惑星衛星の公転周期の式を導き出します。 重力。 他の辞書で「衛星軌道周期」を見てみる
目標: 衛星の質量、サイズ、種類に応じて、惑星の周りを衛星が公転する周期を計算する方法を学びます。
進捗：
1. 表の下部にある表をノートに描きます。
2. 各惑星の各衛星の公転周期を計算し、結果をページ上の表に表示します。 地球の2倍の重さの惑星は地球の1.4倍の大きさ、地球より質量の小さい惑星は地球の0.8倍の大きさであることが知られています。 データは「衛星運動シミュレーション」ページの情報ウィンドウから取得する必要があります。 地球の半径は6400kmと考えられます。 答えは分単位で表し、最も近い整数に四捨五入してください。
3. 受信したデータを確認します。 これを行うには、「結果を確認」ボタンをクリックします。
4. エラーがある場合は、修正します。
5. 得られた正しいデータをノートの表に書き留めます。
6. 衛星の公転周期が惑星の大きさと衛星の種類にどのように依存するかについて結論を導き出します。
2.2.2. 影響を受けた動き 重力（衛星）
衛星が（エンジンを停止した状態で）円軌道上を移動するとき、衛星に作用する力は 1 つだけです。それは、惑星に対する衛星の引力です。
質量 m を持ち、惑星の表面から高さ h の円軌道を運動する衛星 (図 2.2) は重力のみの影響を受けます。
米。 2.2
この力は惑星の中心に向かって向かい、衛星に向心加速度を与えます。 この場合、関係は有効です
G m M r 2 = m v 2 r、
計算式を得ることができます 脱出速度衛星：
ここで、G = 6.67 ⋅ 10 −11 N ⋅ m 2 /kg 2 - 万有引力定数。 m - 体重; r = R + h - 軌道半径; R は惑星の半径です。 h は、惑星の表面から上の衛星の高さです。
第一、第二、第三の宇宙速度があります。 地球の場合:
- 最初の脱出速度- 衛星が円軌道に入り、低地球軌道 (h ≈ 0) で地球の周りを回転し始めることができる、地球の表面近くで衛星に与えられる最低速度。
v 1 ≈ 7.9 km/s;
- 第 2 脱出速度- 衛星が地球から遠く離れて太陽の衛星になることができる、地球の表面近くにある衛星に与えられる最低速度。
v 2 ≈ 11.2 km/s;
- 3番目の脱出速度- 地球の表面近くで衛星に報告され、太陽系から離れることができる最小速度。 その値は約 16.6 km/s です。
彼らが惑星の最初の脱出速度について話すとき、彼らは衛星が高度 h ≈ 0、つまり高度 h で移動していることを意味します。 衛星の軌道の半径 r は惑星の半径 R と一致します。
r = R。
衛星軌道周期惑星の周りの時間 (1 回転の時間) は、軌道長と最初の脱出速度の比として定義できます。
ここで、L = 2πr は半径 r (円周) の軌道の長さです。 v は、この軌道における衛星の最初の脱出速度です。
例 5. 地球の半径の 2 倍に等しい高度で円軌道を移動する人工衛星の公転周期は、地球近傍軌道を自転する衛星の公転周期の何倍を超えますか?
解決。 高度 h 1 = 2R で円軌道を移動する衛星の公転周期は、次の式で求められます。
T 1 = 2 π (R + h 1) v 1、
ここで、R は地球の半径です。 v 1 は、高度 h 1 における衛星の最初の脱出速度です。
地球低軌道 (h 2 ≈ 0) を移動する衛星の公転周期は次の式で決まります。
T 2 = 2 π (R + h 2) v 2、
ここで、v 2 は地球低軌道における衛星の最初の脱出速度です。
値 h 1 = 2R および h 2 = 0 を対応する期間を計算する式に代入すると、次のようになります。
T 1 = 6 π R v 1 および T 2 = 2 π R v 2 です。
期間比
T1T2=3v2v1
は、対応する軌道における衛星の第一宇宙速度の比によって表されます。
最初の宇宙速度は次の式で決定されます。
- 高さ h の場合 1 = 2R
v 1 = G M R + h 1 = G M R + 2 R = G M 3 R ;
- 高さ h 2 ≈ 0 (地球軌道) の場合
v 2 = G M R + h 2 = G M R + 0 = G M R 、
ここで、G = 6.67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 - 万有引力定数。 M は地球の質量です。
v 1 と v 2 を周期比の式に代入すると、次のようになります。
T 1 T 2 = 3 v 2 v 1 = 3 G M R ⋅ 3 R G M = 3 3 ≈ 5.2。
それらの。 半径 2 倍に等しい高度で移動する衛星の公転周期は、地球低軌道を公転する衛星の公転周期の約 5.2 倍を超えます。
例 6. ある惑星の半径は地球の半径の 3 倍大きく、その密度は地球の密度の 9 分の 1 です。 地球と惑星の衛星の第一宇宙速度の比を求めます。
解決。 次の最初の脱出速度が比較されます。
- 地球の表面のために
v 1 = G M Z R Z、
- 地球の表面のために
ここで、G = 6.67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 - 万有引力定数。 MZ - 地球の質量。 RZ - 地球の半径。 M は惑星の質量です。 R は惑星の半径です。
速度比は
v 1 v 2 = M Z R Z R M 。
地球と惑星が球形であると仮定すると、対応する質量を計算するための式が得られます。
- 地球のために
M Z = ρ Z V Z = 4 3 π ρ Z R Z 3、
- 地球のために
M = ρ V = 4 3 π ρ R 3 、
ここで、ρ Z は地球の密度です。 ρ は惑星の密度です。
質量の式を速度比の式に代入してみましょう。
v 1 v 2 = 4 3 π ρ З R З 3 R З 3 4 R π ρ R 3 = ρ З R З 2 ρ R 2 = R З R ρ З ρ 。
問題の条件によれば、R = 3R З および ρ З = 9ρ となります。 したがって、必要な速度比は次のようになります。
v 1 v 2 = R × 3 R × 9 ρ ρ = 1、
それらの。 衛星の速度は地球の表面と惑星の表面で同じです。
例 7. 衛星は、ある惑星の周りを半径 20,000 km の円軌道で 12 km/s の速度で回転します。 半径が 12,000 km の場合、惑星の表面における重力による加速度の大きさを求めます。
解決。 次の公式を使用して、惑星の表面での自由落下の加速度を求めます。
ここで、G = 6.67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 - 万有引力定数。 M は惑星の質量です。 R は惑星の半径です。
惑星の半径は問題文で指定されており、積 (GM) は最初の脱出速度の式で表すことができます。
v = G M R + h = G M r 、
ここで、r は衛星の軌道の半径です。 したがって、必要な作業
GM = v 2 r。
(GM) を式に代入して g 0 を計算しましょう。
g 0 = v 2 r R 2 。
この計算により、惑星表面の重力加速度の値を取得できます。
g 0 = (12 ⋅ 10 3) 2 ⋅ 2、0 ⋅ 10 7 (12 ⋅ 10 6) 2 = 20 m/s 2.
宇宙では、重力によって、衛星 (月など) がより大きな天体 (地球など) の周りを周回する力が生じます。 これらの軌道は一般に楕円の形をしていますが、ほとんどの場合、この楕円は円とそれほど変わりません。 したがって、一次近似的には、衛星の軌道は円形であると考えることができます。 惑星の質量と地球上の衛星軌道の高さがわかれば、それがどのくらいであるべきかを計算できます。 地球の周りを回る衛星の速度.
地球の周りを回る衛星の速度の計算
地球の周りを円軌道で回転している衛星は、その軌道上のどの点でも一定の絶対速度でしか移動できませんが、この速度の方向は常に変化します。 この速度の大きさはどれくらいでしょうか？ ニュートンの第二法則と重力の法則を使って計算できます。
ニュートンの第 2 法則に従って質量衛星の円軌道を維持するには、次の向心力が必要になります。ここで、 は向心加速度です。
知られているように、向心加速度は次の式で求められます。
ここで、 は衛星の速度、 は衛星が移動する円軌道の半径です。
したがって、向心力は重力によってもたらされ、重力の法則に従います。
ここで、kg は地球の質量、m 3 ⋅kg -1 ⋅s -2 は重力定数です。
すべてを元の式に代入すると、次のようになります。
必要な速度を表すと、地球の周りの衛星の速度は次と等しいことがわかります。
これは、地球の衛星が円軌道を維持するために、特定の半径 (つまり、惑星の中心からの距離) で持たなければならない速度の公式です。 衛星が一定の軌道半径を維持している限り、つまり衛星が惑星の周回軌道を円形に周回し続ける限り、速度の大きさは変化しません。
結果の式を使用する場合は、いくつかの詳細を考慮する必要があります。
地球の人工衛星は通常、地表から高度 500 ～ 2000 km で地球を周回します。 このような衛星が地表から 1000 km の高度で移動する速度を計算してみましょう。 この場合はkmです。 数値を代入すると、次のようになります。
セルゲイ・ヴァレリエヴィッチが作成した資料
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171. 人工惑星の楕円軌道の長半径が地球の軌道の長半径より 10 7 km 大きいことがわかっている場合、その人工惑星の太陽の周りの公転周期を決定します。
172. ハレー彗星の太陽の周りの公転周期は T = 76 年です。 太陽から通過する最小距離は 180 Gm です。 ハレー彗星が太陽から遠ざかる最大距離を求めます。 地球の軌道の半径は R 0 = 150 Gm と等しくみなされます。
173. 地球の軌道が円であると仮定して、太陽の周りの地球の運動の線速度 v を決定します。
174. 人工地球衛星の公転周期は 3 時間ですが、その軌道が円であると仮定して、その衛星が地表からどの高さに位置するかを求めてください。
175. 質量 M の惑星は、太陽の周りを速度 v (太陽中心座標系に対して) で円運動します。 この惑星が太陽の周りを公転する周期を決定します。
176. 火星の半径が地球の半径の 0.53 で、火星の質量が地球の質量の 0.11 である場合、地球の重力は火星の重力よりも何倍大きいかを求めてください。
177. 重力定数、地球の半径、地球上の重力加速度が既知であると仮定して、地球の平均密度を決定します。
178. 2 つの質点 m 1 と m 2 は、互いに距離 R の位置にあり、それらの間の距離が一定に保たれるように、共通の重心の周りを回転する必要がある回転角速度を決定します。
179. 同じ材料で作られた 2 つの同一の均質なボールは、互いに接触すると、互いに引き付け合います。 ボールのサイズが大きくなり、ボールの質量が n = 3 倍に増加した場合、引力がどのように変化するかを求めます。
180. 重力加速度が地球表面の重力加速度の 25% となる高さを求めます。
181. 地球の密度が一定であると仮定して、重力加速度が地球表面の重力加速度の 25% となる深さを決定します。
182. どの高さ h での自由落下の加速度は、地表での値の半分未満になります。
183. 地球の静止人工衛星とは、常に赤道の同じ点の上に位置する衛星です。 このような衛星から地球の中心までの距離を求めます。
184. ある惑星の赤道 (惑星密度 ρ = 3 g/cm 3) では、天体の重さは極の半分の重さになります。 惑星が自身の軸の周りを公転する周期を決定します。
185. 地球の半径がわかっていると仮定して、地球の表面からどの高さ h で重力場の強さが 4.9 N/kg に等しいかを決定します。
186. 地球と月の中心を結ぶ直線上のどの点（地球から数えて）で重力場の強さがゼロになるかを調べてください。 地球と月の中心間の距離は R で、地球の質量は月の質量の 81 倍です。
187. 質量 m、長さ l の細い均質な棒があります。 離れた棒と同一直線上にある点の場合 ある最も近い端から次のことを決定します。 1) ロッドの重力場のポテンシャル。 2) 重力場の強さ。
188. 半径 R の薄い均一な円盤は質量 m を持ちます。 円盤の軸上で距離 h に位置する点 A を決定します。 1) 重力場のポテンシャル。 2) 重力場の強さ。
