Prevod matice do postupnej formy. Diagonálne matice. Kritérium lineárnej závislosti vektorov

Definícia

Štvorcová matica sa nazýva uhlopriečka, ak sú všetky jeho prvky umiestnené mimo hlavnej uhlopriečky rovné nule.

Komentujte. Diagonálne prvky matice (teda prvky na hlavnej diagonále) môžu byť tiež nulové.

Príklad

Definícia

Skalárne nazývaná diagonálna matica, v ktorej sú všetky diagonálne prvky navzájom rovnaké.

Komentujte. Ak je nulová matica štvorcová, potom je tiež skalárna.

Príklad

Definícia

Matica identity je skalárna matica poriadku, ktorej diagonálne prvky sa rovnajú 1.

Komentujte. Na skrátenie zápisu je možné vynechať poradie matice identity; potom sa matica identity jednoducho označí .

Príklad

je matica identity druhého rádu.

2.10. Zmenšenie matice na diagonálny tvar

Normálna (najmä symetrická) matica A možno dostať do diagonálnej formy transformáciou podobnosti -

A = TΛT −1

Tu Λ = diag(λ 1 ,..., λ N) je diagonálna matica, ktorej prvky sú vlastné hodnoty matice A, A T je matica zložená zo zodpovedajúcich vlastných vektorov matice A, t.j. T = (v 1 ,...,v N).

Napríklad,

Ryža. 23 Redukcia na diagonálny tvar

Kroková matica

Definícia

Stupňovaný je matica, ktorá spĺňa nasledujúce podmienky:

Definícia

Stupňovaný sa nazýva matica, ktorá obsahuje riadky a v ktorej sú prvé prvky uhlopriečky nenulové a prvky ležiace pod hlavnou uhlopriečkou a prvky posledných riadkov sa rovnajú nule, to znamená, že ide o maticu v tvare:

Definícia

Hlavný prvok riadku matice sa volá jej prvý nenulový prvok.

Príklad

Cvičenie. Nájdite hlavné prvky každého riadku matice

Riešenie. Hlavný prvok prvého riadku je prvým nenulovým prvkom tohto riadku, a teda hlavným prvkom riadku číslo 1; podobne - hlavný prvok druhého riadku.

Ďalšia definícia krokovej matice.

Definícia

Matica sa nazýva stupňovaný, Ak:

všetky jeho nulové riadky sú po nenulových riadkoch;

v každom nenulovom riadku, počnúc druhým, je jeho hlavný prvok umiestnený vpravo (v stĺpci s vyšším číslom) od hlavného prvku predchádzajúceho riadku.

Podľa definície krokové matice zahŕňajú nulovú maticu, ako aj maticu, ktorá obsahuje jeden riadok.

Príklad

Príklady krokových matíc:

, , , ,

Príklady matíc, ktoré nie sú stupňovité:

, ,

Príklad

Cvičenie. Zistite, či je matica stupňovaný.

Riešenie. Splnenie podmienok kontrolujeme z definície:

Daná matica je teda stupňovitá.

V tejto téme sa budeme zaoberať konceptom matice, ako aj typmi matíc. Keďže v tejto téme je veľa pojmov, pridám krátke zhrnutie na uľahčenie orientácie v materiáli.

Definícia matice a jej prvku. Notový zápis.

Matrix je tabuľka s $m$ riadkami a $n$ stĺpcami. Prvky matice môžu byť objekty úplne iného charakteru: čísla, premenné alebo napríklad iné matice. Napríklad matica $\left(\begin(pole) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(pole) \right)$ obsahuje 3 riadky a 2 stĺpce; jeho prvky sú celé čísla. Matica $\left(\begin(pole) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(pole) \right)$ obsahuje 2 riadky a 4 stĺpce.

Rôzne spôsoby zápisu matíc: show\hide

Maticu je možné písať nielen v okrúhlych, ale aj v hranatých alebo dvojitých rovných zátvorkách. Nižšie je uvedená rovnaká matica v rôznych formách zápisu:

$$ \left(\begin(pole) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(pole) \right);\;\; \left[ \begin(pole) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(pole) \right]; \;\; \left \Vert \begin(pole) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(pole) \right \Vert $$

Volá sa súčin $m\krát n$ veľkosť matrice. Napríklad, ak matica obsahuje 5 riadkov a 3 stĺpce, potom hovoríme o matici veľkosti $5\krát 3$. Matica $\left(\begin(pole)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(pole)\right)$ má veľkosť $3 \krát 2$.

Matice sa zvyčajne označujú veľkými písmenami latinskej abecedy: $A$, $B$, $C$ atď. Napríklad $B=\left(\begin(pole) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(pole) \right)$. Číslovanie riadkov ide zhora nadol; stĺpce - zľava doprava. Napríklad prvý riadok matice $B$ obsahuje prvky 5 a 3 a druhý stĺpec obsahuje prvky 3, -87, 0.

Prvky matíc sa zvyčajne označujú malými písmenami. Napríklad prvky matice $A$ sú označené $a_(ij)$. Dvojitý index $ij$ obsahuje informácie o polohe prvku v matici. Číslo $i$ je číslo riadku a číslo $j$ je číslo stĺpca, v priesečníku ktorého je prvok $a_(ij)$. Napríklad na priesečníku druhého riadku a piateho stĺpca matice $A=\left(\begin(pole) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(pole) \right)$ prvok $a_(25)= 59 $:

Rovnakým spôsobom na priesečníku prvého riadku a prvého stĺpca máme prvok $a_(11)=51$; na priesečníku tretieho riadku a druhého stĺpca - prvok $a_(32)=-15$ atď. Všimnite si, že položka $a_(32)$ znie „a tri dva“, ale nie „tridsať dva“.

Na skrátenie matice $A$, ktorej veľkosť je $m\krát n$, sa používa zápis $A_(m\krát n)$. Často sa používa nasledujúca notácia:

$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$

Tu $(a_(ij))$ označuje označenie prvkov matice $A$, t.j. hovorí, že prvky matice $A$ sú označené ako $a_(ij)$. V rozšírenej forme možno maticu $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ zapísať takto:

$$ A_(m\krát n)=\left(\begin(pole)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(pole) \right) $$

Predstavme si ďalší termín - rovnaké matice.

Volajú sa dve matice rovnakej veľkosti $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ a $B_(m\krát n)=(b_(ij))$ rovný, ak sú ich zodpovedajúce prvky rovnaké, t.j. $a_(ij)=b_(ij)$ pre všetky $i=\overline(1,m)$ a $j=\overline(1,n)$.

Vysvetlenie položky $i=\overline(1,m)$: show\hide

Zápis "$i=\overline(1,m)$" znamená, že parameter $i$ sa mení od 1 do m. Napríklad zápis $i=\overline(1,5)$ znamená, že parameter $i$ nadobúda hodnoty 1, 2, 3, 4, 5.

Aby boli matice rovnaké, musia byť splnené dve podmienky: zhoda veľkostí a rovnosť zodpovedajúcich prvkov. Napríklad matica $A=\left(\begin(pole)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(pole)\right)$ sa nerovná matici $B=\left(\ begin(pole)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(pole)\right)$, pretože matica $A$ má veľkosť $3\krát 2$ a matica $B$ má veľkosť $2\krát $2. Tiež matica $A$ sa nerovná matici $C=\left(\begin(pole)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(pole)\right)$ , pretože $a_( 21)\neq c_(21)$ (t. j. $0\neq 98$). Ale pre maticu $F=\left(\začiatok(pole)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(pole)\vpravo)$ môžeme pokojne napísať $A= F$, pretože obe veľkosti a zodpovedajúce prvky matíc $A$ a $F$ sa zhodujú.

Príklad č.1

Určte veľkosť matice $A=\left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \koniec(pole) \vpravo)$. Uveďte, čomu sa rovnajú prvky $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Táto matica obsahuje 5 riadkov a 3 stĺpce, takže jej veľkosť je $5\krát 3$. Pre túto maticu môžete použiť aj zápis $A_(5\krát 3)$.

Prvok $a_(12)$ je v priesečníku prvého riadka a druhého stĺpca, takže $a_(12)=-2$. Prvok $a_(33)$ je v priesečníku tretieho riadka a tretieho stĺpca, takže $a_(33)=23$. Prvok $a_(43)$ je v priesečníku štvrtého riadka a tretieho stĺpca, takže $a_(43)=-5$.

Odpoveď: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Typy matríc v závislosti od ich veľkosti. Hlavné a vedľajšie uhlopriečky. Maticová stopa.

Nech je daná určitá matica $A_(m\krát n)$. Ak $m=1$ (matica pozostáva z jedného riadku), potom sa volá daná matica matica-riadok. Ak $n=1$ (matica pozostáva z jedného stĺpca), potom sa takáto matica nazýva matica-stĺpec. Napríklad $\left(\begin(pole) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(pole) \right)$ je riadková matica a $\left(\begin(pole) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(pole) \right)$ je stĺpcová matica.

Ak matica $A_(m\krát n)$ spĺňa podmienku $m\neq n$ (t.j. počet riadkov sa nerovná počtu stĺpcov), potom sa často hovorí, že $A$ je obdĺžnik matice. Napríklad matica $\left(\začiatok(pole) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(pole) \right)$ má veľkosť $2\krát 4 $, tie. obsahuje 2 riadky a 4 stĺpce. Keďže počet riadkov sa nerovná počtu stĺpcov, táto matica je obdĺžniková.

Ak matica $A_(m\krát n)$ spĺňa podmienku $m=n$ (t.j. počet riadkov sa rovná počtu stĺpcov), potom sa $A$ považuje za štvorcovú maticu poriadku $ n$. Napríklad $\left(\begin(pole) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(pole) \right)$ je štvorcová matica druhého rádu; $\left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(pole) \right)$ je štvorcová matica tretieho rádu. Vo všeobecnosti možno štvorcovú maticu $A_(n\krát n)$ zapísať takto:

$$ A_(n\krát n)=\left(\begin(pole)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(pole) \right) $$

Prvky $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ sú údajne zapnuté hlavná uhlopriečka matice $A_(n\krát n)$. Tieto prvky sú tzv hlavné diagonálne prvky(alebo len diagonálne prvky). Prvky $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ sú zapnuté bočná (vedľajšia) uhlopriečka; nazývajú sa bočné diagonálne prvky. Napríklad pre maticu $C=\left(\začiatok(pole)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( pole) \right)$ máme:

Prvky $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ sú hlavné diagonálne prvky; prvky $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ sú bočné diagonálne prvky.

Súčet hlavných diagonálnych prvkov je tzv nasleduje matica a označuje sa $\Tr A$ (alebo $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Napríklad pre maticu $C=\left(\begin(pole) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \koniec (pole)\vpravo)$ máme:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Pojem diagonálnych prvkov sa používa aj pre neštvorcové matice. Napríklad pre maticu $B=\left(\begin(pole) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(pole) \right)$ hlavné diagonálne prvky budú $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Typy matíc v závislosti od hodnôt ich prvkov.

Ak sú všetky prvky matice $A_(m\krát n)$ rovné nule, potom sa takáto matica nazýva nulový a zvyčajne sa označuje písmenom $O$. Napríklad $\left(\begin(pole) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(pole) \right)$, $\left(\begin(pole) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(pole) \right)$ - nulové matice.

Uvažujme nejaký nenulový riadok matice $A$, t.j. reťazec, ktorý obsahuje aspoň jeden prvok iný ako nula. Vedúci prvok nenulového reťazca nazývame jeho prvý (počítajúc zľava doprava) nenulový prvok. Zvážte napríklad nasledujúcu maticu:

$$W=\left(\začiatok(pole)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(pole)\right)$ $

V druhom riadku bude vodiaci prvok štvrtý prvok, t.j. $w_(24)=12$ a v treťom riadku bude vedúcim prvkom druhý prvok, t.j. $w_(32)=-9$.

Matica $A_(m\krát n)=\left(a_(ij)\right)$ sa nazýva stupňovaný, ak spĺňa dve podmienky:

1. Nulové riadky, ak sú prítomné, sú umiestnené pod všetkými nenulovými riadkami.
2. Počty vedúcich prvkov nenulových riadkov tvoria striktne rastúcu postupnosť, t.j. ak $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ sú vedúce prvky nenulových riadkov matice $A$, potom $k_1\lt(k_2)\ lt\ldots\lt( k_r)$.

Príklady krokových matíc:

$$ \left(\begin(pole)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(pole)\vpravo);\; \left(\začiatok(pole)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(pole)\vpravo). $$

Pre porovnanie: matica $Q=\left(\begin(pole)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(pole)\right)$ nie je kroková matica, pretože je porušená druhá podmienka v definícii krokovej matice. Vedúce prvky v druhom a treťom rade $q_(24)=7$ a $q_(32)=10$ majú čísla $k_2=4$ a $k_3=2$. Pre krokovú maticu musí byť splnená podmienka $k_2\lt(k_3)$, ktorá je v tomto prípade porušená. Dovoľte mi poznamenať, že ak prehodíme druhý a tretí riadok, dostaneme postupnú maticu: $\left(\begin(pole)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\koniec (pole)\vpravo)$.

Nazýva sa kroková matica lichobežníkový alebo lichobežníkový, ak vedúce prvky $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ spĺňajú podmienky $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r = r$, t.j. vedúce sú diagonálne prvky. Vo všeobecnosti možno lichobežníkovú maticu zapísať takto:

$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(pole) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(pole)\right) $$

Príklady trapézových matíc:

$$ \left(\begin(pole)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(pole)\vpravo);\; \left(\začiatok(pole)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(pole)\vpravo). $$

Uveďme ešte niekoľko definícií pre štvorcové matice. Ak sú všetky prvky štvorcovej matice umiestnené pod hlavnou uhlopriečkou rovné nule, potom sa takáto matica nazýva horná trojuholníková matrica. Napríklad $\left(\begin(pole) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(pole) \right)$ je horná trojuholníková matica. Všimnite si, že definícia hornej trojuholníkovej matice nehovorí nič o hodnotách prvkov umiestnených nad hlavnou uhlopriečkou alebo na hlavnej uhlopriečke. Môžu byť nulové alebo nie - na tom nezáleží. Napríklad $\left(\begin(pole) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ je tiež horná trojuholníková matica.

Ak sú všetky prvky štvorcovej matice umiestnené nad hlavnou uhlopriečkou rovné nule, potom sa takáto matica nazýva spodná trojuholníková matrica. Napríklad $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(pole) \right)$ - spodná trojuholníková matica. Všimnite si, že definícia nižšej trojuholníkovej matice nehovorí nič o hodnotách prvkov umiestnených pod alebo na hlavnej uhlopriečke. Môžu byť nulové alebo nie - na tom nezáleží. Napríklad $\left(\begin(pole) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(pole) \right)$ a $\left(\ begin (pole) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(pole) \right)$ sú tiež nižšie trojuholníkové matice.

Štvorcová matica sa nazýva uhlopriečka, ak sú všetky prvky tejto matice, ktoré neležia na hlavnej uhlopriečke, rovné nule. Príklad: $\left(\begin(pole) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ koniec(pole)\vpravo)$. Prvky na hlavnej uhlopriečke môžu byť čokoľvek (rovnajúce sa nule alebo nie) - na tom nezáleží.

Diagonálna matica je tzv slobodný, ak sú všetky prvky tejto matice umiestnené na hlavnej uhlopriečke rovné 1. Napríklad $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(pole)\right)$ - matica identity štvrtého rádu; $\left(\begin(pole) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(pole)\right)$ je matica identity druhého rádu.

Aby ste dostali maticu do stupňovitého tvaru (obr. 1.4), musíte vykonať nasledujúce kroky.

1. V prvom stĺpci vyberte prvok iný ako nula ( vedúci prvok ). Reťazec s vodiacim prvkom ( vedúca línia ), ak nie je prvý, preusporiadajte ho na mieste prvého riadku (transformácia typu I). Ak v prvom stĺpci nie je žiadny vodiaci prvok (všetky prvky sú nulové), potom tento stĺpec vylúčime a pokračujeme v hľadaní vedúceho prvku vo zvyšku matice. Transformácia sa skončí, ak sú odstránené všetky stĺpce alebo ak má zvyšok matice všetky nulové prvky.

2. Rozdeľte všetky prvky vodiaceho riadku vodiacim prvkom (transformácia typu II). Ak je vodiaca čiara posledná, transformácia by mala skončiť tam.

3. Ku každému riadku, ktorý sa nachádza pod úvodným riadkom, pridajte úvodný riadok, vynásobený zodpovedajúcim číslom, aby sa prvky pod úvodným riadkom rovnali nule (transformácia typu III).

4. Po vylúčení riadku a stĺpca, na priesečníku ktorých je vodiaci prvok, prejdite na krok 1, v ktorom sa všetky opísané akcie aplikujú na zvyšok matice.

Veta o rozdelení riadkovej položky podľa prvkov riadku.

Veta o rozklade determinantu na prvky riadka alebo stĺpca nám umožňuje zredukovať výpočet determinantu - th order() na výpočet determinantov objednávky .

Ak má determinant prvky rovné nule, potom je najvhodnejšie rozšíriť determinant na prvky riadka alebo stĺpca, ktorý obsahuje najväčší počet núl.

Pomocou vlastností determinantov môžete determinant transformovať - usporiadať tak, aby sa všetky prvky určitého riadka alebo stĺpca, okrem jedného, ​​rovnali nule. Teda výpočet determinantu - t. rádu, ak sa líši od nuly, sa zredukuje na výpočet jedného determinantu - poradie.

Úloha 3.1. Vypočítajte determinant

Riešenie. Pridaním prvého riadku k druhému riadku, prvého riadku vynásobeného 2 k tretiemu riadku a prvého riadku vynásobeného -5 k štvrtému riadku dostaneme

Rozšírením determinantu na prvky prvého stĺpca máme

.

Vo výslednom determinante 3. rádu vynulujeme všetky prvky prvého stĺpca okrem prvého. Aby sme to urobili, k druhému riadku pridáme prvý, vynásobený (-1), do tretieho, vynásobeného 5, pridáme prvý, vynásobený 8. Keďže sme tretí riadok vynásobili 5, potom (takže determinant sa nemení) vynásobte ho . Máme

Rozložme výsledný determinant na prvky prvého stĺpca:

Laplaceova veta (1). Veta o mimozemských prírastkoch (2)

1) Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov ľubovoľného riadku a ich algebraických doplnkov.

2) Súčet súčinov prvkov ľubovoľného radu determinantu algebraickými doplnkami zodpovedajúcich prvkov jeho druhého radu je rovný nule (veta o násobení inými algebraickými doplnkami).

Každý bod v rovine so zvoleným súradnicovým systémom je určený dvojicou (α, β) jeho súradníc; čísla α a β možno chápať aj ako súradnice polomerového vektora s koncom v tomto bode. Podobne v priestore trojica (α, β, γ) definuje bod alebo vektor so súradnicami α, β, γ. Práve na tom je čitateľovi dobre známa geometrická interpretácia sústav lineárnych rovníc s dvomi alebo tromi neznámymi. Teda v prípade sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi

a 1 x + b 1 y = c 1,

a 2 x + b 2 y = c 2

každá z rovníc sa interpretuje ako priamka v rovine (pozri obr. 26) a riešenie (α, β) sa interpretuje ako priesečník týchto priamok alebo ako vektor so súradnicami ap (obrázok zodpovedá v prípade, keď má systém jedinečné riešenie).

Ryža. 26

To isté môžete urobiť so systémom lineárnych rovníc s tromi neznámymi, pričom každú rovnicu interpretujete ako rovnicu roviny v priestore.

V matematike a jej rôznych aplikáciách (najmä v teórii kódovania) sa musíme zaoberať sústavami lineárnych rovníc obsahujúcich viac ako tri neznáme. Sústava lineárnych rovníc s n neznámymi x 1, x 2, ..., x n je sústava rovníc v tvare

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m,

kde a ij a b i sú ľubovoľné reálne čísla. Počet rovníc v systéme môže byť ľubovoľný a v žiadnom prípade nesúvisí s počtom neznámych. Koeficienty pre neznáme a ij majú dvojité číslovanie: prvý index i označuje číslo rovnice, druhý index j - číslo neznámej, pri ktorej tento koeficient stojí.

Akékoľvek riešenie systému sa chápe ako súbor (reálnych) hodnôt neznámych (α 1 , α 2 , ..., α n ), čím sa každá rovnica zmení na skutočnú rovnosť.

Hoci priama geometrická interpretácia systému (1) pre n > 3 už nie je možná, je celkom možné a v mnohých ohľadoch vhodné rozšíriť geometrický jazyk priestoru dvoch alebo troch rozmerov na prípad ľubovoľného n. Na tento účel slúžia ďalšie definície.

Každá usporiadaná množina n reálnych čísel (α 1 , α 2 , ..., α n ) sa nazýva n-rozmerný aritmetický vektor a samotné čísla α 1 , α 2 , ..., α n - súradnice tohto vektora.

Na označenie vektorov sa spravidla používa tučné písmo a pre vektor a so súradnicami α 1, α 2, ..., α n sa zachováva obvyklý tvar zápisu:

a = (a 1, α 2, ..., α n).

Analogicky s obyčajnou rovinou sa množina všetkých n-rozmerných vektorov, ktoré spĺňajú lineárnu rovnicu s n neznámymi, nazýva nadrovina v n-rozmernom priestore. S touto definíciou nie je množina všetkých riešení systému (1) ničím iným ako priesečníkom niekoľkých nadrovín.

Sčítanie a násobenie n-rozmerných vektorov sa určuje podľa rovnakých pravidiel ako pre bežné vektory. Totiž ak

a = (α 1, α 2, ..., α n), b = (β 1, β 2, ..., β n) (2)

Dva n-rozmerné vektory, ich súčet sa nazýva vektor

α + β = (α 1 + β 1, α 2 + β 2, ..., α n + β n). (3)

Súčin vektora a a čísla λ je vektor

λa = (λα 1, λα 2, ..., λα n). (4)

Množina všetkých n-rozmerných aritmetických vektorov s operáciami sčítania vektorov a násobenia vektora číslom sa nazýva aritmetický n-rozmerný vektorový priestor L n.

Pomocou zavedených operácií je možné uvažovať o ľubovoľných lineárnych kombináciách viacerých vektorov, t.j. výrazoch tvaru

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k,

kde λ i sú reálne čísla. Napríklad lineárna kombinácia vektorov (2) s koeficientmi λ a μ je vektor

λa + μb = (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n).

V trojrozmernom vektorovom priestore zohráva osobitnú úlohu trojica vektorov i, j, k (vektory súradnicových jednotiek), na ktoré sa rozkladá ľubovoľný vektor a:

a = xi + yj + zk,

kde x, y, z sú reálne čísla (súradnice vektora a).

V n-rozmernom prípade hrá rovnakú úlohu nasledujúci systém vektorov:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

en = (0, 0, 0, ..., 1).

Akýkoľvek vektor a je samozrejme lineárna kombinácia vektorov e 1, e 2, ..., e n:

a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + ... + a n e n, (6)

a koeficienty α 1, α 2, ..., α n sa zhodujú so súradnicami vektora a.

Označením 0 vektor, ktorého všetky súradnice sú rovné nule (v skratke nulový vektor), zavedieme nasledujúcu dôležitú definíciu:

Systém vektorov a 1, a 2, ..., a k sa nazýva lineárne závislý, ak existuje lineárna kombinácia rovnajúca sa nulovému vektoru

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

v ktorej je aspoň jeden z koeficientov h 1, λ 2, ..., λ k odlišný od nuly. V opačnom prípade sa systém nazýva lineárne nezávislý.

Takže vektory

a 1 = (1, 0, 1, 1), a 2 = (1, 2, 1, 1) a 3 = (2, 2, 2, 2)

sú lineárne závislé, pretože

a 1 + a 2 - a 3 = 0.

Lineárna závislosť, ako je zrejmé z definície, je ekvivalentná (pre k ≥ 2) skutočnosti, že aspoň jeden z vektorov systému je lineárnou kombináciou ostatných.

Ak systém pozostáva z dvoch vektorov a 1 a a 2, potom lineárna závislosť systému znamená, že jeden z vektorov je úmerný druhému, povedzme a 1 = λa 2; v trojrozmernom prípade je to ekvivalentné kolinearite vektorov a 1 a a 2. Rovnakým spôsobom lineárna závislosť systému I troch vektorov v bežnom priestore znamená, že tieto vektory sú koplanárne. Koncept lineárnej závislosti je teda prirodzeným zovšeobecnením pojmov kolinearita a koplanarita.

Je ľahké overiť, že vektory e 1, e 2, ..., e n zo systému (5) sú lineárne nezávislé. V dôsledku toho v n-rozmernom priestore existujú systémy n lineárne nezávislých vektorov. Dá sa ukázať, že každý systém väčšieho počtu vektorov je lineárne závislý.

Každý systém a 1 , a 2 , ..., a n z n lineárne nezávislých vektorov n-rozmerného priestoru L n sa nazýva jeho základ.

Akýkoľvek vektor a priestoru L n sa jedinečným spôsobom rozloží na vektory s ľubovoľnou bázou a 1, a 2, ..., a n:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n.

Táto skutočnosť sa dá ľahko zistiť na základe definície základu.

Pokračujúc v analógii s trojrozmerným priestorom, je možné v n-rozmernom prípade určiť skalárny súčin ab vektorov, nastavením

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n.

Pri tejto definícii sú zachované všetky základné vlastnosti skalárneho súčinu trojrozmerných vektorov. Vektory a a b sa nazývajú ortogonálne, ak sa ich skalárny súčin rovná nule:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

Teória lineárnych kódov využíva ďalší dôležitý pojem – pojem podpriestor. Podmnožina V priestoru L n sa nazýva podpriestor tohto priestoru, ak

1) pre ľubovoľné vektory a, b patriace do V, ich súčet a + b tiež patrí do V;

2) pre ľubovoľný vektor a patriaci do V a pre akékoľvek reálne číslo λ patrí vektor λa tiež do V.

Napríklad množina všetkých lineárnych kombinácií vektorov e 1, e 2 zo systému (5) bude podpriestorom priestoru L n.

V lineárnej algebre je dokázané, že v akomkoľvek podpriestore V existuje taká lineárne nezávislá sústava vektorov a 1, a 2, ..., a k, že každý vektor a podpriestoru je lineárnou kombináciou týchto vektorov:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k ak.

Uvedený systém vektorov sa nazýva základ podpriestoru V.

Z definície priestoru a podpriestoru hneď vyplýva, že priestor L n je komutatívna grupa vzhľadom na operáciu sčítania vektorov a ktorýkoľvek jeho podpriestor V je podgrupou tejto grupy. V tomto zmysle možno napríklad uvažovať o kozmnožinách priestoru L n vzhľadom na podpriestor V.

Na záver zdôrazňujeme, že ak v teórii n-rozmerného aritmetického priestoru namiesto reálnych čísel (t.j. prvkov poľa reálnych čísel) uvažujeme prvky ľubovoľného poľa F, potom všetky uvedené definície a fakty vyššie zostane v platnosti.

V teórii kódovania zohráva dôležitú úlohu prípad, keď pole F je poľom zvyškov Z p, ktoré je, ako vieme, konečné. V tomto prípade je zodpovedajúci n-rozmerný priestor tiež konečný a obsahuje, ako je ľahké vidieť, p n prvkov.

Pojem priestoru, podobne ako pojmy skupina a kruh, tiež umožňuje axiomatickú definíciu. Pre podrobnosti odkazujeme Feeder na akýkoľvek kurz lineárnej algebry.

Lineárna kombinácia. Lineárne závislé a nezávislé vektorové systémy.

lineárna kombinácia vektorov

Lineárna kombinácia vektorov nazývaný vektor

Kde - lineárne kombinačné koeficienty. Ak o kombinácii sa hovorí, že je triviálna, ak je netriviálna.

Lineárna závislosť a vektorová nezávislosť

systém lineárne závislé

systém lineárne nezávislé

Kritérium lineárnej závislosti vektorov

Aby boli vektory (r > 1) boli lineárne závislé, je potrebné a postačujúce, aby aspoň jeden z týchto vektorov bol lineárnou kombináciou ostatných.

Rozmer lineárneho priestoru

Lineárny priestor V volal n-rozmerný (má rozmer n), ak obsahuje:

1) existuje n lineárne nezávislé vektory;

2) akýkoľvek systém n+1 vektory sú lineárne závislé.

Označenia: n= tlmené V;.

Vektorový systém je tzv lineárne závislé, ak existuje nenulové množina čísel, ktorá tvorí lineárnu kombináciu

Vektorový systém je tzv lineárne nezávislé, ak od rovnosti k nule lineárnej kombinácie

rovná sa nule každý koeficienty

Otázka lineárnej závislosti vektorov vo všeobecnom prípade vedie k otázke existencie nenulového riešenia pre homogénny systém lineárnych rovníc s koeficientmi rovnými zodpovedajúcim súradniciam týchto vektorov.

Aby sme dôkladne porozumeli konceptom „lineárnej závislosti“ a „lineárnej nezávislosti“ systému vektorov, je užitočné vyriešiť problémy nasledujúceho typu:

Linearita Kritériá I a II pre linearitu.

Vektorový systém je lineárne závislý práve vtedy, ak jeden z vektorov systému je lineárnou kombináciou zostávajúcich vektorov tohto systému.

Dôkaz. Nech je sústava vektorov lineárne závislá. Potom je tu taký súbor koeficientov , že , a aspoň jeden koeficient je odlišný od nuly. Predstierajme to. Potom

to znamená, že ide o lineárnu kombináciu zostávajúcich vektorov systému.

Nech jeden z vektorov systému je lineárnou kombináciou zostávajúcich vektorov. Predpokladajme, že ide o vektor, tj . Je zrejmé, že. Zistili sme, že lineárna kombinácia systémových vektorov sa rovná nule a jeden z koeficientov sa líši od nuly (rovná sa ).

Ponuka10 . 7 Ak systém vektorov obsahuje lineárne závislý podsystém, potom je lineárne závislý celý systém.

Dôkaz.

Nech je subsystém v sústave vektorov , , je lineárne závislý, teda , a aspoň jeden koeficient je odlišný od nuly. Potom urobme lineárnu kombináciu. Je zrejmé, že táto lineárna kombinácia sa rovná nule a že medzi koeficientmi je nenulová jednotka.

Základom vektorového systému je hlavná sila.

Základom nenulovej sústavy vektorov je jej ekvivalentný lineárne nezávislý podsystém. Nulová sústava nemá základ.

Vlastnosť 1: Základ lineárneho nezávislého systému sa zhoduje sám so sebou.

Príklad: Systém lineárne nezávislých vektorov, pretože žiadny z vektorov nemôže byť lineárne vyjadrený prostredníctvom ostatných.

Vlastnosť 2: (základné kritérium) Lineárne nezávislý podsystém daného systému je jeho bázou práve vtedy, ak je maximálne lineárne nezávislý.

dôkaz: Vzhľadom na systém Nevyhnutnosť Nechajte základňu. Potom, podľa definície, a, ak , kde , systém je lineárne závislý, pretože je lineárne degenerovaný cez , a preto je maximálne lineárne nezávislý. Primeranosť Nech je subsystém maximálne lineárne nezávislý, potom kde . lineárne závislý lineárne degeneruje cez základ systému.

Vlastnosť 3: (hlavná vlastnosť základne) Každý vektor systému môže byť vyjadrený prostredníctvom bázy jedinečným spôsobom.

Dôkaz Nech je vektor degenerovaný cez základňu dvoma spôsobmi, potom: , potom

Hodnosť vektorového systému.

Definícia: Hodnosť nenulového systému vektorov v lineárnom priestore je počet vektorov jeho bázy. Hodnosť nulového systému je podľa definície nulová. Vlastnosti hodnotenia: 1) Hodnosť lineárne nezávislého systému sa zhoduje s počtom jeho vektorov. 2) Hodnosť lineárne závislého systému je menšia ako počet jeho vektorov. 3) Hodnoty ekvivalentných systémov sa zhodujú - poradie. 4) Hodnosť podsystému je menšia alebo rovná hodnote systému. 5) Ak sú obe hodnosti, potom majú spoločný základ. 6) Hodnosť systému nemožno zmeniť, ak sa k nemu pridá vektor, ktorý je lineárnou kombináciou zostávajúcich vektorov systému. 7) Hodnosť systému nemožno zmeniť, ak sa z neho odstráni vektor, ktorý je lineárnou kombináciou zostávajúcich vektorov.

Ak chcete zistiť poradie systému vektorov, musíte použiť Gaussovu metódu na zmenšenie systému na trojuholníkový alebo lichobežníkový tvar.

Ekvivalentné vektorové systémy.

Príklad:

Transformujme vektorové dáta do matice, aby sme našli základ. Dostaneme:

Teraz pomocou Gaussovej metódy transformujeme maticu na lichobežníkový tvar:

1) V našej hlavnej matici zrušíme celý prvý stĺpec okrem prvého riadku, od druhého odčítame prvý vynásobený , od tretieho odčítame prvý vynásobený , a od štvrtého neodčítame nič. pretože prvý prvok štvrtého riadku, to znamená priesečník prvého stĺpca a štvrtého riadku, je rovný nule. Dostaneme maticu: 2) Teraz v matici vymeňme riadky 2, 3 a 4 pre uľahčenie riešenia tak, aby na mieste prvku bol jeden. Zmeňme štvrtý riadok namiesto druhého, druhý namiesto tretieho a tretí na miesto štvrtého. Dostaneme maticu: 3) V matici zrušíme všetky prvky pod prvkom . Keďže prvok našej matice je opäť rovný nule, od štvrtého riadku nič neodčítame, ale do tretieho pripočítame druhý vynásobený . Dostaneme maticu: 4) Znova vymeníme riadky 3 a 4 v matici. Dostaneme maticu: 5) V matici pridajte k štvrtému riadku tretí riadok vynásobený 5. Získame maticu, ktorá bude mať trojuholníkový tvar:

Systémy, ich hodnosti sa zhodujú kvôli vlastnostiam hodnosti a ich hodnosť sa rovná hodnosti

Poznámky: 1) Na rozdiel od tradičnej Gaussovej metódy, ak sú všetky prvky v riadku matice delené určitým číslom, nemáme právo zmenšiť riadok matice kvôli vlastnostiam matice. Ak chceme zmenšiť riadok o určité číslo, budeme musieť o toto číslo zmenšiť celú maticu. 2) Ak dostaneme lineárne závislý riadok, môžeme ho z našej matice odstrániť a nahradiť nulovým riadkom. Príklad: Okamžite uvidíte, že druhý riadok je vyjadrený cez prvý, ak prvý vynásobíte 2. V tomto prípade môžeme nahradiť celý druhý riadok nulou. Dostaneme: Výsledkom je, že po privedení matice do trojuholníkového alebo lichobežníkového tvaru, kde nemá lineárne závislé vektory, všetky nenulové vektory matice budú základom matice a ich počet bude poradie.

Tu je tiež príklad systému vektorov vo forme grafu: Daný systém, kde , , a . Základom tohto systému budú samozrejme vektory a , pretože vektory sú prostredníctvom nich vyjadrené. Tento systém v grafickej podobe bude vyzerať takto:

Elementárna rekreácia. Systémy stupňovitého typu.

Elementárne maticové transformácie- ide o maticové transformácie, ktorých výsledkom je zachovanie maticovej ekvivalencie. Elementárne transformácie teda nemenia množinu riešení systému lineárnych algebraických rovníc, ktoré táto matica predstavuje.

Elementárne transformácie sa používajú v Gaussovej metóde na redukciu matice na trojuholníkový alebo stupňovitý tvar.

Konverzie elementárnych reťazcov sa volajú:

V niektorých kurzoch lineárnej algebry sa permutácia riadkov matice nerozlišuje ako samostatná elementárna transformácia v dôsledku skutočnosti, že permutáciu ľubovoľných dvoch riadkov matice možno získať vynásobením ľubovoľného riadka matice konštantou a pridaním ďalšieho riadka k ľubovoľnému vynásobenému riadku matice. konštantou , .

Podobne definované transformácie elementárnych stĺpcov.

Elementárne transformácie reverzibilné.

Zápis naznačuje, že maticu možno získať elementárnymi transformáciami (alebo naopak).

Matica je špeciálny objekt v matematike. Zobrazuje sa vo forme obdĺžnikovej alebo štvorcovej tabuľky zloženej z určitého počtu riadkov a stĺpcov. V matematike existuje široká škála typov matíc, ktoré sa líšia veľkosťou alebo obsahom. Čísla jeho riadkov a stĺpcov sa nazývajú objednávky. Tieto objekty sa používajú v matematike na organizáciu záznamu sústav lineárnych rovníc a pohodlné vyhľadávanie ich výsledkov. Rovnice využívajúce maticu sa riešia metódou Carla Gaussa, Gabriela Cramera, vedľajšími a algebraickými sčítaniami, ako aj mnohými ďalšími metódami. Základnou zručnosťou pri práci s maticami je redukcia na Najprv si však ujasnime, aké typy matíc rozlišujú matematici.

Nulový typ

Všetky zložky tohto typu matice sú nuly. Medzitým je počet jeho riadkov a stĺpcov úplne odlišný.

Štvorcový typ

Počet stĺpcov a riadkov tohto typu matice je rovnaký. Inými slovami, je to stôl „štvorcového“ tvaru. Počet jeho stĺpcov (alebo riadkov) sa nazýva poradie. Za špeciálne prípady sa považuje existencia matice druhého rádu (matica 2x2), štvrtého rádu (4x4), desiateho rádu (10x10), sedemnásteho rádu (17x17) atď.

Stĺpcový vektor

Ide o jeden z najjednoduchších typov matíc, ktorý obsahuje iba jeden stĺpec, ktorý obsahuje tri číselné hodnoty. Predstavuje množstvo voľných členov (čísel nezávislých od premenných) v sústavách lineárnych rovníc.

Pohľad podobný predchádzajúcemu. Pozostáva z troch číselných prvkov, ktoré sú usporiadané do jedného riadku.

Diagonálny typ

Číselné hodnoty v diagonálnej forme matice preberajú iba zložky hlavnej uhlopriečky (zvýraznené zelenou farbou). Hlavná diagonála začína prvkom umiestneným v ľavom hornom rohu a končí prvkom v pravom dolnom, resp. Zvyšné zložky sa rovnajú nule. Diagonálny typ je iba štvorcová matica nejakého rádu. Medzi diagonálnymi maticami možno rozlíšiť skalárnu. Všetky jeho komponenty nadobúdajú rovnaké hodnoty.

Podtyp diagonálnej matice. Všetky jeho číselné hodnoty sú jednotky. Pomocou jedného typu maticovej tabuľky vykonáme jej základné transformácie alebo nájdeme maticu inverznú k pôvodnej.

Kanonický typ

Kanonická forma matice sa považuje za jednu z hlavných; Zníženie na ňu je často potrebné pre prácu. Počet riadkov a stĺpcov v kanonickej matici sa líši a nemusí nevyhnutne patriť do štvorcového typu. Je trochu podobná matici identity, ale v jej prípade nie všetky zložky hlavnej uhlopriečky nadobúdajú hodnotu rovnú jednej. Môžu existovať dve alebo štyri hlavné diagonálne jednotky (všetko závisí od dĺžky a šírky matice). Alebo nemusia existovať žiadne jednotky (vtedy sa to považuje za nulu). Zvyšné komponenty kanonického typu, ako aj diagonálne a jednotkové prvky sa rovnajú nule.

Trojuholníkový typ

Jeden z najdôležitejších typov matice, používaný pri hľadaní jej determinantu a pri vykonávaní jednoduchých operácií. Trojuholníkový typ pochádza z diagonálneho typu, takže matica je tiež štvorcová. Trojuholníkový typ matrice je rozdelený na horný trojuholník a dolný trojuholník.

V hornej trojuholníkovej matici (obr. 1) nadobúdajú hodnotu rovnajúcu sa nule iba prvky, ktoré sú nad hlavnou uhlopriečkou. Zložky samotnej uhlopriečky a pod ňou umiestnená časť matice obsahujú číselné hodnoty.

V spodnej trojuholníkovej matici (obr. 2) sa naopak prvky nachádzajúce sa v spodnej časti matice rovnajú nule.

Typ je potrebný na nájdenie hodnosti matice, ako aj na elementárne operácie s nimi (spolu s trojuholníkovým typom). Matica krokov je tak pomenovaná, pretože obsahuje charakteristické „kroky“ núl (ako je znázornené na obrázku). V kroku typu sa vytvorí uhlopriečka núl (nie nevyhnutne hlavná) a všetky prvky pod touto uhlopriečkou majú tiež hodnoty rovné nule. Predpokladom je nasledovné: ak je v matici krokov nulový riadok, tak zvyšné riadky pod ním tiež neobsahujú číselné hodnoty.

Preskúmali sme teda najdôležitejšie typy matíc potrebné na prácu s nimi. Teraz sa pozrime na problém prevodu matice do požadovanej podoby.

Zmenšenie na trojuholníkový tvar

Ako priviesť maticu do trojuholníkového tvaru? Najčastejšie v úlohách potrebujete transformovať maticu do trojuholníkového tvaru, aby ste našli jej determinant, inak nazývaný determinant. Pri vykonávaní tohto postupu je mimoriadne dôležité „zachovať“ hlavnú uhlopriečku matice, pretože determinant trojuholníkovej matice sa rovná súčinu zložiek jej hlavnej uhlopriečky. Dovoľte mi pripomenúť aj alternatívne metódy hľadania determinantu. Determinant štvorcového typu sa nachádza pomocou špeciálnych vzorcov. Môžete napríklad použiť metódu trojuholníka. Pre ostatné matice sa používa metóda rozkladu podľa riadkov, stĺpcov alebo ich prvkov. Môžete tiež použiť metódu vedľajších a algebraických maticových sčítaní.

Poďme podrobne analyzovať proces redukcie matice na trojuholníkový tvar pomocou príkladov niektorých úloh.

Cvičenie 1

Je potrebné nájsť determinant prezentovanej matice pomocou metódy jej redukcie na trojuholníkový tvar.

Matica, ktorá nám bola poskytnutá, je štvorcová matica tretieho rádu. Preto, aby sme ho transformovali do trojuholníkového tvaru, budeme musieť vynulovať dve zložky prvého stĺpca a jednu zložku druhého.

Aby sme ju dostali do trojuholníkového tvaru, začneme transformáciu z ľavého dolného rohu matice - od čísla 6. Ak ju chcete vynulovať, vynásobte prvý riadok tromi a odpočítajte ho od posledného riadku.

Dôležité! Horný riadok sa nemení, ale zostáva rovnaký ako v pôvodnej matici. Nie je potrebné písať reťazec štyrikrát väčší ako bol pôvodný. Ale hodnoty reťazcov, ktorých komponenty je potrebné nastaviť na nulu, sa neustále menia.

Zostáva len posledná hodnota - prvok tretieho riadku druhého stĺpca. Toto je číslo (-1). Ak ho chcete vynulovať, odpočítajte druhý od prvého riadku.

Skontrolujme to:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

To znamená, že odpoveď na úlohu je -22.

Úloha 2

Je potrebné nájsť determinant matice jej redukciou na trojuholníkový tvar.

Predložená matica patrí do štvorcového typu a je maticou štvrtého rádu. To znamená, že je potrebné vynulovať tri zložky prvého stĺpca, dve zložky druhého stĺpca a jednu zložku tretieho.

Začnime ho zmenšovať prvkom umiestneným v ľavom dolnom rohu – číslom 4. Toto číslo musíme otočiť na nulu. Najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je vynásobiť horný riadok štyrmi a potom ho odpočítať od štvrtej. Zapíšme si výsledok prvej etapy premeny.

Takže komponent štvrtého riadku je nastavený na nulu. Prejdime k prvému prvku tretieho riadku, k číslu 3. Vykonávame podobnú operáciu. Prvý riadok vynásobíme tromi, odpočítame od tretieho riadku a výsledok zapíšeme.

Podarilo sa nám vynulovať všetky zložky prvého stĺpca tejto štvorcovej matice, s výnimkou čísla 1 - prvku hlavnej uhlopriečky, ktorý nevyžaduje transformáciu. Teraz je dôležité zachovať výsledné nuly, takže transformácie budeme vykonávať s riadkami, nie so stĺpcami. Prejdime k druhému stĺpcu prezentovanej matice.

Začnime znova dole - prvkom druhého stĺpca posledného riadku. Toto číslo je (-7). V tomto prípade je však vhodnejšie začať s číslom (-1) - prvkom druhého stĺpca tretieho riadku. Ak ho chcete vynulovať, odpočítajte druhý od tretieho riadku. Potom druhý riadok vynásobíme siedmimi a odpočítame od štvrtého. Namiesto prvku umiestneného vo štvrtom riadku druhého stĺpca sme dostali nulu. Teraz prejdime k tretiemu stĺpcu.

V tomto stĺpci musíme otočiť iba jedno číslo na nulu - 4. Nie je to ťažké: jednoducho pridáme tretinu do posledného riadku a uvidíme nulu, ktorú potrebujeme.

Po všetkých vykonaných transformáciách sme priviedli navrhovanú maticu do trojuholníkovej formy. Teraz, aby ste našli jeho determinant, stačí vynásobiť výsledné prvky hlavnej uhlopriečky. Dostaneme: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Preto je riešením 160.

Takže teraz vás nebude trápiť otázka zmenšenia matice na trojuholníkový tvar.

Zmenšenie na stupňovitú formu

Pre elementárne operácie s maticami je stupňovitá forma menej „žiadaná“ ako trojuholníková. Najčastejšie sa používa na zistenie poradia matice (t. j. počtu jej nenulových riadkov) alebo na určenie lineárne závislých a nezávislých riadkov. Stupňovitý typ matrice je však univerzálnejší, pretože je vhodný nielen pre štvorcový typ, ale aj pre všetky ostatné.

Ak chcete zredukovať maticu na postupnú formu, musíte najprv nájsť jej determinant. Vyššie uvedené metódy sú na to vhodné. Účelom nájdenia determinantu je zistiť, či ho možno previesť na stupňovú maticu. Ak je determinant väčší alebo menší ako nula, potom môžete bezpečne pokračovať v úlohe. Ak sa rovná nule, maticu nebude možné zredukovať na stupňovitý tvar. V takom prípade musíte skontrolovať, či nie sú chyby v zázname alebo v transformáciách matíc. Ak takéto nepresnosti neexistujú, úlohu nemožno vyriešiť.

Pozrime sa, ako zredukovať maticu na stupňovitú formu na príkladoch niekoľkých úloh.

Cvičenie 1. Nájdite poradie danej maticovej tabuľky.

Pred nami je štvorcová matica tretieho rádu (3x3). Vieme, že na nájdenie poradia je potrebné ho zredukovať na stupňovitú formu. Preto najprv musíme nájsť determinant matice. Použijeme trojuholníkovú metódu: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Determinant = 12. Je väčší ako nula, čo znamená, že maticu možno redukovať na stupňovitú formu. Začnime to transformovať.

Začnime to prvkom ľavého stĺpca tretieho riadku - číslom 2. Vynásobte horný riadok dvoma a odpočítajte ho od tretieho. Vďaka tejto operácii sa prvok, ktorý potrebujeme, aj číslo 4 - prvok druhého stĺpca tretieho riadku - vynulujú.

Vidíme, že v dôsledku redukcie vznikla trojuholníková matica. V našom prípade nemôžeme pokračovať v transformácii, pretože zostávajúce zložky nemožno znížiť na nulu.

To znamená, že sme dospeli k záveru, že počet riadkov obsahujúcich číselné hodnoty v tejto matici (alebo jej poradí) je 3. Odpoveď na úlohu: 3.

Úloha 2. Určte počet lineárne nezávislých riadkov tejto matice.

Musíme nájsť reťazce, ktoré sa nedajú previesť na nulu žiadnou transformáciou. V skutočnosti musíme nájsť počet nenulových riadkov alebo poradie prezentovanej matice. Aby sme to dosiahli, zjednodušíme to.

Vidíme maticu, ktorá nepatrí do štvorcového typu. Má rozmery 3x4. Redukciu začnime aj prvkom ľavého dolného rohu – číslom (-1).

Jeho ďalšie premeny sú nemožné. To znamená, že sme dospeli k záveru, že počet lineárne nezávislých čiar v ňom a odpoveď na úlohu sú 3.

Teraz pre vás nie je nemožná úloha zredukovať maticu na stupňovitú formu.

Na príkladoch týchto úloh sme skúmali redukciu matice na trojuholníkový tvar a stupňovitý tvar. Ak chcete zmeniť požadované hodnoty maticových tabuliek na nulu, v niektorých prípadoch musíte použiť svoju predstavivosť a správne previesť ich stĺpce alebo riadky. Veľa šťastia v matematike a pri práci s maticami!

Matica, typy matíc, operácie s maticami.

Typy matríc:

1. Obdĺžnikový: m A n- ľubovoľné kladné celé čísla

2. Námestie: m=n

3. Maticový riadok: m = 1. Napríklad (1 3 5 7) - v mnohých praktických problémoch sa takáto matica nazýva vektor

4. Maticový stĺpec: n=1. Napríklad

5. Diagonálna matica: m=n A a ij = 0, Ak i≠j. Napríklad

6. Matica identity: m=n A

7. Nulová matica: a ij = 0, i = 1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Trojuholníková matica: Všetky prvky pod hlavnou uhlopriečkou sú 0.

9. Symetrická matica:m=n A a ij =a ji(t.j. rovnaké prvky sú umiestnené na miestach symetrických vzhľadom na hlavnú uhlopriečku), a preto A"=A

Napríklad,

10. Šikmá symetrická matica: m=n A a ij =-a ji(t.j. protiľahlé prvky sú umiestnené na miestach symetrických vzhľadom na hlavnú uhlopriečku). V dôsledku toho sú na hlavnej diagonále nuly (odkedy i=j máme a ii =-a ii)

Akcie na matriciach:

1. Doplnenie

2. Odčítanie matice - element-wise operácie

3. Práca matice podľa čísla - operácia po prvkoch

4. Násobenie A*B matice podľa pravidla riadok do stĺpca(počet stĺpcov matice A sa musí rovnať počtu riadkov matice B)

A mk *B kn = C mn a každý prvok s ij matice Cmn sa rovná súčtu súčinov prvkov i-teho riadku matice A zodpovedajúcimi prvkami j-tého stĺpca matice B, t.j.

Ukážme si fungovanie násobenia matíc na príklade

5. Transpozícia matice A. Transponovaná matica je označená A T alebo A"

,Napríklad

Riadky a stĺpce sa vymenili

Vlastnosti operácií s maticami:

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

2. Determinanty druhého a tretieho rádu (základné pojmy, vlastnosti, výpočty)

Nehnuteľnosť 1. Pri transpozícii sa determinant nemení, t.j.

Dôkaz.

Komentujte. Nasledujúce vlastnosti determinantov budú formulované len pre reťazce. Navyše z vlastnosti 1 vyplýva, že stĺpce budú mať rovnaké vlastnosti.

Nehnuteľnosť 2. Pri vynásobení prvkov radu determinantu určitým číslom sa týmto číslom vynásobí celý determinant, t.j.

.

Dôkaz.

Nehnuteľnosť 3. Determinant s nulovým reťazcom sa rovná 0.

Dôkaz tejto vlastnosti vyplýva z vlastnosti 2 pre k = 0.

Nehnuteľnosť 4. Determinant, ktorý má dva rovnaké reťazce, je 0.

Dôkaz.

Nehnuteľnosť 5. Determinant, ktorého dva riadky sú úmerné, sa rovná 0.

Dôkaz vyplýva z vlastností 2 a 4.

Nehnuteľnosť 6. Pri preusporiadaní dvoch riadkov determinantu sa tento vynásobí –1.

Dôkaz.

Nehnuteľnosť 7.

Túto vlastnosť môžete dokázať sami porovnaním hodnôt ľavej a pravej strany rovnosti zistenej pomocou definície 1.5.

Nehnuteľnosť 8. Hodnota determinantu sa nezmení, ak sa k prvkom jedného riadka pripočítajú zodpovedajúce prvky iného riadku, vynásobené rovnakým číslom.

Menší. Algebraické sčítanie. Laplaceova veta.

Spôsob redukcie na trojuholníkový tvar spočíva v takej transformácii daného determinantu, keď sa všetky jeho prvky ležiace na jednej strane jednej z jeho uhlopriečok stanú rovnými nule.

Príklad 8. Vypočítajte determinant

Redukcia na trojuholníkový tvar.

Riešenie. Odčítajme prvý riadok determinantu od jeho zostávajúcich riadkov. Potom dostaneme

.

Tento determinant sa rovná súčinu prvkov hlavnej diagonály. Takto máme

Komentujte. Všetko diskutované vyššie možno zovšeobecniť pre determinanty n-tého rádu.

Redukcia matrice na postupnú formu. Elementárne transformácie riadkov a stĺpcov.

Elementárne maticové transformácie nazývajú sa tieto transformácie:

ja Permutácia dvoch stĺpcov (riadkov) matice.

II. Vynásobenie všetkých prvkov jedného stĺpca (riadka) matice rovnakým číslom iným ako nula.

III. Pridanie zodpovedajúcich prvkov iného stĺpca (riadka) k prvkom jedného stĺpca (riadku) vynásobených rovnakým číslom.

Matica získaná z pôvodnej matice konečným počtom elementárnych transformácií sa nazýva ekvivalent . Toto je označené symbolom .

Na zjednodušenie matíc slúžia elementárne transformácie, ktoré sa v budúcnosti využijú pri riešení rôznych problémov.

Aby ste dostali maticu do stupňovitého tvaru (obr. 1.4), musíte vykonať nasledujúce kroky.

1. V prvom stĺpci vyberte prvok iný ako nula ( vedúci prvok ). Reťazec s vodiacim prvkom ( vedúca línia ), ak nie je prvý, preusporiadajte ho na mieste prvého riadku (transformácia typu I). Ak v prvom stĺpci nie je žiadny vodiaci prvok (všetky prvky sú nulové), potom tento stĺpec vylúčime a pokračujeme v hľadaní vedúceho prvku vo zvyšku matice. Transformácia sa skončí, ak sú odstránené všetky stĺpce alebo ak má zvyšok matice všetky nulové prvky.

2. Rozdeľte všetky prvky vodiaceho riadku vodiacim prvkom (transformácia typu II). Ak je vodiaca čiara posledná, transformácia by mala skončiť tam.

3. Ku každému riadku, ktorý sa nachádza pod úvodným riadkom, pridajte úvodný riadok, vynásobený zodpovedajúcim číslom, aby sa prvky pod úvodným riadkom rovnali nule (transformácia typu III).

4. Po vylúčení riadku a stĺpca, na priesečníku ktorých je vodiaci prvok, prejdite na krok 1, v ktorom sa všetky opísané akcie aplikujú na zvyšok matice.

Príklad 1.29. Zmenšiť na formu stupňovitej matice