Ableitung eines Ausdrucks für die Umlaufzeit eines Planetensatelliten. Schwere. Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was „Satellitenumlaufperiode“ ist
Ziel: Lernen Sie, die Umlaufdauer eines Satelliten um einen Planeten in Abhängigkeit von seiner Masse, Größe und Art des Satelliten zu berechnen.
Fortschritt:
1. Zeichnen Sie die Tabelle unten in Ihr Notizbuch ein.
2. Berechnen Sie die Umlaufzeit jedes Satelliten für jeden Planeten und präsentieren Sie das Ergebnis in der Tabelle auf der Seite. Es ist bekannt, dass ein Planet, der zweimal schwerer als die Erde ist, 1,4-mal größer ist und ein Planet, dessen Masse kleiner als die Erde ist, 0,8-mal so groß ist wie die Erde. Die Daten müssen dem Informationsfenster auf der Seite „Simulation der Satellitenbewegung“ entnommen werden. Der Erdradius wird mit 6400 km angenommen. Die Antwort sollte in Minuten ausgedrückt und auf die nächste ganze Zahl gerundet werden.
3. Überprüfen Sie die erhaltenen Daten. Klicken Sie dazu auf die Schaltfläche „Ergebnisse prüfen“.
4. Wenn es Fehler gibt, korrigieren Sie diese.
5. Notieren Sie die korrekten ermittelten Daten in einer Tabelle in Ihrem Notizbuch.
6. Ziehen Sie eine Schlussfolgerung darüber, wie die Umlaufzeit des Satelliten von der Größe des Planeten und der Art des Satelliten abhängt.
2.2.2. Bewegung unter Einfluss Schwerkraft (Satelliten)
Wenn sich Satelliten (bei ausgeschaltetem Motor) auf einer kreisförmigen Umlaufbahn bewegen, wirkt nur eine Kraft auf sie – die Anziehungskraft des Satelliten auf den Planeten.
Ein Satellit mit der Masse m, der sich auf einer Kreisbahn in der Höhe h über der Planetenoberfläche bewegt (Abb. 2.2), wird nur durch die Schwerkraft beeinflusst.
Reis. 2.2
Diese Kraft ist auf das Zentrum des Planeten gerichtet und verleiht dem Satelliten eine Zentripetalbeschleunigung. In diesem Fall ist die Beziehung gültig
G m M r 2 = m v 2 r,
So erhalten wir eine Berechnungsformel Fluchtgeschwindigkeit Satellit:
wobei G = 6,67 ⋅ 10 −11 N ⋅ m 2 /kg 2 – universelle Gravitationskonstante; m - Körpergewicht; r = R + h – Orbitalradius; R ist der Radius des Planeten; h ist die Höhe des Satelliten über der Planetenoberfläche.
Es gibt erste, zweite und dritte kosmische Geschwindigkeiten. Für den Planeten Erde:
- erste Fluchtgeschwindigkeit- die Mindestgeschwindigkeit, die dem Satelliten in der Nähe der Erdoberfläche verliehen wird, bei der er in eine kreisförmige Umlaufbahn eintreten und beginnen kann, sich in einer erdnahen Umlaufbahn um die Erde zu drehen (h ≈ 0),
v 1 ≈ 7,9 km/s;
- zweite Fluchtgeschwindigkeit- die minimale Geschwindigkeit, die einem Satelliten in der Nähe der Erdoberfläche verliehen wird, mit der er sich weit von der Erde entfernen und ein Satellit der Sonne werden kann,
v 2 ≈ 11,2 km/s;
- dritte Fluchtgeschwindigkeit- die dem Satelliten in der Nähe der Erdoberfläche gemeldete Mindestgeschwindigkeit, mit der er das Sonnensystem verlassen kann; sein Wert beträgt etwa 16,6 km/s.
Wenn man von der ersten Fluchtgeschwindigkeit eines Planeten spricht, meint man damit, dass sich der Satellit in einer Höhe h ≈ 0 bewegt, also Der Radius der Umlaufbahn des Satelliten r stimmt mit dem Radius des Planeten R überein:
r = R.
Umlaufzeit des Satelliten um den Planeten (die Zeit einer Umdrehung) kann als Verhältnis der Umlaufbahnlänge zur ersten Fluchtgeschwindigkeit definiert werden:
wobei L = 2πr die Länge der Umlaufbahn mit Radius r (Umfang) ist; v ist die erste Fluchtgeschwindigkeit des Satelliten auf dieser Umlaufbahn.
Beispiel 5. Wie oft überschreitet die Umlaufzeit eines künstlichen Satelliten, der sich auf einer kreisförmigen Umlaufbahn in einer Höhe bewegt, die dem doppelten Erdradius entspricht, die Umlaufzeit eines Satelliten, der sich in einer erdnahen Umlaufbahn dreht?
Lösung. Die Umlaufzeit eines Satelliten, der sich auf einer Kreisbahn in der Höhe h 1 = 2R bewegt, wird durch die Formel bestimmt
T 1 = 2 π (R + h 1) v 1,
wobei R der Radius der Erde ist; v 1 ist die erste Fluchtgeschwindigkeit des Satelliten in der Höhe h 1 .
Die Umlaufzeit eines Satelliten, der sich in einer erdnahen Umlaufbahn bewegt (h 2 ≈ 0), wird durch die Formel bestimmt
T 2 = 2 π (R + h 2) v 2,
Dabei ist v 2 die erste Fluchtgeschwindigkeit des Satelliten in einer erdnahen Umlaufbahn.
Setzt man die Werte h 1 = 2R und h 2 = 0 in die Formel zur Berechnung der entsprechenden Perioden ein, erhält man:
T 1 = 6 π R v 1 und T 2 = 2 π R v 2 .
Periodenverhältnis
T 1 T 2 = 3 gegen 2 gegen 1
wird durch das Verhältnis der ersten kosmischen Geschwindigkeiten des Satelliten in den entsprechenden Umlaufbahnen ausgedrückt.
Die ersten kosmischen Geschwindigkeiten werden durch die folgenden Formeln bestimmt:
- für Höhe h 1 = 2R
v 1 = G M R + h 1 = G M R + 2 R = G M 3 R ;
- für Höhe h 2 ≈ 0 (Erdumlaufbahn)
v 2 = G M R + h 2 = G M R + 0 = G M R ,
wobei G = 6,67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 – universelle Gravitationskonstante; M ist die Masse der Erde.
Wenn wir v 1 und v 2 in die Formel für das Verhältnis der Perioden einsetzen, erhalten wir
T 1 T 2 = 3 v 2 v 1 = 3 G M R ⋅ 3 R G M = 3 3 ≈ 5,2.
diese. Die Umlaufzeit eines Satelliten, der sich in einer Höhe von zwei Radien bewegt, übersteigt die Umlaufzeit eines Satelliten in einer erdnahen Umlaufbahn um etwa das 5,2-fache.
Beispiel 6. Der Radius eines bestimmten Planeten ist dreimal größer als der Radius der Erde und seine Dichte ist neunmal geringer als die Dichte der Erde. Bestimmen Sie das Verhältnis der ersten kosmischen Geschwindigkeiten von Satelliten für die Erde und für den Planeten.
Lösung. Die folgenden ersten Fluchtgeschwindigkeiten werden verglichen:
- für die Erdoberfläche
v 1 = G M Z R Z,
- für die Oberfläche des Planeten
wobei G = 6,67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 – universelle Gravitationskonstante; MZ - Masse der Erde; RZ - Radius der Erde; M ist die Masse des Planeten; R ist der Radius des Planeten.
Das Geschwindigkeitsverhältnis ist
v 1 v 2 = M Z R Z R M .
Unter der Annahme, dass die Erde und der Planet eine Kugelform haben, erhalten wir Formeln zur Berechnung der entsprechenden Massen:
- für die Erde
M Z = ρ Z V Z = 4 3 π ρ Z R Z 3,
- für den Planeten
M = ρ V = 4 3 π ρ R 3 ,
wobei ρ Z die Dichte der Erde ist; ρ ist die Dichte des Planeten.
Setzen wir die Ausdrücke für die Massen in die Formel für das Geschwindigkeitsverhältnis ein:
v 1 v 2 = 4 3 π ρ ‡ R ‡ 3 R ‡ 3 4 R π ρ R 3 = ρ ‡ R ‡ 2 ρ R 2 = R ‡ R ρ ‡ ρ .
Gemäß den Bedingungen des Problems gilt R = 3R З und ρ З = 9ρ; Daher ist das erforderliche Geschwindigkeitsverhältnis gleich
v 1 v 2 = R З 3 R З 9 ρ ρ = 1,
diese. Die Satellitengeschwindigkeiten sind für die Erdoberfläche und die Planetenoberfläche gleich.
Beispiel 7. Ein Satellit umkreist einen bestimmten Planeten auf einer Kreisbahn mit einem Radius von 20.000 km und einer Geschwindigkeit von 12 km/s. Bestimmen Sie die Größe der Erdbeschleunigung auf der Oberfläche des Planeten, wenn sein Radius 12.000 km beträgt.
Lösung. Die Beschleunigung des freien Falls auf der Planetenoberfläche ermitteln wir anhand der Formel
wobei G = 6,67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 – universelle Gravitationskonstante; M ist die Masse des Planeten; R ist der Radius des Planeten.
Der Radius des Planeten wird in der Problemstellung angegeben; das Produkt (GM) kann aus der Formel für die erste Fluchtgeschwindigkeit ausgedrückt werden:
v = G M R + h = G M r ,
wobei r der Radius der Umlaufbahn des Satelliten ist; daher die erforderliche Arbeit
GM = v 2 r.
Ersetzen wir (GM) in den Ausdruck, um g 0 zu berechnen:
g 0 = v 2 r R 2 .
Die Berechnung ermöglicht es uns, den Wert der Erdbeschleunigung auf der Planetenoberfläche zu ermitteln:
g 0 = (12 ⋅ 10 3) 2 ⋅ 2, 0 ⋅ 10 7 (12 ⋅ 10 6) 2 = 20 m/s 2.
Im Weltraum sorgt die Schwerkraft für die Kraft, die Satelliten (wie den Mond) dazu bringt, größere Körper (wie die Erde) zu umkreisen. Diese Umlaufbahnen haben im Allgemeinen die Form einer Ellipse, aber in den meisten Fällen unterscheidet sich diese Ellipse kaum von einem Kreis. Daher können die Umlaufbahnen von Satelliten in erster Näherung als kreisförmig betrachtet werden. Wenn wir die Masse des Planeten und die Höhe der Umlaufbahn des Satelliten über der Erde kennen, können wir berechnen, wie groß diese sein sollte Geschwindigkeit des Satelliten um die Erde.
Berechnung der Geschwindigkeit eines Satelliten um die Erde
Ein Satellit dreht sich kreisförmig um die Erde und kann sich an jedem Punkt seiner Flugbahn nur mit einer konstanten absoluten Geschwindigkeit bewegen, obwohl sich die Richtung dieser Geschwindigkeit ständig ändert. Wie groß ist diese Geschwindigkeit? Sie kann mit dem zweiten Newtonschen Gesetz und dem Schwerkraftgesetz berechnet werden.
Um eine kreisförmige Umlaufbahn eines Massensatelliten gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz aufrechtzuerhalten, ist eine Zentripetalkraft erforderlich: , wobei die Zentripetalbeschleunigung ist.
Bekanntlich wird die Zentripetalbeschleunigung durch die Formel bestimmt:
Wo ist die Geschwindigkeit des Satelliten, ist der Radius der Kreisbahn, entlang der sich der Satellit bewegt?
Die Zentripetalkraft wird durch die Schwerkraft bereitgestellt, daher gilt gemäß dem Schwerkraftgesetz:
Dabei ist kg die Masse der Erde und m 3 ⋅kg -1 ⋅s -2 die Gravitationskonstante.
Wenn wir alles in die ursprüngliche Formel einsetzen, erhalten wir:
Wenn wir die erforderliche Geschwindigkeit ausdrücken, finden wir, dass die Geschwindigkeit des Satelliten um die Erde gleich ist:
Dies ist eine Formel für die Geschwindigkeit, die ein Erdsatellit bei einem bestimmten Radius (d. h. Entfernung vom Mittelpunkt des Planeten) haben muss, um eine kreisförmige Umlaufbahn aufrechtzuerhalten. Die Geschwindigkeit kann sich in ihrer Größe nicht ändern, solange der Satellit einen konstanten Umlaufradius beibehält, also solange er den Planeten weiterhin auf einer Kreisbahn umkreist.
Bei der Verwendung der resultierenden Formel müssen mehrere Details berücksichtigt werden:
Künstliche Erdsatelliten umkreisen den Planeten in der Regel in einer Höhe von 500 bis 2000 km über der Planetenoberfläche. Berechnen wir, wie schnell sich ein solcher Satellit in einer Höhe von 1000 km über der Erdoberfläche bewegen sollte. In diesem Fall km. Wenn wir die Zahlen ersetzen, erhalten wir:
Von Sergei Valerievich erstelltes Material
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171. Bestimmen Sie die Umlaufdauer eines künstlichen Planeten um die Sonne, wenn bekannt ist, dass die große Halbachse seiner elliptischen Umlaufbahn 10 7 km größer ist als die große Halbachse der Erdumlaufbahn.
172. Die Umlaufzeit des Kometen Halley um die Sonne beträgt T = 76 Jahre. Der Mindestabstand, in dem es von der Sonne passiert, beträgt 180 Gm. Bestimmen Sie die maximale Entfernung, mit der sich der Komet Halley von der Sonne entfernt. Der Radius der Erdumlaufbahn wird mit R 0 = 150 Gm angenommen.
173. Unter der Annahme, dass die Umlaufbahn der Erde kreisförmig ist, bestimmen Sie die lineare Geschwindigkeit v der Bewegung der Erde um die Sonne.
174. Die Umlaufzeit eines künstlichen Erdsatelliten beträgt 3 Stunden. Unter der Annahme, dass seine Umlaufbahn kreisförmig ist, bestimmen Sie, in welcher Höhe sich der Satellit über der Erdoberfläche befindet.
175. Ein Planet der Masse M bewegt sich auf einem Kreis um die Sonne mit der Geschwindigkeit v (relativ zum heliozentrischen Bezugssystem). Bestimmen Sie die Umlaufdauer dieses Planeten um die Sonne.
176. Bestimmen Sie, wie oft die Schwerkraft auf der Erde größer ist als die Schwerkraft auf dem Mars, wenn der Radius des Mars 0,53 des Erdradius und die Masse des Mars 0,11 der Erdmasse beträgt.
177. Bestimmen Sie die durchschnittliche Dichte der Erde unter der Annahme, dass die Gravitationskonstante, der Radius der Erde und die Erdbeschleunigung bekannt sind.
178. Zwei materielle Punkte der Massen m 1 und m 2 befinden sich im Abstand R voneinander. Bestimmen Sie die Drehwinkelgeschwindigkeit, mit der sie um einen gemeinsamen Massenschwerpunkt rotieren müssen, damit der Abstand zwischen ihnen konstant bleibt.
179. Zwei identische homogene Kugeln aus demselben Material, die sich berühren, ziehen sich gegenseitig an. Bestimmen Sie, wie sich die Anziehungskraft ändert, wenn sich die Masse der Kugeln aufgrund einer Vergrößerung um das n = 3-fache erhöht.
180. Bestimmen Sie die Höhe, in der die Erdbeschleunigung 25 % der Erdbeschleunigung beträgt.
181. Unter der Annahme, dass die Dichte der Erde konstant ist, bestimmen Sie die Tiefe, in der die Erdbeschleunigung 25 % der Erdbeschleunigung beträgt.
182. In welcher Höhe h beträgt die Beschleunigung des freien Falls weniger als die Hälfte ihres Wertes auf der Erdoberfläche?
183. Ein stationärer künstlicher Satellit der Erde ist ein Satellit, der sich ständig über demselben Punkt des Äquators befindet. Bestimmen Sie die Entfernung eines solchen Satelliten zum Erdmittelpunkt.
184. Am Äquator eines bestimmten Planeten (Planetendichte ρ = 3 g/cm 3) wiegen Körper halb so viel wie am Pol. Bestimmen Sie die Umlaufdauer des Planeten um seine eigene Achse.
185. Unter der Annahme, dass der Radius der Erde bekannt ist, bestimmen Sie, in welcher Höhe h über der Erdoberfläche die Gravitationsfeldstärke 4,9 N/kg beträgt.
186. Bestimmen Sie, an welchem Punkt (von der Erde aus gezählt) auf der Geraden, die die Mittelpunkte der Erde und des Mondes verbindet, die Gravitationsfeldstärke Null ist. Der Abstand zwischen den Mittelpunkten der Erde und des Mondes beträgt R, die Masse der Erde beträgt das 81-fache der Masse des Mondes.
187. Es gibt einen dünnen homogenen Stab der Masse m und der Länge l. Für einen Punkt, der mit einem entfernten Stab auf derselben Geraden liegt A Bestimmen Sie von seinem nächsten Ende aus: 1) das Potential des Gravitationsfeldes des Stabes; 2) die Intensität seines Gravitationsfeldes.
188. Eine dünne homogene Scheibe mit dem Radius R hat die Masse m. Bestimmen Sie am Punkt A, der sich auf der Achse der Scheibe im Abstand h davon befindet: 1) das Potential des Gravitationsfeldes; 2) Gravitationsfeldstärke. Vorwärts
