Παράλογα ολοκληρωτικά. Επίλυση ολοκληρωμάτων σε απευθείας σύνδεση

Υπό παράλογος Κατανοήστε την έκφραση στην οποία μια ανεξάρτητη μεταβλητή %% x %% ή ένα πολυωνυμικό %% P_n (x) %% του βαθμού %% N \\ in \\ mathbb (n) %% συμπεριλαμβάνεται ριζικό (από Λατινικά radix. - ρίζα), δηλ. Νωρίς σε κλασματικό βαθμό. Ορισμένες τάξεις παράλογου σε σχέση με το %% X %% των εκφράσεων αντικατάστασης της μεταβλητής μπορούν να μειωθούν στις ορθολογικές εκφράσεις σε σχέση με τη νέα μεταβλητή.

Η έννοια της ορθολογικής λειτουργίας μιας μεταβλητής μπορεί να επεκταθεί σε πολλά επιχειρήματα. Εάν το %% u, v, \\ dotsc, w %%, κατά τον υπολογισμό της αξίας της λειτουργίας, μόνο οι αριθμητικές ενέργειες και η κατασκευή ολόκληρου του βαθμού παρέχονται στην ορθολογική λειτουργία αυτών των επιχειρημάτων, η οποία συνήθως δηλώνεται κατά το %% R (u, v, \\ dotsc, w) %%. Τα επιχειρήματα μιας τέτοιας λειτουργίας μπορούν να είναι λειτουργίες ανεξάρτητης Permaal %% x%, συμπεριλαμβανομένων των ριζών του τύπου %% \\ sqrt [n] (x), n \\ in \\ mathbb (n) %%. Για παράδειγμα, η ορθολογική λειτουργία $$ r (u, v, w) \u003d \\ frac (u + v ^ 2) (w) $$ στο %% u \u003d x, v \u003d \\ sqrt (x) %% και %% w \u003d \\ sqrt (x ^ 2 + 1) %% είναι μια ορθολογική λειτουργία $$ R \\ αριστερά (x, \\ sqrt (x), \\ sqrt (x ^ 2 + 1) \\ lews) \u003d \\ frac (x + \\ Sqrt (x ^ 2)) (\\ sqrt (x ^ 2 + 1)) \u003d f (x) $$ από %% x %% και ριζοσπαστικά %% \\ sqrt (x) %% και %% \\ sqrt (x ^ 2 + 1) %%, ενώ η λειτουργία %% F (x) %% είναι μια παράλογη (αλγεβρική) λειτουργία μιας ανεξάρτητης μεταβλητής %% x %%.

Εξετάστε τα ολοκληρώματα του εντύπου %% \\ int r (x, \\ sqrt [n] (x)) \\ mathrm (d) x %%. Αυτά τα ολοκληρωτικά εξορθολογίζονται αντικαθιστώντας την μεταβλητή %% t \u003d \\ sqrt [n] (x) %%, τότε %% x \u003d t ^ n, \\ mathrm (d) x \u003d nt ^ (n - 1) %%.

Παράδειγμα 1.

Βρείτε το %% \\ displayStyle \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x)) %%.

Η ολοκληρωμένη λειτουργία του επιθυμητού όρου γράφεται ως συνάρτηση από τις ρίζες του βαθμού %% 2 %% και %% από 3 %%. Από το μικρότερο συνολικό πολλαπλό αριθμό %% 2 %% και %% 3 %% είναι %% 6 %%, τότε αυτό το ενσωματωμένο είναι ο ενσωματωμένος τύπος %% \\ \\ r (x, \\ sqrt (x)) \\ mathrm (d) x %% και μπορεί να εξορθολογιστεί αντικαθιστώντας το %% \\ sqrt (x) \u003d t %%. Τότε %% x \u003d t ^ 6, \\ mathrm (d) x \u003d 6t \\ mathrm (d) t, \\ sqrt (x) \u003d t ^ 3, \\ sqrt (x) \u003d t ^ 2 %%. Κατά συνέπεια, $$ \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x) + \\ sqrt (x)) \u003d \\ int \\ frac (6t ^ 5 \\ mathrm (d) t) (t ^ 3 + T ^ 2) \u003d 6 \\ int \\ frac (t ^ 3) (t + 1) \\ mathrm (d) t. $$ Δημιουργία %% t + 1 \u003d z, \\ mathrm (d) t \u003d \\ mathrm (d) z, z \u003d t + 1 \u003d \\ sqrt (x) + 1 %% και $$ \\ Begin (Array) (LL ) \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x)) δ \u003d 6 \\ int \\ frac ((z-1) ^ 3) (z) \\ mathrm (d) T \u003d \\\\ & \u003d 6 \\ int z ^ 2 dz -18 \\ int z \\ mathrm (d) z + 18 \\ int \\ mathrm (d) z -6 \\ frac (\\ mathrm (d) z) (z ) \u003d \\\\ & \u003d 2z ^ 3 - 9 z ^ 2 + 18z -6 \\ ln | z | + C \u003d \\\\ \\ \u003d 2 \\ αριστερά (\\ sqrt (x) + 1 \\ δεξιά) ^ 3 - 9 \\ αριστερά (\\ sqrt (x) + 1 \\ δεξιά) ^ 2 + \\\\ & + ~ 18 \\ αριστερά ( \\ SQRT (X) + 1 \\ Δεξιά) - 6 \\ LN \\ Αριστερά | \\ SQRT (Χ) + 1 \\ Δεξιά | + C \\ End (Array) $$

Τα ολοκληρώματα του τύπου %% \\ int r (x, \\ sqrt [n] (x)) \\ mathrm (d) x %% είναι μια ειδική περίπτωση κλασματικών γραμμικών παράλογων, δηλ. ολοκλήρωμα του εντύπου %% \\ displayStyle \\ int r \\ αριστερά (x, \\ sqrt [n] (\\ dfrac (ax + b) (cd + d)) \\ σωστό) \\ mathrm (d) x %%, όπου %% Ad - bc \\ neq 0 %%, η οποία επιτρέπουν τον εξορθολογισμό αντικαθιστώντας τη μεταβλητή %% T \u003d \\ sqrt [n] (\\ dfrac (ax + b) (cd + d)) %%, τότε %% x \u003d \\ dfrac ( Dt ^ n - b) (a - ct ^ n) %%. Τότε $$ \\ mathrm (d) x \u003d \\ frac (n t ^ (n - 1) (ad - bc)) (\\ αριστερά) ^ 2) \\ mathrm (d) t. $$.

Παράδειγμα 2.

Βρείτε το %% \\ displayStyle \\ int \\ sqrt (\\ dfrac (1 -x) (1 + x)) \\ dfrac (\\ mathrm (d) x) (x + 1) %%.

Δημιουργία %% t \u003d \\ sqrt (\\ dfrac (1 -x) (1 + x)) %%, τότε %% x \u003d \\ dfrac (1 - t ^ 2) (1 + t ^ 2) %%, $$ \\ Beach (array) (l) \\ mathrm (d) x \u003d - \\ frac (4t \\ mathrm (d) t) (\\ αριστερά (1 + t ^ 2 \\ δεξιά) ^ 2), \\\\ 1 + x \u003d \\ FRAC (2) (1 + T ^ 2), \\\\ \\ Frac (1) (x + 1) \u003d \\ Frac (1 + T ^ 2) (2). \\ End (Array) $$ Currenture $$ \\ Begin (Array) (L) \\ INT \\ SQRT (\\ DFRAC (1 -x) (1 + x)) \\ Frac (\\ mathrm (d) x) (x + 1 ) \u003d \\\\ \u003d \\ frac (t (1 + t ^ 2)) (2) \\ αριστερά (- \\ frac (4t \\ mathrm (d) t) (\\ αριστερά (1 + t ^ 2 \\ δεξιά) ^ 2) \\ Right) \u003d \\\\ \u003d -2 \\ int \\ frac (t ^ 2 \\ mathrm (d) t) (1 + t ^ 2) \u003d \\\\ \u003d -2 \\ int \\ mathrm (d) t + 2 \\ int \\ Frac (\\ mathrm (d) t) (1 + t ^ 2) \u003d \\\\ \u003d -2T + \\ t + c \u003d + + c \u003d \\\\ \u003d -2 \\ sqrt (\\ dfrac (1 -x) (1 + x)) + \\ κείμενο (arctg) ~ \\ sqrt (\\ dfrac (1 -x) (1 + x)) + C. \\ end (Array) $$$

Εξετάστε τα ολοκληρώματα του εντύπου %% \\ int r \\ αριστερά (x, \\ sqrt (ax ^ 2 + bx + c) \\ lews) \\ mathrm (d) x %%. Στις απλούστερες περιπτώσεις, τέτοια ολοκληρώματα μειώνονται σε πίνακες, εάν μετά την κατανομή ενός πλήρους τετραγώνου για να αντικαταστήσουν τις μεταβλητές.

Παράδειγμα 3.

Βρείτε το ενσωματωμένο %% \\ displayStyle \\ int \\ dfrac (\\ mathrm (d) x) (\\ sqrt (x ^ 2 + 4x + 5)) %%.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι %% x ^ 2 + 4x + 5 \u003d (x + 2) ^ 2 + 1 %%, θα πάρουμε το %% t \u003d x + 2, \\ mathrm (d) x \u003d \\ mathrm (d) t %%% , Τότε $$ \\ Begin (Array) (LL) \\ Int \\ Frac (\\ Mathrm (D) x) (\\ SQRT (x ^ 2 + 4x + 5) & \u003d \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) t ) (\\ Sqrt (t ^ 2 + 1)) \u003d \\\\ \\ \\ ln \\ αριστερά | t + \\ sqrt (t ^ 2 + 1) \\ σωστά | + C \u003d \\\\ \\ \u003d \\ L Αριστερά | x + 2 + \\ sqrt (x ^ 2 + 4x + 5) \\ Δεξιά | + C. \\ End (Array) $$

Σε πιο σύνθετες περιπτώσεις, για να βρείτε τα ολοκληρώματα του τύπου %% \\ int r \\ αριστερά (X, \\ SQRT (AX ^ 2 + BX + C) \\ RWEST) \\ mathrm (d) x %%

Η παράλογη λειτουργία από τη μεταβλητή είναι μια συνάρτηση που σχηματίζεται από μεταβλητές και αυθαίρετες σταθερές χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό λειτουργιών προσθήκης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού (στύση σε ακέραιο βαθμό), διαίρεση και εκχύλιση ριζών. Η παράλογη λειτουργία διαφέρει από το λογικό στο ότι η παράλογη λειτουργία περιέχει λειτουργίες εξόρυξης root.

Υπάρχουν τρεις κύριοι τύποι παράλογων λειτουργιών, οι αβέβαιοι ολοκληρώσεις από τα οποία δίνονται σε ολοκληρώματα από ορθολογικές λειτουργίες. Αυτά είναι ολοκληρώματα που περιέχουν τις ρίζες αυθαίρετων ακέραιων βαθμών από την κλασματική γραμμική λειτουργία (οι ρίζες μπορούν να είναι διαφόρων βαθμών, αλλά από την ίδια, κλασματική γραμμική λειτουργία). Ολοκληρωμένα από διαφορικό BINOMA και ολοκληρώματα με τετραγωνική ρίζα τετραγωνικών τριών βολών.

Σημαντική παρατήρηση. Οι ρίζες έχουν νόημα!

Κατά τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων που περιέχουν ρίζες, τα είδη της φόρμας βρίσκονται συχνά, όπου υπάρχει κάποια λειτουργία από τη μεταβλητή ολοκλήρωσης. Πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι. Δηλαδή, με t\u003e 0, | T | \u003d Τ. . Με Τ.< 0, | T | \u003d - t. Επομένως, κατά τον υπολογισμό αυτών των ολοκληρωμάτων, πρέπει να εξετάσετε ξεχωριστά τις περιπτώσεις t\u003e 0 και Τ.< 0 . Αυτό μπορεί να γίνει εάν γράψετε σημάδια ή όπου είναι απαραίτητο. Που υποδηλώνουν ότι το επάνω σήμα αναφέρεται στην περίπτωση T\u003e 0 , και το κάτω μέρος - στην περίπτωση t< 0 . Με περαιτέρω μετατροπή, αυτά τα σημεία συνήθως μειώνονται αμοιβαία.

Μια δεύτερη προσέγγιση είναι δυνατή, στην οποία η ολοκληρωμένη λειτουργία και το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης μπορούν να θεωρηθούν ως σύνθετες λειτουργίες από πολύπλοκες μεταβλητές. Στη συνέχεια, δεν μπορείτε να ακολουθήσετε σημάδια στις αποσπασμένες εκφράσεις. Αυτή η προσέγγιση εφαρμόζεται εάν η ολοκληρωμένη λειτουργία είναι αναλυτική, δηλαδή μια διαφοροποιημένη λειτουργία από μια πολύπλοκη μεταβλητή. Στην περίπτωση αυτή, η ολοκληρωμένη λειτουργία και η ολοκλήρωση της πληροφορικής είναι λειτουργίες πολλαπλών αξιών. Ως εκ τούτου, μετά την ολοκλήρωση, όταν η υποκατάσταση Αριθμητικές τιμές, Είναι απαραίτητο να επισημανθεί ο αδιαμφισβήτητος υποκατάστημα (riemannian επιφάνεια) της λειτουργίας ενσωμάτωσης και να επιλέξετε τον κατάλληλο κλάδο του αποτελέσματος ενσωμάτωσης.

Γραμμικός παράλογος

Αυτά είναι τα ολοκληρώματα με τις ρίζες από την ίδια κλασματική γραμμική λειτουργία:
,
Όπου r είναι μια ορθολογική λειτουργία - ορθολογικούς αριθμούς, m 1, n 1, ..., m S, N S είναι ακέραιοι, α, β, γ, δ - έγκυροι αριθμοί.
Τέτοιοι ολοκληρώσεις μειώνονται στο αναπόσπαστο από τη λειτουργία λογικής λειτουργίας:
όπου n είναι ένας κοινός παρονομαστής αριθμών r 1, ..., r s.

Οι ρίζες μπορεί να μην είναι απαραιτήτως από μια κλασματική γραμμική λειτουργία, αλλά και από το γραμμικό (γ \u003d 0, Δ \u003d 1) ή από τη μεταβλητή ένταξης X (α \u003d 1, β \u003d 0, γ \u003d 0, Δ \u003d 1).

Ακολουθούν παραδείγματα τέτοιων ολοκληρωμένων:
, .

Ολοκλήρωμα από διαφορικές binomes

Τα ολοκλήρωμα από τη διαφορική binomes έχουν τη μορφή:
,
όπου M, N, P είναι λογικοί αριθμοί, Α, Β - έγκυροι αριθμοί.
Αυτά τα ολοκληρώματα μειώνονται σε ολοκληρώματα από ορθολογικές λειτουργίες σε τρεις περιπτώσεις.

1) Εάν το P είναι ακέραιος. Η υποκατάσταση x \u003d t n, όπου n είναι ο συνολικός παρονομαστής των κλάσεων M και N.
2) αν - το σύνολο. Υποκατάσταση Α x n + b \u003d t m, όπου m είναι ο αριθμός των αριθμών p.
3) εάν - ένα σύνολο. Υποκατάσταση Α + Β Χ - Ν \u003d ΤΜ, όπου το m είναι ο παρονομαστής του αριθμού Ρ.

Σε άλλες περιπτώσεις, τέτοια ολοκληρώματα δεν εκφράζονται μέσω Στοιχειώδεις λειτουργίες.

Μερικές φορές τέτοιες ολοκληρώσεις μπορούν να απλουστευθούν χρησιμοποιώντας φόρμουλες:
;
.

Ολοκλήρωμα που περιέχουν τετραγωνική ρίζα τετραγωνικών τριών

Τέτοιες ολοκληρώσεις είναι:
,
όπου r είναι μια ορθολογική λειτουργία. Για κάθε τέτοιο ενσωματωμένο υπάρχουν πολλές μέθοδοι διαλύματος.
1) Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς για να οδηγήσετε σε απλούστερες ολοκληρώσεις.
2) Εφαρμόζουν τριγωνομετρικές ή υπερβολικές υποκαταστάσεις.
3) Εφαρμόστε υποκαταστάσεις Euler.

Εξετάστε αυτές τις μεθόδους λεπτομερέστερα.

1) Μετατροπή της λειτουργίας ενσωμάτωσης

Χρησιμοποιώντας τον τύπο και η εκτέλεση αλγεβρικών μετασχηματισμών, φέρτε μια λειτουργία RENTRODUCT στο μυαλό:
,
όπου φ (x), ω (x) είναι λογικές λειτουργίες.

πληκτρολογώ

Το ολοκλήρωμα της φόρμας:
,
όπου p n (x) είναι ένα πολυωνυμικό βαθμό n.

Αυτά τα ολοκληρωτικά είναι η μέθοδος αβέβαιων συντελεστών χρησιμοποιώντας την ταυτότητα:

.
Διαφοροποίηση αυτής της εξίσωσης και εξισώνοντας τα αριστερά και τα δεξιά μέρη, βρίσκουμε τους συντελεστές ένα i.

Πληκτρολογήστε

Το ολοκλήρωμα της φόρμας:
,
όπου p m (x) είναι ένα πολυωνυμικό βαθμό m.

Υποκατάσταση t \u003d. (X - α) -1 Αυτό το ενσωματωμένο οδηγείται στον προηγούμενο τύπο. Εάν m ≥ n, τότε το κλάσμα πρέπει να διατεθεί σε όλο το μέρος.

Τύπος III

Εδώ κάνουμε μια υποκατάσταση:
.
Μετά την οποία το ενιαίο θα λάβει τη φόρμα:
.
Στη συνέχεια, μόνιμη α, β, θα πρέπει να επιλέξετε έτσι ώστε στον παρονομαστή τους συντελεστές στο t να μηδέν:
B \u003d 0, b 1 \u003d 0.
Στη συνέχεια, το ολοκλήρωμα αποσυντίθεται το άθροισμα των ολοκληρώσεων δύο τύπων:
,
,
οι οποίες ενσωματώνονται με αντικαταστάσεις:
u 2 \u003d ένα 1 t 2 + c 1,
v 2 \u003d Α 1 + C 1 Τ -2.

2) τριγωνομετρικές και υπερβολικές υποκαταστάσεις

Για ολοκλήρωση της φόρμας, α > 0 ,
Έχουμε τρεις κύριες υποκαταστάσεις:
;
;
;

Για ολοκλήρωση, α > 0 ,
Έχουμε τις ακόλουθες αντικαταστάσεις:
;
;
;

Και τέλος για ολοκλήρωση, α > 0 ,
Οι αντικαταστάσεις έχουν ως εξής:
;
;
;

3) Υποκαταστάσεις Euler

Επίσης, οι ολοκληρώσεις μπορούν να μειωθούν σε ολοκληρώματα από ορθολογικές λειτουργίες ενός από τις τρεις υποκαταστάσεις του Euler:
, με ένα\u003e 0;
, με C\u003e 0;
όπου το Χ1 είναι η ρίζα της εξίσωσης Α Χ 2 + Β Χ + C \u003d 0. Εάν αυτή η εξίσωση έχει έγκυρες ρίζες.

Ελλειπτικά ολοκληρωμένα

Συμπερασματικά, εξετάστε τα ολοκληρώματα της φόρμας:
,
όπου το r είναι μια λογική λειτουργία ,. Τέτοιοι ολοκληρώσεις ονομάζονται ελλειπτικά. Γενικά, δεν εκφράζονται μέσω στοιχειωδών λειτουργιών. Ωστόσο, υπάρχουν περιπτώσεις όπου υπάρχουν σχέσεις μεταξύ των συντελεστών Α, Β, Γ, Δ, Ε, με τέτοια ολοκληρωμένα εκφράζονται μέσω στοιχειωδών λειτουργιών.

Παρακάτω είναι ένα παράδειγμα που σχετίζεται με πολυώνυμα επιστροφής. Ο υπολογισμός αυτών των ολοκληρωμάτων εκτελείται χρησιμοποιώντας αντικαταστάσεις:
.

Παράδειγμα

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:
.

Απόφαση

Να υποκαταστήσει.

.
Εδώ στο x\u003e 0 (U\u003e. 0 ) Παίρνουμε το κορυφαίο σημάδι '+'. Με το X.< 0 (U.< 0 ) - Πιο χαμηλα '-'.

.

Απάντηση

Βιβλιογραφικές αναφορές:
N.m. Gunter, R.O. Kuzmin, συλλογή των καθηκόντων Ανώτερα μαθηματικά, "LAN", 2003.

Αυτή η παράγραφος θα εξετάσει τη μέθοδο ενσωμάτωσης ορθολογικών λειτουργιών. 7.1. Σύντομες πληροφορίες Σε λογικές λειτουργίες της απλούστερης ορθολογικής λειτουργίας είναι ένας βαθμός πολυωνυμικού TI, δηλ. Λειτουργία της φόρμας όπου - έγκυρες σταθερές, με A0 F 0. Το πολυωνυμικό QN (Χ), στο οποίο ο συντελεστής Α0 \u003d 1 ονομάζεται ο ανωτέρω. Ο πραγματικός αριθμός Β ονομάζεται ρίζα του πολυωνυμικού QN (z), εάν q "(b) \u003d 0. Είναι γνωστό ότι κάθε πολυώνυμο QN (x) με τους πραγματικούς συντελεστές είναι ο μόνος τρόπος που αποσυντίθεται στα πραγματικά εργοστάσια του Είδος όπου P, Q - Οι πραγματικοί συντελεστές και οι τετραγωνικοί πολλαπλασιαστές δεν έχουν πραγματικές ρίζες και, ως εκ τούτου, ανεξάρτητες σε έγκυρους γραμμικούς πολλαπλασιαστές. Συνδυάζοντας τους ίδιους πολλαπλασιαστές (αν υπάρχουν) και πιστεύοντας, για απλότητα, το πολυωνυμικό QN (Χ) που δίδεται, μπορεί να χυθεί σε πολλαπλασιαστές στη φόρμα όπου - φυσικοί αριθμοί. Δεδομένου ότι ο βαθμός πολυωνυμικού QN (x) είναι ίσος με το n, τότε το άθροισμα όλων των δεικτών Α, / 3, ..., και, διπλωμένο με το διπλασιασμένο άθροισμα όλων των δεικτών, ..., C, ίση με P: ρίζα και το πολυώνυμο ονομάζεται απλή ή εφάπαξ αν a \u003d 1, και πολλαπλά, εάν a\u003e 1. Ο αριθμός Α ονομάζεται ρίζα της ρίζας Α. Το ίδιο ισχύει και για άλλες πολυάριθμες ρίζες. Η ορθολογική λειτουργία F (x) ή ένα ορθολογικό κλάσμα ονομάζεται λόγος δύο πολυώνμων και υποτίθεται ότι τα πολυώνυμα του RT (x) και qn (x) δεν έχουν κοινούς παράγοντες. Το ορθολογικό κλάσμα καλείται σωστό εάν ο βαθμός πολυώνυμου που στέκεται στον αριθμητή είναι μικρότερο από τον βαθμό πολυώνυμου που στέκεται στον παρονομαστή, δηλ. Εάν το m p, τότε το ορθολογικό κλάσμα ονομάζεται λανθασμένο και σε αυτή την περίπτωση, διαιρώντας τον αριθμητή στον παρονομαστή σύμφωνα με τον κανόνα της διαίρεσης των πολυώνμων, μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή όπου - μερικά πολυώνυμα, και ^^ είναι η σωστή Ορθολογική λήψη. Παράδειγμα 1. Ένα ορθολογικό κλάσμα είναι ένα εσφαλμένο κλάσμα. Κοινή χρήση της "γωνίας", επομένως θα έχουμε. Εδώ. Και το σωστό κλάσμα. Ορισμός. Τα απλούστερα (ή στοιχειώδη) κλάσματα ονομάζονται ορθολογικά κλάσματα των ακόλουθων τεσσάρων τύπων: όπου - έγκυροι αριθμοί, K - ένας φυσικός αριθμός, περισσότερο ή ίσος με 2, και το τετράγωνο τριών ημίσεων x2 + rx + q δεν έχει έγκυρη ρίζες, έτσι ώστε -2 _2 είναι διακριτική στην άλγεβρα, αποδεικνύεται το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα 3. Το σωστό ορθολογικό κλάσμα με έγκυρους συντελεστές, ο παρονομαστής του οποίου ο QN (x) έχει τη μορφή αποσυντίθεται ο μόνος τρόπος με το ποσό των απλούστεων κλάδων όσον αφορά τον κανόνα των ορθολογικών λειτουργιών η υποκατάσταση του Euler σε αυτή την αποσύνθεση είναι μερικές έγκυρες σταθερές , μερικά από τα οποία μπορεί να είναι μηδέν. Για να βρούμε αυτές τις σταθερές, το δικαίωμα της ισότητας (i) οδηγεί σε έναν κοινό παρονομαστή και στη συνέχεια εξισώνει τους συντελεστές με τους ίδιους βαθμούς Χ στους αριθμητικούς αριθμούς του αριστερού και του δεξιού τμήματος. Αυτό δίνει ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων από τις οποίες βρίσκονται οι απαιτούμενες σταθερές. . Αυτή η μέθοδος εύρεσης άγνωστων σταθερών ονομάζεται μέθοδος αβέβαιων συντελεστών. Μερικές φορές είναι πιο βολικό να εφαρμόζεται μια άλλη μέθοδος εύρεσης άγνωστων σταθερών, η οποία μετά την εξισορρόπηση των αριθμητών, η ταυτότητα επιτυγχάνεται σε σχέση με το Χ, στην οποία το όρισμα Χ δίνει μερικές τιμές, για παράδειγμα, τις τιμές των ριζών, που προκύπτουν σε εξισώσεις για την εξεύρεση σταθερών. Είναι ιδιαίτερα βολικό εάν ο παρονομαστής Q "(x) έχει μόνο έγκυρες απλές ρίζες. Παράδειγμα 2. Καθορίστε το απλούστερο ορθολογικό κλάσμα κλάσμα αυτό το κλάσμα είναι σωστό. Αποφασίστε τον παρονομαστή στους ψηλούς και τις ρίζες του παρονομαστή είναι έγκυρες και διαφορετικές, τότε με βάση τον τύπο (1), η αποσύνθεση του κλάσματος στην απλούστερη θα έχει τον τύπο της κίνησης της δεξιάς τιμής "του Αυτή η ισότητα στον γενικό παρονομιστή και εξισορροπεί τους αριθμούς και τα αριστερά και τα δεξιά μέρη της, λαμβάνουμε ταυτότητα ή άγνωστο συντελεστή Α. 2;, θα βρούμε με δύο τρόπους. Πρώτο ξόρκι. Συντελεστές εξισορρόπησης με τους ίδιους βαθμούς X, T.V. με (ελεύθερο μέλος), και τα αριστερά και τα δεξιά μέρη της ταυτότητας, παίρνουμε Γραμμικό σύστημα Εξισώσεις για την εξεύρεση άγνωστων συντελεστών Α, Β, Γ: Το σύστημα αυτό έχει μια ενιαία λύση με τη δεύτερη θέση. Tech καθώς οι ρίζες του παρονομαστή έσπασαν σε μένα 0, παίρνουμε 2 \u003d 2α, από όπου A * 1. g 1, παίρνουμε -1 * -in, από όπου 5 * 1; x i 2, παίρνουμε 2 \u003d 2c. Από όπου C "1 και η επιθυμητή αποσύνθεση έχει τη μορφή 3. Επαναφέρει το απλούστερο ορθολογικό κλάσμα 4 αποσυντίθεται ένα πολυώνυμο και το ENAEVTVLA για τους πολλαπλασιαστές :. Ο παρονομαστής έχει δύο διαφορετικά DVS και μια ρίζα: x \\ \u003d 0 πολλαπλότητα πολλαπλότητας 3. Επομένως, η αποσύνθεση αυτού του κλάσματος δεν είναι η απλούστερη εμφάνιση Δικαίωμα Στον γενικό παρονομαστή, θα βρούμε ή τον πρώτο τρόπο. Εξισώντας τους συντελεστές με τους ίδιους βαθμούς Χ στα αριστερά και τα δεξιά μέρη της τελευταίας ταυτότητας. Λαμβάνουμε ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων. Αυτό το σύστημα έχει μία ενιαία λύση και η επιδιωκόμενη αποσύνθεση θα είναι η δεύτερη μέθοδος. Στην προκύπτουσα ταυτότητα, υποθέτουμε το x \u003d 0, λαμβάνουμε 1 a a2 ή a2 \u003d 1 · Το πεδίο * Gay x \u003d -1, παίρνουμε -3 I C), ή BJ I -3. Όταν υποκαθιστούν τις τιμές που βρέθηκαν των συντελεστών Α και Β) και η ταυτότητα θα πάρει τη φόρμα ή θα πιστεύει το x \u003d 0, και στη συνέχεια x \u003d -i. Βρίσκουμε ότι \u003d 0, b2 \u003d 0 και. Έτσι, σε \\ \u003d 0. Έτσι, και πάλι λαμβάνουμε ένα παράδειγμα 4. Για να αποσυντεθεί στο απλούστερο κλάσμα, ο ορθολογικός κλάσμα 4 παρονομαστής του κλάσματος δεν έχει έγκυρες ρίζες, δεδομένου ότι η λειτουργία X2 + 1 δεν προσβάλλει το μηδέν. Δεν έχει σημασία τι τιμές x. Ως εκ τούτου, η αποσύνθεση στο απλούστερο κλάσμα πρέπει να ρίξει μια ματιά από εδώ που έχουμε ή. Εξισορροπώντας τους συντελεστές στους συντομευμένους βαθμούς Χ στα αριστερά και τα δεξιά μέρη της τελευταίας ισότητας, θα έχουμε από πού θα βρούμε και, ως εκ τούτου, πρέπει να σημειωθεί ότι σε ορισμένες περιπτώσεις η αποσύνθεση στο απλούστερο κλάσμα μπορεί να ληφθεί ταχύτερη και ευκολότερη , ενεργώντας με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, χωρίς να χρησιμοποιεί τη μέθοδο αβέβαιων συντελεστών. Για παράδειγμα, για να αποκτήσετε αποσύνθεση κλάσεων στο Παράδειγμα 3, μπορείτε να προσθέσετε και να αφαιρέσετε στον αριθμητή SK2 και να κάνετε ένα τμήμα, αφού μειώνεται παρακάτω. 7.2. Η ενσωμάτωση των απλούστεων κλασμάτων, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οποιοδήποτε εσφαλμένο ορθολογικό κλάσμα μπορεί να αντιπροσωπεύεται ως άθροισμα κάποιου πολυωνυμικού και κατάλληλου ορθολογικού κλάσματος (§7) και αυτή η αναπαράσταση είναι μοναδική. Η ενσωμάτωση του πολυωνυμικού δεν αντιπροσωπεύει δυσκολίες, οπότε εξετάστε το ζήτημα της ενσωμάτωσης του σωστού ορθολογικού κλάσματος. Δεδομένου ότι οποιοδήποτε σωστό ορθολογικό κλάσμα υπάρχει υπό τη μορφή του αθροίσματος των απλούστεων κλάδων, η ενσωμάτωσή της μειώνεται στην ενσωμάτωση των απλούστεων κλάδων. Σκεφτείτε τώρα το ζήτημα της ολοκλήρωσής τους. III. Για να βρείτε το ενσωματωμένο από το απλούστερο κλάσμα του τρίτου τύπου, επισημαίνουμε τα τετραγωνικά τριών τεμαχισμένα κλαδιά στην πλατεία: από τον δεύτερο όρο, τότε το θέτουμε ίσο με το A2, όπου και στη συνέχεια να υποκαταστήσει. Στη συνέχεια, λαμβάνοντας υπόψη Γραμμικές ιδιότητες Ενσωματωμένο, βρούμε: Παράδειγμα 5. Βρείτε το ενσωματωμένο 4 Η λειτουργία Integland είναι το απλούστερο κλάσμα του τρίτου τύπου, δεδομένου ότι το τετράγωνο τριήμισι X1 + AH + 6 δεν έχει έγκυρες ρίζες (η διακριτική τους είναι αρνητική: και στον αριθμητή Είναι το πρώτο πολυώνυμο πρώτου βαθμού. Επομένως, το κάνουμε ως εξής: 1) Διαθέτουμε ένα πλήρες τετράγωνο στον παρονομαστή 2) κάνουμε μια υποκατάσταση (εδώ 3) στο * ODIM ολοκληρωμένο για να βρούμε το ενσωματωμένο από το απλούστερο κλάσμα του τέταρτου Πληκτρολογήστε, όπως παραπάνω,. Στη συνέχεια, λαμβάνουμε το ενσωματωμένο στο δεξιό μέρος που δηλώνεται μέσω L και το μετατρέπουμε ως εξής: Ολοκληρωμένο στη δεξιά πλευρά ενσωματώνεται σε μέρη, πιστεύοντας από οποιονδήποτε ή ενσωματώνει ορθολογικές λειτουργίες. Σύντομες πληροφορίες σχετικά με τις ορθολογικές λειτουργίες ενσωματώνοντας τα απλούστερα κλάσματα γενική ολοκλήρωση περιπτώσεων των παράλογων λειτουργιών Η πρώτη υποκατάσταση του Euler Η δεύτερη υποκατάσταση του Euler είναι η τρίτη υποκατάσταση Euler πήραμε τον λεγόμενο επαναλαμβανόμενο τύπο που σας επιτρέπει να βρείτε το ενσωματωμένο JK για οποιοδήποτε K \u003d 2, 3, .... Πράγματι, ο ενσωματωμένος J \\ είναι πίνακας: πιστεύοντας στον επαναλαμβανόμενο τύπο, θα βρούμε τη γνώση και την πίστη l \u003d 3, μπορούμε εύκολα να βρούμε jj και ούτω καθεξής. Στο τελικό αποτέλεσμα, αντικαθιστώντας παντού αντί για t και και τις εκφράσεις τους μέσω των x και των συντελεστών P και Q, λαμβάνουμε για την αρχική ολοκλήρωση μιας έκφρασης του Agerser X και των δεδομένων των αριθμών M, LH, P, Q. Παράδειγμα 8. Ενσωματωμένη λειτουργία Neji "Η ολοκληρωμένη λειτουργία είναι το απλούστερο κλάσμα του τέταρτου τύπου, καθώς οι διακριτικές διακρίσεις ενός τετραγωνικού τριών μειωμένων είναι αρνητικές, δηλ. Σημαίνει ότι ο παρονομαστής των πραγματικών ριζών δεν έχει, και ο αριθμητής είναι ένα πολυώνυμο 1ου βαθμού. 1) Διαθέτουμε τον παρονομαστή Full Square 2) Κάνουμε μια υποκατάσταση: το ολοκλήρωμα θα λάβει τη μορφή: πιστεύοντας στην επαναλαμβανόμενη φόρμουλα * \u003d 2, a3 \u003d 1. Θα έχουμε και, ως εκ τούτου, το επιθυμητό RVVV ενσωματωμένο επιστρέφει στο Μεταβλητή X, θα λάβουμε τελικά 7.3. Γενική περίπτωση από τα αποτελέσματα του PP. 1 και 2 της παρούσας παραγράφου ακολουθεί άμεσα ένα σημαντικό θεώρημα. Θεώρημα! 4. Υπάρχει πάντα αόριστο ενιαίο από οποιαδήποτε ορθολογική λειτουργία (σε διαστήματα στα οποία ο δέντρος του κλάσματος Q "(x) f 0) εκφράζεται μέσω ενός πεπερασμένου αριθμού στοιχειώδους λειτουργιών, δηλαδή ένα αλγεβρικό άθροισμα, των οποίων τα μέλη μπορούν Μόνο μινανανά, ορθολογικά κλάσματα, φυσικοί λογαρίθμοι και arctshantes. Έτσι, για να βρει ένα αόριστο ολοκληρωμένο από μια κλασματική ορθολογική λειτουργία, θα πρέπει να ακολουθήσετε το δρόμο: 1) Εάν το λογικό κλάσμα είναι εσφαλμένο, τότε ο διαιρέτης στον παρονομαστή διακρίνεται από ένα ολόκληρο κομμάτι, δηλαδή, αυτή η λειτουργία αντιπροσωπεύεται ως α Σύνολο πολυωνυμικού και κατάλληλου ορθολογικού κλάσματος. 2) Στη συνέχεια ο παρονομαστής του κατάλληλου κλάσματος που αποκτήθηκε αποσυντίθεται στο προϊόν γραμμικών και τετραγωνικών πολλαπλασιαστών. 3) Αυτό το σωστό κλάσμα αποσυντίθεται στο άθροισμα των απλούστερων κλάσματα. 4) Χρησιμοποιώντας τη γραμμικότητα του ολοκληρωμένου και του τύπου P. 2, υπάρχουν ολοκληρωμένα από κάθε περίπλοκο ξεχωριστά. Παράδειγμα 7. Βρείτε το ενσωματωμένο M αφού ο παρονομαστής είναι ένα πολυώνυμο ενός τρίτου τιμονιού, τότε η ενσωμάτωση είναι λάθος πυροβολισμό. Διαθέτουμε ολόκληρο το μέρος σε αυτό: Επομένως, θα έχουμε. Ο παρονομαστής του σωστού κλάσματος έχει τελική έγκυρη ρίζα: και επομένως η αποσύνθεση του στο απλούστερο κλάσμα έχει μια ματιά από εδώ που βρίσκουμε. Δίνοντας το επιχείρημα στις τιμές ίση με τις ρίζες του παρονομαστή, θα βρούμε από αυτή την ταυτότητα ότι: επομένως, το επιθυμητό ολοκληρωμένο θα είναι ίσο με το παράδειγμα 8. Βρείτε το ενσωματωμένο 4 Η λειτουργία Integland είναι ο δεξιός πυροβολισμός, ο παρονομαστής, ο παρονομαστής του οποίου έχει δύο διαφορετικές έγκυρες ρίζες: x - Σχετικά με την πολλαπλότητα 1 και x \u003d 1 πολλαπλότητα 3, έτσι ώστε οι εκρήξεις της ενσωμάτωσης να λειτουργούν με το απλούστερο κλάσμα έχουν τη μορφή που οδηγεί τη δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας στον γενικό παρονομιστή και μειώνοντας και τα δύο μέρος της ισότητας στο Estest ο παρονομαστής, λαμβάνουμε ή. Εξισορπίζουμε τους συντελεστές στους ίδιους βαθμούς X στα αριστερά και δεξιά μέρη αυτής της ταυτότητας: Βρίσκουμε από εδώ. Αντικαθιστώντας τις τιμές που βρέθηκαν των συντελεστών στην αποσύνθεση, θα έχουμε ενσωμάτωση, την εύρεση: Παράδειγμα 9. Βρείτε το ενσωματωμένο 4 ο Denomoter δεν είναι έγκυρες ρίζες. Ως εκ τούτου, η αποσύνθεση στο απλούστερο κλάσμα της ολοκληρωμένης λειτουργίας είναι η εμφάνιση από εδώ ή εξισώνοντας τους συντελεστές με τους ίδιους βαθμούς X στα αριστερά και δεξιά μέρη αυτής της ταυτότητας, θα έχουμε από πού θα βρούμε και, ως εκ τούτου, α παρατήρηση. Στο παραπάνω παράδειγμα, η ενσωμάτωση μπορεί να εκπροσωπείται ως το άθροισμα των απλούστεων κλάδων περισσότερο Απλός τρόπος , δηλαδή, στον αριθμητή του κουμπιού, διαθέτουμε τη Binin, στέκεται στο ZANDERHEL, και στη συνέχεια να παράγει το τμήμα εδάφους: §8. Ενσωμάτωση των παράλογων λειτουργιών Η λειτουργία του είδους είναι RT και £; "Ο τύπος των τύπων βαθμών, αντίστοιχα, από τις μεταβλητές της Ι" 2, ... ονομάζεται reazonal λειτουργία από ubu2j ... για παράδειγμα, ένα δεύτερο βαθμό Το πολυώνυμο από δύο μεταβλητές και \\ και и2 έχει θέα όπου μερικές πραγματικές μόνιμες και παράδειγμα 1, η λειτουργία είναι μια ορθολογική λειτουργία από τις μεταβλητές g και y, καθώς αντιπροσωπεύει την αναλογία του πολυώνυμου ενός τρίτου βαθμού και το πολυώνυμο του πέμπτου πτυχίο και το χτύπημα των tees δεν είναι. Στην περίπτωση που οι μεταβλητές, με τη σειρά τους, είναι οι λειτουργίες μιας μεταβλητής W: η λειτουργία αυτή] ονομάζεται μια λογική λειτουργία από τις λειτουργίες του παραδείγματος. Το FEU είναι μια ορθολογική λειτουργία από το R και RVDikVLV Previver 3. Η λειτουργία της φόρμας δεν είναι μια ορθολογική λειτουργία από το Χ και ριζοσπαστικό U / G1 + 1, αλλά είναι μια λογική λειτουργία από τις λειτουργίες όπως φαίνεται παραδείγματα, τα ενσωματώματα από την παράλογη Οι λειτουργίες δεν εκφράζονται πάντα μέσω στοιχειωδών λειτουργιών. Για παράδειγμα, οι κοινές ενέργειες στις εφαρμογές δεν εκφράζονται μέσω στοιχειωδών λειτουργιών. Αυτά τα ολοκληρώματα ονομάζονται ελλειπτικά ολοκληρώματα της πρώτης και της δεύτερης γενιάς, αντίστοιχα. Εξετάστε τις περιπτώσεις όπου η ενσωμάτωση των παράλογων λειτουργιών μπορεί να μειωθεί χρησιμοποιώντας ορισμένες υποκαταστάσεις στην ενσωμάτωση των λογικών λειτουργιών. 1. Ας υποχρεωθεί να βρείτε το ολοκλήρωμα όπου r (x, y) είναι η ορθολογική λειτουργία των παραλαβών x και y. m £ 2 - ένας φυσικός αριθμός? Α, 6, S, D - έγκυρες σταθερές που ικανοποιούν την κατάσταση ADC ^ O (με AD - BE \u003d 0 Οι συντελεστές Α και Β είναι ανάλογοι με τους συντελεστές των C και D, και στην πραγματικότητα ότι δεν εξαρτώνται. σημαίνει Αυτό στην περίπτωση αυτή η λειτουργία Integland θα είναι μια ορθολογική λειτουργία της μεταβλητής X, η ενσωμάτωση του οποίου θεωρήθηκε προηγουμένως). Θα δημιουργήσουμε μια αντικατάσταση για μια μεταβλητή σε αυτό το ενσωματωμένο, το βάλουμε από εδώ εκφράστε τη μεταβλητή x μέσω μιας νέας μεταβλητής που έχουμε x \u003d - ορθολογική λειτουργία από το t. Στη συνέχεια, βρίσκουμε ή, μετά από μια απλούστευση, επομένως, όπου το L1 (t) είναι μια ορθολογική λειτουργία από *, έτσι ώστε η ορθολογική λειτουργία από την ορθολογική λειτουργία, καθώς και το προϊόν των λογικών λειτουργιών, είναι λογικές λειτουργίες. Μπορούμε να ενσωματώσουμε τις ορθολογικές λειτουργίες. Αφήστε τότε το επιθυμητό ολοκληρωμένο θα είναι ίσο με. Ενσωματωμένο 4 Ενσωματωμένο * Η λειτουργία είναι μια λογική λειτουργία από. Επομένως, αναλαμβάνουμε t \u003d τότε η ενσωμάτωση των ορθολογικών λειτουργιών. Σύντομα πληροφορίες σχετικά με τις ορθολογικές λειτουργίες ενσωματώνουν τα απλούστερα κλάσματα. Γενική περίπτωση που ενσωματώνουν παράλογες λειτουργίες Η πρώτη υποκατάσταση του Euler Η δεύτερη υποκατάσταση του Euler είναι η τρίτη υποκατάσταση του Euler με αυτόν τον τρόπο, παίρνουμε ένα πρωτογενές 5. Βρείτε το αναπόσπαστο Ο συνολικός παρονομαστής των κλασματικών δεικτών των βαθμών Χ είναι 12, οπότε η ενσωμάτωση μπορεί να αντιπροσωπεύεται ως 1 _ 1_ από όπου είναι σαφές ότι είναι μια ορθολογική λειτουργία από: το θεωρώντας. Συνεπώς, θεωρούμε τους ενσωματωμένους της μορφής όπου η λειτουργία προσκόλλησης είναι τέτοια ώστε, αντικαθιστώντας την ρίζα ριζοσπαστικής \\ / AH2 + B), λαμβάνουμε τη λειτουργία R (x) y) - ορθολογική σε σχέση με τα δύο επιχειρήματα x και y. Αυτό το ενσωματωμένο μειώνεται στο αναπόσπαστο της ορθολογικής λειτουργίας μιας άλλης μεταβλητής υποκατάστασης της EULER. 8.1. Η πρώτη υποκατάσταση του Euler. Αφήστε τον συντελεστή A\u003e 0. Το βάζουμε ή από εδώ βρίσκουμε το x ως ορθολογική λειτουργία από και έτσι, η καθορισμένη υποκατάσταση εκφράζεται λογικά μέσω *. Ως εκ τούτου, θα έχουμε πού η παρατήρηση. Η πρώτη υποκατάσταση του Euler μπορεί επίσης να ληφθεί ως παράδειγμα 6. Βρείτε ένα αναπόσπαστο θα βρεθεί ως εκ τούτου θα έχουμε αντικατάσταση DX της Euler, δείξτε ότι 8.2. Η δεύτερη υποκατάσταση του Euler Ass Threehire AH2 + L + C έχει διάφορες έγκυρες ρίζες Ι] και x2 (ο συντελεστής μπορεί να έχει οποιοδήποτε σημάδι). Σε αυτή την περίπτωση, υποθέτουμε ότι λαμβάνουμε ως Χ, DXN Υ / ΑΗ2 + BE + ς εκφράζονται λογικά μέσω Τ, τότε το αρχικό ολοκληρωμένο μειώνεται στο αναπόσπαστο της ορθολογικής λειτουργίας, δηλαδή, όπου είναι η εργασία. Χρησιμοποιώντας την πρώτη αντικατάσταση του Euler, δείξτε ότι - η ορθολογική λειτουργία από το t. Παράδειγμα 7. Λειτουργία DX M NEJI] - x1 έχει διάφορες έγκυρες ρίζες. Ως εκ τούτου, χρησιμοποιούμε τη δεύτερη αντικατάσταση του Eileele από εδώ, βρίσκουμε αντικαθιστώντας το ίδρυμα που βρίσκεται σε αυτό; V * Givl; Παίρνουμε 8.3. Το τρίτο στυλοειδές επιτρέπει στον συντελεστή C\u003e 0. Κάνουμε την αντικατάσταση της μεταβλητής, βάζοντας. Σημειώστε ότι για να φέρει το ενσωματωμένο στο αναπόσπαστο από την ορθολογική λειτουργία της πρώτης και δεύτερης υποκατάστασης της Euler. Στην πραγματικότητα, εάν οι διακριτικές B2 -4As\u003e 0, τότε οι ρίζες του τετραγώνου τριών δήθεν ΑΗ + Β) + με την έγκυρη και στην περίπτωση αυτή ισχύουν η δεύτερη υποκατάσταση του Euler. Εάν, τότε το σημάδι του ΑΗ2 + LH + C συμπίπτει με τον συντελεστή ένα σημάδι και, καθώς θα πρέπει να είναι θετικό, τότε a\u003e 0. Στην περίπτωση αυτή, ισχύει η πρώτη υποκατάσταση του Euler. Για να βρείτε τα ολοκληρωτικά του συγκεκριμένου παραπάνω, δεν είναι πάντοτε σκόπιμο να εφαρμοστούν οι υποκαταστάσεις του Euler, έτσι ώστε να μπορούν επίσης να βρουν άλλες μεθόδους ολοκλήρωσης που οδηγούν στο γκολ. Εξετάστε μερικά από αυτά τα ολοκληρώματα. 1. Για να βρείτε τα ολοκληρώματα του είδους, διακρίνεται από ένα τετράγωνο διάσπασης από την τετραγωνική τριών διαδρομών: όπου μετά την υποκατάσταση και λήψη όπου οι συντελεστές Α και Ρ έχουν διαφορετικά σημεία ή είναι και τα δύο θετικά. Όταν, καθώς και σε ένα\u003e 0 και το ολοκλήρωμα θα μειωθεί στον λογάριθμο, αν είναι στο Arksinus. Στο. Βρείτε το imectel 4 takakak τότε. Πιστεύοντας, παίρνουμε prmmmar 9. Βρείτε. Πιστεύθηκα το Χ -, θα έχουμε 2. το ολοκλήρωμα του είδους παρέχεται στον αναπόσπαστο από την παράγραφο 1 ως εξής. Λαμβάνοντας υπόψη ότι το παράγωγο () \u003d 2, το διαθέτουμε στον αριθμητή: 4 ανιχνεύει το παράγωγο της έκφρασης τροφοδοσίας στον αριθμητή. Δεδομένου ότι (x, θα έχουμε, λαμβάνοντας υπόψη το αποτέλεσμα του Παραδείγματος 9, 3. Τα ολοκληρώματα του Είδος όπου το R "(Χ) είναι ένα πολυωνυμικό βαθμό, μπορεί να βρεθεί με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών, ο οποίος έχει ως εξής. Ας υποθέσουμε ότι μια ισότητα είναι ένα παράδειγμα 10. Maith Integral όπου qn-i (s) -mnochargers (n - 1) -Το βαθμό με αβέβαιους συντελεστές: να βρεθούν άγνωστοι συντελεστές | διαφοροποίηση και των δύο τμημάτων (1): τότε η δεξιά πλευρά της ισότητας (2) οδηγεί σε έναν κοινό παρονομαστή ίσο με τον παρονομαστή της αριστερής πλευράς, δηλαδή y / ΑΗ2 + L + S, κοπή στον οποίο και τα δύο μέρη (2) θα λαμβάνουν ταυτότητα και στα δύο μέρη των οποίων είναι πολυώνυμοι στους βαθμούς βαθμών των συντελεστών εξισορρόπησης στους ίδιους βαθμούς Χ στα αριστερά και δεξιά μέρη (3), εμείς Λάβετε n + 1 των εξισώσεων από τις οποίες βρίσκουμε τους επιθυμητές συντελεστές J4 * (FC \u003d 0,1,2, ...,). Αντικατάσταση των τιμών τους στη δεξιά πλευρά (1) και την εύρεση του ενσωματωμένου + με τη λήψη Η απάντηση για Αυτό το ολοκλήρωμα. Παράδειγμα 11. Βρείτε ένα αναπόσπαστο να καταχωρίσετε και τις δύο σουίτες ισότητας, θα έχουμε τη δεξιά πλευρά του γενικού παρονομαστή και θα μειωθούμε και τα δύο μέρη σε αυτήν, λαμβάνουμε ταυτότητα ή. Εξισορροπώντας τους συντελεστές με τους ίδιους βαθμούς Χ, θα έρθουμε στο σύστημα εξισώσεων από τις οποίες βρίσκουμε \u003d τότε βρίσκουμε το ολοκλήρωμα που βρίσκεται στο δεξιό μέρος της ισότητας (4): επομένως, το επιθυμητό ολοκληρωμένο θα είναι ίσο με

Ορισμός 1.

Ο συνδυασμός όλων των πρωτόγονων καθορισμένων λειτουργιών $ y \u003d f (x) που ορίζεται σε ένα συγκεκριμένο τμήμα ονομάζεται αβέβαιος ενσωματωμένος από μια δεδομένη λειτουργία $ y \u003d f (x) $. Το αόριστο ενσωματωμένο υποδεικνύεται από το σύμβολο του $ \\ int f (x) dx $.

Σχόλιο

Ο ορισμός 2 μπορεί να γραφτεί ως εξής:

\\ [\\ int f (x) dx \u003d f (x) + c. \\]

Όχι από οποιαδήποτε παράλογη λειτουργία μπορεί να εκφράζεται από αναπόσπαστο μέσω στοιχειώδους λειτουργιών. Ωστόσο, τα περισσότερα από αυτά τα ολοκληρωτικά που χρησιμοποιούν υποκαταστάσεις μπορούν να τεθούν σε ολοκλήρωση από ορθολογικές λειτουργίες που μπορούν να εκφραστούν από το αναπόσπαστο μέσω στοιχειώδους λειτουργιών.

$ \\ int r \\ αριστερά (x, x ^ (m / n), ..., x ^ (R / s) \\ Δεξιά) DX $;

$ \\ int r \\ αριστερά (x, \\ αριστερά (\\ frac (ax + b) (cx + d) \\ σωστά) ^ (m / n), ..., \\ αριστερά (\\ frac (ax + b) (cx + δ) \\ Δεξιά) ^ (R / s) \\ Δεξιά) DX $;

$ \\ int r \\ αριστερά (X, \\ SQRT (AX ^ (2) + BX + C) \\ Δεξιά) DX $.

ΕΓΩ.

Όταν βρείτε το ολοκλήρωμα του τύπου $ \\ int r \\ αριστερά (x, x ^ (m / n), ..., x ^ (R / s) \\ Δεξιά) DX $ Πρέπει να εκτελέσετε την ακόλουθη αντικατάσταση:

Με αυτή την υποκατάσταση, κάθε κλασματικός βαθμός της μεταβλητής $ x $ εκφράζεται σε ένα ολόκληρο βαθμό μεταβλητής $ t $. Ως αποτέλεσμα, η λειτουργία Integland μετατρέπεται σε μια λογική λειτουργία από τη μεταβλητή $ t $.

Παράδειγμα 1.

Εκτελέστε ολοκλήρωση:

\\ [\\ int \\ frac (x ^ (1/2) dx) (x ^ (3/4) +1). \\]

Απόφαση:

$ k \u003d 4 $ - ο συνολικός παρονομαστής του κλάσματος του $ \\ frac (1) (2), \\, \\, \\, \\, \\, \\, (3) $.

\\ [αρχίστε (Array) (L) (\\ int \\ frac (x ^ (1/2) dx) (x ^ (3/4) +1) \u003d 4 \\ int \\ frac (t ^ (2)) (T ^ (3) +1) \\ cdot t ^ (3) dt \u003d 4 \\ int \\ frac (t ^ (5)) (t ^ (3) +1) dt \u003d 4 \\ int \\ αριστερά (t ^ ( 2) - \\ frac (t ^ (2)) (t ^ (3) +1) \\ Right) DT \u003d 4 \\ int t ^ (2) dt -4 \\ int ^ frac (t ^ (2)) (t ^ (3) +1) dt \u003d \\ frac (4) (3) \\ cdot t ^ (3) -) \\\\ (- \\ frac (4) (3) \\ cdot \\ ln | t ^ (3) +1 | + C) \\ End (Array) \\]

\\ [\\ int \\ frac (x ^ (1/2) dx) (x ^ (3/4) +1) \u003d \\ frac (4) (3) \\ cdot \\ αριστερά + c \\]

Ii.

Όταν βρίσκετε αναπόσπαστο μέρος του τύπου $ \\ int r \\ αριστερά (x, \\ αριστερά (\\ frac (ax + b) (cx + d) \\ σωστά) ^ (m / n), ..., \\ αριστερά (\\ FRAC (AX + B) (CX + D) \\ Δεξιά) ^ (R / s) \\ Δεξιά) DX $ Πρέπει να εκτελέσετε την ακόλουθη αντικατάσταση:

όπου $ k $ είναι ο συνολικός παρονομαστής του κλάσματος του $ \\ frac (m) (n), ..., \\ frac (r) $.

Ως αποτέλεσμα αυτής της υποκατάστασης, η λειτουργία Integland μετατρέπεται σε μια λογική λειτουργία από τη μεταβλητή $ t $.

Παράδειγμα 2.

Εκτελέστε ολοκλήρωση:

\\ [\\ int \\ frac (\\ sqrt (x + 4)) (x) dx. \\]

Απόφαση:

Ας κάνουμε την ακόλουθη αντικατάσταση:

(\\ sqrt (x + 4)) (x) dx \u003d \\ int \\ frac (t ^ (2)) (t ^ (2) -4) dt \u003d 2 \\ int \\ αριστερά (1 + \\ Frac (4) (t ^ (2) -4) \\ Δεξιά) dt \u003d 2 \\ int dt +8 \\ int \\ frac (dt) (t ^ (2) -4) \u003d 2t + 2 \\ l \\ l \\ | \\ Frac (T-2) (T-2) \\ Δεξιά | + C \\]

Έχοντας κάνει αντικατάσταση, έχουμε το τελικό αποτέλεσμα:

\\ [\\ int \\ frac (\\ sqrt (x + 4)) (x) dx \u003d 2 \\ sqrt (x + 4) +2 \\ ln \\ αριστερά | \\ frac (\\ sqrt (x + 4) -2) SQRT (x + 4) +2) \\ Δεξιά | + C. \\]

ΙΙΙ

Όταν ολοκληρωθεί ο τύπος του τύπου $ \\ int r \\ αριστερά (x, \\ sqrt (ax ^ (2) + bx + c) \\ rewe) DX $ πραγματοποιείται με τη λεγόμενη υποκατάσταση του Euler (μία από τις τρεις πιθανές υποκαταστάσεις είναι μεταχειρισμένος).

Την πρώτη υποκατάσταση του Euler

Για την περίπτωση $ a\u003e

Λαμβάνοντας το $ \\ SQRT (A) $ Sign "+", παίρνουμε

Παράδειγμα 3.

Εκτελέστε ολοκλήρωση:

\\ [\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (x ^ (2) + c)). \\]

Απόφαση:

Θα κάνουμε την ακόλουθη αντικατάσταση (περίπτωση $ a \u003d 1\u003e 0 $):

\\ [\\ sqrt (x ^ (2) + c) \u003d -x + t, \\, \\, x \u003d \\ frac (t ^ (2) -c) (2t), \\, \\, dx \u003d \\ frac (t ^ (2) + C) (2T ^ (2)) DT, \\, \\, \\ SQRT (X ^ (2) + C) \u003d - \\ Frac (T ^ (2) -C) (2T) + T \u003d \\ Frac (t ^ (2) + c) (2t). \\] \\ [\\ \\ \\ Frac (dx) (\\ sqrt (x ^ (2) + c) \u003d \\ int \\ frac (\\ frac (t ^ ^ (2) + C) (2T ^ (2)) dt) (\\ frac (t ^ (2) + c) (2t)) \u003d \\ \\ l \\ frac (dt) (t) \u003d \\ ln | t | + c \\]

Έχοντας κάνει αντικατάσταση, έχουμε το τελικό αποτέλεσμα:

\\ [\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (x ^ (2) + c) \u003d \\ ln | \\ sqrt (x ^ (2) + c) + x | + + c. \\]

Τη δεύτερη υποκατάσταση του Euler

Για την περίπτωση $ C\u003e 0 $ Πρέπει να εκτελέσετε την ακόλουθη αντικατάσταση:

Λαμβάνοντας $ \\ sqrt (c) $ sign "+", παίρνουμε

Παράδειγμα 4.

Εκτελέστε ολοκλήρωση:

\\ [\\ int \\ frac ((1- \\ sqrt (1 + x + x ^ (2))) ^ (2)) (x ^ (2) \\ sqrt (1 + x + x ^ (2))) dx . \\]

Απόφαση:

Ας κάνουμε την ακόλουθη αντικατάσταση:

\\ [\\ sqrt (1 + x + x ^ (2)) \u003d xt + 1. \\]

\\ [\\ sqrt (1 + x + x ^ (2)) \u003d xt + 1 \u003d \\ frac (t ^ (2) -t + 1) (1-t ^ (2)) \\] \\

$ \\ int \\ frac ((1- \\ sqrt (1 \\ x + x ^ (2))) ^ (2)) (x ^ (2) \\ sqrt (1 + x + x ^ (2))) dx \u003d) \\ int \\ frac ((- 2t ^ (2) + t) ^ (2) (1-t) ^ (2) (1-T ^ (2)) (2T ^ (2) -2t + 2)) ( (1-T ^ (2)) ^ (2) (2T-1) ^ (2) (T ^ (2) -T + 1) (1-T ^ (2)) ^ (2)) DT \u003d \\ Int \\ frac (t ^ (2)) (1-t ^ (2)) dt \u003d -2t + \\ ln \\ αριστερά | \\ frac (1 + t) (1-t) \\ + + c $ Κάνοντας μια αντικατάσταση , Έχουμε το τελικό αποτέλεσμα:

\\ [\\ Begin (Array) (L) (\\ \\ sqrt (1 \\ sqrt (1 \\ x + x ^ (2))) ^ (2)) (x ^ (2) \\ sqrt (1 + x + x ^ (2))) dx \u003d -2 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (1 + x + x ^ (2) -1) (x) + \\ ln \\ αριστερά | \\ frac (x + \\ sqrt (1 + x + x ^ (2)) -1) (x- \\ sqrt (1 + x + x ^ (2)) +1) + + + c \u003d -2 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (1 + x + x ^ (2)) -1) (x) +) \\\\ (+ \\ ln \\ αριστερά | 2x + 2 \\ sqrt (1 + x + x ^ (2)) +1 \\ δεξιά | + c) \\ τέλος (Πίνακας) \\]

Την τρίτη υποκατάσταση του Euler

Θυμάσουμε τα χαρούμενα σχολικά χρόνια. Πινακίδες στα διδάγματα των μαθηματικών, αρχίζοντας να μελετά τις ρίζες, πρώτα απ 'όλα να εξοικειωθούν με την τετραγωνική ρίζα. εμείς Ας πάμε για ψώνια τον ίδιο τρόπο.

Παράδειγμα 1.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Αναλύοντας την ολοκληρωμένη λειτουργία, έρχεστε στη θλιβερή έξοδο που δεν υπενθυμίζει καθόλου από τους πίνακες. Τώρα, αν όλα αυτά ήταν καλά στον αριθμητή - θα ήταν εύκολο. Ή η ρίζα δεν ήταν στο κάτω μέρος. Ή πολυώνυμο. Οχι Μέθοδοι ενσωμάτωσης των κλάσεωνΕπίσης δεν βοηθούν. Τι να κάνω?

Η κύρια λύση ρεσεψιόν των παράλογων ολοκληρωμάτων είναι μια αντικατάσταση μιας μεταβλητής που θα μας σώσει από όλες τις ρίζες στην ολοκληρωμένη λειτουργία.

Σημειώστε ότι αυτή η αντικατάσταση είναι λίγο περίεργη, η τεχνική εφαρμογή του είναι διαφορετική από την "κλασική" μέθοδο αντικατάστασης, η οποία θεωρείται στο μάθημα. Μέθοδος αντικατάστασης σε αόριστο ενσωματωμένο.

ΣΕ Αυτό το παράδειγμα Πρέπει να αντικαταστήσουμε Χ. = Τ. 2, δηλαδή, αντί να "iksa" κάτω από τη ρίζα που θα έχουμε Τ. 2. Γιατί είναι η αντικατάσταση ακριβώς όπως; Επειδή, και ως αποτέλεσμα της αντικατάστασης της ρίζας εξαφανίζονται.

Εάν στη λειτουργία ενσωμάτωσης, αντί μιας τετραγωνικής ρίζας, είχαμε, τότε θα είχαμε αντικατασταθεί. Εάν υπήρχε, τότε θα είχα δαπανηθεί ούτω καθεξής.

Λοιπόν, θα μετατραπεί. Τι συμβαίνει με το πολυώνυμο; Δεν υπάρχουν δυσκολίες: αν, τότε .

Παραμένει να μάθετε τι μετατρέπεται η διαφορά. Αυτό γίνεται όπως αυτό:

Παίρνουμε την αντικατάστασή μας και εμπνέουν διαφορές και στα δύο μέρη:

(Μιλήστε όσο το δυνατόν λεπτομερέστερα).

Η διακόσμηση της λύσης πρέπει να φαίνεται κάτι τέτοιο:

.

Θα αντικαταστήσουμε: .

.

(1) Διεξάγουμε μια υποκατάσταση μετά την αντικατάσταση (όπως τι και πού, ήδη επανεξετάζεται).

(2) Υποστηρίζουμε τη σταθερή εκτός του ολοκληρώματος. Αριθμητέας και παρονομαστής μειώνοντας Τ..

(3) Το προκύπτον ενσωματωμένο είναι πίνακες, το προετοιμάζουμε για ενσωμάτωση, επισημαίνοντας το τετράγωνο.

(4) Ενσωματώνουμε στο τραπέζι χρησιμοποιώντας τον τύπο

.

(5) Διεξαγωγή αντικατάστασης. Πώς γίνεται; Θυμάσουμε τι χορεύεται: αν, λοιπόν.

Παράδειγμα 2.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Κάπως συνέβη αυτό στα παραδείγματα 1, 2 "γυμνός" αριθμητής με ένα μόνο διαφορά. Διορθώστε την κατάσταση.

Παράδειγμα 3.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Η προ-ανάλυση της λειτουργίας ενσωμάτωσης δείχνει ξανά ότι δεν υπάρχει πορεία φωτός. Και επομένως πρέπει να απαλλαγείτε από τη ρίζα.

Θα αντικαταστήσουμε :.

Ανά Δείχνουμε όλη την έκφραση κάτω από τη ρίζα. Η αντικατάσταση από προηγούμενα παραδείγματα δεν είναι κατάλληλη (ακριβέστερα, μπορεί να γίνει, αλλά δεν μας σώζει από τη ρίζα).

Γυρίστε τις διαφορές και στα δύο μέρη:

Ο αριθμητής καταλάβει. Τι να κάνετε με τον παρονομαστή;

Παίρνουμε την αντικατάστασή μας και το εκφράζουμε από αυτό :.

Αν τότε.

(1) Διεξάγουμε υποκατάσταση σύμφωνα με την αντικατάσταση.

(2) μαλλιά τον αριθμητή. Η σταθερή εδώ επέλεξε να μην υπομείνει το ενσωματωμένο σημάδι (μπορείτε να το κάνετε, δεν θα υπάρξει σφάλμα)

(3) Ξεκλειδώστε τον αριθμητή στο ποσό. Για άλλη μια φορά συνιστούμε να εξοικειωθείτε με την πρώτη παράγραφο του μαθήματος Ενσωμάτωση ορισμένων κλασμάτων. Πλήρεις με την αποσύνθεση του αριθμητή στο ποσό του παράλογα ολοκληρωτικά Θα είναι άφθονο, είναι πολύ σημαντικό να επεξεργαστείτε αυτή την τεχνική.

(4) Παραδώστε τον αριθμητή στον παρονομαστή.

(5) Χρησιμοποιήστε τις ιδιότητες της γραμμικότητας ενός αβέβαιου ενσωματωμένου. Στο δεύτερο αναπόσπαστο, επισημαίνουμε την πλατεία για μεταγενέστερη ολοκλήρωση στο τραπέζι.

(6) Ενσωματώνουμε στο τραπέζι. Το πρώτο ολοκλήρωμα είναι εντελώς απλό, στο δεύτερο χρησιμοποιούμε τον πίνακα τύπου του υψηλού λογαρίματος .

(7) Εκτελούμε την αντίστροφη αντικατάσταση. Εάν πραγματοποιήσαμε αντικατάσταση, τότε, πίσω :.

Παράδειγμα 4.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση εάν εργάζεστε απροστατευτικά τα προηγούμενα παραδείγματα, τότε επιτρέψτε ένα σφάλμα! Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Κατ 'αρχήν, επιλύονται επίσης ολοκληρωμένα με πολλά Το ίδιοΡίζες, για παράδειγμα

Και τα λοιπά. Και τι γίνεται αν στην ολοκληρωμένη λειτουργία των ριζών διαφορετικός?

Παράδειγμα 5.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Έτσι η μισθοδοσία ήρθε για γυμνούς αριθμούς. Όταν εντοπιστεί ένα τέτοιο ολοκληρωμένο, συνήθως γίνεται τρομακτικό. Αλλά οι φόβοι είναι μάταια, μετά τη διεξαγωγή μιας κατάλληλης αντικατάστασης, η ενσωμάτωση απλοποιείται. Η εργασία έχει ως εξής: Για να περάσετε μια καλή αντικατάσταση για να απαλλαγείτε αμέσως από όλες τις ρίζες.

Όταν δίδονται διαφορετικές ρίζες, είναι βολικό να τηρθεύσετε ένα συγκεκριμένο σχήμα λύσης.

Πρώτον, γράφουμε την αρχική λειτουργία στο σχέδιο, ενώ όλες οι ρίζες παρουσιάζουν τη μορφή:

Θα μας ενδιαφέρει αρμονικόςβαθμούς: