Matrisin adım adım forma dönüştürülmesi. Çapraz matrisler. Vektörlerin doğrusal bağımlılığı kriteri

Tanım

Kare matris denir diyagonal, eğer ana köşegenin dışında bulunan tüm elemanları sıfıra eşitse.

Yorum. Matrisin köşegen elemanları (yani ana köşegendeki elemanlar) da sıfır olabilir.

Örnek

Tanım

Skaler tüm köşegen elemanları birbirine eşit olan matrise köşegen matris denir.

Yorum. Sıfır matrisi kare ise, o zaman aynı zamanda skalerdir.

Örnek

Tanım

Kimlik matrisi köşegen elemanları 1'e eşit olan skaler bir matristir.

Yorum. Gösterimi kısaltmak için birim matrisin sırası çıkarılabilir; bu durumda birim matrisi basitçe ile gösterilir.

Örnek

ikinci dereceden bir birim matristir.

2.10. Matrisin köşegen forma indirgenmesi

Normal (özellikle simetrik) bir matris A benzerlik dönüşümü ile köşegen forma getirilebilir -

A = TΛT −1

Burada Λ = diag(λ 1 ,..., λ N) elemanları matrisin özdeğerleri olan köşegen bir matristir A, A T matrisin karşılık gelen özvektörlerinden oluşan bir matristir A yani T = (v 1 ,...,v N).

Örneğin,

Pirinç. 23 Çapraz forma indirgeme

Adım Matrisi

Tanım

Kademeli aşağıdaki koşulları karşılayan bir matristir:

Tanım

Kademeli satırlar içeren ve ilk köşegen elemanlarının sıfır olmadığı ve ana köşegenin altında yer alan elemanlar ile son satırların elemanlarının sıfıra eşit olduğu bir matris denir, yani şu formun bir matrisidir:

Tanım

Ana unsur Bir matrisin bir satırının sıfırdan farklı ilk elemanına denir.

Örnek

Egzersiz yapmak. Matrisin her satırının temel elemanlarını bulun

Çözüm.İlk satırın ana elemanı, o satırın sıfır olmayan ilk elemanıdır ve dolayısıyla 1 numaralı satırın ana elemanıdır; benzer şekilde - ikinci satırın ana unsuru.

Adım matrisinin başka bir tanımı.

Tanım

Matris denir kademeli, Eğer:

tüm sıfır satırları sıfır olmayan satırlardan sonra gelir;

sıfır olmayan her satırda, ikinciden başlayarak, ana öğesi, önceki satırın ana öğesinin sağında (daha yüksek numaralı sütunda) bulunur.

Tanım gereği, adım matrisleri bir sıfır matrisin yanı sıra bir satır içeren bir matris içerir.

Örnek

Adım matris örnekleri:

, , , ,

Basamak olmayan matris örnekleri:

, ,

Örnek

Egzersiz yapmak. Bir matris olup olmadığını öğrenin adım attı.

Çözüm. Tanımdan koşulların yerine getirilip getirilmediğini kontrol ediyoruz:

Yani verilen matris adım adımdır.

Bu konuda matris kavramını ve matris türlerini ele alacağız. Bu konuda çok fazla terim olduğundan, materyalde gezinmeyi kolaylaştırmak için kısa bir özet ekleyeceğim.

Matrisin tanımı ve elemanı. Gösterim.

Matris$m$ satır ve $n$ sütundan oluşan bir tablodur. Bir matrisin elemanları tamamen farklı nitelikteki nesneler olabilir: sayılar, değişkenler veya örneğin diğer matrisler. Örneğin, $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ matrisi 3 satır ve 2 sütun içerir; elemanları tamsayılardır. $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ matrisi 2 satır ve 4 sütundan oluşur.

Matris yazmanın farklı yolları: show\hide

Matris yalnızca yuvarlak olarak değil aynı zamanda kare veya çift düz parantez içinde de yazılabilir. Aşağıda farklı gösterim formlarında aynı matris bulunmaktadır:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

$m\times n$ çarpımına denir matris boyutu. Örneğin, bir matris 5 satır ve 3 sütun içeriyorsa, boyutu $5\time 3$ olan bir matristen söz ederiz. $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ matrisinin boyutu $3 \times 2$'dır.

Tipik olarak matrisler Latin alfabesinin büyük harfleriyle gösterilir: $A$, $B$, $C$ vb. Örneğin, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Satır numaralandırması yukarıdan aşağıya doğru gider; sütunlar - soldan sağa. Örneğin, $B$ matrisinin ilk satırı 5 ve 3 numaralı elemanları içerir ve ikinci sütun 3, -87, 0 numaralı elemanları içerir.

Matrislerin elemanları genellikle küçük harflerle gösterilir. Örneğin, $A$ matrisinin elemanları $a_(ij)$ ile gösterilir. $ij$ çift indeksi, elemanın matristeki konumu hakkında bilgi içerir. $i$ sayısı satır numarasıdır ve $j$ sayısı sütun numarasıdır; bunun kesişiminde $a_(ij)$ öğesi bulunur. Örneğin, $A=\left(\begin(array) (cccccc) matrisinin ikinci satırı ile beşinci sütununun kesişiminde 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ element $a_(25)= $59:

Aynı şekilde, ilk satır ile ilk sütunun kesişiminde $a_(11)=51$; elemanına sahibiz; üçüncü satır ile ikinci sütunun kesiştiği noktada - $a_(32)=-15$ öğesi vb. $a_(32)$ girişinin "üç iki" yazdığını ancak "otuz iki" yazmadığını unutmayın.

Boyutu $m\times n$ olan $A$ matrisini kısaltmak için $A_(m\times n)$ gösterimi kullanılır. Aşağıdaki gösterim sıklıkla kullanılır:

$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$

Burada $(a_(ij))$, $A$ matrisinin elemanlarının tanımını gösterir, yani. $A$ matrisinin elemanlarının $a_(ij)$ olarak gösterildiğini söylüyor. Genişletilmiş biçimde, $A_(m\times n)=(a_(ij))$ matrisi aşağıdaki gibi yazılabilir:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Başka bir terim tanıtalım - eşit matrisler.

Aynı boyutta $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ve $B_(m\times n)=(b_(ij))$ olan iki matris çağrılır eşit, karşılık gelen elemanları eşitse, yani. $i=\overline(1,m)$ ve $j=\overline(1,n)$ için $a_(ij)=b_(ij)$.

$i=\overline(1,m)$ girişinin açıklaması: show\hide

"$i=\overline(1,m)$" gösterimi, $i$ parametresinin 1 ila m arasında değiştiği anlamına gelir. Örneğin $i=\overline(1,5)$ gösterimi $i$ parametresinin 1, 2, 3, 4, 5 değerlerini aldığını gösterir.

Dolayısıyla matrislerin eşit olması için iki koşulun karşılanması gerekir: boyutların çakışması ve karşılık gelen elemanların eşitliği. Örneğin, $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ matrisi matrise eşit değildir $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ çünkü $A$ matrisinin boyutu $3\times 2$ ve matris $B$'dır boyutu $2\time $2'dir. Ayrıca, $A$ matrisi $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ matrisine eşit değildir , çünkü $a_( 21)\neq c_(21)$ (yani $0\neq 98$). Ancak $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ matrisi için güvenle $A= yazabiliriz F$ çünkü $A$ ve $F$ matrislerinin hem boyutları hem de karşılık gelen elemanları çakışıyor.

Örnek No.1

Matrisin boyutunu belirleyin $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ öğelerinin neye eşit olduğunu belirtin.

Bu matris 5 satır ve 3 sütun içerdiğinden boyutu $5\times3$ olur. Bu matris için $A_(5\times 3)$ gösterimini de kullanabilirsiniz.

$a_(12)$ öğesi, birinci satır ile ikinci sütunun kesişiminde olduğundan $a_(12)=-2$. $a_(33)$ öğesi üçüncü satır ile üçüncü sütunun kesişimindedir, dolayısıyla $a_(33)=23$. $a_(43)$ öğesi dördüncü satır ile üçüncü sütunun kesişimindedir, dolayısıyla $a_(43)=-5$.

Cevap: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Boyutlarına bağlı olarak matris türleri. Ana ve ikincil köşegenler. Matris izi.

Belirli bir $A_(m\times n)$ matrisi verilsin. Eğer $m=1$ (matris bir satırdan oluşuyorsa) verilen matrise denir matris satırı. $n=1$ ise (matris bir sütundan oluşur), o zaman böyle bir matris denir matris-sütun. Örneğin, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ bir satır matrisidir ve $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ bir sütun matrisidir.

Eğer $A_(m\times n)$ matrisi $m\neq n$ koşulunu karşılıyorsa (yani satır sayısı sütun sayısına eşit değilse), o zaman genellikle $A$'ın dikdörtgen olduğu söylenir. matris. Örneğin, $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ matrisinin boyutu $2\times 4'tür $, şunlar. 2 satır ve 4 sütundan oluşur. Satır sayısı sütun sayısına eşit olmadığından bu matris dikdörtgendir.

Eğer $A_(m\times n)$ matrisi $m=n$ koşulunu sağlıyorsa (yani satır sayısı sütun sayısına eşitse), o zaman $A$'ın $ mertebesinde bir kare matris olduğu söylenir. n $. Örneğin, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ ikinci dereceden bir kare matristir; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ üçüncü dereceden bir kare matristir. Genel olarak, $A_(n\times n)$ kare matrisi şu şekilde yazılabilir:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

$a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ öğelerinin açık olduğu söyleniyor ana diyagonal matrisler $A_(n\times n)$. Bu elementlere denir ana diyagonal elemanlar(veya sadece çapraz elemanlar). $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ öğeleri açık yan (küçük) diyagonal; arandılar yan diyagonal elemanlar. Örneğin, $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( matrisi için array) \right)$ elimizde:

$c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ elemanları ana köşegen elemanlardır; $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ elemanları yan köşegen elemanlardır.

Ana köşegen elemanların toplamına denir ardından matris ve $\Tr A$ (veya $\Sp A$) ile gösterilir:

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Örneğin, matris için $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ elimizde:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Köşegen elemanlar kavramı kare olmayan matrisler için de kullanılır. Örneğin, $B=\left(\begin(array) (ccccc) matrisi için 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ ana köşegen elemanlar $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$ olacaktır.

Elemanlarının değerlerine bağlı olarak matris türleri.

$A_(m\times n)$ matrisinin tüm elemanları sıfıra eşitse, böyle bir matris denir hükümsüz ve genellikle $O$ harfiyle gösterilir. Örneğin, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - sıfır matrisler.

$A$ matrisinin sıfır olmayan bazı satırlarını ele alalım; sıfır dışında en az bir öğe içeren bir dize. Öncü öğe sıfır olmayan bir dizenin ilk (soldan sağa doğru sayılan) sıfır olmayan öğesi diyoruz. Örneğin aşağıdaki matrisi göz önünde bulundurun:

$$W=\left(\begin(array)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(array)\right)$ $

İkinci satırda öncü eleman dördüncü eleman olacaktır, yani. $w_(24)=12$ ve üçüncü satırda baştaki eleman ikinci eleman olacaktır, yani. $w_(32)=-9$.

$A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ matrisi çağrılır kademeli iki koşulu karşılıyorsa:

1. Boş satırlar (varsa), boş olmayan tüm satırların altında bulunur.
2. Sıfır olmayan satırların baş elemanlarının sayıları kesinlikle artan bir dizi oluşturur; eğer $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ $A$ matrisinin sıfır olmayan satırlarının baştaki elemanlarıysa, o zaman $k_1\lt(k_2)\ lt\ldots\lt(k_r)$.

Adım matris örnekleri:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(array)\right). $$

Karşılaştırma için: matris $Q=\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(array)\right)$ bir adım matrisi değildir, çünkü adım matrisinin tanımındaki ikinci koşul ihlal edilmiştir. İkinci ve üçüncü satırlardaki $q_(24)=7$ ve $q_(32)=10$'daki önde gelen öğeler $k_2=4$ ve $k_3=2$ sayılarına sahiptir. Bir adım matrisi için, bu durumda ihlal edilen $k_2\lt(k_3)$ koşulunun karşılanması gerekir. İkinci ve üçüncü satırları değiştirirsek adım adım bir matris elde edeceğimizi belirtmek isterim: $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end(array)\right)$.

Bir adım matrisi denir yamuk veya yamuk, eğer önde gelen öğeler $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r koşullarını sağlıyorsa = r$, yani önde gelenler diyagonal elemanlardır. Genel olarak trapezoidal bir matris aşağıdaki gibi yazılabilir:

$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(array) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(array)\right) $$

Yamuk matris örnekleri:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(array)\right). $$

Kare matrisler için birkaç tanım daha verelim. Ana köşegenin altında bulunan bir kare matrisin tüm elemanları sıfıra eşitse, böyle bir matris denir. üst üçgen matris. Örneğin, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ bir üst üçgen matristir. Bir üst üçgen matrisin tanımının, ana köşegen üzerinde veya ana köşegen üzerinde bulunan elemanların değerleri hakkında hiçbir şey söylemediğine dikkat edin. Sıfır olabilirler ya da olmayabilirler; önemli değil. Örneğin, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ aynı zamanda bir üst üçgen matristir.

Ana köşegenin üzerinde bulunan bir kare matrisin tüm elemanları sıfıra eşitse, böyle bir matris denir. alt üçgen matris. Örneğin, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - alt üçgen matris. Daha düşük bir üçgen matrisin tanımının, ana köşegenin altında veya üzerinde bulunan elemanların değerleri hakkında hiçbir şey söylemediğine dikkat edin. Sıfır olabilirler veya olmayabilirler - önemli değil. Örneğin, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ ve $\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ da alt üçgen matrislerdir.

Kare matris denir diyagonal, eğer bu matrisin ana köşegen üzerinde yer almayan tüm elemanları sıfıra eşitse. Örnek: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ bitiş(dizi)\sağ)$. Ana köşegen üzerindeki öğeler herhangi bir şey olabilir (sıfıra eşit veya eşit değil) - farketmez.

Köşegen matris denir Bekar, eğer bu matrisin ana köşegen üzerinde bulunan tüm elemanları 1'e eşitse. Örneğin, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - dördüncü dereceden birim matris; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ ikinci dereceden birim matristir.

Matrisi kademeli bir forma getirmek için (Şekil 1.4), aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir.

1. İlk sütunda sıfır dışında bir öğe seçin ( öncü eleman ). Baş elemanı olan bir dize ( öncü çizgi ), eğer ilk değilse, ilk satırın yerine yeniden düzenleyin (tip I dönüşüm). İlk sütunda herhangi bir öncü eleman yoksa (tüm elemanlar sıfırdır), bu durumda bu sütunu hariç tutar ve matrisin geri kalanında öncü elemanı aramaya devam ederiz. Dönüşüm, tüm sütunların elenmesi veya matrisin geri kalanının tüm öğelerinin sıfır olması durumunda sona erer.

2. Öndeki satırın tüm elemanlarını öndeki elemana bölün (tip II dönüşüm). Öncü çizgi son ise, dönüşüm burada bitmelidir.

3. Öndeki satırın altındaki her satıra, öndeki satırın altındaki öğeler sıfıra eşit olacak şekilde bir sayıyla çarpılarak öndeki satırı ekleyin (tip III dönüşümü).

4. Kesişme noktasında öncü elemanın bulunduğu satır ve sütunu değerlendirme dışı bıraktıktan sonra, açıklanan tüm eylemlerin matrisin geri kalanına uygulandığı 1. adıma gidin.

Satır öğesinin satırın öğelerine göre dağılımına ilişkin teorem.

Determinantın bir satır veya sütunun elemanlarına ayrıştırılmasına ilişkin teorem, determinantın hesaplamasını azaltmamıza olanak tanır - sıra belirleyicilerinin hesaplanmasına (th order()) .

Determinantın sıfıra eşit elemanları varsa, determinantı en fazla sayıda sıfır içeren satır veya sütunun elemanlarına genişletmek en uygunudur.

Determinantların özelliklerini kullanarak determinantı dönüştürebilirsiniz. - Belirli bir satır veya sütunun biri hariç tüm öğeleri sıfıra eşit olacak şekilde sıralayın. Böylece determinantın hesaplanması - sıfırdan farklı ise, bir determinantın hesaplanmasına indirgenecektir. - sipariş.

Görev 3.1. Hesaplama belirleyicisi

Çözüm. Birinci satırı ikinci satıra, ilk satırın 2 ile çarpımını üçüncü satıra, ilk satırı -5 ile çarparak dördüncü satıra ekleyerek şunu elde ederiz:

Determinantı ilk sütunun elemanlarına genişletirsek,

.

Ortaya çıkan 3. dereceden determinantta, ilk sütunun birinci hariç tüm elemanlarını sıfıra çevirelim. Bunu yapmak için ikinci satıra birinciyi (-1) ile çarpıp, üçüncüyü 5 ile çarparak, birinciyi 8 ile çarparak ekliyoruz. Üçüncü satırı 5 ile çarptığımıza göre, o zaman (böylece determinant değişmez) ile çarpın. Sahibiz

Ortaya çıkan determinantı ilk sütunun elemanlarına ayıralım:

Laplace teoremi(1). Uzaylı eklemeleriyle ilgili teorem(2)

1) Determinant, herhangi bir satırın elemanlarının ve bunların cebirsel tamamlayıcılarının çarpımlarının toplamına eşittir.

2) Bir determinantın herhangi bir satırının elemanlarının, diğer satırının karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları ile çarpımlarının toplamı sıfıra eşittir (diğer cebirsel tümleyicilerle çarpma teoremi).

Seçilen koordinat sistemine sahip düzlemdeki her nokta, koordinatlarının bir çifti (α, β) ile belirtilir; α ve β sayıları aynı zamanda bu noktada sonu olan bir yarıçap vektörünün koordinatları olarak da anlaşılabilir. Benzer şekilde uzayda (α, β, γ) üçlüsü, α, β, γ koordinatlarına sahip bir noktayı veya vektörü tanımlar. Okuyucunun iyi bildiği iki veya üç bilinmeyenli doğrusal denklem sistemlerinin geometrik yorumu buna dayanmaktadır. Böylece, iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi durumunda

a 1 x + b 1 y = c 1,

a 2 x + b 2 y = c 2

denklemlerin her biri düzlem üzerinde düz bir çizgi olarak yorumlanır (bkz. Şekil 26) ve çözüm (α, β) bu çizgilerin kesişme noktası olarak veya ap koordinatlarına sahip bir vektör olarak yorumlanır (şekil şuna karşılık gelir: sistemin benzersiz bir çözüme sahip olduğu durum).

Pirinç. 26

Aynısını, her denklemi uzaydaki bir düzlemin denklemi olarak yorumlayarak, üç bilinmeyenli bir doğrusal denklem sistemiyle de yapabilirsiniz.

Matematikte ve çeşitli uygulamalarında (özellikle kodlama teorisinde), üçten fazla bilinmeyen içeren doğrusal denklem sistemleriyle uğraşmak gerekir. N bilinmeyenli x 1, x 2, ..., x n içeren bir doğrusal denklem sistemi, aşağıdaki formdaki bir denklemler kümesidir

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m,

burada a ij ve b i keyfi gerçek sayılardır. Sistemdeki denklemlerin sayısı herhangi bir olabilir ve hiçbir şekilde bilinmeyenlerin sayısıyla ilişkili değildir. Bilinmeyenler için katsayılar a ij çift numaralandırmaya sahiptir: ilk indeks i denklemin numarasını gösterir, ikinci indeks j - bu katsayının bulunduğu bilinmeyenlerin sayısı.

Sisteme yönelik herhangi bir çözüm, bilinmeyenlerin (α) bir dizi (gerçek) değeri olarak anlaşılır. 1 , α 2 , ..., α N ), her denklemi gerçek bir eşitliğe dönüştürmek.

Her ne kadar (1) sisteminin n > 3 için doğrudan geometrik yorumu artık mümkün olmasa da, iki veya üç boyutlu bir uzayın geometrik dilini keyfi n durumuna genişletmek oldukça mümkün ve birçok açıdan uygundur. Diğer tanımlar bu amaca hizmet etmektedir.

Her sıralı n gerçek sayı kümesi (α 1 , α 2 , ..., α N ) n boyutlu aritmetik vektör olarak adlandırılır ve sayıların kendileri α 1 , α 2 , ..., α N - bu vektörün koordinatları.

Vektörleri belirtmek için kural olarak kalın yazı tipi kullanılır ve α 1, α 2, ..., α n koordinatlarına sahip a vektörü için olağan gösterim biçimi korunur:

a = (α 1, α 2, ..., α n).

Sıradan bir düzleme benzetilerek, n ​​bilinmeyenli bir doğrusal denklemi sağlayan tüm n boyutlu vektörlerin kümesine n boyutlu uzayda hiperdüzlem adı verilir. Bu tanımla, (1) numaralı sistemin tüm çözümlerinin kümesi, birkaç hiperdüzlemin kesişiminden başka bir şey değildir.

N boyutlu vektörlerin toplanması ve çarpımı, sıradan vektörlerle aynı kurallara göre belirlenir. Yani eğer

a = (α 1, α 2, ..., α n), b = (β 1, β 2, ..., β n) (2)

İki n boyutlu vektör varsa bunların toplamına vektör denir

α + β = (α 1 + β 1, α 2 + β 2, ..., α n + β n). (3)

a vektörü ile λ sayısının çarpımı vektördür

λa = (λα 1, λα 2, ..., λα n). (4)

Vektörleri toplama ve bir vektörü bir sayıyla çarpma işlemlerini içeren tüm n boyutlu aritmetik vektörlerin kümesine aritmetik n boyutlu vektör uzayı L n denir.

Sunulan işlemleri kullanarak, birkaç vektörün keyfi doğrusal kombinasyonları, yani formun ifadeleri düşünülebilir.

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k,

burada λi gerçek sayılardır. Örneğin, λ ve μ katsayılarına sahip vektörlerin (2) doğrusal bir kombinasyonu bir vektördür

λa + μb = (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n).

Üç boyutlu bir vektör uzayında, herhangi bir a vektörünün ayrıştırıldığı i, j, k (koordinat birim vektörleri) vektörlerinin üçlüsü özel bir rol oynar:

a = xi + yj + zk,

burada x, y, z gerçek sayılardır (a vektörünün koordinatları).

N boyutlu durumda, aşağıdaki vektör sistemi aynı rolü oynar:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n = (0, 0, 0, ..., 1).

Herhangi bir a vektörü, açıkçası, e 1, e 2, ..., e n vektörlerinin doğrusal bir birleşimidir:

a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + ... + a n e n, (6)

ve α 1, α 2, ..., α n katsayıları a vektörünün koordinatlarıyla çakışır.

Tüm koordinatları sıfıra eşit olan bir vektörü (kısacası sıfır vektörü) 0 ile göstererek, aşağıdaki önemli tanımı tanıtıyoruz:

a 1, a 2, ... ve k vektörlerinden oluşan bir sisteme, eğer sıfır vektörüne eşit bir doğrusal kombinasyon varsa, doğrusal bağımlı denir.

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

burada h 1, λ 2, ..., λ k katsayılarından en az biri sıfırdan farklıdır. Aksi takdirde sistem doğrusal bağımsız olarak adlandırılır.

Yani vektörler

a 1 = (1, 0, 1, 1), a 2 = (1, 2, 1, 1) ve 3 = (2, 2, 2, 2)

doğrusal bağımlıdır çünkü

a 1 + a 2 - a 3 = 0.

Tanımdan da görülebileceği gibi doğrusal bir bağımlılık, sistemin vektörlerinden en az birinin diğerlerinin doğrusal bir birleşimi olduğu gerçeğine eşdeğerdir (k ≥ 2 için).

Sistem a 1 ve a 2 olmak üzere iki vektörden oluşuyorsa, sistemin doğrusal bağımlılığı, vektörlerden birinin diğerine orantılı olduğu anlamına gelir; örneğin a 1 = λa 2; üç boyutlu durumda bu, a 1 ve a 2 vektörlerinin doğrusallığına eşdeğerdir. Aynı şekilde, sıradan uzaydaki üç vektörden oluşan bir I sisteminin doğrusal bağımlılığı, bu vektörlerin eş düzlemli olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla doğrusal bağımlılık kavramı eşdoğrusallık ve eşdüzlemsellik kavramlarının doğal bir genellemesidir.

Sistem (5)'teki e 1, e 2, ..., e n vektörlerinin doğrusal olarak bağımsız olduğunu doğrulamak kolaydır. Sonuç olarak, n boyutlu uzayda n adet doğrusal bağımsız vektörden oluşan sistemler vardır. Daha fazla sayıda vektörden oluşan herhangi bir sistemin doğrusal olarak bağımlı olduğu gösterilebilir.

n boyutlu bir L n uzayının n adet doğrusal bağımsız vektöründen oluşan herhangi bir a 1 , a 2 , ..., an sistemi, bunun temeli olarak adlandırılır.

L n uzayının herhangi bir vektörü, benzersiz bir şekilde, keyfi bir temele sahip a 1, a 2, ..., a n vektörlerine ayrıştırılır:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n.

Bu gerçek, temelin tanımına dayanarak kolaylıkla tespit edilebilir.

Üç boyutlu uzayla benzetmeye devam edersek, n ​​boyutlu durumda vektörlerin a b skaler çarpımını belirlemek mümkündür;

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .

Bu tanımla üç boyutlu vektörlerin skaler çarpımının tüm temel özellikleri korunur. a ve b vektörlerine, skaler çarpımları sıfıra eşitse ortogonal denir:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

Doğrusal kodlar teorisi başka bir önemli kavramı kullanır: altuzay kavramı. L n uzayının bir alt kümesine V bu uzayın alt uzayı denir.

1) V'ye ait herhangi bir a, b vektörü için, bunların a + b toplamı da V'ye aittir;

2) V'ye ait herhangi bir a vektörü ve herhangi bir λ gerçek sayısı için, λa vektörü de V'ye aittir.

Örneğin, sistem (5)'teki e 1, e 2 vektörlerinin tüm doğrusal kombinasyonlarının kümesi L n uzayının bir alt uzayı olacaktır.

Doğrusal cebirde, herhangi bir V alt uzayında, a 1, a 2, ..., a k vektörlerinden oluşan doğrusal olarak bağımsız bir sistemin olduğu ve alt uzayın her a vektörünün bu vektörlerin doğrusal bir birleşimi olduğu kanıtlanmıştır:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k .

Belirtilen vektör sistemine V alt uzayının temeli denir.

Uzay ve alt uzayın tanımından, L n uzayının, vektör toplama işlemine göre değişmeli bir grup olduğu ve onun herhangi bir alt uzayı V, bu grubun bir alt grubu olduğu hemen ortaya çıkar. Bu anlamda, örneğin L n uzayının V alt uzayına göre kosetleri düşünülebilir.

Sonuç olarak, n boyutlu aritmetik uzay teorisinde gerçek sayılar (yani gerçek sayılar alanının elemanları) yerine keyfi bir F alanının elemanlarını dikkate alırsak, o zaman verilen tüm tanım ve gerçekleri vurguluyoruz. yukarıdaki hükümler geçerliliğini koruyacaktır.

Kodlama teorisinde, F alanının, bildiğimiz gibi sonlu olan Zp kalıntılarından oluşan bir alan olması durumu önemli bir rol oynar. Bu durumda, karşılık gelen n boyutlu uzay da sonludur ve görülmesi kolay olduğu gibi p n eleman içerir.

Grup ve halka kavramları gibi uzay kavramı da aksiyomatik bir tanımlamaya olanak sağlar. Ayrıntılar için Feeder'ı herhangi bir doğrusal cebir kursuna yönlendiriyoruz.

Doğrusal kombinasyon. Doğrusal bağımlı ve bağımsız vektör sistemleri.

vektörlerin doğrusal kombinasyonu

Vektörlerin doğrusal kombinasyonu vektör denir

Nerede - doğrusal kombinasyon katsayıları. Eğer bir kombinasyonun önemsiz değilse önemsiz olduğu söylenir.

Doğrusal bağımlılık ve vektör bağımsızlığı

Sistem doğrusal bağımlı

Sistem Doğrusal bağımsız

Vektörlerin doğrusal bağımlılığı kriteri

Vektörler için (r > 1) doğrusal olarak bağımlıysa, bu vektörlerden en az birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.

Doğrusal uzayın boyutu

Doğrusal uzay V isminde N-boyutlu (boyuta sahiptir N), eğer şunları içeriyorsa:

1) var N doğrusal bağımsız vektörler;

2) herhangi bir sistem n+1 vektörler doğrusal olarak bağımlıdır.

Tanımlar: N= sönük V;.

Vektör sistemi denir doğrusal bağımlı, eğer varsa sıfır olmayan doğrusal bir kombinasyon sağlayacak şekilde bir sayı kümesi

Vektör sistemi denir Doğrusal bağımsız, doğrusal bir kombinasyonun eşitliğinden sıfıra ise

sıfıra eşittir herkes katsayılar

Genel durumda vektörlerin doğrusal bağımlılığı sorunu, katsayıları bu vektörlerin karşılık gelen koordinatlarına eşit olan homojen bir doğrusal denklem sistemi için sıfır olmayan bir çözümün varlığı sorununa iner.

Bir vektör sisteminin “doğrusal bağımlılık” ve “doğrusal bağımsızlık” kavramlarını iyice anlamak için aşağıdaki türdeki problemleri çözmek faydalıdır:

Doğrusallık Doğrusallık için I ve II kriterleri.

Vektör sistemi ancak ve ancak sistemin vektörlerinden birinin bu sistemin geri kalan vektörlerinin doğrusal bir birleşimi olması durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt. Vektör sistemi doğrusal olarak bağımlı olsun. Sonra böyle bir katsayılar dizisi var , bu ve en az bir katsayı sıfırdan farklıdır. Öyleymiş gibi yapalım. Daha sonra

yani sistemin geri kalan vektörlerinin doğrusal bir birleşimidir.

Sistemin vektörlerinden biri geri kalan vektörlerin doğrusal birleşimi olsun. Bunun bir vektör olduğunu varsayalım. . Şurası açık ki. Sistem vektörlerinin doğrusal kombinasyonunun sıfıra eşit olduğunu ve katsayılardan birinin sıfırdan farklı (eşit) olduğunu bulduk.

Teklif10 . 7 Bir vektör sistemi doğrusal bağımlı bir alt sistem içeriyorsa, sistemin tamamı doğrusal bağımlıdır.

Kanıt.

Alt sistemin vektörler sistemindeki olmasına izin verin , , doğrusal olarak bağımlıdır, yani , ve en az bir katsayı sıfırdan farklıdır. O halde doğrusal bir kombinasyon yapalım. Bu doğrusal kombinasyonun sıfıra eşit olduğu ve katsayılar arasında sıfır olmayan bir tanenin olduğu açıktır.

Vektör sisteminin temeli ana güçtür.

Sıfır olmayan bir vektör sisteminin tabanı, onun eşdeğer doğrusal bağımsız alt sistemidir. Sıfır sistemin temeli yoktur.

Özellik 1: Doğrusal bağımsız bir sistemin tabanı kendisiyle çakışır.

Örnek: Vektörlerin hiçbiri diğerleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilemediğinden, doğrusal olarak bağımsız vektörlerden oluşan bir sistem.

Özellik 2: (Temel Kriter) Belirli bir sistemin doğrusal olarak bağımsız bir alt sistemi, ancak ve ancak maksimum düzeyde doğrusal bağımsızsa onun temelidir.

Kanıt: Sistem göz önüne alındığında gereklilikÜssü olsun. O halde, tanım gereği, ve eğer , nerede , sistem doğrusal olarak bağımlıdır, çünkü doğrusal olarak dejenere olmuştur ve bu nedenle maksimum düzeyde doğrusal bağımsızdır. Yeterlilik Alt sistemin maksimum doğrusal bağımsız olmasına izin verin, o zaman nerede . doğrusal bağımlı, sistemin tabanı boyunca doğrusal olarak dejenere olur.

Özellik 3: (Tabanın ana özelliği) Sistemin her vektörü taban aracılığıyla benzersiz bir şekilde ifade edilebilir.

Kanıt Vektörün taban boyunca iki şekilde dejenere olmasına izin verin, o zaman: , o zaman

Vektör sisteminin derecesi.

Tanım: Doğrusal bir uzayda sıfır olmayan bir vektör sisteminin rütbesi, tabanındaki vektörlerin sayısıdır. Boş bir sistemin rütbesi tanım gereği sıfırdır. Sıralama özellikleri: 1) Doğrusal olarak bağımsız bir sistemin rütbesi, vektörlerinin sayısıyla çakışır. 2) Doğrusal bağımlı bir sistemin rütbesi vektör sayısından azdır. 3) Eşdeğer sistemlerin sıraları çakışır -rankrank. 4) Alt sistemin sıralaması sistemin sıralamasından küçük veya ona eşittir. 5) Her ikisi de rütbeli ise ortak bir tabana sahiptirler. 6) Sistemin geri kalan vektörlerinin doğrusal birleşimi olan bir vektör eklenirse sistemin sırası değiştirilemez. 7) Geriye kalan vektörlerin doğrusal birleşimi olan bir vektör sistemden çıkarılırsa sistemin sıralaması değiştirilemez.

Bir vektör sisteminin rütbesini bulmak için, sistemi üçgen veya yamuk şekline indirgemek için Gauss yöntemini kullanmanız gerekir.

Eşdeğer vektör sistemleri.

Örnek:

Tabanı bulmak için vektör verilerini matrise dönüştürelim. Şunu elde ederiz:

Şimdi Gauss yöntemini kullanarak matrisi yamuk forma dönüştüreceğiz:

1) Ana matrisimizde, ilk satır dışındaki ilk sütunun tamamını iptal edeceğiz, ikinciden ilk çarpımı çıkaracağız, üçüncüden ilk çarpımını çıkaracağız ve dördüncüden hiçbir şey çıkarmayacağız dördüncü satırın ilk elemanı yani birinci sütunla dördüncü satırın kesişimi sıfıra eşit olduğundan. Matrisi alıyoruz: 2) Şimdi matriste çözüm kolaylığı için 2, 3 ve 4. satırları yer değiştirelim, böylece elemanın yerinde bir tane olsun. İkinci satırın yerine dördüncü satırı, üçüncü yerine ikinciyi, dördüncü satırın yerine üçüncüyü değiştirelim. Matrisi alıyoruz: 3) Matriste elemanın altındaki tüm elemanları iptal ediyoruz. Matrisimizin elemanı yine sıfıra eşit olduğu için dördüncü satırdan hiçbir şey çıkarmıyoruz, üçüncüye ikinciyi çarparak ekliyoruz. Matrisi alıyoruz: 4) Matristeki 3. ve 4. satırların yerlerini tekrar değiştirelim. Matrisi alıyoruz: 5) Matrisin dördüncü satırına 5 ile çarpılarak üçüncü satırı ekleyin. Üçgen forma sahip bir matris elde ederiz:

Sistemler, rütbe özelliklerinden dolayı sıraları çakışır ve sıraları rütbe rütbesine eşittir.

Notlar: 1) Geleneksel Gauss yönteminden farklı olarak bir matris satırındaki tüm elemanlar belirli bir sayıya bölünürse matrisin özelliklerinden dolayı matris satırını azaltma hakkımız yoktur. Bir satırı belirli bir sayı kadar azaltmak istersek matrisin tamamını bu sayı kadar azaltmamız gerekir. 2) Eğer doğrusal bağımlı bir satır elde edersek, onu matrisimizden çıkarıp yerine sıfır satır koyabiliriz. Örnek: Birinci satırı 2 ile çarparsanız ikinci satırın birinci üzerinden ifade edildiğini hemen görebilirsiniz. Bu durumda ikinci satırın tamamını sıfırla değiştirebiliriz. Şunu elde ederiz: Sonuç olarak, matrisi doğrusal olarak bağımlı vektörlere sahip olmayan üçgen veya yamuk biçimine getirdiğimizde, matrisin sıfır olmayan tüm vektörleri matrisin tabanı olacak ve sayıları da sıra olacaktır.

Burada ayrıca grafik biçiminde bir vektörler sisteminin örneği verilmiştir: , , ve olan bir sistem verildiğinde. Bu sistemin temeli elbette vektörler olacaktır, çünkü vektörler onlar aracılığıyla ifade edilir. Bu sistem grafiksel olarak şöyle görünecektir:

Temel yeniden oluşturma. Adım tipi sistemler.

Temel matris dönüşümleri- bunlar matris eşdeğerliğinin korunmasıyla sonuçlanan matris dönüşümleridir. Bu nedenle, temel dönüşümler, bu matrisin temsil ettiği doğrusal cebirsel denklemler sisteminin çözüm kümesini değiştirmez.

Gauss yönteminde bir matrisi üçgen veya basamaklı bir forma indirgemek için temel dönüşümler kullanılır.

Temel dize dönüşümleri arandı:

Bazı doğrusal cebir derslerinde, matris satırlarının permütasyonu ayrı bir temel dönüşüm olarak ayırt edilmez; çünkü herhangi iki matris satırının permütasyonu, herhangi bir matris satırının bir sabitle çarpılması ve herhangi bir matris satırının çarpımına başka bir satır eklenmesiyle elde edilebilir. bir sabit tarafından , .

Benzer şekilde tanımlanmış temel sütun dönüşümleri.

Temel dönüşümler geri dönüşümlü.

Gösterim, matrisin temel dönüşümler yoluyla elde edilebileceğini (veya tam tersi) gösterir.

Matris matematikte özel bir nesnedir. Belirli sayıda satır ve sütundan oluşan dikdörtgen veya kare bir masa şeklinde tasvir edilmiştir. Matematikte boyut ve içerik bakımından değişen çok çeşitli matris türleri vardır. Satır ve sütunlarının sayılarına sipariş denir. Bu nesneler matematikte doğrusal denklem sistemlerinin kaydını düzenlemek ve sonuçlarını rahatça aramak için kullanılır. Matris kullanan denklemler, Carl Gauss, Gabriel Cramer yöntemi, küçükler ve cebirsel toplamaların yanı sıra diğer birçok yöntem kullanılarak çözülür. Matrislerle çalışırken temel beceri indirgemektir. Ancak önce matematikçiler tarafından hangi tür matrislerin ayırt edildiğini bulalım.

Boş tür

Bu tip matrisin tüm bileşenleri sıfırdır. Bu arada satır ve sütun sayıları tamamen farklıdır.

Kare tipi

Bu tip matrislerin sütun ve satır sayıları aynıdır. Yani “kare” şeklinde bir masadır. Sütunlarının (veya satırlarının) sayısına sıra denir. Özel durumlar, ikinci dereceden bir matrisin (2x2 matris), dördüncü dereceden (4x4), onuncu dereceden (10x10), on yedinci dereceden (17x17) vb. varlığı olarak kabul edilir.

Kolon vektörü

Bu, üç sayısal değer içeren yalnızca bir sütun içeren en basit matris türlerinden biridir. Doğrusal denklem sistemlerinde bir dizi serbest terimi (değişkenlerden bağımsız sayılar) temsil eder.

Öncekine benzer görünüm. Sırasıyla tek bir satır halinde düzenlenmiş üç sayısal öğeden oluşur.

Çapraz tip

Matrisin köşegen formundaki sayısal değerler yalnızca ana köşegenin (yeşil renkle vurgulanmış) bileşenlerini alır. Ana köşegen sırasıyla sol üst köşedeki elemanla başlar ve sağ alt köşedeki elemanla biter. Kalan bileşenler sıfıra eşittir. Köşegen tipi yalnızca belirli bir düzene sahip bir kare matristir. Köşegen matrisler arasında skaler matris ayırt edilebilir. Tüm bileşenleri aynı değerleri alır.

Köşegen matrisin bir alt türü. Tüm sayısal değerleri birimdir. Tek tip bir matris tablosu kullanılarak, temel dönüşümler gerçekleştirilir veya orijinalin tersi bir matris bulunur.

Kanonik tip

Matrisin kanonik formu ana formlardan biri olarak kabul edilir; Bunu azaltmak genellikle iş için gereklidir. Kanonik bir matristeki satır ve sütunların sayısı değişir ve mutlaka kare tipine ait olması gerekmez. Birlik matrisine biraz benzer, ancak bu durumda ana köşegenin tüm bileşenleri bire eşit bir değer almaz. İki veya dört ana çapraz birim olabilir (hepsi matrisin uzunluğuna ve genişliğine bağlıdır). Veya hiç birim olmayabilir (o zaman sıfır kabul edilir). Kanonik tipin geri kalan bileşenlerinin yanı sıra köşegen ve birim elemanlar da sıfıra eşittir.

Üçgen tip

Determinantını ararken ve basit işlemleri gerçekleştirirken kullanılan en önemli matris türlerinden biri. Üçgen türü köşegen türünden gelir, dolayısıyla matris de karedir. Üçgen tipi matris, üst üçgen ve alt üçgene bölünmüştür.

Üst üçgen matriste (Şekil 1), yalnızca ana köşegenin üzerindeki elemanlar sıfıra eşit bir değer alır. Köşegenin bileşenleri ve matrisin altında bulunan kısmı sayısal değerler içerir.

Alt üçgen matriste (Şekil 2) ise tam tersine matrisin alt kısmında yer alan elemanlar sıfıra eşittir.

Tür, bir matrisin rütbesini bulmak ve ayrıca bunlar üzerindeki temel işlemler için (üçgen türle birlikte) gereklidir. Adım matrisi, sıfırların karakteristik "adımlarını" içerdiğinden (şekilde gösterildiği gibi) bu şekilde adlandırılmıştır. Adım türünde sıfırlardan oluşan bir köşegen oluşturulur (ana olanın olması gerekmez) ve bu köşegenin altındaki tüm elemanların da sıfıra eşit değerleri vardır. Önkoşul şudur: Adım matrisinde sıfır satır varsa, bunun altındaki kalan satırlar da sayısal değerler içermez.

Böylece onlarla çalışmak için gerekli olan en önemli matris türlerini inceledik. Şimdi matrisi gerekli forma dönüştürme problemine bakalım.

Üçgen forma küçültme

Bir matris üçgen forma nasıl getirilir? Çoğu zaman görevlerde, determinantını (diğer adıyla determinantı) bulmak için bir matrisi üçgen forma dönüştürmeniz gerekir. Bu prosedürü gerçekleştirirken, matrisin ana köşegenini "korumak" son derece önemlidir, çünkü üçgen matrisin determinantı, ana köşegeninin bileşenlerinin çarpımına eşittir. Determinantın bulunmasına yönelik alternatif yöntemleri de hatırlatayım. Kare tipinin determinantı özel formüller kullanılarak bulunur. Örneğin üçgen yöntemini kullanabilirsiniz. Diğer matrisler için satır, sütun veya elemanlarına göre ayrıştırma yöntemi kullanılır. Ayrıca küçüklerin yöntemini ve cebirsel matris toplamalarını da kullanabilirsiniz.

Bazı görevlerin örneklerini kullanarak bir matrisi üçgen forma indirgeme sürecini ayrıntılı olarak analiz edelim.

1. Egzersiz

Sunulan matrisin determinantını üçgen forma indirgeme yöntemini kullanarak bulmak gerekir.

Bize verilen matris üçüncü dereceden bir kare matristir. Bu nedenle, onu üçgen bir şekle dönüştürmek için, birinci sütunun iki bileşenini ve ikincinin bir bileşenini sıfırlamamız gerekecek.

Üçgen forma getirmek için dönüşüme matrisin sol alt köşesinden - 6 sayısından başlıyoruz. Sıfıra çevirmek için ilk satırı üçle çarpın ve son satırdan çıkarın.

Önemli! Üst satır değişmez ancak orijinal matristekiyle aynı kalır. Orijinalinden dört kat daha büyük bir dize yazmaya gerek yoktur. Ancak bileşenlerinin sıfıra ayarlanması gereken dizelerin değerleri sürekli değişiyor.

Yalnızca son değer kalır - ikinci sütunun üçüncü satırının öğesi. Bu sayı (-1). Sıfıra çevirmek için ikinciyi ilk satırdan çıkarın.

Hadi kontrol edelim:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Bu, görevin cevabının -22 olduğu anlamına gelir.

Görev 2

Matrisin determinantını üçgen forma indirgeyerek bulmak gerekir.

Sunulan matris kare tipine ait olup dördüncü dereceden bir matristir. Bu, birinci sütunun üç bileşenini, ikinci sütunun iki bileşenini ve üçüncü sütunun bir bileşenini sıfıra çevirmenin gerekli olduğu anlamına gelir.

Sol alt köşede bulunan 4 rakamıyla azaltmaya başlayalım. Bu rakamı sıfıra çevirmemiz gerekiyor. Bunu yapmanın en kolay yolu, üstteki satırı dörtle çarpıp dördüncüden çıkarmaktır. Dönüşümün ilk aşamasının sonucunu yazalım.

Yani dördüncü satır bileşeni sıfıra ayarlandı. Üçüncü satırın ilk elemanı olan 3 sayısına geçelim. Benzer bir işlem gerçekleştiriyoruz. İlk satırı üçle çarpıp üçüncü satırdan çıkarıyoruz ve sonucu yazıyoruz.

Ana köşegenin dönüşüm gerektirmeyen bir öğesi olan 1 sayısı hariç, bu kare matrisin ilk sütununun tüm bileşenlerini sıfırlamayı başardık. Artık ortaya çıkan sıfırları korumak önemli, bu nedenle dönüşümleri sütunlarla değil satırlarla gerçekleştireceğiz. Sunulan matrisin ikinci sütununa geçelim.

Son satırın ikinci sütununun öğesiyle yeniden alttan başlayalım. Bu sayı (-7)'dir. Ancak bu durumda, üçüncü satırın ikinci sütununun öğesi olan (-1) sayısıyla başlamak daha uygundur. Sıfıra çevirmek için ikinciyi üçüncü satırdan çıkarın. Daha sonra ikinci satırı yediyle çarpıp dördüncüden çıkarıyoruz. İkinci sütunun dördüncü satırında yer alan öğenin yerine sıfır aldık. Şimdi üçüncü sütuna geçelim.

Bu sütunda yalnızca bir sayıyı sıfıra - 4'e çevirmemiz gerekiyor. Bunu yapmak zor değil: son satıra üçte birini ekleyip ihtiyacımız olan sıfırı görmemiz yeterli.

Yapılan tüm dönüşümlerden sonra önerilen matrisi üçgen forma getirdik. Şimdi, determinantını bulmak için, yalnızca ana köşegenin sonuçtaki elemanlarını çarpmanız gerekir. Şunu elde ederiz: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Bu nedenle çözüm 160'tır.

Yani artık matrisi üçgen forma indirgeme sorunu sizi rahatsız etmeyecek.

Kademeli forma indirgeme

Matrisler üzerindeki temel işlemler için kademeli biçim, üçgen biçime göre daha az "talep edilir". Çoğunlukla bir matrisin sırasını (yani sıfır olmayan satırların sayısını) bulmak veya doğrusal olarak bağımlı ve bağımsız satırları belirlemek için kullanılır. Bununla birlikte, basamaklı matris türü daha evrenseldir, çünkü yalnızca kare türü için değil aynı zamanda diğerleri için de uygundur.

Bir matrisi adım adım forma indirgemek için önce onun determinantını bulmanız gerekir. Yukarıdaki yöntemler bunun için uygundur. Determinantı bulmanın amacı, onun adım matrisine dönüştürülüp dönüştürülemeyeceğini bulmaktır. Belirleyici sıfırdan büyük veya küçükse, göreve güvenle devam edebilirsiniz. Sıfıra eşitse matrisi adım adım forma indirgemek mümkün olmayacaktır. Bu durumda kayıtta veya matris dönüşümlerinde hata olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir. Böyle bir yanlışlık yoksa, görev çözülemez.

Çeşitli görev örneklerini kullanarak bir matrisi adım adım forma nasıl indirgeyebileceğimize bakalım.

1. Egzersiz. Verilen matris tablosunun rütbesini bulun.

Önümüzde üçüncü dereceden bir kare matris (3x3) var. Dereceyi bulmak için onu kademeli bir forma indirmenin gerekli olduğunu biliyoruz. Bu nedenle öncelikle matrisin determinantını bulmamız gerekir. Üçgen yöntemini kullanalım: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Determinant = 12. Sıfırdan büyüktür, bu da matrisin adım adım forma indirgenebileceği anlamına gelir. Haydi onu dönüştürmeye başlayalım.

Buna üçüncü satırın sol sütununun öğesiyle başlayalım - 2 sayısı. Üst satırı ikiyle çarpın ve üçüncüden çıkarın. Bu işlem sayesinde hem ihtiyacımız olan eleman hem de üçüncü sıranın ikinci sütununun elemanı olan 4 sayısı sıfıra döndü.

İndirgeme sonucunda üçgensel bir matris oluştuğunu görüyoruz. Bizim durumumuzda kalan bileşenler sıfıra indirilemediği için dönüşüme devam edemiyoruz.

Bu, bu matristeki sayısal değerleri içeren satır sayısının (veya sıralamasının) 3 olduğu sonucuna vardığımız anlamına gelir. Görevin cevabı: 3.

Görev 2. Bu matrisin doğrusal bağımsız satır sayısını belirleyin.

Herhangi bir dönüşümle sıfıra dönüştürülemeyen dizeleri bulmamız gerekiyor. Aslında sıfır olmayan satırların sayısını veya sunulan matrisin sırasını bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için basitleştirelim.

Kare tipine ait olmayan bir matris görüyoruz. 3x4 ölçülerindedir. İndirgemeye sol alt köşedeki sayı (-1) ile de başlayalım.

Daha ileri dönüşümleri imkansızdır. Bu, içindeki doğrusal bağımsız çizgilerin sayısının ve görevin cevabının 3 olduğu sonucuna vardığımız anlamına gelir.

Artık matrisi kademeli bir forma indirgemek sizin için imkansız bir iş değil.

Bu görevlerin örneklerini kullanarak bir matrisin üçgen forma ve kademeli forma indirgenmesini inceledik. Matris tablolarının istenen değerlerini sıfıra çevirmek için bazı durumlarda hayal gücünüzü kullanmanız ve sütunlarını veya satırlarını doğru şekilde dönüştürmeniz gerekir. Matematikte ve matrislerle çalışmada iyi şanslar!

Matrisler, matris çeşitleri, matrisler üzerinde işlemler.

Matris türleri:

1. Dikdörtgen: M Ve N- keyfi pozitif tamsayılar

2. Kare: m=n

3. Matris satırı: m=1. Örneğin, (1 3 5 7) - birçok pratik problemde böyle bir matrise vektör denir

4. Matris sütunu: n=1. Örneğin

5. Diyagonal matris: m=n Ve a ij =0, Eğer i≠j. Örneğin

6. Kimlik matrisi: m=n Ve

7. Boş matris: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Üçgen matris: Ana köşegenin altındaki tüm elemanlar 0'dır.

9. Simetrik matris:m=n Ve a ij = a ji(yani eşit elemanlar ana köşegene göre simetrik yerlerde bulunur) ve bu nedenle bir"=A

Örneğin,

10. Çarpık simetrik matris: m=n Ve a ij =-a ji(yani, karşıt elemanlar ana köşegene göre simetrik yerlerde bulunur). Sonuç olarak, ana köşegen üzerinde sıfırlar vardır (ne zamandan beri ben=j sahibiz a ii =-a ii)

Matrisler üzerindeki eylemler:

1. Ek

2. Çıkarma matrisler - eleman bazında işlem

3. İş sayıya göre matrisler - eleman bazında işlem

4. Çarpma işlemi A*B kurala göre matrisler satırdan sütuna(A matrisinin sütun sayısı B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır)

A mk *B kn =C mn ve her bir öğe ij ile matrisler Haydi A matrisinin i'inci satırındaki elemanların, B matrisinin j'inci sütununun karşılık gelen elemanları ile çarpımlarının toplamına eşittir, yani;

Bir örnek kullanarak matris çarpımının işlemini gösterelim

5. A matrisinin devrikliği. Yer değiştirme matrisi AT veya A ile gösterilir"

,Örneğin

Satırlar ve sütunlar değiştirildi

Matrislerdeki işlemlerin özellikleri:

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

2. İkinci ve üçüncü dereceden determinantlar (temel kavramlar, özellikler, hesaplamalar)

Mülk 1. Belirleyici, aktarım sırasında değişmez, yani.

Kanıt.

Yorum. Belirleyicilerin aşağıdaki özellikleri yalnızca dizeler için formüle edilecektir. Ayrıca özellik 1'den sütunların aynı özelliklere sahip olacağı sonucu çıkar.

Özellik 2. Bir determinantın bir satırının elemanları belirli bir sayı ile çarpıldığında, determinantın tamamı bu sayı ile çarpılır, yani.

.

Kanıt.

Mülk 3. Boş dizeye sahip bir determinant 0'a eşittir.

Bu özelliğin kanıtı k = 0 için Özellik 2'den gelir.

Mülk 4.İki eşit diziye sahip determinant 0'dır.

Kanıt.

Özellik 5. İki satırı orantılı olan bir determinant 0'a eşittir.

Kanıt, özellikler 2 ve 4'ten kaynaklanmaktadır.

Özellik 6. Bir determinantın iki satırı yeniden düzenlenirken –1 ile çarpılır.

Kanıt.

Mülk 7.

Tanım 1.5 kullanılarak bulunan eşitliğin sol ve sağ taraflarının değerlerini karşılaştırarak bu özelliği kendiniz kanıtlayabilirsiniz.

Mülk 8. Başka bir satırın karşılık gelen elemanları bir satırın elemanlarına eklenirse ve aynı sayı ile çarpılırsa determinantın değeri değişmeyecektir.

Küçük. Cebirsel ekleme. Laplace teoremi.

Üçgen forma indirgeme yöntemi belirli bir determinantın köşegenlerinden birinin bir tarafında bulunan tüm elemanları sıfıra eşit olduğunda böyle bir dönüşümden oluşur.

Örnek 8. Hesaplama belirleyicisi

Üçgen forma küçültme.

Çözüm. Determinantın ilk satırını kalan satırlardan çıkaralım. Sonra alırız

.

Bu determinant ana köşegenin elemanlarının çarpımına eşittir. Böylece elimizde

Yorum. Yukarıda tartışılan her şey n'inci dereceden determinantlar için genelleştirilebilir.

Matrisin aşamalı forma indirgenmesi. Satır ve sütunların temel dönüşümleri.

Temel matris dönüşümleri aşağıdaki dönüşümler denir:

BEN. Bir matrisin iki sütununun (satırlarının) permütasyonu.

II. Bir matrisin bir sütununun (satırının) tüm elemanlarının sıfır dışında aynı sayıyla çarpılması.

III. Bir sütunun (satırın) elemanlarına, başka bir sütunun (satırın) karşılık gelen elemanlarının aynı sayıyla çarpılmasıyla eklenmesi.

Orijinal matristen sonlu sayıda temel dönüşümle elde edilen bir matrise denir. eş değer . Bu ile gösterilir.

Gelecekte çeşitli problemleri çözmek için kullanılacak olan matrisleri basitleştirmek için temel dönüşümler kullanılır.

Matrisi kademeli bir forma getirmek için (Şekil 1.4), aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir.

1. İlk sütunda sıfır dışında bir öğe seçin ( öncü eleman ). Baş elemanı olan bir dize ( öncü çizgi ), eğer ilk değilse, ilk satırın yerine yeniden düzenleyin (tip I dönüşüm). İlk sütunda herhangi bir öncü eleman yoksa (tüm elemanlar sıfırdır), bu durumda bu sütunu hariç tutar ve matrisin geri kalanında öncü elemanı aramaya devam ederiz. Dönüşüm, tüm sütunların elenmesi veya matrisin geri kalanının tüm öğelerinin sıfır olması durumunda sona erer.

2. Öndeki satırın tüm elemanlarını öndeki elemana bölün (tip II dönüşüm). Öncü çizgi son ise, dönüşüm burada bitmelidir.

3. Öndeki satırın altındaki her satıra, öndeki satırın altındaki öğeler sıfıra eşit olacak şekilde bir sayıyla çarpılarak öndeki satırı ekleyin (tip III dönüşümü).

4. Kesişme noktasında öncü elemanın bulunduğu satır ve sütunu değerlendirme dışı bıraktıktan sonra, açıklanan tüm eylemlerin matrisin geri kalanına uygulandığı 1. adıma gidin.

Örnek 1.29. Adım matris formuna azaltın