Ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με έναν αριθμό είναι ένας τύπος. Βασικές πράξεις σε πίνακες (πρόσθεση, πολλαπλασιασμός, μεταφορά) και τις ιδιότητές τους

1ο έτος, ανώτερα μαθηματικά, σπουδές μήτρεςκαι βασικές ενέργειες πάνω τους. Εδώ συστηματοποιούμε τις κύριες πράξεις που μπορούν να εκτελεστούν με πίνακες. Πώς να ξεκινήσετε με πίνακες; Φυσικά, από τα πιο απλά - ορισμούς, βασικές έννοιες και απλούστερες πράξεις. Σας διαβεβαιώνουμε ότι οι πίνακες θα γίνουν κατανοητοί από όλους όσοι τους αφιερώνουν τουλάχιστον λίγο χρόνο!

Ορισμός μήτρας

Η μήτραείναι ένας ορθογώνιος πίνακας στοιχείων. Λοιπόν, αν απλή γλώσσα- πίνακας αριθμών.

Οι πίνακες συνήθως υποδηλώνονται με κεφαλαία λατινικά γράμματα. Για παράδειγμα, μήτρα ΕΝΑ , η μήτρα σι και τα λοιπά. Οι πίνακες μπορεί να είναι διαφορετικών μεγεθών: ορθογώνιες, τετράγωνες, υπάρχουν επίσης πίνακες σειρών και πίνακες στηλών που ονομάζονται διανύσματα. Το μέγεθος του πίνακα καθορίζεται από τον αριθμό των γραμμών και στηλών. Για παράδειγμα, ας γράψουμε μια ορθογώνια μήτρα μεγέθους Μ στο n , όπου Μ είναι ο αριθμός των γραμμών, και n είναι ο αριθμός των στηλών.

Στοιχεία για τα οποία i=j (a11, a22, .. ) σχηματίζουν την κύρια διαγώνιο του πίνακα και ονομάζονται διαγώνιοι.

Τι μπορεί να γίνει με τους πίνακες; Προσθήκη/Αφαίρεση, πολλαπλασιάστε με έναν αριθμό, πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους, μεταθέτω. Τώρα για όλες αυτές τις βασικές πράξεις σε πίνακες με τη σειρά.

Πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης πίνακα

Σας προειδοποιούμε αμέσως ότι μπορείτε να προσθέσετε μόνο πίνακες ίδιου μεγέθους. Το αποτέλεσμα είναι μια μήτρα του ίδιου μεγέθους. Η προσθήκη (ή η αφαίρεση) πινάκων είναι εύκολη − απλά προσθέστε τα αντίστοιχα στοιχεία τους . Ας πάρουμε ένα παράδειγμα. Ας κάνουμε την πρόσθεση δύο πινάκων Α και Β μεγέθους δύο προς δύο.

Η αφαίρεση γίνεται κατ' αναλογία, μόνο με το αντίθετο πρόσημο.

Οποιοσδήποτε πίνακας μπορεί να πολλαπλασιαστεί με έναν αυθαίρετο αριθμό. Για να γινει αυτο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε με αυτόν τον αριθμό κάθε στοιχείο του. Για παράδειγμα, ας πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα A από το πρώτο παράδειγμα με τον αριθμό 5:

Λειτουργία πολλαπλασιασμού μήτρας

Δεν μπορούν να πολλαπλασιαστούν όλοι οι πίνακες μεταξύ τους. Για παράδειγμα, έχουμε δύο πίνακες - Α και Β. Μπορούν να πολλαπλασιαστούν ο ένας με τον άλλο μόνο εάν ο αριθμός των στηλών του πίνακα Α είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του πίνακα Β. Επιπλέον, κάθε στοιχείο του πίνακα που προκύπτει στην i-η σειρά και j-η στήλη, θα ισούται με το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων στοιχείων της i-ης σειράς του πρώτου παράγοντα και της j-ης στήλης του δεύτερου. Για να κατανοήσουμε αυτόν τον αλγόριθμο, ας γράψουμε πώς πολλαπλασιάζονται δύο τετραγωνικοί πίνακες:

Και ένα παράδειγμα με πραγματικούς αριθμούς. Ας πολλαπλασιάσουμε τους πίνακες:

Λειτουργία μεταφοράς μήτρας

Η μεταφορά πίνακα είναι μια πράξη όπου οι αντίστοιχες γραμμές και στήλες ανταλλάσσονται. Για παράδειγμα, μεταφέρουμε τον πίνακα Α από το πρώτο παράδειγμα:

Ορίζουσα μήτρας

Η ορίζουσα, ω η ορίζουσα, είναι μια από τις βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Κάποτε οι άνθρωποι σκέφτηκαν γραμμικές εξισώσεις, και πίσω τους έπρεπε να εφεύρουμε μια ορίζουσα. Στο τέλος, είναι στο χέρι σου να τα αντιμετωπίσεις όλα αυτά, οπότε το τελευταίο σπρώξιμο!

Η ορίζουσα είναι ένα αριθμητικό χαρακτηριστικό ενός τετραγωνικού πίνακα, που απαιτείται για την επίλυση πολλών προβλημάτων.
Για να υπολογίσετε την ορίζουσα του απλούστερου τετραγωνικού πίνακα, πρέπει να υπολογίσετε τη διαφορά μεταξύ των γινομένων των στοιχείων της κύριας και της δευτερεύουσας διαγωνίου.

Η ορίζουσα ενός πίνακα πρώτης τάξης, δηλαδή που αποτελείται από ένα στοιχείο, είναι ίση με αυτό το στοιχείο.

Τι γίνεται αν η μήτρα είναι τρία επί τρία; Αυτό είναι πιο δύσκολο, αλλά μπορεί να γίνει.

Για έναν τέτοιο πίνακα, η τιμή της ορίζουσας είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων της κύριας διαγωνίου και των γινομένων των στοιχείων που βρίσκονται σε τρίγωνα με όψη παράλληλη προς την κύρια διαγώνιο, από την οποία το γινόμενο των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγωνίου και αφαιρείται το γινόμενο των στοιχείων που βρίσκονται σε τρίγωνα με όψη παράλληλη προς τη δευτερεύουσα διαγώνιο.

Ευτυχώς, για να υπολογιστούν οι ορίζουσες των πινάκων μεγάλα μεγέθησπάνια συμβαίνει στην πράξη.

Εδώ έχουμε εξετάσει τις βασικές πράξεις σε πίνακες. Φυσικά, στην πραγματική ζωή δεν μπορείτε ποτέ να συναντήσετε ούτε έναν υπαινιγμό ενός συστήματος εξισώσεων μήτρας ή το αντίστροφο, μπορεί να συναντήσετε πολύ πιο περίπλοκες περιπτώσεις όταν πρέπει πραγματικά να βάλετε τα μυαλά σας. Για τέτοιες περιπτώσεις υπάρχει επαγγελματική φοιτητική υπηρεσία. Ζητήστε βοήθεια, αποκτήστε ποιότητα και αναλυτική λύση, απολαύστε ακαδημαϊκή επιτυχία και ελεύθερο χρόνο.

Αυτός ο οδηγός θα σας βοηθήσει να μάθετε πώς να λειτουργίες μήτρας: πρόσθεση (αφαίρεση) πινάκων, μεταφορά πίνακα, πολλαπλασιασμός πινάκων, εύρεση του αντιστρόφου πίνακα. Όλο το υλικό παρουσιάζεται σε απλή και προσβάσιμη μορφή, δίνονται σχετικά παραδείγματα, έτσι ώστε ακόμη και ένα απροετοίμαστο άτομο να μπορεί να μάθει πώς να εκτελεί ενέργειες με πίνακες. Για αυτοέλεγχο και αυτοέλεγχο, μπορείτε να κατεβάσετε μια αριθμομηχανή μήτρας δωρεάν >>>.

Θα προσπαθήσω να ελαχιστοποιήσω τους θεωρητικούς υπολογισμούς, σε ορισμένα σημεία είναι δυνατές εξηγήσεις "στα δάχτυλα" και η χρήση αντιεπιστημονικών όρων. Οι λάτρεις της στέρεης θεωρίας, μην ασκείτε κριτική, το καθήκον μας είναι μάθετε πώς να εργάζεστε με πίνακες.

Για ΥΠΕΡΓΡΗΓΟΡΗ προετοιμασία στο θέμα (ποιος "καίει") υπάρχει εντατικό μάθημα pdf Μήτρα, ορίζουσα και μετατόπιση!

Μια μήτρα είναι ένας ορθογώνιος πίνακας ορισμένων στοιχεία. Οπως και στοιχείαθα εξετάσουμε αριθμούς, δηλαδή αριθμητικούς πίνακες. ΣΤΟΙΧΕΙΟείναι όρος. Είναι επιθυμητό να θυμάστε τον όρο, θα εμφανίζεται συχνά, δεν είναι τυχαίο που χρησιμοποίησα έντονη γραφή για να τον τονίσω.

Ονομασία:Οι πίνακες συνήθως υποδηλώνονται με κεφαλαία λατινικά γράμματα

Παράδειγμα:Εξετάστε έναν πίνακα δύο προς τρία:

Αυτός ο πίνακας αποτελείται από έξι στοιχεία:

Όλοι οι αριθμοί (στοιχεία) μέσα στον πίνακα υπάρχουν μόνοι τους, δηλαδή δεν τίθεται θέμα αφαίρεσης:

Είναι απλώς ένας πίνακας (σετ) αριθμών!

Θα συμφωνήσουμε και εμείς μην αναδιατάξετεαριθμός, εκτός εάν αναφέρεται διαφορετικά στην εξήγηση. Κάθε αριθμός έχει τη δική του τοποθεσία και δεν μπορείτε να τους ανακατέψετε!

Ο εν λόγω πίνακας έχει δύο σειρές:

και τρεις στήλες:

ΠΡΟΤΥΠΟ: όταν μιλάμε για τις διαστάσεις του πίνακα, τότε αρχικάυποδείξτε τον αριθμό των σειρών και μόνο τότε - τον αριθμό των στηλών. Μόλις αναλύσαμε τη μήτρα δύο προς τρία.

Εάν ο αριθμός των σειρών και των στηλών ενός πίνακα είναι ο ίδιος, τότε ο πίνακας ονομάζεται τετράγωνο, για παράδειγμα: είναι ένας πίνακας τρία προς τρία.

Εάν ο πίνακας έχει μία στήλη ή μία γραμμή, τότε καλούνται και αυτοί οι πίνακες φορείς.

Στην πραγματικότητα, γνωρίζουμε την έννοια του πίνακα από το σχολείο, σκεφτείτε, για παράδειγμα, ένα σημείο με συντεταγμένες "x" και "y": . Ουσιαστικά, οι συντεταγμένες ενός σημείου γράφονται σε έναν πίνακα ένα προς δύο. Παρεμπιπτόντως, εδώ είναι ένα παράδειγμα για εσάς γιατί η σειρά των αριθμών έχει σημασία: και είναι δύο εντελώς διαφορετικά σημεία του επιπέδου.

Τώρα ας περάσουμε στη μελέτη. λειτουργίες μήτρας:

1) Πρώτη δράση. Αφαίρεση ενός μείον από έναν πίνακα (Εισαγωγή του μείον σε έναν πίνακα).

Επιστροφή στο matrix μας . Όπως πιθανότατα προσέξατε, υπάρχουν πάρα πολλοί αρνητικοί αριθμοί σε αυτόν τον πίνακα. Αυτό είναι πολύ άβολο όσον αφορά την εκτέλεση διαφόρων ενεργειών με τη μήτρα, είναι άβολο να γράφετε τόσα πολλά μειονεκτήματα και φαίνεται απλώς άσχημο στο σχέδιο.

Ας μετακινήσουμε το μείον έξω από τον πίνακα αλλάζοντας το πρόσημο ΚΑΘΕ στοιχείου του πίνακα:

Στο μηδέν, όπως καταλαβαίνετε, το πρόσημο δεν αλλάζει, μηδέν - είναι μηδέν και στην Αφρική.

Αντίστροφο παράδειγμα: . Φαίνεται άσχημο.

Εισάγουμε ένα μείον στον πίνακα αλλάζοντας το πρόσημο ΚΑΘΕ στοιχείου του πίνακα:

Λοιπόν, είναι πολύ πιο όμορφο. Και, το πιο σημαντικό, θα είναι πιο εύκολο να εκτελέσετε οποιεσδήποτε ενέργειες με τη μήτρα. Επειδή υπάρχει ένα τέτοιο μαθηματικό λαϊκό σημάδι: όσο περισσότερα μειονεκτήματα - τόσο περισσότερη σύγχυση και λάθη.

2) Δράση δεύτερη. Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό.

Παράδειγμα:

Είναι απλό, για να πολλαπλασιάσετε έναν πίνακα με έναν αριθμό, χρειάζεστε κάθεπολλαπλασιάστε το στοιχείο του πίνακα με τον δεδομένο αριθμό. ΣΕ αυτή η υπόθεση- για τρεις.

Ένα άλλο χρήσιμο παράδειγμα:

– πολλαπλασιασμός πίνακα με κλάσμα

Ας δούμε πρώτα τι πρέπει να κάνουμε ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ:

ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ να εισαγάγετε ένα κλάσμα στη μήτρα, πρώτον, αυτό μόνο δυσκολεύει περαιτέρω ενέργειεςμε μήτρα, δεύτερον, δυσκολεύει τον δάσκαλο να ελέγξει τη λύση (ειδικά αν - η τελική απάντηση της εργασίας).

Και ιδιαιτερα, ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙδιαιρέστε κάθε στοιχείο του πίνακα με μείον επτά:

Από το άρθρο Μαθηματικά για ανδρείκελα ή από πού να ξεκινήσετε, θυμόμαστε ότι τα δεκαδικά κλάσματα με κόμμα στα ανώτερα μαθηματικά προσπαθούν με κάθε δυνατό τρόπο να τα αποφύγουν.

Το μόνο πράγμα επιθυμητόςνα κάνετε σε αυτό το παράδειγμα είναι να εισαγάγετε ένα μείον στον πίνακα:

Αλλα αν ΟΛΑΤα στοιχεία μήτρας διαιρέθηκαν με 7 χωρίς ίχνος, τότε θα ήταν δυνατή (και αναγκαία!) η διαίρεση.

Παράδειγμα:

Σε αυτή την περίπτωση, μπορείτε ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΗπολλαπλασιάστε όλα τα στοιχεία του πίνακα με , αφού όλοι οι αριθμοί του πίνακα διαιρούνται με το 2 χωρίς ίχνος.

Σημείωση: θεωρητικά ανώτερα μαθηματικάδεν υπάρχει σχολική έννοια «διαίρεση». Αντί για τη φράση "αυτό διαιρείται με αυτό", μπορείτε πάντα να πείτε "αυτό πολλαπλασιάζεται με ένα κλάσμα". Δηλαδή η διαίρεση είναι ειδική περίπτωση πολλαπλασιασμού.

3) Δράση τρίτη. Μεταφορά μήτρας.

Για να μεταφέρετε έναν πίνακα, πρέπει να γράψετε τις σειρές του στις στήλες του μετατιθέμενου πίνακα.

Παράδειγμα:

Μεταφορά Matrix

Υπάρχει μόνο μία γραμμή εδώ και, σύμφωνα με τον κανόνα, πρέπει να γραφτεί σε μια στήλη:

είναι ο μετατιθέμενος πίνακας.

Ο μετατιθέμενος πίνακας συνήθως υποδηλώνεται με έναν εκθέτη ή ένα κτύπημα πάνω δεξιά.

Παράδειγμα βήμα προς βήμα:

Μεταφορά Matrix

Αρχικά, ξαναγράφουμε την πρώτη σειρά στην πρώτη στήλη:

Στη συνέχεια ξαναγράφουμε τη δεύτερη σειρά στη δεύτερη στήλη:

Και τέλος, ξαναγράφουμε την τρίτη σειρά στην τρίτη στήλη:

Ετοιμος. Σε γενικές γραμμές, το να μεταφέρεις σημαίνει να γυρίσεις τη μήτρα από την πλευρά της.

4) Δράση τέταρτη. Άθροισμα (διαφορά) πινάκων.

Το άθροισμα των πινάκων είναι μια απλή πράξη.
ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΔΙΠΛΩΘΟΥΝ ΟΛΕΣ ΟΙ ΜΕΤΡΕΣ. Για να γίνει πρόσθεση (αφαίρεση) πινάκων, είναι απαραίτητο να έχουν ΙΔΙΟ ΜΕΓΕΘΟΣ.

Για παράδειγμα, εάν δοθεί ένας πίνακας δύο προς δύο, τότε μπορεί να προστεθεί μόνο σε έναν πίνακα δύο προς δύο και κανένας άλλος!

Παράδειγμα:

Προσθέστε πίνακες Και

Για να προσθέσετε πίνακες, πρέπει να προσθέσετε τα αντίστοιχα στοιχεία τους:

Για τη διαφορά των πινάκων, ο κανόνας είναι παρόμοιος, είναι απαραίτητο να βρεθεί η διαφορά των αντίστοιχων στοιχείων.

Παράδειγμα:

Βρείτε τη διαφορά των πινάκων ,

Πώς να αποφασίσετε δεδομένο παράδειγμαπιο εύκολο να αποφευχθεί η σύγχυση; Συνιστάται να απαλλαγείτε από τα περιττά μειονεκτήματα, γι 'αυτό θα προσθέσουμε ένα μείον στη μήτρα:

Σημείωση: στη θεωρία των ανώτερων μαθηματικών δεν υπάρχει σχολική έννοια της «αφαίρεσης». Αντί για τη φράση "αφαιρέστε αυτό από αυτό", μπορείτε πάντα να πείτε "προσθέστε έναν αρνητικό αριθμό σε αυτό". Δηλαδή η αφαίρεση είναι ειδική περίπτωση πρόσθεσης.

5) Δράση πέμπτη. Πολλαπλασιασμός πίνακα.

Ποιοι πίνακες μπορούν να πολλαπλασιαστούν;

Για να πολλαπλασιαστεί ένας πίνακας με έναν πίνακα, έτσι ώστε ο αριθμός των στηλών του πίνακα να είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του πίνακα.

Παράδειγμα:
Είναι δυνατός ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με έναν πίνακα;

Έτσι, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τα δεδομένα του πίνακα.

Αλλά εάν οι πίνακες αναδιαταχθούν, τότε, σε αυτήν την περίπτωση, ο πολλαπλασιασμός δεν είναι πλέον δυνατός!

Επομένως, ο πολλαπλασιασμός είναι αδύνατος:

Δεν είναι ασυνήθιστο για εργασίες με κόλπο, όταν ένας μαθητής καλείται να πολλαπλασιάσει πίνακες, ο πολλαπλασιασμός των οποίων είναι προφανώς αδύνατος.

Πρέπει να σημειωθεί ότι σε ορισμένες περιπτώσεις είναι δυνατός ο πολλαπλασιασμός των πινάκων και με τους δύο τρόπους.
Για παράδειγμα, για πίνακες, και ο πολλαπλασιασμός και ο πολλαπλασιασμός είναι δυνατοί

Αυτό το θέμα θα καλύψει πράξεις όπως πρόσθεση και αφαίρεση πινάκων, πολλαπλασιασμός πίνακα με αριθμό, πολλαπλασιασμός πίνακα με πίνακα, μεταφορά πίνακα. Όλα τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται σε αυτή τη σελίδα προέρχονται από το προηγούμενο θέμα.

Πρόσθεση και αφαίρεση πινάκων.

Το άθροισμα $A+B$ των πινάκων $A_(m\times n)=(a_(ij))$ και $B_(m\times n)=(b_(ij))$ είναι ο πίνακας $C_(m \ φορές n) =(c_(ij))$, όπου $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ για όλα τα $i=\overline(1,m)$ και $j=\overline( 1, n) $.

Παρόμοιος ορισμός εισάγεται για τη διαφορά των πινάκων:

Η διαφορά $AB$ των πινάκων $A_(m\times n)=(a_(ij))$ και $B_(m\times n)=(b_(ij))$ είναι ο πίνακας $C_(m\times n)=( c_(ij))$, όπου $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ για όλα τα $i=\overline(1,m)$ και $j=\overline(1, ιδ) $.

Επεξήγηση για την καταχώρηση $i=\overline(1,m)$: show\hide

Η καταχώρηση "$i=\overline(1,m)$" σημαίνει ότι η παράμετρος $i$ αλλάζει από 1 σε m. Για παράδειγμα, η καταχώρηση $i=\overline(1,5)$ λέει ότι η παράμετρος $i$ λαμβάνει τις τιμές 1, 2, 3, 4, 5.

Αξίζει να σημειωθεί ότι οι πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης ορίζονται μόνο για πίνακες ίδιου μεγέθους. Γενικά, η πρόσθεση και η αφαίρεση πινάκων είναι πράξεις που είναι διαισθητικά σαφείς, επειδή σημαίνουν, στην πραγματικότητα, απλώς το άθροισμα ή την αφαίρεση των αντίστοιχων στοιχείων.

Παράδειγμα #1

Δίνονται τρεις πίνακες:

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (cccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Είναι δυνατόν να βρεθεί ο πίνακας $A+F$; Βρείτε τους πίνακες $C$ και $D$ εάν $C=A+B$ και $D=A-B$.

Ο πίνακας $A$ περιέχει 2 σειρές και 3 στήλες (με άλλα λόγια, το μέγεθος του πίνακα $A$ είναι $2\ επί 3$) και ο πίνακας $F$ περιέχει 2 σειρές και 2 στήλες. Οι διαστάσεις του πίνακα $A$ και $F$ δεν ταιριάζουν, επομένως δεν μπορούμε να τις προσθέσουμε, π.χ. η πράξη $A+F$ για αυτούς τους πίνακες δεν έχει οριστεί.

Τα μεγέθη των πινάκων $A$ και $B$ είναι τα ίδια, δηλ. Τα δεδομένα μήτρας περιέχουν ίσο αριθμό σειρών και στηλών, επομένως η λειτουργία πρόσθεσης είναι εφαρμόσιμη σε αυτές.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (cccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Βρείτε τον πίνακα $D=A-B$:

$$ D=AB=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( cc ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(πίνακας) \δεξιά) $$

Απάντηση: $C=\left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (cccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό.

Το γινόμενο του πίνακα $A_(m\times n)=(a_(ij))$ και ο αριθμός $\alpha$ είναι ο πίνακας $B_(m\times n)=(b_(ij))$, όπου $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ για όλα τα $i=\overline(1,m)$ και $j=\overline(1,n)$.

Με απλά λόγια, ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με κάποιον αριθμό σημαίνει να πολλαπλασιάσετε κάθε στοιχείο του δεδομένου πίνακα με αυτόν τον αριθμό.

Παράδειγμα #2

Δίνεται ένας πίνακας: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Βρείτε πίνακες $3\cdot A$, $-5\cdot A$ και $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( πίνακας) (cccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (πίνακας) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \δεξιά). $$

Ο συμβολισμός $-A$ είναι συντομογραφία για $-1\cdot A$. Δηλαδή, για να βρείτε $-A$, πρέπει να πολλαπλασιάσετε όλα τα στοιχεία του πίνακα $A$ επί (-1). Στην πραγματικότητα, αυτό σημαίνει ότι το πρόσημο όλων των στοιχείων του πίνακα $A$ θα αλλάξει στο αντίθετο:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ αριστερά(\αρχή(πίνακας) (cccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Απάντηση: $3\cdot A=\left(\begin(array) (cccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Το γινόμενο δύο πινάκων.

Ο ορισμός αυτής της λειτουργίας είναι δυσκίνητος και, εκ πρώτης όψεως, ακατανόητος. Επομένως, θα αναφέρω πρώτα έναν γενικό ορισμό και, στη συνέχεια, θα αναλύσουμε λεπτομερώς τι σημαίνει και πώς να εργαστείτε με αυτό.

Το γινόμενο του πίνακα $A_(m\times n)=(a_(ij))$ και του πίνακα $B_(n\times k)=(b_(ij))$ είναι ο πίνακας $C_(m\times k )=(c_( ij))$ για το οποίο κάθε στοιχείο $c_(ij)$ είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων στοιχείων i-η γραμμήπίνακας $A$ από στοιχεία της j-ης στήλης του πίνακα $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\ ; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Βήμα προς βήμα, θα αναλύσουμε τον πολλαπλασιασμό των πινάκων χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα. Ωστόσο, θα πρέπει να προσέξετε αμέσως ότι δεν μπορούν να πολλαπλασιαστούν όλοι οι πίνακες. Εάν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα $A$ με τον πίνακα $B$, τότε πρώτα πρέπει να βεβαιωθούμε ότι ο αριθμός των στηλών του πίνακα $A$ είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του πίνακα $B$ (τέτοιοι πίνακες συχνά ονομάζονται σύμφωνος). Για παράδειγμα, ο πίνακας $A_(5\times 4)$ (ο πίνακας περιέχει 5 σειρές και 4 στήλες) δεν μπορεί να πολλαπλασιαστεί με τον πίνακα $F_(9\times 8)$ (9 σειρές και 8 στήλες), καθώς ο αριθμός των στηλών ο πίνακας $A $ δεν είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του πίνακα $F$, δηλ. $4\nq 9 $. Αλλά είναι δυνατός ο πολλαπλασιασμός του πίνακα $A_(5\ φορές 4)$ με τον πίνακα $B_(4\ φορές 9)$, αφού ο αριθμός των στηλών του πίνακα $A$ είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του μήτρα $B$. Σε αυτήν την περίπτωση, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των πινάκων $A_(5\ φορές 4)$ και $B_(4\ φορές 9)$ είναι ο πίνακας $C_(5\ φορές 9)$, που περιέχει 5 σειρές και 9 στήλες:

Παράδειγμα #3

Δίνονται πίνακες: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (πίνακας) \δεξιά)$ και $ B=\αριστερά(\αρχή(πίνακας) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(πίνακας) \δεξιά) $. Βρείτε τον πίνακα $C=A\cdot B$.

Αρχικά, προσδιορίζουμε αμέσως το μέγεθος του πίνακα $C$. Δεδομένου ότι ο πίνακας $A$ έχει μέγεθος $3 \ φορές 4 $ και ο πίνακας $B $ έχει μέγεθος $4 \ φορές 2 $, το μέγεθος του πίνακα $C$ είναι $3 \ φορές 2 $:

Έτσι, ως αποτέλεσμα του γινόμενου των πινάκων $A$ και $B$, θα πρέπει να λάβουμε τον πίνακα $C$, που αποτελείται από τρεις σειρές και δύο στήλες: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(πίνακας) \δεξιά)$. Εάν οι χαρακτηρισμοί των στοιχείων εγείρουν ερωτήματα, τότε μπορείτε να δείτε το προηγούμενο θέμα: "Πίνακες. Τύποι πινάκων. Βασικοί όροι", στην αρχή του οποίου εξηγείται ο χαρακτηρισμός των στοιχείων του πίνακα. Στόχος μας είναι να βρούμε τις τιμές όλων των στοιχείων του πίνακα $C$.

Ας ξεκινήσουμε με το στοιχείο $c_(11)$. Για να λάβετε το στοιχείο $c_(11)$, πρέπει να βρείτε το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων της πρώτης σειράς του πίνακα $A$ και της πρώτης στήλης του πίνακα $B$:

Για να βρείτε το ίδιο το στοιχείο $c_(11)$, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα $A$ με τα αντίστοιχα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα $B$, δηλ. το πρώτο στοιχείο στο πρώτο, το δεύτερο στο δεύτερο, το τρίτο στο τρίτο, το τέταρτο στο τέταρτο. Συνοψίζουμε τα αποτελέσματα που προέκυψαν:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Ας συνεχίσουμε τη λύση και ας βρούμε το $c_(12)$. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα $A$ και της δεύτερης στήλης του πίνακα $B$:

Όπως και στο προηγούμενο έχουμε:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Βρίσκονται όλα τα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα $C$. Περνάμε στη δεύτερη γραμμή, η οποία ξεκινά με το στοιχείο $c_(21)$. Για να το βρείτε, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα στοιχεία της δεύτερης σειράς του πίνακα $A$ και της πρώτης στήλης του πίνακα $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Το επόμενο στοιχείο $c_(22)$ βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία της δεύτερης σειράς του πίνακα $A$ με τα αντίστοιχα στοιχεία της δεύτερης στήλης του πίνακα $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Για να βρούμε το $c_(31)$ πολλαπλασιάζουμε τα στοιχεία της τρίτης σειράς του πίνακα $A$ με τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Και, τέλος, για να βρείτε το στοιχείο $c_(32)$, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα στοιχεία της τρίτης σειράς του πίνακα $A$ με τα αντίστοιχα στοιχεία της δεύτερης στήλης του πίνακα $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Βρέθηκαν όλα τα στοιχεία του πίνακα $C$, μένει μόνο να σημειωθεί ότι $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \δεξιά)$ . Ή, για να το γράψω ολόκληρο:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Απάντηση: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Παρεμπιπτόντως, συχνά δεν υπάρχει λόγος να περιγράψουμε λεπτομερώς τη θέση κάθε στοιχείου του πίνακα αποτελεσμάτων. Για πίνακες, το μέγεθος των οποίων είναι μικρό, μπορείτε να κάνετε τα εξής:

Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι μη αντικαταστατικός. Αυτό σημαίνει ότι γενικά $A\cdot B\neq B\cdot A$. Μόνο για ορισμένους τύπους πινάκων, οι οποίοι καλούνται μεταβαλλόμενη(ή μετακίνηση), η ισότητα $A\cdot B=B\cdot A$ είναι αληθής. Βάσει της μη-ανταλλαγής του πολλαπλασιασμού απαιτείται να υποδεικνύεται ακριβώς πώς πολλαπλασιάζουμε την έκφραση με έναν ή τον άλλο πίνακα: στα δεξιά ή στα αριστερά. Για παράδειγμα, η φράση "πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της ισότητας $3EF=Y$ με τον πίνακα $A$ στα δεξιά" σημαίνει ότι θέλετε να λάβετε την ακόλουθη ισότητα: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot Α$.

Μεταφέρεται σε σχέση με τον πίνακα $A_(m\times n)=(a_(ij))$ είναι ο πίνακας $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, για στοιχεία όπου $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Με απλά λόγια, για να λάβετε τον μετατιθέμενο πίνακα $A^T$, πρέπει να αντικαταστήσετε τις στήλες στον αρχικό πίνακα $A$ με τις αντίστοιχες γραμμές σύμφωνα με αυτήν την αρχή: υπήρχε η πρώτη σειρά - η πρώτη στήλη θα γίνει. υπήρχε μια δεύτερη σειρά - η δεύτερη στήλη θα γίνει. υπήρχε μια τρίτη σειρά - θα υπάρχει μια τρίτη στήλη και ούτω καθεξής. Για παράδειγμα, ας βρούμε τον μεταφερόμενο πίνακα στον πίνακα $A_(3\times 5)$:

Αντίστοιχα, αν ο αρχικός πίνακας είχε μέγεθος $3\ φορές 5$, τότε ο μεταφερόμενος πίνακας έχει μέγεθος $5\ φορές 3 $.

Μερικές ιδιότητες πράξεων σε πίνακες.

Υποτίθεται εδώ ότι οι $\alpha$, $\beta$ είναι ορισμένοι αριθμοί και οι $A$, $B$, $C$ είναι πίνακες. Για τα τέσσερα πρώτα ακίνητα, υπέδειξα τα ονόματα, τα υπόλοιπα μπορούν να ονομαστούν κατ' αναλογία με τα τέσσερα πρώτα.

1. $A+B=B+A$ (ανταλλαγή της πρόσθεσης)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (συσχετισμός προσθήκης)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (κατανομή πολλαπλασιασμού με έναν πίνακα σε σχέση με την πρόσθεση αριθμών)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (κατανομή πολλαπλασιασμού με έναν αριθμό σε σχέση με την πρόσθεση πίνακα)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, όπου το $E$ είναι ο πίνακας ταυτότητας της αντίστοιχης σειράς.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, όπου το $O$ είναι ένας μηδενικός πίνακας του αντίστοιχου μεγέθους.
10. $\αριστερά(A^T \δεξιά)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

Στο επόμενο μέρος, θα εξεταστεί η λειτουργία της αύξησης μιας μήτρας σε μια μη αρνητική ακέραια ισχύ και θα λυθούν παραδείγματα στα οποία θα απαιτηθούν πολλές πράξεις σε πίνακες.