無理積分の例の解法。複素数積分

私たちは幸せな学年を覚えています。数学の授業の先駆者たちは、根の研究を始め、まず最初に平方根に精通しました。 NS それらに行こう同じ方法。

例1

不定積分を見つける

被積分関数を分析すると、それは表形式の積分にまったく似ていないという悲しい結論に達します。さて、このすべての良いものが分子にあるとしたら、それは簡単でしょう。または、下部にルートがありません。または多項式。なし 分数を統合する方法どちらも助けないでください。何をすべきか？

無理積分を解く主な方法は、変数を変更することです。これにより、被積分関数のすべての根から私たちを救うことができます。

この置換は少し独特であり、その技術的な実装は、レッスンで説明されている「従来の」置換方法とは異なることに注意してください。 不定積分の置換法.

NS この例交換する必要があります NS = NS 2、つまり、ルートの下の「x」の代わりに、 NS 2.2。なぜ交換はまさにこのようになっているのですか？なぜなら、そして交換の結果として、ルートが消えるからです。

もし私たちが持っていた平方根の代わりに被積分関数にあるなら、私たちは交換を実行したでしょう。もし私がそこにいたら、彼らはそれをやったでしょう。

さて、私たちのものはに変わります。多項式はどうなりますか？困難はありません：もしそうなら、 .

差が何に変わるかを知ることは残っています。これは次のように行われます。

私たちは交換を取り、 両方の部分にディファレンシャルを掛けます:

（可能な限り詳細に記述します）。

解決策は次のようになります。

置き換えましょう： .

（1）代替後、代替を実施します（どのように、何を、どこで、すでに検討済み）。

（2）定数を積分から外します。分子と分母を次のように減らします NS.

（3）結果の積分は表形式です。正方形を選択して、積分の準備をします。

（4）式を使用してテーブルを統合します

（5）逆交換を行います。それはどのように行われますか？私たちは何から踊ったかを覚えています：もしそうなら。

例2

不定積分を見つける

これは、日曜大工のソリューションの例です。完全な解決策とチュートリアルの最後に答えてください。

どういうわけか、例1、2には、単一の微分を持つ「裸の」分子があることが起こりました。状況を修正しましょう。

例3

不定積分を見つける

被積分関数の予備分析は、簡単な方法がないことを再び示しています。したがって、ルートを取り除く必要があります。

置き換えましょう：。

あたり ルートの下のALL式を示します..。前の例からの置き換えは、ここでは適切ではありません（より正確には、それは可能ですが、ルートを取り除くことはできません）。

両方のパーツにディファレンシャルを取り付けます。

分子を整理して。分母をどうするか？

私たちは交換品を受け取り、そこから表現します。

もしそうなら、。

（1）実施した代替に応じて代替を実施します。

（2）分子をとかす。私は定数を積分記号の外に置かないことを好みました（この方法でそれを行うことができます、それは間違いではありません）

（3）分子を量に展開します。繰り返しになりますが、レッスンの最初の段落を読むことを強くお勧めします いくつかの分数の統合..。の合計で分子の拡張を垣間見る無理数十分ですが、このテクニックを実行することは非常に重要です。

（4）分子の項を分母で割ります。

（5）不定積分の線形性を使用します。 2番目の積分では、テーブル上での後続の積分のために正方形を選択します。

（6）テーブル上で統合します。最初の積分は非常に単純です。2番目の積分では、高対数の表形式の式を使用します。 .

（7）逆交換を行います。交換を行った場合は、戻る：。

例4

不定積分を見つける

これは独立したソリューションの例です。前の例を注意深く処理しなかった場合は、間違いを犯してください。完全な解決策とチュートリアルの最後に答えてください。

いくつかの積分同じのようなルーツ

NS。そして、もし被積分関数のルーツにあるならどうするか様々?

例5

不定積分を見つける

したがって、裸の分子には見返りがあります。そのような積分に遭遇すると、通常は怖くなります。しかし、恐れは無駄であり、適切な交換を行った後、被積分関数はより単純になります。課題は、すべてのルートを一度に削除するための正常な置換を行うことです。

異なるルーツが与えられた場合、特定のソリューションスキームに固執すると便利です。

まず、ドラフトに被積分関数を書き出し、すべての根を次の形式で表します。

私たちは興味があります分母度：

無理関数のクラスは非常に広いので、それらを統合する普遍的な方法はあり得ません。この記事では、最も特徴的なタイプの非合理的な被積分関数を強調し、それらを積分の方法に対応させることを試みます。

微分符号を合計する方法を使用することが適切な場合があります。たとえば、フォームの不定積分を見つけるとき、ここで NS有理分数です。

例。

不定積分を見つける .

解決。

それを見るのは難しいことではありません。したがって、微分記号を使用して、不定積分の表を使用します。

答え：

13.分数線形置換

a、b、c、dが実数、a、b、...、d、gが自然数であるタイプの積分は、Kが最小公倍数である置換によって有理関数の積分に還元されます。分数の分母

確かに、置換はそれを意味し、

つまり、xとdxはtの有理関数で表されます。さらに、分数の各累乗は、tの有理関数で表されます。

例33.4..。積分を見つける

解決策：2/3と1/2の分母の最小公倍数は6です。

したがって、x + 2 = t 6、x = t 6 -2、dx = 6t 5 dtとすると、したがって、

例33.5。積分を見つけるための置換を指定します。

解決策：I1の場合は置換x = t 2、I2の場合は置換

14.三角関数での置換

このタイプの積分は、次の三角関数の置換を使用して、三角関数に合理的に依存する関数の積分に縮小されます。x=最初の積分のsint。 x = 2番目の積分のtgt; 3番目の積分の場合。

例33.6。積分を見つける

解決策：x = 2 sin t、dx = 2 cos tdt、t = arcsin x / 2とします。それで

ここで、被積分関数はxとに関する有理関数です。部首の下の完全な正方形を選択し、積分を代入します指定されたタイプのすでに考慮されているタイプの積分、つまりタイプの積分に還元されますこれらの積分は、適切な三角関数を使用して計算できます。

例33.7。積分を見つける

解決策：x 2 + 2x-4 =（x + 1）2 -5なので、x + 1 = t、x = t-1、dx = dtです。したがって入れます

注：タイプの積分置換x = 1 / tを使用して見つけるのが便利です。

15.定積分

関数がセグメントに与えられ、それに不定積分があるとします。違いは呼ばれます 定積分 セグメントに沿って機能し、を示します。それで、

違いは次の形式で書かれます。 ..。数字は 統合の限界 .

たとえば、関数の不定積分の1つ。したがって

16 . cが定数で、関数（x）が可積分である場合、

つまり、定数係数cは、定積分の符号の外側に置くことができます。

▼関数の積分和をƒ（x）で構成してみましょう。我々は持っています：

このことから、関数c（x）は[a; b]および式（38.1）が有効です。▲

2.関数ƒ1（x）とƒ2（x）が[a; b]で積分可能である場合、[a; b]それらの合計u

つまり、合計の積分は積分の合計に等しくなります。

▼
▲

プロパティ2は、任意の有限数の項の合計に拡張されます。

このプロパティは、定義により取得できます。この特性は、ニュートン-ライプニッツの公式によっても確認されます。

4.関数（x）が[a; b]およびa< с < b, то

つまり、セグメント全体の積分は、このセグメントの部分の積分の合計に等しくなります。このプロパティは、定積分の加法性（または加法性プロパティ）と呼ばれます。

セグメント[a; b]を部分に分割する場合、分割点の数に点cを含めます（これは、積分合計の制限がセグメント[a; b]を部分に分割する方法とは無関係であるため実行できます）。）。 c = x mの場合、積分和は2つの和に分割できます。

書き込まれた合計のそれぞれは、セグメント[a; b]、[a; s]および[s; NS]。最後の等式の限界をn→∞（λ→0）として渡すと、等式（38.3）が得られます。

プロパティ4は、点a、b、cの任意の配置に有効です（関数ƒ（x）は、結果の区間の最大値で可積分であると想定しています）。

したがって、たとえば、< b < с, то

（プロパティ4および3が使用されます）。

5.「平均定理」。関数ƒ（x）がセグメント[a; b]、次に薄いcє[a; b]そのような

▼ニュートン・ライプニッツの公式により、

ここで、F "（x）=ƒ（x）。差F（b）-F（a）ラグランジュの定理（関数の有限増分に関する定理）に適用すると、次のようになります。

F（b）-F（a）= F "（c）（b-a）=ƒ（c）（b-a）▲

ƒ（x）≥0のプロパティ5（「平均値の定理」）は単純な幾何学的意味を持ちます：定積分の値は、いくつかのcє（a; b）では、高さƒの長方形の面積です（c）およびベースb-a（図170を参照）。番号

セグメント上の関数ƒ（x）の平均値と呼ばれます[a; NS]。

6.関数ƒ（x）がセグメント[a; b]、ここで< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼「平均値の定理」（特性5）

ここで、cє[a; NS]。そして、すべてのxÎ[a;に対してƒ（x）≥0であるため。 b]、次に

ƒ（c）≥0、b-a> 0。

したがって、ƒ（c）（b-a）≥0、つまり ▲

7.区間[a;の連続関数間の不等式 b]、（a

▼ƒ2（x）-ƒ1（x）≥0なので、< b, согласно свойству 6, имеем

または、プロパティ2によると、

不等式を区別することは不可能であることに注意してください。

8.積分の推定。 mとMがそれぞれ、セグメント上の関数y =ƒ（x）の最小値と最大値である場合[a; b]、（a< b), то

▼任意のxє[a; b]に対して、m≤ƒ（x）≤Мであるため、プロパティ7に従って、次のようになります。

プロパティ5を極値積分に適用すると、次のようになります。

▲

ƒ（x）≥0の場合、プロパティ8は幾何学的に示されます：曲線台形の領域は、底辺がである長方形の領域の間に囲まれ、高さはmとMに等しくなります（図を参照）。 171）。

9.定積分の係数は、被積分関数の係数の積分を超えません。

▼プロパティ7を明らかな不等式に適用-|ƒ（x）|≤ƒ（x）≤|ƒ（x）|、

したがって、次のようになります

▲

10.変数の上限に関する定積分の導関数は、積分の変数がこの限界に置き換えられた被積分関数に等しくなります。

図形の面積を計算することは、面積の理論で最も難しい問題の1つです。学校の幾何学コースでは、円、三角形、ひし形などの基本的な幾何学模様の領域を見つける方法を学びました。ただし、はるかに多くの場合、より複雑な形状の領域の計算を処理する必要があります。そのような問題を解決するとき、人は積分計算に頼らなければなりません。

この記事では、湾曲した台形の面積を計算する問題を検討し、幾何学的な意味でそれにアプローチします。これにより、定積分と湾曲した台形の面積との直接的な関係を見つけることができます。

クラスの数が異なるため、無理方程式を解くための普遍的な方法はありません。この記事では、積分法を使用した置換による方程式の特徴的なタイプに焦点を当てます。

直接積分法を使用するには、タイプ∫kx+ b p d xの不定積分を計算する必要があります。ここで、pは有理分数、kとbは実数係数です。

例1

関数y = 1 3 x-13の不定積分を見つけて計算します。

解決

積分規則によれば、式∫f（kx + b）dx = 1 k F（kx + b）+ Cを適用する必要があり、不定積分の表は、この関数に対する既成の解決策があることを示しています。。私たちはそれを得る

∫dx3x-13 =∫（3 x-1）-1 3 dx = 1 3 1-1 3 + 1（3 x-1）-1 3 + 1 + C = = 1 2（3 x-1 ）2 3 + C

答え：∫dx3x-1 3 = 1 2（3 x-1）2 3 + C。

差記号を付ける方法を使用できる場合があります。これは、pの値が有理分数と見なされる場合に、∫f "（x）・（f（x））p dxの形式の不定積分を見つけるという原理によって解決されます。

例2

不定積分∫3x2+ 5 x 3 + 5 x-7 7 6 dxを見つけます。

解決

d x 3 + 5 x-7 = x 3 + 5 x-7 "d x =（3 x 2 + 5）d x。次に、不定積分の表を使用して微分符号の下で合計する必要があることに注意してください。

∫3x2+ 5 x 3 + 5 x-7 7 6 dx =∫（x 3 + 5 x-7）-7 6（3 x 2 + 5）dx = =∫（x 3 + 5 x-7） --7 6 d（x 3 + 5 x-7）= x 3 + 5 x-7 = z ==∫z-76dz = 1-7 6 + 1 z-7 6 + 1 + C = -6 z --1 6 + C = z = x 3 + 5 x-7 = -6（x 3 + 5 x-7）6 + C

答え：∫3x2+ 5 x 3 + 5 x-7 7 6 d x = -6（x 3 + 5 x-7）6 + C。

不定積分の解は、∫dxx 2 + p x + qの形式の式を提供します。ここで、pとqは実数係数です。次に、ルートの下から完全な正方形を選択する必要があります。私たちはそれを得る

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2-p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q-p 2 4

不定積分の表にある式を適用すると、次のようになります。

∫dxx2±α= ln x + x2±α+ C

次に、積分が計算されます。

∫dxx2+ px + q =∫dxx+ p 2 2 + 4 q-p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q-p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + px + q + C

例3

∫dx2x 2 + 3x-1の形式の不定積分を求めます。

解決

計算するには、2を取り出して、部首の前に配置する必要があります。

∫dx2x 2 + 3 x-1 =∫dx2x 2 + 3 2 x-1 2 =12∫dxx2 + 3 2 x-12

部首式で完全な正方形を選択します。私たちはそれを得る

x 2 + 3 2 x-1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2-3 4 2-1 2 = x + 3 4 2--17 16

次に、12∫dxx2+ 3 2 x --1 2 =12∫dxx+ 3 4 2--17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2x-の形式の不定積分を取得します。 1 2 + C

答え： d x x 2 + 3 x-1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x-1 2 + C

不合理な機能の統合も同様の方法で行われます。 y = 1-x 2 + p x + qの形式の関数に適用できます。

例4

不定積分∫dx-x2+ 4 x +5を見つけます。

解決

まず、ルートの下から式の分母の二乗を導出する必要があります。

∫dx-x2+ 4 x + 5 =∫dx-x2-4x-5 ==∫dx-x2-4x + 4-4-5 =∫dx--x-22-9 =∫dx -（x-2）2 + 9

表形式の積分は∫dxa2-x2= arc sin xa + Cであり、∫dx-x2 + 4 x + 5 =∫dx-（x-2）2 + 9 = arc sin x-2 3 + C

答え：∫dx-x2+ 4 x + 5 = a r c sin x-2 3 + C。

y = M x + N x 2 + px + qの形式の原始的な無理関数を見つけるプロセス。ここで、利用可能なM、N、p、qは実数の係数であり、これらはの最も単純な分数の積分に似ています。 3番目のタイプ。この変換にはいくつかの段階があります。

表形式の数式を使用して、ルートの下の差分を合計し、ルートの下の式の完全な正方形を強調表示します。

例5

不定積分y = x + 2 x 2-3 x +1を見つけます。

解決

条件から、d（x 2-3 x + 1）=（2 x-3）dxおよびx + 2 = 1 2（2 x-3）+ 7 2、次に（x + 2）dx = 1 2（2 x-3）+ 7 2 dx = 1 2 d（x 2-3 x + 1）+ 7 2dx。

積分を計算します：∫x+ 2 x 2-3 x + 1 dx =12∫d（x 2-3 x + 1）x 2-3 x + 1 +72∫dxx2-3x+ 1 = = 12∫（x 2-3 x + 1）-1 2 d（x 2-3 x + 1）+72∫dxx-322-54 = = 1 2 1-1 2 + 1 x 2- 3 x + 1-1 2 + 1 + 7 2 ln x-3 2 + x-3 2-5 4 + C = = x 2-3 x + 1 + 7 2 ln x-3 2 + x 2-3 x + 1 + C

答え：∫x+ 2 x 2-3 x + 1 d x = x 2-3 x + 1 + 7 2 ln x-3 2 + x 2-3 x + 1 + C。

関数∫xm（a + b x n）p d xの不定積分の検索は、置換法を使用して実行されます。

解決するには、新しい変数を導入する必要があります。

数pが整数の場合、x = z Nであり、Nはm、nの最小公分母です。
m + 1 nが整数の場合、a + b x n = z Nであり、Nはpの分母です。
m + 1 n + pが整数の場合、変数a x --n + b = z Nを入力する必要があり、Nはpの分母です。

例6

定積分∫1x2x-9 dxを見つけます。

解決

∫1x2x-9 d x =∫x-1・（-9 + 2 x 1）-1 2 dxであることがわかります。したがって、m = -1、n = 1、p = --1 2となり、m + 1 n = --1 + 1 1 = 0は整数になります。 --9 + 2 x = z2の形式の新しい変数を入力できます。 xからzまでを表現する必要があります。出力で、私たちはそれを取得します

9 + 2 x =z2⇒x= z 2 +92⇒dx= z 2 + 9 2 "d z = z d z-9 + 2 x = z

与えられた積分を代入する必要があります。私たちはそれを持っています

∫dxx2 x-9 =∫zdzz 2 + 9 2 z =2∫dzz2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x-9 3 + C

答え：∫dxx2 x-9 = 2 3 a r c c t g 2 x-9 3 + C。

無理方程式の解を単純化するために、基本的な積分法が使用されます。

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下 不合理独立変数%% x %%または多項式%% P_n（x）%%の次数%% n \ in \ mathbb（N）%%が符号の下に含まれている式を理解する ラジカル（ラテン語から基数-ルート）、つまり分数の累乗になります。 %% x %%に関して不合理な被積分関数のいくつかのクラスは、変数を新しい変数に関して有理式に変更することによって減らすことができます。

1つの変数の有理関数の概念は、いくつかの引数に拡張できます。関数の値を計算するときに各引数%% u、v、\ dotc、w %%に対して、算術演算と整数乗のみが提供される場合、これらの引数の有理関数について説明します。これは通常、 %% R（u、v、\ dotc、w）%%で表されます。このような関数の引数は、それ自体が独立変数%% x %%の関数であり、%% \ sqrt [n]（x）、n \ in \ mathbb（N）%%などの部首を含みます。たとえば、有理関数$$ R（u、v、w）= \ frac（u + v ^ 2）（w）$$ for %% u = x、v = \ sqrt（x）%%および%% w = \ sqrt（x ^ 2 + 1）%%は有理関数$$ R \ left（x、\ sqrt（x）、\ sqrt（x ^ 2 + 1）\ right）= \ frac（x + \ sqrt（x ^ 2））（\ sqrt（x ^ 2 + 1））= f（x）$$ from %% x %%および部首%% \ sqrt（x）%%および%% \ sqrt（x ^ 2 + 1）%%、関数%% f（x）%%は、1つの独立変数%% x %%の非有理（代数）関数になります。

%% \ int R（x、\ sqrt [n]（x））\ mathrm（d）x %%の形式の積分を考えてみましょう。このような積分は、変数%% t = \ sqrt [n]（x）%%を変更し、次に%% x = t ^ n、\ mathrm（d）x = nt ^（n-1）%%を変更することによって合理化されます。

例1

%% \ displaystyle \ int \ frac（\ mathrm（d）x）（\ sqrt（x）+ \ sqrt（x））%%を検索します。

必要な引数の被積分関数は、次数%% 2 %%および%% 3 %%の部首の関数として記述されます。数値の最小公倍数%% 2 %%および%% 3 %%は%% 6 %%に等しいため、この積分はタイプ%% \ int R（x、\ sqrt（x））の積分です。 \ mathrm（d）x %%であり、%% \ sqrt（x）= t %%を置き換えることで合理化できます。次に、%% x = t ^ 6、\ mathrm（d）x = 6t \ mathrm（d）t、\ sqrt（x）= t ^ 3、\ sqrt（x）= t ^ 2 %%。したがって、$$ \ int \ frac（\ mathrm（d）x）（\ sqrt（x）+ \ sqrt（x））= \ int \ frac（6t ^ 5 \ mathrm（d）t）（t ^ 3 + t ^ 2）= 6 \ int \ frac（t ^ 3）（t + 1）\ mathrm（d）t。 $$ Take %% t + 1 = z、\ mathrm（d）t = \ mathrm（d）z、z = t + 1 = \ sqrt（x）+ 1 %%および$$ \ begin（array）（ll ）\ int \ frac（\ mathrm（d）x）（\ sqrt（x）+ \ sqrt（x））＆= 6 \ int \ frac（（z-1）^ 3）（z）\ mathrm（d） t = \\＆= 6 \ int z ^ 2 dz -18 \ int z \ mathrm（d）z + 18 \ int \ mathrm（d）z -6 \ int \ frac（\ mathrm（d）z）（z ）= \\＆= 2z ^ 3-9 z ^ 2 + 18z -6 \ ln | z | + C = \\＆= 2 \左（\ sqrt（x）+ 1 \右）^ 3-9 \左（\ sqrt（x）+ 1 \右）^ 2 + \\＆+ 〜18 \左（ \ sqrt（x）+ 1 \ right）-6 \ ln \ left | \ sqrt（x）+ 1 \ right | + C \ end（配列）$$

%% \ int R（x、\ sqrt [n]（x））\ mathrm（d）x %%の形式の積分は、線形分数非合理性の特殊なケースです。 %% \ displaystyle \ int R \ left（x、\ sqrt [n]（\ dfrac（ax + b）（cd + d））\ right）\ mathrm（d）x %%の形式の積分、ここで%% ad-bc \ neq 0 %%、これは変数%% t = \ sqrt [n]（\ dfrac（ax + b）（cd + d））%%を変更することで合理化でき、次に%% x = \ dfrac （dt ^ n --b）（a --ct ^ n）%%。次に、$$ \ mathrm（d）x = \ frac（n t ^（n-1）（ad --bc））（\ left（a --ct ^ n \ right）^ 2）\ mathrm（d）t。 $$

例2

%% \ displaystyle \ int \ sqrt（\ dfrac（1 -x）（1 + x））\ dfrac（\ mathrm（d）x）（x + 1）%%を検索します。

%% t = \ sqrt（\ dfrac（1 -x）（1 + x））%%、次に%% x = \ dfrac（1-t ^ 2）（1 + t ^ 2）%%、$ $ \ begin（array）（l）\ mathrm（d）x =-\ frac（4t \ mathrm（d）t）（\ left（1 + t ^ 2 \ right）^ 2）、\\ 1 + x = \ frac（2）（1 + t ^ 2）、\\ \ frac（1）（x + 1）= \ frac（1 + t ^ 2）（2）。 \ end（array）$$したがって、$$ \ begin（array）（l）\ int \ sqrt（\ dfrac（1 -x）（1 + x））\ frac（\ mathrm（d）x）（x + 1 ）= \\ = \ frac（t（1 + t ^ 2））（2）\ left（-\ frac（4t \ mathrm（d）t）（\ left（1 + t ^ 2 \ right）^ 2） \ right）= \\ = -2 \ int \ frac（t ^ 2 \ mathrm（d）t）（1 + t ^ 2）= \\ = -2 \ int \ mathrm（d）t + 2 \ int \ frac（\ mathrm（d）t）（1 + t ^ 2）= \\ = -2t + \ text（arctg）〜t + C = \\ = -2 \ sqrt（\ dfrac（1 -x）（1 + x））+ \ text（arctg）〜\ sqrt（\ dfrac（1 -x）（1 + x））+ C. \ end（array）$$

%% \ int R \ left（x、\ sqrt（ax ^ 2 + bx + c）\ right）\ mathrm（d）x %%の形式の積分を考えます。最も単純なケースでは、完全な正方形を分離した後、変数を変更すると、そのような積分は表形式の積分になります。

例3

積分%% \ displaystyle \ int \ dfrac（\ mathrm（d）x）（\ sqrt（x ^ 2 + 4x + 5））%%を見つけます。

%% x ^ 2 + 4x + 5 =（x + 2）^ 2 + 1 %%を考慮して、%% t = x + 2、\ mathrm（d）x = \ mathrm（d）t %%、次に$$ \ begin（array）（ll）\ int \ frac（\ mathrm（d）x）（\ sqrt（x ^ 2 + 4x + 5））＆= \ int \ frac（\ mathrm（d）t）（\ sqrt（t ^ 2 + 1））= \\＆= \ ln \左| t + \ sqrt（t ^ 2 + 1）\右| + C = \\＆= \ ln \左| x + 2 + \ sqrt（x ^ 2 + 4x + 5）\右| + C. \ end（配列）$$

より難しいケースでは、%% \ int R \ left（x、\ sqrt（ax ^ 2 + bx + c）\ right）\ mathrm（d）x %%の形式の積分を見つけるために使用されます

変数の無理数関数は、加算、減算、乗算（整数乗）、除算、および根の抽出の有限数の演算を使用して、変数と任意の定数から形成される関数です。無理関数は、根を抽出するための演算が含まれているという点で、有理関数とは異なります。

無理関数には主に3つのタイプがあり、その不定積分は有理関数の積分に還元されます。これらは、線形分数関数からの任意の整数度の根を含む積分です（根は異なる次数である可能性がありますが、同じ線形分数関数からのものです）。微分二項式の積分と二乗三項式の平方根を持つ積分。

重要な注意点。ルーツが曖昧！

根を含む積分を計算するとき、形式の式に遭遇することがよくあります。ここで、は積分変数の関数です。それを心に留めておく必要があります。つまり、t>の場合 0、| t | = t..。 tで< 0、| t | = -t。したがって、このような積分を計算するときは、t>の場合を個別に考慮する必要があります。 0 およびt< 0 ..。これは、標識を書くか、必要に応じて行うことができます。上の記号がケースt>を参照していると仮定します。 0 、および下の方-ケースtに< 0 ..。さらに変化すると、これらの兆候は、原則として、互いに打ち消し合います。

被積分関数と積分の結果を複素変数の複素関数と見なすことができる2番目のアプローチも可能です。そうすると、急進的な表現の兆候をたどることができなくなります。このアプローチは、被積分関数が分析的である場合、つまり複素変数の微分可能関数である場合に適用できます。この場合、被積分関数とその積分の両方が多値関数です。したがって、積分後、数値を代入する場合は、被積分関数の単一値分岐（リーマン面）を選択し、そのために積分結果の対応する分岐を選択する必要があります。

フラクショナル線形非合理性

これらは、同じ線形分数関数の根を持つ積分です。
,
ここで、Rは有理関数、は有理数、m 1、n 1、...、m s、n sは整数、α、β、γ、δは実数です。
このような積分は、次のように代入することで有理関数の積分になります。
、ここで、nは数値r 1、...、rsの最小公分母です。

根は必ずしも線形分数関数からのものである必要はありませんが、線形関数からのものである場合もあります（γ= 0、δ= 1）、または積分変数x（α= 1、β= 0、γ= 0、δ= 1).

このような積分の例を次に示します。
, .

微分二項式の積分

微分二項式の積分は次のとおりです。
,
ここで、m、n、pは有理数、a、bは実数です。
このような積分は、3つの場合に有理関数の積分になります。

1）pが整数の場合。代入x = t N、ここでNは分数mとnの最小公分母です。
2）もし-全体。代入ax n + b = t M、ここでMはpの分母です。
3）もし-全体。代入a + b x --n = t M、ここでMはpの分母です。

他の場合では、そのような積分は初等関数の観点から表現されていません。

このような積分は、還元公式を使用して簡略化できる場合があります。
;
.

二乗三項式の平方根を含む積分

このような積分は次の形式です。
,
ここで、Rは有理関数です。このような積分ごとにいくつかの解法があります。
1) 変換の助けを借りて、より単純な積分に導きます。
2) 三角関数または双曲線の置換を適用します。
3) オイラー置換を適用します。

これらの方法を詳しく見てみましょう。

1）被積分関数の変換

式を適用し、代数変換を実行して、被積分関数を次の形式にします。
,
ここで、φ（x）、ω（x）は有理関数です。

タイプI

フォームの統合：
,
ここで、P n（x）は次数nの多項式です。

このような積分は、アイデンティティを使用した未定義の係数の方法によって検出されます。

.
この方程式を微分し、左辺と右辺を等しくすると、係数Aiが見つかります。

IIタイプ

フォームの統合：
,
ここで、P m（x）は次数mの多項式です。

代入t = （x-α）-1この積分は前のタイプに縮小されます。 m≥nの場合、分数の全体を選択する必要があります。

III型

ここで置換を行います：
.
その後、積分は次の形式になります。
.
さらに、定数α、βは、分母のtでの係数が消えるように選択する必要があります。
B = 0、B 1 = 0。
次に、積分は2つのタイプの積分の合計に分解されます。
,
,
置換によって統合されます：
u 2 = A 1 t 2 + C 1、
v 2 = A 1 + C 1 t-2。