Übersetzung von Zahlen aus Dezimalwert. Übersetzung von Zahlen von einem Nummernsystem auf andere Online

Anmerkung 1.

Wenn Sie eine Nummer von einem Nummernsystem in einen anderen übersetzen möchten, ist es bequemer, dass er begonnen hat, es in ein Dezimalzahlsystem zu starten, und nur dann von Dezimal, um in ein anderes Nummernsystem zu übersetzen.

Regeln für Übersetzungsnummern aus einem beliebigen Zahlensystem in der Dezimalanlage

IM computertechnologieDie Verwendung von Maschinenarithmetikum spielt die Umwandlung von Zahlen von einem Nummernsystem in einen anderen eine wichtige Rolle. Nachfolgend geben wir die grundlegenden Regeln für solche Transformationen (Übersetzungen).

Bei der Übertragung einer Binärzahl in Dezimalzahl ist es erforderlich, dies zu präsentieren binärzahl In Form eines Polynomials wird jedes Element, dessen Element als Zahlenstück und den entsprechenden Grad der Anzahl der Basen dargestellt wird, in dieser Fall $ 2 $, und dann müssen Sie das Polynom gemäß den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:

$ X_2 \u003d A_N \\ CDOT 2 ^ (N-1) + A_ (N - 1) \\ CDOT 2 ^ (N-2) + A_ (N-2) \\ CDOT 2 ^ (N-3) + ... + A_2 \\ CDOT 2 ^ 1 + A_1 \\ CDOT 2 ^ 0 $

Abbildung 1. Tabelle 1

Beispiel 1.

Die Zahl von 11110101_2 $, um in ein Dezimalzahlsystem zu übersetzen.

Entscheidung. Mit einer Tabelle mit 1 $ $ Grad von 2 $ $ 1 $ präsentieren eine Zahl in Form eines Polynoms:

$ 11110101_2 \u003d 1 \\ CDOT 27 + 1 \\ CDOT 26 + 1 \\ CDOT 25 + 1 \\ CDOT 24 + 0 \\ CDOT 23 + 1 \\ CDOT 22 + 0 \\ CDOT 21 + 1 \\ CDOT 20 \u003d 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 \u003d 245_ (10) $ $

Um die Zahl von einem Oktalnummerierungssystem auf Dezimalübertragung zu übertragen, ist es erforderlich, sie in Form eines Polynoms darzustellen, von dem jedes Element als Produkt der Anzahl der Zahlen dargestellt ist und der Anzahl der Basisnummern in diesem entspricht Case $ 8 $, und dann müssen Sie das Polynom gemäß den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:

$ X_8 \u003d A_N \\ CDOT 8 ^ (N - 1) + A_ (N - 1) \\ CDOT 8 ^ (N-2) + A_ (N-2) \\ CDOT 8 ^ (N-3) + ... + A_2 \\ CDOT 8 ^ 1 + A_1 \\ CDOT 8 ^ 0 $

Abbildung 2. Tabelle 2

Beispiel 2.

Nummer $ 75013_8 $ Übersetzen Sie in ein Dezimalzahlsystem.

Entscheidung. Mit den aktuellen $ $ $ $ Grad von 8 $, repräsentieren Sie eine Zahl in Form eines Polynoms:

$ 75013_8 \u003d 7 \\ CDOT 8 ^ 4 + 5 \\ CDOT 8 ^ 3 + 0 \\ CDOT 8 ^ 2 + 1 \\ CDOT 8 ^ 1 + 3 \\ CDOT 8 ^ 0 \u003d 31243_ (10) $

Um die Zahl von einem Hexadezimalzahlsystem auf Dezimalübertragung zu übertragen, ist es notwendig, ihn als Polynom darzustellen, von denen jedes Element als Produkt der Anzahl der Zahlen und dem entsprechenden Grad der Anzahl der Basen dargestellt wird, in diesem Fall in diesem Fall $ 16 $, und dann müssen Sie das Polynom entsprechend den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:

$ X_ (16) \u003d a_n \\ cdot 16 ^ (n - 1) + a_ (n - 1) \\ cdot 16 ^ (n - 2) + a_ (n-2) \\ cdot 16 ^ (n-3) +. .. + A_2 \\ CDOT 16 ^ 1 + A_1 \\ CDOT 16 ^ 0 $

Abbildung 3. Tabelle 3

Beispiel 3.

Die Zahl $ FFA2_ (16) $, um in ein Dezimalzahlsystem zu übersetzen.

Entscheidung. Die Verwendung des Tisches in Höhe von 3 $ $ $ $ $ 8 $ repräsentieren eine Zahl in Form eines Polynoms:

$ FFA2_ (16) \u003d 15 \\ CDOT 16 ^ 3 + 15 \\ CDOT 16 ^ 2 + 10 \\ CDOT 16 ^ 1 + 2 \\ CDOT 16 ^ 0 \u003d 61440 + 3840 + 160 + 2 \u003d 65442_ (10) $

Regeln für die Übersetzung von Nummern von einem Dezimalzahlsystem zum anderen

• Um die Nummer von zu übertragen dezimalsystem Es muss in Binär gelesen werden, muss sequentiell um 2 $ geteilt werden, bis der Rückstand bleibt, weniger oder gleich 1 $ $. Die Zahl im Binärsystem, um sich vorzustellen, um sich als Sequenz des letzten Ergebnisses der Division und dessen Rückstände vorzustellen, um in umgekehrter Reihenfolge zu teilen.

Beispiel 4.

Nummer 22 $ (10) $ $ Übersetzen Sie in ein binäres Nummernsystem.

Entscheidung:

Figur 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Um die Nummer von einem Dezimalzahlsystem an einen Oktal zu übertragen, ist es notwendig, 8 $, bis der Rückstand, weniger oder gleich $ 7 $, sequentiell teilen muss. Die Zahl im Oktalnummernsystem, um als Folge von Zahlen des letzten Ergebnisses der Abteilung und Rückstände darzustellen, um in umgekehrter Reihenfolge zu teilen.

Beispiel 5

Die Zahl 571_ (10) $, um in ein Oktalnummernsystem zu übersetzen.

Entscheidung:

Abbildung 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Um eine Zahl von einem Dezimalzahlsystem an ein Hexadezimalsystem zu übertragen, muss er sequentiell um 16 $ aufgeteilt werden, bis der Rückstand, weniger oder gleich 15 $ ist. Die Zahl im Hexadezimalsystem besteht darin, als Folge der Zahlen des letzten Ergebnisses der Division und Rückstände vorzulegen, die in umgekehrter Reihenfolge teilen.

Beispiel 6.

Die Zahl von $ 7467_ (10) $, um in ein Hexadezimalsystem zu übersetzen.

Entscheidung:

Abbildung 6.

$ 7467_ (10) \u003d 1D2B_ (16) $ $

Um den korrekten Fraktion aus dem Dezimalzahlsystem in der nicht definitiven Übersetzung zu übersetzen, ist der fraktionierte Teil der transformierten Anzahl erforderlich, um sich mit der Basis des Systems zu multiplizieren, in dem er übersetzt werden muss. Fraktion B. neues System wird in Form von ganzzahligen Teilen von Werken vorgelegt, ab dem ersten.

Beispiel: $ 0,3125 _ ((10)) $ im Oktalnummer-System sieht aus wie 0,24 $ _ (((8)) $.

In diesem Fall können Sie auf ein Problem stoßen, wenn eine endlose (periodische) Fraktion der endgültigen Dezimalfraktion in dem nicht eindefinierten System entsprechen kann. In diesem Fall hängt die Anzahl der Zeichen in dem in dem neuen System vorgelegten Fraktion von der erforderlichen Genauigkeit ab. Es sei auch darauf hingewiesen, dass die Ganzzahlen vollständig bleiben, und die richtigen Fraktionen sind Fraktionen in einem beliebigen Nummernsystem.

Regeln für die Übersetzung von Zahlen von einem binären Nummernsystem zum anderen

• Um eine Zahl von einem binären Nummernsystem auf einen Oktal zu übersetzen, muss er in Triaden (drei Ziffern) unterteilt sein, falls nötig mit der jüngeren Entladung, gegebenenfalls den älteren Triad mit Nullen hinzugefügt werden, dann wird jeder Triade durch die entsprechende Oktalziffer ersetzt gemäß Tabelle 4.

Abbildung 7. Tabelle 4

Beispiel 7.

Die Nummer 1001011_2 $, um in ein Oktalnummernsystem zu übersetzen.

Entscheidung. Mit der Tabelle 4 übersetzen wir die Nummer vom Binärzahlensystem an den Oktal eins:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Um eine Zahl von einem binären Nummerierungssystem auf Hexadezimal zu übersetzen, sollte es in Notebooks (vier Zahlen) unterteilt sein, falls Sie mit der jüngeren Entladung beginnen, falls erforderlich, falls das ältere Notebook von Nullen hinzugefügt werden, dann wird jede Tetrade durch die entsprechende Oktalziffer ersetzt zu Tabelle 4.

Anmerkung 1.

Wenn Sie eine Nummer von einem Nummernsystem in einen anderen übersetzen möchten, ist es bequemer, dass er begonnen hat, es in ein Dezimalzahlsystem zu starten, und nur dann von Dezimal, um in ein anderes Nummernsystem zu übersetzen.

Regeln für Übersetzungsnummern aus einem beliebigen Zahlensystem in der Dezimalanlage

In der Berechnungstechnologie unter Verwendung der Maschinenarithmetikum spielt die Umwandlung von Zahlen von einem Nummernsystem zum anderen eine wichtige Rolle. Nachfolgend geben wir die grundlegenden Regeln für solche Transformationen (Übersetzungen).

Bei der Übertragung einer Binärzahl in eine Dezimalstelle ist in Form eines Polynomials eine Binärzahl erforderlich, deren Element, dessen Element als Produkt der Anzahl der Zahlen dargestellt wird und der Anzahl der Basisnummern entspricht, in diesem Fall in diesem Fall 2 $ $ , und dann müssen Sie das Polynom gemäß den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:

$ X_2 \u003d A_N \\ CDOT 2 ^ (N-1) + A_ (N - 1) \\ CDOT 2 ^ (N-2) + A_ (N-2) \\ CDOT 2 ^ (N-3) + ... + A_2 \\ CDOT 2 ^ 1 + A_1 \\ CDOT 2 ^ 0 $

Abbildung 1. Tabelle 1

Beispiel 1.

Die Zahl von 11110101_2 $, um in ein Dezimalzahlsystem zu übersetzen.

Entscheidung. Mit einer Tabelle mit 1 $ $ Grad von 2 $ $ 1 $ präsentieren eine Zahl in Form eines Polynoms:

$ 11110101_2 \u003d 1 \\ CDOT 27 + 1 \\ CDOT 26 + 1 \\ CDOT 25 + 1 \\ CDOT 24 + 0 \\ CDOT 23 + 1 \\ CDOT 22 + 0 \\ CDOT 21 + 1 \\ CDOT 20 \u003d 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 \u003d 245_ (10) $ $

Um die Zahl von einem Oktalnummerierungssystem auf Dezimalübertragung zu übertragen, ist es erforderlich, sie in Form eines Polynoms darzustellen, von dem jedes Element als Produkt der Anzahl der Zahlen dargestellt ist und der Anzahl der Basisnummern in diesem entspricht Case $ 8 $, und dann müssen Sie das Polynom gemäß den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:

$ X_8 \u003d A_N \\ CDOT 8 ^ (N - 1) + A_ (N - 1) \\ CDOT 8 ^ (N-2) + A_ (N-2) \\ CDOT 8 ^ (N-3) + ... + A_2 \\ CDOT 8 ^ 1 + A_1 \\ CDOT 8 ^ 0 $

Abbildung 2. Tabelle 2

Beispiel 2.

Nummer $ 75013_8 $ Übersetzen Sie in ein Dezimalzahlsystem.

Entscheidung. Mit den aktuellen $ $ $ $ Grad von 8 $, repräsentieren Sie eine Zahl in Form eines Polynoms:

$ 75013_8 \u003d 7 \\ CDOT 8 ^ 4 + 5 \\ CDOT 8 ^ 3 + 0 \\ CDOT 8 ^ 2 + 1 \\ CDOT 8 ^ 1 + 3 \\ CDOT 8 ^ 0 \u003d 31243_ (10) $

Um die Zahl von einem Hexadezimalzahlsystem auf Dezimalübertragung zu übertragen, ist es notwendig, ihn als Polynom darzustellen, von denen jedes Element als Produkt der Anzahl der Zahlen und dem entsprechenden Grad der Anzahl der Basen dargestellt wird, in diesem Fall in diesem Fall $ 16 $, und dann müssen Sie das Polynom entsprechend den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:

$ X_ (16) \u003d a_n \\ cdot 16 ^ (n - 1) + a_ (n - 1) \\ cdot 16 ^ (n - 2) + a_ (n-2) \\ cdot 16 ^ (n-3) +. .. + A_2 \\ CDOT 16 ^ 1 + A_1 \\ CDOT 16 ^ 0 $

Abbildung 3. Tabelle 3

Beispiel 3.

Die Zahl $ FFA2_ (16) $, um in ein Dezimalzahlsystem zu übersetzen.

Entscheidung. Die Verwendung des Tisches in Höhe von 3 $ $ $ $ $ 8 $ repräsentieren eine Zahl in Form eines Polynoms:

$ FFA2_ (16) \u003d 15 \\ CDOT 16 ^ 3 + 15 \\ CDOT 16 ^ 2 + 10 \\ CDOT 16 ^ 1 + 2 \\ CDOT 16 ^ 0 \u003d 61440 + 3840 + 160 + 2 \u003d 65442_ (10) $

Regeln für die Übersetzung von Nummern von einem Dezimalzahlsystem zum anderen

• Um die Nummer von einem Dezimalzahlsystem an Binär zu übertragen, muss sie sequentiell um $ 2 $ aufgeteilt werden, bis der Rückstand unter bleibt, wenn der Rückstand unter bleibt oder gleich $ 1 $ ist. Die Zahl im Binärsystem, um sich vorzustellen, um sich als Sequenz des letzten Ergebnisses der Division und dessen Rückstände vorzustellen, um in umgekehrter Reihenfolge zu teilen.

Beispiel 4.

Nummer 22 $ (10) $ $ Übersetzen Sie in ein binäres Nummernsystem.

Entscheidung:

Figur 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Um die Nummer von einem Dezimalzahlsystem an einen Oktal zu übertragen, ist es notwendig, 8 $, bis der Rückstand, weniger oder gleich $ 7 $, sequentiell teilen muss. Die Zahl im Oktalnummernsystem, um als Folge von Zahlen des letzten Ergebnisses der Abteilung und Rückstände darzustellen, um in umgekehrter Reihenfolge zu teilen.

Beispiel 5

Die Zahl 571_ (10) $, um in ein Oktalnummernsystem zu übersetzen.

Entscheidung:

Abbildung 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Um eine Zahl von einem Dezimalzahlsystem an ein Hexadezimalsystem zu übertragen, muss er sequentiell um 16 $ aufgeteilt werden, bis der Rückstand, weniger oder gleich 15 $ ist. Die Zahl im Hexadezimalsystem besteht darin, als Folge der Zahlen des letzten Ergebnisses der Division und Rückstände vorzulegen, die in umgekehrter Reihenfolge teilen.

Beispiel 6.

Die Zahl von $ 7467_ (10) $, um in ein Hexadezimalsystem zu übersetzen.

Entscheidung:

Abbildung 6.

$ 7467_ (10) \u003d 1D2B_ (16) $ $

Um den korrekten Fraktion aus dem Dezimalzahlsystem in der nicht definitiven Übersetzung zu übersetzen, ist der fraktionierte Teil der transformierten Anzahl erforderlich, um sich mit der Basis des Systems zu multiplizieren, in dem er übersetzt werden muss. Die Fraktion im neuen System wird in Form von ganzzahligen Teilen der Werke vorgelegt, ab dem ersten.

Beispiel: $ 0,3125 _ ((10)) $ im Oktalnummer-System sieht aus wie 0,24 $ _ (((8)) $.

In diesem Fall können Sie auf ein Problem stoßen, wenn eine endlose (periodische) Fraktion der endgültigen Dezimalfraktion in dem nicht eindefinierten System entsprechen kann. In diesem Fall hängt die Anzahl der Zeichen in dem in dem neuen System vorgelegten Fraktion von der erforderlichen Genauigkeit ab. Es sei auch darauf hingewiesen, dass die Ganzzahlen vollständig bleiben, und die richtigen Fraktionen sind Fraktionen in einem beliebigen Nummernsystem.

Regeln für die Übersetzung von Zahlen von einem binären Nummernsystem zum anderen

• Um eine Zahl von einem binären Nummernsystem auf einen Oktal zu übersetzen, muss er in Triaden (drei Ziffern) unterteilt sein, falls nötig mit der jüngeren Entladung, gegebenenfalls den älteren Triad mit Nullen hinzugefügt werden, dann wird jeder Triade durch die entsprechende Oktalziffer ersetzt gemäß Tabelle 4.

Abbildung 7. Tabelle 4

Beispiel 7.

Die Nummer 1001011_2 $, um in ein Oktalnummernsystem zu übersetzen.

Entscheidung. Mit der Tabelle 4 übersetzen wir die Nummer vom Binärzahlensystem an den Oktal eins:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Um eine Zahl von einem binären Nummerierungssystem auf Hexadezimal zu übersetzen, sollte es in Notebooks (vier Zahlen) unterteilt sein, falls Sie mit der jüngeren Entladung beginnen, falls erforderlich, falls das ältere Notebook von Nullen hinzugefügt werden, dann wird jede Tetrade durch die entsprechende Oktalziffer ersetzt zu Tabelle 4.

Ziele Lektion:

• wiederholen Sie das untersuchte Material auf dem Thema des Zahlensystems;
• wird lernen, die Nummer vom Dezimalsystem auf jedes andere Positionsnummerierungssystem zu übersetzen, und umgekehrt;
• meistern Sie die Prinzipien der Übersetzung von Zahlen von einem System an einen anderen;
• logisches Denken entwickeln.

Während der Klassen

Zu Beginn der Lektion, einer kurzen Wiederholung und Überprüfung der Hausaufgaben ..

Welches Formular ist die Zahleninformationen im Speicher des Computers?

Wofür sind die Zahlensysteme?

Welche Arten von Nummernsystemen kennst du? Bringen Sie Ihre Beispiele mit.

Was ist der Unterschied zwischen den Positionssystemen aus der Nichtbeschaffung?

Der Zweck unserer Lektion wird lernen, die Nummer aus dem Dezimalsystem auf jede andere Positionsnummer zu übersetzen und umgekehrt. Aber am Anfang werden wir ansehen, wie Sie können

senden Sie jede ganze Zahl nicht negative Zahl:

In den Positionssystemen wird der Wert einer Ganzzahlaufzeichnung durch die folgende Regel bestimmt: Sei ein n a n-1 a n-2 ... a 1 a 0 - die Aufzeichnung der Nummer A und die I - Zahlen, dann

wobei p eine ganze Zahl größer als 1 ist, die als Basis des Zahlensystems bezeichnet wird.

In der Reihenfolge des angegebenen P kann jede nicht negative Ganzzahl gemäß der Formel (1) und außerdem die einzige Weise geschrieben werden zahlenwerte Verschiedene Zahlen sollten unterschiedliche Ganzzahlen sein, die dem Segment von 0 bis P-1 gehören.

1) Dezimalsystem

zahlen: 0,1,2,3,4,5,6,7,2,8,4,9.

nummer 5735 \u003d 5 · 10 3 + 7 · 10 2 + 3 · 10 1 + 8 · 10 0

2) Tropisches System

zahlen: 0,1,2.

nummer 201 3 \u003d 2 · 3 2 + 0 · 3 1 + 1 · 3 0

HINWEIS: Der untere Index in der Anzahl der Zahlen bezeichnet die Basis des Zahlensystems, in dem die Anzahl aufgezeichnet ist. Für das Dezimalzahlsystem kann der Index nicht schreiben.

Die Darstellung von negativen und fraktionalen Zahlen:

In allen Positionssystemen zur Aufzeichnung negativer Nummern sowie im Dezimalsystem wird ein Zeichen "-" verwendet. Um den gesamten Teil der Zahl von Fraktion zu trennen, wird das Komma verwendet. Der Wert der Aufzeichnung ana n-1 a n-2 ... a 1 a 0, a -1 a -2 ... a m-2 a m-1 AM der Zahl A wird von der Formel bestimmt, die ist Eine Verallgemeinerung der Formel (1):

75,6 \u003d 7 · 10 1 + 5 · 10 0 + 6 · 10 -1

-2,314 5 \u003d - (2 · 5 0 + 3 · 5 -1 + 1 · 5 -2 + 4 · 5 -3)

Übersetzung von Zahlen aus einem willkürlichen Nummernsystem in Dezimalzahl:

Es versteht sich, dass bei der Übertragung einer Zahl von einem Nummernsystem auf einen anderen quantitativen Wert die Zahl nicht ändert und nur die Form der Anzahl der Zahlen ändert, sowie bei der Übertragung des Namens der Nummer beispielsweise von die russische Sprache ins Englische.

Die Übersetzung der Zahlen aus einem beliebigen Nummernsystem auf Dezimalstelle erfolgt durch direkte Berechnung gemäß der Formel (1) für die Ganzzahlen und die Formel (2) für die Fraktionale Zahlen.

Übersetzung von Zahlen aus einem Dezimalzahlsystem auf willkürlich.

Übersetzen Sie die Nummer aus dem Dezimalsystem mit dem System mit der Basis P bedeutet, die Koeffizienten in der Formel (2) zu finden. Manchmal ist es einfach, eine einfache Auswahl vorzunehmen. Lassen Sie sich beispielsweise notwendig sein, um die Nummer 23.5 auf das Oktalsystem zu übersetzen. Es ist leicht zu sehen, dass 23,5 \u003d 16 + 7 + 0,5 \u003d 2 · 8 + 7 + 4/8 \u003d 2 · 8 1 + 7 · 8 0 + 4 · 8 -1 \u003d 27.48. Es ist klar, dass die Antwort nicht immer so offensichtlich ist. Im Allgemeinen wird die Übersetzungsmethode separat angewendet und fraktionierte Teile der Zahl.

Der folgende Algorithmus (auf der Grundlage der Formel (1) erhalten) wird zur Übersetzung von Ganzzahlen verwendet:

1. Finden Sie einen Privat- und Rückstand von der Division der Nummer pro P. Der Rückstand ist ein weiterer Ziffern-AI (J \u003d 0,1.2 ...) Datensätze der Anzahl in dem neuen Nummernsystem.

2. Wenn privat Null ist, ist die Übersetzung der Nummer abgeschlossen, andernfalls auf einen privaten Absatz 1 gelten.

Hinweis 1. Die AI-Nummern in der Anzahl der Zahlen sind rechts unten nummeriert.

Hinweis 2. Wenn p\u003e 10, müssen Sie die Notation für Zahlen mit numerischen Werten, groß oder gleich 10 eingeben.

Übertragen Sie die Nummer 165 in das Seminic-Nummern-System.

165: 7 \u003d 23 (Rückstand 4) \u003d\u003e A 0 \u003d 4

23: 7 \u003d 3 (Rückstand 2) \u003d\u003e A 1 \u003d 2

3: 7 \u003d 0 (Rückstand 3) \u003d\u003e A 2 \u003d 3

Wir wenden das Ergebnis ab: a 2 A 1 A 0, d. H. 3247.

Wenn Sie die Formel (1) überprüfen, stellen Sie sicher, dass die Übersetzung korrekt ist:

3247 \u003d 3 · 7 2 + 2 · 7 1 + 4 · 7 0 \u003d 3 · 49 + 2 · 7 + 4 \u003d 147 + 14 + 4 \u003d 165.

Um fraktionale Teile der Zahlen zu übertragen, wird ein an der Basis der Formel (2) erhaltenen Algorithmus angewendet:

1. Multiplizieren Sie den fraktionierten Teil der Zahl pro p.

2. Ein ganzzahliger Teil des Ergebnisses ist der nächste Ziffer AM (M \u003d -1, -2, -3 ...) Datensätze der Nummer im neuen Nummernsystem. Wenn der fraktionierte Teil des Ergebnisses Null ist, ist die Übersetzung der Nummer abgeschlossen, andernfalls verwenden wir ihn § 1.

Hinweis 1. Die Zahlen A m in der Anzahl der Zahlen befinden sich von links nach rechts in aufsteigender Reihenfolge des absoluten Werts m.

Anmerkung 2. Normalerweise die Anzahl der fraktionalen Entladungen in neue Aufnahme Zahlen sind im Voraus begrenzt. Auf diese Weise können Sie eine ungefähre Übersetzung mit einer bestimmten Genauigkeit ausführen. Bei unendlichen Fraktionen gewährleistet eine solche Einschränkung den Glied des Algorithmus.

Übersetzen Sie die Nummer 0,625 in das Binärzahlensystem.

0,625 · 2 \u003d 1,25 (Ganzzahlteil 1) \u003d\u003e A -1 \u003d 1

0,25 · 2 \u003d 0,5 (Ganzzahlteil 0) \u003d\u003e A- 2 \u003d 0

0,5 · 2 \u003d 1,00 (ganzzahliger Teil 1) \u003d\u003e A- 3 \u003d 1

So 0,62510 \u003d 0,1012

Wenn Sie die Formel (2) überprüfen, stellen Sie sicher, dass die Übersetzung korrekt ist:

0,1012 \u003d 1 · 2 -1 + 0 · 2- 2 + 1 · 2 -3 \u003d 1/2 + 1/8 \u003d 0,5 + 0,125 \u003d 0,625.

Übersetzen Sie die Nummer von 0,165 in das vierte Nummernsystem, um die vier Chummer-Entladungen einzuschränken.

0,165 · 4 \u003d 0,66 (Ganzzahlteil 0) \u003d\u003e A -1 \u003d 0

0,66 · 4 \u003d 2,64 (Ganzzahlteil 2) \u003d\u003e A -2 \u003d 2

0,64 · 4 \u003d 2,56 (Ganzzahlteil 2) \u003d\u003e A -3 \u003d 2

0,56 · 4 \u003d 2,24 (Ganzzahlteil 2) \u003d\u003e A -4 \u003d 2

So 0,16510 "0.02224

Führen Sie eine umgekehrte Übersetzung durch, um sicherzustellen, dass der absolute Fehler 4-4 nicht überschreitet:

0,02224 \u003d 0 · 4 -1 + 2 · 4 -2 + 2 · 4 -3 + 2 · 4 -4 \u003d 2/16 + 2/64 + 2/256 \u003d 1/8 + 1/32 + 1 / 128 \u003d 21/128 \u003d 0,1640625

|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625

Übersetzung von Zahlen von einem willkürlichen System zur anderen

In diesem Fall müssen Sie zunächst die Nummer in das Dezimalsystem und dann von der Dezimalstelle zum gewünschten übertragen.

Eine spezielle Methode erfolgt durch die Übersetzung von Zahlen für Systeme mit mehreren Basen.

Sei p und q die Basis von zwei Zahlensystemen. Wir nennen diese Systeme mit mehreren Basissystemen, wenn p \u003d qn oder q \u003d pn, wobei n eine natürliche Zahl ist. So sind beispielsweise ein Nummerierungssystem mit Basen 2 und 8 mehrere Basissysteme.

Sei p \u003d qn, um die Nummer aus dem Zahlensystem mit der Basis Q in das Zahlensystem mit der Basis P zu übersetzen. Wir teilen den gesamten und fraktionierten Teil der Aufzeichnung der Nummer auf den Gruppen für die n-Serie, die Ziffern links und rechts vom Komma aufgenommen haben. Wenn die Anzahl der Zahlen in der Aufzeichnung des gesamten Teils der Zahl nicht mehrfach n ist, sollte die entsprechende Anzahl von Nullen links hinzugefügt werden. Wenn die Anzahl der Zahlen in der Aufzeichnung des fraktionierten Teils der Zahl nicht mehrere n ist, fügen dann Nullen nach rechts hinzu. Jede solche Zahlengruppe im alten Ziffernsystem entspricht einer Ziffer Nummer in einem neuen Nummernsystem.

Wir übersetzen 1100001.111 2 in das vierte Nummernsystem.

Durch das Hinzufügen von Nullen und Hervorhebung der Zahlenpaare erhalten wir 01100001.11102.

Jetzt stellen wir eine Übersetzung getrennt jedes Zahlenpaare vor, wobei der Übertragungspunkt der Zahlen von einem beliebigen System zur anderen verwendet wird.

Also, 1100001,1112 \u003d 01100001,11102 \u003d 1201,324.

Nun müssen Sie nun mit einem großen Base Q in das System mit einem kleineren Base p, d. H. q \u003d p n. In diesem Fall entspricht eine Ziffer der Nummer im alten Zahlensystem n Zahlen im neuen Nummernsystem.

Beispiel: Führen Sie eine Überprüfung der vorherigen Übersetzung der Nummer aus.

1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112

Im Hexadezimalsystem gibt es Zahlen mit numerischen Werten von 10,11,12, 13,14,15. Für ihre Bezeichnung werden die ersten sechs Buchstaben des lateinischen Alphabets A, B, C, D, E, F. verwendet.

Lassen Sie uns eine Tabelle der Zahlen von 0 bis 16 in den Zahlensystemen mit den Basen 10, 2, 8 und 16 aufgenommen.

Nummer im Dezimalzahlsystem	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
In Oktal	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20
Im binären	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
In Hexadezimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	EIN.	B.	C.	D.	E.	F.	10

Bei der Aufnahme von Hexadezimalstellen kann auch die Kleinbuchstaben A-F verwendet werden.

Beispiel: Wir übersetzen die Nummer 110101001010101010100,11 2 in ein Hexadezimalsystem.

Wir verwenden die Multiplikation der Basen der Nummernsysteme (16 \u003d 2 4). Gruppierte die Zahlen vier, hinzufügen, links und rechts die richtige Anzahl von Nullen

000110101001010101010100,1100 2

und in den Tisch wenden wir uns: 1A9554, C 16

Ausgabe:

In welchem \u200b\u200bNummernsystem ist es besser, Zahlen zu schreiben - dies ist eine Frage der Bequemlichkeit und Traditionen. Aus technischer Sicht ist es zweckmäßig, das Binärsystem auf dem Computer zu verwenden, da nur zwei Ziffern 0 und 1 zum Schreiben von Nummern verwendet werden, die von zwei leicht unterscheidbaren Zuständen eingereicht werden können "Kein Signal" und "Es gibt ein Signal".

Und der Mensch ist dagegen unbequem, mit binären Zahlenzahlen zu befassen, da sie länger als Dezimalzahlen und viele wiederholte Zahlen in ihnen sind. Wenn nötig, verwenden Sie ggf. mit Maschinendarstellungen von Nummern ein Oktal- oder Hexadezimalzahlensystem. Die Basen dieser Systeme sind Ganzes abnehmt, und daher können die Zahlen leicht von diesen Systemen in binär und zurück übersetzt werden.

Wir schreiben die Aufgabe des Hauses auf:

a) Notieren Sie sich das Geburtsdatum aller Mitglieder Ihrer Familie in verschiedene Systeme Hinweis.

b) Übersetzen Sie Zahlen vom Binärsystem auf ein Oktal und Hexadezimal und überprüfen Sie dann die Ergebnisse, indem Sie Reverse-Übersetzungen durchführen:

a) 1001111110111,011 2;

Es gab Schwierigkeiten und Missverständnisse mit der Umwandlung der Zahlen von Binärnien zum Hexadezimalsystem? Melden Sie sich an den einzelnen Lektionen auf Informatik und IKT an. In unseren Privatstunden zerledern wir nicht nur den theoretischen Teil, sondern lösen auch die enorme Anzahl unterschiedlicher thematischer Übungen.

Sie müssen wissen, was ein binäres oder binäres Nummernsystem ist

Bevor Sie nachdenken, wie Sie die Anzahl von 2 bis 16 übersetzen, ist es notwendig, gut zu verstehen, dass es in einem binären Nummernsystem Nummern gibt. Lassen Sie mich daran erinnern, dass das Alphabet des Binärnummernsystems aus zwei zulässigen Elementen besteht - 0 und 1 . Dies bedeutet, dass eine absolut beliebige Zahl, die in binärer Form aufgenommen wurde, aus einem Satz von Nullen und Einheiten besteht. Hier sind Beispiele für Zahlen, die in der Binärdarstellung aufgezeichnet wurden: 10010, 100, 111101010110, 1000001.

Müssen wissen, was ein Hexadezimal-Nummernsystem ist

Wir haben uns mit dem Binärsystem befasst, erinnerten sie sich an die Basismomente, nun sprechen wir uns über das 16-Rich-System. Das Alphabet des 16-Riche-Nummernsystems besteht aus sechzehn verschiedenen Schildern: 10 arabische Zahlen (von 0 bis 9) und 6 der ersten hauptsächlichen lateinischen Buchstaben (von "A" bis "F"). Dies bedeutet, dass absolut jede in Hexadezimalform aufgezeichnete Zahl aus den Anzeichen des obigen Alphabets besteht. Hier sind Beispiele für Zahlen, die in einer 16-reichsten Vertretung aufgenommen wurden:

810A.

FCDF.

198303

100fff0.

Sprechen wir über den Algorithmus für die Transformation der Zahl von einem 2. bis zu einem 16-Richeher-System

Wir müssen den TetraD-Kodiertisch in Betracht ziehen. Ohne die Verwendung dieser Tabelle ist es ziemlich schwierig, Zahlen schnell von 2 auf 16 System zu übersetzen.

Weisen Sie der TetraD-Kodierungstabelle zu: Vergleichen Sie eindeutig die Symbole des Binärnummernsystems und das 16-Reichtum-System.

Tetrad-Tabelle hat die folgende Struktur:

Tetrad Tisch.
0000 - 0	0001 - 1	0010 - 2	0011 - 3	0100 - 4	0101 - 5	0110 - 6	0111 - 7
1000 - 8	1001 - 9	1010 - EIN.	1011 - B.	1100 - C.	1101 - D.	1110 - E.	1111 - F.

Angenommen, wir müssen die Nummer 10101111100101010 2 in das 16-reichste System umwandeln. Zunächst ist der anfängliche Binärcode erforderlich, um vier Kategorien in Gruppen aufzubrechen, und das ist sehr wichtig, die Partition ist obligatorisch, um rechts nach links zu beginnen.

101 . 0111 . 1100 . 1010

Nach der Partition erhielten wir vier Gruppen: 101, 0111, 1100 und 1010. Besondere Aufmerksamkeit erfordert das sehr linke Segment, dh Segment 101. Wie zu sehen ist, ist seine Länge 3 Entlastung, und es ist notwendig, dass seine Länge gleich vier ist , ergänzen Sie dieses Segment daher, das unbedeutend null führt:

101 -> 0 101.

Sie sagen es mir und eigentlich auf welcher Basis beenden wir die Linke der Anzahl von 0? Die Sache ist, dass die Zugabe von unbedeutenden Nullen keinen Einfluss auf den Wert der ursprünglichen Zahl hat. Deshalb haben wir. volles Gesetz. Es ist nicht nur noch ein Null, um die Linke der Binärzahl zu beenden, jedoch grundsätzlich jede Anzahl von Nullen und erhalten Sie die Anzahl der gewünschten Länge.

In der Endstufe der Transformation sind jede der erhaltenen Binärgruppen erforderlich, um auf den entsprechenden Wert auf der TetraD-Kodierungstabelle zu übersetzen.

0101 -> 5

0111 -> 7

1100 -> C.

1010 -> EIN.

101011111001010 2 \u003d 57 ° 16

Und jetzt empfehle ich Ihnen, sich mit der Multimedia-Lösung vertraut zu machen, die zeigt, wie er aus einem binären Zustand in einen 16-Rich-Staat umgewandelt wird:

Kurze Schlussfolgerungen

In diesem kleinen Artikel haben wir das Thema zerlegt " Nummernsysteme: So übersetzen Sie von 2 V 16" Wenn Sie Fragen, Missverständnisse haben, rufen Sie an und melden Sie sich für meine individuellen Lektionen auf Informatik und Programmierung an. Ich werde Ihnen anbieten, mehr als ein Dutzendübung zu lösen, und Sie haben keine einzige Frage. Im Allgemeinen ist das Nummernsystem extrem wichtiges Themadas bildet die im gesamten Kurs verwendete Stiftung.

Anmerkung 1.

Wenn Sie eine Nummer von einem Nummernsystem in einen anderen übersetzen möchten, ist es bequemer, dass er begonnen hat, es in ein Dezimalzahlsystem zu starten, und nur dann von Dezimal, um in ein anderes Nummernsystem zu übersetzen.

Regeln für Übersetzungsnummern aus einem beliebigen Zahlensystem in der Dezimalanlage

In der Berechnungstechnologie unter Verwendung der Maschinenarithmetikum spielt die Umwandlung von Zahlen von einem Nummernsystem zum anderen eine wichtige Rolle. Nachfolgend geben wir die grundlegenden Regeln für solche Transformationen (Übersetzungen).

Bei der Übertragung einer Binärzahl in eine Dezimalstelle ist in Form eines Polynomials eine Binärzahl erforderlich, deren Element, dessen Element als Produkt der Anzahl der Zahlen dargestellt wird und der Anzahl der Basisnummern entspricht, in diesem Fall in diesem Fall 2 $ $ , und dann müssen Sie das Polynom gemäß den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:

$ X_2 \u003d A_N \\ CDOT 2 ^ (N-1) + A_ (N - 1) \\ CDOT 2 ^ (N-2) + A_ (N-2) \\ CDOT 2 ^ (N-3) + ... + A_2 \\ CDOT 2 ^ 1 + A_1 \\ CDOT 2 ^ 0 $

Abbildung 1. Tabelle 1

Beispiel 1.

Die Zahl von 11110101_2 $, um in ein Dezimalzahlsystem zu übersetzen.

Entscheidung. Mit einer Tabelle mit 1 $ $ Grad von 2 $ $ 1 $ präsentieren eine Zahl in Form eines Polynoms:

$ 11110101_2 \u003d 1 \\ CDOT 27 + 1 \\ CDOT 26 + 1 \\ CDOT 25 + 1 \\ CDOT 24 + 0 \\ CDOT 23 + 1 \\ CDOT 22 + 0 \\ CDOT 21 + 1 \\ CDOT 20 \u003d 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 \u003d 245_ (10) $ $

Um die Zahl von einem Oktalnummerierungssystem auf Dezimalübertragung zu übertragen, ist es erforderlich, sie in Form eines Polynoms darzustellen, von dem jedes Element als Produkt der Anzahl der Zahlen dargestellt ist und der Anzahl der Basisnummern in diesem entspricht Case $ 8 $, und dann müssen Sie das Polynom gemäß den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:

$ X_8 \u003d A_N \\ CDOT 8 ^ (N - 1) + A_ (N - 1) \\ CDOT 8 ^ (N-2) + A_ (N-2) \\ CDOT 8 ^ (N-3) + ... + A_2 \\ CDOT 8 ^ 1 + A_1 \\ CDOT 8 ^ 0 $

Abbildung 2. Tabelle 2

Beispiel 2.

Nummer $ 75013_8 $ Übersetzen Sie in ein Dezimalzahlsystem.

Entscheidung. Mit den aktuellen $ $ $ $ Grad von 8 $, repräsentieren Sie eine Zahl in Form eines Polynoms:

$ 75013_8 \u003d 7 \\ CDOT 8 ^ 4 + 5 \\ CDOT 8 ^ 3 + 0 \\ CDOT 8 ^ 2 + 1 \\ CDOT 8 ^ 1 + 3 \\ CDOT 8 ^ 0 \u003d 31243_ (10) $

Um die Zahl von einem Hexadezimalzahlsystem auf Dezimalübertragung zu übertragen, ist es notwendig, ihn als Polynom darzustellen, von denen jedes Element als Produkt der Anzahl der Zahlen und dem entsprechenden Grad der Anzahl der Basen dargestellt wird, in diesem Fall in diesem Fall $ 16 $, und dann müssen Sie das Polynom entsprechend den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:

$ X_ (16) \u003d a_n \\ cdot 16 ^ (n - 1) + a_ (n - 1) \\ cdot 16 ^ (n - 2) + a_ (n-2) \\ cdot 16 ^ (n-3) +. .. + A_2 \\ CDOT 16 ^ 1 + A_1 \\ CDOT 16 ^ 0 $

Abbildung 3. Tabelle 3

Beispiel 3.

Die Zahl $ FFA2_ (16) $, um in ein Dezimalzahlsystem zu übersetzen.

Entscheidung. Die Verwendung des Tisches in Höhe von 3 $ $ $ $ $ 8 $ repräsentieren eine Zahl in Form eines Polynoms:

$ FFA2_ (16) \u003d 15 \\ CDOT 16 ^ 3 + 15 \\ CDOT 16 ^ 2 + 10 \\ CDOT 16 ^ 1 + 2 \\ CDOT 16 ^ 0 \u003d 61440 + 3840 + 160 + 2 \u003d 65442_ (10) $

Regeln für die Übersetzung von Nummern von einem Dezimalzahlsystem zum anderen

• Um die Nummer von einem Dezimalzahlsystem an Binär zu übertragen, muss sie sequentiell um $ 2 $ aufgeteilt werden, bis der Rückstand unter bleibt, wenn der Rückstand unter bleibt oder gleich $ 1 $ ist. Die Zahl im Binärsystem, um sich vorzustellen, um sich als Sequenz des letzten Ergebnisses der Division und dessen Rückstände vorzustellen, um in umgekehrter Reihenfolge zu teilen.

Beispiel 4.

Nummer 22 $ (10) $ $ Übersetzen Sie in ein binäres Nummernsystem.

Entscheidung:

Figur 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Um die Nummer von einem Dezimalzahlsystem an einen Oktal zu übertragen, ist es notwendig, 8 $, bis der Rückstand, weniger oder gleich $ 7 $, sequentiell teilen muss. Die Zahl im Oktalnummernsystem, um als Folge von Zahlen des letzten Ergebnisses der Abteilung und Rückstände darzustellen, um in umgekehrter Reihenfolge zu teilen.

Beispiel 5

Die Zahl 571_ (10) $, um in ein Oktalnummernsystem zu übersetzen.

Entscheidung:

Abbildung 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Um eine Zahl von einem Dezimalzahlsystem an ein Hexadezimalsystem zu übertragen, muss er sequentiell um 16 $ aufgeteilt werden, bis der Rückstand, weniger oder gleich 15 $ ist. Die Zahl im Hexadezimalsystem besteht darin, als Folge der Zahlen des letzten Ergebnisses der Division und Rückstände vorzulegen, die in umgekehrter Reihenfolge teilen.

Beispiel 6.

Die Zahl von $ 7467_ (10) $, um in ein Hexadezimalsystem zu übersetzen.

Entscheidung:

Abbildung 6.

$ 7467_ (10) \u003d 1D2B_ (16) $ $

Um den korrekten Fraktion aus dem Dezimalzahlsystem in der nicht definitiven Übersetzung zu übersetzen, ist der fraktionierte Teil der transformierten Anzahl erforderlich, um sich mit der Basis des Systems zu multiplizieren, in dem er übersetzt werden muss. Die Fraktion im neuen System wird in Form von ganzzahligen Teilen der Werke vorgelegt, ab dem ersten.

Beispiel: $ 0,3125 _ ((10)) $ im Oktalnummer-System sieht aus wie 0,24 $ _ (((8)) $.

In diesem Fall können Sie auf ein Problem stoßen, wenn eine endlose (periodische) Fraktion der endgültigen Dezimalfraktion in dem nicht eindefinierten System entsprechen kann. In diesem Fall hängt die Anzahl der Zeichen in dem in dem neuen System vorgelegten Fraktion von der erforderlichen Genauigkeit ab. Es sei auch darauf hingewiesen, dass die Ganzzahlen vollständig bleiben, und die richtigen Fraktionen sind Fraktionen in einem beliebigen Nummernsystem.

Regeln für die Übersetzung von Zahlen von einem binären Nummernsystem zum anderen

• Um eine Zahl von einem binären Nummernsystem auf einen Oktal zu übersetzen, muss er in Triaden (drei Ziffern) unterteilt sein, falls nötig mit der jüngeren Entladung, gegebenenfalls den älteren Triad mit Nullen hinzugefügt werden, dann wird jeder Triade durch die entsprechende Oktalziffer ersetzt gemäß Tabelle 4.

Abbildung 7. Tabelle 4

Beispiel 7.

Die Nummer 1001011_2 $, um in ein Oktalnummernsystem zu übersetzen.

Entscheidung. Mit der Tabelle 4 übersetzen wir die Nummer vom Binärzahlensystem an den Oktal eins:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Um eine Zahl von einem binären Nummerierungssystem auf Hexadezimal zu übersetzen, sollte es in Notebooks (vier Zahlen) unterteilt sein, falls Sie mit der jüngeren Entladung beginnen, falls erforderlich, falls das ältere Notebook von Nullen hinzugefügt werden, dann wird jede Tetrade durch die entsprechende Oktalziffer ersetzt zu Tabelle 4.