Geschwindigkeit. Beschleunigung. Bewegungsgeschwindigkeit Geschwindigkeit eines Punktes in der klassischen Mechanik

Die Position eines materiellen Punktes im Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt wird im Verhältnis zu einem anderen Körper bestimmt, der aufgerufen wird Referenzstelle.

Nimmt Kontakt zu ihm auf Bezugsrahmen- eine Reihe von Koordinatensystemen und Uhren, die einem Körper zugeordnet sind und in Bezug auf die Bewegung einiger anderer materieller Punkte untersucht werden. Die Wahl des Referenzsystems hängt von den Zielen der Studie ab. In kinematischen Studien sind alle Bezugssysteme gleich (kartesisch, polar). Bei Dynamikproblemen spielt eine vorherrschende Rolle Inertialreferenzsysteme, bezüglich derer die Differentialgleichungen der Bewegung eine einfachere Form haben.

Im kartesischen Koordinatensystem die Position eines Punktes A zu einem bestimmten Zeitpunkt in Bezug auf dieses System wird durch drei Koordinaten bestimmt X, bei Und z, oder Radiusvektor (Abb. 1.1). Wenn sich ein materieller Punkt bewegt, ändern sich seine Koordinaten im Laufe der Zeit. Im Allgemeinen wird seine Bewegung durch die Gleichungen bestimmt

oder Vektorgleichung

=(T). (1.2)

Diese Gleichungen heißen Kinematische Bewegungsgleichungen materieller Punkt.

Ohne Zeit T im Gleichungssystem (1.1) erhalten wir die Gleichung Bewegungsbahnen materieller Punkt. Wenn beispielsweise die kinematischen Bewegungsgleichungen eines Punktes in der Form angegeben sind:

dann, ausschließend T, wir bekommen:

diese. Ein Punkt bewegt sich in einer Ebene z= 0 entlang einer elliptischen Bahn mit gleichen Halbachsen A Und B.

Bewegungsbahn eines materiellen Punktes ist die Linie, die dieser Punkt im Raum beschreibt. Abhängig von der Form der Flugbahn kann die Bewegung sein einfach Und krummlinig.

Betrachten wir die Bewegung eines materiellen Punktes entlang einer beliebigen Flugbahn AB(Abb. 1.2). Wir beginnen mit dem Zählen der Zeit ab dem Moment, in dem der Punkt in Position war A (T= 0). Länge des Flugbahnabschnitts AB vom materiellen Punkt ab dem Moment durchquert T= 0, aufgerufen Pfadlänge und ist eine Skalarfunktion der Zeit. Der Vektor, der von der Anfangsposition eines sich bewegenden Punktes zu seiner Position zu einem bestimmten Zeitpunkt gezogen wird, wird aufgerufen Verschiebungsvektor. Bei einer geradlinigen Bewegung stimmt der Verschiebungsvektor mit dem entsprechenden Abschnitt der Flugbahn überein und sein Modul ist gleich der zurückgelegten Strecke.

Geschwindigkeit ist eine vektorielle physikalische Größe, die eingeführt wird, um die Bewegungsgeschwindigkeit und ihre Richtung zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen.

Lassen Sie einen materiellen Punkt sich entlang einer gekrümmten Bahn und im Moment der Zeit bewegen T es entspricht dem Radiusvektor. (Abb. 1.3). Während eines kurzen Zeitintervalls bewegt sich der Punkt auf einem Weg und erfährt dabei eine verschwindend kleine Verschiebung. Es gibt Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeiten.

Durchschnittsgeschwindigkeitsvektor heißt das Verhältnis des Inkrements des Radiusvektors eines Punktes zu einer Zeitspanne:

Der Vektor ist auf die gleiche Weise gerichtet wie . Bei einer unbegrenzten Abnahme tendiert die Durchschnittsgeschwindigkeit zu einem Grenzwert, der aufgerufen wird momentane Geschwindigkeit oder einfach Geschwindigkeit:

Somit ist die Geschwindigkeit eine Vektorgröße, die der ersten Ableitung des Radiusvektors eines sich bewegenden Punktes nach der Zeit entspricht. Da die Sekante im Grenzfall mit der Tangente zusammenfällt, ist der Geschwindigkeitsvektor tangential zur Trajektorie in Bewegungsrichtung gerichtet.

Mit abnehmender Länge des Bogens nähert er sich zunehmend der Länge der Sehne an, die ihn zusammenzieht, d. h. Der numerische Wert der Geschwindigkeit eines materiellen Punktes ist gleich der ersten Ableitung der Länge seines Weges nach der Zeit:

Auf diese Weise,

Aus Ausdruck (1.5) erhalten wir. Durch Integration über die Zeit von bis ermitteln wir die Länge des Weges, den das Material zu einem bestimmten Zeitpunkt zurückgelegt hat:

Ändert sich die Richtung des Momentangeschwindigkeitsvektors während der Bewegung eines materiellen Punktes nicht, bedeutet dies, dass sich der Punkt entlang einer Trajektorie bewegt, deren Tangenten an allen Punkten die gleiche Richtung haben. Diese Eigenschaft haben nur gerade Trajektorien. Dies bedeutet, dass die betreffende Bewegung sein wird einfach.

Wenn sich die Richtung des Geschwindigkeitsvektors eines materiellen Punktes im Laufe der Zeit ändert, wird der Punkt beschrieben krummlinig Flugbahn.

Bleibt der Zahlenwert der Momentangeschwindigkeit eines Punktes während der Bewegung konstant, spricht man von einer solchen Bewegung Uniform. In diesem Fall

Das bedeutet, dass sich ein materieller Punkt in beliebig gleichen Zeiträumen auf gleich langen Wegen bewegt.

Wenn ein Punkt in beliebigen gleichen Zeitintervallen unterschiedlich lange Strecken zurücklegt, ändert sich der Zahlenwert seiner Geschwindigkeit mit der Zeit. Diese Bewegung heißt ungleichmäßig. Verwenden Sie in diesem Fall eine skalare Größe namens Durchschnittsgeschwindigkeit ungleichmäßiger Bewegung auf diesem Abschnitt der Flugbahn. Sie entspricht dem Zahlenwert der Geschwindigkeit einer solchen gleichförmigen Bewegung, bei der für das Zurücklegen der Strecke die gleiche Zeit aufgewendet wird wie für eine gegebene ungleichmäßige Bewegung:

Wenn ein materieller Punkt gleichzeitig an mehreren Bewegungen teilnimmt, dann Gesetz der Unabhängigkeit der Bewegungen seine resultierende Verschiebung ist gleich der Vektorsumme der Verschiebungen, die es während der gleichen Zeit bei jeder einzelnen Bewegung ausführt. Daher ergibt sich die Geschwindigkeit der resultierenden Bewegung als Vektorsumme der Geschwindigkeiten aller Bewegungen, an denen der materielle Punkt beteiligt ist.

In der Natur werden am häufigsten Bewegungen beobachtet, bei denen sich die Geschwindigkeit sowohl im Betrag (Modul) als auch in der Richtung ändert, d.h. müssen mit ungleichmäßigen Bewegungen klarkommen. Um die Änderung der Geschwindigkeit solcher Bewegungen zu charakterisieren, wird das Konzept eingeführt Beschleunigung.

Lassen Sie den beweglichen Punkt sich von der Position bewegen A positionieren IN(Abb. 1.4). Der Vektor legt die Geschwindigkeit des Punktes an der Position fest A. Schwanger IN Der Punkt erlangte eine Geschwindigkeit, die sowohl in der Größe als auch in der Richtung unterschiedlich war, und wurde gleich . Bewegen wir den Vektor zu einem Punkt A und wir werden es finden.

Mittlere Beschleunigung ungleichmäßige Bewegung im Zeitintervall von bis wird als Vektorgröße bezeichnet, die dem Verhältnis der Geschwindigkeitsänderung zum Zeitintervall entspricht:

Offensichtlich stimmt die Richtung des Vektors mit dem Geschwindigkeitsänderungsvektor überein.

Sofortige Beschleunigung oder Beschleunigung materieller Punkt Zum Zeitpunkt gibt es eine Grenze der durchschnittlichen Beschleunigung:

Somit ist die Beschleunigung eine Vektorgröße, die der ersten Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit entspricht.

Zerlegen wir den Vektor in zwei Komponenten. Um dies vom Punkt aus zu tun A in Richtung der Geschwindigkeit tragen wir einen Vektor mit der Größe ein. Dann bestimmt der Vektor gleich die Geschwindigkeitsänderung Modulo(Wert) für Zeit, d.h. . Die zweite Komponente des Vektors charakterisiert die Geschwindigkeitsänderung über die Zeit in Richtung - .

Die Beschleunigungskomponente, die die Geschwindigkeitsänderung betragsmäßig bestimmt, heißt Tangentialkomponente. Numerisch ist es gleich der ersten zeitlichen Ableitung des Geschwindigkeitsmoduls:

Finden wir die zweite Komponente der Beschleunigung, genannt normale Komponente. Nehmen wir an, dass der Punkt IN nah genug am Punkt A Daher kann der Weg als Kreisbogen mit einem bestimmten Radius betrachtet werden R, nicht viel anders als der Akkord AB. Aus der Ähnlichkeit von Dreiecken AOB Und EAD folgt dem

woher Im Grenzfall ist daher die zweite Beschleunigungskomponente gleich:

Es ist in Richtung und auf den Krümmungsmittelpunkt der Flugbahn entlang der Normalen gerichtet. Sie wird auch genannt Zentripetalbeschleunigung.

Volle Beschleunigung eines Körpers ist die geometrische Summe der Tangential- und Normalkomponenten:

Aus Abb. 1.5 Daraus folgt, dass das Gesamtbeschleunigungsmodul gleich ist:

Die Richtung der Gesamtbeschleunigung wird durch den Winkel zwischen den Vektoren und bestimmt. Es ist klar, dass

Abhängig von den Werten der Tangential- und Normalkomponenten der Beschleunigung wird die Bewegung eines Körpers unterschiedlich klassifiziert. Wenn (die Größe der Geschwindigkeit sich nicht ändert), ist die Bewegung Uniform. Wenn > 0, wird die Bewegung aufgerufen beschleunigt, Wenn< 0 - langsam. Wenn = const0, dann wird die Bewegung aufgerufen gleichermaßen variabel. Schließlich bei jeder geradlinigen Bewegung (es gibt keine Änderung der Geschwindigkeitsrichtung).

Somit kann die Bewegung eines materiellen Punktes folgender Art sein:

1) - geradlinige gleichmäßige Bewegung ();

2) - geradlinige gleichmäßige Bewegung. Mit dieser Art von Bewegung

Wenn der Anfangszeitpunkt und die Anfangsgeschwindigkeit ist, dann erhalten wir mit der Bedeutung von und:

Wo . (1.16)

Indem wir diesen Ausdruck über den Bereich von Null bis zu einem beliebigen Zeitpunkt integrieren, erhalten wir eine Formel zum Ermitteln der Länge des Pfades, den ein Punkt während einer gleichförmigen Bewegung zurücklegt:

3) - lineare Bewegung mit variabler Beschleunigung;

4) - Die absolute Geschwindigkeit ändert sich nicht, was zeigt, dass der Krümmungsradius konstant sein muss. Daher ist diese Kreisbewegung gleichmäßig;

5) - gleichmäßige krummlinige Bewegung;

6) - krummlinige gleichmäßige Bewegung;

7) - krummlinige Bewegung mit variabler Beschleunigung.

Kinematik der Rotationsbewegung eines starren Körpers

Wie bereits erwähnt, ist die Rotationsbewegung eines absolut starren Körpers um eine feste Achse eine solche Bewegung, bei der sich alle Punkte des Körpers in Ebenen senkrecht zu einer festen Geraden, der sogenannten Rotationsachse, bewegen und Kreise beschreiben, deren Mittelpunkte auf liegen diese Achse.

Betrachten wir einen starren Körper, der sich um eine feste Achse dreht (Abb. 1.6). Dann beschreiben einzelne Punkte dieses Körpers Kreise mit unterschiedlichen Radien, deren Mittelpunkte auf der Rotationsachse liegen. Lassen Sie einen Punkt A sich entlang eines Kreises mit Radius bewegen R. Seine Position wird nach einer gewissen Zeit durch einen Winkel festgelegt.

Winkelgeschwindigkeit Rotation ist ein Vektor, der numerisch gleich der ersten Ableitung des Rotationswinkels des Körpers nach der Zeit ist und gemäß der Rechtsschraubenregel entlang der Rotationsachse gerichtet ist:

Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist das Bogenmaß pro Sekunde (rad/s).

Somit bestimmt der Vektor die Drehrichtung und -geschwindigkeit. Wenn , dann wird die Drehung aufgerufen Uniform.

Die Winkelgeschwindigkeit kann mit der Lineargeschwindigkeit eines beliebigen Punktes A in Beziehung gesetzt werden. Der Punkt soll in der Zeit eine Weglänge entlang eines Kreisbogens zurücklegen. Dann ist die lineare Geschwindigkeit des Punktes gleich:

Mit gleichmäßiger Rotation kann es charakterisiert werden Rotationsperiode T- die Zeit, in der ein Punkt des Körpers eine volle Umdrehung macht, d.h. dreht sich um einen Winkel von 2π:

Man nennt die Anzahl der vollständigen Umdrehungen, die ein Körper bei gleichförmiger Bewegung im Kreis pro Zeiteinheit durchführt Drehgeschwindigkeit:

Um die ungleichmäßige Rotation eines Körpers zu charakterisieren, wird das Konzept eingeführt Winkelbeschleunigung. Die Winkelbeschleunigung ist eine Vektorgröße, die der ersten Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit entspricht:

Wenn sich ein Körper um eine feste Achse dreht, ist der Winkelbeschleunigungsvektor entlang der Rotationsachse auf den Winkelgeschwindigkeitsvektor gerichtet (Abb. 1.7); Bei beschleunigter Bewegung ist der Vektor in die gleiche Richtung wie gerichtet, bei langsamer Drehung in die entgegengesetzte Richtung.

Lassen Sie uns die Tangential- und Normalkomponenten der Beschleunigung eines Punktes ausdrücken A eines rotierenden Körpers durch Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung:

Bei gleichförmiger Bewegung eines Punktes entlang eines Kreises ():

wo ist die anfängliche Winkelgeschwindigkeit.

Translations- und Rotationsbewegungen eines starren Körpers sind nur die einfachsten Arten seiner Bewegung. Generell kann die Bewegung eines starren Körpers sehr komplex sein. In der theoretischen Mechanik ist jedoch bewiesen, dass jede komplexe Bewegung eines starren Körpers als Kombination aus Translations- und Rotationsbewegungen dargestellt werden kann.

Die kinematischen Gleichungen der Translations- und Rotationsbewegungen sind in der Tabelle zusammengefasst. 1.1.

Tabelle 1.1

Progressiv	Rotation
Uniform
Ebenso variabel
Ungleichmäßig

Kurze Schlussfolgerungen:

Der Teil der Physik, der die Muster mechanischer Bewegung und die Gründe untersucht, die diese Bewegung verursachen oder ändern, wird als bezeichnet Mechanik. Die klassische Mechanik (Newton-Galileo-Mechanik) untersucht die Bewegungsgesetze makroskopischer Körper, deren Geschwindigkeit im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit im Vakuum klein ist.

- Kinematisch- ein Zweig der Mechanik, dessen Untersuchungsgegenstand die Bewegung von Körpern ist, ohne die Gründe zu berücksichtigen, durch die diese Bewegung verursacht wird.

In der Mechanik ist die Beschreibung der Bewegung von Körpern je nach den Bedingungen spezifischer Probleme unterschiedlich physikalische Modelle: materieller Punkt, absolut starrer Körper, absolut elastischer Körper, absolut unelastischer Körper.

Die Bewegung von Körpern erfolgt in Raum und Zeit. Um die Bewegung eines materiellen Punktes zu beschreiben, ist es daher notwendig zu wissen, an welchen Orten im Raum sich dieser Punkt befand und zu welchen Zeitpunkten er diese oder jene Position passierte. Die Kombination aus einem Bezugskörper, einem damit verbundenen Koordinatensystem und miteinander synchronisierten Uhren nennt man Referenzsystem.

Der Vektor, der von der Anfangsposition des sich bewegenden Punkts zu seiner Position zu einem bestimmten Zeitpunkt gezogen wird, wird aufgerufen Verschiebungsvektor. Die Linie, die durch einen sich bewegenden materiellen Punkt (Körper) relativ zum ausgewählten Referenzsystem beschrieben wird, wird aufgerufen Bewegungsbahn. Abhängig von der Form der Flugbahn gibt es geradlinig Und krummlinig Bewegung. Die Länge des Flugbahnabschnitts, den ein materieller Punkt in einem bestimmten Zeitraum zurücklegt, wird aufgerufen Pfadlänge.

- Geschwindigkeit ist eine vektorielle physikalische Größe, die die Bewegungsgeschwindigkeit und ihre Richtung zu einem bestimmten Zeitpunkt charakterisiert. Momentane Geschwindigkeit wird durch die erste Ableitung des Radiusvektors eines sich bewegenden Punktes nach der Zeit bestimmt:

Der momentane Geschwindigkeitsvektor ist in Bewegungsrichtung tangential zur Trajektorie gerichtet. Der Absolutwert der Momentangeschwindigkeit eines materiellen Punktes ist gleich der ersten Ableitung der Länge seines Weges nach der Zeit:

- Beschleunigung- Vektorphysikalische Größe für das Merkmal ungleichmäßig Bewegungen. Es bestimmt die Geschwindigkeitsänderungsrate in Betrag und Richtung. Sofortige Beschleunigung- Vektorgröße gleich der ersten Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:

Tangentialkomponente der Beschleunigung charakterisiert die Geschwindigkeitsänderungsrate in Größe(tangential zur Bewegungsbahn gerichtet):

Normalkomponente der Beschleunigung charakterisiert die Geschwindigkeitsänderungsrate in Richtung(auf den Krümmungsmittelpunkt der Flugbahn gerichtet):

Volle Beschleunigung für krummlinige Bewegung – die geometrische Summe der Tangential- und Normalkomponenten:

3. Was ist ein Bezugsrahmen? Was ist ein Verschiebungsvektor?

4. Welche Bewegung nennt man translatorisch? Rotation?

5. Was charakterisieren Geschwindigkeit und Beschleunigung? Definieren Sie Durchschnittsgeschwindigkeit und Durchschnittsbeschleunigung, Momentangeschwindigkeit und Momentanbeschleunigung.

6. Schreiben Sie eine Gleichung für die Flugbahn eines Körpers, der aus einer bestimmten Höhe horizontal mit der Geschwindigkeit v 0 geworfen wird. Luftwiderstand ignorieren.

7. Was charakterisieren die Tangential- und Normalkomponenten der Beschleunigung? Was sind ihre Module?

8. Wie kann eine Bewegung anhand der Tangential- und Normalkomponenten der Beschleunigung klassifiziert werden?

9. Wie heißen Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung? Wie werden ihre Richtungen bestimmt?

10. Welche Formeln beziehen sich auf die linearen und Winkeleigenschaften der Bewegung?

Beispiele für Problemlösungen

Problem 1. Bestimmen Sie unter Vernachlässigung des Luftwiderstands den Winkel, in dem der Körper zum Horizont geworfen wird, wenn die maximale Höhe des Körpers 1/4 seiner Flugreichweite beträgt (Abb. 1.8).

Geschwindigkeit ist eine Vektorgröße, die nicht nur die Bewegungsgeschwindigkeit eines Teilchens entlang einer Flugbahn charakterisiert, sondern auch die Richtung, in die sich das Teilchen zu jedem Zeitpunkt bewegt.

Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitverlauf aus t 1 Vor t 2 ist gleich dem Verhältnis der Bewegung während dieser Zeit zum Zeitraum, in dem diese Bewegung stattgefunden hat:

Dass es sich hierbei um die Durchschnittsgeschwindigkeit handelt, erkennen wir daran, dass wir den Durchschnittswert in spitze Klammern setzen:<...>, wie oben gemacht.

Die obige Formel für den Durist eine direkte Folge der allgemeinen mathematischen Definition des Durchschnittswerts<f(x)> beliebige Funktion f(x) im Intervall [ a,b]:

Wirklich

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist möglicherweise ein zu grobes Maß für die Bewegung. Beispielsweise ist die Durchschnittsgeschwindigkeit über eine Schwingungsperiode immer Null, unabhängig von der Art dieser Schwingungen, aus dem einfachen Grund, dass der schwingende Körper über eine Periode – per Definition einer Periode – zu seinem Ausgangspunkt zurückkehrt und daher , die Verschiebung über die Periode ist immer Null. Aus diesem und einer Reihe anderer Gründe wird die Momentangeschwindigkeit eingeführt – die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt. In Zukunft werden wir, was die momentane Geschwindigkeit bedeutet, einfach „Geschwindigkeit“ schreiben und die Wörter „augenblicklich“ oder „zu einem bestimmten Zeitpunkt“ weglassen, sofern dies nicht zu Missverständnissen führen kann. Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt erhalten T Wir müssen das Offensichtliche tun: die Grenze des Verhältnisses berechnen, während das Zeitintervall tendiert t 2 – t 1 bis Null. Nehmen wir einige Umbenennungen vor: t 1 = t Und t 2 = t + und schreiben Sie die obere Beziehung um als:

Geschwindigkeit zur Zeit T gleich der Grenze des Verhältnisses der Bewegung über die Zeit zum Zeitraum, in dem diese Bewegung stattgefunden hat, da dieser gegen Null tendiert

Reis. 2.5. Zur Definition der Momentangeschwindigkeit.

Derzeit beschäftigen wir uns nicht mit der Frage der Existenz dieser Grenze, sofern wir davon ausgehen, dass sie existiert. Beachten Sie, dass, wenn es eine endliche Verschiebung und eine endliche Zeitspanne gibt, und ihre Grenzwerte sind: eine unendlich kleine Verschiebung und eine unendlich kleine Zeitspanne. Also die rechte Seite der Definition von Geschwindigkeit

ist nichts anderes als ein Bruch – der Quotient der Division durch, daher kann die letzte Beziehung umgeschrieben werden und wird sehr oft in der Form verwendet

Gemäß der geometrischen Bedeutung der Ableitung ist der Geschwindigkeitsvektor an jedem Punkt der Flugbahn in seiner Bewegungsrichtung tangential zur Flugbahn an diesem Punkt gerichtet.

Video 2.1. Der Geschwindigkeitsvektor ist tangential zur Flugbahn gerichtet. Experimentieren Sie mit einem Spitzer.

Jeder Vektor kann zu einer Basis erweitert werden (für Einheitsvektoren der Basis, also Einheitsvektoren, die die positiven Richtungen der Achsen definieren). OCHSE,OY,OZ wir verwenden die Notation , , bzw. ). Die Koeffizienten dieser Entwicklung sind die Projektionen des Vektors auf die entsprechenden Achsen. Wichtig ist: In der Vektoralgebra ist bewiesen, dass die Entwicklung bezüglich der Basis eindeutig ist. Erweitern wir den Radiusvektor eines sich bewegenden materiellen Punktes zu einer Basis

Unter Berücksichtigung der Konstanz der kartesischen Einheitsvektoren , , differenzieren wir diesen Ausdruck nach der Zeit

Andererseits hat die Entwicklung hinsichtlich der Geschwindigkeitsvektorbasis die Form

Die Gegenüberstellung der letzten beiden Ausdrücke unter Berücksichtigung der Eindeutigkeit der Entwicklung eines beliebigen Vektors in Bezug auf die Basis ergibt das folgende Ergebnis: Die Projektionen des Geschwindigkeitsvektors auf die kartesischen Achsen sind gleich den Zeitableitungen der entsprechenden Koordinaten, d. h Ist

Der Betrag des Geschwindigkeitsvektors ist gleich

Lassen Sie uns einen weiteren, wichtigen Ausdruck für die Größe des Geschwindigkeitsvektors erhalten.

Es wurde bereits darauf hingewiesen, dass, wenn der Wert || weicht immer weniger vom entsprechenden Pfad ab (siehe Abb. 2). Deshalb

und im Grenzfall (>0)

Mit anderen Worten: Das Geschwindigkeitsmodul ist die Ableitung der zurückgelegten Strecke nach der Zeit.

Endlich haben wir:

Durchschnittlicher Betrag des Geschwindigkeitsvektors ist wie folgt definiert:

Der Durchschnittswert des Geschwindigkeitsvektormoduls ist gleich dem Verhältnis der zurückgelegten Strecke zur Zeit, in der dieser Weg zurückgelegt wurde:

Hier s(t 1 , t 2)- Weg in der Zeit von t 1 Vor t 2 und dementsprechend, s(t 0 , t 2)- Weg in der Zeit von t 0 Vor t 2 Und s(t 0 , t 2)- Weg in der Zeit von t 0 Vor t 1.

Der durchschnittliche Geschwindigkeitsvektor oder einfach die durchschnittliche Geschwindigkeit wie oben angegeben ist

Beachten Sie, dass es sich zunächst um einen Vektor handelt, dessen Modul – das Modul des Durcnicht mit dem Durchschnittswert des Geschwindigkeitsvektormoduls verwechselt werden sollte. Im allgemeinen Fall sind sie nicht gleich: Der Modul des Durchschnittsvektors ist überhaupt nicht gleich dem Durchschnittsmodul dieses Vektors. Zwei Operationen: die Berechnung des Moduls und die Berechnung des Durchschnitts können im Allgemeinen nicht vertauscht werden.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Lassen Sie den Punkt in eine Richtung wandern. In Abb. 2.6. zeigt eine Grafik des Weges, den sie zurückgelegt hat S in der Zeit (während der Zeit von 0 Vor T). Verwenden Sie dieses Diagramm, um die physikalische Bedeutung der Geschwindigkeit zu nutzen und den Zeitpunkt zu ermitteln, an dem die momentane Geschwindigkeit in den ersten Sekunden der Punktbewegung der durchschnittlichen Geschwindigkeit über Grund entspricht.

Reis. 2.6. Bestimmung der momentanen und durchschnittlichen Geschwindigkeit eines Körpers

Geschwindigkeitsmodul zu einem bestimmten Zeitpunkt

Da es sich um die Ableitung des Weges nach der Zeit handelt, ist es gleich dem Winkelkoeffizienten der Schwingung zum Graphen der Abhängigkeit des Punktes, der dem Zeitpunkt entspricht T*. Durchschnittlicher Geschwindigkeitsmodul über einen Zeitraum von 0 Vor T* ist der Winkelkoeffizient der Sekante, die durch die Punkte desselben Graphen verläuft, der dem Anfang entspricht t = 0 und das Ende t = t* Zeitintervall. Wir müssen einen solchen Zeitpunkt finden T*, wenn beide Steigungen zusammenfallen. Zeichnen Sie dazu eine gerade Linie durch den Ursprung, tangential zur Flugbahn. Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, beträgt der Tangentialpunkt dieses geraden Diagramms s(t) und gibt T*. In unserem Beispiel stellt sich heraus

> Durchschnittliche Vektorgeschwindigkeit: grafische Interpretation

Durchschnittsgeschwindigkeit nach Vektorgröße: Definition, wie man die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Körpers ermittelt, Maßeinheit der Vektorgeschwindigkeit, Formel und Berechnung.

Durchschnittliche Vektorgeschwindigkeit– Positionsänderung während der Bewegung.

Lernziel

• Verstehen Sie konstante Geschwindigkeit und Körperlichkeit.

Hauptpunkte

• Die Durchschnittsgeschwindigkeit wird berechnet, indem die Gesamtverdrängung dividiert durch die Bewegungszeit ermittelt wird.
• Die Durchschnittsgeschwindigkeit sagt nichts darüber aus, was mit einem Objekt zwischen zwei Punkten passiert.
• Die durchschnittliche Vektorgeschwindigkeit unterscheidet sich von der Skalargeschwindigkeit dadurch, dass sie die Bewegungsrichtung und die Gesamtpositionsänderung berücksichtigt.

Begriff

Die Vektorgeschwindigkeit ist eine Größe, die die Geschwindigkeit der Positionsänderung in Zeit oder Richtung angibt.

Wenn wir über den Alltag sprechen, dann werden Vektor- und Skalargeschwindigkeit einfach als Geschwindigkeit bezeichnet und es wird kein Unterschied gemacht. Aber in der Physik sind sie deutlich spürbar. Die skalare Geschwindigkeit hat nur einen Betrag, aber die durchschnittliche Vektorgeschwindigkeit fügt der Größe eine Richtung hinzu.

Die durchschnittliche Skalargeschwindigkeit wird als die während der gesamten Bewegungszeit zurückgelegte Strecke berechnet. Und ein Vektor ist eine Positionsänderung während der gesamten Bewegungszeit.

Durchschnitt = Δx/t

Die SI-Einheit der Geschwindigkeit ist m/s, kann aber auch km/h, mph, cm/s sein. Nehmen wir an, ein Passagier in einem Zug brauchte 5 Sekunden, um sich um -4 m zu bewegen (ein negatives Vorzeichen zeigt eine Rückwärtsbewegung an). Dann ist die durchschnittliche Vektorgeschwindigkeit:

V = Δx/t = -4m/5s = -0,8 m/s.

Diese Daten sagen uns jedoch nichts darüber, was mit dem Objekt zwischen den beiden Punkten passiert ist. Wir werden nicht herausfinden können, ob er angehalten hat oder zurückgekommen ist. Um die Details herauszufinden, müssen Sie in kleinere Zeiträume eintauchen.

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an, um eine klare Unterscheidung zwischen Vektor- und Skalargeschwindigkeiten zu machen. Nehmen wir an, Sie befinden sich in einem kleinen Rechteck. Sie bewegen sich 3 m nach Norden, 4 m nach Osten, 3 m nach Süden und 4 m nach Westen. Das alles dauerte eine halbe Minute. Die Skalarberechnung beginnt mit der Abdeckung der gesamten Distanz (3 + 4 + 3 + 4 = 14 m) und von hier aus - 14/30 = 0,47 m/s.

Allerdings reagiert der Vektor mit der Zeit auf eine Verschiebung. Sie befinden sich wieder am Ausgangspunkt, also ist die Verschiebung = 0. Daher beträgt die durchschnittliche Vektorgeschwindigkeit 0 m/s.

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Kinematik eines Punktes, Kinematik eines starren Körpers, Translationsbewegung, Rotationsbewegung, planparallele Bewegung, Satz über Geschwindigkeitsprojektionen, momentaner Geschwindigkeitsschwerpunkt, Bestimmung der Geschwindigkeit und Beschleunigung von Punkten eines ebenen Körpers, komplexe Bewegung eines Punktes

Inhalt

Starrkörperkinematik

Um die Position eines starren Körpers eindeutig zu bestimmen, müssen Sie drei Koordinaten angeben (x A , y A , z A ) einer der Punkte A des Körpers und drei Drehwinkel. Somit wird die Position eines starren Körpers durch sechs Koordinaten bestimmt. Das heißt, ein starrer Körper hat sechs Freiheitsgrade.

Im allgemeinen Fall wird die Abhängigkeit der Koordinaten von Punkten auf einem starren Körper relativ zu einem festen Koordinatensystem durch recht umständliche Formeln bestimmt. Die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen von Punkten lassen sich jedoch ganz einfach bestimmen. Dazu müssen Sie die Abhängigkeit der Koordinaten eines beliebig ausgewählten Punktes A und des Winkelgeschwindigkeitsvektors von der Zeit kennen. Durch Differenzierung nach der Zeit ermitteln wir die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes A und die Winkelbeschleunigung des Körpers:
; ; .
Dann werden Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Körperpunkts mit einem Radiusvektor durch die Formeln bestimmt:
(1) ;
(2) .
Hier und im Folgenden bedeuten Produkte von Vektoren in eckigen Klammern Vektorprodukte.

Beachten Sie, dass Der Winkelgeschwindigkeitsvektor ist für alle Punkte des Körpers gleich. Es hängt nicht von den Koordinaten der Körperpunkte ab. Auch Der Winkelbeschleunigungsvektor ist für alle Punkte des Körpers gleich.

Siehe Formelausgabe (1) Und (2) auf Seite: Geschwindigkeit und Beschleunigung von Punkten eines starren Körpers > > >

Translationsbewegung eines starren Körpers

Bei translatorischer Bewegung ist die Winkelgeschwindigkeit Null. Die Geschwindigkeiten aller Punkte des Körpers sind gleich. Jede im Körper gezeichnete gerade Linie bewegt sich und bleibt parallel zu ihrer ursprünglichen Richtung. Um die Bewegung eines starren Körpers während der Translationsbewegung zu untersuchen, reicht es daher aus, die Bewegung eines beliebigen Punktes dieses Körpers zu untersuchen. Siehe Sektion.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Betrachten wir den Fall einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Die Projektion der Beschleunigung eines Punktes des Körpers auf die x-Achse sei konstant und gleich a x. Dann hängt die Projektion der Geschwindigkeit v x und x – die Koordinate dieses Punktes von der Zeit t nach dem Gesetz ab:
v x = v x 0 + a x t;
,
wo v x 0 und x 0 - Geschwindigkeit und Koordinaten des Punktes zum Anfangszeitpunkt t = 0 .

Rotationsbewegung eines starren Körpers

Stellen Sie sich einen Körper vor, der sich um eine feste Achse dreht. Wählen wir ein festes Koordinatensystem Oxyz mit Mittelpunkt im Punkt O. Richten wir die Z-Achse entlang der Rotationsachse. Wir gehen davon aus, dass die z-Koordinaten aller Punkte des Körpers konstant bleiben. Dann erfolgt die Bewegung in der xy-Ebene. Winkelgeschwindigkeit ω und Winkelbeschleunigung ε sind entlang der z-Achse gerichtet:
; .
Sei φ der Rotationswinkel des Körpers, der von der Zeit t abhängt. Wir differenzieren nach der Zeit Projektionen von Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung zur z-Achse:
;
.

Betrachten wir die Bewegung eines Punktes M, der sich im Abstand r von der Rotationsachse befindet. Die Bewegungsbahn ist ein Kreis (oder Kreisbogen) mit dem Radius r.
Punktgeschwindigkeit:
v = ωr.
Der Geschwindigkeitsvektor ist tangential zur Flugbahn gerichtet.
Tangentialbeschleunigung:
ein τ = ε r .
Die Tangentialbeschleunigung ist ebenfalls tangential zur Flugbahn gerichtet.
Normale Beschleunigung:
.
Es ist auf die Rotationsachse O gerichtet.
Volle Beschleunigung:
.
Da die Vektoren und dann senkrecht zueinander stehen Beschleunigungsmodul:
.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung, bei der die Winkelbeschleunigung konstant und gleich ε ist, ändern sich die Winkelgeschwindigkeit ω und der Drehwinkel φ mit der Zeit t nach dem Gesetz:
ω = ω 0 + εt;
,
wo ω 0 und φ 0 - Winkelgeschwindigkeit und Drehwinkel zum Anfangszeitpunkt t = 0 .

Planparallele Bewegung eines starren Körpers

Planparallel oder flach ist die Bewegung eines starren Körpers, bei dem sich alle seine Punkte parallel zu einer festen Ebene bewegen. Wählen wir ein rechteckiges Koordinatensystem Oxyz. Wir werden die x- und y-Achsen in der Ebene platzieren, in der sich die Punkte des Körpers bewegen. Dann bleiben alle Z-Koordinaten der Körperpunkte konstant, Z-Komponenten von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen sind gleich Null. Die Vektoren der Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung hingegen sind entlang der z-Achse gerichtet. Ihre x- und y-Komponenten sind Null.

Die Projektionen der Geschwindigkeiten zweier Punkte eines starren Körpers auf eine durch diese Punkte verlaufende Achse sind einander gleich.
v A cos α = v B cos β.

Momentanes Geschwindigkeitszentrum

Momentanes Geschwindigkeitszentrum ist der Punkt einer ebenen Figur, deren Geschwindigkeit derzeit Null ist.

Um die Position des momentanen Geschwindigkeitszentrums P einer flachen Figur zu bestimmen, müssen Sie nur die Richtungen der Geschwindigkeiten und ihre beiden Punkte A und B kennen. Zeichnen Sie dazu eine Gerade durch Punkt A senkrecht zur Geschwindigkeitsrichtung. Durch Punkt B ziehen wir eine Gerade senkrecht zur Geschwindigkeitsrichtung. Der Schnittpunkt dieser Linien ist der momentane Mittelpunkt der Geschwindigkeiten P. Winkelgeschwindigkeit der Körperrotation:
.

Wenn die Geschwindigkeiten zweier Punkte parallel zueinander sind, dann ist ω = 0 . Die Geschwindigkeiten aller Punkte des Körpers sind einander gleich (zu einem bestimmten Zeitpunkt).

Wenn die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes A eines flachen Körpers und seine Winkelgeschwindigkeit ω bekannt sind, dann wird die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes M durch die Formel bestimmt (1) , die als Summe aus Translations- und Rotationsbewegung dargestellt werden kann:
,
wo ist die Geschwindigkeit der Rotationsbewegung von Punkt M relativ zu Punkt A. Das heißt, die Geschwindigkeit, die der Punkt M hätte, wenn er sich auf einem Kreis mit dem Radius |AM| dreht mit der Winkelgeschwindigkeit ω, wenn Punkt A stationär wäre.
Relativgeschwindigkeitsmodul:
v MA = ω |AM| .
Der Vektor ist tangential zum Kreis mit dem Radius |AM| gerichtet mit Mittelpunkt im Punkt A.

Die Bestimmung der Beschleunigungen von Punkten eines flachen Körpers erfolgt nach der Formel (2) . Die Beschleunigung eines beliebigen Punktes M ist gleich der Vektorsumme der Beschleunigung eines Punktes A und der Beschleunigung des Punktes M während der Drehung um Punkt A, wenn man Punkt A als stationär betrachtet:
.
lässt sich in Tangential- und Normalbeschleunigungen zerlegen:
.
Die Tangentialbeschleunigung ist tangential zur Flugbahn gerichtet. Die normale Beschleunigung ist vom Punkt M zum Punkt A gerichtet. Dabei sind ω und ε die Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung des Körpers.

Komplexe Punktbewegung

Lass O 1 x 1 y 1 z 1- festes rechteckiges Koordinatensystem. Die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes M in diesem Koordinatensystem werden als absolute Geschwindigkeit und absolute Beschleunigung bezeichnet.

Sei Oxyz beispielsweise ein sich bewegendes rechtwinkliges Koordinatensystem, das starr mit einem bestimmten starren Körper verbunden ist, der sich relativ zum System O bewegt 1 x 1 y 1 z 1. Die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes M im Oxyz-Koordinatensystem werden als relative Geschwindigkeit und relative Beschleunigung bezeichnet. Sei die Winkelgeschwindigkeit der Drehung des Systems Oxyz relativ zu O 1 x 1 y 1 z 1.

Betrachten wir einen Punkt, der zu einem bestimmten Zeitpunkt mit Punkt M zusammenfällt und relativ zum Oxyz-System (ein Punkt, der starr mit einem festen Körper verbunden ist) bewegungslos ist. Geschwindigkeit und Beschleunigung eines solchen Punktes im Koordinatensystem O 1 x 1 y 1 z 1 Wir nennen es tragbare Geschwindigkeit und tragbare Beschleunigung.

Geschwindigkeitsadditionssatz

Die absolute Geschwindigkeit eines Punktes ist gleich der Vektorsumme der relativen und tragbaren Geschwindigkeiten:
.

Beschleunigungsadditionssatz (Coriolis-Satz)

Die absolute Beschleunigung eines Punktes ist gleich der Vektorsumme der Relativ-, Transport- und Coriolisbeschleunigung:
,
Wo
- Coriolis-Beschleunigung.

Verweise:
S. M. Targ, Kurzkurs in theoretischer Mechanik, „Higher School“, 2010.

Geschwindigkeit ist eines der Hauptmerkmale. Es drückt das Wesen der Bewegung aus, d. h. bestimmt den Unterschied, der zwischen einem stationären Körper und einem sich bewegenden Körper besteht.

Die SI-Einheit der Geschwindigkeit ist MS.

Es ist wichtig zu bedenken, dass Geschwindigkeit eine Vektorgröße ist. Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors wird durch die Bewegung bestimmt. Der Geschwindigkeitsvektor ist immer tangential zur Flugbahn an dem Punkt gerichtet, den der bewegte Körper durchquert (Abb. 1).

Betrachten Sie zum Beispiel das Rad eines fahrenden Autos. Das Rad dreht sich und alle Punkte des Rades bewegen sich im Kreis. Die vom Rad fliegenden Spritzer fliegen tangential zu diesen Kreisen und geben die Richtung der Geschwindigkeitsvektoren einzelner Punkte des Rades an.

Somit charakterisiert die Geschwindigkeit die Bewegungsrichtung eines Körpers (Richtung des Geschwindigkeitsvektors) und die Geschwindigkeit seiner Bewegung (Modul des Geschwindigkeitsvektors).

Negative Geschwindigkeit

Kann die Geschwindigkeit eines Körpers negativ sein? Ja vielleicht. Ist die Geschwindigkeit eines Körpers negativ, bedeutet dies, dass sich der Körper entgegen der Richtung der Koordinatenachse im gewählten Bezugssystem bewegt. Abbildung 2 zeigt die Bewegung eines Busses und eines Autos. Die Geschwindigkeit des Autos ist negativ und die Geschwindigkeit des Busses ist positiv. Es sei daran erinnert, dass wir mit dem Vorzeichen der Geschwindigkeit die Projektion des Geschwindigkeitsvektors auf die Koordinatenachse meinen.

Gleichmäßige und ungleichmäßige Bewegung

Im Allgemeinen hängt die Geschwindigkeit von der Zeit ab. Je nach Art der Geschwindigkeitsabhängigkeit von der Zeit kann die Bewegung gleichmäßig oder ungleichmäßig sein.

DEFINITION

Gleichmäßige Bewegung– das ist eine Bewegung mit konstanter Modulgeschwindigkeit.

Bei ungleichmäßiger Bewegung sprechen wir von:

Beispiele zur Lösung von Problemen zum Thema „Geschwindigkeit“

BEISPIEL 1

Übung	Die erste Hälfte der Fahrt zwischen zwei Siedlungen legte das Auto mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h zurück, die zweite Hälfte mit einer Geschwindigkeit von 54 km/h. Bestimmen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos.
Lösung	Es wäre falsch, die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Autos als arithmetisches Mittel der beiden angegebenen Geschwindigkeiten zu berechnen. Verwenden wir die Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit: Da von einer geradlinigen gleichförmigen Bewegung ausgegangen wird, können die Vorzeichen der Vektoren weggelassen werden. Zeit, die das Auto für die gesamte Strecke benötigt: Wo ist die Zeit, die für die Fertigstellung der ersten Hälfte des Pfads aufgewendet wurde, und die Zeit, die für die Fertigstellung der zweiten Hälfte des Pfads aufgewendet wurde? Die Gesamtbewegung entspricht der Entfernung zwischen besiedelten Gebieten, d.h. . Wenn wir diese Verhältnisse in die Formel für die Durchschnittsgeschwindigkeit einsetzen, erhalten wir: Lassen Sie uns die Geschwindigkeiten in einzelnen Abschnitten in das SI-System umrechnen: Dann beträgt die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos: (MS)
Antwort	Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos beträgt 18,8 m/s

BEISPIEL 2

Übung	Ein Auto fährt 10 Sekunden lang mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s und fährt dann weitere 2 Minuten mit einer Geschwindigkeit von 25 m/s. Bestimmen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos.
Lösung	Machen wir eine Zeichnung.