マトリックスをステップワイズ形式に変換します。対角行列。ベクトルの線形依存性の基準

意味

正方行列はと呼ばれます 対角線、主対角線の外側にあるすべての要素がゼロに等しい場合。

コメント。行列の対角要素 (つまり、主対角要素) がゼロになることもあります。

例

意味

スカラーすべての対角要素が互いに等しい対角行列と呼ばれます。

コメント。ヌル行列が正方形の場合、それはスカラーでもあります。

例

意味

恒等行列は、対角要素が 1 に等しい次数のスカラー行列です。

コメント。表記を短くするために単位行列の順序を省略することができ、単位行列は単にで表されます。

例

は 2 次単位行列です。

2.10. 行列を対角形式に縮小する

通常の (特に対称) 行列あ相似変換によって対角形にすることができます -

あ = た −1

ここ Λ = diag(λ 1 ,..., λ N) は、要素が行列の固有値である対角行列です。あ、A T行列の対応する固有ベクトルで構成される行列です。あ、つまり T = (v 1 ,...,v N).

例えば、

米。 23 対角形式への還元

ステップマトリックス

意味

段付きは次の条件を満たす行列です。

意味

段付きは、行を含み、最初の対角要素がゼロ以外で、主対角より下の要素と最後の行の要素が 0 に等しい行列と呼ばれます。つまり、次の形式の行列です。

意味

主な要素行列の行の最初の非ゼロ要素が呼び出されます。

例

エクササイズ。行列の各行の主要素を見つけます。

解決。最初の行の主要素はその行の最初の非ゼロ要素であり、したがって行番号 1 の主要素になります。同様に、2行目の主要要素です。

ステップ行列の別の定義。

意味

マトリックスはと呼ばれます 段差のある、もし：

すべてのゼロ行は非ゼロ行の後に来ます。

2 行目から始まるゼロ以外の各行では、その主要素は前の行の主要素の右側 (大きい番号の列) に配置されます。

定義上、ステップ行列には、1 行を含む行列だけでなく、ゼロ行列も含まれます。

例

ステップ行列の例:

, , , ,

エシェロンではない行列の例:

, ,

例

エクササイズ。行列があるかどうかを調べます。踏み出した。

解決。定義から条件が満たされていることを確認します。

したがって、指定された行列は段階的です。

このトピックでは、行列の概念と行列の種類について説明します。このトピックには多くの用語があるため、資料を読みやすくするために簡単な概要を追加します。

行列とその要素の定義。表記。

マトリックス$m$ 行と $n$ 列からなるテーブルです。行列の要素は、数値、変数、または他の行列など、まったく異なる性質のオブジェクトにすることができます。たとえば、行列 $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ には 3 行 2 列が含まれます。その要素は整数です。行列 $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ 2 行 4 列が含まれます。

行列を記述するさまざまな方法: show\hide

マトリックスは丸括弧だけでなく、角括弧や二重正括弧で書くこともできます。以下は、同じ行列を異なる表記形式で示したものです。

$$ \left(\begin(配列) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(配列) \right);\;\; \left[ \begin(配列) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(配列) \right]; \;\; \left \Vert \begin(配列) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(配列) \right \Vert $$

積 $m\times n$ が呼び出されます マトリックスサイズ。たとえば、行列に 5 行と 3 列が含まれる場合、サイズ $5\times 3$ の行列と言います。行列 $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ のサイズは $3 \times 2$ です。

通常、行列は、$A$、$B$、$C$ などのラテン文字の大文字で表されます。たとえば、$B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ となります。行番号は上から下に付けられます。列 - 左から右へ。たとえば、行列 $B$ の最初の行には要素 5 と 3 が含まれ、2 番目の列には要素 3、-87、0 が含まれます。

行列の要素は通常、小さな文字で表されます。たとえば、行列 $A$ の要素は $a_(ij)$ で表されます。二重インデックス $ij$ には、行列内の要素の位置に関する情報が含まれます。数値 $i$ は行番号、数値 $j$ は列番号で、その交点に要素 $a_(ij)$ があります。たとえば、行列の 2 行目と 5 列目の交点 $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ 要素$a_(25)= $59:

同様に、最初の行と最初の列の交差点に要素 $a_(11)=51$ があります。 3 行目と 2 列目の交差点 - 要素 $a_(32)=-15$ など。エントリ $a_(32)$ は「a 3 two」ではなく「a thirty two」であることに注意してください。

サイズが $m\times n$ である行列 $A$ を省略するには、$A_(m\times n)$ という表記が使用されます。次の表記がよく使用されます。

$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$

ここで $(a_(ij))$ は行列 $A$ の要素の指定を示します。行列 $A$ の要素が $a_(ij)$ として表されると述べています。拡張形式では、行列 $A_(m\times n)=(a_(ij))$ は次のように記述できます。

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

別の用語を紹介しましょう - 等行列.

同じサイズの 2 つの行列 $A_(m\times n)=(a_(ij))$ と $B_(m\times n)=(b_(ij))$ が呼び出されます 等しい、対応する要素が等しい場合、つまりすべての $i=\overline(1,m)$ および $j=\overline(1,n)$ に対して $a_(ij)=b_(ij)$ です。

エントリ $i=\overline(1,m)$: show\hide の説明

「$i=\overline(1,m)$」という表記は、パラメータ $i$ が 1 から m まで変化することを意味します。たとえば、$i=\overline(1,5)$ という表記は、パラメーター $i$ が値 1、2、3、4、5 を取ることを示します。

したがって、行列が等しいためには、サイズの一致と対応する要素の等しいという 2 つの条件が満たされる必要があります。たとえば、行列 $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ は行列と等しくありません$B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ 行列 $A$ のサイズは $3\times 2$ で行列 $B$ であるためサイズは $2\times $2 です。また、行列 $A$ は行列 $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ と等しくありません。、$a_( 21)\neq c_(21)$ (つまり $0\neq 98$) 以降。しかし、行列 $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ の場合、安全に $A= と書くことができます。 F$ は、行列 $A$ と $F$ のサイズと対応する要素の両方が一致するためです。

例その1

行列のサイズを決定します $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$。要素 $a_(12)$、$a_(33)$、$a_(43)$ が何に等しいかを示します。

この行列には 5 行 3 列が含まれているため、そのサイズは $5\times 3$ になります。この行列には $A_(5\times 3)$ という表記を使用することもできます。

要素 $a_(12)$ は 1 行目と 2 列目の交点にあるため、$a_(12)=-2$ となります。要素 $a_(33)$ は 3 行目と 3 列目の交点にあるため、$a_(33)=23$ となります。要素 $a_(43)$ は 4 行目と 3 列目の交点にあるため、$a_(43)=-5$ となります。

答え: $a_(12)=-2$、$a_(33)=23$、$a_(43)=-5$。

サイズに応じた行列の種類。主対角線と副対角線。マトリックスのトレース。

ある行列 $A_(m\times n)$ が与えられたとします。 $m=1$ (行列が 1 行で構成される) の場合、指定された行列が呼び出されます。 行列行。 $n=1$ (行列が 1 列で構成される) の場合、そのような行列は次のように呼ばれます。 行列の列。たとえば、 $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ は行行列であり、 $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ は列行列です。

行列 $A_(m\times n)$ が条件 $m\neq n$ を満たす (つまり、行数が列数に等しくない) 場合、$A$ は長方形であるとよく言われます。マトリックス。たとえば、行列 $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ のサイズは $2\times 4 です。 $、それら。 2 行 4 列が含まれます。行数と列数が等しくないため、この行列は長方形になります。

行列 $A_(m\times n)$ が条件 $m=n$ を満たす (つまり、行数が列数に等しい) 場合、$A$ は次数 $ の正方行列と言われます。 n$。たとえば、 $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ は 2 次正方行列です。 $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ は 3 次の正方行列です。一般に、正方行列 $A_(n\times n)$ は次のように記述できます。

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

要素 $a_(11)$、$a_(22)$、$\ldots$、$a_(nn)$ はオンであると言われます 主対角線行列 $A_(n\times n)$。これらの要素は次のように呼ばれます 主な対角要素(または単に対角要素)。要素 $a_(1n)$、$a_(2 \; n-1)$、$\ldots$、$a_(n1)$ はオンです 側（短）対角線; という 側面の対角要素。たとえば、行列 $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end(配列) \right)$ があります:

要素 $c_(11)=2$、$c_(22)=9$、$c_(33)=4$、$c_(44)=6$ は主な対角要素です。要素 $c_(14)=1$、$c_(23)=8$、$c_(32)=0$、$c_(41)=-4$ は、側対角要素です。

主な対角要素の合計は次のように呼ばれます。 続いてマトリックス$\Tr A$ (または $\Sp A$) で表されます。

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

たとえば、行列 $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- の場合4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ は次のようになります。

$$ \Tr C=2+9+4+6=21。 $$

対角要素の概念は、非正方行列にも使用されます。たとえば、行列 $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 の場合& - 7 & -6 \end(array) \right)$ 主要な対角要素は $b_(11)=2$、$b_(22)=-9$、$b_(33)=4$ になります。

要素の値に応じた行列の種類。

行列 $A_(m\times n)$ のすべての要素がゼロに等しい場合、そのような行列は次のように呼ばれます。ヌル通常は文字 $O$ で表されます。たとえば、$\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$、$\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - ゼロ行列。

行列 $A$ の非ゼロ行を考えてみましょう。ゼロ以外の要素を少なくとも 1 つ含む文字列。 主要な要素非ゼロ文字列の最初の (左から右に数えて) 非ゼロ要素と呼びます。たとえば、次のマトリックスを考えてみましょう。

$$W=\left(\begin(配列)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(配列)\right)$ $

2 行目では、先頭の要素は 4 番目の要素になります。 $w_(24)=12$ となり、3 行目では先頭の要素が 2 番目の要素になります。 $w_(32)=-9$。

行列 $A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ が呼び出されます 段差のある 2 つの条件を満たす場合:

Null 行が存在する場合、それはすべての非 Null 行の下に配置されます。
非ゼロ行の先頭要素の数は、厳密に増加するシーケンスを形成します。 $a_(1k_1)$、$a_(2k_2)$、...、$a_(rk_r)$ が行列 $A$ の非ゼロ行の先頭要素である場合、$k_1\lt(k_2)\ lt\ldots\lt(k_r)$。

ステップ行列の例:

$$ \left(\begin(配列)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(配列)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(配列)\right)。 $$

比較: 行列 $Q=\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(array)\right)$ は、ステップ行列の定義の 2 番目の条件に違反しているため、ステップ行列ではありません。 2 行目と 3 行目の先頭要素 $q_(24)=7$ と $q_(32)=10$ には、番号 $k_2=4$ と $k_3=2$ が付いています。ステップ行列の場合、条件 $k_2\lt(k_3)$ が満たされる必要がありますが、この場合は条件に違反します。 2 行目と 3 行目を入れ替えると、段階的な行列が得られることに注意してください。 $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end(array)\right)$。

ステップ行列はと呼ばれます台形または台形、先頭の要素 $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ が条件 $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r を満たす場合= r$、つまり主要なものは対角要素です。一般に、台形行列は次のように記述できます。

$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(array) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(array)\right) $$

台形行列の例:

$$ \left(\begin(配列)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(配列)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(配列)\right)。 $$

正方行列の定義をさらにいくつか挙げてみましょう。主対角線の下にある正方行列のすべての要素がゼロに等しい場合、そのような行列は次のように呼ばれます。 上三角行列。たとえば、 $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ は上三角行列です。上三角行列の定義では、主対角の上または主対角上にある要素の値については何も述べられていないことに注意してください。ゼロであってもなくても構いません。それは問題ではありません。たとえば、 $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ も上三角行列です。

主対角線上にある正方行列のすべての要素がゼロに等しい場合、そのような行列は次のように呼ばれます。 下三角行列。例: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - 下三角行列。下三角行列の定義では、主対角線の下または上にある要素の値については何も述べられていないことに注意してください。それらはゼロであってもなくても構いません。たとえば、 $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ および $\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ も下三角行列です。

正方行列はと呼ばれます 対角線、主対角線上にないこの行列のすべての要素がゼロに等しい場合。例: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(配列)\right)$。主対角線上の要素は何でも (ゼロに等しいかどうか)、問題ではありません。

対角行列はと呼ばれます シングル、主対角線上にあるこの行列のすべての要素が 1 に等しい場合。たとえば、 $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - 4 次単位行列。 $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ は 2 次単位行列です。

マトリックスを階段状の形式 (図 1.4) にするには、次の手順を実行する必要があります。

1. 最初の列で、ゼロ以外の要素を選択します ( 主要な要素 ）。先頭要素 ( 先頭線 )、それが最初でない場合は、最初の行の代わりに再配置します (タイプ I 変換)。最初の列に先頭の要素がない (すべての要素がゼロである) 場合は、この列を除外し、行列の残りの先頭の要素の検索を続けます。すべての列が削除されるか、行列の残りの要素がすべてゼロになると、変換は終了します。

2. 先頭の行のすべての要素を先頭の要素で除算します (タイプ II 変換)。先頭行が最後の場合、変換はそこで終了する必要があります。

3. 先頭の行の下にある各行に、先頭の行を追加し、先頭の行の下の要素がゼロに等しくなるような数値を掛けます (タイプ III 変換)。

4. 先頭の要素が交差する行と列を考慮から除外したら、ステップ 1 に進み、ここで説明したすべてのアクションを行列の残りの部分に適用します。

行の要素に応じた品目の分布に関する定理。

行列式を行または列の要素に分解する定理により、行列式の計算を削減できます。 - th order() から次数決定因子の計算まで .

行列式の要素が 0 に等しい場合は、行列式を、最大数の 0 を含む行または列の要素に展開するのが最も便利です。

行列式のプロパティを使用して、行列式を変換できます。 - 特定の行または列の 1 つを除くすべての要素がゼロになるように順序付けします。したがって、行列式を計算すると、 - 0 以外の場合、次数は 1 つの行列式の計算に還元されます。 - 番目の注文。

タスク3.1。行列式を計算する

解決。最初の行を 2 行目に加算し、1 行目に 2 を乗じて 3 行目に、1 行目に -5 を乗算して 4 行目を追加すると、次のようになります。

行列式を最初の列の要素に展開すると、次のようになります。

結果として得られる 3 次行列式で、最初の列を除く最初の列のすべての要素をゼロにしてみましょう。これを行うには、(-1) を乗算した最初の行を 2 行目に追加し、5 を乗算した 3 行目に、8 を乗算した最初の行を追加します。3 行目に 5 を乗算したため、(行列式は変わりません）それにを掛けます。我々は持っています

結果の行列式を最初の列の要素に分解してみましょう。

ラプラスの定理(1)。宇宙人の加算に関する定理(2)

1) 行列式は、任意の行の要素とその代数の補数の積の合計に等しい。

2) 行列式の任意の行の要素と、他の行の対応する要素の代数補数との積の和は、ゼロに等しくなります (他の代数補数による乗算の定理)。

選択した座標系を持つ平面上のすべての点は、その座標のペア (α、β) によって指定されます。数値 α と β は、この点を終端とする動径ベクトルの座標としても理解できます。同様に、空間では、トリプル (α、β、γ) は、座標 α、β、γ を持つ点またはベクトルを定義します。読者にはよく知られている、2 つまたは 3 つの未知数を含む線形方程式系の幾何学的な解釈は、これに基づいています。したがって、2 つの未知数を持つ 2 つの線形方程式系の場合、

a 1 x + b 1 y = c 1、

a 2 x + b 2 y = c 2

各方程式は平面上の直線として解釈され（図 26 を参照）、解（α、β）はこれらの直線の交点または座標 ap のベクトルとして解釈されます（図はに対応します）。システムに固有のソリューションがある場合）。

米。 26

3 つの未知数を含む線形方程式系でも同じことを行うことができ、各方程式を空間内の平面の方程式として解釈できます。

数学とそのさまざまな応用 (特にコーディング理論) では、3 つ以上の未知数を含む線形方程式系を扱わなければなりません。 n 個の未知数 x 1、x 2、...、x n を持つ連立一次方程式は、次の形式の方程式のセットです。

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1、

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2、

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m、

ここで、a ij と b i は任意の実数です。システム内の方程式の数は任意であり、未知数の数とはまったく関係ありません。未知数 a ij の係数には二重の番号が付けられています。最初のインデックス i は方程式の番号を示し、2 番目のインデックス j はこの係数が存在する未知数の番号を示します。

システムに対するあらゆる解は、未知数 (α) の (実際の) 値のセットとして理解されます。 1 , α 2 , ..., α n )、各方程式を真の等式に変換します。

n > 3 の場合の系 (1) の直接的な幾何学的解釈はもはや不可能ですが、2 次元または 3 次元の空間の幾何学的言語を任意の n の場合に拡張することはかなり可能であり、多くの点で便利です。さらなる定義はこの目的に役立ちます。

n 個の実数のすべての順序集合 (α 1 , α 2 , ..., α n ) は n 次元算術ベクトルと呼ばれ、数値自体は α 1 , α 2 , ..., α n - このベクトルの座標。

ベクトルを指定するには、原則として太字フォントが使用され、座標 α 1、α 2、...、α n を持つベクトル a については、通常の表記形式が維持されます。

a = (α 1, α 2, ..., α n)。

通常の平面と同様に、n 個の未知数を含む一次方程式を満たすすべての n 次元ベクトルの集合は、n 次元空間の超平面と呼ばれます。この定義によれば、システム (1) に対するすべての解のセットは、いくつかの超平面の交差に他なりません。

n 次元ベクトルの加算と乗算は、通常のベクトルと同じ規則で決定されます。つまり、もし

a = (α 1, α 2, ..., α n)、b = (β 1, β 2, ..., β n) (2)

2 つの n 次元ベクトル、その合計はベクトルと呼ばれます

α + β = (α 1 + β 1, α 2 + β 2, ..., α n + β n)。 (3)

ベクトル a と数値 λ の積はベクトルです

λa = (λα 1, λα 2, ..., λα n)。 (4)

ベクトルの加算とベクトルの数値の乗算を行うすべての n 次元の算術ベクトルの集合を、算術 n 次元ベクトル空間 L n と呼びます。

導入された演算を使用すると、いくつかのベクトルの任意の線形結合、つまり次の形式の式を考慮できます。

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k、

ここで、λ i は実数です。たとえば、ベクトル (2) と係数 λ および μ の線形結合はベクトルです。

λа + μb = (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n)。

3 次元ベクトル空間では、ベクトル i、j、k (座標単位ベクトル) の 3 つが特別な役割を果たし、ベクトル a は次のように分解されます。

a = xi + yj + zk、

ここで、x、y、z は実数 (ベクトル a の座標) です。

n 次元の場合、次のベクトル系が同じ役割を果たします。

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n = (0, 0, 0, ..., 1)。

明らかに、ベクトル a はベクトル e 1、e 2、...、e n の線形結合です。

a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + ... + a n e n、(6)

そして係数α 1 、α 2 、...、α n はベクトル a の座標と一致します。

すべての座標がゼロに等しいベクトル (つまり、ゼロベクトル) を 0 で表すと、次の重要な定義が導入されます。

ベクトル a 1、a 2、...、k の系は、ゼロベクトルに等しい線形結合がある場合、線形依存と呼ばれます。

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0、

ここで、係数ｈ１、λ ２、…、λ ｋのうちの少なくとも１つはゼロとは異なる。それ以外の場合、システムは線形独立と呼ばれます。

したがって、ベクトル

a 1 = (1, 0, 1, 1)、a 2 = (1, 2, 1, 1)、および 3 = (2, 2, 2, 2)

は線形依存しているため、

a 1 + a 2 - a 3 = 0。

定義からわかるように、線形依存は (k ≥ 2 の場合) システムのベクトルの少なくとも 1 つが他のベクトルの線形結合であるという事実と等価です。

システムが 2 つのベクトル a 1 と a 2 で構成されている場合、システムの線形依存性は、一方のベクトルが他方のベクトルに比例することを意味します。たとえば、a 1 = λa 2。 3 次元の場合、これはベクトル a 1 と a 2 の共線性に相当します。同様に、通常空間における 3 つのベクトルの系 I の線形依存性は、これらのベクトルが同一平面上にあることを意味します。したがって、線形依存性の概念は、共線性と共平面性の概念を自然に一般化したものです。

システム (5) からのベクトル e 1、e 2、...、en が線形独立であることを検証するのは簡単です。したがって、n 次元空間には、n 個の線形独立ベクトルの系が存在します。多数のベクトルからなる系はいずれも線形依存することがわかります。

n 次元空間 L n の n 個の線形独立ベクトルのシステム a 1 、a 2 、...、a n は、その基底と呼ばれます。

空間 L n のベクトル a は、独自の方法で、任意の基底 a 1、a 2、...、a n のベクトルに分解されます。

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n。

この事実は、基礎の定義に基づいて簡単に確立されます。

3 次元空間での類推を続けると、n 次元の場合、次のように設定してベクトルのスカラー積 a b を決定することができます。

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n 。

この定義では、3 次元ベクトルのスカラー積のすべての基本特性が保存されます。ベクトル a と b は、そのスカラー積がゼロに等しい場合、直交していると呼ばれます。

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0。

線形コードの理論では、別の重要な概念である部分空間の概念が使用されます。空間 L n の部分集合 V は、次の場合にこの空間の部分空間と呼ばれます。

1) V に属するベクトル a、b について、それらの和 a + b も V に属します。

2) V に属する任意のベクトル a および任意の実数 λ について、ベクトル λa も V に属します。

たとえば、システム (5) からのベクトル e 1 、e 2 のすべての線形結合のセットは、空間 L n の部分空間になります。

線形代数では、任意の部分空間 V にベクトル a 1、a 2、...、a k の線形独立系が存在し、部分空間のすべてのベクトル a がこれらのベクトルの線形結合であることが証明されます。

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k 。

示されたベクトル系は部分空間 V の基底と呼ばれます。

空間と部分空間の定義から、空間 L n はベクトル加算の演算に関して可換群であり、その部分空間 V のいずれもこの群の部分群であることがすぐにわかります。この意味で、たとえば、部分空間 V に関する空間 L n の剰余類を考えることができます。

結論として、n 次元算術空間の理論において、実数 (つまり、実数体の要素) の代わりに、任意の体 F の要素を考慮すると、与えられたすべての定義と事実が得られることを強調します。上記は引き続き有効です。

符号化理論では、体 F が剰余 Z p の体である場合が重要な役割を果たしますが、これはご存知のように有限です。この場合、対応する n 次元空間も有限であり、容易にわかるように、p n 個の要素が含まれています。

空間の概念も、群や環の概念と同様に、公理的な定義を可能にします。詳細については、Feeder の線形代数コースを参照してください。

直線的な組み合わせ。線形依存ベクトルシステムと独立ベクトルシステム。

ベクトルの線形結合

ベクトルの線形結合ベクトルと呼ばれる

どこ - 線形結合係数。もし自明でない組み合わせは自明であると言われます。

線形依存性とベクトル独立性

システム線形依存性

システム線形独立

ベクトルの線形依存性の基準

ベクトルの場合 (r > 1) が線形依存していた場合、これらのベクトルの少なくとも 1 つが他のベクトルの線形結合であることが必要かつ十分です。

線形空間の次元

線形空間 V呼ばれた n-次元 (次元がある) n)、以下が含まれる場合:

1) 存在する n線形独立ベクトル。

2) 任意のシステム n+1ベクトルは線形依存します。

指定: n= 薄暗い V;.

ベクトルシステムは次のように呼ばれます。 線形依存性、存在する場合 ゼロ以外の線形結合となるような一連の数値

ベクトルシステムは次のように呼ばれます。 線形に独立しており、線形結合の等価からゼロまでの場合

ゼロに等しい みんな係数

一般的な場合におけるベクトルの線形依存性の問題は、これらのベクトルの対応する座標に等しい係数を持つ一次方程式の同次系に対する非ゼロ解の存在の問題に帰着します。

ベクトル系の「線形依存性」と「線形独立性」の概念を完全に理解するには、次のタイプの問題を解くことが役立ちます。

直線性: 直線性の I および II 基準。

ベクトルシステム は、システムのベクトルの 1 つがこのシステムの残りのベクトルの線形結合である場合に限り、線形依存します。

証拠。ベクトル系が線形依存するとします。このような係数のセットがあります、それは、少なくとも 1 つの係数はゼロではありません。ということにしましょう。それから

つまり、システムの残りのベクトルの線形結合です。

システムのベクトルの 1 つが残りのベクトルの線形結合であるとします。これがベクトルであると仮定しましょう。。それは明らかです。システムベクトルの線形結合はゼロに等しく、係数の 1 つはゼロとは異なります ( に等しい) ことがわかりました。

オファー10 . 7 ベクトル系に線形依存サブシステムが含まれている場合、システム全体が線形依存します。

証拠.

サブシステムをベクトル系にしましょう、、は線形従属、つまりであり、少なくとも 1 つの係数はゼロとは異なります。次に線形結合を作ってみましょう。この線形結合がゼロに等しいこと、および係数の中にはゼロ以外の係数があることは明らかです。

ベクトルシステムのベースは主力です。

ベクトルの非ゼロ系のベースは、等価な線形独立サブシステムです。ゼロシステムにはベースがありません。

プロパティ 1:線形独立系の基底はそれ自体と一致します。

例：どのベクトルも他のベクトルを介して線形に表現できないため、線形に独立したベクトルの系。

プロパティ 2: (基本基準)特定のシステムの線形独立サブシステムは、それが最大限に線形独立している場合に限り、そのベースとなります。

証拠：システムを考えると 必要性ベースにしましょう。次に、定義により、および、 if 、ここで、システムはを介して線形縮退するため、線形依存しており、したがって最大線形独立です。 適切性サブシステムが最大限に線形独立であるとします。その場合、になります。線形依存は、システムのベースを通じて線形に縮退します。

特性 3：（ベースの主な特性）システムの各ベクターは、塩基を介して独自の方法で表現できます。

証拠ベクトルが 2 つの方法で塩基を介して縮退すると、次のようになります。

ベクターシステムのランク。

意味：線形空間内のベクトルの非ゼロ系のランクは、その基底のベクトルの数です。ヌルシステムのランクは、定義上、ゼロです。

ランクのプロパティ: 1) 線形独立システムのランクは、そのベクトルの数と一致します。 2) 線形依存システムのランクは、そのベクトルの数よりも小さい。 3) 同等のシステムのランクは -rankrank と一致します。 4) サブシステムのランクがシステムのランク以下である。 5) 両方がrankrankである場合、それらには共通のベースがあります。 6) システムの残りのベクトルの線形結合であるベクトルがシステムに追加される場合、システムのランクは変更できません。 7) システムからベクトルが削除された場合、システムのランクは変更できません。ベクトルは、残りのベクトルの線形結合です。

ベクトル系のランクを見つけるには、ガウス法を使用してシステムを三角形または台形に縮小する必要があります。

同等のベクターシステム。

例：

ベクトルデータを行列に変換して基底を見つけてみましょう。我々が得る：

ここで、ガウス法を使用して、行列を台形形式に変換します。

1) メイン行列で、最初の行を除く最初の列全体をキャンセルし、2 番目の行列から最初のの乗算を減算し、3 番目の行列から最初のの乗算を減算し、4 番目の行列からは何も減算しません。 4 行目の最初の要素、つまり 1 列目と 4 行目の交点が 0 に等しいためです。行列を取得します。 2) ここで、行列内で、解決を容易にするために行 2、3、および 4 を交換して、要素の代わりに行 1 が存在するようにします。 2 行目の代わりに 4 行目を、3 行目の代わりに 2 行目を、4 行目の代わりに 3 行目を変更しましょう。行列を取得します。 3) 行列で、要素の下にあるすべての要素をキャンセルします。行列の要素は再びゼロに等しいため、4 行目からは何も減算しませんが、3 行目には 2 を乗算した値を追加します。行列を取得します。 4) マトリックスの行 3 と行 4 を再度交換してみましょう。行列を取得します。 5) 行列で、4 行目に 3 行目を追加し、5 を掛けます。三角形の行列が得られます。

システム、そのランクはランクの特性により一致し、そのランクはランクランクに等しい

ノート： 1) 従来のガウス法とは異なり、行列行のすべての要素が特定の数で除算される場合、行列の特性により行列行を減らす権利はありません。行を特定の数だけ削減したい場合は、行列全体をその数だけ削減する必要があります。 2) 線形依存行を取得した場合は、それを行列から削除し、ゼロ行に置き換えることができます。例：最初の行を 2 で乗算すると、2 番目の行が最初の行で表されていることがすぐにわかります。この場合、2 行目全体をゼロに置き換えることができます。我々が得る：その結果、行列を線形依存ベクトルを持たない三角形または台形のいずれかの形式にすると、行列のすべての非ゼロベクトルが行列の基底となり、その数がランクになります。

以下に、グラフ形式のベクトル系の例を示します。、、およびがある系があるとします。ベクトルはそれらを介して表現されるため、このシステムのベースは明らかにベクトルとです。このシステムをグラフィック形式で表すと、次のようになります。

初歩的な再現。ステップ式システム。

基本的な行列変換- これらは、行列の等価性を維持する行列変換です。したがって、基本変換は、この行列が表す線形代数方程式系の解のセットを変更しません。

ガウス法では基本変換を使用して、行列を三角形または階段状に縮小します。

基本的な文字列の変換と呼ばれます:

一部の線形代数コースでは、任意の 2 つの行列行の置換は、任意の行列行に定数を乗算し、乗算された任意の行列行に別の行を加算することによって取得できるため、行列行の置換は別個の基本変換として区別されません。定数、によって。

同様に定義される 基本的な列変換.

基本的な変換可逆.

この表記は、行列が基本変換によって取得できる (またはその逆) ことを示しています。

行列は数学における特別なオブジェクトです。これは、一定数の行と列で構成される、長方形または正方形のテーブルの形式で表されます。数学には、サイズや内容が異なるさまざまなタイプの行列があります。その行と列の番号は次数と呼ばれます。これらのオブジェクトは、線形方程式系の記録を整理し、その結果を簡単に検索するために数学で使用されます。行列を使用する方程式は、カールガウス、ガブリエルクラマー、マイナー法、代数加算法、その他多くの方法を使用して解決されます。行列を扱うときの基本的なスキルは次のとおりです。ただし、最初に、数学者がどのような種類の行列を区別しているかを理解しましょう。

ヌル型

このタイプの行列のすべての成分はゼロです。一方、その行数と列数はまったく異なります。

スクエアタイプ

このタイプの行列の列と行の数は同じです。つまり「四角」の形をしたテーブルです。その列 (または行) の数を順序と呼びます。特殊なケースとして、2 次行列 (2x2 行列)、4 次行列 (4x4)、10 次行列 (10x10)、17 次行列 (17x17) などが存在すると考えられます。

列ベクトル

これは最も単純なタイプの行列の 1 つで、3 つの数値を含む列が 1 つだけ含まれています。これは、線形方程式系における多数の自由項 (変数に依存しない数値) を表します。

前のものと同様のビュー。 3 つの数値要素で構成され、1 行にまとめられます。

斜めタイプ

行列の対角形式の数値は、主対角要素 (緑色で強調表示) のみを取ります。主対角線は、それぞれ左上隅にある要素で始まり、右下隅にある要素で終わります。残りの成分はゼロに等しい。対角型は、ある次数の正方行列にすぎません。対角行列のうち、スカラー行列を区別できます。そのすべてのコンポーネントは同じ値を取ります。

対角行列のサブタイプ。その数値はすべて単位です。単一タイプの行列テーブルを使用して、その基本的な変換を実行するか、元の行列の逆行列を見つけます。

カノニカルタイプ

マトリックスの正準形式は主要なものの 1 つと考えられています。仕事上、それを減らすことが必要になることがよくあります。正準行列の行と列の数は変化し、必ずしも正方行列に属するわけではありません。これは単位行列に似ていますが、その場合、主対角のすべての成分が 1 に等しい値をとるわけではありません。主要な対角ユニットは 2 つまたは 4 つあります (すべて行列の長さと幅によって異なります)。または、単位がまったくない場合もあります (その場合はゼロとみなされます)。正規型の残りのコンポーネント、および対角要素と単位要素はゼロに等しくなります。

三角タイプ

行列の最も重要なタイプの 1 つで、行列式を検索するときや単純な演算を実行するときに使用されます。三角型は対角型から来ているので行列も正方形です。行列の三角形タイプは上三角と下三角に分かれます。

上三角行列 (図 1) では、主対角より上の要素のみがゼロに等しい値を取ります。対角線自体の成分とその下にある行列の一部には数値が含まれます。

逆に、下三角行列 (図 2) では、行列の下部分にある要素はゼロに等しくなります。

この型は、行列のランクを見つけるだけでなく、行列の基本的な演算にも (三角型とともに) 必要です。ステップ行列は、(図に示すように) ゼロの特徴的な「ステップ」が含まれているため、このように名付けられました。ステップタイプでは、ゼロの対角線が形成され（必ずしも主要な対角線である必要はありません）、この対角線の下のすべての要素もゼロに等しい値を持ちます。前提条件は次のとおりです。ステップ行列にゼロ行がある場合、その下の残りの行にも数値が含まれていません。

したがって、それらを扱うために必要な最も重要なタイプの行列を調べました。次に、行列を必要な形式に変換する問題を見てみましょう。

三角形に縮小する

行列を三角形の形にするにはどうすればよいでしょうか? ほとんどの場合、タスクでは行列式 (行列式とも呼ばれます) を見つけるために、行列を三角形の形式に変換する必要があります。この手順を実行するとき、三角行列の行列式は主対角成分の積に等しいため、行列の主対角を「保存」することが非常に重要です。行列式を見つけるための別の方法も思い出してみましょう。正方形タイプの行列式は、特別な公式を使用して求められます。たとえば、三角形の方法を使用できます。その他の行列の場合は、行、列、またはその要素ごとに分解する方法が使用されます。マイナーおよび代数行列加算の方法も使用できます。

いくつかのタスクの例を使用して、行列を三角形の形式に縮小するプロセスを詳細に分析してみましょう。

演習 1

提示された行列を三角形に縮小する方法を使用して行列式を見つける必要があります。

与えられた行列は 3 次正方行列です。したがって、三角形の形状に変換するには、最初の列の 2 つのコンポーネントと 2 番目の列の 1 つのコンポーネントをゼロにする必要があります。

これを三角形の形にするには、行列の左下隅、つまり数字の 6 から変換を開始します。これをゼロにするには、最初の行に 3 を掛けて、最後の行からそれを引きます。

重要！一番上の行は変更されませんが、元の行列と同じままになります。元の文字列の 4 倍の大きさの文字列を記述する必要はありません。ただし、コンポーネントをゼロに設定する必要がある文字列の値は常に変化します。

最後の値、つまり 2 列目の 3 行目の要素だけが残ります。これは数値 (-1) です。ゼロにするには、最初の行から 2 番目の行を減算します。

確認しよう：

detA = 2 x (-1) x 11 = -22。

これは、タスクの答えが -22 であることを意味します。

タスク 2

行列を三角形の形に還元して行列式を見つける必要があります。

提示された行列は正方型に属し、4 次行列です。これは、最初の列の 3 つの成分、2 番目の列の 2 つの成分、および 3 番目の列の 1 つの成分をゼロにする必要があることを意味します。

左下隅にある要素 (数値 4) から縮小を開始しましょう。この数値をゼロにする必要があります。これを行う最も簡単な方法は、一番上の行に 4 を掛けて、4 番目の行からそれを引くことです。変換の第一段階の結果を書き留めてみましょう。

したがって、4 行目のコンポーネントはゼロに設定されます。 3 行目の最初の要素である数値 3 に進みましょう。同様の操作を実行します。最初の行に 3 を掛け、それを 3 行目から引き、結果を書き留めます。

この正方行列の最初の列のすべての成分を、変換を必要としない主対角の要素である数値 1 を除いて、なんとかゼロにすることができました。ここで、結果のゼロを保持することが重要なので、列ではなく行で変換を実行します。表示されたマトリックスの 2 番目の列に進みましょう。

最後行の 2 列目の要素から、もう一度一番下から始めましょう。この数値は (-7) です。ただし、この場合は、3 行目の 2 列目の要素である数値 (-1) から始める方が便利です。ゼロにするには、3 行目から 2 番目の行を減算します。次に、2 行目に 7 を掛けて、4 行目から減算します。 2 列目の 4 行目にある要素の代わりにゼロが取得されました。次に、3 番目の列に進みます。

この列では、1 つの数字 - 4 だけをゼロにする必要があります。これは難しいことではありません。最後の行に 3 番目の数字を追加して、必要なゼロを確認するだけです。

すべての変換を行った後、提案された行列を三角形の形にしました。ここで、行列式を見つけるには、主対角の結果の要素を乗算するだけで済みます。我々が得る： detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160。したがって、解は160となります。

したがって、行列を三角形の形式に縮小するという問題は気にする必要はありません。

段付き形状への縮小

行列の初歩的な演算では、階段状の形式は三角形よりも「需要」が低くなります。行列のランク (つまり、ゼロ以外の行の数) を見つけたり、線形依存行と独立行を決定したりするために最もよく使用されます。ただし、階段タイプのマトリックスは、正方形タイプだけでなく他のすべてのタイプにも適しているため、より普遍的です。

行列を段階的な形式に縮小するには、まず行列式を見つける必要があります。上記の方法はこれに適しています。行列式を見つける目的は、行列式をステップ行列に変換できるかどうかを調べることです。行列式がゼロより大きいか小さい場合は、安全にタスクに進むことができます。これがゼロに等しい場合、行列を段階的な形式に縮小することはできません。この場合、記録または行列変換にエラーがないかどうかを確認する必要があります。このような不正確さがなければ、タスクを解決することはできません。

いくつかのタスクの例を使用して、行列を段階的な形式に縮小する方法を見てみましょう。

演習 1.指定された行列テーブルのランクを見つけます。

私たちの前には 3 次の正方行列 (3x3) があります。ランクを見つけるには、それを段階的な形式に減らす必要があることがわかっています。したがって、まず行列の行列式を見つける必要があります。三角法を使ってみましょう。 detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

行列式 = 12。これは 0 より大きく、行列を段階的な形式に縮小できることを意味します。変換を開始しましょう。

3 行目の左列の要素、つまり数値 2 から始めましょう。一番上の行に 2 を掛けて、3 行目からそれを引きます。この操作のおかげで、必要な要素と数値 4 (3 行目の 2 列の要素) の両方が 0 になりました。

縮小の結果、三角行列が形成されたことがわかります。私たちの場合、残りのコンポーネントをゼロに減らすことができないため、変換を続行できません。

これは、この行列 (またはそのランク) 内の数値を含む行の数は 3 であると結論付けることを意味します。タスクの答えは 3 です。

タスク2。この行列の線形独立行の数を決定します。

どのような変換によってもゼロに変換できない文字列を見つける必要があります。実際、ゼロ以外の行の数、または提示された行列のランクを見つける必要があります。これを行うために、単純化してみましょう。

正方形タイプに属さない行列が表示されます。大きさは3×4です。また、左下隅の要素 (数値 (-1)) からリダクションを開始しましょう。

それ以上の変形は不可能です。これは、線形に独立した線の数とタスクの答えが 3 であると結論付けることを意味します。

マトリックスを階段状に縮小することは、あなたにとって不可能な作業ではありません。

これらのタスクの例を使用して、行列を三角形の形状と階段状の形状に縮小することを検討しました。マトリックステーブルの目的の値をゼロにするには、場合によっては、想像力を働かせて列または行を正しく変換する必要があります。数学と行列の扱いに頑張ってください!

行列、行列の種類、行列の演算。

行列の種類:

1. 長方形: メートルそして n- 任意の正の整数

2. 四角: m=n

3. マトリックス行: m=1。たとえば、(1 3 5 7) - 多くの実際的な問題では、このような行列はベクトルと呼ばれます

4. 行列列: n=1。例えば

5. 対角行列: m=nそして a ij =0、もし i≠j。例えば

6。恒等行列: m=nそして

7. ヌル行列: a ij =0、i=1、2、...、m

j=1,2,...,n

8. 三角行列: 主対角線より下のすべての要素は 0 です。

9. 対称行列:m=nそして ア・イ・ジ＝ア・ジ(つまり、等しい要素が主対角線に対して対称な場所に配置されます)、したがって A"=A

例えば、

10. 歪対称行列: m=nそして a ij =-a ji(つまり、反対側の要素が主対角線に対して対称な場所に配置されます)。その結果、主対角線にはゼロが存在します（ i=j我々は持っています a ii =-a ii)

行列に対するアクション:

1。追加

2. 引き算行列 - 要素ごとの演算

3。仕事数値による行列 - 要素ごとの演算

4. 乗算 A*B規則に従った行列 行から列へ(行列 A の列数は行列 B の行数と等しくなければなりません)

A mk *B kn =C mnそしてそれぞれの要素 ijと一緒に行列 うーんは、行列 A の i 行目の要素と行列 B の j 列の対応する要素の積の合計に等しい、つまり

例を使用して行列乗算の演算を説明してみましょう

5. 行列 A の転置。転置された行列は A T または A" で表されます。

、例えば

行と列が入れ替わる

行列の演算のプロパティ:

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

2. 二次および三次の行列式 (基本概念、性質、計算)

特性１．行列式は転置中に変化しません。つまり、

証拠。

コメント。行列式の次のプロパティは、文字列に対してのみ定式化されます。さらに、プロパティ 1 から、列は同じプロパティを持つことになります。

プロパティ 2。行列式の行の要素に特定の数を乗算する場合、行列式全体にこの数が乗算されます。

証拠。

特性３． NULL 文字列を持つ行列式は 0 と等しくなります。

この特性の証明は、k = 0 の場合の特性 2 に従います。

特性４． 2 つの等しい文字列を持つ行列式は 0 です。

証拠。

プロパティ 5。 2 つの行が比例する行列式は 0 に等しくなります。

証明は性質 2 と 4 から得られます。

特性6。行列式の 2 つの行を並べ替える場合、-1 が乗算されます。

証拠。

物件7。

定義 1.5 を使用して見つかった等式の左辺と右辺の値を比較することで、この性質を自分で証明できます。

物件8。別の行の対応する要素を 1 つの行の要素に加算し、同じ数を乗算しても、行列式の値は変わりません。

マイナー。代数的加算。ラプラスの定理。

三角形への縮小方法対角線の 1 つの片側にあるすべての要素がゼロに等しくなるとき、指定された行列式をそのように変換することにあります。

例8.行列式を計算する

三角形の形に縮小します。

解決。行列式の最初の行を残りの行から減算してみましょう。それから、私たちは得ます

この行列式は、主対角要素の積に等しい。したがって、私たちは

コメント。上で説明したものはすべて、n 次の行列式に一般化できます。

マトリックスを段階的な形式に縮小します。行と列の基本的な変換。

基本的な行列変換次の変換が呼び出されます。

私。 行列の 2 つの列 (行) の順列。

II. 行列の 1 つの列 (行) のすべての要素に、ゼロ以外の同じ数値を乗算します。

Ⅲ． ある列 (行) の要素に、別の列 (行) の対応する要素を加算し、同じ数値を掛けます。

元の行列から有限数の初等変換によって得られる行列を同等。これはで示されます。

初等変換は行列を単純化するために使用され、将来的にはさまざまな問題を解決するために使用されます。

マトリックスを階段状の形式 (図 1.4) にするには、次の手順を実行する必要があります。

1. 最初の列で、ゼロ以外の要素を選択します ( 主要な要素 ）。先頭要素 ( 先頭線 )、それが最初でない場合は、最初の行の代わりに再配置します (タイプ I 変換)。最初の列に先頭の要素がない (すべての要素がゼロである) 場合は、この列を除外し、行列の残りの先頭の要素の検索を続けます。すべての列が削除されるか、行列の残りの要素がすべてゼロになると、変換は終了します。

2. 先頭の行のすべての要素を先頭の要素で除算します (タイプ II 変換)。先頭行が最後の場合、変換はそこで終了する必要があります。

3. 先頭の行の下にある各行に、先頭の行を追加し、先頭の行の下の要素がゼロに等しくなるような数値を掛けます (タイプ III 変換)。

4. 先頭の要素が交差する行と列を考慮から除外したら、ステップ 1 に進み、ここで説明したすべてのアクションを行列の残りの部分に適用します。

例1.29。ステップ行列形式に変換する