無理数。オンラインの統合ソリューション

下 不合理独立変数%% x %%または多項式%% P_n（x）%%の次数%% n \ in \ mathbb（N）%%が符号の下に含まれている式を理解する ラジカル（ラテン語から基数-ルート）、つまり分数の累乗になります。変数を変更することによって%% x %%に関して不合理である被積分関数のいくつかのクラスは、新しい変数に関して有理式に減らすことができます。

1つの変数の有理関数の概念は、いくつかの引数に拡張できます。関数の値を計算するときに各引数%% u、v、\ dotc、w %%に対して、算術演算と整数乗のみが提供される場合、これらの引数の有理関数について説明します。これは通常、 %% R（u、v、\ dotc、w）%%で表されます。このような関数の引数は、それ自体が独立変数%% x %%の関数であり、%% \ sqrt [n]（x）、n \ in \ mathbb（N）%%などの部首を含みます。たとえば、有理関数$$ R（u、v、w）= \ frac（u + v ^ 2）（w）$$ for %% u = x、v = \ sqrt（x）%%および%% w = \ sqrt（x ^ 2 + 1）%%は有理関数$$ R \ left（x、\ sqrt（x）、\ sqrt（x ^ 2 + 1）\ right）= \ frac（x + \ sqrt（x ^ 2））（\ sqrt（x ^ 2 + 1））= f（x）$$ from %% x %%および部首%% \ sqrt（x）%%および%% \ sqrt（x ^ 2 + 1）%%、関数%% f（x）%%は、1つの独立変数%% x %%の非有理（代数）関数になります。

%% \ int R（x、\ sqrt [n]（x））\ mathrm（d）x %%の形式の積分を考えてみましょう。このような積分は、変数%% t = \ sqrt [n]（x）%%を変更し、次に%% x = t ^ n、\ mathrm（d）x = nt ^（n-1）%%を変更することによって合理化されます。

例1

%% \ displaystyle \ int \ frac（\ mathrm（d）x）（\ sqrt（x）+ \ sqrt（x））%%を検索します。

必要な引数の被積分関数は、次数%% 2 %%および%% 3 %%の部首の関数として記述されます。数値の最小公倍数%% 2 %%および%% 3 %%は%% 6 %%に等しいため、この積分はタイプ%% \ int R（x、\ sqrt（x））の積分です。 \ mathrm（d）x %%であり、%% \ sqrt（x）= t %%を置き換えることで合理化できます。次に、%% x = t ^ 6、\ mathrm（d）x = 6t \ mathrm（d）t、\ sqrt（x）= t ^ 3、\ sqrt（x）= t ^ 2 %%。したがって、$$ \ int \ frac（\ mathrm（d）x）（\ sqrt（x）+ \ sqrt（x））= \ int \ frac（6t ^ 5 \ mathrm（d）t）（t ^ 3 + t ^ 2）= 6 \ int \ frac（t ^ 3）（t + 1）\ mathrm（d）t。 $$ Take %% t + 1 = z、\ mathrm（d）t = \ mathrm（d）z、z = t + 1 = \ sqrt（x）+ 1 %%および$$ \ begin（array）（ll ）\ int \ frac（\ mathrm（d）x）（\ sqrt（x）+ \ sqrt（x））＆= 6 \ int \ frac（（z-1）^ 3）（z）\ mathrm（d） t = \\＆= 6 \ int z ^ 2 dz -18 \ int z \ mathrm（d）z + 18 \ int \ mathrm（d）z -6 \ int \ frac（\ mathrm（d）z）（z ）= \\＆= 2z ^ 3-9 z ^ 2 + 18z -6 \ ln | z | + C = \\＆= 2 \左（\ sqrt（x）+ 1 \右）^ 3-9 \左（\ sqrt（x）+ 1 \右）^ 2 + \\＆+ 〜18 \左（ \ sqrt（x）+ 1 \ right）-6 \ ln \ left | \ sqrt（x）+ 1 \ right | + C \ end（配列）$$

%% \ int R（x、\ sqrt [n]（x））\ mathrm（d）x %%の形式の積分は、線形分数非合理性の特殊なケースです。 %% \ displaystyle \ int R \ left（x、\ sqrt [n]（\ dfrac（ax + b）（cd + d））\ right）\ mathrm（d）x %%の形式の積分、ここで%% ad-bc \ neq 0 %%、変数%% t = \ sqrt [n]（\ dfrac（ax + b）（cd + d））%%を変更することで合理化でき、次に%% x = \ dfrac （dt ^ n --b）（a --ct ^ n）%%。次に、$$ \ mathrm（d）x = \ frac（n t ^（n-1）（ad --bc））（\ left（a --ct ^ n \ right）^ 2）\ mathrm（d）t。 $$

例2

%% \ displaystyle \ int \ sqrt（\ dfrac（1 -x）（1 + x））\ dfrac（\ mathrm（d）x）（x + 1）%%を検索します。

%% t = \ sqrt（\ dfrac（1 -x）（1 + x））%%、次に%% x = \ dfrac（1-t ^ 2）（1 + t ^ 2）%%、$ $ \ begin（array）（l）\ mathrm（d）x =-\ frac（4t \ mathrm（d）t）（\ left（1 + t ^ 2 \ right）^ 2）、\\ 1 + x = \ frac（2）（1 + t ^ 2）、\\ \ frac（1）（x + 1）= \ frac（1 + t ^ 2）（2）。 \ end（array）$$したがって、$$ \ begin（array）（l）\ int \ sqrt（\ dfrac（1 -x）（1 + x））\ frac（\ mathrm（d）x）（x + 1 ）= \\ = \ frac（t（1 + t ^ 2））（2）\ left（-\ frac（4t \ mathrm（d）t）（\ left（1 + t ^ 2 \ right）^ 2） \ right）= \\ = -2 \ int \ frac（t ^ 2 \ mathrm（d）t）（1 + t ^ 2）= \\ = -2 \ int \ mathrm（d）t + 2 \ int \ frac（\ mathrm（d）t）（1 + t ^ 2）= \\ = -2t + \ text（arctg）〜t + C = \\ = -2 \ sqrt（\ dfrac（1 -x）（1 + x））+ \ text（arctg）〜\ sqrt（\ dfrac（1 -x）（1 + x））+ C. \ end（array）$$

%% \ int R \ left（x、\ sqrt（ax ^ 2 + bx + c）\ right）\ mathrm（d）x %%の形式の積分を考えてみましょう。最も単純なケースでは、完全な正方形を分離した後、変数を変更すると、そのような積分は表形式の積分になります。

例3

積分%% \ displaystyle \ int \ dfrac（\ mathrm（d）x）（\ sqrt（x ^ 2 + 4x + 5））%%を見つけます。

%% x ^ 2 + 4x + 5 =（x + 2）^ 2 + 1 %%を考慮して、%% t = x + 2、\ mathrm（d）x = \ mathrm（d）t %%、次に$$ \ begin（array）（ll）\ int \ frac（\ mathrm（d）x）（\ sqrt（x ^ 2 + 4x + 5））＆= \ int \ frac（\ mathrm（d）t）（\ sqrt（t ^ 2 + 1））= \\＆= \ ln \左| t + \ sqrt（t ^ 2 + 1）\右| + C = \\＆= \ ln \左| x + 2 + \ sqrt（x ^ 2 + 4x + 5）\右| + C. \ end（配列）$$

より難しいケースでは、%% \ int R \ left（x、\ sqrt（ax ^ 2 + bx + c）\ right）\ mathrm（d）x %%の形式の積分を見つけるために使用されます

変数の無理数関数は、変数と任意の定数から、有限数の加算、減算、乗算（整数乗）、除算、および根の抽出を使用して形成される関数です。無理関数は、根を抽出するための演算が含まれているという点で、有理関数とは異なります。

無理関数には主に3つのタイプがあり、その不定積分は有理関数の積分に還元されます。これらは、線形分数関数からの任意の整数度の根を含む積分です（根は異なる次数である可能性がありますが、同じ線形分数関数からのものです）。微分二項式の積分と二乗三項式の平方根を持つ積分。

重要な注意点。ルーツが曖昧！

根を含む積分を計算するとき、形式の式に遭遇することがよくあります。ここで、は積分変数の関数です。それを心に留めておく必要があります。つまり、t>の場合 0、| t | = t..。 tで< 0、| t | = -t。したがって、このような積分を計算するときは、t>の場合を個別に考慮する必要があります。 0 およびt< 0 ..。これは、標識を書くか、必要に応じて行うことができます。上の記号がケースt>を参照していると仮定します。 0 、および下の方-ケースtに< 0 ..。さらに変化すると、これらの兆候は、原則として、互いに打ち消し合います。

被積分関数と積分の結果を複素変数の複素関数と見なすことができる2番目のアプローチも可能です。そうすると、急進的な表現の兆候をたどることができなくなります。このアプローチは、被積分関数が分析的である場合、つまり複素変数の微分可能関数である場合に適用できます。この場合、被積分関数とその積分の両方が多値関数です。したがって、統合後、置換数値、被積分関数の単一値分岐（リーマン面）を選択する必要があり、そのために積分結果の対応する分岐を選択します。

フラクショナル線形非合理性

これらは、同じ線形分数関数の根を持つ積分です。
,
ここで、Rは有理関数、は有理数、m 1、n 1、...、m s、n sは整数、α、β、γ、δは実数です。
このような積分は、次のように代入することで有理関数の積分になります。
、ここで、nは数値r 1、...、rsの最小公分母です。

根は必ずしも線形分数関数からのものである必要はありませんが、線形関数からのものである場合もあります（γ= 0、δ= 1）、または積分変数x（α= 1、β= 0、γ= 0、δ= 1).

このような積分の例を次に示します。
, .

微分二項式の積分

微分二項式の積分は次のとおりです。
,
ここで、m、n、pは有理数、a、bは実数です。
このような積分は、3つの場合に有理関数の積分になります。

1）pが整数の場合。代入x = t N、ここでNは分数mとnの最小公分母です。
2）もし-全体。代入ax n + b = t M、ここでMはpの分母です。
3）もし-全体。代入a + b x --n = t M、ここでMはpの分母です。

他の場合では、そのような積分は次のように表現されません初等関数.

このような積分は、還元公式を使用して簡略化できる場合があります。
;
.

二乗三項式の平方根を含む積分

このような積分は次の形式です。
,
ここで、Rは有理関数です。このような積分ごとにいくつかの解法があります。
1) 変換の助けを借りて、より単純な積分に導きます。
2) 三角関数または双曲線の置換を適用します。
3) オイラー置換を適用します。

これらの方法を詳しく見てみましょう。

1）被積分関数の変換

式を適用し、代数変換を実行して、被積分関数を次の形式にします。
,
ここで、φ（x）、ω（x）は有理関数です。

タイプI

フォームの統合：
,
ここで、P n（x）は次数nの多項式です。

このような積分は、アイデンティティを使用した未定義の係数の方法によって検出されます。

.
この方程式を微分し、左辺と右辺を等しくすると、係数Aiが見つかります。

IIタイプ

フォームの統合：
,
ここで、P m（x）は次数mの多項式です。

代入t = （x-α）-1この積分は前のタイプに縮小されます。 m≥nの場合、分数の全体を選択する必要があります。

III型

ここで置換を行います：
.
次に、積分は次の形式になります。
.
さらに、定数α、βは、分母のtでの係数が消えるように選択する必要があります。
B = 0、B 1 = 0。
次に、積分は2つのタイプの積分の合計に分解されます。
,
,
置換によって統合されます：
u 2 = A 1 t 2 + C 1、
v 2 = A 1 + C 1 t-2。

2）三角関数と双曲線の置換

フォームの積分の場合、 > 0 ,
3つの主要な代替があります：
;
;
;

積分の場合、 > 0 ,
次の置換があります。
;
;
;

そして最後に、積分については、 > 0 ,
置換は次のとおりです。
;
;
;

3）オイラー置換

また、積分は、3つのオイラー置換のうちの1つの有理関数の積分に減らすことができます。
、> 0の場合;
、c> 0の場合;
、ここで、x1は方程式ax 2 + b x + c = 0の根です。この方程式に実数の根がある場合。

楕円積分

結論として、次の形式の積分を検討してください。
,
ここで、Rは有理関数です。このような積分は楕円と呼ばれます。一般に、それらは初等関数の観点から表現されていません。ただし、係数A、B、C、D、Eの間に、そのような積分が初等関数で表される関係がある場合があります。

以下は、戻り多項式に関連する例です。このような積分の計算は、置換を使用して実行されます。
.

例

積分を計算します。
.

解決

代用します。

.
ここで、x> 0 （u> 0 ）大文字の「+」を取ります。 xの場合< 0 （u< 0 ） - 低い ' - '。

答え

参照：
N.M. ガンサー、R.O。クズミン、問題集高等数学、「Doe」、2003年。

このセクションでは、有理関数を統合する方法について検討します。 7.1。簡単な情報有理関数について最も単純な有理関数は、ti次の多項式です。が実定数であり、a0Φ0である形式の関数。係数a0 = 1 "である多項式Qn（x）は縮小と呼ばれます。 Qn（b）= 0の場合、実数bは多項式Qn（z）の根と呼ばれます。実係数を持つ各多項式Qn（x）は、p、qが次の形式の実数因子に一意に分解されることが知られています。実数係数、および2次因子には実数の根がないため、実数の線形因子に分解できません。同じ因数分解（もしあれば）を組み合わせて、簡単にするために、多項式Qn（x）が減少したと仮定すると、その因数分解を自然数である形式で書くことができます。多項式の次数Qn（x）はnに等しいので、すべての指数ui、...、qの2倍の合計を加算したすべての指数a、/ 3、...、Aの合計は次のようになります。 n：多項式のルートaは、a = 1の場合は単純または単一と呼ばれ、a> 1の場合は複数と呼ばれます。数aはルートaの多重度と呼ばれます。同じことが多項式の他の根にも当てはまります。有理関数f（x）または有理分数は、2つの多項式の比率であり、多項式Pm（x）とQn（x）には共通の因子がないと想定されます。分子の多項式の次数が分母の多項式の次数よりも小さい場合、つまり有理分数は正しいと呼ばれます。 mnの場合、有理分数は正しくないと呼ばれます。この場合、多項式の除算の規則に従って分子を分母で除算すると、いくつかの多項式がある形式で表すことができます。^^は通常の有理分数です。。例1.有理分数は不規則な分数です。「コーナー」で割ると、結果的になります。ここに。そして通常の分数。意味。最も単純な（または基本的な）分数は、次の4つのタイプの有理数です。ここで、は実数、kは2以上の自然数、二乗三項x2 + px + qには実数の根がないため、- 2 _2はその判別式です代数では、次の定理が証明されています。定理3.実係数を持つ通常の有理分数。その分母は規則に従って独自の方法で基本分数の合計に分解されます。有理関数の統合有理関数に関する簡単な情報基本分数の統合一般的なケース不合理関数の積分オイラーの最初の置換オイラーの2番目の置換3番目のオイラーの置換この展開には、いくつかの実定数があり、そのいくつかはゼロに等しい場合があります。これらの定数を見つけるために、等式（I）の右辺を最小公分母に減らし、次に、左辺と右辺の分子のxの同じ累乗での係数を等しくします。これにより、線形方程式系が得られ、そこから目的の定数が見つかります。 ..。未知の定数を見つけるこの方法は、未定義の係数の方法と呼ばれます。未知の定数を見つけるために別の方法を適用する方が便利な場合があります。これは、分子を等式化した後、xに関するアイデンティティが取得され、たとえば、引数xにいくつかの値が割り当てられるという事実にあります。根の値。その結果、定数を見つけるための方程式が得られます。分母Q„（x）が実際の単純な根しかない場合は特に便利です。例2.有理分数を単純分数に展開するこの分数は規則的です。分母を食べた因子に分解します。分母の根は実数で異なるため、式（1）に基づいて、分数を最も単純なものに分解すると、係数Aの未知数の形式になります。2？、Cは2つの方法で見つかります。最初の方法。 xの同じ累乗で係数を等しくします。（自由期間）で、アイデンティティの左側と右側で、次のようになります。線形システム未知の係数を見つけるための方程式A、B、C：このシステムには独自の解Cがあります。分母の根がi0でstvに引き裂かれているため、Tekは2 = 2Aになり、A * 1になります。 r i 1、-1 * -B、wherece 5 * 1を取得します。 x i 2、2 = 2Cを取得します。 whenceС»1であり、必要な分解は3の形式になります。最も単純な分数ではない有理分数4を復元します。enayewleにある多項式を次の因子に分解します。分母には2つの異なる二重根があります：多重度3のx \ = 0したがって、この分数の展開は単純ではありません。右側最小公分母に、私たちはまたは最初の方法を見つけます。最後のアイデンティティの左側と右側のxの同じ累乗で係数を等しくします。線形連立方程式が得られます。このシステムには独自の解があり、必要な展開は2番目の方法になります。結果のアイデンティティでは、x = 0に設定すると、1 a A2、またはA2 = 1が得られます。 field * gay x = -1、-3 i B）、またはBj i-3を取得します。係数A \およびB）aの見つかった値を代入する場合、アイデンティティは次の形式を取ります。またはx = 0と仮定し、次にx = -Iとします。 = 0、B2 = 0および。したがって、B \ = 0です。したがって、再び例4を取得します。有理分数を基本分数に展開します。4関数x2 + 1はxの実数値に対して消えないため、分数の分母には実根がありません。。したがって、最も単純な分数への展開は、次の形式になります。これから、またはを取得します。最後の等式の左側と右側のxのSshinak乗での係数を等しくすると、どこから見つけるかがわかります。したがって、場合によっては、次のように動作することで、単純な分数への展開をより速く簡単に取得できることに注意してください。他の方法で、不定係数の方法を使用せずに。たとえば、例3の分数の展開を取得するには、分子Zx2で加算と減算を行い、以下に示すように除算を実行します。 7.2。基本分数の積分上記のように、不規則な有理分数は、多項式と通常の有理分数の合計として表すことができ（§7）、この表現は一意です。多項式の積分は難しくないので、通常の有理分数の積分の問題を検討します。通常の有理分数は最も単純な分数の合計として表すことができるため、その積分は最も単純な分数の積分に還元されます。ここで、それらの統合の問題について考えてみましょう。 III。 3番目のタイプの最も単純な分数の積分を見つけるために、二項式の完全な二乗を二項式から選択しましょう。第2項以降、a2に等しく設定し、ここで置換を行います。次に、与えられた線形プロパティ積分、次のようになります。例5.積分を見つける4三項式x1 + Ax + 6には実数の根がないため、被積分関数は3番目のタイプの最も単純な分数です（判別式は負です：、分子には多項式が含まれます）。したがって、次のように進めます。1）分母で完全な正方形を選択します。2）* odim積分で置換（ここでは3）を行います。4番目のタイプの最も単純な分数の積分を見つけるには、次のようにします。上記のように、。次に、右側の積分を取得し、それをAで示し、次のように変換します。右側の積分を部分積分、設定場所、または有理関数の統合有理関数の簡単な情報単純な統合分数一般的な場合不合理関数の積分最初のオイラー置換2番目のオイラー置換3番目の置換オイラーいわゆる反復式が得られました。これにより、任意のk = 2、3、...の積分Jkを見つけることができます。確かに、積分J \は表形式です。漸化式で、A = 3を知って設定すると、Jjを簡単に見つけることができます。最終結果では、tとaの代わりに、xと係数pとqに関する式をどこにでも代入して、初期積分に対して、xと与えられた数M、AH、p、qに関する式を取得します。例8.Neyti積分「二乗三項式の判別式が負であるため、積分可能な関数は4番目のタイプの最も単純な分数です。したがって、分母には実数の根がなく、分子は1次の多項式です。 1）分母で完全な正方形を選択します2）置換を行います：積分は次の形式になります：繰り返し式* = 2、a3 = 1と仮定すると、次のようになり、したがって、必要な積分は等しくなります。変数xに戻ると、最終的に7.3になります。一般的なケースセクションの結果から。このセクションの1と2は、重要な定理の直後に続きます。定理！ 4.有理関数の不定積分は常に存在し（分数Qn（x）Φ0の分母が存在する間隔で）、有限数の初等関数で表されます。つまり、その代数和です。メンバーは、乗算、有理分数、自然対数、およびアークタンジェントのみが可能です。したがって、分数有理関数の不定積分を見つけるには、次のように進める必要があります。1）有理分数が正しくない場合、分子を分母で割ると、部分全体が選択されます。つまり、この関数は次のように表されます。多項式と通常の有理分数の合計として。 2）次に、得られた正しい分数の分母が線形係数と2次係数の積に分解されます。 3）この通常の分数は、最も単純な分数の合計に分解されます。 4）積分の線形性とpの式を使用します。 2、各項の積分は別々に見つかります。例7.積分を見つけるМ分母は3番目のステップの多項式であるため、被積分関数は不規則な分数です。その中のすべての部分を選び出します：したがって、私たちは持っています。通常の分数の分母は、異なる実数の根のファイを持っています。したがって、単純な分数への展開は、次の形式になります。これから、次のことがわかります。引数xの値を分母の根に等しくすると、このアイデンティティから次のことがわかります。したがって、必要な積分は例8に等しくなります。積分を見つける4被積分関数は通常の分数であり、その分母は次のようになります。 2つの異なる実根：多重度1のх-Оおよび多重度3のх= 1したがって、被積分関数の最も単純な分数への展開は、この等式の右側を共通の分母に持ち込み、この分母による平等、またはを取得します。このアイデンティティの左側と右側のxの同じ累乗での係数を等しくします。ここから、次のことがわかります。展開の係数の見つかった値を代入すると、積分が得られます。例9.積分を見つける4分数の分母には実数の根がありません。したがって、被積分関数の最も単純な分数への展開は、次の形式になります。したがって、このアイデンティティの左側と右側のxの同じ累乗で係数を等しくすると、そこから見つけて、結果として備考が得られます。与えられた例では、被積分関数は、上の最も単純な分数の合計として表すことができます。簡単な方法でつまり、分数の分子で、denominatgleの二項式を選択してから、項ごとの除算を実行します。§8。不合理関数の統合実定数の形式の関数、および例1、関数は、3次の多項式と5次の多項式の両方の関係を表すため、変数zおよびyの有理関数です。機能はイチイではありません。変数が変数xの関数である場合、関数]はサンプル関数の有理関数と呼ばれます。関数はrとpvdikvlvの3行目の有理関数です。形式の関数はxとラジカルy / r1 + 1の有理関数ではありませんが、関数の有理関数です。例が示すように、非合理関数の積分必ずしも基本機能の観点から表現されているわけではありません。たとえば、アプリケーションでよく見られる積分は、初等関数では表現されません。これらの積分は、それぞれ第1種と第2種の楕円積分と呼ばれます。いくつかの置換の助けを借りて、無理関数の統合を有理関数の統合に減らすことができる場合を考えてみましょう。 1. R（x、y）がその引数xとyの有理関数である積分を見つける必要があると仮定します。 m£2-自然数; a、6、c、dは、ad --bc> 0の条件を満たす実定数です（ad --be = 0の場合、係数aとbは係数cとdに比例するため、比率はxに依存しません。したがって、、この場合、被積分関数は変数xの有理関数になり、その積分は以前に検討されました）。を設定して、この積分の変数を変更しましょう。したがって、変数xを新しい変数で表します。x= -tの有理関数です。さらに、単純化した後、またはを見つけます。したがって、A1（t）は*の有理関数です。これは、有理関数の有理関数と有理関数の積が有理関数であるためです。有理関数を統合する方法を知っています。次に、必要な積分はAtに等しくなります。 IVIt積分4被積分関数*関数はの有理関数です。したがって、t = Thenを設定します。有理関数の積分有理関数に関する簡単な情報基本分数の積分一般的な場合無理関数の積分最初のオイラー置換2番目のオイラー置換3番目のオイラー置換したがって、Primar5を取得します。積分を見つけるxの分数指数の最小公分母は12であるため、被積分関数は1 _ 1_の形式で表すことができ、次の有理関数であることがわかります。したがって、2。中脳下関数がその中の部首\ / ax2 + bx + cをyで置き換えるような形式の整数を考えて、関数R（x）y）-引数xと両方に関して有理数を取得します。 y。この積分は、オイラーの代入によって別の変数の有理関数の積分に還元されます。 8.1。オイラーの最初の置換係数a> 0とします。または、xをの有理関数として見つけます。したがって、示された置換は*を介して有理的に表現されます。したがって、どこに備考があります。最初のオイラー置換は、例6の形式で取得することもできます。積分を見つけるしたがって、dxオイラー置換があり、Y8.2であることを示します。オイラーの2番目の代入。三項式ax2 + bx + cが異なる実数根λ]とx2を持つようにします（係数は任意の符号を持つことができます）。この場合、次のように仮定します。x、dxn y / ax2 + be + cはtで合理的に表されるため、元の積分は有理関数の積分に還元されます。つまり、ここで問題が発生します。最初のオイラー置換を使用して、それがtの有理関数であることを示します。例7.Neyti積分dxM関数] -x1には異なる実根があります。したがって、2番目の置換をオイラーに適用します。ここから、見つかったカットアウトをGiven？に代入します。 8.3を取得します。オイラーの3番目の変電所係数c> 0とします。設定して変数を変更します。 1番目と2番目のオイラー置換は、積分を有理関数の積分に減らすのに十分であることに注意してください。実際、判別式b2 -4ac> 0の場合、二乗三項式ax + bx + cの根は実数であり、この場合、2番目のオイラー置換が適用可能です。の場合、三項式ax2 + bx + cの符号が係数aの符号と一致し、三項式は正でなければならないため、a> 0です。この場合、最初のオイラー置換が適用されます。上記のタイプの積分を見つけるために、オイラー置換を使用することは常に推奨されるわけではありません。オイラー置換の場合、目標に早くつながる他の積分方法も見つかるからです。これらの積分のいくつかを考えてみましょう。 1.形式の積分を見つけるには、三項式の二乗から長い二乗を選択します。その後、代入を行い、係数aとPの符号が異なるか、両方とも正である場所を取得します。の場合、および> 0の場合、積分は対数になりますが、逆にアークサインになります。で。 imtegrel4を見つけてください。 Prmmar9を取得すると仮定します。 x-を入力すると、2になります。フォームの積分は、次のように項目1から積分yに縮小されます。導関数（） "= 2を考慮して、分子でそれを選択します。4分子でラジカル式の導関数を明らかにします。（xなので、例9、3の結果を考慮に入れると、次のようになります。。P„（x）が多項式のn次である形式の積分は、次の要素で構成される未定義の係数の方法で見つけることができます。等式が例10に当てはまると仮定します。 s）は、未定義の係数を持つ（n --1）次数の多項式です。未知の係数を見つけるには|（1）の両側を微分します。次に、等式（2）の右辺は、の分母に等しい共通の分母に還元されます。左側、つまり両側が次数nの多項式です。（3）の左側と右側のxの同じ累乗での係数を等しくすると、n + 1の式が得られ、そこから必要な係数j4が見つかります。 *（fc = 0,1,2、...、n（1）の右辺にそれらの値を代入し、積分+сを見つけると、次の答えが得られます。この積分。例11.積分を見つける私たちは等式の両方のスーツを区別することを置きます、私たちは共通の分母に右側を持ってきて、それによって両側をキャンセルします、私たちはアイデンティティを取得しますまたは。 xの同じ累乗で係数を等しくすると、次の方程式が得られます。=次に、等式の右辺に積分が見つかります（4）。したがって、必要な積分は次のようになります。

定義1

特定の区間で定義された、特定の関数$ y = f（x）$のすべての不定積分の集合は、特定の関数$ y = f（x）$の不定積分と呼ばれます。不定積分は、記号$ \ int f（x）dx $で表されます。

定義2は次のように書くことができます。

\ [\ int f（x）dx = F（x）+ C。\]

すべての無理数関数が初等関数の観点から積分を表現できるわけではありません。ただし、これらの積分のほとんどは、初等関数で表すことができる有理関数の積分に置き換えることで減らすことができます。

$ \ int R \ left（x、x ^（m / n）、...、x ^（r / s）\ right）dx $;

$ \ int R \ left（x、\ left（\ frac（ax + b）（cx + d）\ right）^（m / n）、...、\ left（\ frac（ax + b）（cx + d）\ right）^（r / s）\ right）dx $;

$ \ int R \ left（x、\ sqrt（ax ^（2）+ bx + c）\ right）dx $。

NS

$ \ int R \ left（x、x ^（m / n）、...、x ^（r / s）\ right）dx $の形式の積分を見つけるときは、次の置換を実行する必要があります。

この置換により、$ x $の各小数の累乗は、$ t $の整数の累乗で表されます。その結果、被積分関数は変数$ t $の有理関数に変換されます。

例1

統合：

\ [\ int \ frac（x ^（1/2）dx）（x ^（3/4）+1）。\]

解決：

$ k = 4 $は、分数の最小公分母$ \ frac（1）（2）、\、\、\ frac（3）（4）$です。

\ \ [\ begin（array）（l）（\ int \ frac（x ^（1/2）dx）（x ^（3/4）+1）= 4 \ int \ frac（t ^（2））（t ^（3）+1）\ cdot t ^（3）dt = 4 \ int \ frac（t ^（5））（t ^（3）+1）dt = 4 \ int \ left（t ^（ 2）-\ frac（t ^（2））（t ^（3）+1）\ right）dt = 4 \ int t ^（2）dt -4 \ int \ frac（t ^（2））（t ^（3）+1）dt = \ frac（4）（3）\ cdot t ^（3）-）\\（-\ frac（4）（3）\ cdot \ ln | t ^（3）+1 | + C）\ end（配列）\]

\ [\ int \ frac（x ^（1/2）dx）（x ^（3/4）+1）= \ frac（4）（3）\ cdot \ left + C \]

II

$ \ int R \ left（x、\ left（\ frac（ax + b）（cx + d）\ right）^（m / n）、...、\ left（\ frac （ax + b）（cx + d）\ right）^（r / s）\ right）dx $次の置換を実行する必要があります。

ここで、$ k $は、分数の最小公分母$ \ frac（m）（n）、...、\ frac（r）（s）$です。

この置換の結果として、被積分関数は変数$ t $の有理関数に変換されます。

例2

統合：

\ [\ int \ frac（\ sqrt（x + 4））（x）dx。\]

解決：

次の置換を行いましょう：

\ \ [\ int \ frac（\ sqrt（x + 4））（x）dx = \ int \ frac（t ^（2））（t ^（2）-4）dt = 2 \ int \ left（1 + \ frac（4）（t ^（2）-4）\ right）dt = 2 \ int dt +8 \ int \ frac（dt）（t ^（2）-4）= 2t + 2 \ ln \ left | \ frac（t-2）（t + 2）\右| + C \]

逆の交換を行うと、最終結果が得られます。

\ [\ int \ frac（\ sqrt（x + 4））（x）dx = 2 \ sqrt（x + 4）+2 \ ln \ left | \ frac（\ sqrt（x + 4）-2）（\ sqrt（x + 4）+2）\ right | + C. \]

III

$ \ int R \ left（x、\ sqrt（ax ^（2）+ bx + c）\ right）dx $の形式の積分が見つかると、いわゆるオイラー置換が実行されます（3つの可能な置換の1つ）使用されている）。

オイラーの最初の代用

ケース$ a>

$ \ sqrt（a）$の前に「+」記号を付けると、次のようになります。

例3

統合：

\ [\ int \ frac（dx）（\ sqrt（x ^（2）+ c））。\]

解決：

次の置換を行いましょう（ケース$ a = 1> 0 $）：

\ [\ sqrt（x ^（2）+ c）= -x + t、\、\、x = \ frac（t ^（2）-c）（2t）、\、\、dx = \ frac（t ^（2）+ c）（2t ^（2））dt、\、\、\ sqrt（x ^（2）+ c）=-\ frac（t ^（2）-c）（2t）+ t = \ frac（t ^（2）+ c）（2t）。\] \ [\ int \ frac（dx）（\ sqrt（x ^（2）+ c））= \ int \ frac（\ frac（t ^ （2）+ c）（2t ^（2））dt）（\ frac（t ^（2）+ c）（2t））= \ int \ frac（dt）（t）= \ ln | t | + C \]

逆の交換を行うと、最終結果が得られます。

\ [\ int \ frac（dx）（\ sqrt（x ^（2）+ c））= \ ln | \ sqrt（x ^（2）+ c）+ x | + C. \]

オイラーの2番目の代用

$ c> 0 $の場合、次の置換を実行する必要があります。

$ \ sqrt（c）$の前に「+」記号を付けると、次のようになります。

例4

統合：

\ [\ int \ frac（（1- \ sqrt（1 + x + x ^（2）））^（2））（x ^（2）\ sqrt（1 + x + x ^（2）））dx 。\]

解決：

次の置換を行いましょう：

\ [\ sqrt（1 + x + x ^（2））= xt + 1. \]

\ \ [\ sqrt（1 + x + x ^（2））= xt + 1 = \ frac（t ^（2）-t + 1）（1-t ^（2））\] \

$ \ int \ frac（（1- \ sqrt（1 + x + x ^（2）））^（2））（x ^（2）\ sqrt（1 + x + x ^（2）））dx = \ int \ frac（（-2t ^（2）+ t）^（2）（1-t）^（2）（1-t ^（2））（2t ^（2）-2t + 2））（（1-t ^（2））^（2）（2t-1）^（2）（t ^（2）-t + 1）（1-t ^（2））^（2））dt = \ int \ frac（t ^（2））（1-t ^（2））dt = -2t + \ ln \ left | \ frac（1 + t）（1-t）\ right | + C $最終結果：

\ [\ begin（array）（l）（\ int \ frac（（1- \ sqrt（1 + x + x ^（2）））^（2））（x ^（2）\ sqrt（1 + x + x ^（2）））dx = -2 \ cdot \ frac（\ sqrt（1 + x + x ^（2））-1）（x）+ \ ln \ left | \ frac（x + \ sqrt（ 1 + x + x ^（2））-1）（x- \ sqrt（1 + x + x ^（2））+ 1）\ right | + C = -2 \ cdot \ frac（\ sqrt（1 + x + x ^（2））-1）（x）+）\\（+ \ ln \ left | 2x + 2 \ sqrt（1 + x + x ^（2））+ 1 \ right | + C）\終了（配列）\]

オイラーの3番目の置換

私たちは幸せな学年を覚えています。数学の授業の先駆者たちは、根の研究を始め、まず最初に平方根に精通しました。 NS それらに行こう同じ方法。

例1

不定積分を見つける

被積分関数を分析すると、それは表形式の積分にまったく似ていないという悲しい結論に達します。さて、このすべての良いものが分子にあるとしたら、それは簡単でしょう。または、下部にルートがありません。または多項式。なし 分数を統合する方法どちらも助けないでください。何をすべきか？

無理積分を解く主な方法は、変数を変更することです。これにより、被積分関数のすべての根から私たちを救うことができます。

この置換は少し独特であり、その技術的な実装は、レッスンで説明されている「従来の」置換方法とは異なることに注意してください。 不定積分の置換法.

NS この例交換する必要があります NS = NS 2、つまり、ルートの下の「x」の代わりに、 NS 2.2。なぜ交換はまさにこのようになっているのですか？なぜなら、そして交換の結果として、ルートが消えるからです。

被積分関数にある平方根の代わりに、置換を行います。もし私がそこにいたら、彼らはそれをやったでしょう。

さて、私たちのものはに変わります。多項式はどうなりますか？困難はありません：もしそうなら、 .