Αντίστροφη κινηματική (μόνο για εκδόσεις Pro). Σκελετική κινούμενη εικόνα, άμεση και αντίστροφη κινηματική

Τι είναι η αντίστροφη κινηματική;

Το καθήκον της αντίστροφης κινηματικής είναι η αναζήτηση ενός τέτοιου συνόλου συνθέσεων αρθρώσεων που θα εξασφάλιζαν την πιο μαλακή, ταχύτερη και πιο ακριβή κίνηση στα συγκεκριμένα σημεία. Ωστόσο, πολλές υπάρχουσες μέθοδοι υποφέρουν από τέτοια μειονεκτήματα όπως η υψηλή υπολογιστική πολυπλοκότητα και η αφύσικη κατάσταση των θέσεων που προκύπτουν. Αυτό το άρθρο περιγράφει ένα νέο ( κατά πάσα πιθανότητα τη στιγμή της γραφής - το 2010) ευρετική μέθοδο που ονομάζεται "Μέθοδος άμεσης και αντίστροφης" ( Εμπρός και πίσω προς την κατεύθυνση της αντίστροφης κινηματικής, περαιτέρω απλώς FABRIK),
  Η FABRIK αποφεύγει τη χρήση περιστροφών και πινάκων για την απευθείας απόκτηση ενός σημείου σε ευθεία γραμμή. Λόγω αυτού, το κόστος κοστίζει μόνο λίγες επαναλήψεις, έχει ως εκ τούτου χαμηλό κόστος υπολογισμού και οπτική φυσική στάση. Η FABRIK αντιμετωπίζει επίσης την επιβολή περιορισμών καθώς και τη χρήση πολλαπλών αλυσίδων και / ή τελικών σημείων. Πρόκειται για αυτή τη μέθοδο αυτή τη θέση.

Σας παρακαλώ να αντιμετωπίσετε αυτή τη συμπίεση με κατανόηση, επειδή το πρωτότυπο είναι αρκετά μεγάλο, έχει πολύ νερό, σχετικές και ακατάλληλες επαναλήψεις και διαχωρισμούς από το θέμα, καθώς και συγκρίσεις με άλλους αλγορίθμους. Αποφάσισα, ωστόσο, να το παραμελήσω, επομένως, εδώ υπάρχει μόνο ένα μικρό μέρος του κειμένου, το οποίο όμως αντικατοπτρίζει την ουσία - περ. trans.

1. Τεχνητό μοντέλο σώματος

Ένα σύστημα πολλών στερεών αποτελείται από ένα σύνολο στερεών, που ονομάζονται κόμβοι, που συνδέονται μεταξύ τους με ακμές. Όλες οι άκρες αφορούν στοιχεία με κίνηση: περιορίζουν την κίνηση μέσα σε μια συγκεκριμένη γωνία σε σχέση με τις γειτονικές ακμές. Η προσομοίωση ενός εικονικού σώματος είναι σημαντική για τον υπολογισμό της στάσης ενός ατόμου. Ένα μοντέλο με σωστά τοποθετημένους περιορισμούς θα σας επιτρέψει να αποκτήσετε ένα σύνολο σωστών θέσεων, οι οποίες θα σας επιτρέψουν να έχετε μια πιο ρεαλιστική κίνηση. Τα περισσότερα μοντέλα υποδηλώνουν τη σκληρότητα των τμημάτων του σώματος, αν και αυτή είναι μια προσέγγιση κατά προσέγγιση στην πραγματικότητα.
Ο σκελετός συνήθως μοντελοποιείται ως ιεραρχία στερεών τμημάτων που συνδέονται με άκρες, εκάστη των οποίων δίνεται από ιδιότητες όπως το μήκος, το σχήμα, ο όγκος και η μάζα. Ο χειριστής, με τον τρόπο ενός ρόμβου-βραχίονα ή ενός κινούμενου χαρακτήρα, μοντελοποιείται ως αλυσίδα, συναρμολογημένη από συμπαγείς κόμβους, συζευγμένους μεταξύ τους από τις άκρες. Κάθε κίνηση και / ή περιστροφή του οστού με δείκτη i επηρεάζει όλα τα επόμενα στοιχεία της αλυσίδας. Μια αλυσίδα μπορεί να επισημοποιηθεί ως εξής: κάθε κόμβος χωρίς παιδιά πρέπει να είναι το τελικό σημείο. Για κάθε τελικό σημείο, η αλυσίδα μπορεί να σχηματιστεί προς τα πίσω στον σκελετό, από τον γονέα έως τον γονέα, έως ότου συναντήσει τον ριζικό κόμβο της αλυσίδας (την αρχή της αλυσίδας). Εξ ορισμού, το πρόβλημα IK υποθέτει ότι ο κόμβος ρίζας είναι στατικός. Ωστόσο, οι μέθοδοι συνήθως αντιμετωπίζουν την κίνηση της ρίζας.

Ο αλγόριθμος του πλήρους κύκλου του αλγορίθμου FABRIK (ψευδοκώδικας, το πρώτο στοιχείο της συστοιχίας κάτω από τον δείκτη 1)

Αρχικά δεδομένα: μια σειρά θέσεων των κόμβων p [i] με i = 1 ... n, τη θέση στόχου t και τις τιμές των αποστάσεων μεταξύ των συζευγμένων κόμβων. d [i] = p-t | για i = 1, ..., n-1 Έξοδος: Νέες θέσεις p [i], i = 1 ... n // Απόσταση μεταξύ ρίζας και στόχου dist = | p - t | // Ελέγξτε την προσπελασιμότητα του στόχου εάν dist\u003e d + d + ... + d (// στόχος δεν είναι προσβάσιμος για i = 1, ..., n-1 do (// Βρείτε την απόσταση r [i] [i] r [i] = | t - p [i] | lambda [i] = d [i] / r [i] // Βρείτε τη νέα θέση του κόμβου p [i] p = (1 - lambda [i]) * p [i] + lambda [i] * t)) αλλιώς (// Del reachable, έτσι b θα είναι η νέα θέση του κόμβου pb = p // Ελέγξτε αν η απόσταση μεταξύ του τελικού κόμβου p [n] και / / στόχος θέση t ανοχές τιμών (ανοχή) DIFa = | p [n] - t | ενώ DIFa\u003e tol κάνουμε (// Στάδιο 1: άμεση ακολουθία // Ορίστε τον τελικό κόμβο p [n] τεθεί στη θέση του στόχου "- περίπου transl.) p [n] = t για i = n -1 , ..., 1 do (// Αποκτήστε την απόσταση r [i] μεταξύ του κόμβου p [i] και της νέας θέσης pr [i] = | p - p [i] | lambda [ i] // // Υπολογίστε τη νέα θέση του κόμβου p [i] p [i] = // (1 - λάμδα [i]) * p + lambda [i] * p [i]) // Βήμα 2: p είναι η αρχική θέση p [i] = b για i = 1, ..., n - 1 do (// Αποκτήστε την απόσταση r [i] μεταξύ του κόμβου p και της θέσης p [i] r [i] = | p - p [i] | Για να πάρετε μια νέα θέση p [i] p = (1-lambda [i]) * p [i] + λάμδα [i] * p) DIFa = | p [n] - t | ))

2.FABRIK - μια νέα ευρετική λύση του προβλήματος της IK

Αυτή η ενότητα παρέχει την ουσία της μεθόδου FABRIK. Χρησιμοποιεί θέσεις που έχουν ήδη υπολογιστεί σε λειτουργία εμπρός και πίσω. Το FABRIK ελαχιστοποιεί το σφάλμα ρυθμίζοντας τη γωνία του κάθε κόμβου μία φορά. Δηλαδή ολόκληρη η αλυσίδα μετακινείται, αρχίζοντας από τον τελευταίο κόμβο, με ρύθμιση της γωνίας κάθε κόμβου παράκαμψης, μετά την οποία η αλυσίδα έχει ήδη μετακινηθεί προς την αντίθετη κατεύθυνση. Αυτή η μέθοδος, σε αντίθεση με τον μετασχηματισμό των περιστροφών, μετατρέπει το πρόβλημα της εύρεσης της θέσης ενός κόμβου στο πρόβλημα της εύρεσης ενός σημείου σε μια γραμμή. Ως εκ τούτου, μπορείτε να εξοικονομήσετε χρόνο και να μειώσετε τον αριθμό των υπολογισμών. Ας υποθέσουμε ότι το σετ p, ..., p [n]  είναι το σύνολο των θέσεων των κόμβων του χειριστή. Επίσης, ας υποθέσουμε σ  είναι ο κόμβος ρίζας και p [n]  είναι ένας τελικός κόμβος, έτσι για λόγους απλότητας, αφήστε ένα τελικό κόμβο. Ο στόχος αντιπροσωπεύεται από τη θέση t  και την αρχική θέση βάσης β. Η μέθοδος FABRIK παρουσιάζεται στην παραπάνω λίστα και στη γραφική ερμηνεία του πλήρους κύκλου στην εικόνα στα αριστερά, με ένα σημείο στόχου και τέσσερις κόμβους στο κύκλωμα. Σκεφτείτε τον πλήρη κύκλο του αλγορίθμου στο σχήμα:

• α  - Η αρχική θέση του χειριστή και του στόχου.
• β  - Μετακινήστε τον τελικό κόμβο σ  στο στόχο.
• γ  - Εντοπισμός θέσης p " p "  και σσε απόσταση δ  από το σημείο p ".
• δ  - Επαναλάβετε για όλους τους κόμβους.
• ε  - Το δεύτερο στάδιο του αλγορίθμου: μετακινήστε το στοιχείο ρίζας από τη θέση p "  στην αρχική του θέση.
• στ  - Επαναλάβετε για όλους τους κόμβους, αλλά αυτή τη φορά ξεκινάμε από τη βάση και μεταβαίνουμε στον τελικό κόμβο. Ο αλγόριθμος επαναλαμβάνεται μέχρι η θέση του τελικού στοιχείου να είναι κοντά στο στόχο για επαρκή απόσταση.

Με περισσότερες λεπτομέρειες:
  Οι θέσεις μεταξύ κόμβων θεωρούνται πρώτα (πίνακας δ), μετά τον οποίο υπάρχει έλεγχος εάν το σημείο στόχου είναι προσβάσιμο. θεωρείται η απόσταση μεταξύ του κόμβου ρίζας και του στόχου ( dist), και αν αυτή η απόσταση είναι μικρότερη από το συνολικό ύψος των αποστάσεων μεταξύ των κόμβων, τότε ο στόχος είναι εφικτός, αλλιώς δεν υπάρχει. Εάν ο στόχος είναι εφικτός, ο πλήρης κύκλος περιορίζεται σε δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο, ο αλγόριθμος υπολογίζει την αρχική θέση κάθε κόμβου, ξεκινώντας από το τελικό στοιχείο p [n]  μετακινώντας τον χειριστή βάσης σ. Αφήστε λοιπόν τη θέση-στόχο να είναι η θέση του τελικού κόμβου, p "[n] = t. Πάρτε ευθεία lπου βρίσκεται σε σημεία σ  και p "[n]. Νέα θέση κόμβου με ευρετήριο n-1, p "που βρίσκεται σε αυτή τη γραμμή σε απόσταση δ  από p "[n]. Ομοίως, η νέα θέση του κόμβου με τον δείκτη n-2, p "μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας απευθείας lπου βρίσκεται σε σημεία σ  και p "  σε απόσταση δ  από p ". Ο αλγόριθμος επαναλαμβάνεται μέχρι να υπολογιστούν όλες οι νέες θέσεις για όλους τους κόμβους, συμπεριλαμβανομένου του τελικού. Σε περιπτώσεις όπου το ριζικό στοιχείο μετακινείται στην επιθυμητή θέση, το FABRIK λειτουργεί όπως περιγράφεται, με τη μόνη διαφορά να είναι η νέα θέση p ""  ο κόμβος ρίζας θα είναι η επιθυμητή θέση και όχι η θέση εκκίνησης.
   Μετά από μία πλήρη επανάληψη, σε όλες σχεδόν τις περιπτώσεις (όπως παρατηρείται), ο τελικός κόμβος θα πλησιάσει τον στόχο. Η διαδικασία θα επαναληφθεί όσες φορές χρειάζεται, μέχρι ο τελικός κόμβος να βρίσκεται στη θέση στόχου ή να προσεγγίζει την επιτρεπόμενη απόσταση. Η εφαρμογή της μεθόδου FABRIK χωρίς την εισαγωγή περιοριστών θα συγκλίνει σε οποιοδήποτε σημείο / αλυσίδα στόχου εάν ο στόχος είναι εφικτός. Ωστόσο, αν ο στόχος είναι μεγαλύτερος από την απόσταση στην οποία μπορεί να τεντωθεί η αλυσίδα, απαιτείται μια κατάσταση διακοπής που συγκρίνει την προηγούμενη και την τρέχουσα θέση του τελικού κόμβου και η οποία τερματίζει τον αλγόριθμο εάν η μετατόπιση του τελικού κόμβου είναι μικρότερη από μια ορισμένη τιμή (epsilon). Επίσης, σε ειδικές περιπτώσεις, ο αλγόριθμος διακόπτεται μετά από ένα ορισμένο αριθμό επαναλήψεων (ωστόσο μέχρι στιγμής δεν έχει επιτευχθεί αυτή η κατάσταση).
  Για ταχύτερα αποτελέσματα και λύσεις σε αρκετές επαναλήψεις, είναι δυνατή η βελτιστοποίηση με τη χρήση της Conformal Geometric Algebra (εφεξής CGA). Το CGA έχει ένα πλεονέκτημα σε βασικά σχήματα, όπως σφαίρες, ευθείες γραμμές, επίπεδα και κύκλους, τα οποία εμφανίζονται αρκετά απλά με αλγεβρικά αντικείμενα. Επομένως, η αναζήτηση της θέσης ενός κόμβου που βρίσκεται ανάμεσα σε δύο γνωστούς κόμβους μπορεί να εκφραστεί από τη διασταύρωση δύο σφαιρών με κέντρα στις αντίστοιχες θέσεις αυτών των κόμβων και ακτίνα ίση με την απόσταση μεταξύ των θέσεων του επιθυμητού κόμβου και των υπαρχόντων. Η νέα θέση του κόμβου θα βρίσκεται στο πλησιέστερο σημείο του κύκλου που σχηματίζεται από τη διασταύρωση των δύο σφαιρών. Μια άλλη απλή βελτιστοποίηση είναι η άμεση κατασκευή μιας ευθείας γραμμής στην κατεύθυνση του στόχου, όταν αυτή δεν είναι διαθέσιμη.

3. Μοντέλο με κόμβους πολλαπλών άκρων

Όπως στην περίπτωση ενός τελικού κόμβου, ο αλγόριθμος διαιρείται σε δύο στάδια:

• Το πρώτο στάδιο είναι ακριβώς το ίδιο, μόνο αυτή τη φορά ξεκινά από κάθε κόμβο με κίνηση προς τα μέσα κατά μήκος της αλυσίδας από αυτόν τον κόμβο, μέχρι την υπο-βάση (ίσως η υπο-βάση είναι ένας κόμβος με αρκετές γειτονικές άκρες - περίπου Transl.) . Έτσι, θα πάρουμε όσες διαφορετικές θέσεις για μια υποζώνη καθώς έχουμε τελικούς κόμβους συνδεδεμένους σε αυτήν. Η συνολική θέση μπορεί να θεωρηθεί ως κεντροειδής (σαλάμι, απλά ο αριθμητικός μέσος - περίπου Transl.) Από αυτές τις θέσεις. Μετά από αυτό, η εκτέλεση του αλγορίθμου συνεχίζεται στην κανονική λειτουργία, μετακινώντας από την υπο-βάση στη ρίζα. Αν οι υπο-βάσεις έχουν τις δικές τους βάσεις, ακολουθούν παρόμοιες ενέργειες σε σχέση με αυτές - καταρτίζεται επίσης ένας κατάλογος των πιθανών θέσεων, οπότε η βάση αυτή έχει οριστεί σε κεντροειδή από τον πλήρη κατάλογο θέσεων.
• Στο δεύτερο στάδιο, ο συνήθης αλγόριθμος εφαρμόζεται σε κάθε κόμβο, κινούμενο πιο μακριά από τον κόμβο ρίζας. Ταυτόχρονα, κάθε αλυσίδα πρέπει να υποβληθεί σε επεξεργασία ξεχωριστά μέχρι τον τελικό κόμβο: όσο περισσότερες υπο-βάσεις, τόσο περισσότερες επαναλήψεις για κάθε ένα από αυτούς. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να φτάσουν οι κόμβοι του στόχου στο στόχο τους ή μέχρι να ενεργοποιηθεί η κατάσταση διακοπής.

4. Περιοριστές

Τέλος, το πιο νόστιμο μέρος αυτού του άρθρου είναι υπολογισμοί με περιοριστές. Χρειάζονται, όπως αξίζει να μαντέψουν, για μεγαλύτερη ομοιότητα με πραγματικούς οργανισμούς. Ο ίδιος ο κόμβος χαρακτηρίζεται συνήθως από τρεις βαθμούς ελευθερίας. Η περιστροφή ενός κόμβου μπορεί να χαρακτηριστεί ως "απλή περιστροφή" (2 βαθμοί ελευθερίας), η οποία αντανακλά την τελική του θέση και περιστροφή γύρω από τον άξονά του (1 βαθμός ελευθερίας). Έτσι, διαιρώντας την κίνηση ενός κόμβου σε δύο τέτοιες φάσεις, και εφαρμόζοντας τους περιορισμούς, μπορείτε να ελέγξετε τη θέση του κόμβου. Οι ίδιοι οι περιορισμοί μπορούν να επιβληθούν με παρόμοιο τρόπο: ο αλγόριθμος είναι επαναληπτικός, είναι δυνατόν να εφαρμοστούν περιορισμοί περιστροφής σε κάθε επανάληψη του αλγορίθμου. Περιοριστές, ωστόσο, δεν θα επηρεάσουν τη σύγκλιση του αλγορίθμου. Η κύρια ιδέα της χρήσης περιοριστών είναι η επανατοποθέτηση και ο αναπροσανατολισμός των κόμβων εντός ορίων.

• α  - Αρχικές διαμορφώσεις του χειριστή και του στόχου.
• β  - Μετακινήστε τον τελικό κόμβο σ  στο στόχο και να εστιάσετε σε αυτό.
• γ  - Εντοπισμός θέσης p "που βρίσκεται στη γραμμή μεταξύ των θέσεων p "  και σσε απόσταση δ  από το σημείο p ".
• δ  - Αναπροσανατολίστε τον κόμβο στη θέση του p "  έτσι ώστε να κοιτάζει κατά μήκος της άκρης που συνδέει p "  και p ".
• ε  - Υπολογισμός της ελλειπτικής περιοχής: οι επιτρεπόμενες θέσεις βρίσκονται στην σκιασμένη περιοχή. Καμία από τις κορυφές σε αυτό το στάδιο δεν κινείται οπουδήποτε.
• στ  - Κόμβος σ  κινείται στη θέση p ^που είναι η πλησιέστερη θέση στην σκιασμένη έλλειψη, διασφαλίζοντας έτσι τη νέα θέση p ^  θα είναι εντός αποδεκτών ορίων.
• g  - Μετακινήστε τον κόμβο p ^  στο σημείο p "για να κρατήσει το μήκος των πλευρών.
• h  - Αναπροσανατολισμός p "για να ικανοποιήσει τον περιοριστικό προσανατολισμό.

Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται για όλους τους κόμβους, με άμεση και αντίστροφη σειρά, με τον ίδιο τρόπο όπως στην απεριόριστη έκδοση της κίνησης. Ταυτόχρονα, ο περιορισμός "έλλειψης" είναι πιθανώς ένα χαρακτηριστικό μιας άκρης και όχι ενός κόμβου, δηλαδή, στη δεύτερη φάση ο κόμβος θα πρέπει να μετακινηθεί στην ελλειψία σ  - περίπου. trans.

Η σκελετική κίνηση είναι η ίδια όταν είναι πολύ εύκολο να εξηγήσουμε μια πολύ γενική θεωρία, αλλά είναι πολύ δύσκολο να επιτύχουμε πραγματικά αποτελέσματα, επιπλέον, σοβαρά αποτελέσματα.

Κανείς, ωστόσο, δεν θεωρεί ντροπή να μελετάει κινούμενα σχέδια εδώ και χρόνια, προσκρούει στη δικαιοσύνη σε κάθε γωνιά της λέξης "Ζήστε και μάθετε".

Αν γενικά, η σκελετική κινούμενη εικόνα είναι η κίνηση ενός 3D σχήματος μέσω ενός σχετικά μικρού αριθμού στοιχείων ελέγχου, τόσο εξωτερικά όσο και κατ 'αρχήν, που μοιάζουν με σκελετό ή δομή μαριονέτας.

Πώς είναι "φτιαγμένο" που εξετάσαμε στο άρθρο "Τοποθέτηση". Τα αποτελέσματα των πρώτων προσπαθειών για να ζωντανέψουν κάτι εξαρτώνται από το πόσο εύλογο και σωστό ήταν το εξάρτημα. Εάν η ιεραρχία των οστών γίνει σωστά, τότε η συμπεριφορά της αλυσίδας, καθώς και οι κορυφές που συνδέονται με αυτήν, θα είναι "ζωντανές". Τα λάθη μπορούν να οδηγήσουν σε απολύτως γελοίες συνέπειες: τα πόδια μπορούν να "πάνε" πίσω από το κεφάλι, για παράδειγμα.

Με επιδέξια χρήση, η σκελετική κινούμενη εικόνα σάς επιτρέπει να σώσετε πολύ τις προσπάθειες - φυσικά, είναι πολύ πιο εύκολο να μετακινήσετε αρκετά "κόκαλα" παρά να τοποθετήσετε ομάδες κορυφών και πολυγώνων από τόπο σε τόπο.

Υπάρχουν δύο κύριοι τύποι σχεδιασμού κίνησης σκελετού - άμεσης κινηματικής (Forward Cinematic - FK) και αντίστροφης ή αντίστροφης κινηματικής (Inverse Cinematic - IK). Επιλέγονται επίσης στο στάδιο της εξόρυξης, - εντούτοις, αυτή η διαδικασία είναι γενικά αδιαχώριστη από τη σκελετική κίνηση.

Έτσι: ας δημιουργήσουμε ξεχωριστή αλυσίδα "οστών" - προς το παρόν, χωρίς να προσθέτουμε κρέας. Όλες οι λειτουργίες πραγματοποιούνται στο πακέτο Blender3D, τα screenshots, επομένως και από εκεί.

Βλέπουμε τέσσερα οστά, όπου ο πρώτος είναι ο "γονέας", όλα τα επόμενα είναι σε μια συνεπή ιεραρχική εξάρτηση από τα προηγούμενα.

Εάν χρησιμοποιήσουμε άμεση κινηματική, τότε αν προσπαθήσουμε να μετακινήσουμε οποιουσδήποτε συνδέσμους (κόκαλα) χαμηλότερους από τον γονέα, θα έχουν ως αποτέλεσμα μόνο χαμηλότερα κινήματα:

Άναψε το κόκκαλο 2 , μαζί με τα οστά (αλλά παρέμεινε στην ίδια ευθεία γραμμή) 3   και 4 .

Αυτή είναι μια άμεση κινηματική: η κίνηση των παλαιότερων στην ιεραρχία των οστών οδηγεί στο γεγονός ότι οι νεότεροι κινούνται επίσης.

Όταν χρησιμοποιείται αντίστροφη κινηματική, ο αλγόριθμος είναι ακριβώς το αντίθετο:

Αφού ρυθμίσετε τη λειτουργία αυτόματης επιλογής της αντίστροφης κινηματικής (ο Blender προσποιείται ότι επιλέγει την καλύτερη επιλογή και μερικές φορές αρκετά επιτυχημένα), μετατοπίζουμε το μικρότερο οστό στην ιεραρχία 4 . ολόκληρη η αλυσίδα να είναι καμπυλωμένη.

Η σχέση της αλυσίδας, η αλλαγή της θέσης της οποίας οδηγεί στην αλλαγή της θέσης των άλλων δεσμών, ονομάζεται τελεστής (υπάρχει μια παράξενη μετάφραση "επηρεαστής", αλλά πώς ακριβώς μεταφράζεται αυτή η λέξη; ..).

Μετακόμισε το οστό 3 . Σύνδεσμοι 1-2   άλλαξαν τη θέση τους, και 4   - αριστερά σύμφωνα με τη σύνδεση 3 . Οστών 3   τώρα είναι ο τελεστής "om" και όλα όσα βρίσκονται κάτω από αυτό στην ιεραρχία υπακούουν τους αλγορίθμους της άμεσης κινηματικής.

Η αντίστροφη κινηματική χρησιμοποιείται κυρίως όταν απαιτείται η ακριβής θέση του τελικού συνδέσμου στο επιθυμητό σημείο (για παράδειγμα, έτσι ώστε όταν περπατάτε τα πόδια του χαρακτήρα να μην «γλιστρίζουν» πάνω από την επιφάνεια ή να βυθίζονται σε πολύγωνα που απεικονίζουν το τεμάχιο της γης.

Το πιο σημαντικό είναι η σωστή τοποθέτηση των περιορισμών για τα κινούμενα στοιχεία στο στάδιο της τακτοποίησης. Τα άκρα του μοντέλου χαρακτήρων πρέπει να συμπεριφέρονται "μέσα σε λογικά ανθρωπόμορφα όρια", για παράδειγμα, έτσι ώστε τα γόνατα να μην κάμπτονται προς λάθος κατεύθυνση ή τα δάχτυλα να μην τυλίγονται γύρω από τον καρπό.

Στη συνέχεια, ξεκινά η διαδικασία αυτοματοποίησης των κινήσεων - όλα γίνονται με τον ίδιο τρόπο όπως και με το συνηθισμένο κινούμενο σχέδιο. Τα βασικά καρέ ρυθμίζονται για μεμονωμένα στοιχεία ελέγχου και μεταφέρουν όλα τα άλλα μαζί. Ταυτόχρονα, τα πακέτα κινούμενων εικόνων μπορούν εύκολα να εγγράψουν θέσεις κλειδιά μόνο για μεμονωμένα οστά, για όλους τους συνδέσμους ταυτόχρονα ή για τις μεμονωμένες ομάδες τους. Αυτό δημιουργεί καμπύλες κίνησης / περιστροφής / κλίμακας για κάθε στοιχείο που εμπλέκεται στο κινούμενο σχέδιο. Τα σύγχρονα πακέτα, φυσικά, παρέχουν σε αφθονία τα μέσα για να σώσουν τις προσπάθειες - για παράδειγμα, να «παγκοσμιοποιήσουν» τη διαχείριση πολλών στοιχείων ταυτόχρονα, συγκεντρώνοντάς τα με έναν περισσότερο ή λιγότερο βολικό τρόπο. Το παρακάτω στιγμιότυπο οθόνης εμφανίζει ολόκληρο το παράθυρο εργασίας του Blender με ενεργοποιημένο τον επεξεργαστή ενεργειών και τον επεξεργαστή χρονοδιαγράμματος.

Ωστόσο, η δημιουργία κινούμενων εικόνων υψηλής ποιότητας είναι μια τεράστια επιμελής διαδικασία, η οποία απαιτεί να ληφθεί υπόψη ένας τεράστιος αριθμός παραγόντων που επηρεάζουν το ένα το άλλο. Όπως αναφέρθηκε ήδη στο άρθρο σχετικά με την εξόρυξη, όταν κινούμαστε με ανθρωπολογικούς ή ζωομορφικούς χαρακτήρες, πρέπει να έχουμε κατά νου τα ανατομικά χαρακτηριστικά των πρωτοτύπων τους στον πραγματικό κόσμο και την αντίστοιχη διασύνδεση των στοιχείων.

Λοιπόν, και τελικά, προσθέτουμε ότι εάν ο στόχος είναι να μην γίνει μια «ρεαλιστική» κινούμενη εικόνα, αλλά μια στυλιζαρίσματος για ζωγραφική, τότε πρέπει να έχετε κατά νου τις περίφημες 12 αρχές που ορίζονται

Εργαζόμασταν με το εργαλείο Joint και καταλάβαμε πώς λειτουργεί. Τώρα ας δούμε πώς μπορείτε να διαχειριστείτε τις αρθρώσεις σας με έναν απλούστερο τρόπο. Σε αυτό το κεφάλαιο θα συζητήσω μερικά από αυτά τα εργαλεία και στη συνέχεια μπορούμε να τα χρησιμοποιήσουμε περαιτέρω για να εξορύξουμε τον χαρακτήρα μας. Και το πρώτο εργαλείο που θα σας παρουσιάσω είναι ένα από τα πιο σημαντικά εργαλεία που πρέπει να ξέρετε - αυτό είναι το εργαλείο IK Handle. Θα σας πω ακριβώς τι είναι η Inverse Cinematic, πώς λειτουργεί και πώς να το διαμορφώσετε.

Η αντίστροφη κινηματική είναι ένας από τους δύο τρόπους ελέγχου των σκελετικών αρθρώσεων. Η πρώτη μέθοδος ονομάζεται Προωθητική Κινηματική (άμεση κινηματική), και στην πραγματικότητα είναι μια περιστροφή. Με αυτό, γυρίζετε και επιστρέφετε τις αρθρώσεις στη θέση τους και αυτός είναι πιθανότατα ο πιο φυσικός τρόπος χειρισμού, καθώς οι αρθρώσεις μας απλώς στρέφονται προς διαφορετικές κατευθύνσεις, καθώς και γύρω από τον άλλο. Δηλαδή, κάθε κίνηση του σώματός μας είναι μια στροφή μιας άρθρωσης.

Η αντίστροφη κινηματική βασίζεται στην έννοια του στόχου - ο στόχος, δηλαδή, ο τόπος όπου πρέπει να γίνει η άρθρωση. Αυτό μας επιτρέπει να καθορίσουμε την τελική θέση της άρθρωσης κατά τη στροφή. Ο ευκολότερος τρόπος να θυμηθούμε αυτό είναι να καταλάβουμε ότι η άμεση κινηματική βασίζεται στην περιστροφή μιας άρθρωσης και η αντίστροφη κινηματική βασίζεται στη θέση της άρθρωσης στην οποία πρέπει να βρίσκεται στο διάστημα όταν την περιστρέφουμε.

Επιτρέψτε μου να σας δείξω γρήγορα ένα παράδειγμα. Έχω δύο ταυτόσημες αλυσίδες αρθρώσεων εδώ. Η πρώτη αλυσίδα των αρθρώσεων δεν έχει αντίστροφη κινηματική, επομένως, ελέγχεται μέσω της κινητικής προς τα εμπρός και στη δεξιά μας αλυσίδα έχουμε εγκαταστήσει το IK Handle, το οποίο μας επιτρέπει να ελέγξουμε τις αρθρώσεις χρησιμοποιώντας την Inverse Cinematic. Θα πάω στο παράθυρο προβολής πλευρικής προβολής. Και είμαι λίγο πιο κοντά στο μοντέλο στο παράθυρο προβολής για να δείτε καλύτερα.

Για μια ακόμη φορά, η Κινηματική Forward είναι μια στροφή. Θέλω να επιλέξω το τέλος αυτής της αλυσίδας των αρθρώσεων και να μετακινήσω αυτήν την άρθρωση στο κέντρο των συντεταγμένων. Θα περιστρέψω όλες αυτές τις αρθρώσεις γύρω από ένα σημείο. Ας αρχίσουμε να το κάνουμε αμέσως. Θα πατήσω το πλήκτρο Ε για να ενεργοποιήσετε το εργαλείο Περιστροφή και, όπως μπορείτε να δείτε, όταν αρχίζουμε να το περιστρέψουμε, είναι αρκετά δύσκολο να επιτευχθεί ο στόχος με τη βοήθεια μόνο των στροφών. Έτσι θα μετατρέψω αυτή την άρθρωση όπως αυτή και αυτή και αυτή θα επιστρέψει λίγο, και ίσως χρειαστεί να την μετατρέψουμε ξανά. Τώρα κάνουμε τα πάντα με την όραση και δεν το κάνω πολύ προσεκτικά όταν τοποθετώ αυτές τις αρθρώσεις, επειδή η περιστροφή και η θέση των αρθρώσεων δεν επικαλύπτονται πάρα πολύ.

Η αντίστροφη κινηματική καθιστά τη διαδικασία αυτή ευκολότερη. Αν θέλουμε να μετακινήσουμε ακριβώς αυτή την αλυσίδα με αντίστροφη κινηματική, το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να κάνω κλικ σε αυτό το crosshair, ονομάζεται IK Handle1. Τώρα μπορώ να πατήσω το W για να μεταβείτε στο εργαλείο κίνησης και απλά να μετακινήσω την άρθρωση μου στο στόχο.

Ακριβώς έτσι. Το Maua περιστρέφει αυτόματα όλες τις αρθρώσεις ώστε να επιτευχθεί ο στόχος. Αλλά αν, για παράδειγμα, φέρω τον κόμβο πέρα ​​από αυτόν τον στόχο, έχουμε προβλήματα. Επομένως, δεν μπορούμε να φτάσουμε σε κανένα σημείο που θέλουμε, αλλά αν επιλέξουμε τα σημεία πιο κοντά, όλα θα λειτουργήσουν. Όπως μπορείτε να δείτε, αυτές οι δύο μέθοδοι χρησιμοποιούνται σε διαφορετικές καταστάσεις.

Συνήθως προς τα εμπρός Η Κινηματική μας δίνει μια πιο φυσική κίνηση, αφού βασίζεται σε στροφές, που φαίνονται πολύ φυσικές στην κίνηση των χαρακτήρων. Αλλά και οι δύο μέθοδοι έχουν μια θέση να είναι. Σας έδειξα πώς λειτουργεί, τώρα επιτρέψτε μου να σας δείξω πώς να τα ρυθμίσετε γρήγορα. Ας δημιουργήσουμε μια νέα σκηνή αρχείου / νέας σκηνής και να πάρουμε κενό χώρο. Και γυρίζουμε στο παράθυρο προβολής πλευρικής προβολής. Θα επιλέξω το εργαλείο Skeleton / Joint.

Ας κάνουμε μια πολύ απλή αλυσίδα αρθρώσεων αποτελούμενη από δύο κόκαλα. Κάνω κλικ στο αριστερό κουμπί εδώ και δημιουργώ μια άρθρωση. Θα κινηθώ λίγο εδώ σε σχέση με τον κεντρικό άξονα και θα δημιουργήσω μια άλλη ένωση εδώ. Έχουμε μια μικρή γωνία εδώ που λέει Inverse cinematic με ποιον τρόπο θέλουμε να γυρίσουμε την άρθρωση. Αυτό το κάναμε πριν, στο προηγούμενο κεφάλαιο, και τώρα θα σας δείξω γιατί το κάνουμε αυτό. Τώρα έχουμε μια αλυσίδα αρμών, οπότε ας εγκαταστήσουμε την Inverse cinematic σε αυτήν την αλυσίδα.

Μπορούμε να πάμε στο εργαλείο χειρισμού Skeleton, IK, ή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτό το εικονίδιο, και οι δύο λειτουργούν με τον ίδιο τρόπο. Τώρα πρέπει να επιλέξουμε την πρώτη άρθρωση, από την οποία θα κάνουμε μια αλυσίδα IK, ας είναι η κορυφαία. Και τώρα η τελευταία ένωση, θα είναι χαμηλότερη. Έχουμε ενδιάμεσους αρμούς, αλλά είναι σημαντικό να επιλέξω το τελευταίο αμέσως.

Και πήραμε το IKHandle1. Μπορούμε να το επιλέξουμε, να πατήσουμε το W και, όπως μπορείτε να δείτε, η άρθρωση μου κάμπτεται στη μέση προς αυτή την κατεύθυνση. Εάν έκανα την αλυσίδα μου ευθεία, το IKHandle δε θα μπορούσε να λειτουργήσει, γιατί δεν θα καταλάβω σε ποια κατεύθυνση θα λυγίσω την άρθρωση, γι 'αυτό κάναμε μια μικρή κάμψη εδώ. Ας ρίξουμε μια ματιά στο Outliner. Βλέπετε, εδώ είναι οι αρθρώσεις μας.

Και το IKHandle είναι ένα ξεχωριστό αντικείμενο και δεν είναι σε μια αλυσίδα αρθρώσεων. Ως εκ τούτου, μπορούμε να το μετακινήσουμε χωριστά και να αλλάξουμε τη θέση των αρθρώσεων. Εδώ είναι τα βασικά στοιχεία για το πώς να δουλέψουμε με χειρολαβές IK και αντίστροφη κινηματική στο Maua.

Επομένως, πρέπει να θυμηθείτε ότι έχουμε δύο τρόπους για τον έλεγχο των αρθρώσεων, της άμεσης κινηματικής και της αντίστροφης κινηματικής, και ο καθένας έχει τα δικά του πλεονεκτήματα.

Αντίστροφη κινηματική (αντίστροφη κινηματική κίνηση, Αγγλικά  αντίστροφη κινηματική (IK) - η διαδικασία προσδιορισμού των παραμέτρων σχετικών ευέλικτων αντικειμένων (για παράδειγμα, κινηματικό ζεύγος  ή κινηματική αλυσίδα) για την επίτευξη της απαραίτητης θέσης, του προσανατολισμού και της θέσης αυτών των αντικειμένων. Η αντίστροφη κινηματική είναι ένας τύπος σχεδιασμού κίνησης.   (eng.). Η αντίστροφη κινηματική χρησιμοποιείται ενεργά ρομποτική  τρισδιάστατο κινούμενα σχέδια υπολογιστών  και στο ανάπτυξη ηλεκτρονικών παιχνιδιών  . Χρησιμοποιείται κυρίως σε εκείνες τις περιπτώσεις όπου είναι απαραίτητο να τοποθετούνται με ακρίβεια οι εύκαμπτοι αρμοί ενός αντικειμένου σε σχέση με άλλα αντικείμενα του περιβάλλοντος. Ο αντίστροφος κινηματικός αλγόριθμος είναι το αντίθετο του αλγορίθμου. άμεση κινηματική.

Εγκυκλοπαίδεια YouTube

1 / 3

Άμεση και αντίστροφη κινηματική σε 3DS Max

Anime Studio Pro 10, 11 (Moho Pro) - Πώς να συνδέσετε την αντίστροφη κινηματική με τον χαρακτήρα των οστών

Πλήρης κινούμενη αντίστροφη οσμή σε Anime Studio Pro (Moho Pro) / Πλήρης αντίστροφη κινηματική

Υπότιτλοι

Περιγραφή

Αντίστροφη κινηματική, όπως ευθεία  , εφαρμόζεται σε μοντέλα τυχόν χαρακτήρων ή αντικειμένων που δημιουργούνται χρησιμοποιώντας σκελετική κινούμενη εικόνα  . Η ουσία της σκελετικής κίνησης είναι ότι το αντικείμενο αποτελείται από ένα σύνολο στερεών τμημάτων (εξαρτημάτων) που συνδέονται με αρμούς ( Αγγλικά κοινή). Στην περίπτωση αυτή, τα τμήματα μπορούν να συνδυαστούν κινηματικά ζεύγη  που με τη σειρά τους ενώνουν κινηματικές αλυσίδες  . Αυτά τα τμήματα σχηματίζουν ιεραρχικές αλυσίδες που έχουν ένα "ανώτερο" και "κατώτερο" επίπεδο. Τα τμήματα (τα συστατικά) των ανώτερων επιπέδων ονομάζονται συστατικά προγόνων (ή γονικά τμήματα) και τα κατώτερα συστατικά ονομάζονται εξαρτήματα των απογόνων (ή τμήματα παιδιού). Για παράδειγμα, εάν κοιτάξετε το χέρι ενός ατόμου, η άρθρωση του ώμου θα είναι το ανώτατο επίπεδο και η άκρη του δακτύλου θα είναι η πιο κάτω, δηλαδή το συστατικό του απογόνου στην άρθρωση του ώμου. Η άρθρωση του αγκώνα είναι μέσα στην αλυσίδα, θα έχει τόσο γονέα (ώμου) όσο και παιδικό (καρπό, δάχτυλα) τμήματα.

Η κύρια διαφορά μεταξύ της άμεσης κινηματικής και της αντίστροφης κινηματικής είναι ότι με ένα άμεσο, κάθε αποτέλεσμα μεταδίδεται κατά μήκος της ιεραρχικής αλυσίδας από πάνω προς τα κάτω. Για παράδειγμα, κατά τη διάρκεια της κίνησης της άρθρωσης του ισχίου, κινούνται όλοι οι απόγονοι, δηλαδή η άρθρωση του γόνατος και όλες οι άλλες. Η αντίστροφη κινηματική χρησιμοποιεί την αρχή που είναι διαμετρικά αντίθετη προς την άμεση αρχή - η μετατόπιση των συστατικών των απογόνων οδηγεί σε αλλαγή στη θέση των προγονικών συνιστωσών, δηλαδή ο αλγόριθμος υπολογίζει τη θέση και τον προσανατολισμό των προγονικών συστατικών με βάση τη θέση και τον προσανατολισμό των συστατικών των απογόνων.

Σε αντίστροφη κινηματική, ένα παιδικό τμήμα (συστατικό-παιδί), το οποίο προκαλεί μια αλλαγή στη θέση και τον προσανατολισμό άλλων αντικειμένων και βρίσκεται στη μέση μιας ξεχωριστής ιεραρχικής αλυσίδας τμημάτων, ονομάζεται τελεστής ( Αγγλικά  effector). Αν ο τελεστής είναι το τελικό αντικείμενο μιας δεδομένης ιεραρχικής αλυσίδας, τότε ονομάζεται ο τελικός τελεστής ( Αγγλικά  τελικός τελεστής). Είναι μέσω του τελεστή ότι χειρίζεται όλη η ιεραρχική αλυσίδα. Μια αλλαγή στη θέση και / ή στον προσανατολισμό του τελικού τελεστή οδηγεί σε αλλαγή στη θέση και / ή τον προσανατολισμό όλων των τμημάτων της ιεραρχικής αλυσίδας σύμφωνα με τους νόμους της αντίστροφης κινηματικής. Η αλλαγή της θέσης και / ή του προσανατολισμού ενός απλού (όχι πεπερασμένου) τελεστή οδηγεί στο γεγονός ότι η θέση αντικειμένων που βρίσκονται κάτω από αυτήν στην ιεραρχία αλλάζει σύμφωνα με τους νόμους της άμεσης κινηματικής και αντικείμενα με υψηλότερη ιεραρχία σύμφωνα με τους νόμους της αντίστροφης κινηματικής.

Το κλειδί για την επιτυχή εφαρμογή της αντίστροφης κινηματικής είναι η κίνηση μέσα στα όρια ( Αγγλικά περιορισμοί): τα άκρα του μοντέλου χαρακτήρα πρέπει να συμπεριφέρονται μέσα σε λογικά ανθρωπόμορφα όρια. Η κατάσταση είναι ακριβώς η ίδια με τις ρομποτικές συσκευές που έχουν φυσικούς περιορισμούς, όπως το περιβάλλον στο οποίο λειτουργούν, οι περιορισμοί στην κίνηση των αρθρώσεων τους και τα περιορισμένα σωματικά φορτία και οι ταχύτητες με τις οποίες είναι σε θέση να δουλέψουν.

Χρήσεις και Παραδείγματα

Η αντίστροφη κινηματική είναι ένα εργαλείο που οι καλλιτέχνες συχνά χρησιμοποιούν. τρισδιάστατα γραφικά  . Για έναν καλλιτέχνη, είναι ευκολότερο να εκφράζεται η επιθυμητή χωρική επίδραση παρά να χειρίζεται άμεσα τις γωνίες των αρθρώσεων. Για παράδειγμα, η αντίστροφη κινηματική επιτρέπει στον καλλιτέχνη να μετακινεί το χέρι του μοντέλου ενός τρισδιάστατου ανθρωποειδούς χαρακτήρα στην επιθυμητή θέση και προσανατολισμό. Σε αυτή την περίπτωση, ο ίδιος ο αλγόριθμος, και όχι ο καλλιτέχνης, επιλέγει τις σωστές γωνίες του καρπού, του αγκώνα και του ώμου.

Για παράδειγμα, αν κάποιος θέλει να αρπάξει το πηρούνι με το χέρι του, τότε τον εγκέφαλο  πρέπει να κάνει τους απαραίτητους υπολογισμούς για τη σωστή τοποθέτηση του βραχίονα και του σώματος του ατόμου. Ο κύριος στόχος είναι να μετακινήσετε το χέρι σας, αλλά πρέπει να χρησιμοποιήσετε πολλούς σύνθετους αρθρώσεις με αρκετές αρθρώσεις για να πάρετε το χέρι σας στο επιθυμητό αντικείμενο. Ομοίως, μια διαδικασία εμφανίζεται στις τεχνολογικές εφαρμογές - για να επιτευχθεί ο επιθυμητός στόχος, πρέπει να πραγματοποιηθούν μαθηματικοί υπολογισμοί της αντίστροφης κινηματικής για να τοποθετηθούν τα άκρα με τον σωστό τρόπο. Ένα παράδειγμα του πότε χρειάζονται συχνά υπολογισμοί για την αντίστροφη κινηματική είναι η ρομποτική. Για παράδειγμα, ο χειριστής το ρομπότ  θέλει να χρησιμοποιήσει οποιοδήποτε αντικείμενο χειριστή  , ωστόσο, φυσικά, δεν θέλει να ελέγξει ξεχωριστά κάθε άρθρωση του χειριστή.

Άλλες εφαρμογές που χρησιμοποιούν αντίστροφη κινηματική είναι εφαρμογές. γραφικά υπολογιστών  και κινούμενα σχέδια  . Για παράδειγμα, οι εμψυχωτές θέλουν να ελέγξουν ένα μοντέλο ανθρωποειδούς χαρακτήρα, το animation του οποίου δημιουργείται από έναν υπολογιστή, αλλά είναι πολύ δύσκολο να ζωντανέψει μεμονωμένες αρθρώσεις. Η λύση είναι να προσομοιωθούν οι εικονικές αρθρώσεις της κούκλας μαριονέτας και να επιτραπεί στον εμψυχωτή να μετακινήσει τους βραχίονες, τα πόδια και τον κορμό της κούκλας και ο υπολογιστής χρησιμοποιώντας αντίστροφη κινηματική θα δημιουργήσει αυτόματα τις απαραίτητες θέσεις των άκρων για να επιτύχει το αποτέλεσμα.

Η αντίστροφη κινηματική χρησιμοποιείται συχνά παιχνίδια υπολογιστών για να δημιουργήσετε κινούμενα σχέδια ανθρωποειδούς χαρακτήρα. Βασικά, η αντίστροφη κινηματική χρησιμοποιείται για να δημιουργήσει την κινούμενη εικόνα των ποδιών των μοντέλων ενός ανθρωποειδούς πλάσματος ή προσώπου. Για παράδειγμα, είναι πολύ απλό να δημιουργήσετε ένα κινούμενο σχέδιο κίνησης (περπάτημα, τρέξιμο) ενός προσώπου ή ενός χερσαίου ζώου, εάν μετακινείται σε μια επίπεδη επιφάνεια. Ωστόσο, εάν το έδαφος είναι ανώμαλο (λοφώδες, ανώμαλο, τραχύ ή ορεινό), είναι σχεδόν αδύνατο να δημιουργηθεί ακριβής κίνηση με τα πόδια. Η κίνηση των ποδιών δεν θα αντιστοιχεί στην ανακούφιση της επιφάνειας, η οποία θα εκδηλωθεί με τέτοια αποτελέσματα όπως η ολίσθηση των ποδιών πάνω στην επιφάνεια και η ανακριβής τοποθέτηση των ποδιών σε σχέση με αυτό (το πόδι "θα βυθιστεί" στην επιφάνεια ή δεν θα φτάσει). Για την ποιοτική και αποτελεσματική λύση αυτών των προβλημάτων χρησιμοποιείται αντίστροφη κινηματική.

Άλλες εφαρμογές που χρησιμοποιούν αντίστροφη κινηματική περιλαμβάνουν διαδραστικό χειρισμό, έλεγχο κινούμενων εικόνων και αποφυγή σύγκρουσης.

Σημειώσεις

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Αγγλικές πηγές

• Ο Χούγκο Ηλίας.  Αντίστροφη Κινηματική Αρχειοθετήθηκε στις 13 Αυγούστου 2011.
• Ο Χούγκο Ηλίας.  Αντίστροφη κινηματική - Βελτιωμένες μέθοδοι (Αγγλικά). freespace.virgin.net. Ανακτήθηκε στις 5 Ιουνίου 2009. Αρχειοθετήθηκε στις 13 Αυγούστου 2011.
• Κινεζική αντίστροφη ρομπότ (Αγγλικά). www.learnaboutrobots.com. Ανακτήθηκε στις 5 Ιουνίου 2009. Αρχειοθετήθηκε στις 13 Αυγούστου 2011.
• Πώς κινείσαι ρευστά; (eng.) Ανακτήθηκε στις 5 Ιουνίου 2009. Αρχειοθετήθηκε στις 13 Αυγούστου 2011.
• Μάρτιν Τζον Μπέικερ.  3D Θεωρία - Κινηματική - Αρθρώσεις Αντίστροφη Κινηματική (Eng.). www.euclideanspace.com. Ανακτήθηκε στις 5 Ιουνίου 2009. Αρχειοθετήθηκε στις 13 Αυγούστου 2011.
• Λυδία Ε. Καβράκη.  Η αντίστροφη κινηματική της πρωτεΐνης και το πρόβλημα κλεισίματος του βρόχου (eng.). cnx.org. Ανακτήθηκε στις 5 Ιουνίου 2009. Αρχειοθετήθηκε στις 13 Αυγούστου 2011.
• Ντιέγκο Παρκ.  Γραφικά Υπολογιστών (Αγγλικά). diegopark.googlepages.com. Ανακτήθηκε στις 5 Ιουνίου 2009. Αρχειοθετήθηκε στις 13 Αυγούστου 2011.
• Bill Baxter.