Bir gezegen uydusunun yörünge periyodu için bir ifadenin türetilmesi. Yer çekimi. Diğer sözlüklerde “Uydu Yörünge Dönemi”nin ne olduğunu görün

Hedef: Kütlesine, boyutuna ve uydu türüne bağlı olarak bir uydunun bir gezegen etrafındaki dönüş periyodunu hesaplamayı öğrenin.

İlerlemek:

1. Tablonun altında sunulan tabloyu defterinize çiziniz.

2. Her gezegen için her uydunun yörünge periyodunu hesaplayın ve sonucu sayfadaki tabloda gösterin. Dünya'dan 2 kat daha ağır olan bir gezegenin boyutunun 1,4 kat daha büyük olduğu, kütle olarak Dünya'dan daha küçük bir gezegenin ise Dünya'nın 0,8 katı büyüklüğünde olduğu biliniyor. Verilerin “Uydu hareketinin simülasyonu” sayfasındaki bilgi penceresinden alınması gerekmektedir. Dünyanın yarıçapı 6400 km olarak alınmıştır. Cevap dakika cinsinden ifade edilmeli ve en yakın tam sayıya yuvarlanmalıdır.

3. Aldığınız verileri kontrol edin. Bunu yapmak için "Sonuçları Kontrol Et" düğmesini tıklayın.

4. Hatalar varsa düzeltin.

5. Elde ettiğiniz doğru verileri bir tablo halinde defterinize yazın.

6. Uydunun yörünge periyodunun gezegenin büyüklüğüne ve uydu tipine nasıl bağlı olduğuna dair bir sonuç çıkarın.

2.2.2. Etki altındaki hareket yerçekimi (uydular)

Uydular dairesel bir yörüngede hareket ettiğinde (motor kapalıyken), onlara yalnızca bir kuvvet etki eder - uydunun gezegene olan çekim kuvveti.

Kütlesi m olan ve gezegenin yüzeyinden h yüksekliğinde dairesel bir yörüngede hareket eden bir uydu (Şekil 2.2) yalnızca yerçekimi kuvvetinden etkilenir.

Pirinç. 2.2

Bu kuvvet gezegenin merkezine doğru yönlendirilir ve uyduya merkezcil ivme kazandırır. Bu durumda ilişki geçerlidir

G m M r 2 = m v 2 r,

hesaplama için bir formül elde etmemizi sağlar kaçış hızı uydu:

burada G = 6,67 ⋅ 10 −11 N ⋅ m2 /kg2 - evrensel yerçekimi sabiti; m - vücut ağırlığı; r = R + h - yörünge yarıçapı; R gezegenin yarıçapıdır; h, uydunun gezegen yüzeyinden yüksekliğidir.

Birinci, ikinci ve üçüncü kozmik hızlar vardır. Dünya gezegeni için:

• ilk kaçış hızı- Dünya yüzeyine yakın uyduya verilen, dairesel bir yörüngeye girebileceği ve alçak Dünya yörüngesinde Dünya etrafında dönmeye başlayabileceği minimum hız (h ≈ 0),

v 1 ≈ 7,9 km/s;

• ikinci kaçış hızı- Dünya yüzeyine yakın bir uydunun, Dünya'dan büyük bir mesafeye uzaklaşıp Güneş'in uydusu haline gelebilmesi için ona verilen minimum hız,

v 2 ≈ 11,2 km/s;

• üçüncü kaçış hızı- Uydunun Güneş Sisteminden ayrılabileceği, Dünya yüzeyine yakın bir yerde kendisine bildirilen minimum hız; değeri yaklaşık 16,6 km/s'dir.

Bir gezegen için ilk kaçış hızından bahsettiklerinde, uydunun h ≈ 0 yükseklikte hareket ettiğini kastediyorlar, yani. Uydunun yörüngesinin yarıçapı r, gezegen R'nin yarıçapı ile çakışmaktadır:

r = R.

Uydu yörünge dönemi gezegenin etrafında (bir devrimin süresi), yörünge uzunluğunun ilk kaçış hızına oranı olarak tanımlanabilir:

burada L = 2πr, r yarıçaplı (çevre) yörüngenin uzunluğudur; v, uydunun bu yörüngedeki ilk kaçış hızıdır.

Örnek 5. Dünya yarıçapının iki katı yükseklikte dairesel bir yörüngede hareket eden yapay bir uydunun yörünge periyodu, Dünya'ya yakın yörüngede dönen bir uydunun yörünge periyodunu kaç kez aşmaktadır?

Çözüm. h 1 = 2R yüksekliğinde dairesel bir yörüngede hareket eden bir uydunun yörünge periyodu aşağıdaki formülle belirlenir:

T 1 = 2 π (R + h 1) v 1,

burada R, Dünya'nın yarıçapıdır; v1, uydunun h1 yüksekliğindeki ilk kaçış hızıdır.

Alçak Dünya yörüngesinde hareket eden bir uydunun yörünge periyodu (h 2 ≈ 0) aşağıdaki formülle belirlenir:

T 2 = 2 π (R + h 2) v 2,

burada v 2, uydunun alçak Dünya yörüngesindeki ilk kaçış hızıdır.

İlgili dönemleri hesaplamak için h 1 = 2R ve h 2 = 0 değerlerinin formülde değiştirilmesi şunu sağlar:

T 1 = 6 π R v 1 ve T 2 = 2 π R v 2 .

Dönem oranı

T 1 T 2 = 3 v 2 v 1

uydunun karşılık gelen yörüngelerdeki ilk kozmik hızlarının oranıyla ifade edilir.

İlk kozmik hızlar aşağıdaki formüllerle belirlenir:

• h yüksekliği için 1 = 2R

v 1 = G M R + h 1 = G M R + 2 R = G M3 R;

• yükseklik için h 2 ≈ 0 (dünya yörüngesi)

v 2 = G M R + h 2 = G M R + 0 = G M R,

burada G = 6,67 ⋅ 10 −11 N m2 /kg2 - evrensel yerçekimi sabiti; M Dünyanın kütlesidir.

Dönemlerin oranı formülünde v 1 ve v 2'yi yerine koyarsak şunu elde ederiz:

T 1 T 2 = 3 v 2 v 1 = 3 G M R ⋅ 3 R G M = 3 3 ≈ 5,2.

onlar. İki yarıçapa eşit yükseklikte hareket eden bir uydunun yörünge periyodu, alçak Dünya yörüngesindeki bir uydunun yörünge periyodunu yaklaşık 5,2 kat aşmaktadır.

Örnek 6. Belirli bir gezegenin yarıçapı, Dünya'nın yarıçapından 3 kat daha büyüktür ve yoğunluğu, Dünya'nın yoğunluğundan 9 kat daha azdır. Uyduların Dünya ve gezegen için ilk kozmik hızlarının oranını belirleyin.

Çözüm. Aşağıdaki ilk kaçış hızları karşılaştırılır:

• Dünya yüzeyi için

v 1 = G M Z R Z,

• gezegenin yüzeyi için

burada G = 6,67 ⋅ 10 −11 N m2 /kg2 - evrensel yerçekimi sabiti; MZ - Dünyanın kütlesi; RZ - Dünyanın yarıçapı; M gezegenin kütlesidir; R gezegenin yarıçapıdır.

Hız oranı

v 1 v 2 = M Z R Z R M .

Dünyanın ve gezegenin küresel bir şekle sahip olduğunu varsayarak karşılık gelen kütleleri hesaplamak için formüller elde ederiz:

• Dünya için

M Z = ρ Z V Z = 4 3 π ρ Z R Z 3,

• gezegen için

M = ρ V = 4 3 π ρ R3 ,

burada ρ Z Dünya'nın yoğunluğudur; ρ gezegenin yoğunluğudur.

Hız oranı formülünde kütlelerle ilgili ifadeleri yerine koyalım:

v 1 v 2 = 4 3 π ρ Ç R Ç 3 R Ç 3 4 R π ρ R 3 = ρ Ç R Ç 2 ρ R 2 = R Ç R ρ З ρ .

Problemin koşullarına göre R = 3RЗ ve ρЗ = 9ρ; bu nedenle gerekli hız oranı şuna eşittir:

v 1 v 2 = R Ç 3 R Ç 9 ρ ρ = 1,

onlar. uydu hızları Dünya yüzeyi ve gezegen yüzeyi için aynıdır.

Örnek 7. Bir uydu, belirli bir gezegenin etrafında 20.000 km yarıçaplı dairesel bir yörüngede 12 km/s hızla dönmektedir. Yarıçapı 12.000 km ise gezegenin yüzeyindeki yerçekimine bağlı ivmenin büyüklüğünü belirleyin.

Çözüm. Formülü kullanarak gezegenin yüzeyindeki serbest düşüşün ivmesini buluyoruz

burada G = 6,67 ⋅ 10 −11 N m2 /kg2 - evrensel yerçekimi sabiti; M gezegenin kütlesidir; R gezegenin yarıçapıdır.

Gezegenin yarıçapı problem ifadesinde belirtilmiştir; çarpım (GM), ilk kaçış hızı formülünden ifade edilebilir:

v = G M R + h = G M r ,

burada r, uydunun yörüngesinin yarıçapıdır; dolayısıyla gerekli çalışma

GM = v2r.

g 0'ı hesaplamak için ifadenin yerine (GM) koyalım:

g0 = v2rR2.

Hesaplama, gezegenin yüzeyindeki yerçekimi ivmesinin değerini elde etmemizi sağlar:

g 0 = (12 ⋅ 10 3) 2 ⋅ 2, 0 ⋅ 10 7 (12 ⋅ 10 6) 2 = 20 m/s 2.

Uzayda yerçekimi, uyduların (Ay gibi) daha büyük cisimlerin (Dünya gibi) yörüngesinde dönmesine neden olan kuvveti sağlar. Bu yörüngeler genellikle elips şeklindedir, ancak çoğu zaman bu elips daireden çok farklı değildir. Bu nedenle, ilk yaklaşımla uyduların yörüngelerinin dairesel olduğu düşünülebilir. Gezegenin kütlesini ve uydunun Dünya üzerindeki yörüngesinin yüksekliğini bildiğimizde ne olması gerektiğini hesaplayabiliriz. uydunun dünya etrafındaki hızı.

Bir uydunun Dünya etrafındaki hızının hesaplanması

Dünya etrafında dairesel bir yörüngede dönen bir uydu, yörüngesinin herhangi bir noktasında yalnızca sabit bir mutlak hızla hareket edebilir, ancak bu hızın yönü sürekli olarak değişecektir. Bu hızın büyüklüğü nedir? Newton'un ikinci yasası ve yerçekimi yasası kullanılarak hesaplanabilir.

Kütleli bir uydunun dairesel yörüngesini Newton'un ikinci yasasına göre sürdürmek için bir merkezcil kuvvet gerekli olacaktır: burada merkezcil ivme vardır.

Bilindiği gibi merkezcil ivme şu formülle belirlenir:

uydunun hızı nerede, uydunun hareket ettiği dairesel yörüngenin yarıçapıdır.

Merkezcil kuvvet, yerçekimi yasasına uygun olarak yerçekimi tarafından sağlanır:

burada kg Dünyanın kütlesidir, m 3 ⋅kg -1 ⋅s -2 yerçekimi sabitidir.

Her şeyi orijinal formülde yerine koyarsak şunu elde ederiz:

Gerekli hızı ifade ederek uydunun Dünya etrafındaki hızının şuna eşit olduğunu buluyoruz:

Bu, bir Dünya uydusunun belirli bir yarıçapta (yani gezegenin merkezine olan mesafede) dairesel bir yörüngeyi korumak için sahip olması gereken hıza ilişkin bir formüldür. Uydu sabit bir yörünge yarıçapını koruduğu sürece, yani gezegenin etrafında dairesel bir yörüngede dönmeye devam ettiği sürece hızın büyüklüğü değişemez.

Ortaya çıkan formülü kullanırken dikkate alınması gereken birkaç ayrıntı vardır:

Dünyanın yapay uyduları, kural olarak, gezegenin yüzeyinden 500 ila 2000 km yükseklikte gezegenin yörüngesinde döner. Böyle bir uydunun Dünya yüzeyinden 1000 km yükseklikte ne kadar hızlı hareket etmesi gerektiğini hesaplayalım. Bu durumda km. Sayıları yerine koyarsak şunu elde ederiz:

Sergei Valerievich tarafından hazırlanan materyal

Sayfa 1 / 2

171. Eliptik yörüngesinin yarı ana ekseninin, dünyanın yörüngesinin yarı ana ekseninden 10 7 km daha büyük olduğu biliniyorsa, yapay bir gezegenin Güneş etrafındaki dönüş periyodunu belirleyin.

172. Halley Kuyruklu Yıldızı'nın Güneş etrafındaki yörünge süresi T = 76 yıldır. Güneş'ten geçtiği minimum mesafe 180 Gm'dir. Halley Kuyruklu Yıldızı'nın Güneş'ten uzaklaşacağı maksimum mesafeyi belirleyin. Dünyanın yörüngesinin yarıçapı R 0 = 150 Gm'ye eşit olarak alınmıştır.

173. Dünyanın yörüngesinin dairesel olduğunu varsayarak, Dünyanın Güneş etrafındaki hareketinin doğrusal hızını v belirleyin.

174. Yapay bir Dünya uydusunun yörünge periyodu 3 saattir.Yörüngesinin dairesel olduğunu varsayarak, uydunun Dünya yüzeyinden hangi yükseklikte bulunduğunu belirleyiniz.

175. Kütlesi M olan bir gezegen, Güneş etrafında bir daire çizerek v hızıyla (güneş merkezli referans çerçevesine göre) hareket eder. Bu gezegenin Güneş etrafındaki devrim periyodunu belirleyin.

176. Mars'ın yarıçapı Dünya'nın yarıçapının 0,53'ü ve Mars'ın kütlesi Dünya'nın kütlesinin 0,11'i ise, Dünya'daki yerçekimi kuvvetinin Mars'taki yerçekimi kuvvetinden kaç kat daha büyük olduğunu belirleyin.

177. Yerçekimi sabitinin, Dünya'nın yarıçapının ve Dünya'daki yerçekimi ivmesinin bilindiğini varsayarak, Dünyanın ortalama yoğunluğunu belirleyin.

178. Kütleleri m 1 ve m 2 olan iki malzeme noktası birbirinden R mesafesinde bulunmaktadır.Aralarındaki mesafenin sabit kalması için ortak bir kütle merkezi etrafında dönmeleri gereken açısal dönme hızını belirleyin.

179. Aynı malzemeden yapılmış, birbirine değen iki özdeş homojen top birbirini çekiyor. Boyutlarının artması nedeniyle topların kütlesi n = 3 kat artarsa ​​çekim kuvvetinin nasıl değişeceğini belirleyin.

180. Yer çekimi ivmesinin Dünya yüzeyindeki yer çekimi ivmesinin %25'i olduğu yüksekliği belirleyin.

181. Dünyanın yoğunluğunun sabit olduğunu varsayarak, yer çekimi ivmesinin Dünya yüzeyindeki yer çekimi ivmesinin %25'i olduğu derinliği belirleyin.

182. Hangi yükseklikte, serbest düşüşün ivmesi Dünya yüzeyindeki değerinin yarısından azdır.

183. Dünyanın sabit bir yapay uydusu, sürekli olarak ekvatorun aynı noktasının üzerinde bulunan bir uydudur. Böyle bir uydunun Dünya'nın merkezine olan mesafesini belirleyin.

184. Belirli bir gezegenin ekvatorunda (gezegen yoğunluğu ρ = 3 g/cm3), cisimler kutuptakinin yarısı kadar ağırlığa sahiptir. Gezegenin kendi ekseni etrafındaki dönüş periyodunu belirleyiniz.

185. Dünyanın yarıçapının bilindiğini varsayarak, Dünya yüzeyinden hangi h yüksekliğinde çekim alanı kuvvetinin 4,9 N/kg'a eşit olduğunu belirleyin.

186. Dünya ile Ay'ın merkezlerini birleştiren düz çizgi üzerinde hangi noktada (Dünya'dan itibaren sayılırsa) çekim alanı kuvvetinin sıfır olduğunu belirleyin. Dünya ile Ay'ın merkezleri arasındaki mesafe R'dir, Dünya'nın kütlesi Ay'ın kütlesinin 81 katıdır.

187. Kütlesi m ve uzunluğu l olan ince, homojen bir çubuk vardır. Belirli bir mesafede bir çubukla aynı düz çizgi üzerinde bulunan bir nokta için A en yakın ucundan şunları belirleyin: 1) çubuğun yerçekimi alanının potansiyelini; 2) yerçekimi alanının yoğunluğu.

188. R yarıçaplı ince homojen bir diskin kütlesi m'dir. Diskin ekseni üzerinde ondan h uzaklıkta bulunan A noktasında belirleyin: 1) yerçekimi alanının potansiyeli; 2) Yerçekimi alanı kuvveti.İleri