Transfer von einem Zahlensystem in ein anderes. Konvertieren von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes online

Anmerkung 1

Wenn Sie eine Zahl von einem Zahlensystem in ein anderes umwandeln möchten, ist es bequemer, mit der Übersetzung in das Dezimalzahlensystem zu beginnen und erst dann von der Dezimalzahl in ein anderes Zahlensystem.

Regeln zum Umrechnen von Zahlen aus einem beliebigen Zahlensystem in Dezimalzahlen

IN Computer, bei der maschinellen Arithmetik spielt die Umrechnung von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes eine wichtige Rolle. Nachfolgend sind die Grundregeln für solche Transformationen (Übersetzungen) aufgeführt.

Bei der Umwandlung einer Binärzahl in eine Dezimalzahl ist es erforderlich, die Binärzahl in Form eines Polynoms darzustellen, von dem jedes Element als Produkt der Ziffer der Zahl und der entsprechenden Potenz der Basiszahl dargestellt wird, in dieser Fall$ 2 $, und dann müssen Sie das Polynom nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:

$ X_2 = A_n \ cdot 2 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 2 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 2 ^ 1 + A_1 \ cdot 2 ^ 0 $

Abbildung 1. Tabelle 1

Beispiel 1

Die Zahl $ 11110101_2 $, die in die Dezimalschreibweise umgewandelt werden soll.

Lösung. Mit der obigen Tabelle von $ 1 $ Basisgrad $ 2 $ stellen wir die Zahl in Form eines Polynoms dar:

$ 11110101_2 = 1 \ cdot 27 + 1 \ cdot 26 + 1 \ cdot 25 + 1 \ cdot 24 + 0 \ cdot 23 + 1 \ cdot 22 + 0 \ cdot 21 + 1 \ cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_ (10) $

Um eine Zahl aus dem oktalen Zahlensystem in eine dezimale Zahl umzuwandeln, müssen Sie sie als Polynom darstellen, von dem jedes Element als Produkt der Ziffer der Zahl und der entsprechenden Potenz der Basiszahl dargestellt wird, in diesem Fall $ 8 $, und dann müssen Sie das Polynom nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:

$ X_8 = A_n \ cdot 8 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 8 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 8 ^ 1 + A_1 \ cdot 8 ^ 0 $

Abbildung 2. Tabelle 2

Beispiel 2

Die Zahl $ 75013_8 $ wird in Dezimalschreibweise umgewandelt.

Lösung. Mit der Tabelle von $ 2 $ Basisgrad $ 8 $ stellen wir die Zahl in Form eines Polynoms dar:

$ 75013_8 = 7 \ cdot 8 ^ 4 + 5 \ cdot 8 ^ 3 + 0 \ cdot 8 ^ 2 + 1 \ cdot 8 ^ 1 + 3 \ cdot 8 ^ 0 = 31243_ (10) $

Um eine Zahl vom hexadezimalen Zahlensystem in dezimal umzuwandeln, muss sie als Polynom dargestellt werden, dessen Element als Produkt der Ziffer der Zahl und der entsprechenden Potenz der Basiszahl dargestellt wird, in diesem Fall $ 16 $, und dann müssen Sie das Polynom nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:

$ X_ (16) = A_n \ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 16 ^ (n-3) +. .. + A_2 \ cdot 16 ^ 1 + A_1 \ cdot 16 ^ 0 $

Abbildung 3. Tabelle 3

Beispiel 3

Wandeln Sie die Zahl $ FFA2_ (16) $ in die Dezimalschreibweise um.

Lösung. Mit der Tabelle von $ 3 $ Basisgrad $ 8 $ stellen wir die Zahl in Form eines Polynoms dar:

$ FFA2_ (16) = 15 \ cdot 16 ^ 3 + 15 \ cdot 16 ^ 2 + 10 \ cdot 16 ^ 1 + 2 \ cdot 16 ^ 0 = 61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_ (10) $

Regeln zum Umwandeln von Zahlen von einem dezimalen Zahlensystem in ein anderes

• Um eine Zahl von dezimal in binär umzuwandeln, muss sie sequentiell durch $ 2 $ geteilt werden, bis ein Rest kleiner oder gleich $ 1 $ übrig bleibt. Die Zahl im Binärsystem wird als Folge des letzten Ergebnisses der Division und des Rests der Division in umgekehrter Reihenfolge dargestellt.

Beispiel 4

Die Zahl $ 22_ (10) $ wird in binäre Notation umgewandelt.

Lösung:

Figur 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Um eine Zahl von dezimal in oktal umzuwandeln, muss sie sequentiell durch 8 $ geteilt werden, bis ein Rest kleiner oder gleich 7 $ bleibt. Die Oktalzahl wird als Ziffernfolge des letzten Divisionsergebnisses und des Rests der Division in umgekehrter Reihenfolge dargestellt.

Beispiel 5

Die Zahl $ 571_ (10) $ wird in oktale Notation umgewandelt.

Lösung:

Abbildung 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Um eine Zahl von dezimal in hexadezimal umzuwandeln, muss sie sequentiell durch 16 $ geteilt werden, bis ein Rest kleiner oder gleich 15 $ bleibt. Die Zahl im Hexadezimalsystem wird als Ziffernfolge des letzten Divisionsergebnisses und des Rests der Division in umgekehrter Reihenfolge dargestellt.

Beispiel 6

Die Zahl $ 7467_ (10) $ wird in die hexadezimale Schreibweise umgewandelt.

Lösung:

Abbildung 6.

$ 7467_ (10) = 1D2B_ (16) $

Um einen korrekten Bruch aus dem dezimalen Zahlensystem in einen nicht-dezimalen umzuwandeln, ist es notwendig, den Bruchteil der umzuwandelnden Zahl sequentiell mit der Basis des Systems zu multiplizieren, in das es umgewandelt werden soll. Bruchteil in neues System werden in Form von ganzen Werkteilen präsentiert, beginnend mit dem ersten.

Zum Beispiel: $ 0.3125 _ ((10)) $ in Oktal wird wie $ 0.24 _ ((8)) $ aussehen.

In diesem Fall können Sie auf ein Problem stoßen, wenn ein unendlicher (periodischer) Bruch in nicht Dezimalsystem rechnen. In diesem Fall hängt die Anzahl der Stellen des Bruchs im neuen System von der erforderlichen Genauigkeit ab. Es sollte auch beachtet werden, dass ganze Zahlen ganze Zahlen bleiben und reguläre Brüche in jedem Zahlensystem Brüche bleiben.

Regeln zum Umwandeln von Zahlen von einem binären Zahlensystem in ein anderes

• Um eine Zahl von einem binären Zahlensystem in ein Oktalsystem umzuwandeln, muss sie in Dreiergruppen (Zifferndreier) unterteilt werden, beginnend mit dem niedrigstwertigen Bit, ggf Ziffer nach Tabelle 4.

Abbildung 7. Tabelle 4

Beispiel 7

Wandeln Sie die Zahl $ 1001011_2 $ in die oktale Notation um.

Lösung... Konvertieren wir die Zahl anhand von Tabelle 4 von binär in oktal:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Um eine Zahl vom binären Zahlensystem in hexadezimal umzuwandeln, sollte sie in Tetraden (vierstellig) unterteilt werden, beginnend mit dem niederwertigsten Bit, ggf zu Tabelle 4.

2.3. Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umwandeln

2.3.1. Umrechnung von ganzen Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes

Es ist möglich, einen Algorithmus zum Übersetzen von ganzen Zahlen aus einem System mit einer Radixradi zu formulieren P in ein System mit einer Basis Q :

1. Die Basis des neuen Zahlensystems wird in den Zahlen des ursprünglichen Zahlensystems ausgedrückt und alle nachfolgenden Aktionen werden im ursprünglichen Zahlensystem ausgeführt.

2. Führen Sie nacheinander die Division der gegebenen Anzahl der resultierenden ganzzahligen Quotienten nach dem neuen Zahlensystem durch, bis der Quotient kleiner als der Divisor ist.

3. Die resultierenden Reste, das sind die Ziffern einer Zahl im neuen Zahlensystem, sollen an das Alphabet des neuen Zahlensystems angeglichen werden.

4. Bilden Sie eine Zahl im neuen Zahlensystem und schreiben Sie sie auf, beginnend mit dem letzten Rest.

Beispiel 2.12.Übersetzen Dezimalzahl 173 10 zum Oktalzahlensystem:

Wir erhalten: 173 10 = 255 8

Beispiel 2.13. Konvertieren Sie die Dezimalzahl 173 10 in die hexadezimale Notation:

Wir erhalten: 173 10 = 16 n. Chr.

Beispiel 2.14. Konvertieren Sie dezimale 11 10 in binäre Notation. Bequemer ist es, den oben betrachteten Handlungsablauf (Übersetzungsalgorithmus) wie folgt darzustellen:

Wir erhalten: 11 10 = 1011 2.

Beispiel 2.15. Manchmal ist es bequemer, den Übersetzungsalgorithmus in Form einer Tabelle aufzuschreiben. Konvertieren von dezimalen 363 10 in binär.

Teiler

Wir erhalten: 363 10 = 101101011 2

2.3.2. Bruchzahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umwandeln

Es ist möglich, einen Algorithmus zur Übersetzung des richtigen Robi mit einer Radix zu formulieren P in Bruch mit basis Q:

1. Die Basis des neuen Zahlensystems wird in den Zahlen des ursprünglichen Zahlensystems ausgedrückt und alle nachfolgenden Aktionen werden im ursprünglichen Zahlensystem ausgeführt.

2. Multiplizieren Sie die gegebene Anzahl der erhaltenen Bruchteile der Produkte sequentiell auf der Grundlage des neuen Systems, bis der Bruchteil des Produkts gleich Null wird oder die erforderliche Genauigkeit der Zahlendarstellung erreicht ist.

3. Die resultierenden ganzen Teile der Produkte, die die Ziffern einer Zahl im neuen Zahlensystem sind, sollen an das alphabetische neue Zahlensystem angepasst werden.

4. Bilden Sie den Nachkommateil der Zahl im neuen Zahlensystem, beginnend mit dem ganzen Teil des ersten Produkts.

Beispiel 2.17. Konvertieren Sie 0,65625 10 in die hexadezimale Notation.

Wir erhalten: 0,65625 10 = 0,52 8

Beispiel 2.17. Konvertieren Sie 0,65625 10 in die hexadezimale Notation.

	x 16

Wir erhalten: 0.65625 10 = 0, A8 1

Beispiel 2.18. Konvertieren Sie dezimal 0,5625 10 in binäre Notation.

	x 2
	x 2
	x 2
	x 2

Wir erhalten: 0,5625 10 = 0,1001 2

Beispiel 2.19. Dezimalbruch in binäre Notation umwandeln 0.7 10.

Offensichtlich kann dieser Prozess unbegrenzt fortgesetzt werden und gibt immer mehr Zeichen des Bildes und das binäre Äquivalent der Zahl 0,7 10. In vier Schritten erhalten wir also die Zahl 0.1011 2 und in sieben Schritten die Zahl 0.1011001 2, die eine genauere Darstellung der Zahl 0.7 10 in binärer Form ist Zahlensystem und Ein derartiger endloser Prozess wird bei irgendeinem Schritt beendet, wenn davon ausgegangen wird, dass die erforderliche Genauigkeit der Zahlendarstellung erreicht wurde.

2.3.3. Übersetzung beliebiger Zahlen

Übersetzung beliebiger Zahlen, d.h. Zahlen, die ganzzahlige und gebrochene Teile enthalten, werden in zwei Schritten ausgeführt: der ganze Teil wird separat übersetzt und der Bruchteil wird separat übersetzt. Im letzten Datensatz der resultierenden Zahl wird der ganzzahlige Teil vom Komma (Punkt) getrennt.

Beispiel 2.20... Konvertieren Binärzahl 17,25 10.

Wir erhalten: 17,25 10 = 1001,01 2

Beispiel 2.21. Konvertieren Sie 124,25 10 in das Oktalsystem.

Wir erhalten: 124,25 10 = 174,2 8

2.3.4. Konvertieren von Zahlen von der Basis 2 zur Basis 2 n und zurück

Übersetzung von ganzen Zahlen. Wenn die Basis eines q-ären Zahlensystems eine Potenz von 2 ist, dann kann die Umwandlung von Zahlen von einem q-ären Zahlensystem in ein 2-äres und umgekehrt durchgeführt werden mehr einfache Regeln... Um eine ganzzahlige Binärzahl in die Basis q = 2 n zu schreiben, benötigen Sie:

1. Teilen Sie die Binärzahl von rechts nach links in Gruppen von jeweils n Ziffern auf.

2. Wenn die letzte linke Gruppe weniger als n Stellen enthält, muss sie links mit Nullen auf die erforderliche Anzahl Stellen aufgefüllt werden.

Beispiel 2.22. Wandeln wir die Zahl 101100001000110010 2 in das oktale Zahlensystem um.

Wir teilen die Zahl von rechts nach links in Triaden und schreiben unter jede von ihnen die entsprechende Oktalziffer:

Wir erhalten die oktale Darstellung der Originalnummer: 541062 8.

Beispiel 2.23. Die Zahl 1000000000111110000111 2 wird in ein hexadezimales Zahlensystem umgewandelt.

Wir teilen die Zahl von rechts nach links in Tetraden und notieren jeweils die entsprechende Hexadezimalziffer:

Wir erhalten die hexadezimale Darstellung der ursprünglichen Zahl: 200F87 16.

Übersetzung von Bruchzahlen. Um eine gebrochene Binärzahl in die Basis q = 2 n zu schreiben, benötigen Sie:

1. Teilen Sie die Binärzahl von links nach rechts in Gruppen von jeweils n Ziffern auf.

2. Enthält die letzte rechte Gruppe weniger als n Stellen, muss sie von rechts bis zur gewünschten Stellenzahl mit Nullen ergänzt werden.

3. Betrachten Sie jede Gruppe als eine n-Bit-Binärzahl und schreiben Sie sie mit der entsprechenden Ziffer in der Basis q = 2 n auf.

Beispiel 2.24. Die Zahl 0.10110001 2 wird in das oktale Zahlensystem umgerechnet.

Wir teilen die Zahl von links nach rechts in Triaden und schreiben unter jede von ihnen die entsprechende Oktalziffer:

Wir erhalten die oktale Darstellung der ursprünglichen Zahl: 0,542 8.

Beispiel 2.25. Wir übersetzen die Zahl 0.100000000011 2 in ein hexadezimales Zahlensystem. Wir teilen die Zahl von links nach rechts in Tetraden und notieren jeweils die entsprechende Hexadezimalziffer:

Wir erhalten die hexadezimale Darstellung der ursprünglichen Zahl: 0.803 16

Übersetzung beliebiger Zahlen. Um eine beliebige Binärzahl in die Basis q = 2 n zu schreiben, benötigen Sie:

1. Teilen Sie den ganzzahligen Teil einer gegebenen Binärzahl von rechts nach links und den Bruchteil von links nach rechts in Gruppen von jeweils n Ziffern auf.

2. Wenn die letzte linke und/oder rechte Gruppe weniger als n Stellen enthält, müssen diese links und/oder rechts mit Nullen bis zur erforderlichen Stellenzahl ergänzt werden;

3. Betrachten Sie jede Gruppe als eine n-Bit-Binärzahl und schreiben Sie sie mit der entsprechenden Ziffer in die Basis q = 2 n

Beispiel 2.26. Wandeln wir die Zahl 111100101.0111 2 in das oktale Zahlensystem um.

Wir teilen die ganzzahligen und gebrochenen Teile der Zahl in Dreiergruppen auf und schreiben unter jede von ihnen die entsprechende oktale Ziffer:

Wir erhalten die oktale Darstellung der ursprünglichen Zahl: 745.34 8.

Beispiel 2.27. Wir übersetzen die Zahl 11101001000,11010010 2 in ein hexadezimales Zahlensystem.

Wir teilen die ganzzahligen und gebrochenen Teile der Zahl in Notizbücher auf und notieren unter jedem von ihnen die entsprechende hexadezimale Ziffer:

Wir erhalten die hexadezimale Darstellung der ursprünglichen Zahl: 748, D2 16.

Umwandeln von Zahlen aus Zahlensystemen mit der Basis q = 2n zu binär. Damit eine beliebige Zahl, die im System zur Basis q = 2 n geschrieben ist, in das binäre Zahlensystem umgewandelt werden kann, muss jede Ziffer dieser Zahl durch ihr n-stelliges Äquivalent im binären Zahlensystem ersetzt werden.

Beispiel 2.28.Übersetzen wir die Hexadezimalzahl 4АС35 16 in ein binäres Zahlensystem.

Nach dem Algorithmus:

Wir erhalten: 10010101100000110101 2.

Aufgaben zum Selbststudium (Antworten)

2.38. Füllen Sie die Tabelle aus, in der in jeder Zeile die gleiche ganze Zahl geschrieben werden muss verschiedene Systeme rechnen.

Binär	Oktal	Dezimal	Hexadezimal

2.39. Füllen Sie die Tabelle aus, in der in jeder Zeile die gleiche Bruchzahl in verschiedenen Zahlensystemen geschrieben werden muss.

Binär	Oktal	Dezimal	Hexadezimal

2.40. Füllen Sie die Tabelle aus, in der in jeder Zeile dieselbe beliebige Zahl (die Zahl kann sowohl ganzzahlige als auch gebrochene Teile enthalten) in verschiedenen Zahlensystemen geschrieben werden muss.

Binär	Oktal	Dezimal	Hexadezimal
			59, B

Um Zahlen schnell von dezimal in binär umzuwandeln, müssen Sie die "2 hoch"-Zahlen gut kennen. Zum Beispiel 2 10 = 1024 usw. Auf diese Weise können Sie einige Beispiele für die Übersetzung in Sekundenschnelle lösen. Eine dieser Aufgaben ist Aufgabe A1 aus der Demo USE 2012... Sie können die Zahl natürlich lange und mühsam durch "2" teilen. Aber es ist besser, sich anders zu entscheiden und so wertvolle Zeit bei der Prüfung zu sparen.

Die Methode ist sehr einfach. Sein Wesen ist wie folgt: wenn die aus dem Dezimalsystem umzurechnende Zahl gleich der Zahl „2 hoch“ ist, dann enthält diese Zahl im Binärsystem die Zahl der Nullen gleich der Potenz. Fügen Sie vor diesen Nullen "1" hinzu.

• Lassen Sie uns die Zahl 2 aus dem Dezimalsystem übersetzen. 2 = 2 1. Daher enthält die Zahl im Binärsystem 1 Null. Wir setzen "1" voran und erhalten 10 2.
• Konvertieren von 4 aus dem Dezimalsystem. 4 = 2 2. Daher enthält die Zahl im Binärsystem 2 Nullen. Wir setzen "1" voran und erhalten 100 2.
• Konvertieren von 8 des Dezimalsystems. 8 = 2 3. Daher enthält die Zahl im Binärsystem 3 Nullen. Wir setzen "1" voran und erhalten 1000 2.

Ähnlich für andere Zahlen "2 hoch".

Ist die zu übersetzende Zahl um 1 kleiner als die Zahl "2 hoch", so besteht diese Zahl im Binärsystem nur aus Einsen, deren Zahl gleich hoch ist.

• Umrechnung von 3 aus dem Dezimalsystem. 3 = 2 2 -1. Daher enthält die Zahl im Binärsystem 2 Einsen. Wir bekommen 11 2.
• Konvertieren von 7 aus dem Dezimalsystem. 7 = 2 3 -1. Daher enthält die Zahl im Binärsystem 3 Einsen. Wir erhalten 111 2.

In der Abbildung bedeuten Quadrate binäre Darstellung Zahlen, und links in rosa, dezimal.

Die Übersetzung ist für andere Zahlen ähnlich "2 hoch-1".

Es ist klar, dass die Übersetzung von Zahlen von 0 auf 8 schnell oder durch Division erfolgen kann oder einfach ihre Darstellung im Binärsystem auswendig kennt. Ich habe diese Beispiele gegeben, damit Sie das Prinzip verstehen diese Methode und verwendet es, um "beeindruckendere Zahlen" zu übersetzen, beispielsweise um die Zahlen 127, 128, 255, 256, 511, 512 usw. zu übersetzen.

Sie können solche Probleme finden, wenn Sie eine Zahl übersetzen müssen, die nicht der Zahl "2 hoch" entspricht, aber nahe daran liegt. Es kann mehr oder weniger als die Zahl "2 hoch" sein. Der Unterschied zwischen der übersetzten Zahl und der Zahl "2 hoch" sollte gering sein. Zum Beispiel bis 3. Darstellung von Zahlen von 0 bis 3 im Binärsystem müssen Sie nur ohne Übersetzung kennen.

Wenn die Zahl größer ist, lösen wir wie folgt:

Zuerst übersetzen wir die Zahl „2 hoch“ im Binärsystem. Und dann addieren wir die Differenz zwischen der Zahl "2 hoch" und der zu übersetzenden Zahl.

Lassen Sie uns zum Beispiel 19 aus dem Dezimalsystem übersetzen. Es mehr Zahlen"2 hoch" durch 3.

16=2 4 . 16 10 =10000 2 .

3 10 =11 2 .

19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .

Wenn die Zahl kleiner als die Zahl "2 hoch" ist, ist es bequemer, die Zahl "2 hoch-1" zu verwenden. Wir lösen so:

Zuerst übersetzen wir die Zahl "2 hoch 1" im Binärsystem. Und dann ziehen wir davon die Differenz zwischen der Zahl "2 hoch-1" und der zu übersetzenden Zahl ab.

Lassen Sie uns zum Beispiel 29 aus dem Dezimalsystem übersetzen. Es ist um 2 mehr als die Zahl "2 hoch-1". 29 = 31-2.

31 10 =11111 2 .

2 10 =10 2 .

29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2

Wenn die Differenz zwischen der übersetzten Zahl und der Zahl "2 hoch" mehr als drei beträgt, können Sie die Zahl in Komponenten aufteilen, jeden Teil in ein Binärsystem übersetzen und addieren.

Übersetzen Sie beispielsweise die Zahl 528 aus dem Dezimalsystem. 528 = 512 + 16. Wir übersetzen getrennt 512 und 16.
512=2 9 . 512 10 =1000000000 2 .
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
Fügen Sie es nun in eine Spalte ein:

Das Ergebnis ist bereits eingegangen!

Zahlensysteme

Es gibt positionsgebundene und nicht-positionale Zahlensysteme. Das arabische Zahlensystem, das wir im Alltag verwenden, ist positionell, das römische jedoch nicht. In Positionsnummernsystemen bestimmt die Position einer Zahl eindeutig die Größe der Zahl. Betrachten wir dies am Beispiel der Dezimalzahl 6372. Zählen wir diese Zahl von rechts nach links beginnend bei Null auf:

Dann lässt sich die Zahl 6372 wie folgt darstellen:

6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.

Die Zahl 10 definiert das Zahlensystem (in diesem Fall ist es 10). Die Werte der Position der angegebenen Zahl werden als Grad angenommen.

Betrachten Sie die reelle Dezimalzahl 1287.923. Nummerieren wir es ausgehend von der Nullstelle der Zahl vom Dezimalpunkt nach links und rechts:

Dann kann die Zahl 1287.923 dargestellt werden als:

1287.923 = 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 10 -2 + 3 · 10 -3.

Allgemein lässt sich die Formel wie folgt darstellen:

C nein S n + C n-1 S n-1 + ... + C 1 S 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

wobei Ц n eine ganze Zahl in Position . ist n, Д -k - Bruchzahl an Position (-k), S- Zahlensystem.

Ein paar Worte zum Zahlensystem Die Zahl im dezimalen Zahlensystem besteht aus vielen Ziffern (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), im oktalen Zahlensystem - aus der Menge der Zahlen (0,1, 2,3,4,5,6,7), im binären Zahlensystem - aus der Zahlenmenge (0,1), im hexadezimalen Zahlensystem - aus der Zahlenmenge (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), wobei A, B, C, D, E, F den Zahlen 10,11 entsprechen ,12,13,14,15 die Zahlen in verschiedene Systeme rechnen.

Tabelle 1
Notation
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	EIN
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umwandeln

Um Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umzuwandeln, ist es am einfachsten, die Zahl zuerst in das dezimale Zahlensystem und dann aus dem dezimalen Zahlensystem in das erforderliche Zahlensystem umzuwandeln.

Konvertieren von Zahlen aus einem beliebigen Zahlensystem in das Dezimalzahlensystem

Mit Formel (1) können Sie Zahlen aus einem beliebigen Zahlensystem in das Dezimalzahlensystem umwandeln.

Beispiel 1. Wandeln Sie die Zahl 1011101.001 vom binären Zahlensystem (SS) in das dezimale SS um. Lösung:

1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93,125

Beispiel2. Konvertieren Sie 1011101.001 vom oktalen Zahlensystem (SS) in das dezimale SS. Lösung:

Beispiel 3 ... Konvertieren Sie die Zahl AB572.CDF von der hexadezimalen Basis in die dezimale SS. Lösung:

Hier EIN-ersetzt durch 10, B- um 11, C- um 12, F- bis 15.

Zahlen von einem dezimalen Zahlensystem in ein anderes Zahlensystem umwandeln

Um Zahlen aus dem dezimalen Zahlensystem in ein anderes Zahlensystem umzuwandeln, müssen Sie den ganzzahligen Teil der Zahl und den Bruchteil der Zahl getrennt übersetzen.

Der ganzzahlige Teil der Zahl wird von der dezimalen SS in ein anderes Zahlensystem umgewandelt - indem der ganzzahlige Teil der Zahl sequentiell durch die Basis des Zahlensystems dividiert wird (für eine binäre SS - durch 2, für eine 8-äre SS - durch 8, für einen 16-är - durch 16 usw.) ), bis ein ganzer Rückstand erhalten wird, weniger als die Base CC.

Beispiel 4 ... Lassen Sie uns die Zahl 159 von dezimaler SS in binäre SS umwandeln:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Wie aus Abb. In 1 ergibt die Zahl 159 bei Division durch 2 den Quotienten 79 und den Rest 1. Außerdem ergibt die Zahl 79 bei Division durch 2 den Quotienten 39 und den Rest 1 und so weiter. Als Ergebnis erhalten wir, nachdem wir aus dem Rest der Division (von rechts nach links) eine Zahl gebildet haben, die Zahl in der binären SS: 10011111 ... Daher können wir schreiben:

159 10 =10011111 2 .

Beispiel 5 ... Lassen Sie uns die Zahl 615 von dezimaler SS in oktale SS umwandeln.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Wenn Sie eine Zahl von dezimalen SS in oktale SS umwandeln, müssen Sie die Zahl sequentiell durch 8 dividieren, bis Sie einen ganzen Rest kleiner als 8 erhalten. Konstruieren Sie also eine Zahl aus den Resten der Division (von rechts nach links), wir erhalten die Zahl in oktaler SS: 1147 (siehe Abb. 2). Daher können wir schreiben:

615 10 =1147 8 .

Beispiel 6 ... Konvertieren der Zahl 19673 von dezimal in hexadezimal SS.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Wie aus Abbildung 3 ersichtlich, erhalten wir durch sequentielles Teilen von 19673 durch 16 die Reste 4, 12, 13, 9. Im hexadezimalen Zahlensystem entspricht 12 C und 13 entspricht D. Daher ist unsere Hexadezimalzahl 4CD9.

Um korrekte Dezimalbrüche (eine reelle Zahl mit einem ganzzahligen Teil von Null) in die Basis s umzuwandeln, muss diese Zahl sequentiell mit s multipliziert werden, bis eine reine Null im Bruchteil erhalten wird oder wir die erforderliche Anzahl von Stellen erhalten. Wenn bei der Multiplikation eine Zahl mit einem ganzzahligen Teil ungleich Null erhalten wird, wird dieser ganzzahlige Teil nicht berücksichtigt (sie werden sequentiell zum Ergebnis addiert).

Betrachten wir das Obige anhand von Beispielen.

Beispiel 7 ... Wandle die Zahl 0,214 von dezimal in binär SS um.

		0.214
	x	2
0		0.428
	x	2
0		0.856
	x	2
1		0.712
	x	2
1		0.424
	x	2
0		0.848
	x	2
1		0.696
	x	2
1		0.392

Wie aus Abb. 4 ersichtlich ist, wird die Zahl 0,214 sequentiell mit 2 multipliziert. Wenn die Multiplikation eine Zahl ungleich Null mit einem ganzzahligen Teil ergibt, wird der ganzzahlige Teil separat (links von der Zahl) geschrieben und die Zahl ist geschrieben mit einem ganzzahligen Teil Null. Wenn beim Multiplizieren eine Zahl mit einem ganzzahligen Teil von Null erhalten wird, dann wird links davon Null geschrieben. Der Multiplikationsprozess wird fortgesetzt, bis im Bruchteil eine reine Null oder die erforderliche Anzahl von Stellen erhalten wird. Schreiben Sie die fett gedruckten Zahlen (Abb. 4) von oben nach unten auf, erhalten wir die gewünschte Zahl im Binärzahlensystem: 0. 0011011 .

Daher können wir schreiben:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Beispiel 8 ... Wandeln wir die Zahl 0,125 vom dezimalen Zahlensystem in das binäre SS um.

		0.125
	x	2
0		0.25
	x	2
0		0.5
	x	2
1		0.0

Um die Zahl 0,125 von dezimaler SS in binär umzuwandeln, wird diese Zahl sequentiell mit 2 multipliziert. In der dritten Stufe stellte sich heraus, dass sie 0 war. Daher wurde das folgende Ergebnis erhalten:

0.125 10 =0.001 2 .

Beispiel 9 ... Lassen Sie uns die Zahl 0,214 von dezimal in hexadezimal SS umwandeln.

		0.214
	x	16
3		0.424
	x	16
6		0.784
	x	16
12		0.544
	x	16
8		0.704
	x	16
11		0.264
	x	16
4		0.224

Nach den Beispielen 4 und 5 erhalten wir die Zahlen 3, 6, 12, 8, 11, 4. Aber in der hexadezimalen SS entsprechen die Zahlen 12 und 11 den Zahlen C und B. Daher haben wir:

0,214 10 = 0,36C8B4 16.

Beispiel 10 ... Konvertieren Sie Dezimal in Oktal SS.

		0.512
	x	8
4		0.096
	x	8
0		0.768
	x	8
6		0.144
	x	8
1		0.152
	x	8
1		0.216
	x	8
1		0.728

Bekam:

0.512 10 =0.406111 8 .

Beispiel 11 ... Konvertieren der Zahl 159.125 von Decimal in Binary SS. Dazu übersetzen wir getrennt den ganzzahligen Teil der Zahl (Beispiel 4) und den Bruchteil der Zahl (Beispiel 8). Wenn wir diese Ergebnisse kombinieren, erhalten wir außerdem:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Beispiel 12 ... Konvertieren der Zahl 19673.214 von dezimal in hexadezimal SS. Dazu übersetzen wir getrennt den ganzzahligen Teil der Zahl (Beispiel 6) und den Bruchteil der Zahl (Beispiel 9). Wenn wir diese Ergebnisse kombinieren, erhalten wir.

Lernziele:

• wiederholen Sie das Material, das Sie auf dem Zahlensystem studiert haben;
• lernen, eine Zahl aus dem Dezimalsystem in ein anderes Positionszahlensystem umzuwandeln und umgekehrt;
• die Prinzipien der Übertragung von Zahlen von einem System in ein anderes beherrschen;
• logisches Denken entwickeln.

Während des Unterrichts

Zu Beginn des Unterrichts eine kurze Wiederholung und Hausaufgabenkontrolle.

In welcher Form werden die numerischen Informationen im Computerspeicher dargestellt?

Wofür werden Zahlensysteme verwendet?

Welche Zahlensysteme kennen Sie? Nennen Sie Ihre Beispiele.

Wie unterscheiden sich Positionssysteme von Nichtpositionssystemen?

Der Zweck unserer Lektion besteht darin, zu lernen, wie man eine Zahl vom Dezimalsystem in ein beliebiges anderes Positionszahlensystem umwandelt und umgekehrt. Aber zuerst schauen wir uns an, wie Sie das können

stellen eine beliebige nicht negative ganze Zahl dar:

In Positionssystemen wird der Wert der Aufzeichnung einer ganzen Zahl nach der folgenden Regel bestimmt: sei a n a n-1 a n-2 ... a 1 a 0 - Aufzeichnung der Zahl A und i - Ziffern, dann

wobei p eine ganze Zahl größer als 1 ist, die als Basis des Zahlensystems bezeichnet wird

Damit für ein gegebenes p jede nicht negative ganze Zahl nach Formel (1) geschrieben werden kann, und zwar auf einzigartige Weise, Zahlenwerte verschiedene Ziffern müssen verschiedene ganze Zahlen sein, die zum Bereich von 0 bis p-1 gehören.

1) Dezimalsystem

Ziffern: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Zahl 5735 = 5 10 3 + 7 10 2 + 3 10 1 + 8 10 0

2) Das ternäre System

Ziffern: 0,1,2

Zahl 201 3 = 2 3 2 + 0 3 1 + 1 3 0

Hinweis: Der tiefgestellte Index in der Zahlenschreibweise bezeichnet die Basis des Zahlensystems, in dem die Zahl geschrieben wird. Beim dezimalen Zahlensystem kann der Index weggelassen werden.

Darstellung von negativen und gebrochenen Zahlen:

In allen Positionssystemen wird das Vorzeichen '-' verwendet, um negative Zahlen sowie im Dezimalsystem zu schreiben. Ein Komma wird verwendet, um den ganzzahligen Teil der Zahl vom Bruchteil zu trennen. Der Wert des Datensatzes ana n-1 a n-2 ... a 1 a 0, a -1 a -2 ... a m-2 a m-1 am der Zahl A wird durch die Formel bestimmt, die ist eine Verallgemeinerung der Formel (1):

75,6 = 7 · 10 1 + 5 · 10 0 + 6 · 10 -1

–2.314 5 = - (2 · 5 0 + 3 · 5 –1 + 1 · 5 –2 + 4 · 5 –3)

Umwandeln von Zahlen aus einem beliebigen Zahlensystem in Dezimalzahlen:

Es versteht sich, dass sich bei der Übersetzung einer Zahl von einem Zahlensystem in ein anderes der quantitative Wert der Zahl nicht ändert, sondern sich nur die Schreibweise der Zahl ändert, genau wie bei der Übersetzung des Namens einer Zahl, zum Beispiel von Russisch ins Englische.

Die Umwandlung von Zahlen aus einem willkürlichen Zahlensystem in ein Dezimalsystem erfolgt durch direkte Berechnung unter Verwendung von Formel (1) für ganze Zahlen und Formel (2) für Bruchzahlen.

Konvertieren von Zahlen von dezimal in willkürlich.

Konvertieren Sie eine Zahl vom Dezimalsystem in das System zur Basis p, finden Sie die Koeffizienten in Formel (2). Manchmal ist dies mit einer einfachen Auswahl leicht zu bewerkstelligen. Angenommen, Sie möchten die Zahl 23,5 in das Oktalsystem umwandeln. Es ist leicht zu erkennen, dass 23,5 = 16 + 7 + 0,5 = 2 · 8 + 7 + 4/8 = 2 · 8 1 + 7 · 8 0 + 4 · 8 -1 = 27,48. Es ist klar, dass die Antwort nicht immer so offensichtlich ist. Im allgemeinen Fall wird das Verfahren der getrennten Übersetzung der ganzzahligen und gebrochenen Teile einer Zahl verwendet.

Um ganze Zahlen zu übersetzen, wird der folgende Algorithmus verwendet (erhalten auf der Grundlage von Formel (1)):

1. Ermitteln Sie den Quotienten und den Rest, nachdem Sie die Zahl durch p geteilt haben. Der Rest ist die nächste Ziffer ai (j = 0,1,2 ...) der Nummernaufzeichnung im neuen Nummernsystem.

2. Wenn der Quotient null ist, ist die Übersetzung der Zahl abgeschlossen, andernfalls wenden wir Klausel 1 auf den Quotienten an.

Hinweis 1. Die Ziffern ai im Zahlendatensatz sind von rechts nach links nummeriert.

Hinweis 2. Wenn p> 10, müssen Bezeichnungen für Zahlen mit Zahlenwerten größer oder gleich 10 eingegeben werden.

Konvertieren Sie die Zahl 165 in das siebenfache Zahlensystem.

165: 7 = 23 (Rest 4) => a 0 = 4

23: 7 = 3 (Rest 2) => a 1 = 2

3: 7 = 0 (Rest 3) => a 2 = 3

Schreiben wir das Ergebnis auf: a 2 a 1 a 0, d.h. 3247.

Nach Überprüfung der Formel (1) stellen wir sicher, dass die Übersetzung korrekt ist:

3247 = 3 7 2 + 2 7 1 + 4 7 0 = 3 49 + 2 7 + 4 = 147 + 14 + 4 = 165.

Um Bruchteile von Zahlen zu übersetzen, wird ein Algorithmus verwendet, der auf der Grundlage der Formel (2) erhalten wird:

1. Multiplizieren Sie den Bruchteil der Zahl mit p.

2. Der ganzzahlige Teil des Ergebnisses ist die nächste Ziffer am (m = –1, –2, –3…), die die Zahl im neuen Zahlensystem aufzeichnet. Wenn der Bruchteil des Ergebnisses Null ist, ist die Übersetzung der Zahl abgeschlossen, ansonsten wenden wir Punkt 1 darauf an.

Hinweis 1. Die Ziffern a m im Zahlendatensatz sind von links nach rechts in aufsteigender Reihenfolge des Absolutwerts von m angeordnet.

Hinweis 2. Normalerweise ist die Anzahl der Nachkommastellen in neuer Eintrag die Anzahl ist im Voraus begrenzt. Auf diese Weise können Sie eine ungefähre Übersetzung mit einer bestimmten Genauigkeit durchführen. Bei unendlichen Brüchen sichert diese Einschränkung die Endlichkeit des Algorithmus.

Konvertieren Sie die Binärzahl 0,625.

0,625 2 = 1,25 (ganzer Teil 1) => a -1 = 1

0,25 2 = 0,5 (ganzzahliger Teil 0) => a- 2 = 0

0,5 2 = 1,00 (ganzer Teil 1) => a- 3 = 1

Also 0,62510 = 0,1012

Nach Überprüfung der Formel (2) stellen wir sicher, dass die Übersetzung korrekt ist:

0,1012 = 1 2 -1 + 0 2- 2 + 1 2 -3 = 1/2 + 1/8 = 0,5 + 0,125 = 0,625.

Wandeln Sie die Zahl 0,165 in das quaternäre Zahlensystem um, das auf vier quaternäre Ziffern beschränkt ist.

0,165 4 = 0,66 (ganzzahliger Teil 0) => a -1 = 0

0,66 4 = 2,64 (ganzzahliger Teil von 2) => a -2 = 2

0,64 4 = 2,56 (ganzer Teil 2) => a -3 = 2

0,56 4 = 2,24 (ganzzahliger Teil von 2) => a -4 = 2

Also, 0.16510 "0.02224

Lassen Sie uns eine Rückübersetzung durchführen, um sicherzustellen, dass der absolute Fehler 4–4 nicht überschreitet:

0,02224 = 0 4 -1 + 2 4 -2 + 2 4 -3 + 2 4 -4 = 2/16 + 2/64 + 2/256 = 1/8 + 1/32 + 1 / 128 = 21/128 = 0.1640625

|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625

Konvertieren von Zahlen von einem beliebigen System in ein anderes

In diesem Fall müssen Sie zuerst die Zahl in das Dezimalsystem umwandeln und dann vom Dezimalsystem in das erforderliche.

Eine spezielle Methode wird verwendet, um Zahlen für Systeme mit mehreren Basen zu übersetzen.

Seien p und q die Basen zweier Zahlensysteme. Wir nennen diese Zahlensysteme mit mehreren Basen, wenn p = qn oder q = pn, wobei n eine natürliche Zahl ist. Zahlensysteme mit den Basen 2 und 8 sind zum Beispiel Zahlensysteme mit mehreren Basen.

Sei p = qn und es ist erforderlich, eine Zahl aus dem Zahlensystem mit der Basis q in das Zahlensystem mit der Basis p umzuwandeln. Wir teilen die ganzzahligen und gebrochenen Teile der Zahlenaufzeichnung in Gruppen von n nacheinander geschriebenen Ziffern links und rechts vom Komma auf. Wenn die Anzahl der Stellen in der Aufzeichnung des ganzzahligen Teils der Zahl kein Vielfaches von n ist, müssen Sie die entsprechende Anzahl von Nullen nach links hinzufügen. Wenn die Anzahl der Stellen im Datensatz des Bruchteils einer Zahl kein Vielfaches von n ist, werden Nullen rechts angehängt. Jede dieser Zifferngruppen einer Nummer im alten Nummernsystem entspricht einer Ziffer einer Nummer im neuen Nummernsystem.

Umrechnung von 1100001.111 2 in das 4-fache Zahlensystem.

Nach dem Hinzufügen von Nullen und der Auswahl von Zahlenpaaren erhalten wir 01100001.11102.

Lassen Sie uns nun jedes Zahlenpaar separat übersetzen, indem wir den Punkt Zahlen von einem beliebigen System in ein anderes umwandeln verwenden.

Also 1100001.1112 = 01100001.11102 = 1201.324.

Angenommen, es ist nun erforderlich, einen Transfer von einem System mit einer großen Basis q zu einem System mit einer kleineren Basis p durchzuführen, d.h. q = pn. Dabei entspricht eine Ziffer der Nummer im alten Nummernsystem n Ziffern der Nummer im neuen Nummernsystem.

Beispiel: Lassen Sie uns die vorherige Übersetzung einer Zahl überprüfen.

1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112

Im Hexadezimalsystem gibt es Zahlen mit den Zahlenwerten 10,11,12,13,14,15. Um sie zu bezeichnen, verwenden Sie die ersten sechs Buchstaben des lateinischen Alphabets A, B, C, D, E, F.

Hier ist eine Tabelle mit Zahlen von 0 bis 16, geschrieben in Basis 10, 2, 8 und 16.

Dezimalzahl	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
In Oktal	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20
In binär	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
Hexadezimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	EIN	B	C	D	E	F	10

Um hexadezimale Ziffern zu schreiben, können Sie auch lateinische Kleinbuchstaben a-f verwenden.

Beispiel: Wandeln wir die Zahl 110101001010101010100.11 2 in ein hexadezimales Zahlensystem um.

Verwenden wir die Multiplizität der Basen der Zahlensysteme (16 = 2 4). Lassen Sie uns die Zahlen durch vier gruppieren und die erforderliche Anzahl von Nullen links und rechts hinzufügen

000110101001010101010100,1100 2

und mit Bezug auf die Tabelle erhalten wir: 1A9554, C 16

Abschluss:

Welches Zahlensystem besser zum Schreiben von Zahlen ist, ist eine Frage der Bequemlichkeit und der Tradition. Aus technischer Sicht ist es praktisch, ein Binärsystem in einem Computer zu verwenden, da es nur zwei Ziffern 0 und 1 verwendet, um eine Zahl aufzuzeichnen, die durch zwei leicht unterscheidbare Zustände „kein Signal“ und „es gibt“ dargestellt werden kann ein Signal".

Andererseits ist es für eine Person unbequem, mit binären Notationen von Zahlen umzugehen, da sie länger als Dezimalzahlen sind und viele sich wiederholende Zahlen enthalten. Wenn Sie mit maschinellen Zahlendarstellungen arbeiten müssen, verwenden Sie daher das oktale oder hexadezimale Zahlensystem. Die Basen dieser Systeme sind ganzzahlige Zweierpotenzen, und daher können Zahlen leicht von diesen Systemen in binäre Zahlen und umgekehrt übersetzt werden.

Wir schreiben die Aufgabe zu Hause auf:

a) Tragen Sie das Geburtsdatum aller Mitglieder Ihrer Familie in verschiedene Zahlensysteme ein.

b) Wandeln Sie die Zahlen von binär in oktal und hexadezimal um und überprüfen Sie dann die Ergebnisse, indem Sie die umgekehrten Übersetzungen durchführen:

a) 1001111110111.011 2;