Konvertieren der Matrix in eine schrittweise Form. Diagonalmatrizen. Kriterium für die lineare Abhängigkeit von Vektoren

Definition

Die quadratische Matrix heißt Diagonale, wenn alle seine außerhalb der Hauptdiagonalen liegenden Elemente gleich Null sind.

Kommentar. Die Diagonalelemente der Matrix (also die Elemente auf der Hauptdiagonale) können auch Null sein.

Beispiel

Definition

Skalar wird als Diagonalmatrix bezeichnet, in der alle Diagonalelemente einander gleich sind.

Kommentar. Wenn die Nullmatrix quadratisch ist, ist sie auch skalar.

Beispiel

Definition

Identitätsmatrix ist eine skalare Ordnungsmatrix, deren Diagonalelemente gleich 1 sind.

Kommentar. Um die Notation zu verkürzen, kann die Reihenfolge der Identitätsmatrix weggelassen werden; dann wird die Identitätsmatrix einfach mit bezeichnet.

Beispiel

ist eine Identitätsmatrix zweiter Ordnung.

2.10. Reduzieren der Matrix auf Diagonalform

Eine normale (insbesondere symmetrische) Matrix A kann durch Ähnlichkeitstransformation in Diagonalform gebracht werden -

A = TΛT −1

Hier Λ = diag(λ 1 ,..., λ N) ist eine Diagonalmatrix, deren Elemente die Eigenwerte der Matrix sind A, A T ist eine Matrix, die aus den entsprechenden Eigenvektoren der Matrix besteht A, d.h. T = (v 1 ,...,v N).

Zum Beispiel,

Reis. 23 Reduktion auf Diagonalform

Schrittmatrix

Definition

Geschritten ist eine Matrix, die die folgenden Bedingungen erfüllt:

Definition

Geschritten heißt eine Matrix, die Zeilen enthält und in der die ersten Diagonalelemente ungleich Null sind und die unter der Hauptdiagonalen liegenden Elemente und die Elemente der letzten Zeilen gleich Null sind, d. h. es handelt sich um eine Matrix der Form:

Definition

Das Hauptelement einer Zeile einer Matrix wird ihr erstes Nicht-Null-Element genannt.

Beispiel

Übung. Finden Sie die Hauptelemente jeder Zeile der Matrix

Lösung. Das Hauptelement der ersten Zeile ist das erste Nicht-Null-Element dieser Zeile und daher das Hauptelement der Zeile Nummer 1; ebenso - das Hauptelement der zweiten Zeile.

Eine weitere Definition einer Stufenmatrix.

Definition

Die Matrix heißt trat, Wenn:

alle seine Nulllinien kommen nach Nicht-Null-Zeilen;

in jeder Zeile ungleich Null, beginnend mit der zweiten, befindet sich ihr Hauptelement rechts (in der Spalte mit einer höheren Nummer) vom Hauptelement der vorherigen Zeile.

Stufenmatrizen umfassen per Definition eine Nullmatrix sowie eine Matrix, die eine Zeile enthält.

Beispiel

Beispiele für Schrittmatrizen:

, , , ,

Beispiele für Matrizen, die nicht gestaffelt sind:

, ,

Beispiel

Übung. Finden Sie heraus, ob eine Matrix vorhanden ist trat.

Lösung. Wir überprüfen die Erfüllung der Bedingungen aus der Definition:

Die gegebene Matrix ist also schrittweise.

In diesem Thema betrachten wir das Konzept einer Matrix sowie die Arten von Matrizen. Da dieses Thema viele Begriffe enthält, werde ich eine kurze Zusammenfassung hinzufügen, um die Navigation im Material zu erleichtern.

Definition einer Matrix und ihres Elements. Notation.

Matrix ist eine Tabelle mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten. Die Elemente einer Matrix können Objekte ganz anderer Art sein: Zahlen, Variablen oder beispielsweise andere Matrizen. Beispielsweise enthält die Matrix $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ 3 Zeilen und 2 Spalten; seine Elemente sind ganze Zahlen. Die Matrix $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ enthält 2 Zeilen und 4 Spalten.

Verschiedene Möglichkeiten, Matrizen zu schreiben: Einblenden/Ausblenden

Die Matrix kann nicht nur in runden, sondern auch in eckigen oder doppelten geraden Klammern geschrieben werden. Unten ist dieselbe Matrix in verschiedenen Notationsformen:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Das Produkt $m\times n$ heißt Matrixgröße. Wenn eine Matrix beispielsweise 5 Zeilen und 3 Spalten enthält, dann sprechen wir von einer Matrix der Größe $5\times 3$. Die Matrix $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ hat die Größe $3 \times 2$.

Typischerweise werden Matrizen mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet: $A$, $B$, $C$ und so weiter. Beispiel: $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Die Zeilennummerierung erfolgt von oben nach unten; Spalten - von links nach rechts. Beispielsweise enthält die erste Zeile der Matrix $B$ die Elemente 5 und 3 und die zweite Spalte enthält die Elemente 3, -87, 0.

Elemente von Matrizen werden üblicherweise mit Kleinbuchstaben bezeichnet. Beispielsweise werden die Elemente der Matrix $A$ mit $a_(ij)$ bezeichnet. Der Doppelindex $ij$ enthält Informationen über die Position des Elements in der Matrix. Die Zahl $i$ ist die Zeilennummer und die Zahl $j$ ist die Spaltennummer, an deren Schnittpunkt sich das Element $a_(ij)$ befindet. Zum Beispiel am Schnittpunkt der zweiten Zeile und der fünften Spalte der Matrix $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ Element $a_(25)= $59:

Auf die gleiche Weise haben wir am Schnittpunkt der ersten Zeile und der ersten Spalte das Element $a_(11)=51$; am Schnittpunkt der dritten Zeile und der zweiten Spalte - das Element $a_(32)=-15$ und so weiter. Beachten Sie, dass der Eintrag $a_(32)$ „a three two“, aber nicht „a dreißig two“ lautet.

Um die Matrix $A$, deren Größe $m\times n$ beträgt, abzukürzen, wird die Notation $A_(m\times n)$ verwendet. Die folgende Schreibweise wird häufig verwendet:

$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$

Dabei gibt $(a_(ij))$ die Bezeichnung der Elemente der Matrix $A$ an, d.h. besagt, dass die Elemente der Matrix $A$ als $a_(ij)$ bezeichnet werden. In erweiterter Form kann die Matrix $A_(m\times n)=(a_(ij))$ wie folgt geschrieben werden:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Lassen Sie uns einen anderen Begriff einführen - gleiche Matrizen.

Es werden zwei Matrizen gleicher Größe $A_(m\times n)=(a_(ij))$ und $B_(m\times n)=(b_(ij))$ aufgerufen gleich, wenn ihre entsprechenden Elemente gleich sind, d.h. $a_(ij)=b_(ij)$ für alle $i=\overline(1,m)$ und $j=\overline(1,n)$.

Erklärung zum Eintrag $i=\overline(1,m)$: show\hide

Die Notation „$i=\overline(1,m)$“ bedeutet, dass der Parameter $i$ von 1 bis m variiert. Beispielsweise gibt die Notation $i=\overline(1,5)$ an, dass der Parameter $i$ die Werte 1, 2, 3, 4, 5 annimmt.

Damit Matrizen gleich sind, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: Übereinstimmung der Größen und Gleichheit der entsprechenden Elemente. Beispielsweise ist die Matrix $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ nicht gleich der Matrix $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$, weil die Matrix $A$ die Größe $3\times 2$ und die Matrix $B$ hat hat die Größe $2\times $2. Außerdem ist die Matrix $A$ nicht gleich der Matrix $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ , da $a_( 21)\neq c_(21)$ (d. h. $0\neq 98$). Aber für die Matrix $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ können wir sicher $A= schreiben F$, weil sowohl die Größen als auch die entsprechenden Elemente der Matrizen $A$ und $F$ übereinstimmen.

Beispiel Nr. 1

Bestimmen Sie die Größe der Matrix $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Geben Sie an, was die Elemente $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ sind.

Diese Matrix enthält 5 Zeilen und 3 Spalten, daher beträgt ihre Größe $5\times 3$. Sie können für diese Matrix auch die Notation $A_(5\times 3)$ verwenden.

Das Element $a_(12)$ befindet sich am Schnittpunkt der ersten Zeile und der zweiten Spalte, also $a_(12)=-2$. Das Element $a_(33)$ befindet sich am Schnittpunkt der dritten Zeile und der dritten Spalte, also $a_(33)=23$. Das Element $a_(43)$ befindet sich am Schnittpunkt der vierten Zeile und der dritten Spalte, also $a_(43)=-5$.

Antwort: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Arten von Matrizen abhängig von ihrer Größe. Haupt- und Nebendiagonalen. Matrixspur.

Gegeben sei eine bestimmte Matrix $A_(m\times n)$. Wenn $m=1$ (die Matrix besteht aus einer Zeile), dann wird die gegebene Matrix aufgerufen Matrixzeile. Wenn $n=1$ (die Matrix besteht aus einer Spalte), dann heißt eine solche Matrix Matrixspalte. Beispielsweise ist $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ eine Zeilenmatrix und $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ ist eine Spaltenmatrix.

Wenn die Matrix $A_(m\times n)$ die Bedingung $m\neq n$ erfüllt (d. h. die Anzahl der Zeilen ist nicht gleich der Anzahl der Spalten), dann wird oft gesagt, dass $A$ ein Rechteck ist Matrix. Beispielsweise hat die Matrix $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ die Größe $2\times 4 $, jene. enthält 2 Zeilen und 4 Spalten. Da die Anzahl der Zeilen nicht gleich der Anzahl der Spalten ist, ist diese Matrix rechteckig.

Wenn die Matrix $A_(m\times n)$ die Bedingung $m=n$ erfüllt (d. h. die Anzahl der Zeilen ist gleich der Anzahl der Spalten), dann wird $A$ als quadratische Matrix der Ordnung $ bezeichnet n$. Beispielsweise ist $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ eine quadratische Matrix zweiter Ordnung; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ ist eine quadratische Matrix dritter Ordnung. Im Allgemeinen kann die quadratische Matrix $A_(n\times n)$ wie folgt geschrieben werden:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Die Elemente $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ gelten als on Hauptdiagonale Matrizen $A_(n\times n)$. Diese Elemente werden aufgerufen Hauptdiagonalelemente(oder nur diagonale Elemente). Die Elemente $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ sind on seitliche (kleine) Diagonale; Sie heißen seitliche Diagonalelemente. Zum Beispiel für die Matrix $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ wir haben:

Die Elemente $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ sind die Hauptdiagonalelemente; Elemente $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ sind Seitendiagonalelemente.

Die Summe der Hauptdiagonalelemente wird aufgerufen gefolgt von der Matrix und wird mit $\Tr A$ (oder $\Sp A$) bezeichnet:

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Zum Beispiel für die Matrix $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ wir haben:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Das Konzept der Diagonalelemente wird auch für nichtquadratische Matrizen verwendet. Zum Beispiel für die Matrix $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ die Hauptdiagonalelemente sind $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Arten von Matrizen abhängig von den Werten ihrer Elemente.

Wenn alle Elemente der Matrix $A_(m\times n)$ gleich Null sind, dann heißt eine solche Matrix Null und wird normalerweise mit dem Buchstaben $O$ bezeichnet. Zum Beispiel: $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - Nullmatrizen.

Betrachten wir eine Zeile ungleich Null der Matrix $A$, d. h. eine Zeichenfolge, die mindestens ein von Null verschiedenes Element enthält. Führendes Element eines Nicht-Null-Strings nennen wir sein erstes (von links nach rechts gezähltes) Nicht-Null-Element. Betrachten Sie beispielsweise die folgende Matrix:

$$W=\left(\begin(array)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(array)\right)$ $

In der zweiten Zeile ist das führende Element das vierte Element, d. h. $w_(24)=12$, und in der dritten Zeile wird das führende Element das zweite Element sein, d. h. $w_(32)=-9$.

Die Matrix $A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ wird aufgerufen trat, wenn es zwei Bedingungen erfüllt:

1. Wenn Nullzeilen vorhanden sind, befinden sie sich unter allen Nicht-Nullzeilen.
2. Die Nummern der führenden Elemente von Zeilen ungleich Null bilden eine streng steigende Folge, d.h. Wenn $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ die führenden Elemente von Nicht-Null-Zeilen der Matrix $A$ sind, dann $k_1\lt(k_2)\ lt\ldots\lt( k_r)$.

Beispiele für Schrittmatrizen:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(array)\right). $$

Zum Vergleich: Matrix $Q=\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(array)\right)$ ist keine Stufenmatrix, da die zweite Bedingung in der Definition einer Stufenmatrix verletzt ist. Die führenden Elemente in der zweiten und dritten Zeile $q_(24)=7$ und $q_(32)=10$ haben die Zahlen $k_2=4$ und $k_3=2$. Für eine Stufenmatrix muss die Bedingung $k_2\lt(k_3)$ erfüllt sein, die in diesem Fall verletzt ist. Ich möchte darauf hinweisen, dass wir eine schrittweise Matrix erhalten, wenn wir die zweite und dritte Zeile vertauschen: $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end(array)\right)$.

Eine Stufenmatrix wird aufgerufen trapezförmig oder trapezförmig, wenn die führenden Elemente $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ die Bedingungen $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r erfüllen = r$, d.h. die führenden sind die Diagonalelemente. Im Allgemeinen kann eine Trapezmatrix wie folgt geschrieben werden:

$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(array) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(array)\right) $$

Beispiele für trapezförmige Matrizen:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(array)\right). $$

Lassen Sie uns noch ein paar Definitionen für quadratische Matrizen geben. Wenn alle Elemente einer quadratischen Matrix, die sich unter der Hauptdiagonale befinden, gleich Null sind, wird eine solche Matrix aufgerufen obere Dreiecksmatrix. Zum Beispiel $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ ist eine obere Dreiecksmatrix. Beachten Sie, dass die Definition einer oberen Dreiecksmatrix nichts über die Werte der Elemente aussagt, die über der Hauptdiagonale oder auf der Hauptdiagonale liegen. Sie können Null sein oder nicht – das spielt keine Rolle. Beispielsweise ist $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix.

Wenn alle Elemente einer quadratischen Matrix, die über der Hauptdiagonale liegen, gleich Null sind, wird eine solche Matrix aufgerufen untere Dreiecksmatrix. Zum Beispiel $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - untere Dreiecksmatrix. Beachten Sie, dass die Definition einer unteren Dreiecksmatrix nichts über die Werte der Elemente aussagt, die sich unter oder auf der Hauptdiagonale befinden. Sie können Null sein oder nicht – das spielt keine Rolle. Zum Beispiel $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ und $\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ sind ebenfalls untere Dreiecksmatrizen.

Die quadratische Matrix heißt Diagonale, wenn alle Elemente dieser Matrix, die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen, gleich Null sind. Beispiel: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array)\right)$. Die Elemente auf der Hauptdiagonale können alles sein (gleich Null oder nicht) – es spielt keine Rolle.

Die Diagonalmatrix heißt einzel, wenn alle auf der Hauptdiagonalen liegenden Elemente dieser Matrix gleich 1 sind. Zum Beispiel $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ – Identitätsmatrix vierter Ordnung; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ ist die Identitätsmatrix zweiter Ordnung.

Um die Matrix in eine Stufenform zu bringen (Abb. 1.4), müssen Sie die folgenden Schritte ausführen.

1. Wählen Sie in der ersten Spalte ein anderes Element als Null aus ( führendes Element ). Eine Zeichenfolge mit einem führenden Element ( führende Linie ), wenn es nicht die erste ist, ordnen Sie sie anstelle der ersten Zeile neu an (Typ-I-Transformation). Wenn in der ersten Spalte kein führendes Element vorhanden ist (alle Elemente sind Null), schließen wir diese Spalte aus und suchen im Rest der Matrix weiter nach dem führenden Element. Die Transformation endet, wenn alle Spalten entfernt werden oder der Rest der Matrix nur Nullelemente enthält.

2. Teilen Sie alle Elemente der führenden Zeile durch das führende Element (Typ-II-Transformation). Wenn die führende Zeile die letzte ist, sollte die Transformation dort enden.

3. Fügen Sie zu jeder Zeile unterhalb der führenden Zeile die führende Zeile hinzu und multiplizieren Sie sie entsprechend mit einer solchen Zahl, dass die Elemente unter der führenden Zeile gleich Null sind (Transformation Typ III).

4. Nachdem Sie die Zeile und Spalte, an deren Schnittpunkt sich ein führendes Element befindet, von der Betrachtung ausgeschlossen haben, fahren Sie mit Schritt 1 fort, in dem alle beschriebenen Aktionen auf den Rest der Matrix angewendet werden.

Der Satz über die Verteilung des Einzelpostens nach den Elementen der Zeile.

Der Satz über die Zerlegung der Determinante in Elemente einer Zeile oder Spalte ermöglicht es uns, die Berechnung der Determinante zu reduzieren - th order() zur Berechnung von Ordnungsdeterminanten .

Wenn die Determinante Elemente hat, die gleich Null sind, ist es am bequemsten, die Determinante in die Elemente der Zeile oder Spalte zu erweitern, die die größte Anzahl an Nullen enthält.

Mithilfe der Eigenschaften von Determinanten können Sie die Determinante transformieren - Reihenfolge, sodass alle Elemente einer bestimmten Zeile oder Spalte bis auf eines gleich Null werden. So wird die Determinante berechnet - der Ordnung, wenn sie von Null verschieden ist, wird auf die Berechnung einer Determinante reduziert - Bestellung.

Aufgabe 3.1. Determinante berechnen

Lösung. Durch Addition der ersten Zeile zur zweiten Zeile, der ersten Zeile multipliziert mit 2 zur dritten Zeile und der ersten Zeile multipliziert mit -5 zur vierten Zeile erhalten wir

Wenn wir die Determinante in Elemente der ersten Spalte erweitern, haben wir

.

Lassen Sie uns in der resultierenden Determinante 3. Ordnung alle Elemente der ersten Spalte außer der ersten auf Null setzen. Dazu addieren wir zur zweiten Zeile die erste, multipliziert mit (-1), zur dritten, multipliziert mit 5, addieren wir die erste, multipliziert mit 8. Da wir die dritte Zeile mit 5 multipliziert haben, dann (so dass die Determinante ändert sich nicht) multiplizieren Sie es mit . Wir haben

Zerlegen wir die resultierende Determinante in die Elemente der ersten Spalte:

Satz von Laplace(1). Satz über außerirdische Additionen(2)

1) Die Determinante ist gleich der Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile und ihrer algebraischen Komplemente.

2) Die Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile einer Determinante mit den algebraischen Komplementen der entsprechenden Elemente ihrer anderen Zeile ist gleich Null (der Satz über die Multiplikation mit anderen algebraischen Komplementen).

Jeder Punkt auf der Ebene mit dem gewählten Koordinatensystem wird durch ein Paar (α, β) seiner Koordinaten angegeben; Die Zahlen α und β können auch als Koordinaten eines Radiusvektors verstanden werden, der in diesem Punkt endet. Ebenso definiert das Tripel (α, β, γ) im Raum einen Punkt oder Vektor mit den Koordinaten α, β, γ. Darauf basiert die dem Leser wohlbekannte geometrische Interpretation linearer Gleichungssysteme mit zwei oder drei Unbekannten. Also im Fall eines Systems aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten

a 1 x + b 1 y = c 1,

a 2 x + b 2 y = c 2

Jede der Gleichungen wird als Gerade in der Ebene interpretiert (siehe Abb. 26) und die Lösung (α, β) wird als Schnittpunkt dieser Geraden oder als Vektor mit den Koordinaten ap interpretiert (die Abbildung entspricht der Fall, wenn das System eine eindeutige Lösung hat).

Reis. 26

Dasselbe können Sie mit einem System linearer Gleichungen mit drei Unbekannten tun, indem Sie jede Gleichung als Gleichung einer Ebene im Raum interpretieren.

In der Mathematik und ihren verschiedenen Anwendungen (insbesondere in der Kodierungstheorie) muss man sich mit linearen Gleichungssystemen befassen, die mehr als drei Unbekannte enthalten. Ein lineares Gleichungssystem mit n Unbekannten x 1, x 2, ..., x n ist ein Satz von Gleichungen der Form

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m,

wobei a ij und b i beliebige reelle Zahlen sind. Die Anzahl der Gleichungen im System kann beliebig sein und steht in keinem Zusammenhang mit der Anzahl der Unbekannten. Koeffizienten für Unbekannte a ij haben eine doppelte Nummerierung: Der erste Index i gibt die Nummer der Gleichung an, der zweite Index j - die Nummer der Unbekannten, bei der dieser Koeffizient steht.

Unter jeder Lösung des Systems versteht man eine Menge (realer) Werte der Unbekannten (α 1 , α 2 , ..., α N ), wodurch jede Gleichung in eine echte Gleichheit umgewandelt wird.

Obwohl eine direkte geometrische Interpretation des Systems (1) für n > 3 nicht mehr möglich ist, ist es durchaus möglich und in vielerlei Hinsicht praktisch, die geometrische Sprache eines zwei- oder dreidimensionalen Raums auf den Fall beliebiger n zu erweitern. Hierzu dienen weitere Definitionen.

Jede geordnete Menge von n reellen Zahlen (α 1 , α 2 , ..., α N ) heißt ein n-dimensionaler arithmetischer Vektor und die Zahlen selbst α 1 , α 2 , ..., α N - Koordinaten dieses Vektors.

Zur Bezeichnung von Vektoren wird in der Regel Fettschrift verwendet und für Vektor a mit den Koordinaten α 1, α 2, ..., α n wird die übliche Schreibweise beibehalten:

a = (α 1, α 2, ..., α n).

In Analogie zu einer gewöhnlichen Ebene wird die Menge aller n-dimensionalen Vektoren, die eine lineare Gleichung mit n Unbekannten erfüllen, im n-dimensionalen Raum als Hyperebene bezeichnet. Nach dieser Definition ist die Menge aller Lösungen des Systems (1) nichts anderes als der Schnittpunkt mehrerer Hyperebenen.

Für die Addition und Multiplikation n-dimensionaler Vektoren gelten dieselben Regeln wie für gewöhnliche Vektoren. Nämlich, wenn

a = (α 1, α 2, ..., α n), b = (β 1, β 2, ..., β n) (2)

Zwei n-dimensionale Vektoren, dann heißt ihre Summe Vektor

α + β = (α 1 + β 1, α 2 + β 2, ..., α n + β n). (3)

Das Produkt aus Vektor a und Zahl λ ist der Vektor

λa = (λα 1, λα 2, ..., λα n). (4)

Die Menge aller n-dimensionalen arithmetischen Vektoren mit den Operationen der Addition von Vektoren und der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl wird als arithmetischer n-dimensionaler Vektorraum L n bezeichnet.

Mit den eingeführten Operationen kann man beliebige Linearkombinationen mehrerer Vektoren, also Ausdrücke der Form, betrachten

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k,

wobei λ i reelle Zahlen sind. Beispielsweise ist eine Linearkombination von Vektoren (2) mit den Koeffizienten λ und μ ein Vektor

λa + μb = (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n).

Im dreidimensionalen Vektorraum spielt das Vektortripel i, j, k (Koordinateneinheitsvektoren) eine besondere Rolle, in das jeder Vektor a zerlegt wird:

a = xi + yj + zk,

wobei x, y, z reelle Zahlen sind (Koordinaten des Vektors a).

Im n-dimensionalen Fall spielt das folgende Vektorsystem die gleiche Rolle:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n = (0, 0, 0, ..., 1).

Jeder Vektor a ist offensichtlich eine lineare Kombination der Vektoren e 1, e 2, ..., e n:

a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + ... + a n e n, (6)

und die Koeffizienten α 1, α 2, ..., α n stimmen mit den Koordinaten des Vektors a überein.

Indem wir mit 0 einen Vektor bezeichnen, dessen alle Koordinaten gleich Null sind (kurz: den Nullvektor), führen wir die folgende wichtige Definition ein:

Ein System von Vektoren a 1, a 2, ... und k heißt linear abhängig, wenn es eine Linearkombination gibt, die dem Nullvektor entspricht

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

bei dem mindestens einer der Koeffizienten h 1, λ 2, ..., λ k von Null verschieden ist. Andernfalls heißt das System linear unabhängig.

Also Vektoren

a 1 = (1, 0, 1, 1), a 2 = (1, 2, 1, 1) und 3 = (2, 2, 2, 2)

sind linear abhängig, weil

a 1 + a 2 - a 3 = 0.

Eine lineare Abhängigkeit ist, wie aus der Definition hervorgeht, äquivalent (für k ≥ 2) damit, dass mindestens einer der Vektoren des Systems eine Linearkombination der anderen ist.

Besteht das System aus zwei Vektoren a 1 und a 2, dann bedeutet die lineare Abhängigkeit des Systems, dass einer der Vektoren proportional zum anderen ist, sagen wir a 1 = λa 2; im dreidimensionalen Fall entspricht dies der Kollinearität der Vektoren a 1 und a 2. Ebenso bedeutet die lineare Abhängigkeit eines Systems I aus drei Vektoren im gewöhnlichen Raum, dass diese Vektoren koplanar sind. Das Konzept der linearen Abhängigkeit ist somit eine natürliche Verallgemeinerung der Konzepte der Kollinearität und Koplanarität.

Es lässt sich leicht überprüfen, dass die Vektoren e 1, e 2, ..., e n aus System (5) linear unabhängig sind. Folglich gibt es im n-dimensionalen Raum Systeme von n linear unabhängigen Vektoren. Es kann gezeigt werden, dass jedes System einer größeren Anzahl von Vektoren linear abhängig ist.

Jedes System a 1 , a 2 , ..., a n von n linear unabhängigen Vektoren eines n-dimensionalen Raums L n wird seine Basis genannt.

Jeder Vektor a des Raums L n wird auf einzigartige Weise in Vektoren einer beliebigen Basis a 1, a 2, ..., a n zerlegt:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n.

Diese Tatsache lässt sich anhand der Definition der Basis leicht feststellen.

In Fortsetzung der Analogie zum dreidimensionalen Raum ist es im n-dimensionalen Fall möglich, das Skalarprodukt a b von Vektoren zu bestimmen, Einstellung

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .

Mit dieser Definition bleiben alle grundlegenden Eigenschaften des Skalarprodukts dreidimensionaler Vektoren erhalten. Die Vektoren a und b heißen orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

Die Theorie der linearen Codes verwendet ein weiteres wichtiges Konzept – das Konzept des Unterraums. Eine Teilmenge V eines Raumes L n heißt Unterraum dieses Raumes, wenn

1) für alle Vektoren a, b, die zu V gehören, gehört ihre Summe a + b auch zu V;

2) Für jeden Vektor a, der zu V gehört, und für jede reelle Zahl λ gehört der Vektor λa auch zu V.

Beispielsweise ist die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren e 1, e 2 aus System (5) ein Unterraum des Raums L n.

In der linearen Algebra wird bewiesen, dass es in jedem Unterraum V ein solches linear unabhängiges System von Vektoren a 1, a 2, ..., a k gibt, dass jeder Vektor a des Unterraums eine Linearkombination dieser Vektoren ist:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k .

Das angegebene Vektorsystem wird Basis des Unterraums V genannt.

Aus der Definition von Raum und Unterraum folgt sofort, dass der Raum L n eine kommutative Gruppe in Bezug auf die Operation der Vektoraddition ist und jeder seiner Unterräume V eine Untergruppe dieser Gruppe ist. In diesem Sinne kann man beispielsweise Nebenmengen des Raumes L n bezüglich des Unterraums V betrachten.

Abschließend betonen wir, dass, wenn wir in der Theorie des n-dimensionalen arithmetischen Raums anstelle von reellen Zahlen (d. h. Elementen des Körpers der reellen Zahlen) die Elemente eines beliebigen Körpers F betrachten, alle Definitionen und Fakten gegeben sind Das oben Gesagte würde weiterhin gültig bleiben.

In der Kodierungstheorie spielt der Fall eine wichtige Rolle, wenn das Feld F ein Feld von Resten Z p ist, das, wie wir wissen, endlich ist. In diesem Fall ist auch der entsprechende n-dimensionale Raum endlich und enthält, wie leicht zu erkennen ist, p n Elemente.

Der Raumbegriff lässt ebenso wie die Begriffe Gruppe und Ring eine axiomatische Definition zu. Für Einzelheiten verweisen wir Feeder auf jeden linearen Algebra-Kurs.

Lineare Kombination. Linear abhängige und unabhängige Vektorsysteme.

lineare Kombination von Vektoren

Linearkombination von Vektoren wird als Vektor bezeichnet

Wo - Linearkombinationskoeffizienten. Wenn Eine Kombination heißt trivial, wenn sie nicht trivial ist.

Lineare Abhängigkeit und Vektorunabhängigkeit

System linear abhängig

System linear unabhängig

Kriterium für die lineare Abhängigkeit von Vektoren

Damit es Vektoren gibt (r > 1) linear abhängig wären, ist es notwendig und ausreichend, dass mindestens einer dieser Vektoren eine Linearkombination der anderen ist.

Dimension des linearen Raums

Linearer Raum V angerufen N-dimensional (hat die Dimension N), wenn es Folgendes enthält:

1) existiert N linear unabhängige Vektoren;

2) jedes System n+1 Vektoren sind linear abhängig.

Bezeichnungen: N= dunkel V;.

Das Vektorsystem heißt linear abhängig, falls vorhanden ungleich Null eine Menge von Zahlen, die eine lineare Kombination darstellen

Das Vektorsystem heißt linear unabhängig, wenn von der Gleichheit bis Null einer Linearkombination

gleich Null alle Koeffizienten

Die Frage nach der linearen Abhängigkeit von Vektoren im allgemeinen Fall läuft auf die Frage nach der Existenz einer von Null verschiedenen Lösung für ein homogenes System linearer Gleichungen mit Koeffizienten gleich den entsprechenden Koordinaten dieser Vektoren hinaus.

Um die Konzepte „lineare Abhängigkeit“ und „lineare Unabhängigkeit“ eines Vektorsystems gründlich zu verstehen, ist es nützlich, Probleme der folgenden Art zu lösen:

Linearität. I- und II-Kriterien für Linearität.

Vektorsystem ist genau dann linear abhängig, wenn einer der Vektoren des Systems eine Linearkombination der übrigen Vektoren dieses Systems ist.

Nachweisen. Das Vektorsystem sei linear abhängig. Dann gibt es einen solchen Satz von Koeffizienten , das und mindestens ein Koeffizient ist von Null verschieden. Tun wir mal so. Dann

das heißt, es ist eine lineare Kombination der verbleibenden Vektoren des Systems.

Einer der Vektoren des Systems sei eine Linearkombination der übrigen Vektoren. Nehmen wir an, dass dies ein Vektor ist . Es ist klar, dass . Wir haben festgestellt, dass die Linearkombination der Systemvektoren gleich Null ist und einer der Koeffizienten von Null verschieden ist (gleich).

Angebot10 . 7 Wenn ein Vektorsystem ein linear abhängiges Teilsystem enthält, dann ist das gesamte System linear abhängig.

Nachweisen.

Lassen Sie das Subsystem im Vektorsystem , , ist linear abhängig, das heißt, und mindestens ein Koeffizient ist von Null verschieden. Dann machen wir eine Linearkombination. Es ist offensichtlich, dass diese Linearkombination gleich Null ist und dass es unter den Koeffizienten einen von Null verschiedenen Koeffizienten gibt.

Die Basis des Vektorsystems ist die Hauptkraft.

Die Basis eines Vektorsystems ungleich Null ist das entsprechende linear unabhängige Teilsystem. Ein Nullsystem hat keine Basis.

Eigenschaft 1: Die Basis eines linearen unabhängigen Systems fällt mit sich selbst zusammen.

Beispiel: Ein System linear unabhängiger Vektoren, da keiner der Vektoren linear durch die anderen ausgedrückt werden kann.

Eigenschaft 2: (Basiskriterium) Ein linear unabhängiges Teilsystem eines gegebenen Systems ist genau dann seine Basis, wenn es maximal linear unabhängig ist.

Nachweisen: Angesichts des Systems Notwendigkeit Lassen Sie die Basis. Dann ist das System per Definition und wenn , wo , linear abhängig, da es durch linear entartet ist und daher maximal linear unabhängig ist. Angemessenheit Lassen Sie das Subsystem maximal linear unabhängig sein, dann wo . linear abhängig degeneriert linear durch daher die Basis des Systems.

Eigenschaft 3: (Haupteigenschaft der Basis) Jeder Vektor des Systems kann auf einzigartige Weise durch die Basis ausgedrückt werden.

Nachweisen Der Vektor sei auf zwei Arten durch die Basis entartet, dann: , dann

Rang des Vektorsystems.

Definition: Der Rang eines von Null verschiedenen Vektorsystems in einem linearen Raum ist die Anzahl der Vektoren seiner Basis. Der Rang eines Nullsystems ist per Definition Null. Rangeigenschaften: 1) Der Rang eines linear unabhängigen Systems stimmt mit der Anzahl seiner Vektoren überein. 2) Der Rang eines linear abhängigen Systems ist kleiner als die Anzahl seiner Vektoren. 3) Die Ränge äquivalenter Systeme stimmen überein -RangRang. 4) Der Rang des Subsystems ist kleiner oder gleich dem Rang des Systems. 5) Wenn beide rankrank sind, dann haben sie eine gemeinsame Basis. 6) Der Rang des Systems kann nicht geändert werden, wenn ihm ein Vektor hinzugefügt wird, der eine lineare Kombination der verbleibenden Vektoren des Systems ist. 7) Der Rang des Systems kann nicht geändert werden, wenn ein Vektor daraus entfernt wird, der eine lineare Kombination der verbleibenden Vektoren ist.

Um den Rang eines Vektorsystems zu ermitteln, müssen Sie die Gaußsche Methode verwenden, um das System auf eine dreieckige oder trapezförmige Form zu reduzieren.

Äquivalente Vektorsysteme.

Beispiel:

Lassen Sie uns die Vektordaten in eine Matrix umwandeln, um die Basis zu finden. Wir bekommen:

Nun transformieren wir die Matrix mithilfe der Gaußschen Methode in eine Trapezform:

1) In unserer Hauptmatrix streichen wir die gesamte erste Spalte außer der ersten Zeile, von der zweiten subtrahieren wir die erste multipliziert mit , von der dritten subtrahieren wir die erste multipliziert mit und von der vierten subtrahieren wir nichts da das erste Element der vierten Zeile, also der Schnittpunkt der ersten Spalte und der vierten Zeile, gleich Null ist. Wir erhalten die Matrix: 2) Lassen Sie uns nun in der Matrix die Zeilen 2, 3 und 4 vertauschen, um die Lösung zu erleichtern, sodass eine an der Stelle des Elements steht. Ändern wir die vierte Zeile statt der zweiten, die zweite statt der dritten und die dritte statt der vierten. Wir erhalten die Matrix: 3) In der Matrix streichen wir alle Elemente unter dem Element. Da das Element unserer Matrix wieder gleich Null ist, subtrahieren wir nichts von der vierten Zeile, sondern addieren zur dritten Zeile das zweite multipliziert mit . Wir erhalten die Matrix: 4) Lassen Sie uns die Zeilen 3 und 4 in der Matrix erneut vertauschen. Wir erhalten die Matrix: 5) Fügen Sie in der Matrix eine dritte Zeile zur vierten Zeile hinzu, multipliziert mit 5. Wir erhalten eine Matrix, die eine dreieckige Form hat:

Systeme, deren Ränge aufgrund der Rangeigenschaften übereinstimmen und ihr Rang gleich dem Rangrang ist

Anmerkungen: 1) Im Gegensatz zur herkömmlichen Gaußschen Methode haben wir aufgrund der Eigenschaften der Matrix nicht das Recht, die Matrixzeile zu reduzieren, wenn alle Elemente in einer Matrixzeile durch eine bestimmte Zahl geteilt werden. Wenn wir eine Zeile um eine bestimmte Zahl verkleinern wollen, müssen wir die gesamte Matrix um diese Zahl verkleinern. 2) Wenn wir eine linear abhängige Zeile erhalten, können wir diese aus unserer Matrix entfernen und durch eine Nullzeile ersetzen. Beispiel: Sie können sofort erkennen, dass die zweite Zeile durch die erste ausgedrückt wird, wenn Sie die erste mit 2 multiplizieren. In diesem Fall können wir die gesamte zweite Zeile durch Null ersetzen. Wir bekommen: Nachdem die Matrix entweder in eine dreieckige oder trapezförmige Form gebracht wurde, in der sie keine linear abhängigen Vektoren hat, sind alle Nicht-Null-Vektoren der Matrix die Basis der Matrix und ihre Anzahl ist der Rang.

Hier ist auch ein Beispiel für ein Vektorsystem in Form eines Diagramms: Gegeben sei ein System, in dem , , und . Die Basis dieses Systems werden offensichtlich die Vektoren und sein, da Vektoren durch sie ausgedrückt werden. Dieses System sieht in grafischer Form wie folgt aus:

Elementare Neuschöpfung. Stufensysteme.

Elementare Matrixtransformationen- Dies sind Matrixtransformationen, die zur Erhaltung der Matrixäquivalenz führen. Somit verändern elementare Transformationen nicht die Lösungsmenge des Systems linearer algebraischer Gleichungen, das diese Matrix darstellt.

Elementare Transformationen werden bei der Gaußschen Methode verwendet, um eine Matrix auf eine Dreiecks- oder Stufenform zu reduzieren.

Elementare String-Konvertierungen werden genannt:

In einigen Kursen zur linearen Algebra wird die Permutation von Matrixzeilen nicht als separate Elementartransformation unterschieden, da die Permutation zweier beliebiger Matrixzeilen durch Multiplikation einer beliebigen Matrixzeile mit einer Konstanten und Hinzufügen einer weiteren Zeile zu einer beliebigen multiplizierten Matrixzeile erhalten werden kann durch eine Konstante , .

Ähnlich definiert elementare Spaltentransformationen.

Elementare Transformationen reversibel.

Die Notation gibt an, dass die Matrix durch elementare Transformationen erhalten werden kann (oder umgekehrt).

Eine Matrix ist ein spezielles Objekt in der Mathematik. Es wird in Form einer rechteckigen oder quadratischen Tabelle dargestellt, die aus einer bestimmten Anzahl von Zeilen und Spalten besteht. In der Mathematik gibt es die unterschiedlichsten Arten von Matrizen, die sich in Größe und Inhalt unterscheiden. Die Nummern seiner Zeilen und Spalten werden Ordnungen genannt. Diese Objekte werden in der Mathematik verwendet, um die Aufzeichnung linearer Gleichungssysteme zu organisieren und bequem nach deren Ergebnissen zu suchen. Gleichungen, die eine Matrix verwenden, werden mit der Methode von Carl Gauss, Gabriel Cramer, Minor- und algebraischen Additionen sowie vielen anderen Methoden gelöst. Die grundlegende Fähigkeit bei der Arbeit mit Matrizen ist die Reduktion auf. Lassen Sie uns jedoch zunächst herausfinden, welche Arten von Matrizen von Mathematikern unterschieden werden.

Nulltyp

Alle Komponenten dieser Art von Matrix sind Nullen. Mittlerweile ist die Anzahl seiner Zeilen und Spalten völlig unterschiedlich.

Quadratischer Typ

Die Anzahl der Spalten und Zeilen dieses Matrixtyps ist gleich. Mit anderen Worten, es handelt sich um einen „quadratischen“ Tisch. Die Anzahl seiner Spalten (oder Zeilen) wird als Reihenfolge bezeichnet. Als Sonderfälle gelten das Vorhandensein einer Matrix zweiter Ordnung (2x2-Matrix), vierter Ordnung (4x4), zehnter Ordnung (10x10), siebzehnter Ordnung (17x17) usw.

Spaltenvektor

Dies ist eine der einfachsten Arten von Matrizen, die nur eine Spalte enthält, die drei numerische Werte enthält. Es stellt eine Reihe freier Terme (von Variablen unabhängige Zahlen) in linearen Gleichungssystemen dar.

Ansicht ähnlich wie die vorherige. Besteht aus drei numerischen Elementen, die wiederum in einer Zeile angeordnet sind.

Diagonaler Typ

Numerische Werte in der Diagonalform der Matrix nehmen nur die Komponenten der Hauptdiagonale (grün hervorgehoben) an. Die Hauptdiagonale beginnt jeweils mit dem Element in der oberen linken Ecke und endet mit dem Element in der unteren rechten Ecke. Die restlichen Komponenten sind gleich Null. Der Diagonaltyp ist nur eine quadratische Matrix einiger Ordnung. Unter den Diagonalmatrizen kann man die skalare Matrize unterscheiden. Alle seine Komponenten nehmen die gleichen Werte an.

Ein Untertyp der Diagonalmatrix. Alle seine numerischen Werte sind Einheiten. Unter Verwendung einer einzelnen Art von Matrixtabelle führt man die grundlegenden Transformationen durch oder findet eine Matrix, die zur ursprünglichen invers ist.

Kanonischer Typ

Die kanonische Form der Matrix gilt als eine der wichtigsten; Eine Reduzierung darauf ist für die Arbeit oft notwendig. Die Anzahl der Zeilen und Spalten in einer kanonischen Matrix variiert und gehört nicht unbedingt zum quadratischen Typ. Sie ähnelt in gewisser Weise der Identitätsmatrix, allerdings nehmen in diesem Fall nicht alle Komponenten der Hauptdiagonale den Wert eins an. Es kann zwei oder vier Hauptdiagonaleinheiten geben (alles hängt von der Länge und Breite der Matrix ab). Oder es gibt überhaupt keine Einheiten (dann wird es als Null betrachtet). Die übrigen Komponenten des kanonischen Typs sowie die Diagonal- und Einheitselemente sind gleich Null.

Dreieckiger Typ

Einer der wichtigsten Matrixtypen, der bei der Suche nach seiner Determinante und bei der Durchführung einfacher Operationen verwendet wird. Der dreieckige Typ kommt vom diagonalen Typ, daher ist die Matrix auch quadratisch. Der dreieckige Matrixtyp ist in obere dreieckige und untere dreieckige unterteilt.

In einer oberen Dreiecksmatrix (Abb. 1) nehmen nur Elemente, die über der Hauptdiagonale liegen, einen Wert gleich Null an. Die Komponenten der Diagonale selbst und der darunter liegende Teil der Matrix enthalten Zahlenwerte.

In der unteren Dreiecksmatrix (Abb. 2) hingegen sind die im unteren Teil der Matrix befindlichen Elemente gleich Null.

Der Typ ist notwendig, um den Rang einer Matrix zu ermitteln, sowie für elementare Operationen auf ihnen (zusammen mit dem Dreieckstyp). Die Stufenmatrix wird so genannt, weil sie charakteristische „Schritte“ aus Nullen enthält (wie in der Abbildung dargestellt). Beim Schritttyp wird eine Diagonale aus Nullen gebildet (nicht unbedingt die Hauptdiagonale), und alle Elemente unter dieser Diagonale haben ebenfalls Werte gleich Null. Voraussetzung ist Folgendes: Wenn es in der Schrittmatrix eine Nullzeile gibt, dann enthalten auch die restlichen Zeilen darunter keine Zahlenwerte.

Daher haben wir die wichtigsten Matrizentypen untersucht, die für die Arbeit mit ihnen erforderlich sind. Schauen wir uns nun das Problem an, die Matrix in die erforderliche Form umzuwandeln.

Reduziert auf Dreiecksform

Wie bringt man eine Matrix in eine Dreiecksform? Am häufigsten müssen Sie bei Aufgaben eine Matrix in eine Dreiecksform umwandeln, um ihre Determinante, auch Determinante genannt, zu finden. Bei der Durchführung dieses Verfahrens ist es äußerst wichtig, die Hauptdiagonale der Matrix zu „erhalten“, da die Determinante einer Dreiecksmatrix gleich dem Produkt der Komponenten ihrer Hauptdiagonale ist. Lassen Sie mich auch an alternative Methoden zur Bestimmung der Determinante erinnern. Die Determinante des Quadrattyps wird mit speziellen Formeln ermittelt. Sie können beispielsweise die Dreiecksmethode verwenden. Für andere Matrizen wird die Methode der Zerlegung nach Zeile, Spalte oder deren Elementen verwendet. Sie können auch die Methode der Minor- und algebraischen Matrixadditionen verwenden.

Lassen Sie uns den Prozess der Reduzierung einer Matrix auf eine Dreiecksform anhand von Beispielen einiger Aufgaben im Detail analysieren.

Übung 1

Es ist notwendig, die Determinante der dargestellten Matrix zu finden, indem man sie auf die Dreiecksform reduziert.

Die uns gegebene Matrix ist eine quadratische Matrix dritter Ordnung. Um es in eine Dreiecksform umzuwandeln, müssen wir daher zwei Komponenten der ersten Spalte und eine Komponente der zweiten auf Null setzen.

Um es in die Dreiecksform zu bringen, beginnen wir die Transformation in der unteren linken Ecke der Matrix – bei der Zahl 6. Um sie auf Null umzuwandeln, multiplizieren Sie die erste Zeile mit drei und subtrahieren Sie sie von der letzten Zeile.

Wichtig! Die oberste Zeile ändert sich nicht, bleibt jedoch dieselbe wie in der Originalmatrix. Es ist nicht erforderlich, eine Zeichenfolge zu schreiben, die viermal so groß ist wie die ursprüngliche. Aber die Werte der Strings, deren Komponenten auf Null gesetzt werden müssen, ändern sich ständig.

Es bleibt nur der letzte Wert übrig – das Element der dritten Zeile der zweiten Spalte. Dies ist die Zahl (-1). Um es auf Null zu bringen, subtrahieren Sie die zweite von der ersten Zeile.

Lass uns das Prüfen:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Das bedeutet, dass die Antwort auf die Aufgabe -22 ist.

Aufgabe 2

Es ist notwendig, die Determinante der Matrix zu finden, indem man sie auf die Dreiecksform reduziert.

Die vorgestellte Matrix gehört zum quadratischen Typ und ist eine Matrix vierter Ordnung. Dies bedeutet, dass drei Komponenten der ersten Spalte, zwei Komponenten der zweiten Spalte und eine Komponente der dritten auf Null gesetzt werden müssen.

Beginnen wir mit der Reduzierung mit dem Element in der unteren linken Ecke – mit der Zahl 4. Wir müssen diese Zahl auf Null setzen. Der einfachste Weg, dies zu tun, besteht darin, die oberste Zeile mit vier zu multiplizieren und sie dann von der vierten zu subtrahieren. Schreiben wir das Ergebnis der ersten Transformationsstufe auf.

Daher wird die vierte Zeilenkomponente auf Null gesetzt. Kommen wir zum ersten Element der dritten Zeile, zur Zahl 3. Wir führen eine ähnliche Operation durch. Wir multiplizieren die erste Zeile mit drei, subtrahieren sie von der dritten Zeile und schreiben das Ergebnis auf.

Es ist uns gelungen, alle Komponenten der ersten Spalte dieser quadratischen Matrix auf Null zu setzen, mit Ausnahme der Zahl 1 – einem Element der Hauptdiagonale, das keiner Transformation bedarf. Jetzt ist es wichtig, die resultierenden Nullen beizubehalten, daher werden wir die Transformationen mit Zeilen und nicht mit Spalten durchführen. Kommen wir zur zweiten Spalte der vorgestellten Matrix.

Beginnen wir noch einmal ganz unten – mit dem Element der zweiten Spalte der letzten Zeile. Diese Zahl ist (-7). In diesem Fall ist es jedoch bequemer, mit der Zahl (-1) zu beginnen – dem Element der zweiten Spalte der dritten Zeile. Um es auf Null zu bringen, subtrahieren Sie die zweite von der dritten Zeile. Dann multiplizieren wir die zweite Zeile mit sieben und subtrahieren sie von der vierten. Anstelle des Elements in der vierten Zeile der zweiten Spalte haben wir Null erhalten. Kommen wir nun zur dritten Spalte.

In dieser Spalte müssen wir nur eine Zahl in Null umwandeln – 4. Das ist nicht schwer: Wir fügen einfach ein Drittel zur letzten Zeile hinzu und sehen die Null, die wir brauchen.

Nach allen durchgeführten Transformationen haben wir die vorgeschlagene Matrix in eine Dreiecksform gebracht. Um nun die Determinante zu ermitteln, müssen Sie nur noch die resultierenden Elemente der Hauptdiagonale multiplizieren. Wir bekommen: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Daher ist die Lösung 160.

Nun wird Sie die Frage, die Matrix auf die Dreiecksform zu reduzieren, nicht mehr beschäftigen.

Reduziert auf eine Stufenform

Für elementare Operationen an Matrizen ist die Stufenform weniger „gefragt“ als die Dreiecksform. Es wird am häufigsten verwendet, um den Rang einer Matrix zu ermitteln (d. h. die Anzahl ihrer Zeilen ungleich Null) oder um linear abhängige und unabhängige Zeilen zu bestimmen. Der abgestufte Matrixtyp ist jedoch universeller, da er nicht nur für den quadratischen Typ, sondern auch für alle anderen geeignet ist.

Um eine Matrix auf eine schrittweise Form zu reduzieren, müssen Sie zunächst ihre Determinante ermitteln. Hierfür eignen sich die oben genannten Methoden. Der Zweck der Bestimmung der Determinante besteht darin, herauszufinden, ob sie in eine Stufenmatrix umgewandelt werden kann. Wenn die Determinante größer oder kleiner als Null ist, können Sie sicher mit der Aufgabe fortfahren. Wenn sie gleich Null ist, ist es nicht möglich, die Matrix auf eine schrittweise Form zu reduzieren. In diesem Fall müssen Sie prüfen, ob bei der Aufzeichnung oder bei den Matrixtransformationen Fehler vorliegen. Liegen solche Ungenauigkeiten nicht vor, kann die Aufgabe nicht gelöst werden.

Schauen wir uns anhand von Beispielen mehrerer Aufgaben an, wie man eine Matrix auf eine schrittweise Form reduziert.

Übung 1. Ermitteln Sie den Rang der angegebenen Matrixtabelle.

Vor uns liegt eine quadratische Matrix dritter Ordnung (3x3). Wir wissen, dass es zum Ermitteln des Rangs notwendig ist, ihn auf eine schrittweise Form zu reduzieren. Daher müssen wir zunächst die Determinante der Matrix finden. Verwenden wir die Dreiecksmethode: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) – (1 x 1 x 4) – (2 x 3 x 0) – (6 x 5 x 2) = 12.

Determinante = 12. Sie ist größer als Null, was bedeutet, dass die Matrix auf eine schrittweise Form reduziert werden kann. Beginnen wir mit der Transformation.

Beginnen wir mit dem Element der linken Spalte der dritten Zeile – der Zahl 2. Multiplizieren Sie die oberste Zeile mit zwei und subtrahieren Sie sie von der dritten. Dank dieser Operation wurden sowohl das von uns benötigte Element als auch die Zahl 4 – das Element der zweiten Spalte der dritten Zeile – auf Null gesetzt.

Wir sehen, dass durch die Reduktion eine dreieckige Matrix entstanden ist. In unserem Fall können wir die Transformation nicht fortsetzen, da die verbleibenden Komponenten nicht auf Null reduziert werden können.

Dies bedeutet, dass wir zu dem Schluss kommen, dass die Anzahl der Zeilen mit numerischen Werten in dieser Matrix (oder ihr Rang) 3 beträgt. Die Antwort auf die Aufgabe: 3.

Aufgabe 2. Bestimmen Sie die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen dieser Matrix.

Wir müssen Zeichenfolgen finden, die durch keine Transformation in Null umgewandelt werden können. Tatsächlich müssen wir die Anzahl der Zeilen ungleich Null oder den Rang der dargestellten Matrix ermitteln. Um dies zu erreichen, vereinfachen wir es.

Wir sehen eine Matrix, die nicht zum quadratischen Typ gehört. Es misst 3x4. Beginnen wir die Reduktion auch mit dem Element der unteren linken Ecke – der Zahl (-1).

Seine weiteren Transformationen sind unmöglich. Dies bedeutet, dass wir zu dem Schluss kommen, dass die Anzahl der darin enthaltenen linear unabhängigen Zeilen und die Antwort auf die Aufgabe 3 sind.

Nun ist es für Sie keine unmögliche Aufgabe, die Matrix auf eine Stufenform zu reduzieren.

Anhand von Beispielen dieser Aufgaben untersuchten wir die Reduktion einer Matrix auf eine Dreiecksform und eine Stufenform. Um die gewünschten Werte von Matrixtabellen auf Null zu bringen, müssen Sie in manchen Fällen Ihrer Fantasie freien Lauf lassen und deren Spalten oder Zeilen korrekt konvertieren. Viel Glück in der Mathematik und beim Arbeiten mit Matrizen!

Matrix, Arten von Matrizen, Operationen auf Matrizen.

Arten von Matrizen:

1. Rechteckig: M Und N- beliebige positive ganze Zahlen

2. Quadrat: m=n

3. Matrixzeile: m=1. Zum Beispiel (1 3 5 7) – in vielen praktischen Problemen wird eine solche Matrix als Vektor bezeichnet

4. Matrixspalte: n=1. Zum Beispiel

5. Diagonale Matrix: m=n Und a ij =0, Wenn i≠j. Zum Beispiel

6. Identitätsmatrix: m=n Und

7. Nullmatrix: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Dreiecksmatrix: Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale sind 0.

9. Symmetrische Matrix:m=n Und a ij =a ji(d. h. gleiche Elemente befinden sich an Stellen, die relativ zur Hauptdiagonale symmetrisch sind) und daher A"=A

Zum Beispiel,

10. Skew-symmetrische Matrix: m=n Und a ij =-a ji(d. h. gegenüberliegende Elemente befinden sich an Stellen, die symmetrisch zur Hauptdiagonale sind). Folglich gibt es Nullen auf der Hauptdiagonalen (seit wann i=j wir haben a ii =-a ii)

Aktionen auf Matrizen:

1. Zusatz

2. Subtraktion Matrizen - elementweise Operation

3. Arbeiten Matrizen nach Zahlen - elementweise Operation

4. Multiplikation A*B Matrizen nach der Regel Zeile zu Spalte(Die Anzahl der Spalten der Matrix A muss gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix B sein)

A mk *B kn =C mn und jedes Element mit ij Matrizen Cmn ist gleich der Summe der Produkte der Elemente der i-ten Zeile der Matrix A mit den entsprechenden Elementen der j-ten Spalte der Matrix B, d.h.

Lassen Sie uns die Funktionsweise der Matrixmultiplikation anhand eines Beispiels demonstrieren

5. Transponierte Matrix A. Die transponierte Matrix wird mit A T oder A bezeichnet.

,Zum Beispiel

Zeilen und Spalten vertauscht

Eigenschaften von Operationen auf Matrizen:

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

2. Determinanten zweiter und dritter Ordnung (Grundbegriffe, Eigenschaften, Berechnungen)

Eigentum 1. Die Determinante ändert sich während der Transposition nicht, d. h.

Nachweisen.

Kommentar. Die folgenden Eigenschaften von Determinanten werden nur für Strings formuliert. Darüber hinaus folgt aus Eigenschaft 1, dass die Spalten die gleichen Eigenschaften haben.

Eigentum 2. Wenn man die Elemente einer Reihe einer Determinante mit einer bestimmten Zahl multipliziert, wird die gesamte Determinante mit dieser Zahl multipliziert, d.h.

.

Nachweisen.

Eigentum 3. Eine Determinante mit einer Nullzeichenfolge ist gleich 0.

Der Beweis dieser Eigenschaft folgt aus Eigenschaft 2 für k = 0.

Eigentum 4. Die Determinante zweier gleicher Zeichenfolgen ist 0.

Nachweisen.

Eigentum 5. Eine Determinante, deren zwei Zeilen proportional sind, ist gleich 0.

Der Beweis folgt aus den Eigenschaften 2 und 4.

Eigentum 6. Beim Umordnen zweier Zeilen einer Determinante wird diese mit –1 multipliziert.

Nachweisen.

Eigentum 7.

Sie können diese Eigenschaft selbst beweisen, indem Sie die Werte der linken und rechten Seite der mit Definition 1.5 ermittelten Gleichheit vergleichen.

Eigentum 8. Der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn die entsprechenden Elemente einer anderen Zeile zu den Elementen einer Zeile addiert und mit derselben Zahl multipliziert werden.

Unerheblich. Algebraische Addition. Satz von Laplace.

Methode der Reduktion auf Dreiecksform besteht in einer solchen Transformation einer gegebenen Determinante, wenn alle ihre Elemente, die auf einer Seite einer ihrer Diagonalen liegen, gleich Null werden.

Beispiel 8. Determinante berechnen

Reduktion auf Dreiecksform.

Lösung. Subtrahieren wir die erste Zeile der Determinante von den übrigen Zeilen. Dann bekommen wir

.

Diese Determinante ist gleich dem Produkt der Elemente der Hauptdiagonale. So haben wir

Kommentar. Alles, was oben besprochen wurde, kann für Determinanten n-ter Ordnung verallgemeinert werden.

Reduzieren der Matrix auf schrittweise Form. Elementare Transformationen von Zeilen und Spalten.

Elementare Matrixtransformationen Folgende Transformationen heißen:

ICH. Permutation zweier Spalten (Zeilen) einer Matrix.

II. Multiplizieren aller Elemente einer Spalte (Zeile) einer Matrix mit derselben Zahl ungleich Null.

III. Addition der entsprechenden Elemente einer anderen Spalte (Zeile) zu den Elementen einer Spalte (Zeile), multipliziert mit derselben Zahl.

Eine Matrix, die aus der ursprünglichen Matrix durch eine endliche Anzahl elementarer Transformationen gewonnen wird, heißt Äquivalent . Dies wird durch angezeigt.

Elementare Transformationen dienen der Vereinfachung von Matrizen, die in Zukunft zur Lösung verschiedener Probleme eingesetzt werden.

Um die Matrix in eine Stufenform zu bringen (Abb. 1.4), müssen Sie die folgenden Schritte ausführen.

1. Wählen Sie in der ersten Spalte ein anderes Element als Null aus ( führendes Element ). Eine Zeichenfolge mit einem führenden Element ( führende Linie ), wenn es nicht die erste ist, ordnen Sie sie anstelle der ersten Zeile neu an (Typ-I-Transformation). Wenn in der ersten Spalte kein führendes Element vorhanden ist (alle Elemente sind Null), schließen wir diese Spalte aus und suchen im Rest der Matrix weiter nach dem führenden Element. Die Transformation endet, wenn alle Spalten entfernt werden oder der Rest der Matrix nur Nullelemente enthält.

2. Teilen Sie alle Elemente der führenden Zeile durch das führende Element (Typ-II-Transformation). Wenn die führende Zeile die letzte ist, sollte die Transformation dort enden.

3. Fügen Sie zu jeder Zeile unterhalb der führenden Zeile die führende Zeile hinzu und multiplizieren Sie sie entsprechend mit einer solchen Zahl, dass die Elemente unter der führenden Zeile gleich Null sind (Transformation Typ III).

4. Nachdem Sie die Zeile und Spalte, an deren Schnittpunkt sich ein führendes Element befindet, von der Betrachtung ausgeschlossen haben, fahren Sie mit Schritt 1 fort, in dem alle beschriebenen Aktionen auf den Rest der Matrix angewendet werden.

Beispiel 1.29. Auf eine Stufenmatrixform reduzieren