行列に数値を掛けることは公式です。行列の基本演算 (足し算、掛け算、転置) とその性質

1年、高等数学、勉強行列およびそれらに対する基本的なアクション。ここでは、行列で実行できる主な操作を体系化します。マトリックスを始めるには？もちろん、最も単純な定義、基本的な概念、および最も単純な操作から。行列は、少しでも時間を割けば誰でも理解できることを保証します!

行列の定義

マトリックス要素の長方形のテーブルです。まあ、もし分かりやすい言葉- 数字の表。

行列は通常、大文字のラテン文字で表されます。たとえば、マトリックスあ、行列 B 等々。行列はさまざまなサイズにすることができます: 長方形、正方形、ベクトルと呼ばれる行行列と列行列もあります。行列のサイズは、行と列の数によって決まります。たとえば、サイズの長方形行列を書きましょう メートル の上 n 、どこ メートル は行数、 n 列数です。

対象の要素 i=j (a11、a22、.. ) 行列の主対角を形成し、対角と呼ばれます。

行列で何ができる? 加算/減算, 数を掛ける, それらの間で増殖する, 転置. 次に、行列に対するこれらすべての基本操作について順番に説明します。

行列の加算および減算演算

同じサイズの行列しか追加できないことをすぐに警告します。結果は同じサイズの行列です。行列の加算 (または減算) は簡単です- 対応する要素を追加するだけです . 例を見てみましょう。サイズが 2 の 2 つの行列 A と B の加算を 2 つずつ実行しましょう。

減算は類推によって実行されますが、反対の符号のみが使用されます。

任意の行列に任意の数を掛けることができます。これをする、 その各要素にこの数を掛ける必要があります。 たとえば、最初の例の行列 A に 5 を掛けてみましょう。

行列乗算演算

すべての行列を互いに乗算できるわけではありません。たとえば、A と B の 2 つの行列があります。行列 A の列の数が行列 B の行の数と等しい場合にのみ、互いに乗算できます。さらに、 i 番目の行の結果の行列の各要素と、 j列目、最初の要素の i 番目の行と 2 番目の要素の j 番目の列の対応する要素の積の合計に等しくなります。. このアルゴリズムを理解するために、2 つの正方行列がどのように乗算されるかを書き留めましょう。

そして実数の例。行列を掛けましょう:

行列転置操作

行列の転置は、対応する行と列が交換される操作です。たとえば、最初の例の行列 A を転置します。

行列式

行列式、ああ、行列式は、線形代数の基本概念の 1 つです。人々が思いついたら一次方程式、そしてそれらの背後で、決定要因を発明しなければなりませんでした。最終的に、これらすべてに対処するのはあなた次第なので、最後のプッシュです！

行列式は正方行列の数値特性であり、多くの問題を解決するために必要です。
最も単純な正方行列の行列式を計算するには、主対角要素と副対角要素の積の差を計算する必要があります。

1 次の行列、つまり 1 つの要素で構成される行列の行列式は、この要素に等しくなります。

マトリックスが 3 × 3 の場合はどうなるでしょうか。これはより困難ですが、実行できます。

このような行列の場合、行列式の値は、主対角線の要素の積と、主対角線に平行な面を持つ三角形上にある要素の積の合計に等しく、そこから要素の積が得られます。二次対角線と、二次対角線に平行な面を持つ三角形上にある要素の積が減算されます。

幸いなことに、行列の行列式を計算するには大きいサイズ実際にはめったに起こりません。

ここでは、行列の基本的な操作について考えてきました。もちろん、実生活では、連立方程式のヒントに出くわすことさえありません。逆に、本当に頭を悩ませなければならないときに、はるかに複雑なケースに遭遇することもあります。専門の学生サービスがあるのはそのような場合です。助けを求め、質を高め、詳細なソリューション、学業の成功と自由な時間をお楽しみください。

このガイドは、次の方法を学ぶのに役立ちます。 行列演算: 行列の加算 (減算)、行列の転置、行列の乗算、行列の逆行列の検索。すべての資料はシンプルでアクセスしやすい形式で提示され、関連する例が示されているため、準備ができていない人でもマトリックスを使用してアクションを実行する方法を学ぶことができます. セルフコントロールとセルフテストのために、行列計算機を無料でダウンロードできます>>>。

理論的な計算を最小限に抑えようとします。いくつかの場所では、「指で」説明したり、非科学的な用語を使用したりできます。確固たる理論を愛する人たちよ、どうか批判をしないでください、私たちの仕事は マトリックスの操作方法を学ぶ.

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マトリックスは、いくつかの長方形のテーブルです要素. として要素数値、つまり数値行列を考えます。 エレメントは用語です。この用語を覚えておくことが望ましいです。それは頻繁に発生します。強調するために太字を使用したのは偶然ではありません。

指定：行列は通常大文字のラテン文字で表されます

例： 2 行 3 列の行列を考えてみましょう。

この行列は 6 つの要素で構成されています。要素:

行列内のすべての数値 (要素) は単独で存在します。つまり、減算の問題はありません。

それは単なる数字の表（セット）です！

私たちも同意します 再配置しないでください説明に別段の記載がない限り、番号。各番号には独自の場所があり、それらをシャッフルすることはできません!

問題の行列には 2 つの行があります。

および 3 つの列:

標準: 行列の次元について話すときは、 初めに行数を示してから、列数を示します。 2 行 3 列の行列を分解したところです。

行列の行数と列数が同じ場合、行列が呼び出されます四角、例えば：は 3 行 3 列の行列です。

行列が 1 列または 1 行の場合、そのような行列も呼び出されます。 ベクトル.

実際、私たちは学校以来行列の概念を知っています。たとえば、座標 "x" と "y" を持つ点を考えてみましょう。基本的に、点の座標は 1 行 2 列の行列に書き込まれます。ところで、数字の順序が重要な理由の例を次に示します。とは、平面の 2 つの完全に異なる点です。

それでは、研究に移りましょう。 行列演算:

1) アクション 1。マトリックスからマイナスを削除する (マトリックスにマイナスを導入する).

マトリックスに戻る . お気づきかもしれませんが、この行列には負の数が多すぎます。これは、マトリックスでさまざまなアクションを実行するという点で非常に不便です。マイナスをたくさん書くのは不便であり、デザインが見苦しくなります。

行列の各要素の符号を変更して、マイナスを行列の外に移動しましょう:

ゼロでは、ご存知のように、符号は変化しません。ゼロです。アフリカでもゼロです。

逆の例: . 醜く見えます。

行列の各要素の符号を変更することにより、行列にマイナスを導入します:

まあ、それははるかにきれいです。そして、最も重要なことは、マトリックスを使用してアクションを実行するのがより簡単になることです。そのような数学的な民俗記号があるため： マイナスが多いほど、混乱とエラーが多くなります.

2) アクション 2。行列に数値を掛ける.

例：

簡単です。行列に数値を掛けるには、毎日行列要素に指定された数値を掛けます。のこの場合- 3人分。

別の便利な例:

– 分数による行列の乗算

まずは何をすべきかを考えよう 必要なし:

分数をマトリックスに入力する必要はありません。まず、これは単に分数を難しくするだけです。さらなるアクションマトリックスを使用すると、第二に、教師が解を確認するのが難しくなります (特に、 - タスクの最終回答)。

そして特に、 必要なし行列の各要素をマイナス 7 で割ります。

記事より ダミーの数学またはどこから始めればよいか、高等数学のコンマを含む小数は、あらゆる方法で回避しようとしていることを覚えています。

唯一のもの 望ましいこの例で行うことは、マトリックスにマイナスを挿入することです。

しかし、もし全て行列要素を 7 で割った値 跡形もなくの場合、分割することが可能になります (そして必要です!)。

例：

この場合、次のことができます。 する必要があります行列内のすべての数値は 2 で割り切れるため、行列のすべての要素にを掛けます。 跡形もなく.

注：理論上高等数学「分科」という学校の概念はありません。「これをこれで割る」というフレーズの代わりに、いつでも「これを分数で割る」と言うことができます。つまり、除算は乗算の特殊なケースです。

3) アクション 3。行列転置.

行列を転置するには、その行を転置行列の列に書き込む必要があります。

例：

転置行列

ここには 1 行しかなく、ルールに従って、列に記述する必要があります。

転置行列です。

転置行列は、通常、右上に上付き文字またはストロークで示されます。

ステップバイステップの例:

転置行列

まず、最初の行を最初の列に書き換えます。

次に、2 行目を 2 列目に書き換えます。

最後に、3 行目を 3 列目に書き直します。

準備。大雑把に言えば、転置とは、行列を横にすることを意味します。

4) アクション 4。行列の合計 (差).

行列の合計は単純な操作です。
すべてのマトリックスを折りたたむことができるわけではありません。行列の加算 (減算) を実行するには、それらが同じサイズである必要があります。

たとえば、2 行 2 列の行列が与えられた場合、それは 2 行 2 列の行列にのみ追加でき、他の行列には追加できません。

例：

マトリックスを追加すると

行列を追加するには、対応する要素を追加する必要があります:

行列の違いについては、ルールは似ていますが、 対応する要素の違いを見つける必要があります.

例：

行列の差を見つける ,

決定方法与えられた例混乱を避けやすい？不要なマイナスを取り除くことをお勧めします。そのために、マトリックスにマイナスを追加します。

注: 高等数学の理論には、「引き算」という学派の概念はありません。「これからこれを引く」というフレーズの代わりに、いつでも「これに負の数を加える」と言うことができます。つまり、減算は加算の特殊なケースです。

5) アクション 5。行列乗算.

乗算できる行列は何ですか?

行列に行列を掛けるには、 行列の列数が行列の行数と等しくなるように.

例：
行列に行列を掛けることは可能ですか?

したがって、行列のデータを乗算できます。

しかし、行列が再配置されると、この場合、乗算はできなくなります!

したがって、乗算は不可能です。

学生が行列を乗算するように求められた場合、その乗算が明らかに不可能な場合、トリックを伴うタスクは珍しくありません。

場合によっては、両方の方法で行列を乗算できることに注意してください。
たとえば、行列の場合、乗算と乗算の両方が可能です

このトピックでは、行列の加算と減算、行列と数値の乗算、行列と行列の乗算、行列の転置などの操作について説明します。このページで使用されているすべての記号は、前のトピックから取られています。

行列の加算と減算。

行列 $A_(m\times n)=(a_(ij))$ と $B_(m\times n)=(b_(ij))$ の合計 $A+B$ は行列 $C_(m \times n) =(c_(ij))$、ここで $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ すべての $i=\overline(1,m)$ および $j=\overline( 1,n) $.

行列の違いについても同様の定義が導入されています。

行列 $A_(m\times n)=(a_(ij))$ と $B_(m\times n)=(b_(ij))$ の差 $A-B$ は行列 $C_(m\times n)=( c_(ij))$、ここで、すべての $i=\overline(1,m)$ および $j=\overline(1, n)$.

エントリの説明 $i=\overline(1,m)$: show\hide

エントリ「$i=\overline(1,m)$」は、パラメータ $i$ が 1 から m に変化することを意味します。たとえば、エントリ $i=\overline(1,5)$ は、$i$ パラメータが値 1、2、3、4、5 を取ることを示しています。

加算演算と減算演算は、同じサイズの行列に対してのみ定義されることに注意してください。一般に、行列の加算と減算は、実際には対応する要素の加算または減算を意味するため、直感的に明らかな操作です。

例 #1

3 つの行列が与えられます。

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(配列) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(配列) \right). $$

行列 $A+F$ を見つけることは可能ですか? $C=A+B$ および $D=A-B$ の場合、行列 $C$ および $D$ を求めます。

行列 $A$ には 2 行 3 列 (つまり、行列 $A$ のサイズは $2\times 3$) が含まれ、行列 $F$ には 2 行 2 列が含まれます。行列 $A$ と $F$ の次元が一致しないため、追加できません。これらの行列の演算 $A+F$ は定義されていません。

行列 $A$ と $B$ のサイズは同じです。行列データには同じ数の行と列が含まれているため、加算操作はそれらに適用できます。

$$ C=A+B=\left(\begin(配列) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(配列) \right)+ \left(\begin(配列) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(配列) \right)=\\= \left(\begin(配列) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(配列) \right)= \left(\begin(配列) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(配列) \right) $$

行列 $D=A-B$ を見つけます。

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(配列) \right)=\\= \left(\begin(配列) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(配列) \right)= \left(\begin(配列) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(配列) \right) $$

答え: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

行列に数値を掛けます。

行列 $A_(m\times n)=(a_(ij))$ と数値 $\alpha$ の積は、行列 $B_(m\times n)=(b_(ij))$ です。すべての $i=\overline(1,m)$ および $j=\overline(1,n)$ に対して b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$。

簡単に言えば、行列にある数を掛けるとは、与えられた行列の各要素にその数を掛けることを意味します。

例 #2

$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. 行列 $3\cdot A$、$-5\cdot A$、および $-A$ を見つけます。

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(配列) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (配列) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(配列) \right) =\left(\begin(配列) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(配列) \right)= \left(\begin(配列) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right)。 $$

$-A$ という表記は、$-1\cdot A$ の省略形です。つまり、$-A$ を求めるには、$A$ 行列のすべての要素に (-1) を掛ける必要があります。実際、これは行列 $A$ のすべての要素の符号が反対に変わることを意味します。

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

答え: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

2 つの行列の積。

この操作の定義は煩雑で、一見すると理解できません。したがって、最初に一般的な定義を示し、次にそれが何を意味し、どのように処理するかを詳細に分析します。

行列 $A_(m\times n)=(a_(ij))$ と行列 $B_(n\times k)=(b_(ij))$ の積は、行列 $C_(m\times k )=(c_( ij))$ 各要素 $c_(ij)$ が対応する要素の積の合計に等しい i 行目行列 $B$ の j 番目の列の要素による行列 $A$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\ ; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

ステップごとに、例を使用して行列の乗算を分析します。ただし、すべての行列を乗算できるわけではないことにすぐに注意する必要があります。行列 $A$ を行列 $B$ で乗算する場合、最初に、行列 $A$ の列数が行列 $B$ の行数と等しいことを確認する必要があります (このような行列は、しばしば 同意した）。たとえば、行列 $A_(5\times 4)$ (行列には 5 行と 4 列が含まれます) は、行列 $F_(9\times 8)$ (9 行と 8 列) で乗算することはできません。行列 $A $ は、行列 $F$ の行数と等しくありません。つまり、 $4\neq 9$. しかし、行列 $A$ の列の数は行列 $B$. この場合、行列 $A_(5\times 4)$ と $B_(4\times 9)$ を乗算した結果は、行列 $C_(5\times 9)$ となり、5 行 9 列が含まれます。

例 #3

与えられた行列: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (配列) \right)$ と $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. 行列 $C=A\cdot B$ を見つけます。

まず、行列 $C$ のサイズをすぐに決定します。行列 $A$ のサイズは $3\times 4$ で、行列 $B$ のサイズは $4\times 2$ なので、行列 $C$ のサイズは $3\times 2$ です。

したがって、行列 $A$ と $B$ の積の結果として、3 つの行と 2 つの列からなる行列 $C$ が得られるはずです: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(配列) \right)$. 要素の指定に疑問がある場合は、前のトピック「行列。行列の種類。基本用語」を参照してください。最初に、行列要素の指定が説明されています。私たちの目標は、行列 $C$ のすべての要素の値を見つけることです。

$c_(11)$ 要素から始めましょう。要素 $c_(11)$ を取得するには、行列 $A$ の最初の行と行列 $B$ の最初の列の要素の積の合計を見つける必要があります。

要素 $c_(11)$ 自体を見つけるには、行列 $A$ の最初の行の要素に、行列 $B$ の最初の列の対応する要素を掛ける必要があります。最初の要素から最初の要素へ、2 番目の要素から 2 番目へ、3 番目から 3 番目へ、4 番目から 4 番目へ。得られた結果を要約します。

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

解法を続けて $c_(12)$ を探しましょう。これを行うには、行列 $A$ の最初の行と行列 $B$ の 2 列目の要素を乗算する必要があります。

前のものと同様に、次のものがあります。

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

行列 $C$ の最初の行のすべての要素が見つかります。要素 $c_(21)$ で始まる 2 行目に渡します。それを見つけるには、行列 $A$ の 2 行目の要素と行列 $B$ の 1 列目の要素を乗算する必要があります。

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

次の要素 $c_(22)$ は、行列 $A$ の 2 行目の要素を行列 $B$ の 2 列目の対応する要素で乗算することによって求められます。

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

$c_(31)$ を見つけるには、行列 $A$ の 3 行目の要素に行列 $B$ の 1 列目の要素を掛けます。

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

最後に、要素 $c_(32)$ を見つけるには、行列 $A$ の 3 行目の要素に行列 $B$ の 2 列目の対応する要素を掛ける必要があります。

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

行列 $C$ のすべての要素が見つかりました。 $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \right)$ . または、それを完全に書くには：

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(配列) \right)\cdot \left(\begin(配列) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(配列) \right) =\left(\begin(配列) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(配列) \right). $$

答え: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

ところで、多くの場合、結果行列の各要素の位置を詳細に説明する理由はありません。サイズが小さい行列の場合、次のことができます。

行列の乗算は非可換であることにも注意してください。これは、一般的に $A\cdot B\neq B\cdot A$. と呼ばれる一部のタイプの行列のみ 順列的な(または通勤)、等式 $A\cdot B=B\cdot A$ は true です。乗算の非可換性に基づいて、右または左で式を 1 つまたは別の行列で乗算する方法を正確に示す必要があります。たとえば、「等式 $3E-F=Y$ の両辺に右側の行列 $A$ を掛ける」というフレーズは、次の等式を得たいことを意味します: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot豪ドル。

行列 $A_(m\times n)=(a_(ij))$ に関して転置すると、行列 $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$ になります。 $a_(ij)^(T)=a_(ji)$ の要素の場合。

簡単に言えば、転置された行列 $A^T$ を取得するには、元の行列 $A$ の列を、この原則に従って対応する行に置き換える必要があります。最初の行があった - 最初の列は次のようになります。 2 番目の行がありました - 2 番目の列は次のようになります。 3 番目の行がありました - 3 番目の列などがあります。たとえば、行列 $A_(3\times 5)$ への転置行列を見つけてみましょう。