Berechnen der Werte von Ausdrücken. Numerische und wörtliche Ausdrücke. Formel

In diesem Artikel wird beschrieben, wie Sie die Werte mathematischer Ausdrücke finden. Beginnen wir mit einfachen numerischen Ausdrücken und betrachten dann Fälle mit zunehmender Komplexität. Am Ende stellen wir einen Ausdruck vor, der Buchstabenbezeichnungen, Klammern, Wurzeln, mathematische Sonderzeichen, Grade, Funktionen usw. enthält. Die ganze Theorie wird der Überlieferung nach mit zahlreichen und ausführlichen Beispielen versehen.

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Wie finde ich den Wert eines numerischen Ausdrucks?

Numerische Ausdrücke helfen unter anderem dabei, einen Problemzustand in mathematischer Sprache zu beschreiben. Im Allgemeinen können mathematische Ausdrücke entweder sehr einfach sein, bestehend aus einem Paar von Zahlen und arithmetischen Zeichen, oder sehr komplex sein, die Funktionen, Potenzen, Wurzeln, Klammern usw. enthalten. Im Rahmen einer Aufgabe ist es oft notwendig, die Bedeutung eines Ausdrucks zu finden. Wie das geht, wird weiter unten besprochen.

Die einfachsten Fälle

Dies sind die Fälle, in denen der Ausdruck nur Zahlen und arithmetische Operationen enthält. Um die Werte solcher Ausdrücke erfolgreich zu finden, benötigen Sie Kenntnisse über die Reihenfolge der Ausführung arithmetischer Operationen ohne Klammern sowie die Fähigkeit, Operationen mit verschiedenen Zahlen auszuführen.

Enthält der Ausdruck nur Zahlen und arithmetische Zeichen "+", "·", "-", "÷", dann werden die Aktionen von links nach rechts in folgender Reihenfolge ausgeführt: erst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion. Hier sind einige Beispiele.

Beispiel 1. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Es sei notwendig, die Werte des Ausdrucks 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 zu finden.

Machen wir zuerst Multiplikation und Division. Wir bekommen:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Jetzt subtrahieren wir und erhalten das Endergebnis:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Beispiel 2. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Rechnen wir: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Zuerst führen wir die Umrechnung von Brüchen, Division und Multiplikation durch:

0, 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Jetzt machen wir die Addition und Subtraktion. Lassen Sie uns die Brüche gruppieren und auf einen gemeinsamen Nenner bringen:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Der gesuchte Wert wurde gefunden.

Ausdrücke mit Klammern

Wenn der Ausdruck Klammern enthält, bestimmen sie die Reihenfolge der Aktionen in diesem Ausdruck. Zuerst werden die Aktionen in Klammern ausgeführt und dann der Rest. Zeigen wir dies an einem Beispiel.

Beispiel 3. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks 0, 5 · (0, 76 - 0, 06).

Der Ausdruck enthält Klammern, daher führen wir zuerst die Subtraktionsoperation in Klammern durch und multiplizieren erst dann.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,50,7 = 0,35.

Die Bedeutung von Ausdrücken, die Klammern in Klammern enthalten, folgt dem gleichen Prinzip.

Beispiel 4. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Wert 1 + 21 + 21 + 21 - 1 4.

Wir werden die Aktionen beginnend mit den innersten Klammern durchführen und zu den äußeren übergehen.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Bei der Suche nach den Werten von Ausdrücken mit Klammern besteht die Hauptsache darin, der Reihenfolge der Aktionen zu folgen.

Verwurzelte Ausdrücke

Die mathematischen Ausdrücke, die wir benötigen, um die Werte zu finden, können Wurzelzeichen enthalten. Außerdem kann der Ausdruck selbst unter dem Vorzeichen der Wurzel stehen. Was ist in diesem Fall zu tun? Zuerst müssen Sie den Wert des Ausdrucks unter der Wurzel finden und dann die Wurzel aus der resultierenden Zahl extrahieren. Wenn möglich, ist es besser, Wurzeln in numerischen Ausdrücken zu entfernen, indem Sie from durch numerische Werte ersetzen.

Beispiel 5. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Wert des Ausdrucks mit Wurzeln - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Zuerst berechnen wir die radikalen Ausdrücke.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Jetzt können Sie den Wert des gesamten Ausdrucks auswerten.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6,5

Um die Bedeutung eines verwurzelten Ausdrucks zu finden, muss oft zuerst der ursprüngliche Ausdruck konvertiert werden. Lassen Sie uns dies an einem weiteren Beispiel erklären.

Beispiel 6. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Wie viel ist 3 + 1 3 - 1 - 1

Wie Sie sehen, haben wir keine Möglichkeit, die Wurzel durch einen genauen Wert zu ersetzen, was den Berechnungsprozess verkompliziert. In diesem Fall können Sie jedoch die abgekürzte Multiplikationsformel anwenden.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Auf diese Weise:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Machtausdrücke

Wenn der Ausdruck Grad enthält, müssen ihre Werte berechnet werden, bevor mit allen anderen Aktionen fortgefahren wird. Es kommt vor, dass der Exponent selbst oder die Basis des Grades Ausdrücke sind. In diesem Fall wird zuerst der Wert dieser Ausdrücke berechnet und dann der Wert des Grads.

Beispiel 7. Wert eines numerischen Ausdrucks

Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Wir beginnen der Reihe nach zu rechnen.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Es bleibt nur noch die Additionsoperation auszuführen und den Wert des Ausdrucks herauszufinden:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Oftmals ist es auch ratsam, den Ausdruck mit Hilfe von Gradeigenschaften zu vereinfachen.

Beispiel 8. Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Wert des folgenden Ausdrucks: 2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6.

Die Exponenten sind wiederum so, dass ihre genauen Zahlenwerte nicht erhalten werden können. Vereinfachen wir den ursprünglichen Ausdruck, um seine Bedeutung zu finden.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Bruchausdrücke

Wenn der Ausdruck Brüche enthält, müssen bei der Berechnung eines solchen Ausdrucks alle darin enthaltenen Brüche als gewöhnliche Brüche dargestellt und ihre Werte berechnet werden.

Wenn im Zähler und Nenner eines Bruchs Ausdrücke vorhanden sind, werden zunächst die Werte dieser Ausdrücke berechnet und der Endwert des Bruchs selbst geschrieben. Arithmetische Operationen werden in einer Standardweise durchgeführt. Betrachten wir die Lösung eines Beispiels.

Beispiel 9. Wert eines numerischen Ausdrucks

Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks, der die Brüche enthält: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Wie Sie sehen können, gibt es im ursprünglichen Ausdruck drei Brüche. Lassen Sie uns zuerst ihre Werte berechnen.

3, 2 2 = 3, 2 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Schreiben wir unseren Ausdruck um und berechnen seinen Wert:

1, 6 - 3 1 6 1 = 1, 6 - 0,5 ÷ 1 = 1, 1

Beim Finden der Werte von Ausdrücken ist es häufig praktisch, Brüche zu reduzieren. Es gibt eine unausgesprochene Regel: Bevor man seinen Wert findet, ist es am besten, jeden Ausdruck maximal zu vereinfachen und alle Berechnungen auf die einfachsten Fälle zu reduzieren.

Beispiel 10. Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Ausdruck 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Wir können die Wurzel von fünf nicht vollständig extrahieren, aber wir können den ursprünglichen Ausdruck vereinfachen, indem wir ihn transformieren.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Der ursprüngliche Ausdruck hat die Form:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Lassen Sie uns den Wert dieses Ausdrucks berechnen:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Ausdrücke mit Logarithmen

Wenn der Ausdruck Logarithmen enthält, wird deren Wert, wenn möglich, von Anfang an berechnet. Im Ausdruck log 2 4 + 2 · 4 können Sie beispielsweise sofort den Wert dieses Logarithmus anstelle von log 2 4 schreiben und dann alle Aktionen ausführen. Wir erhalten: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Numerische Ausdrücke finden sich auch unter dem Vorzeichen des Logarithmus und an seiner Basis. In diesem Fall besteht der erste Schritt darin, ihre Werte zu finden. Nehmen Sie den Ausdruck log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Wir haben:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Wenn es nicht möglich ist, den genauen Wert des Logarithmus zu berechnen, hilft Ihnen die Vereinfachung des Ausdrucks, seinen Wert zu finden.

Beispiel 11. Wert eines numerischen Ausdrucks

Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3.

Nach der Eigenschaft von Logarithmen:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2-3) = log 6 6 = 1.

Wenden wir wieder die Eigenschaften von Logarithmen an, erhalten wir für den letzten Bruch im Ausdruck:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Jetzt können Sie mit der Berechnung des Werts des ursprünglichen Ausdrucks fortfahren.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Ausdrücke mit trigonometrischen Funktionen

Es kommt vor, dass ein Ausdruck trigonometrische Funktionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens enthält, sowie Funktionen, die dazu invers sind. Die Werte werden berechnet, bevor alle anderen arithmetischen Operationen ausgeführt werden. Andernfalls wird der Ausdruck vereinfacht.

Beispiel 12. Wert eines numerischen Ausdrucks

Finden Sie den Wert des Ausdrucks: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Zuerst berechnen wir die Werte der trigonometrischen Funktionen, die im Ausdruck enthalten sind.

Sünde - 5 π 2 = - 1

Wir setzen die Werte in den Ausdruck ein und berechnen seinen Wert:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Ausdruckswert gefunden.

Oft, um die Bedeutung eines Ausdrucks mit zu finden trigonometrische Funktionen, muss es zuerst umgewandelt werden. Lassen Sie es uns an einem Beispiel erklären.

Beispiel 13. Wert eines numerischen Ausdrucks

Sie müssen den Wert des Ausdrucks cos 2 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 finden.

Für die Transformation verwenden wir die trigonometrischen Formeln für den Kosinus des Doppelwinkels und den Kosinus der Summe.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.

Der allgemeine Fall eines numerischen Ausdrucks

Im Allgemeinen kann ein trigonometrischer Ausdruck alle oben genannten Elemente enthalten: Klammern, Grad, Wurzeln, Logarithmen, Funktionen. Lass uns formulieren allgemeine Regel die Werte solcher Ausdrücke finden.

So finden Sie die Bedeutung eines Ausdrucks

1. Wurzeln, Grade, Logarithmen usw. werden durch ihre Werte ersetzt.
2. Aktionen in Klammern werden ausgeführt.
3. Die restlichen Schritte werden der Reihe nach von links nach rechts ausgeführt. Zuerst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 14. Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Wert des Ausdrucks - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Der Ausdruck ist ziemlich komplex und umständlich. Es war kein Zufall, dass wir ein solches Beispiel gewählt haben und versuchten, alle oben beschriebenen Fälle darin unterzubringen. Wie finden Sie die Bedeutung eines solchen Ausdrucks?

Es ist bekannt, dass bei der Berechnung des Wertes einer komplexen Bruchform zuerst die Werte des Zählers und des Nenners des Bruchs separat ermittelt werden. Diesen Ausdruck werden wir konsequent transformieren und vereinfachen.

Zunächst berechnen wir den Wert des Wurzelausdrucks 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Dazu müssen Sie den Wert des Sinus und den Ausdruck finden, der das Argument der trigonometrischen Funktion ist.

6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Jetzt können Sie den Wert des Sinus ermitteln:

sin 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

Wir berechnen den Wert des radikalen Ausdrucks:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Mit dem Nenner des Bruches ist alles einfacher:

Jetzt können wir den Wert des ganzen Bruchs aufschreiben:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Vor diesem Hintergrund schreiben wir den gesamten Ausdruck:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Endergebnis:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

In diesem Fall konnten wir die exakten Werte von Wurzeln, Logarithmen, Sinus usw. berechnen. Wenn dies nicht möglich ist, können Sie versuchen, sie durch mathematische Transformationen loszuwerden.

Berechnen der Werte von Ausdrücken auf rationale Weise

Berechnen Sie Zahlenwerte konsistent und genau. Dieser Prozess können rationalisiert und beschleunigt werden, indem verschiedene Eigenschaften von Aktionen mit Zahlen verwendet werden. Beispielsweise ist bekannt, dass das Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Unter Berücksichtigung dieser Eigenschaft können wir sofort sagen, dass der Ausdruck 2 · 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 · 0 gleich Null ist. In diesem Fall ist es überhaupt nicht erforderlich, die Aktionen in der im obigen Artikel beschriebenen Reihenfolge auszuführen.

Es ist auch praktisch, die Eigenschaft der Subtraktion gleicher Zahlen zu verwenden. Ohne eine Aktion auszuführen, können Sie anordnen, dass der Wert des Ausdrucks 56 + 8 - 3,789 ln e 2 - 56 + 8 - 3,789 ln e 2 ebenfalls gleich Null ist.

Eine weitere Technik, mit der Sie den Prozess beschleunigen können, ist die Verwendung identischer Transformationen, wie z. B. das Gruppieren von Termen und Faktoren und das Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern. Ein rationaler Ansatz zur Berechnung von Ausdrücken mit Brüchen besteht darin, dieselben Ausdrücke im Zähler und Nenner zu reduzieren.

Nehmen wir zum Beispiel den Ausdruck 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4. Ohne die Aktionen in Klammern auszuführen, aber den Bruch zu reduzieren, können wir sagen, dass der Wert des Ausdrucks 1 3 ist.

Finden der Werte von Ausdrücken mit Variablen

Die Bedeutung eines alphabetischen Ausdrucks und eines Ausdrucks mit Variablen wird für bestimmte angegebene Werte von Buchstaben und Variablen gefunden.

Finden der Werte von Ausdrücken mit Variablen

Um den Wert eines Literalausdrucks und eines Ausdrucks mit Variablen zu ermitteln, müssen Sie die angegebenen Werte von Buchstaben und Variablen in den ursprünglichen Ausdruck ersetzen und dann den Wert des resultierenden numerischen Ausdrucks berechnen.

Beispiel 15. Wert eines Ausdrucks mit Variablen

Werten Sie den Wert des Ausdrucks 0.5 x - y aus, wenn x = 2, 4 und y = 5 gegeben sind.

Wir setzen die Werte der Variablen in den Ausdruck ein und berechnen:

0, 5 x - y = 0, 5 2, 4 - 5 = 1, 2 - 5 = - 3, 8.

Manchmal können Sie einen Ausdruck so umwandeln, dass er seinen Wert unabhängig von den Werten der darin enthaltenen Buchstaben und Variablen erhält. Dazu müssen Sie nach Möglichkeit Buchstaben und Variablen im Ausdruck entfernen, indem Sie identische Transformationen, Eigenschaften von arithmetischen Operationen und alle möglichen anderen Methoden verwenden.

Zum Beispiel hat der Ausdruck x + 3 - x offensichtlich den Wert 3, und Sie müssen den Wert von x nicht kennen, um diesen Wert zu berechnen. Der Wert dieses Ausdrucks ist gleich drei für alle Werte der Variablen x aus ihrem gültigen Wertebereich.

Noch ein Beispiel. Der Wert des Ausdrucks x x ist für alle positiven x gleich eins.

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Formel

Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division sind Rechenoperationen (oder operations Rechenoperationen). Diese Rechenoperationen entsprechen den Vorzeichen der Rechenoperationen:

+ (lesen " ein Plus") - das Vorzeichen der Additionsoperation,

- (lesen " Minus-") - unterzeichnen Subtraktionsoperationen,

∙ (lesen " multiplizieren") - unterzeichnen Multiplikationsoperationen,

: (lesen " Teilen") ist das Zeichen der Divisionsoperation.

Ein Satz, der aus Zahlen besteht, die durch Vorzeichen arithmetischer Operationen miteinander verbunden sind, heißt numerischer Ausdruck. Ein numerischer Ausdruck kann auch Klammern enthalten Zum Beispiel Datensatz 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) ist ein numerischer Ausdruck.

Das Ergebnis der Ausführung von Aktionen für Zahlen in einem numerischen Ausdruck heißt der Wert eines numerischen Ausdrucks... Dies wird als Auswerten des Werts eines numerischen Ausdrucks bezeichnet. Bevor Sie den Wert eines numerischen Ausdrucks schreiben, setzen Sie Gleichheitszeichen"=". Tabelle 1 zeigt Beispiele für numerische Ausdrücke und ihre Bedeutungen.

Ein Datensatz, der aus Zahlen und Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets besteht, die durch Vorzeichen arithmetischer Operationen verbunden sind, heißt wörtlicher Ausdruck... Dieser Eintrag kann Klammern enthalten. Zum Beispiel der Eintrag ein +b - 3C ist ein wörtlicher Ausdruck. Anstelle von Buchstaben in einem wörtlichen Ausdruck können Sie ersetzen verschiedene Zahlen... In diesem Fall kann sich die Bedeutung der Buchstaben ändern, daher werden die Buchstaben im wörtlichen Ausdruck auch genannt Variablen.

Wenn Sie Zahlen anstelle von Buchstaben in den wörtlichen Ausdruck einsetzen und den Wert des resultierenden numerischen Ausdrucks berechnen, finden sie der Wert des wörtlichen Ausdrucks angesichts der Werte der Buchstaben(für die angegebenen Werte der Variablen). Tabelle 2 zeigt Beispiele für Buchstabenausdrücke.

Ein wörtlicher Ausdruck kann bedeutungslos sein, wenn die Ersetzung von Buchstabenwerten zu einem numerischen Ausdruck führt, der für natürliche Zahlen nicht gefunden werden kann. Ein solcher numerischer Ausdruck heißt falsch für natürliche Zahlen. Es wird auch gesagt, dass die Bedeutung eines solchen Ausdrucks „ nicht definiert" für natürliche Zahlen und der Ausdruck selbst "Es ist nicht sinnvoll"... Zum Beispiel der wörtliche Ausdruck a - b spielt für a = 10 und b = 17 keine Rolle. Tatsächlich kann für natürliche Zahlen die verminderte nicht kleiner als die subtrahierte sein. Wenn Sie beispielsweise nur 10 Äpfel (a = 10) haben, können Sie nicht 17 davon (b = 17) verschenken!

Tabelle 2 (Spalte 2) enthält ein Beispiel für einen alphabetischen Ausdruck. Füllen Sie die Tabelle analog vollständig aus.

Für natürliche Zahlen ist der Ausdruck 10 -17 falsch (macht keinen Sinn), d.h. die Differenz 10 -17 kann nicht als natürliche Zahl ausgedrückt werden. Ein weiteres Beispiel: Sie können nicht durch Null dividieren, daher ist für jede natürliche Zahl b der Quotient b: 0 nicht definiert.

Mathematische Gesetze, Eigenschaften, einige Regeln und Beziehungen werden oft in wörtlicher Form (d. h. in Form eines Buchstabenausdrucks) geschrieben. In diesen Fällen heißt der Literalausdruck Formel... Wenn zum Beispiel die Seiten des Siebenecks gleich sind ein,B,C,D,e,F,g, dann die Formel (wörtlicher Ausdruck), um seinen Umfang zu berechnen P sieht aus wie:

p =ein +b +c +d +e +f +g

Für a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, der Umfang des Siebenecks p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 33.

Für a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18 ist der Umfang eines weiteren Siebenecks p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Block 1. Wörterbuch

Stellen Sie ein Glossar mit neuen Begriffen und Definitionen aus dem Absatz zusammen. Schreiben Sie dazu Wörter aus der untenstehenden Begriffsliste in die leeren Zellen. Geben Sie in der Tabelle (am Ende des Blocks) die Nummern der Terme entsprechend den Nummern der Rahmen an. Es wird empfohlen, den Absatz sorgfältig zu überprüfen, bevor Sie die Zellen des Wörterbuchs ausfüllen.

1. Operationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.

2. Zeichen "+" (plus), "-" (minus), "∙" (multiplizieren, " : " (Teilen).

3.Ein Eintrag, der aus Zahlen besteht, die durch Vorzeichen von Rechenoperationen miteinander verbunden sind und in denen auch Klammern stehen können.

4. Das Ergebnis der Durchführung von Aktionen mit Zahlen in numerischer Hinsicht.

5. Das Vorzeichen vor dem Wert eines numerischen Ausdrucks.

6. Satz, bestehend aus Zahlen und Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets, verbunden durch Vorzeichen von Rechenoperationen (Klammern können auch vorhanden sein).

7. Der allgemeine Name von Buchstaben im wörtlichen Ausdruck.

8. Der Wert eines numerischen Ausdrucks, der durch Ersetzen von Variablen in einem Literalausdruck erhalten wird.

9.Numerischer Ausdruck, dessen Wert für natürliche Zahlen nicht gefunden werden kann.

10. Numerischer Ausdruck, dessen Wert für natürliche Zahlen gefunden werden kann.

11. Mathematische Gesetze, Eigenschaften, einige Regeln und Beziehungen, in Briefform niedergeschrieben.

12. Das Alphabet, dessen Kleinbuchstaben verwendet werden, um alphabetische Ausdrücke zu schreiben.

Block 2. Eine Übereinstimmung herstellen

Stellen Sie eine Entsprechung zwischen dem Element in der linken Spalte und der Lösung in der rechten Spalte her. Schreiben Sie die Antwort in die Form: 1a, 2d, 3b ...

Block 3. Facettentest. Numerische und wörtliche Ausdrücke

Facettentests ersetzen Problemsammlungen in der Mathematik, aber sie sind mit diesen insofern günstig, als sie am Computer gelöst, Lösungen überprüft und sofort das Ergebnis der Arbeit ermittelt werden können. Dieser Test enthält 70 Aufgaben. Aber Sie können Probleme nach Wahl lösen, dafür gibt es eine Bewertungstabelle, in der einfache Aufgaben und schwierigere angegeben sind. Unten ist der Test.

1. Gegeben ein Dreieck mit Seiten C,D,m, ausgedrückt in cm
2. Gegeben ein Viereck mit Seiten B,C,D,m ausgedrückt in m
3. Fahrzeuggeschwindigkeit in km/h is B, die Bewegungszeit in Stunden ist D
4. Die vom Touristen zurückgelegte Strecke für m Stunden ist mit km
5. Entfernung, die ein Tourist mit hoher Geschwindigkeit zurücklegt m km/h ist B km
6. Die Summe zweier Zahlen mehr als die zweite Zahlen auf 15
7. Die Differenz ist geringer als die um 7 . reduzierte
8. Das Passagierschiff verfügt über zwei Decks mit der gleichen Anzahl von Passagiersitzen. In jeder der Deckreihen m Sitze, Reihen auf dem Deck an n mehr als Sitze in einer Reihe
9. Petya ist m Jahre alt, Masha ist n Jahre alt und Katya ist k Jahre jünger als Petya und Masha zusammen
10. m = 8, n = 10, k = 5
11. m = 6, n = 8, k = 15
12. t = 121, x = 1458

1. Die Bedeutung dieses Ausdrucks
2. Der wörtliche Ausdruck für den Umfang ist
3. Umfang in Zentimetern
4. Formel für den Weg, den das Auto zurücklegt
5. Geschwindigkeitsformel v, touristische Bewegung
6. Zeitformel t, touristische Bewegung
7. Mit dem Auto zurückgelegte Strecke in Kilometern
8. Touristengeschwindigkeit in Kilometern pro Stunde
9. Reisezeit für Touristen in Stunden
10. Die erste Zahl ist...
11. Der Subtrahierte ist gleich….
12. Ausdruck für die größte Zahl Passagiere, die das Liner für . tragen können k Flüge
13. Die größte Anzahl von Passagieren, die das Linienschiff befördern kann k Flüge
14. Buchstabenausdruck für Katjas Alter
15. Katjas Alter
16. Die Koordinate von Punkt B, wenn die Koordinate von Punkt C ist T
17. Die Koordinate von Punkt D, wenn die Koordinate von Punkt C gleich ist T
18. Die Koordinate von Punkt A, wenn die Koordinate von Punkt C ist T
19. BD-Segmentlänge auf einem Zahlenstrahl
20. Die Länge des Segments CA auf dem Zahlenstrahl
21. Die Länge des Segments DA auf dem Zahlenstrahl

Numerischer Ausdruck Ist ein Datensatz mit Zahlen, arithmetischen Zeichen und Klammern. Ein numerischer Ausdruck kann nur aus einer Zahl bestehen. Erinnern wir uns daran, dass die wichtigsten arithmetischen Operationen „Addition“, „Subtraktion“, „Multiplikation“ und „Division“ sind. Diese Aktionen entsprechen den Zeichen "+", "-", "∙", ":".

Damit wir einen numerischen Ausdruck erhalten, muss natürlich die Notation von Zahlen und arithmetischen Vorzeichen sinnvoll sein. So kann beispielsweise eine solche Notation 5: + ∙ nicht als numerischer Ausdruck bezeichnet werden, da dies eine zufällige Zeichenfolge ist, die keinen Sinn ergibt. Im Gegenteil, 5 + 8 ∙ 9 ist bereits ein reeller numerischer Ausdruck.

Der Wert eines numerischen Ausdrucks.

Sagen wir gleich, wenn wir die in einem numerischen Ausdruck angegebenen Aktionen ausführen, erhalten wir als Ergebnis eine Zahl. Diese Nummer heißt der Wert eines numerischen Ausdrucks.

Versuchen wir zu berechnen, was wir als Ergebnis der Ausführung der Aktionen unseres Beispiels erhalten. Entsprechend die Reihenfolge der Ausführung von arithmetischen Operationen, führen wir zuerst die Multiplikationsoperation durch. Multiplizieren Sie 8 mit 9. Erhalten Sie 72. Addieren Sie nun 72 und 5. Erhalten Sie 77.
Also 77 - Bedeutung numerischer Ausdruck 5 + 8 ∙ 9.

Numerische Gleichheit.

Sie können es so schreiben: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Hier haben wir zuerst das Zeichen "=" ("Gleich") verwendet. Eine solche Notation, bei der zwei numerische Ausdrücke durch das Zeichen "=" getrennt werden, heißt numerische Gleichheit... Wenn die Werte der linken und rechten Seite der Gleichheit übereinstimmen, heißt die Gleichheit treu... 5 + 8 ∙ 9 = 77 - wahre Gleichheit.
Wenn wir 5 + 8 ∙ 9 = 100 schreiben, dann ist es schon falsche Gleichheit, da die Werte der linken und rechten Seite dieser Gleichheit nicht mehr übereinstimmen.

Es ist zu beachten, dass wir in einem numerischen Ausdruck auch Klammern verwenden können. Die Klammern beeinflussen die Reihenfolge, in der Aktionen ausgeführt werden. Lassen Sie uns zum Beispiel unser Beispiel modifizieren, indem wir Klammern hinzufügen: (5 + 8) ∙ 9. Jetzt müssen Sie zuerst 5 und 8 addieren. Wir erhalten 13. Und dann 13 mit 9 multiplizieren. Wir erhalten 117. Somit ist (5 + 8) 9 = 117.
117 – Bedeutung numerischer Ausdruck (5 + 8) ∙ 9.

Um einen Ausdruck korrekt zu lesen, müssen Sie bestimmen, welche Aktion zuletzt ausgeführt wird, um den Wert eines bestimmten numerischen Ausdrucks zu berechnen. Wenn die letzte Aktion also eine Subtraktion ist, wird der Ausdruck "Differenz" genannt. Dementsprechend, wenn die letzte Aktion Summe - "Summe", Division - "Quotient", Multiplikation - "Produkt", Exponentiation - "Grad" ist.

Der numerische Ausdruck (1 + 5) (10-3) lautet beispielsweise so: "das Produkt der Summe der Zahlen 1 und 5 durch die Differenz zwischen den Zahlen 10 und 3".

Beispiele für numerische Ausdrücke.

Hier ist ein Beispiel für einen komplexeren numerischen Ausdruck:

\ [\ links (\ frac (1) (4) +3,75 \ rechts): \ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \ centerdot 0,5) \]

Dieser numerische Ausdruck verwendet Primzahlen, Brüche und Dezimalzahlen. Die Vorzeichen von Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division werden ebenfalls verwendet. Der Bruchstrich ersetzt auch das Divisionszeichen. Trotz der scheinbaren Komplexität ist es recht einfach, den Wert dieses numerischen Ausdrucks zu finden. Die Hauptsache ist, Operationen mit Brüchen durchführen sowie Berechnungen sorgfältig und genau durchführen zu können, wobei die Reihenfolge der Aktionen eingehalten wird.

In Klammern steht der Ausdruck $ \ frac (1) (4) + 3,75 $. Wandle die Dezimalzahl 3,75 in einen Bruch um.

$ 3,75 = 3 \ frac (75) (100) = 3 \ frac (3) (4) $

So, $ \ frac (1) (4) + 3,75 = \ frac (1) (4) +3 \ frac (3) (4) = 4 $

Weiter im Zähler des Bruches \ [\ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \ centerdot 0,5) \] wir haben den Ausdruck 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47. Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, wenden wir das Verschiebungsgesetz der Addition an, das besagt: "Die Summe ändert sich nicht durch die Ortsveränderung der Terme." Das heißt 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47 = 1,25 + 4,75 + 3,47-1,47 = 6 + 2 = 8.

Im Nenner des Bruches ist der Ausdruck $ 4 \ centerdot 0.5 = 4 \ centerdot \ frac (1) (2) = 4: 2 = 2 $

Wir bekommen $ \ left (\ frac (1) (4) +3,75 \ right): \ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \ centerdot 0,5) = 4: \ frac (8) (2) = 4: 4 = 1 $

Wann sind numerische Ausdrücke bedeutungslos?

Nehmen wir ein anderes Beispiel. Im Nenner des Bruches $ \ frac (5 + 5) (3 \ centerdot 3-9) $ der Wert des Ausdrucks $ 3 \ centerdot 3-9 $ ist 0. Und wie wir wissen, ist eine Division durch Null unmöglich. Daher hat der Bruch $ \ frac (5 + 5) (3 \ centerdot 3-9) $ keinen Wert. Numerische Ausdrücke, die keine Bedeutung haben, werden als "bedeutungslos" bezeichnet.

Wenn wir im numerischen Ausdruck zusätzlich zu Zahlen Buchstaben verwenden, erhalten wir bereits

Als Eltern werden Sie beim Unterrichten Ihres Kindes mehr als einmal mit der Notwendigkeit konfrontiert, bei der Lösung von Haushaltsproblemen in Mathematik, Algebra und Geometrie Hilfe zu leisten. Und eine der grundlegenden Fähigkeiten, die gelernt werden muss, ist, die Bedeutung eines Ausdrucks zu finden. Viele kommen in eine Sackgasse, denn wie viele Jahre sind vergangen, seit wir in den Klassen 3-5 studiert haben? Vieles ist schon vergessen, aber etwas nicht gelernt. Die Regeln mathematischer Operationen sind einfach und Sie werden sie sich leicht merken. Beginnen wir mit den Grundlagen dessen, was ein mathematischer Ausdruck ist.

Ausdrucksdefinition

Ein mathematischer Ausdruck ist eine Menge von Zahlen, Aktionszeichen (=, +, -, *, /), Klammern, Variablen. Kurz gesagt - dies ist eine Formel, deren Wert gefunden werden muss. Solche Formeln finden sich erst seit der Schulzeit im Mathematikunterricht, und dann verfolgen sie Schüler, die für sich selbst Spezialgebiete der exakten Wissenschaften gewählt haben. Mathematische Ausdrücke werden in trigonometrische, algebraische usw. unterteilt, wir werden nicht in den "Dschungel" stoßen.

1. Führen Sie alle Berechnungen zuerst an einem Entwurf durch und schreiben Sie ihn dann in eine Arbeitsmappe um. Auf diese Weise vermeiden Sie unnötige Kreuze und Schmutz;
2. Berechnen Sie die Gesamtzahl der im Ausdruck auszuführenden Mathematik neu. Bitte beachten Sie, dass gemäß den Regeln zuerst Aktionen in Klammern ausgeführt werden, dann Division und Multiplikation und ganz zum Schluss Subtraktion und Addition. Wir empfehlen Ihnen, alle Aktionen mit einem Bleistift zu markieren und die Zahlen in der Reihenfolge ihrer Ausführung über den Aktionen zu platzieren. In diesem Fall können Sie und das Kind sich leichter zurechtfinden;
3. Beginnen Sie mit Berechnungen, indem Sie sich strikt an die Reihenfolge der Aktionen halten. Lassen Sie das Kind, wenn die Berechnung einfach ist, versuchen, es in seinem Kopf zu machen, aber wenn es schwierig ist, dann tragen Sie die Zahl in einen Bleistift, die der Ordnungszahl des Ausdrucks entspricht, und führen Sie die Berechnung schriftlich nach der Formel durch;
4. In der Regel ist es nicht schwer, die Bedeutung eines einfachen Ausdrucks zu finden, wenn alle Berechnungen nach den Regeln und in der richtigen Reihenfolge durchgeführt werden. Die meisten stehen dem Problem genau auf the diese Phase den Wert eines Ausdrucks zu finden, seien Sie daher vorsichtig und machen Sie keine Fehler;
5. Verbieten Sie den Taschenrechner. Die mathematischen Formeln und Aufgaben selbst sind für Ihr Kind möglicherweise nicht von Nutzen, aber dies ist nicht der Zweck des Studiums. Die Hauptsache ist die Entwicklung des logischen Denkens. Wenn Sie Taschenrechner verwenden, geht die Bedeutung von allem verloren;
6. Ihre Aufgabe als Eltern ist nicht, Probleme für das Kind zu lösen, sondern ihm dabei zu helfen, es zu führen. Lassen Sie ihn alle Berechnungen selbst durchführen, und stellen Sie sicher, dass er keine Fehler macht, erklären Sie, warum Sie dies tun müssen und nicht anders.
7. Nachdem Sie die Antwort auf den Ausdruck gefunden haben, schreiben Sie sie nach dem "="-Zeichen auf;
8. Öffnen Sie die letzte Seite des Mathe-Tutorials. Normalerweise gibt es zu jeder Übung im Buch Antworten. Es schadet nicht zu überprüfen, ob alles richtig berechnet ist.

Die Bedeutung eines Ausdrucks zu finden ist einerseits eine einfache Prozedur, Hauptsache, man erinnert sich an die Grundregeln, die wir im Schulmathematikkurs durchgemacht haben. Auf der anderen Seite wird das Problem jedoch komplizierter, wenn Sie Ihrem Baby helfen müssen, mit Formeln und Problemlösungen fertig zu werden. Schließlich sind Sie jetzt kein Schüler, sondern ein Lehrer, und die Erziehung des zukünftigen Einsteins ruht auf Ihren Schultern.

Wir hoffen, dass unser Artikel Ihnen geholfen hat, die Antwort auf die Frage zu finden, wie Sie die Bedeutung eines Ausdrucks finden, und Sie können jede Formel leicht herausfinden!