση αβέβαιων ολοκλήρων της λειτουργίας ∫ χ Μ (Α + Β Χ) PD X διεξάγεται χρησιμοποιώντας μια μέθοδο υποκατάστασης.

Για να λύσετε, εισάγετε νέες μεταβλητές:

1. Όταν ο αριθμός Ρ είναι ακέραιος, τότε πιστεύεται ότι το Χ \u003d z Ν και το η είναι ένας κοινός παρονομαστής για m, n.
2. Όταν το Μ + 1 Ν είναι ακέραιο, κατόπιν Α + Β Χ \u003d ZΝ και Ν είναι παρονομαστής του αριθμού Ρ.
3. Όταν το Μ + 1 Ν + Ρ είναι ακέραιο, κατόπιν η είσοδος της μεταβλητής Α είναι Ν + Β \u003d Ζ Ν και Ν είναι παρονομαστής του αριθμού Ρ.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.

Βρείτε ένα συγκεκριμένο ολοκληρωμένο ∫ 1 x 2 x - 9 d x.

Απόφαση

Λαμβάνουμε ότι ∫ 1 x 2 x - 9 d x \u003d ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x. Ακολουθεί ότι m \u003d-1, n \u003d 1, p \u003d - 1 2, κατόπιν Μ + 1 η \u003d - 1 + 1 1 \u003d 0 είναι ένας ακέραιος. Μπορείτε να εισάγετε μια νέα μεταβλητή της φόρμας - 9 + 2 χ \u003d z2. Είναι απαραίτητο να εκφράσουμε το x μέσω z. Στις εξόδους το έχουμε

9 + 2 x \u003d z 2 ⇒ x \u003d z 2 + 9 2 ⇒ d x \u003d z 2 + 9 2 "d z \u003d z d z - 9 + 2 x \u003d z

Είναι απαραίτητο να υποκαταστήσει την καθορισμένη ολοκλήρωση. Το έχουμε

∫ d x x x 2 x - 9 \u003d ∫ z d z 2 + 9 2 · z \u003d 2 ° D z 2 + 9 \u003d 2 3 Α RC T GZ 3 + C \u003d 2 3 A R C C T G 2 X - 9 3 + C

Απάντηση: ∫ d x x x 2 x - 9 \u003d 2 3 a r c c t g 2 x-9 3 + c.

Για την απλοποίηση της λύσης των παράλογων εξισώσεων, εφαρμόζονται οι κύριες μέθοδοι ενσωμάτωσης.

Εάν παρατηρήσετε ένα λάθος στο κείμενο, επιλέξτε το και πατήστε Ctrl + Enter

Υπό παράλογος Κατανοήστε την έκφραση στην οποία μια ανεξάρτητη μεταβλητή %% x %% ή ένα πολυωνυμικό %% P_n (x) %% του βαθμού %% N \\ in \\ mathbb (n) %% συμπεριλαμβάνεται ριζικό (από Λατινικά radix. - ρίζα), δηλ. Νωρίς σε κλασματικό βαθμό. Ορισμένες τάξεις παράλογου σε σχέση με το %% X %% των εκφράσεων αντικατάστασης της μεταβλητής μπορούν να μειωθούν στις ορθολογικές εκφράσεις σε σχέση με τη νέα μεταβλητή.

Η έννοια της ορθολογικής λειτουργίας μιας μεταβλητής μπορεί να επεκταθεί σε πολλά επιχειρήματα. Εάν το %% u, v, \\ dotsc, w %%, κατά τον υπολογισμό της αξίας της λειτουργίας, μόνο οι αριθμητικές ενέργειες και η κατασκευή ολόκληρου του βαθμού παρέχονται στην ορθολογική λειτουργία αυτών των επιχειρημάτων, η οποία συνήθως δηλώνεται κατά το %% R (u, v, \\ dotsc, w) %%. Τα επιχειρήματα μιας τέτοιας λειτουργίας μπορούν να είναι λειτουργίες ανεξάρτητης Permaal %% x%, συμπεριλαμβανομένων των ριζών του τύπου %% \\ sqrt [n] (x), n \\ in \\ mathbb (n) %%. Για παράδειγμα, η ορθολογική λειτουργία $$ r (u, v, w) \u003d \\ frac (u + v ^ 2) (w) $$ στο %% u \u003d x, v \u003d \\ sqrt (x) %% και %% W \u003d \\ sqrt (x ^ 2 + 1) %% είναι μια ορθολογική λειτουργία $$ R \\ αριστερά (x, \\ sqrt (x), \\ sqrt (x ^ 2 + 1) \\ lews) \u003d \\ frac (x + \\ Sqrt (x ^ 2)) (\\ sqrt (x ^ 2 + 1)) \u003d f (x) $$ από %% x %% και ριζοσπαστικά %% \\ sqrt (x) %% και %% \\ sqrt (x ^ 2 + 1) %%, ενώ η λειτουργία %% F (x) %% είναι μια παράλογη (αλγεβρική) λειτουργία μιας ανεξάρτητης μεταβλητής %% x %%.

Εξετάστε τα ολοκληρώματα του εντύπου %% \\ int r (x, \\ sqrt [n] (x)) \\ mathrm (d) x %%. Αυτά τα ολοκληρωτικά εξορθολογίζονται αντικαθιστώντας την μεταβλητή %% t \u003d \\ sqrt [n] (x) %%, τότε %% x \u003d t ^ n, \\ mathrm (d) x \u003d nt ^ (n - 1) %%.

Παράδειγμα 1.

Βρείτε το %% \\ displayStyle \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x)) %%.

Η ολοκληρωμένη λειτουργία του επιθυμητού όρου γράφεται ως συνάρτηση από τις ρίζες του βαθμού %% 2 %% και %% από 3 %%. Από το μικρότερο συνολικό πολλαπλό αριθμό %% 2 %% και %% 3 %% είναι %% 6 %%, τότε αυτό το ενσωματωμένο είναι ο ενσωματωμένος τύπος %% \\ \\ r (x, \\ sqrt (x)) \\ mathrm (d) x %% και μπορεί να εξορθολογιστεί αντικαθιστώντας το %% \\ sqrt (x) \u003d t %%. Τότε %% x \u003d t ^ 6, \\ mathrm (d) x \u003d 6t \\ mathrm (d) t, \\ sqrt (x) \u003d t ^ 3, \\ sqrt (x) \u003d t ^ 2 %%. Κατά συνέπεια, $$ \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x) + \\ sqrt (x)) \u003d \\ int \\ frac (6t ^ 5 \\ mathrm (d) t) (t ^ 3 + T ^ 2) \u003d 6 \\ int \\ frac (t ^ 3) (t + 1) \\ mathrm (d) t. $$ Δημιουργία %% t + 1 \u003d z, \\ mathrm (d) t \u003d \\ mathrm (d) z, z \u003d t + 1 \u003d \\ sqrt (x) + 1 %% και $$ \\ Begin (Array) (LL ) \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x)) δ \u003d 6 \\ int \\ frac ((z-1) ^ 3) (z) \\ mathrm (d) T \u003d \\\\ & \u003d 6 \\ int z ^ 2 dz -18 \\ int z \\ mathrm (d) z + 18 \\ int \\ mathrm (d) z -6 \\ frac (\\ mathrm (d) z) (z ) \u003d \\\\ & \u003d 2z ^ 3 - 9 z ^ 2 + 18z -6 \\ ln | z | + C \u003d \\\\ \\ \u003d 2 \\ αριστερά (\\ sqrt (x) + 1 \\ δεξιά) ^ 3 - 9 \\ αριστερά (\\ sqrt (x) + 1 \\ δεξιά) ^ 2 + \\\\ & + ~ 18 \\ αριστερά ( \\ SQRT (X) + 1 \\ Δεξιά) - 6 \\ LN \\ Αριστερά | \\ SQRT (Χ) + 1 \\ Δεξιά | + C \\ End (Array) $$

Τα ολοκληρώματα του τύπου %% \\ int r (x, \\ sqrt [n] (x)) \\ mathrm (d) x %% είναι μια ειδική περίπτωση κλασματικών γραμμικών παράλογων, δηλ. ολοκλήρωμα του εντύπου %% \\ displayStyle \\ int r \\ αριστερά (x, \\ sqrt [n] (\\ dfrac (ax + b) (cd + d)) \\ σωστό) \\ mathrm (d) x %%, όπου %% Ad - bc \\ neq 0 %%, η οποία επιτρέπουν τον εξορθολογισμό αντικαθιστώντας τη μεταβλητή %% T \u003d \\ sqrt [n] (\\ dfrac (ax + b) (cd + d)) %%, τότε %% x \u003d \\ dfrac ( Dt ^ n - b) (a - ct ^ n) %%. Τότε $$ \\ mathrm (d) x \u003d \\ frac (n t ^ (n - 1) (ad - bc)) (\\ αριστερά) ^ 2) \\ mathrm (d) t. $$.

Παράδειγμα 2.

Βρείτε το %% \\ displayStyle \\ int \\ sqrt (\\ dfrac (1 -x) (1 + x)) \\ dfrac (\\ mathrm (d) x) (x + 1) %%.

Δημιουργία %% t \u003d \\ sqrt (\\ dfrac (1 -x) (1 + x)) %%, τότε %% x \u003d \\ dfrac (1 - t ^ 2) (1 + t ^ 2) %%, $$ \\ Beach (array) (l) \\ mathrm (d) x \u003d - \\ frac (4t \\ mathrm (d) t) (\\ αριστερά (1 + t ^ 2 \\ δεξιά) ^ 2), \\\\ 1 + x \u003d \\ FRAC (2) (1 + T ^ 2), \\\\ \\ Frac (1) (x + 1) \u003d \\ Frac (1 + T ^ 2) (2). \\ End (Array) $$ Currenture $$ \\ Begin (Array) (L) \\ INT \\ SQRT (\\ DFRAC (1 -x) (1 + x)) \\ Frac (\\ mathrm (d) x) (x + 1 ) \u003d \\\\ \u003d \\ frac (t (1 + t ^ 2)) (2) \\ αριστερά (- \\ frac (4t \\ mathrm (d) t) (\\ αριστερά (1 + t ^ 2 \\ δεξιά) ^ 2) \\ Right) \u003d \\\\ \u003d -2 \\ int \\ frac (t ^ 2 \\ mathrm (d) t) (1 + t ^ 2) \u003d \\\\ \u003d -2 \\ int \\ mathrm (d) t + 2 \\ int \\ Frac (\\ mathrm (d) t) (1 + t ^ 2) \u003d \\\\ \u003d -2T + \\ t + c \u003d + + c \u003d \\\\ \u003d -2 \\ sqrt (\\ dfrac (1 -x) (1 + x)) + \\ κείμενο (arctg) ~ \\ sqrt (\\ dfrac (1 -x) (1 + x)) + C. \\ end (Array) $$$

Εξετάστε τα ολοκληρώματα του εντύπου %% \\ int r \\ αριστερά (x, \\ sqrt (ax ^ 2 + bx + c) \\ lews) \\ mathrm (d) x %%. Στις απλούστερες περιπτώσεις, τέτοια ολοκληρώματα μειώνονται σε πίνακες, εάν μετά την κατανομή ενός πλήρους τετραγώνου για να αντικαταστήσουν τις μεταβλητές.

Παράδειγμα 3.

Βρείτε το ενσωματωμένο %% \\ displayStyle \\ int \\ dfrac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x ^ 2 + 4x + 5)) %%.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι %% x ^ 2 + 4x + 5 \u003d (x + 2) ^ 2 + 1 %%, θα πάρουμε το %% t \u003d x + 2, \\ mathrm (d) x \u003d \\ mathrm (d) t %%% , Τότε $$ \\ Begin (Array) (LL) \\ Int \\ Frac (\\ Mathrm (D) x) (\\ SQRT (x ^ 2 + 4x + 5) & \u003d \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) t ) (\\ Sqrt (t ^ 2 + 1)) \u003d \\\\ \\ \\ ln \\ αριστερά | t + \\ sqrt (t ^ 2 + 1) \\ σωστά | + C \u003d \\\\ \\ \u003d \\ L Αριστερά | x + 2 + \\ sqrt (x ^ 2 + 4x + 5) \\ Δεξιά | + C. \\ End (Array) $$

Σε πιο σύνθετες περιπτώσεις, για να βρείτε τα ολοκληρώματα του τύπου %% \\ int r \\ αριστερά (X, \\ SQRT (AX ^ 2 + BX + C) \\ RWEST) \\ mathrm (d) x %%

Η παράλογη λειτουργία από τη μεταβλητή είναι μια συνάρτηση που σχηματίζεται από μεταβλητές και αυθαίρετες σταθερές χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό λειτουργιών προσθήκης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού (στύση σε ακέραιο βαθμό), διαίρεση και εκχύλιση ριζών. Η παράλογη λειτουργία διαφέρει από το λογικό στο ότι η παράλογη λειτουργία περιέχει λειτουργίες εξόρυξης root.

Υπάρχουν τρεις κύριοι τύποι παράλογων λειτουργιών, οι αβέβαιοι ολοκληρώσεις από τα οποία δίνονται σε ολοκληρώματα από ορθολογικές λειτουργίες. Αυτά είναι ολοκληρώματα που περιέχουν τις ρίζες αυθαίρετων ακέραιων βαθμών από την κλασματική γραμμική λειτουργία (οι ρίζες μπορούν να είναι διαφόρων βαθμών, αλλά από την ίδια, κλασματική γραμμική λειτουργία). Ολοκληρωμένα από διαφορικό BINOMA και ολοκληρώματα με τετραγωνική ρίζα τετραγωνικών τριών βολών.

Σημαντική παρατήρηση. Οι ρίζες έχουν νόημα!

Κατά τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων που περιέχουν ρίζες, τα είδη της φόρμας βρίσκονται συχνά, όπου υπάρχει κάποια λειτουργία από τη μεταβλητή ολοκλήρωσης. Πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι. Δηλαδή, με t\u003e 0, | T | \u003d Τ. . Με Τ.< 0, | T | \u003d - t. Επομένως, κατά τον υπολογισμό αυτών των ολοκληρωμάτων, πρέπει να εξετάσετε ξεχωριστά τις περιπτώσεις t\u003e 0 και Τ.< 0 . Αυτό μπορεί να γίνει εάν γράψετε σημάδια ή όπου είναι απαραίτητο. Που υποδηλώνουν ότι το επάνω σήμα αναφέρεται στην περίπτωση t\u003e 0 , και το κάτω μέρος - στην περίπτωση t< 0 . Με περαιτέρω μετατροπή, αυτά τα σημεία συνήθως μειώνονται αμοιβαία.

Μια δεύτερη προσέγγιση είναι δυνατή, στην οποία η ολοκληρωμένη λειτουργία και το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης μπορούν να θεωρηθούν ως σύνθετες λειτουργίες από πολύπλοκες μεταβλητές. Στη συνέχεια, δεν μπορείτε να ακολουθήσετε σημάδια στις αποσπασμένες εκφράσεις. Αυτή η προσέγγιση εφαρμόζεται εάν η ολοκληρωμένη λειτουργία είναι αναλυτική, δηλαδή μια διαφοροποιημένη λειτουργία από μια πολύπλοκη μεταβλητή. Στην περίπτωση αυτή, η ολοκληρωμένη λειτουργία και η ολοκλήρωση της πληροφορικής είναι λειτουργίες πολλαπλών αξιών. Επομένως, μετά την ολοκλήρωση, όταν υποκαθιστούν αριθμητικές τιμές, είναι απαραίτητο να επιλέξετε το σαφτό υποκατάστημα (Riemannian επιφάνεια) της λειτουργίας ενσωμάτωσης και να επιλέξετε το κατάλληλο κλάδο του αποτελέσματος ενσωμάτωσης.

Γραμμικός παράλογος

Αυτά είναι τα ολοκληρώματα με τις ρίζες από την ίδια κλασματική γραμμική λειτουργία:
,
Όπου r είναι μια ορθολογική λειτουργία - ορθολογικούς αριθμούς, m 1, n 1, ..., m S, N S είναι ακέραιοι, α, β, γ, δ - έγκυροι αριθμοί.
Τέτοιοι ολοκληρώσεις μειώνονται στο αναπόσπαστο από τη λειτουργία λογικής λειτουργίας:
όπου n είναι ένας κοινός παρονομαστής αριθμών r 1, ..., r s.

Οι ρίζες μπορεί να μην είναι απαραιτήτως από μια κλασματική γραμμική λειτουργία, αλλά και από το γραμμικό (γ \u003d 0, Δ \u003d 1) ή από τη μεταβλητή ένταξης X (α \u003d 1, β \u003d 0, γ \u003d 0, δ \u003d 1).

Ακολουθούν παραδείγματα τέτοιων ολοκληρωμένων:
, .

Ολοκλήρωμα από διαφορικούς binomes

Τα ολοκλήρωμα από τη διαφορική binomes έχουν τη μορφή:
,
όπου M, N, P είναι λογικοί αριθμοί, Α, Β - έγκυροι αριθμοί.
Αυτά τα ολοκληρώματα μειώνονται σε ολοκληρώματα από ορθολογικές λειτουργίες σε τρεις περιπτώσεις.

1) Εάν το P είναι ακέραιος. Η υποκατάσταση x \u003d t n, όπου n είναι ο συνολικός παρονομαστής των κλάσεων M και N.
2) αν - το σύνολο. Υποκατάσταση Α x n + b \u003d t m, όπου m είναι ο αριθμός των αριθμών p.
3) εάν - ένα σύνολο. Υποκατάσταση Α + Β Χ - Ν \u003d ΤΜ, όπου το m είναι ο παρονομαστής του αριθμού Ρ.

Σε άλλες περιπτώσεις, τέτοια ολοκληρώματα δεν εκφράζονται μέσω στοιχειωδών λειτουργιών.

Μερικές φορές τέτοιες ολοκληρώσεις μπορούν να απλουστευθούν χρησιμοποιώντας φόρμουλες:
;
.

Ολοκλήρωμα που περιέχουν τετραγωνική ρίζα τετραγωνικών τριών

Τέτοιες ολοκληρώσεις είναι:
,
όπου r είναι μια ορθολογική λειτουργία. Για κάθε τέτοιο ενσωματωμένο υπάρχουν πολλές μέθοδοι διαλύματος.
1) Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς για να οδηγήσετε σε απλούστερες ολοκληρώσεις.
2) Εφαρμόζουν τριγωνομετρικές ή υπερβολικές υποκαταστάσεις.
3) Εφαρμόστε υποκαταστάσεις Euler.

Εξετάστε αυτές τις μεθόδους λεπτομερέστερα.

1) Μετατροπή της λειτουργίας ενσωμάτωσης

Χρησιμοποιώντας τον τύπο και η εκτέλεση αλγεβρικών μετασχηματισμών, φέρτε μια λειτουργία RENTRODUCT στο μυαλό:
,
όπου φ (x), ω (x) είναι λογικές λειτουργίες.

πληκτρολογώ

Το ολοκλήρωμα της φόρμας:
,
όπου p n (x) είναι ένα πολυωνυμικό βαθμό n.

Αυτά τα ολοκληρωτικά είναι η μέθοδος αβέβαιων συντελεστών χρησιμοποιώντας την ταυτότητα:

.
Διαφοροποίηση αυτής της εξίσωσης και εξισώνοντας τα αριστερά και τα δεξιά μέρη, βρίσκουμε τους συντελεστές ένα i.

Πληκτρολογήστε

Το ολοκλήρωμα της φόρμας:
,
όπου p m (x) είναι ένα πολυωνυμικό βαθμό m.

Υποκατάσταση t \u003d. (X - α) -1 Αυτό το ενσωματωμένο οδηγείται στον προηγούμενο τύπο. Εάν m ≥ n, τότε το κλάσμα πρέπει να διατεθεί σε όλο το μέρος.

Τύπος III

Εδώ κάνουμε μια υποκατάσταση:
.
Μετά την οποία το ενιαίο θα λάβει τη φόρμα:
.
Στη συνέχεια, μόνιμη α, β, θα πρέπει να επιλέξετε έτσι ώστε στον παρονομαστή τους συντελεστές στο t να μηδέν:
B \u003d 0, b 1 \u003d 0.
Στη συνέχεια, το ολοκλήρωμα αποσυντίθεται το άθροισμα των ολοκληρώσεων δύο τύπων:
,
,
οι οποίες ενσωματώνονται με αντικαταστάσεις:
u 2 \u003d ένα 1 t 2 + c 1,
v 2 \u003d Α 1 + C 1 Τ -2.

2) τριγωνομετρικές και υπερβολικές υποκαταστάσεις

Για ολοκλήρωση της φόρμας, α > 0 ,
Έχουμε τρεις κύριες υποκαταστάσεις:
;
;
;

Για ολοκλήρωση, α > 0 ,
Έχουμε τις ακόλουθες αντικαταστάσεις:
;
;
;

Και τέλος για ολοκλήρωση, α > 0 ,
Οι αντικαταστάσεις έχουν ως εξής:
;
;
;

3) Υποκαταστάσεις Euler

Επίσης, οι ολοκληρώσεις μπορούν να μειωθούν σε ολοκληρώματα από ορθολογικές λειτουργίες ενός από τις τρεις υποκαταστάσεις του Euler:
, με ένα\u003e 0;
, με C\u003e 0;
όπου το Χ1 είναι η ρίζα της εξίσωσης Α Χ 2 + Β Χ + C \u003d 0. Εάν αυτή η εξίσωση έχει έγκυρες ρίζες.

Ελλειπτικά ολοκληρωμένα

Συμπερασματικά, εξετάστε τα ολοκληρώματα της φόρμας:
,
όπου το r είναι μια λογική λειτουργία ,. Τέτοιοι ολοκληρώσεις ονομάζονται ελλειπτικά. Γενικά, δεν εκφράζονται μέσω στοιχειωδών λειτουργιών. Ωστόσο, υπάρχουν περιπτώσεις όπου υπάρχουν σχέσεις μεταξύ των συντελεστών Α, Β, Γ, Δ, Ε, με τέτοια ολοκληρωμένα εκφράζονται μέσω στοιχειωδών λειτουργιών.

Παρακάτω είναι ένα παράδειγμα που σχετίζεται με πολυώνυμα επιστροφής. Ο υπολογισμός αυτών των ολοκληρωμάτων εκτελείται χρησιμοποιώντας αντικαταστάσεις:
.

Παράδειγμα

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:
.

Απόφαση

Να υποκαταστήσει.

.
Εδώ στο x\u003e 0 (U\u003e. 0 ) Παίρνουμε το κορυφαίο σημάδι '+'. Με το X.< 0 (U.< 0 ) - Πιο χαμηλα '-'.

.

Απάντηση

Βιβλιογραφικές αναφορές:
N.m. Gunter, R.O. Kuzmin, συλλογή καθηκόντων στα ανώτερα μαθηματικά, "LAN", 2003.