Interpolationsformel zwischen zwei Werten. Bestimmung des Zwischenwerts durch lineare Interpolation

Interpolation. Einführung Allgemeine Einstellung der Aufgabe

Bei der Lösung verschiedener praktischer Probleme werden Forschungsergebnisse in Form von Tabellen vorgenommen, die die Abhängigkeit von einem oder mehreren Messwerten von einem definierenden Parameter (Argument) anzeigt. Diese Art von Tabelle wird in der Regel in Form von zwei oder mehr Zeilen (Spalten) dargestellt und werden zur Bildung mathematischer Modelle verwendet.

Die in mathematischen Modelle angegebenen Funktionen werden in der Regel in den Formulartabellen geschrieben:

Die von solchen Tabellen bereitgestellten Informationen in einigen Fällen erfordert die Werte der Funktionen yj (x) (j \u003d 1.2, ..., m) an Punkten, die nicht mit den Knotenpunkten der Tabelle I (i \u003d 0 nicht übereinstimmen , 1,2, ..., n). In solchen Fällen ist es notwendig, einen analytischen Ausdruck φ j (x) zu bestimmen, um die ungefähren Werte der Funktion der Funktion j (x) in willkürlich angegebenen Punkten zu berechnen. Die Funktion φ J (x), die zur Bestimmung der ungefähren Werte der Funktion j (x) verwendet wird, wird als angenähernde Funktion (von LatinApprximo - nähern) bezeichnet. Die Nähe der Näherungsfunktion φ j (x) an der angenähernden Funktion j (x) wird durch Auswahl des entsprechenden Annäherungsalgorithmus sichergestellt.

Alle weiteren Überlegungen und Schlussfolgerungen Wir werden für Tabellen tun, die die anfänglichen Daten einer Funktion unter studierenden Funktionen enthalten (d. H. Für Tabellen mit M \u003d 1).

1. Interpolationsmethoden

1.1 Erklärung des Problems der Interpolation

Um die Funktion φ (x) zu bestimmen, wird am häufigsten eine Anweisung verwendet, die als Formulierung des Interpolationsproblems bezeichnet wird.

In dieser klassischen Einstellung des Interpolationsproblems ist es erforderlich, die ungefähre analytische Funktionφ (x) zu ermitteln, deren Werte an den Knotenpunkten i mit Werten zusammenfallenY (x i) Quelltisch, d. H. Bedingungen

Die auf diese Weise konstruierte Näherungsfunktion φ (x) ermöglicht, eine ziemlich nahe Annäherung an die interpolierte Funktion (X) innerhalb des Bereichs der Werte des Arguments [x 0; X n] definiert durch den Tisch. Bei der Angabe der Werte der Argumente, nicht angehörendieses Intervall wird das Problem der Interpolation in die objektive Wirksamkeit umgewandelt. In diesen Fällen Genauigkeit

die Werte, die durch Berechnen der Werte der Funktion φ (x) erhalten werden, hängt von der Entfernung der Werte der Argumente von 0 ab, wenn<Х 0 , или отХ n , еслиХ >X n.

In der mathematischen Modellierung kann die Interpolationsfunktion verwendet werden, um die ungefähren Werte der Funktion der Untersuchung an den Zwischenpunkten von Unterstudien zu berechnen [x i; X i + 1]. Ein solcher Verfahren wird aufgerufen dichtungstisch.

Der Interpolationsalgorithmus wird durch das Verfahren zum Berechnen der Werte der Funktion φ (x) bestimmt. Die einfachste und offensichtliche Ausführungsform der Interpolationsfunktion besteht darin, die Funktionsfunktion (X) auf dem Intervall [x i; X i + 1] mit einer geraden Linie, die den Punkt I, y i + 1 verbindet. Diese Methode wird als lineares Interpolationsverfahren bezeichnet.

1.2 lineare Interpolation.

Bei einer linearen Interpolation wird der Wert der Funktion an dem Punkt X, der zwischen den Knoten I von I + 1 liegt, durch die Formel einer geraden Linie bestimmt, die zwei benachbarte Tischpunkte verbindet

In FIG. Fig. 1 zeigt ein Beispiel einer Tabelle, die infolge von Messungen eines bestimmten Werts y (x) erhalten wird. Reihen, Quelltabelle werden in Füllung hervorgehoben. Auf der rechten Seite der Tabelle wurde ein Punktdiagramm erstellt, das dieser Tabelle entspricht. Die Tischdichtung wird aufgrund der Berechnung durch die Formel hergestellt

(3) die Werte der angenähten Funktion an Punkten von x entsprechend den mittleren Ruten (i \u003d 0, 1, 2, ..., n).

Abb.1. Die verdichtete Tabelle der Funktion y (x) und das entsprechende Diagramm

Wenn Sie den Zeitplan in FIG. Es ist ersichtlich, dass die als Ergebnis der Tischdichtung erhaltenen Punkte unter Verwendung des linearen Interpolationsverfahrens in den Abschnitten der direkten Verbindungsstellen des Quelltisches liegen. Lineare Genauigkeit

die Interpolation hängt im Wesentlichen von der Art der interpolierten Funktion und dem Abstand zwischen den Knoten der Tabelle X i, X i + 1 ab.

Wenn die Funktion offensichtlich glatt ist, können Sie auch in einem relativ großen Abstand zwischen den Knoten, das Graph, das durch Anschließen der Punkte der geraden Linien aufgebaut ist, den Charakter der Funktion y (x) genau genauen schätzen. Wenn sich die Funktion ziemlich schnell ändert, und die Abstände zwischen Knoten groß sind, erlaubt die lineare Interpolationsfunktion nicht, eine ziemlich genaue Annäherung an eine echte Funktion zu erhalten.

Die lineare Interpolationsfunktion kann zur allgemeinen vorläufigen Analyse und Bewertung der Richtigkeit der Interpolationsergebnisse verwendet werden, die von anderen genaueren Methoden erhalten werden. Eine besonders relevante solche Beurteilung wird in Fällen, in denen die Berechnungen manuell durchgeführt werden.

1.3 Interpolation-kanonisches Polynom

Das Interpolationsverfahren der Funktion kanonischer Polynome basiert auf dem Aufbau einer Interpolationsfunktion als Polynom in der Form [1]

Die Koeffizienten mit I-Polynomialen (4) sind freie Interpolationsparameter, die aus Lagrange-Bedingungen bestimmt werden:

Pn (xi) \u003d yi, (i \u003d 0, 1, ..., n)

Verwendung (4) und (5) schreiben wir ein Gleichungssystem

Lösungen Vector mit i (i \u003d 0, 1, 2, ..., n) der linearen algebraischen Gleichungen (6) existiert und kann gefunden werden, wenn es nicht zwischen den Knoten zusammenfällt. Die Determinante des Systems (6) wird als Determinant von Vandermond1 bezeichnet und hat einen analytischen Ausdruck [2].

1 Determinant Vandermond. determinant genannt

Es ist gleich Null, wenn und nur, wenn xi \u003d xj für einige ist. (Wikipedia Material - Kostenlose Enzyklopädie)

Um die Werte der Koeffizienten mit i (i \u003d 0, 1, 2, ..., n) zu ermitteln

gleichungen (5) können in Vektor-Matrix-Form geschrieben werden

A * c \u003d y,

wo a, die Matrix der durch den Tabelle des Arguments des Arguments definierten Koeffizienten (Xi 0, Xi, Xi 2, ..., XIN) T (i \u003d 0, 1, 2, ..., n)

C - Vektorsäulenkoeffizienten I (i \u003d 0, 1, 2, ..., n), AY - Vektorspalte der Werte I (i \u003d 0, 1, 2, n) interpolierter Funktion in Interpolationsknoten.

Die Lösung dieses Systems linearer algebraischer Gleichungen kann durch eine der in [3] beschriebenen Verfahren erhalten werden. Zum Beispiel durch die Formel

wobei a -1 die Matrix inverse Matrix ist. Um eine Reverse-Matrix A -1 zu erhalten, können Sie die Funktionen () verwenden, die in den Standard-Standardfunktionen enthalten ist microsoft-Programme Excel.

Nachdem die Werte der I-Koeffizienten unter Verwendung der Funktion (4) bestimmt werden, können die Werte der interpolierten Funktion für einen beliebigen Wert der Argumente berechnet werden.

Wir schreiben die Matrix A für die in Fig. 1 gezeigte Tabelle, ohne die Linien des Dichttisches zu berücksichtigen.

Fig. 24 Matrix des Gleichungssystems zur Berechnung der Koeffizienten des kanonischen Polynoms

Mit der Messing () -Funktion erhalten wir die Matrix A -1 Inverse Matrix (Abb. 3). Danach erhalten wir gemäß der Formel (9) den Vektor der Koeffizienten \u003d (C 0, C 1, C 2, ..., C n) T, die in FIG. vier.

Um die Werte des kanonischen Polynoms in die k Canonic-Säulenzelle zu berechnen, die den Werten 0 entsprechen, führen wir die in die folgende Formel konvertierte Formel ein, die der Nulllinie des Systems entspricht (6)

C0 + x * (C1 + x * (C2 + x * (C3 + X * (C4 + X * C5))))

Anstatt "c i" in der in die Zelle eingeführten Formel aufzunehmen excel-Tabellen, es muss eine absolute Bezugnahme auf die entsprechende Zelle geben, die diesen Koeffizienten enthält (siehe Abb. 4). Anstelle von "X 0" - ein relativer Bezug auf die Zelle der Säulen (siehe Fig. 5).

Y kanonische (0) Werte, die mit dem Wert in der Linenzelle (0) zusammenfällt. Wenn die in der kanonische (0) -Zelle (0) aufgezeichnete Formel streckt, sollte man auch übereinstimmen und Werte von kanonischen (i) entsprechenden den Knotenpunkten der Initiale entsprechen

tabellen (siehe Abb. 5).

Feige. 5. Diagramme auf linearen und kanonischen Interpolationstabellen erstellt

Vergleich von Funktionen, die gemäß den von linearen und kanonischen Interpolationsformeln berechnen Tabellen errichtet wurden, sehen wir in einer Reihe von Zwischenknoten eine signifikante Abweichung der Werte, die unter Verwendung linearer und kanonischer Interpolationsformeln erhalten werden. Es ist vernünftiger, die Genauigkeit der Interpolation zu beurteilen, auf der Grundlage zusätzlicher Informationen zur Art des simulierten Prozesses.

Anweisung

Bei der Durchführung von empirischen Studien ist es oft notwendig, mit den von der zufälligen Probe erhaltenen Werte umzugehen. Aus dieser Reihe von Werten ist es erforderlich, ein Diagramm einer Funktion aufzubauen, in der andere Werte mit maximaler Genauigkeit erhalten werden. Diese Methode und genauer gesagt, die Lösung dieses Problems ist eine Annäherung an eine Kurve, d. H. Ersetzen eines Objekts oder Phänomenen durch andere, schließen Sie den Quellparameter. Die Interpolation ist wiederum eine Art Annäherung. Die Interpolation der Kurve wird als Prozess bezeichnet, in dem die Kurve der eingebauten Funktion die verfügbaren Datenpunkte durchläuft.

Die Aufgabe ist sehr nahe an der Interpolation, deren Wesen ist, um die anfängliche komplexe Funktion einer anderen, viel einfacheren Funktion anzunähern. Wenn eine separate Funktion sehr zum Berechnen ist, können Sie versuchen, seinen Wert an mehreren Punkten zu berechnen, und auf dem resultierenden Konstruktion (Interpolat) eine einfachere Funktion. Die vereinfachte Funktion erlaubt jedoch nicht, als genaue und zuverlässige Daten zu erhalten, was die Quellfunktion ergeben würde.

Interpolation durch algebraische verdrehte oder lineare Interpolation
Im Allgemeinen tritt die Interpolation einer bestimmten Funktion f (x) auf, die den Wert an den Punkten X0 und X1 annimmt, das Segment des algebraischen Twisted P1 (x) \u003d AX + B. Wenn mehr als zwei Werte der Funktion eingestellt sind, wird die gewünschte lineare Funktion durch eine Linearmot-Funktion ersetzt, wobei jeder Teil der Funktion an diesen Punkten auf dem interpolierten Segment zwischen zwei angegebenen Werten der Funktion liegt.

Interpolizierung durch die Methode endlicher Unterschiede
Diese Methode ist eines der einfachsten und weit verbreiteten Interpolationsmethoden. Seine Essenz bei der Ersetzung der Differentialkoeffizienten der Gleichung für Unterschiedsfaktoren. Diese Aktion ermöglicht es Ihnen, mit dem Unterschied analog an die Lösung der Differentialgleichung zu wechseln, mit anderen Worten, um ein Finite-Differenz-Schema aufzubauen

Erstellen einer Spline-Funktion
Eine in mathematische Modellierung verknüpfte Modellierung ist eine stückweise festgelegte Funktion, die mit Funktionen mit einem einfacheren auf jedem Element der Partitionierung seines Definitionsbereichs aufweist. Die Spline von einer Variablen wird durch Teilen des Definitionsbereichs auf eine endliche Anzahl von Segmenten erbaut, und bei jedem von denen die Spline mit einem algebraischen Polynom zusammenfällt. Der maximal verwendete Grad ist Spleiß.
Spline-Funktionen für die Aufgabe und Beschreibung von Oberflächen in verschiedene Systeme Computersimulation.

Dies ist das Kapitel von Bill Gelen.

Aufgabe: Einige technische Designprobleme erfordern die Verwendung von Tabellen, um die Parameterwerte zu berechnen. Da Tabellen diskret sind, verwendet der Designer eine lineare Interpolation, um einen Zwischenparameterwert zu erhalten. Die Tabelle (Fig. 1) umfasst die Höhe über den Boden (Steuerparameter) und Windgeschwindigkeit (berechneter Parameter). Wenn Sie beispielsweise die Windgeschwindigkeit finden müssen, die der Höhe von 47 Metern entspricht, sollte die Formel angewendet werden: 130 + (180 - 130) * 7 / (50-40) \u003d 165 m / s.

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Was ist, wenn es zwei Steuerparameter gibt? Ist es möglich, Berechnungen mit derselben Formel durchzuführen? Der Tisch (Fig. 2) zeigt Winddruckwerte für verschiedene Höhen und Größe der Spannstrukturen. Es ist erforderlich, den Winddruck in einer Höhe von 25 Metern und die Größe der Spannweite von 300 Metern zu berechnen.

Lösung: Wir lösen das Problem, indem wir das für einen Fall verwendete Methode mit einem Steuerparameter erweitern. Führen Sie die folgenden Schritte aus.

Beginnen Sie von der in FIG. 2. Fügen Sie die Quellzellen für Höhe und Spannweite in J1 bzw. J2 (Abb. 3) hinzu.

Feige. 3. Formeln in den Zellen J3: J17 Erklären Sie die Arbeit der Megaformula

Zur Vereinfachung der Verwendung definieren die Formeln die Namen (Abb. 4).

Verfolgen Sie die Arbeit der Formel nacheinander, die sich nacheinander von der J3-Zelle an die J17-Zelle bewegt.

Durch umgekehrte sequentielle Substitution sammeln Sie Megaportulu. Kopieren Sie den Text der Formel von der J17-Zelle in J19. Ersetzen Sie die Referenz auf J15 auf den Wert des Werts von J15: J7 + (J8-J7) * J11 / J13. Usw. Es stellt sich eine Formel aus, die aus 984 Zeichen besteht, die in dieser Form nicht wahrgenommen werden können. Sie können es in der angeschlossenen Excel-Datei ansehen. Nicht sicher, dass diese Art von Megaformula nützlich ist.

Zusammenfassung: Die lineare Interpolation wird verwendet, um einen Zwischenparameterwert zu erhalten, wenn die Tabellenwerte nur für die Grenzen der Bereiche eingestellt sind; Das Berechnungsverfahren für zwei Steuerparameter wird vorgeschlagen.

Viele von uns sind in verschiedenen Wissenschaften über unverständliche Bedingungen gestoßen. Es gibt jedoch sehr wenige Leute, die nicht durch unverständliche Worte ängstlich sind, aber im Gegenteil, sie ermutigen und machen immer mehr zum studierten Thema. Heute wird es um so etwas wie Interpolation sein. Dies ist ein Weg, um Diagramme an bekannten Punkten zu erstellen, sodass Sie sein Verhalten in bestimmten Bereichen der Kurve mit einer Mindestanzahl von Informationen über die Funktion vorhersagen können.

Bevor wir mit dem Wesentlichen der Sehr definitionsfähig sein und detaillierter erzählen, werden wir in der Geschichte tiefer werden.

Geschichte

Die Interpolation war seit der Antike bekannt. Dieses Phänomen ist jedoch von mehreren herausragenden Mathematikern der Vergangenheit erforderlich: Newton, Leibnitsa und Gregory. Sie haben dieses Konzept mit Hilfe fortgeschrittener mathematischer Methoden entwickelt, die zu dieser Zeit verfügbar sind. Zuvor wurde die Interpolation natürlich in den Berechnungen verwendet und verwendet, aber tat es völlig ungenaue Wege, um zu erfordern große Zahl Daten zum Erstellen eines Modells, mehr oder weniger in der Nähe der Realität.

Heute können wir sogar auswählen, welche Methoden der Interpolation mehr geeignet sind. Alles wird auf eine Computersprache übertragen, die mit großer Genauigkeit das Verhalten der Funktion in einem bestimmten Bereich vorhersagen kann, begrenzt durch bekannte Punkte.

Die Interpolation ist ein ziemlich enge Konzept, sodass seine Geschichte nicht so reich ist. Im nächsten Abschnitt werden wir damit umgehen, welche Interpolation eigentlich ist und wie sie sich von seiner gegenüberliegenden Extrapolation unterscheidet.

Was ist Interpolation?

Wie wir bereits gesprochen haben, ist dies der allgemeine Name der Möglichkeiten, einen Zeitplan an Punkten zu erstellen. In der Schule werden sie hauptsächlich durch Erstellen einer Tabelle durchgeführt, wobei Punkte auf der Grafik und der beispielhaften Konstruktion ihrer Verbindungszeile identifiziert werden. Die letzte Aktion erfolgt auf der Grundlage von Überlegungen der Ähnlichkeit der untersuchten Funktion an andere, deren Diagramme, von denen wir bekannt sind.

Es gibt jedoch andere, komplexere und genauere Möglichkeiten, die Aufgabe durchzuführen, ein Diagramm von Punkten zu erstellen. Die Interpolation ist also eigentlich die "Vorhersage" des Verhaltens der Funktion auf einer bestimmten Stelle, die durch bekannte Punkte begrenzt ist.

Es gibt ein ähnliches Konzept, das mit demselben Bereich verbunden ist - Extrapolation. Es stellt auch die Vorhersage des Graphen der Funktion dar, sondern außerhalb der bekannten Punkte des Graphen. Mit diesem Verfahren wird die Vorhersage auf der Grundlage des Verhaltens der Funktion im bekannten Intervall hergestellt, und dann wird diese Funktion für einen unbekannten Spalt verwendet. Diese Methode ist für die praktische Anwendung sehr praktisch und wird beispielsweise in der Wirtschaft aktiv verwendet, um den Start und den Markt auf dem Markt vorhersagen und die demografische Situation im Land vorherzusagen.

Aber wir sind vom Hauptthema weggezogen. Im nächsten Abschnitt werden wir beschreiben, was die Interpolation ist und mit Hilfe der, welche Formeln diese Operation erstellt werden können.

Arten von Interpolation.

Die einfachste Ansicht ist die Interpolation durch den nächsten Nachbarn. Mit dieser Methode erhalten wir einen sehr ungefähren Zeitplan, der aus Rechtecken besteht. Wenn Sie mindestens einmal eine Erklärung der geometrischen Bedeutung des Integrals in der Grafik gesehen haben, werden Sie verstehen, worauf eine grafische Formsprache ist.

Darüber hinaus gibt es andere Interpolationsmethoden. Die berühmtesten und beliebtesten sind mit Polynomen verbunden. Sie sind genauer und ermöglichen es, das Verhalten der Funktion mit einem ausreichend knapper Satz von Werten vorherzusagen. Die erste Interpolationsmethode, die wir ansehen werden, wird durch Polynome eine lineare Interpolation sein. Dies ist der einfachste Weg aus dieser Kategorie, und sie haben wahrscheinlich jeden von Ihnen in der Schule benutzt. Seine Essenz ist es, direkt zwischen bekannten Punkten zu bauen. Wie bekannt ist, in zwei Punkten der Ebene, der einzigen geraden Linie, deren Gleichung auf der Grundlage der Koordinaten dieser Punkte gefunden werden kann. Indem wir diese Gerade aufbauen, erhalten wir einen zerbrochenen Zeitplan, der dünn ist, aber die beispielhaften Werte der Funktionen spiegeln und im Allgemeinen mit der Realität übereinstimmen. Die lineare Interpolation wird also durchgeführt.

Komplette Arten von Interpolation

Es gibt mehr interessante, aber gleichzeitig mehr komplizierte Weise Interpolation. Er kam mit dem französischen Mathematiker Joseph Louis Lagrange auf. Deshalb heißt die Berechnung der Interpolation gemäß diesem Verfahren seinen Namen: Interpolation gemäß der Lagrange-Methode. Fokus Hier ist was: Wenn das im vorherige Absatz beschriebene Verfahren nur zur Berechnung verwendet wird lineare FunktionDie Zersetzung des Lagrange-Verfahrens beinhaltet auch die Verwendung von Hochgeschwindigkeits-Polynomen. Aber nicht so einfach, die Formeln der Interpolation für verschiedene Funktionen zu finden. Und desto mehr Punkte ist bekannt, desto genauer wird die Interpolationsformel erhalten. Es gibt jedoch eine Masse anderer Methoden.

Es gibt eine perfektere und ungefähre der Realitätsmethode der Berechnung. Die darin verwendete Interpolationsformel ist ein Satz von Polynomialen, wobei die Verwendung von jedem von dem Abschnitt der Funktion abhängt. Diese Methode wird als Spline-Funktion bezeichnet. Darüber hinaus gibt es auch Möglichkeiten, so etwas wie die Interpolation der Funktionen von zwei Variablen auszuführen. Es gibt nur zwei Methoden. Unter ihnen sind bilineare oder doppelte Interpolation. Mit dieser Methode können Sie problemlos einen Zeitplan an Punkten in dreidimensionaler Speicherplatz aufbauen. Andere Methoden wirken sich nicht aus. Im Allgemeinen ist Interpolation ein universelles Klettern für alle diese Möglichkeiten, um Diagramme zu erstellen, aber die Vielfalt der Methoden, die diese Aktion umgesetzt werden kann, besteht darin, sie in Gruppen in Gruppen zu teilen, abhängig von der Art der Funktionen, die dieser Aktion unterliegt. Das heißt, die Interpolation, deren Beispiel, der wir oben untersucht haben, sich auf direkte Methoden beziehen. Es gibt auch eine inversen Interpolation, die dadurch gekennzeichnet ist, dass Sie nicht direkt berechnen können, sondern eine umgekehrte Funktion (d. H. X aus y). Wir werden nicht die neuesten Optionen in Betracht ziehen, da es ziemlich schwierig ist und eine gute mathematische Wissensbasis erfordert.

Lassen Sie uns vielleicht zu einem der wichtigsten Abschnitte wenden. Daraus lernen wir, wie und wo wir diskutiert haben, dass die Kombination von Methoden im Leben angewendet wird.

Anwendung

Mathematik, wie Sie wissen, Queen Sciences. Selbst wenn Sie den Punkt nicht in bestimmten Vorgängen nicht sehen, bedeutet dies nicht, dass sie nutzlos sind. Zum Beispiel scheint es, dass Interpolation eine nutzlose Sache ist, mit der nur Grafiken errichtet werden können, die jetzt nur wenige Menschen brauchen. Mit den Berechnungen in der Technik, der Physik und der vielen anderen Wissenschaften (z. B. Biologie) ist es jedoch äußerst wichtig, ein ziemlich vollständiges Bild des Phänomens darzustellen, während er einen bestimmten Satz von Werten hat. Die entsprechenden Werte, die gemäß dem Graph zerstreut sind, geben nicht immer klare Vorstellungen über das Verhalten der Funktion in einem bestimmten Bereich, den Werten seiner Derivate und Kreuzungspunkte mit den Achsen. Und das ist für viele Bereiche unseres Lebens mit Ihnen sehr wichtig.

Wie wird es im Leben in praktisch kommen?

Es ist sehr schwierig, diese Frage zu beantworten. Aber die Antwort ist einfach: Auf keinen Fall. Es ist dieses Wissen, dass Sie nicht für Sie geeignet sind. Wenn Sie jedoch dieses Material und Methoden verstehen, mit denen diese Aktionen ausgeführt werden, kümmern Sie sich um Ihre Logik, was im Leben sehr nützlich ist. Die Hauptsache ist nicht das Wissen selbst, sondern diese Fähigkeiten, die eine Person im Prozess des Studiums erwirbt. Immerhin gibt es kein Wunder, dass es ein Sprichwort gibt: "Wir leben - ich lerne über die Augenlider."

Verwandte konzepte

Sie können verstehen, wie wichtig es war (und verliert immer noch nicht seine Bedeutung) diesen Bereich der Mathematik, der die Diversität anderer damit verbundener Konzepte betrachtet. Wir haben bereits über die Extrapolation gesprochen, aber es gibt auch Annäherungen. Vielleicht hast du dieses Wort schon gehört. In jedem Fall, was bedeutet, dass wir auch in diesem Artikel zermontiert haben. Annäherung, wie Interpolation, sind Konzepte, die mit dem Aufbau von Funktionengrafiken verbunden sind. Der Unterschied in der ersten von der zweiten ist jedoch, dass es sich um eine ungefähre Konstruktion eines Graphen auf der Grundlage ähnlicher bekannter Grafiken handelt. Diese beiden Konzepte sind untereinander sehr ähnlich, und je interessanter, jeden von ihnen zu studieren.

Fazit

Mathematik - nicht so eine komplexe Wissenschaft, da es auf den ersten Blick auf den ersten Blick erscheint. Sie ist ziemlich interessant. Und in diesem Artikel haben wir versucht, es zu beweisen. Wir haben uns die Konzepte angesehen, die mit dem Bau von Graphen verbunden sind, erfahren, was eine doppelte Interpolation ist und die Beispiele, in denen er gilt, darfuntiert.

Die Interpolation wird als eine solche Art von Annäherung bezeichnet, in der die Kurve der aufgebauten Funktion genau durch die verfügbaren Datenpunkte übergeht.

Es gibt auch ein Problem in der Nähe der Interpolation, das dabei eine komplexe Funktion einer anderen, einfacheren Funktion annähernd. Wenn einige Funktion für produktive Berechnungen zu kompliziert ist, können Sie versuchen, seinen Wert an mehreren Punkten zu berechnen, und bauen Sie sie, dh interpolat, einfachere Funktion. Natürlich erlaubt die Verwendung einer vereinfachten Funktion nicht, dass dieselben genaue Ergebnisse erzielt werden, dass die anfängliche Funktion gegeben würde. In einigen Klassen erzielten die Aufgaben jedoch die Gewinne in der Einfachheit und der Rechenraten kann den resultierenden Fehler in den Ergebnissen übersetzen.

Es sollte auch erwähnt werden und eine völlig andere Vielfalt der mathematischen Interpolation, die als "Interpolation der Operatoren" bekannt ist. Klassische Arbeit zur Interpolation der Betreiber umfasst den Theorem der Riesz-Thorin Theorem und den Marcinkiewicz Theorem, der die Grundlage für eine Vielzahl anderer Werke darstellt.

Definitionen

Betrachten Sie ein System der Unangemessene Punkte () von einem bestimmten Bereich. Lassen Sie die Funktionen der Funktion nur an diesen Punkten bekannt:

Die Interpolationsaufgabe besteht darin, nach einer solchen Funktion von einer bestimmten Funktionsklasse zu suchen

Beispiel

1. Lassen Sie uns eine Tabellenfunktion haben, wie im Folgenden, wie unten beschrieben, welche für mehrere Werte die entsprechenden Werte bestimmt:

Interpolation hilft uns, zu erfahren, was ein Wert eine solche Funktion an einem anderen Punkt als der angegebenen hat (zum Beispiel) x. = 2,5).

Bisher gibt es viele verschiedene Wege Interpolation. Die Wahl des am besten geeigneten Algorithmus hängt von den Antworten auf die Fragen ab: Wie genau wählbare Methode, wie die Kosten für die Verwendung von IT, wie glatt eine Interpolationsfunktion ist, die an Datenpunkte erfordert, usw.

2. Finden Sie einen Zwischenwert (Methode der linearen Interpolation).

Methoden der Interpolation.

Interpolation vom nächsten Nachbarn

Der einfachste Weg zur Interpolation ist die Interpolation durch den nächsten Nachbarn.

Interpolation von Polynomen

In der Praxis wird die Interpolation meistens von Polynomen verwendet. Dies ist in erster Linie darauf zurückzuführen, dass die Polynome leicht zu berechnen sind, es ist leicht, ihre Derivate und viele Polynome fest in dem Raum der kontinuierlichen Funktionen (WEIERSSTRASS-Satz) analytisch zu finden.

• IMN-1 und IMN-2
• Lagrange Polynom (Interpolation-Polynom)
• Nach dem Eitken-Schema

Umgekehrte Interpolation (Kalzinierung von x bei einem bestimmten y)

• Umgekehrte Interpolation nach Newtons Formel

Interpolation der Funktion mehrerer Variablen

Andere Wege der Interpolation

• Trigonometrische Interpolation.

Verwandtes Konzept

• Extrapolation - Methoden zum Finden von Punkten außerhalb des angegebenen Intervalls (Kurvenverlängerung)
• Annäherung - Methoden zum Aufbau von approximierten Kurven

siehe auch

• Glättung von Datenexperiment

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Watch Was ist "Interpolation" in anderen Wörterbüchern:

1) ein Verfahren, um in einer Reihe von Daten zu bestimmen, wobei die Werte aller mathematischen Ausdruckzwangwerte in den Werten aller mathematischen Ausdrucks vorhanden sind; So kann beispielsweise durch den Reichweiten des Kernelfluges in einem Ernstwinkel der Achse des Kanonenkanals 1 °, 2 °, 3 °, 4 ° usw. durch die Hilfe von ... .. . Wörterbuch der fremden Worte der russischen Sprache

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interpolation - Und G. Interpolation F. Lat. Interpolatio-Änderung; Änderung, Verzerrung. 1. Einfügen späterer Herkunft, in dem l. Der Text, der nicht zum Original gehört. Bass 1. In alten Manuskripten, viele Interpolationen, die von Korrespondenz gemacht wurden. Ehe. 1934. 2 ... Historisches Wörterbuch von Gallicalism Russische Sprache

INTERPOLATION - (Interpolatio), Nachschub Empirich. Eine Reihe von Werten von Werten der fehlenden Zwischenwerte davon. Die Interpolization kann auf drei Arten hergestellt werden: Mathematik., Zeitplan. und logisch. Sie basieren auf der allgemeinen Hypothese darüber ... Große medizinische Enzyklopädie

- ((von der lateinischen Interpolatio-Änderung, Änderung), um die Zwischenwerte des Werts gemäß einigen bekannten Werten zu finden. Beispielsweise finden Sie die Werte der Funktion y \u003d f (x) an Punkten x zwischen den Punkten X0 und XN, X0 ... Moderne Enzyklopädie.

- (von Lat. Interpolatio-Änderung ändern), in Mathematik und Statistiken, in der die Zwischenwerte des Werts nach einigen bekannten Werten findst. Zum Beispiel finden Sie die Werte der Funktion f (x) an Punkten x zwischen den Punkten XO x1 ... XN, ... ... ... Big etclyclopädisches Wörterbuch