Równoległe i szeregowe łączenie rezystorów, kondensatorów i cewek. Podłączenie komponentów Kondensator i cewka połączone szeregowo

Załóżmy jak poprzednio, że prąd w obwodzie zmienia się zgodnie z prawem

i oblicz napięcie między końcami obwodu ty. Ponieważ gdy przewody są połączone szeregowo, napięcia są dodawane, pożądane napięcie ty jest sumą trzech napięć: rezystancji, pojemności i indukcyjności, a każde z tych napięć, jak widzieliśmy, zmienia się w czasie zgodnie z prawem cosinusa:

, (5)

, (6)

Aby dodać te trzy oscylacje, użyjemy wektorowego wykresu napięcia. Wahania napięcia na rezystancji są na nim reprezentowane przez wektor skierowany wzdłuż osi prądu i mający długość , natomiast wahania napięcia na pojemności i indukcyjności są reprezentowane przez wektory i prostopadłe do osi prądu o długościach ( I m/w C) I ( I m w L) (ryc. 9.). Wyobraźmy sobie, że wektory te obracają się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół wspólnego początku z prędkością kątową w. Następnie rzuty na aktualną oś wektorów , i , zostaną opisane odpowiednio wzorami (5)-(7). Oczywiście rzut na aktualną oś wektora całkowitego

równe sumie, to znaczy równe całkowitemu napięciu na odcinku obwodu. Maksymalna wartość tego napięcia jest równa modułowi wektorowemu. Wartość tę można łatwo określić geometrycznie. Najpierw wskazane jest znalezienie modułu wektora:

,

a następnie zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:

. (8)

Z rysunku wynika również, że

. (9)

Dla napięcia na odcinku obwodu możemy pisać

gdzie amplitudę napięcia i przesunięcie fazowe pomiędzy prądem a napięciem wyznaczają wzory (8), (9). Jeśli , to napięcie wyprzedza prąd w fazie, w przeciwnym razie napięcie pozostaje w tyle za fazą.

Wzór (8) jest podobny do prawa Ohma w tym sensie, że amplituda napięcia jest proporcjonalna do amplitudy prądu. Dlatego czasami nazywa się to prawem Ohma dla prądu przemiennego. Należy jednak pamiętać, że wzór ten dotyczy tylko amplitud, a nie wartości chwilowych i . Rozmiar

nazywa się rezystancją obwodu dla prądu przemiennego, wartością

nazywa się reaktancją obwodu i wartością R- aktywny opór.

Otrzymane wzory obowiązują również dla obwodu zamkniętego zawierającego generator napięcia przemiennego, jeśli jest on niższy R, C I L zrozumieć ich znaczenie dla całego łańcucha (np R oznacza całkowitą rezystancję czynną obwodu, w tym rezystancję wewnętrzną generatora). W takim przypadku należy zastąpić wszystkie formuły ty na emf generatora. Rzeczywiście, dla całego naszego rozumowania było obojętne, gdzie dokładnie koncentruje się pojemność, indukcyjność i rezystancja, dlatego w obwodzie zamkniętym (ryc. 8) możemy rozważyć, jaka jest całkowita rezystancja czynna obwodu, w tym rezystancja wewnętrzna obwodu generator oraz - pojemność i indukcyjność obwodu oraz zastąp prawdziwy generator urojonym, którego rezystancja wewnętrzna wynosi zero. W tym przypadku napięcie ty pomiędzy punktami A I B będzie równy emf generatora. Wynika z tego, że wzory (8), (9) obowiązują również dla zamkniętego obwodu prądu przemiennego, jeśli przez , , i rozumiemy ich znaczenie dla całego obwodu i zastępujemy je we wszystkich wzorach ty na emf generatora.

Zgodnie z równaniami elementów

. (15.1)

Znaleźliśmy aktualny kompleks. Po drodze w mianowniku otrzymaliśmy rezystancję zespoloną sieci dwuterminalowej , rezystancja czynna sieci dwuterminalowej i reaktancja sieci dwuterminalowej .

Rezonans fazowy Sieć z dwoma zaciskami to tryb, w którym prąd i napięcie sieci z dwoma zaciskami są w fazie: W tym przypadku reaktancja i przewodnictwo reaktywne sieci z dwoma zaciskami są równe zeru.

Rezonans napięcia Obwód z dwoma zaciskami nazywany jest trybem, w którym napięcia elementów obwodu są maksymalnie kompensowane. Impedancja sieci z dwoma zaciskami jest minimalna.

Rezonans prądów Obwód z dwoma zaciskami nazywany jest trybem, w którym prądy elementów obwodu są maksymalnie kompensowane. Całkowita rezystancja sieci z dwoma zaciskami jest maksymalna.

W przypadku szeregowego połączenia rezystora, cewki indukcyjnej i kondensatora rezonans fazowy pokrywa się z rezonansem napięciowym. Częstotliwość rezonansową określa się ze wzoru

co wynika z równości do zera reaktancji: .

Zależność skutecznych wartości napięcia od częstotliwości dla połączenia szeregowego R, L, C pokazany na ryc. 15.3. Wyrażenia do obliczania tych napięć uzyskuje się poprzez pomnożenie wartości skutecznej prądu (wzór 15.2) przez impedancje elementów: , , (patrz paragraf 12).

Skonstruujmy diagram wektorowy prądu i napięcia (ryc. 15.4, tutaj pokazano przypadek). U L > U C). Najłatwiej to zrobić, jeśli początkowa faza prądu wynosi zero: . Następnie wektor reprezentujący bieżący kompleks zostanie skierowany pod kątem do osi rzeczywistej płaszczyzny zespolonej. Napięcie na rezystorze jest w fazie z prądem, więc wektor reprezentujący zespół napięcia na rezystorze będzie skierowany w tym samym kierunku, co wektor reprezentujący kompleks prądu.

Ryż. 15.3.

Ryż. 15.4.

Ryż. 15,5.

Napięcie na cewce wyprzedza prąd w fazie o kąt , więc wektor reprezentujący zespół napięcia na cewce będzie skierowany pod kątem do wektora reprezentującego kompleks prądu. Napięcie na kondensatorze jest opóźnione w fazie w stosunku do prądu o kąt , więc wektor reprezentujący zespół napięcia na kondensatorze będzie skierowany pod kątem – do wektora reprezentującego zespół prądu. Wektor reprezentujący kompleks przyłożonego napięcia będzie równy sumie wektorów reprezentujących zespolone napięcia na rezystorze, kondensatorze i cewce. Długości wszystkich wektorów są proporcjonalne do wartości efektywnych odpowiednich wielkości. Oznacza to, że aby narysować wektory, należy ustawić skalę, na przykład: 1 centymetr to 20 woltów, 1 centymetr to 5 amperów.

Schemat wektorowy trybu rezonansowego pokazano na ryc. 15,5.

Obliczmy stosunek wartości napięcia skutecznego na cewce indukcyjnej i kondensatorze do wartości skutecznej napięcia źródła w trybie rezonansowym.

Weźmy pod uwagę, że podczas rezonansu napięcia na cewce i na kondensatorze całkowicie się kompensują (rezonans napięcia), a zatem napięcie źródła jest równe napięciu na rezystorze: (ryc. 15.5). Korzystamy z zależności pomiędzy wartościami skutecznymi prądu i napięcia dla rezystora, cewki i kondensatora, a także ze wzoru na częstotliwość rezonansową. Otrzymujemy:

Gdzie .

Ilość nazywa się impedancja falowa obwód oscylacyjny i jest oznaczony literą r. Relacja jest oznaczona literą Q i nazywana współczynnik jakości obwód oscylacyjny. Określa właściwości wzmacniające obwodu przy częstotliwości rezonansowej. W dobrych obwodach współczynnik jakości może być rzędu kilkuset, to znaczy w trybie rezonansowym napięcie na cewce i kondensatorze może być setki razy większe niż napięcie zastosowane w sieci z dwoma zaciskami.

Rezonans jest często stosowany w elektrotechnice i elektronice do wzmacniania sinusoidalnych napięć i prądów, a także do oddzielania oscylacji określonych częstotliwości od oscylacji złożonych. Jednak niepożądany rezonans w informacyjnych obwodach elektrycznych prowadzi do powstania i nasilenia zakłóceń, a w obwodach elektroenergetycznych może prowadzić do niebezpiecznie wysokich napięć i prądów.

Kiedy na schemacie projektowym cewka i kondensator są połączone szeregowo, każdy z tych elementów obwodu elektrycznego można przedstawić za pomocą rezystancji czynnej i biernej lub przewodności czynnej i reaktywnej.

Do obliczeń prostszy schemat to ryc. 14.1, a, gdzie elementy są połączone szeregowo oraz na schemacie na ryc. 14.1, b są połączone mieszane.

Załóżmy, że znane są parametry cewki R1, L i kondensatora R2, C; prąd obwodu i = I m sinωt.

Konieczne jest określenie napięcia w odcinkach obwodu i mocy.

Schemat wektorowy i impedancja docelowa

Chwilową wartość napięcia całkowitego można przedstawić jako sumę chwilowych napięć na poszczególnych elementach obwodu:

u = u 1R + u L + u do + u 2R ,

To znaczy niedopasowanie fazowe napięcia czynnego i biernego, całkowite napięcie otrzymuje się przez dodanie wektora:

U = U 2R + U L + U do + U 2R

Aby skonstruować diagram wektorowy, znajdujemy:

U1R = IR1; U2R = IR2; U L = IX L ; U do = IX do .

W zależności od stosunku wartości indukcyjności i reaktancji pojemnościowej można wyróżnić trzy przypadki:

1. X L > X C . W tym przypadku schemat wektorowy pokazano na ryc. 14.2. Schemat przedstawia trójkąty napięcia dla cewki i kondensatora oraz wyznacza wektory napięcia U 1 i U 2 na tych elementach.

Suma wektorowa napięć U 1 + U 2 = U daje całkowite napięcie w obwodzie. Jednocześnie wektor U jest przeciwprostokątną prostokątnego trójkąta napięć, którego ramionami są aktywne i reaktywne napięcia obwodu ( Ty I Ty r ). Ponieważ wektory aktywnych składowych napięcia są skierowane w jednym kierunku, ich wartości liczbowe sumują się: U a = U 1R + U 2R.

Wektory składowych napięcia biernego są skierowane wzdłuż jednej prostej w przeciwnych kierunkach, dlatego otrzymują różne znaki: Napięcie indukcyjności biernej uważa się za dodatnie, a napięcie pojemnościowe za ujemne: U p = U L - U C.

Z tym samym prądem we wszystkich elementach obwodu U L > U C . Aktualny pozostaje w tyle za napięciem całkowitym w fazie na kąt φ . Z trójkąta naprężeń wynika

Gdzie R = R1 + R2 I X = X L - X C rezystancja całkowita, czynna i reaktancyjna obwodu. Całkowita rezystancja obwodu wynosi Z.

Rezystancje te można przedstawić graficznie za pomocą boków prostokątnego trójkąta rezystancji, który w znany sposób uzyskuje się z trójkąta napięć.

Impedancja obwodu Z jest współczynnikiem proporcjonalności pomiędzy wartościami skutecznymi prądu i całkowitego napięcia obwodu:

U = IZ; ja = U/Z; Z = U/I.

Z trójkątów napięcia i rezystancji wyznaczane są następujące wielkości:

Kąt przesunięcia fazowego pomiędzy napięciem i prądem w obwodzie jest dodatni ( φ >0) (prądy fazowe liczone są od wektora prądu).

2. X L< Х C Schemat wektorowy pokazano na ryc. 14,3, gdzie U L φ <0.

Rmi rezystancja czynna obwodu ma charakter pojemnościowy .

Wzory obliczeniowe dla pierwszego przypadku pozostają niezmienione dla drugiego przypadku.

3. X L = X C . W tym przypadku składowe napięcia biernego cewki i kondensatora są równe pod względem wielkości i wzajemnie kompensowane: U L = U C (ryc. 14.4). Dlatego składnik bierny całkowitego napięcia i całkowita reaktancja są równe zeru, a całkowita rezystancja obwodu Z = R.

Całkowite napięcie jest w fazie z prądem i jest równe wartości czynnej

składnik napięcia.

Kąt fazowy φ między prądem a napięciem całkowitym wynosi zero.

Prąd w obwodzie i całkowite napięcie są powiązane wzorem

U = IR lub I = U/R.

W przypadku X L = X C w obwodzie występuje zjawisko rezonansu napięcia.

Proces energetyczny w obwodzie z szeregowym połączeniem kondensatora i cewki

Z trójkąta napięcia łatwo jest otrzymać trójkąt mocy, z którego wynikają znane już wzory:

Moce bierne są również uwzględniane w obliczeniach z różnymi znakami: moc indukcyjna jest dodatnia, a moc pojemnościowa jest ujemna.

Zgodnie z tym znak mocy biernej całego obwodu może być taki lub inny, jak wynika ze wzorów (14.2).
Na φ>0 Q>0 ; Na φ<0 Q<0.

Moc czynna jest dodatnia pod każdym kątem, ponieważ cos φ =cos(- φ ).

Moc pozorna jest również zawsze dodatnia. Na podstawie wzorów (14.2) można stwierdzić, że w rozpatrywanym obwodzie następuje przemiana energii elektrycznej (P ≠ 0) oraz proces wymiany pomiędzy generatorem a odbiornikiem (Q ≠ 0 w φ ≠ 0).

Procesy energetyczne w tym przypadku są bardziej złożone niż w omawianych wcześniej prostych obwodach. Powikłanie tłumaczy się tym, że wraz z wymianą energii pomiędzy generatorem a odbiornikiem następuje wymiana energii wewnątrz odbiornika, pomiędzy cewką a kondensatorem.

Cechy procesu energetycznego w obwodzie z szeregowym połączeniem cewki i kondensatorów pokazano na ryc. 14.5, który pokazuje wykresy mocy chwilowej poszczególnych elementów i obwodu jako całości X L = X C.

Cewka i kondensator gromadzą równą ilość energii podczas połowy cyklu. Jednakże w pierwszym kwartale tego okresu, gdy prąd wzrasta, a napięcie na kondensatorze maleje, energia gromadzi się w polu magnetycznym cewki i maleje w polu elektrycznym kondensatora, a szybkość zmiany energii (moc ) jest taki sam w każdym momencie. Daje to podstawy do przypuszczenia, że ​​wymiana energii następuje jedynie w odbiorniku pomiędzy cewkami
i kondensator.

Aby przekształcić energię elektryczną w inną postać, odbiornik otrzymuje ją z generatora o średniej prędkości (mocy) R.

Zadania na ten temat i przykład rozwiązania problemu dla obwodu z szeregowym połączeniem kondensatora i cewki