2つの値の間の補間式。線形補間による中間値の決定

補間。序章。一般的な問題の説明

さまざまな実際的な問題を解決するとき、研究結果は、1つまたは複数の測定量の1つの決定パラメーター（引数）への依存性を示す表の形式で提示されます。このようなテーブルは通常、2つ以上の行（列）の形式で表示され、数学モデルを形成するために使用されます。

数学モデルで指定された関数は、通常、次の形式のテーブルに記述されます。


Y1（X）	Y（X0）	Y（X1）	Y（Xn）

Ym（X）	Y（X0）	Y（X1）	Y（Xn）

そのような表によって提示される限られた情報は、多くの場合、ノードと一致しない点Xで関数Y j（X）（j = 1,2、...、m）の値を取得する必要がありますテーブルXiのポイント（i = 0,1,2、...、n）。このような場合、任意に指定された点Xで調査された関数Y j（X）の近似値を計算するために、いくつかの分析式φj（X）を決定する必要があります。関数Yj（X）の近似値を決定するために使用される関数φj（X）は、近似関数と呼ばれます（ラテン語の近似から-近似）。適切な近似アルゴリズムを選択することにより、近似関数φj（X）の近似関数Y j（X）への近接性が保証されます。

調査した1つの関数の初期データを含むテーブル（つまり、m = 1のテーブル）について、さらにすべての考慮事項と結論を出します。

1.補間方法

1.1補間問題の記述

ほとんどの場合、関数φ（X）を決定するために、補間問題のステートメントと呼ばれるステートメントが使用されます。

内挿問題のこの古典的な定式化では、近似解析関数φ（X）を決定する必要があり、その値は節点X i 値を一致させる元のテーブルのY（X i）、つまり条件

ϕ（X i）= Y i（i = 0,1,2、...、n）

このように構築された近似関数φ（X）は、引数[X 0; X n]、テーブルによって決定されます。引数Xの値を指定する場合、所有されていませんこの区間では、内挿問題は外挿問題に変換されます。これらの場合、精度

関数φ（X）の値を計算するときに取得される値は、Xの場合、引数Xの値のX0からの距離に依存します<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn。

数学的モデリングでは、補間関数を使用して、サブインターバルの中間点で調査された関数の近似値を計算できます[X i; X i +1]。この手順はと呼ばれます締固めテーブル.

補間アルゴリズムは、関数φ（X）の値を計算する方法によって決定されます。内挿関数の最も単純で最も明白な実装は、区間[X i;で調査された関数Y（X）を置き換えることです。 X i +1]点Yi、Y i +1を結ぶ線分による。この方法は線形補間法と呼ばれます。

1.2線形補間

線形補間では、ノードXiとXi + 1の間にある点Xでの関数の値は、テーブルの2つの隣接する点を結ぶ直線の式によって決定されます。

Y（X）= Y（Xi）+	Y（Xi + 1）-Y（Xi）	（X-Xi）（i = 0,1,2、...、n）、

	X i + 1− X i

図では。図１は、特定の量Ｙ（Ｘ）の測定の結果として得られた表の例を示している。ソーステーブルの行は塗りつぶしで強調表示されます。表の右側には、この表に対応する散布図があります。テーブルの圧縮は、式による計算のおかげで行われます。

（3）サブインターバル（i = 0、1、2、…、n）の中点に対応する点Xでの近似関数の値。

図1。凝縮されたY（X）関数テーブルと対応する図

図のグラフを考えると。線形補間法を使用してテーブルを圧縮した結果として得られたポイントは、元のテーブルのポイントを接続する線分上にあることがわかります。線形精度

内挿は、本質的に、内挿された関数の性質と、テーブルX i 、、 X i +1のノード間の距離に依存します。

明らかに、関数が滑らかであれば、ノード間の距離が比較的大きい場合でも、点を直線セグメントで接続して作成されたグラフにより、関数Y（X）の性質をかなり正確に推定できます。関数が十分に速く変化し、ノード間の距離が大きい場合、線形補間関数では、実際の関数に対して十分に正確な近似を取得できません。

線形補間関数は、一般的な予備分析と補間結果の正確さの評価に使用できます。補間結果は、他のより正確な方法で取得されます。このような評価は、計算が手動で実行される場合に特に関係があります。

1.3正規多項式による内挿

正規多項式によって関数を内挿する方法は、[1]の形式の多項式としての内挿関数の構築に基づいています。

ϕ（x）= Pn（x）= c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn

多項式（4）のiを持つ係数は、ラグランジュ条件から決定される自由な内挿パラメーターです。

Pn（xi）= Yi、（i = 0、1、...、n）

（4）と（5）を使用して、連立方程式を書き留めます。

C x + c x2		C xn = Y

C x + c x2		C xn


	C x2		C xn = Y

線形代数方程式系（6）のi（i = 0、1、2、…、n）の解ベクトルが存在し、ノードiの間に一致するノードがない場合に見つけることができます。システム（6）の行列式は、ファンデルモンド行列式1と呼ばれ、分析式があります[2]。

1朱ファンデルモンドの予選行列式と呼ばれる

一部のxi = xjの場合に限り、ゼロに等しくなります。（ウィキペディアから-無料の百科事典）

i（i = 0、1、2、...、n）の係数の値を決定するには

式（5）は、ベクトル行列形式で記述できます。

A * C = Y、

ここで、Aは、引数のベクトルの累乗の表によって決定される係数の行列X =（xi 0、xi、xi 2、...、xin）T（i = 0、1、2、...、n ）

				x0 2		x0 n




				xn 2		xn n

Cはi（i = 0、1、2、…、n）の係数の列ベクトルであり、Yは値Y i（i = 0、1、2、…、n）の列ベクトルです。内挿ノードでの内挿関数。

この線形代数方程式系の解は、[3]で説明されている方法の1つによって取得できます。たとえば、式によると


С= A− 1 Y、

ここで、A-1-行列は行列Aの逆行列です。逆行列A-1を取得するには、標準関数のセットに含まれているINOV（）関数を使用できます。マイクロソフトプログラム Excel。

関数（4）を使用して、iの係数の値が決定された後、引数の任意の値に対して補間された関数の値を計算できます。

テーブルを圧縮する行を考慮せずに、図1に示すテーブルの行列Aを記述してみましょう。

図2正規多項式の係数を計算するための連立方程式の行列

関数MOBR（）を使用して、行列Aの逆行列A -1を取得します（図3）。その後、式（9）に従って、図に示す係数C =（c 0、c 1、c 2、…、c n）Tのベクトルを取得します。 4.4。

x 0の値に対応する列Y正準のセル内の正準多項式の値を計算するために、システムのゼロ行に対応する次の形式に変換された式を導入します（6）

=（（（（c 5	* x 0 + c 4）* x 0 + c 3）* x 0 + c 2）* x 0 + c 1）* x 0 + c 0

C0 + x *（c1 + x *（c2 + x *（c3 + x *（c4 + x * c5））））

セルに入力された数式に「ci」と書く代わりに Excelテーブル、この係数を含む対応するセルへの絶対参照があるはずです（図4を参照）。「x0」の代わりに-列Xのセルへの相対参照（図5を参照）。

Yは、セルY lin（0）の値と一致する正規（0）値です。セルYカノニカル（0）に記述された数式をストレッチする場合、元のノードポイントに対応するYカノニカル（i）の値

表（図5を参照）。

米。 5.線形および正規補間の表に基づく図

線形補間と正規補間の式によって計算されたテーブルから構築された関数のグラフを比較すると、多くの中間ノードで、線形補間と正規補間の式によって得られた値の大幅な偏差が見られます。モデル化されたプロセスの性質に関する追加情報を取得することに基づいて、補間の精度についてより合理的に判断することが可能です。

手順

多くの場合、経験的研究を行うときは、ランダムサンプリングの方法によって得られた一連の値を処理する必要があります。この一連の値から、関数のグラフを作成する必要があります。このグラフには、取得した他の値も最大の精度で適合します。この方法、またはむしろこの問題の解決策は、曲線近似です。一部のオブジェクトまたは現象を、初期パラメータの点で近い他のオブジェクトまたは現象に置き換える。次に、補間は一種の近似です。曲線補間とは、作成された関数の曲線が使用可能なデータポイントを通過するプロセスを指します。

補間に非常に近い問題があります。その本質は、元の複素関数を別のはるかに単純な関数で近似することです。別の関数が非常に計算的である場合は、いくつかのポイントでその値を計算してみて、取得した関数からさらに構築（補間）することができます。シンプルな機能..。ただし、簡略化された関数では、元の関数と同じ正確で信頼性の高いデータは提供されません。

代数二項式または線形補間による内挿
V 一般的な見解：ある特定の関数f（x）の補間があります。これは、代数二項式P1（x）= ax + bによってセグメントの点x0およびx1で値を取ります。関数の3つ以上の値が指定されている場合、求められている線形関数は線形区分的関数に置き換えられ、関数の各部分は、補間されたセグメントのこれらのポイントで関数の2つの指定された値の間に含まれます。

有限差分補間
この方法は、最も単純で最も広く使用されている内挿法の1つです。その本質は、方程式の微分係数を微分係数に置き換えることです。このアクションにより、微分方程式の微分アナログによる解に進むことができます。つまり、有限差分スキームを構築できます。

スプライン関数の作成
数学的モデリングのスプラインは区分的に与えられた関数と呼ばれ、定義域のパーティションの各要素でより単純な関数を使用します。 1つの変数のスプラインは、定義域を有限数のセグメントに分割することによって作成され、各セグメントでスプラインはいくつかの代数多項式と一致します。使用される最大次数はスプラインです。
でサーフェスを定義および記述するためのスプライン関数さまざまなシステムコンピュータモデリング。

これはビル・エレナの本の章です。

課題：エンジニアリング設計の問題の中には、パラメータ値を計算するためにテーブルを使用する必要があるものがあります。テーブルは離散的であるため、設計者は線形補間を使用してパラメーターの中間値を取得します。表（図1）には、地上高（制御パラメーター）と風速（計算パラメーター）が含まれています。たとえば、47メートルの高さに対応する風速を見つける必要がある場合は、次の式を適用する必要があります：130 +（180-130）* 7 /（50-40）= 165 m / s。

メモを形式でダウンロードするか、例を形式でダウンロードします

2つの制御パラメーターがある場合はどうなりますか？単一の数式で計算を実行できますか？表（図2）は、構造物のさまざまな高さとスパンサイズに対する風圧の値を示しています。高さ25メートル、スパン300メートルの風圧を計算する必要があります。

解決策：1つの制御パラメーターを使用してケースに使用される方法を拡張することにより、問題を解決します。以下の手順に従ってください。

図に示す表から始めます。 2. J1とJ2にそれぞれ高さとスパンの元のセルを追加します（図3）。

米。 3.セルJ3の数式：J17はメガ数式の働きを説明します

数式を使いやすくするために、名前を定義します（図4）。

セルJ3からセルJ17に移動して、数式に従います。

逆シーケンシャル置換によりメガフォーミュラを収集します。数式テキストをセルJ17からJ19にコピーします。数式のJ15参照をセルJ15の値に置き換えます：J7 +（J8-J7）* J11 / J13。 NS。結果は984文字で構成される数式になりますが、この形式では認識できません。添付のExcelファイルで確認できます。この種のメガフォーミュラが使用に役立つかどうかはわかりません。

概要：テーブル値が範囲境界に対してのみ指定されている場合、線形補間を使用してパラメーターの中間値を取得します; 2つの制御パラメータの計算方法を提案します。

私たちの多くは、さまざまな科学で理解できない用語に出くわしました。しかし、理解できない言葉に怯えていない人はほとんどいませんが、それどころか、研究されている主題をより深く掘り下げることを奨励され、強制されています。今日は補間などについてお話します。これは、既知のポイントからグラフをプロットする方法であり、関数に関する最小限の情報で曲線の特定の部分でのグラフの動作を予測できます。

定義自体の本質に移り、それについてより詳細に説明する前に、歴史をもう少し深く掘り下げてみましょう。

歴史

補間は古くから知られています。ただし、この現象は、ニュートン、ライプニッツ、グレゴリーなど、過去の最も著名な数学者の何人かに起因しています。当時利用可能なより高度な数学的方法を使用してこの概念を開発したのは彼らでした。それ以前は、もちろん補間が適用されて計算に使用されていましたが、必要とされる完全に不正確な方法でそれを行いました多数モデルを構築するためのデータ、多かれ少なかれ現実に近い。

今日では、どちらの補間方法がより適しているかを選択することもできます。すべてがコンピューター言語に翻訳されており、既知のポイントによって制限された特定の領域での関数の動作を非常に正確に予測できます。

補間はかなり狭い概念であるため、その歴史は事実上それほど豊富ではありません。次のセクションでは、補間が実際に何であるか、そしてそれが反対の外挿とどのように異なるかを理解します。

補間とは何ですか？

すでに述べたように、これはグラフを点でプロットできるメソッドの一般的な名前です。学校では、これは主に表を作成し、グラフ上の点を特定し、それらを結ぶ線を大まかに描くことによって行われます。最後のアクションは、調査された関数が他の関数と類似していることを考慮して実行されます。これは、グラフのタイプであることがわかっています。

ただし、ポイントごとにグラフをプロットするタスクを実行するための、他のより複雑で正確な方法があります。したがって、補間は実際には、特定の領域での関数の動作の「予測」であり、既知のポイントによって制限されます。

同じ領域に関連する同様の概念があります-外挿。これは関数のグラフの予測でもありますが、グラフの既知のポイントの外側にあります。この方法では、既知の間隔での関数の動作に基づいて予測が行われ、次にこの関数が未知の間隔で適用されます。この方法は、実用化に非常に便利であり、経済学などで市場の浮き沈みを予測したり、国の人口動態を予測したりするために積極的に使用されています。

しかし、私たちはメイントピックから離れました。次のセクションでは、補間の種類と、この操作を実行するために使用できる式を理解します。

補間タイプ

最も単純な形式は、最近隣内挿法です。この方法では、長方形の非常に大まかなグラフが得られます。グラフ上の積分の幾何平均の説明を少なくとも1回見たことがあれば、私たちが話しているグラフィック形式の種類を理解できます。

さらに、他の補間方法があります。最も有名で人気のあるものは多項式に関連しています。それらはより正確であり、かなり貧弱な値のセットで関数の動作を予測することができます。最初に検討する補間方法は、多項式による線形補間です。これはこのカテゴリーの中で最も簡単な方法であり、確かにあなた方一人一人が学校でそれを使用しました。その本質は、既知のポイント間の線の構築にあります。ご存知のように、1本の直線が平面の2つの点を通過します。その方程式は、これらの点の座標に基づいて求めることができます。これらの線を作成することにより、少なくとも、関数の近似値を反映し、一般的には現実と一致する壊れたグラフが得られます。これは線形補間が実行される方法です。

高度なタイプの補間

もっと面白いですがもっと難しい方法補間。それはフランスの数学者ジョセフ・ルイ・ラグランジュによって発明されました。そのため、この方法による内挿の計算は、彼にちなんで名付けられました。ラグランジュ法による内挿です。ここでの秘訣はこれです：前の段落で説明した方法が一次関数、次に、ラグランジュ法による展開も、より高い次数の多項式の使用を前提としています。しかし、さまざまな関数の補間式自体を見つけるのはそれほど簡単ではありません。そして、より多くのポイントが知られているほど、補間式はより正確になります。しかし、他にも多くの方法があります。

より完璧で現実に近い計算方法もあります。その中で使用される補間式は多項式のコレクションであり、それぞれの使用は関数のセクションに依存します。この方法はスプライン関数と呼ばれます。さらに、2つの変数の関数の補間などを行う方法もあります。方法は2つしかありません。それらの中には、双一次または二重補間があります。この方法では、3次元空間の点からグラフを簡単にプロットできます。他の方法については触れません。一般に、補間はグラフをプロットするこれらすべての方法の一般的な名前ですが、このアクションを実行できるさまざまな方法により、このアクションの対象となる関数のタイプに応じて、グラフをグループに分割する必要があります。つまり、上記で検討した例である補間は、直接法を指します。逆補間もあります。これは、直接関数ではなく逆関数（つまり、yからx）を計算できるという点で異なります。後者のオプションは非常に難しく、優れた数学的知識ベースが必要なため、考慮しません。

おそらく、最も重要なセクションの1つに移りましょう。それから、私たちが議論している一連の方法が人生のどこでどのように適用されるかを学びます。

応用

ご存知のように、数学は科学の女王です。したがって、最初は特定の操作でポイントがわからなくても、それが役に立たないという意味ではありません。たとえば、補間は役に立たないように思われます。その助けを借りて、グラフしか作成できず、今ではほとんどの人が必要としません。ただし、工学、物理学、およびその他の多くの科学（生物学など）での計算では、特定の値のセットを使用しながら、現象のかなり完全な全体像を提示することが非常に重要です。グラフ全体に散らばっている値自体は、特定の領域での関数の動作、その導関数の値、および軸との交点を常に明確に示しているわけではありません。そして、これは私たちの生活の多くの分野にとって非常に重要です。

そして、それは人生でどのように役立ちますか？

この質問に答えるのは非常に難しい場合があります。しかし、答えは簡単です。まさか。あなたにとって決して役に立たないのはこの知識です。しかし、この資料とこれらのアクションが実行される方法を理解していれば、あなたは自分の論理を実践するでしょう。それは人生で非常に役立つでしょう。主なものは知識そのものではなく、学習の過程で人が身につけるスキルです。結局のところ、「生きて学ぶ」ということわざがあるのは無意味ではありません。

結論

数学は一見したほど難しい科学ではありません。むしろ、おもしろいです。そしてこの記事では、それをあなたに証明しようとしました。プロットに関連する概念を確認し、二重補間とは何かを学び、それが適用される例で説明しました。

内挿は、構築された関数の曲線が使用可能なデータポイントを正確に通過する一種の近似です。

ある複雑な関数を別のより単純な関数で近似することからなる補間に近い問題もあります。一部の関数がパフォーマンスの計算には複雑すぎる場合は、いくつかのポイントでその値を計算し、それらからより単純な関数を作成、つまり補間することができます。もちろん、簡略化された関数を使用しても、元の関数とまったく同じ結果が得られるわけではありません。しかし、問題のいくつかのクラスでは、計算の単純さと速度で達成されたゲインが、結果の結果のエラーを上回る場合があります。

また、演算子補間と呼ばれるまったく異なる種類の数学補間も言及する価値があります。演算子補間に関する古典的な論文には、他の多くの論文の基礎となっているリース・ソリンの定理とマルチンケーヴィッチの定理が含まれます。