2 つの行列の積の行列式を計算します。行列の積の行列式。 2 つの正方行列の積の行列式

講義6

4.6 2 つの正方行列の積の行列式。

2 つの正方行列の積 n-番目の順序は常に定義されます。この場合、次の定理が重要になります。

定理。 行列積の行列式は、因子行列の行列式の積と等しくなります。

証拠。させて

そして
,

補助行列式を作成しましょう

ラプラスの定理の結果として、次のようになります。

それで、
、それを示します
。これを行うには、行列式を次のように変換します。最初のものを最初に P
、に追加
- 番目の列。それから最初の P列の乗算
、に追加
-番目の列など最後のステップで、
最初の列が追加されます P列の乗算
。その結果、行列式が得られます。

ラプラスの定理を使用して、結果の行列式を最後の点に関して拡張します。 P列を確認すると、次のことがわかります。

したがって、等式が証明されました
そして
、そこから次のことがわかります
.

4.7.逆行列

定義 1 . 正方行列が与えられるとしますあ P-番目の注文。正方行列
同じ順序のものが呼び出されます 逆行するマトリックスにあ、もし、どこで E-恒等行列 P-番目の注文。

声明。 行列の逆行列がある場合あの場合、そのような行列は一意です。

証拠。マトリックスがあると仮定しましょう
行列の唯一の逆行列ではありませんあ。別の逆行列 B を考えてみましょう。そうすると、条件が満たされます。

作品を見てみましょう
。彼にとっては平等だ

そこから次のことがわかります
。このようにして、逆行列の一意性が証明されました。

逆行列の存在に関する定理を証明する際には、「随伴行列」という概念が必要になります。

定義 2 . 行列を与えてみましょう

その要素は代数の補数です要素行列あ、と呼ばれる 付属した マトリックスからマトリックスへあ.

随伴行列を構築するには、と行列要素あそれらを代数加算に置き換えてから、結果の行列を転置する必要があります。

定義3. 正方行列あ呼ばれた 非退化 、もし
.

定理。 マトリックスの順序としてはあ逆行列がありました
、マトリックスが必要かつ十分であるあ非退化であった。この場合、行列は
式によって決定されます

, (1)

どこ - 行列要素の代数的加算あ.

証拠。マトリックスにしてみましょうあ逆行列がある
。そして、それが続く条件が満たされます。最後の等式から、行列式は次のようになります。
そして
。これらの決定要因は次の関係によって関連付けられます。
。行列あそして
行列式がゼロではないため、非縮退です。

マトリックスを見てみましょうあ非退化。行列であることを証明しましょうあ逆行列がある
式(1)で求められます。そのために、作品を見てみましょう

行列あおよびそれに関連付けられた行列と.

行列の乗算規則によれば、要素は作品
行列あそしてとの形式は次のとおりです。要素の積の和なので私行目から対応する要素の代数補数へ j- 番目の行はゼロに等しい
そして行列式は
。したがって、

どこ E– 単位行列 P-番目の注文。等しいことは同様の方法で証明されます
。したがって、

、つまり、
とマトリックス行列の逆行列ですあ。したがって、非特異行列は、あは逆行列を持ち、式 (1) で求められます。

結果 1 . 行列行列式あそして
関係によって関連付けられている
.

結果 2 . 随伴行列の主な性質とマトリックスにあ表現されている

等式
.

結果 3 . 非特異行列の行列式あおよびそれに関連付けられた行列

と平等に縛られる
.

系 3 は等式から導かれます
と行列式の性質。 P-この数の乗。この場合

したがって、それは次のとおりです
.

例。あ:

解決。行列行列式

ゼロとは違う。したがって、行列はあその逆があります。それを見つけるために、まず代数の補数を計算します。

,
,
,

,
.

ここで、式 (1) を使用して、逆行列を書きます。

4.8. 行列に対する基本的な変換。ガウスアルゴリズム。

意味 1. 下 基本的な変換 サイズマトリックスの上

次の手順を理解してください。

行列の任意の行 (列) にゼロ以外の数値を乗算します。

どれかに追加する私いずれかの行列の行目 j- 番目の文字列に任意の数を乗算します。

どれかに追加する私そのいずれかの行列の番目の列 j- 番目の列に任意の数を掛けます。

行列の行（列）を並べ替えます。

定義2. 行列あそしてで電話します同等 , 基本的な変換を使用して、そのうちの 1 つを別のものに変換できる場合。書こう
.

行列の等価性には次の特性があります。:

定義 3 . 段付き マトリックスと呼ばれるあ次のような特性を持っています。

1) もし私- 番目の行はゼロ、つまりすべてゼロで構成されている場合、
- 番目の行もゼロです。

2) 最初の非ゼロ要素の場合私番目と
行目は数字の列にあります kそして私、それ
.

例。行列

そして

は段階的であり、行列は

ステップされていません。

基本的な変換を使用して、行列をどのように削減できるかを示しましょう。あ階段状のビューに。

ガウスアルゴリズム . マトリックスを考えてみるあサイズ
。一般性を失うことなく、次のように仮定できます。
。 (マトリックスの場合あ少なくとも 0 以外の要素がある場合は、行を並べ替えてから列を並べ替えることで、この要素が最初の行と最初の列の交点に位置するようにすることができます。) 行列の 2 番目の行に追加します。あ最初に乗算する、3行目まで – 最初の行に次の値を掛けます等

その結果、それがわかります

最新の要素
ラインは次の式で決定されます。

,
,
.

マトリックスを考えてみる

すべての行列要素ががゼロに等しい場合、

そして等価行列は段階的です。行列要素の場合少なくとも 1 がゼロと異なる場合、一般性を失うことなく次のように仮定できます。
(これは行列の行と列を再配置することで実現できます) ）。この場合、行列を変換すると、ちょうどマトリックスのようにあ、我々が得る

それぞれ、

ここ
,
,
.

そして
,
, … ,
。マトリックスの中であ T線を引いて、示された方法で段階的な形式にするために、それ以上は必要ありません。 Tステップ。その後、プロセスは次の時点で終了する可能性があります k- 番目のステップは、行列のすべての要素の場合に限ります。

はゼロに等しい。この場合

そして
,
, … ,
.

4.9. 初等変換を使用して逆行列を求めます。

大きな行列の場合、行列の基本変換を使用して逆行列を見つけると便利です。この方法は以下の通りである。複合行列を書き出す
ガウス法スキームによれば、それらはこの行列の行に対して実行されます（つまり、行列内で同時に実行されます）。あそしてマトリックスの中で E) 基本的な変換。その結果、マトリックスはあ単位行列に変換され、行列 E– マトリックスに
.

例。行列の逆行列を求める

解決。複合行列を書いてみましょう
そして、ガウス法に従って基本的な文字列変換を使用してそれを変換します。結果として、次のことが得られます。

これらの変換から、次のことが結論付けられます。

4.10 マトリックスランク。

意味。 整数 r呼ばれた ランク 行列あ、軽微な注文の場合 r、非ゼロ、およびすべてのマイナーはより高い順序です rはゼロに等しい。マトリックスのランクは記号で表されます。
.

マトリックスのランクは次の方法を使用して計算されます 国境を接する未成年者 .

例。マイナー境界法を使用して、行列の順位を計算します

解決。

上記の方法は必ずしも便利であるとは限りません。大規模な計算に関連する

決定要因の数。

声明。 行列のランクは、行と列の基本的な変換中には変化しません。

記載されたステートメントは、行列のランクを計算する 2 番目の方法を示しています。いわゆる 初等変換法による . 行列のランクを見つけるには、ガウス法を使用して行列を段階的形式に減らしてから、最大の非ゼロのマイナーを選択する必要があります。これを例を挙げて説明しましょう。

例。基本変換を使用して、行列のランクを計算します。

解決。ガウス法に従って一連の基本変換を実行してみましょう。その結果、等価な行列の連鎖が得られます。

意味。 2 つの行列の積あそしてでマトリックスと呼ばれると、その要素は交差点にあります私行目と j番目の列、要素の積の合計に等しい私行列の 2 行目あ対応する (順番に) 要素に j行列の列で.

この定義から、行列要素の式が続きます。 C:

マトリックス積あマトリックスにでで示される AB.

例1. 2 つの行列の積を求めますあそして B、もし

解決。 2つの行列の積を求めると便利ですあそしてで図 2 のように書きます。

図では、灰色の矢印は行列のどの行が要素であるかを示しますあ行列の何列目の要素にで行列要素を取得するには乗算する必要がありますと、線は行列要素の色です。 C対応する行列要素が接続されますあそして B、その積を加算して行列要素を取得します C.

その結果、行列積の要素が得られます。

これで、2 つの行列の積を書き出すための準備が整いました。

2 つの行列の積 AB行列の列数の場合にのみ意味を持ちますあ行列の行数と一致しますで.

次のリマインダーをより頻繁に使用すると、この重要な機能を覚えやすくなります。

行と列の数に関する行列の積には、もう 1 つの重要な特徴があります。

行列の積で AB行数は行列の行数と同じですあ、列の数は行列の列の数に等しいで .

例2。行列の行数と列数を求める C、これは 2 つの行列の積です。あそして B次の寸法:

a) 2 X 10 および 10 X 5。

b) 10 X 2 および 2 X 5。

例 3.行列の積を求めるあそして B、もし：

あ B- 2. したがって、行列の次元は C = AB- 2×2。

行列要素の計算 C = AB.

見つかった行列の積: 。

この問題および他の同様の問題の解決策は、次の URL で確認できます。 オンライン行列積計算機 .

例5。行列の積を求めるあそして B、もし：

解決。行列の行数あ- 2、行列の列数 B C = AB- 2×1。

行列要素の計算 C = AB.

行列の積は、列行列として記述されます。

この問題および他の同様の問題の解決策は、次の URL で確認できます。 オンライン行列積計算機 .

例6。行列の積を求めるあそして B、もし：

解決。行列の行数あ- 3、行列の列数 B- 3. したがって、行列の次元は C = AB- 3×3。

行列要素の計算 C = AB.

行列の積は次のようになります。 .

この問題および他の同様の問題の解決策は、次の URL で確認できます。 オンライン行列積計算機 .

例7。行列の積を求めるあそして B、もし：

解決。行列の行数あ- 1、行列の列数 B- 1. したがって、行列の次元は C = AB- 1×1。

行列要素の計算 C = AB.

行列の積は 1 つの要素の行列です。

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C++ での 2 つの行列の積のソフトウェア実装については、「コンピューターとプログラミング」ブロックの対応する記事で説明されています。

行列のべき乗

行列のべき乗は、行列に同じ行列を乗算することとして定義されます。行列の積は、最初の行列の列数と 2 つ目の行列の行数が一致する場合にのみ存在するため、累乗できるのは正方行列のみです。 n行列そのものを乗算して行列の乗を計算します。 n一度：

例8。行列が与えられる。探すあ²とあ³ .

マトリックス積を自分で見つけて、解決策を検討します

例9。行列が与えられると

指定された行列と転置行列の積、転置行列と指定された行列の積を求めます。

2 つの行列の積のプロパティ

特性１． 任意の行列 A と対応する次数の単位行列 E の積は、右側と左側の両方で行列 A と一致します。 AE = EA = A.

つまり、行列の乗算における単位行列の役割は、数値の乗算における単位の役割と同じです。

例10。行列積を見つけて、プロパティ 1 が真であることを検証します。

左右の単位行列に変換します。

解決。マトリックス以来あ 3 つの列が含まれている場合は、製品を見つける必要があります AE、どこ

-
3次単位行列。作品の要素を探ってみましょうと = AE :

判明したのは、 AE = あ .

さあ、商品を探してみましょう EA、どこ E行列 A には 2 つの行が含まれるため、は 2 次単位行列です。作品の要素を探ってみましょうと = EA :

定理。 A と B を次数 n の 2 つの正方行列とします。このとき、それらの積の行列式は、行列式の積に等しい、つまり、

| AB | = | あ| | B|。

¢ A = (a ij) n x n 、B = (bij) n x n とします。次数 2n の行列式 d 2 n を考えます。

d2n = | あ | | B | (-1) 1 + ... + n + 1 + ... + n = | あ | | B|。

d 2 n の行列式が行列 C=AB の行列式に等しいことを示せば、定理は証明されます。

d 2 n では、次の変換を行います。1 行に、11 を掛けた (n+1) 行を追加します。 (n+2) 文字列に 12 を乗算したものなど。 (2n) 文字列に 1 n を乗算します。結果の行列式では、最初の行の最初の n 要素はゼロになり、他の n 要素は次のようになります。

a 11 b 11 + a 12 b 21 + ... + a 1n b n1 = c 11;

a 11 b 12 + a 12 b 22 + ... + a 1n b n2 = c 12;

a 11 b 1n + a 12 b 2n + ... + a 1n b nn = c 1n。

同様に、行列式 d 2 n の 2, ..., n 行でゼロを取得し、これらの各行の最後の n 要素が行列 C の対応する要素になります。その結果、行列式 d 2 n は次のようになります。等しい行列式に変換される：

d2n = | C | (-1) 1 + ... + n + ... + 2n = |AB|。 £

結果。有限数の正方行列の積の行列式は、それらの行列式の積に等しい。

¢ 証明は帰納法によって実行されます。 A 1 ... A i +1 | = | A 1 ... A i | | A i +1 | = ... = = | A1 | ... | A i +1 | 。この一連の等式は定理によれば正しいです。 £

逆行列。

A = (a ij) n x n をフィールド P 上の正方行列とします。

定義1.行列 A は、行列式が 0 に等しい場合、特異と呼ばれます。それ以外の場合、行列 A は非特異と呼ばれます。

定義2. A ≠ P n とします。 AB = BA=E の場合、行列 B ≠ P n を A の逆行列と呼びます。

定理 (行列可逆性基準)。行列 A は、非特異である場合にのみ可逆です。

¢ A に逆行列があるとします。次に、AA -1 = E となり、行列式の乗算に関する定理を適用すると、 | が得られます。あ | | A -1 | = | E | または | あ | | A -1 | = 1。したがって、 | あ | 0番。

さあ、戻って、 | あ | ¹ 0。AB = BA = E となるような行列 B があることを示す必要があります。B として、次の行列を取ります。

ここで、A ij は要素 a ij の代数補数です。それから

結果は単位行列 (ラプラスの定理 § 6 の系 1 と 2 を使用するだけで十分です) になることに注意してください。 AB = E。同様に、BA = E であることが示されます。

例。行列 A について、逆行列を見つけるか、逆行列が存在しないことを証明します。

det A = -3 逆行列が存在します。次に、代数的加算を計算します。

A 11 = -3 A 21 = 0 A 31 = 6

A 12 = 0 A 22 = 0 A 32 = -3

A 13 = 1 A 23 = -1 A 33 = -1

したがって、逆行列は次のようになります: B = =

行列 A の逆行列を求めるアルゴリズム。

1. det A を計算します。

2. 0 の場合、逆行列は存在しません。 det A が 0 に等しくない場合は、代数加算を計算します。

3. 代数的加算を適切な場所に配置します。

4. 結果の行列のすべての要素を det A で除算します。

演習 1.逆行列が一意であるかどうかを調べます。

演習 2.行列 A の要素を有理数の整数とします。逆行列の要素は有理数になりますか?

線形方程式系。

定義1. a 1 x 1 + ....+a n x n =b という形式の方程式。ここで、a、...、a n は数値です。 x 1 , ... , x n - 未知数。次の線形方程式と呼ばれます。 n未知。

sとの方程式 n未知のものをシステムと呼ぶ sとの一次方程式 n不明、つまり

系 (1) の未知数の係数で構成される行列 A は、系 (1) の行列と呼ばれます。

行列 A に自由項の列を追加すると、システム (1) の拡張行列が得られます。

X = - 未知数の列。

無料会員のコラム。

マトリックス形式では、システムは AX=B (2) のようになります。

システム (1) の解は順序集合です。 n(1) x 1 = α 1 、x 2 = α 2 、…、x n = α n に代入すると、数値的同一性が得られます。

定義2.システム (1) は、解がある場合には一貫性があると呼ばれ、そうでない場合は一貫性がないと呼ばれます。

定義3. 2 つのシステムは、それらの解セットが一致する場合、同等であると呼ばれます。

システム (1) を解くための普遍的な方法、つまりガウス法 (未知数を逐次消去する方法) があります。15 ページを参照してください。

次の場合をさらに詳しく考えてみましょう。 s = n。このような系を解くための Cramer の方法があります。

d = det とすると、

d j は d の行列式で、j 番目の列が自由項の列に置き換えられます。

定理（クラマーの法則）。 システムの行列式 d ¹ 0 の場合、システムには次の式で得られる一意の解があります。

x 1 = d 1 / d …x n = d n / d

¢証明の考え方は、系 (1) を行列方程式の形で書き直すことです。入れましょう

そして、未知の列行列 X を使用して方程式 AX = B (2) を考えます。A、X、B はサイズ行列であるため、 n×n、n×1、n×1したがって、方形行列 AX の積が定義され、行列 B と同じ次元になります。したがって、式 (2) は意味を成します。

システム (1) と方程式 (2) の間の関係は、次の場合に限り、与えられたシステムの解は何かということです。

この列は方程式 (2) の解です。

確かに、このステートメントは平等を意味します

なぜなら ,

ここで、A ij は行列式 d の要素 a ij の代数補数です。

= ,

(4)から。

式 (4) の括弧内には、行列式 d j の j 列目の要素への展開が書かれており、これは行列式 d を置換した後に得られます。

j 番目の列は自由条件の列です。それが理由です、 x j = d j / d。£

結果。 n 個の線形方程式の同次系の場合、 n未知数の解がゼロでない場合、この系の行列式はゼロに等しくなります。

トピック 3. 1 つの変数内の多項式。

行列の行列式を表す。言い換えれば、行列の行列式は、セットの積の合計に対応する置換の符号を乗算したものになります。

2 次行列式は、主対角要素の積から側対角要素の積を引いたものに等しくなります。

三角形の法則が得られました。

行列式の最も単純な性質

行（列）がゼロの行列の行列式はゼロに等しい

三角行列の行列式は、主対角線上にある要素の積に等しい

主対角の下の要素がゼロの場合、それは三角行列です。

対角行列の行列式は、主対角線上にある要素の積に等しくなります。主対角の外側にあるすべての要素がゼロの場合、行列は対角になります。

行列式の基本的な性質

スカラー場、

証拠：

表しましょうセット全体を「実行」する場合、すべてを「実行」します。つまり、セット全体を「実行」します。

行列の 2 つの列 (行) を並べ替えると、行列式の符号が変わります。

証拠：

I) 列の再配置:

2 つの列を数値で並べ替えて得られる行列をとします。転置を考えてみましょう:

転置は奇妙な置換です。

証明では次の等式を使用します。

値のセット全体を実行する場合は、すべての値も実行します。

II) 文字列の再配置

2 行の順列から取得し、次に 2 列の順列から取得するとします。

III) ゼロに等しい 2 つの同一の行 (列) を持つ行列の行列式

証拠：

このような分野に実施しましょう。

クリコワの教科書『代数と数論』でこの事件の証拠を見つけてください。

数字が入った 2 つの同一の行があるとします。行を交換すると、行列が得られます。

2 つの同一の列がある場合、転置行列には 2 つの同一の行があります。

IV) 行列の任意の行 (列) のすべての要素に乗算される場合、行列式には次の乗算が行われます。

証拠：

行の乗算から取得しましょう

それ以来

列についても同様の証明

V) 2 つの行 (列) がゼロに比例する行列の行列式

証拠：

行列内の行を比例させます。つまり、 -string は -string の積に等しい。させて

列の場合:

から取得しましょう。列は両方とも比例し、

VI) 正方行列の行（列）の各要素が 2 つの要素の和である場合、行列式は 2 つの行列式の和に等しくなります。第一行列式の行列の－行（列）には第一項が書かれ、第二行列式の行列には第二項が書かれています。これらの行列式の行列の残りの要素は、行列の要素と同じです。

証拠：

VII) 行列式の行列の任意の行 (列) に別の行 (列) を乗算しても、行列式は変わりません。

証拠：

列についても同様です。

VIII) 行列のいずれかの行 (列) が他の行 (列) の線形結合である場合、行列式は

証拠：

ある文字列が他の文字列の線形結合である場合、他の文字列をそれに追加し、スカラーを乗算してゼロ文字列を取得できます。このような行列の行列式はゼロに等しい。

(最初の行に -2 を掛けて 2 番目の行と加算し、次に -3 を掛けて 3 番目の行と加算します)。この三角形形式への還元の法則は、順序の決定要因に使用されます。

三角行列の行列式は主対角線上にある要素の積に等しいためです。

正方行列がいくつかの行列 (長方形の場合もあります) の積である場合、多くの場合、因子の特性の観点から積の行列式を表現できることが重要です。次の定理は、これを示す強力な指標です。

マイナーと代数補体。

決定定理。

スカラー場、

デフ。順序決定要因のマイナー要素は、-行と-列を打ち消すことによって得られる順序決定要因です。

決定要因の主なマイナー

メジャーマイナーには予選あり

行列を考慮し、そのマイナーを計算します

意味。要素の代数補数は数値です

例: 計算してみましょう。

証拠：

(合計ではこれらの項のみが非ゼロになります)

この場合、置換は次の形式になります。置換を一致させましょう。つまり、

このような対応は、順列のセットから順列のセットへの 1 対 1 マッピングと呼ばれます。明らかに、それらは同じ反転を持っています。つまり、同じパリティと符号を持っています。

行列の任意の行（列）の要素が 1 つの要素を除いてすべて 0 に等しい場合、行列の行列式はこの要素とその代数補数の積に等しくなります。

証拠：

要素を除くすべての要素を行列の行とする

行と列を再配置することで、要素を右下隅、つまり行と列に移動しました。符号は一度変更され、その後、結果は最後の行のすべての要素がゼロに等しい行列になります。補題 1 によれば、次の理由により、

ラグランジュの定理

は、行列の任意の列 (行) の要素とその代数補数の積の合計に等しい。言い換えると、行列の -column に沿った分解は次の形式になります。また、行列の -row に沿った分解は次の形式になります。

証拠：

行列の -column を考慮して、行列式の 6 番目の性質に従って、次の形式で記述します。

行列式ラグランジアン数学的行列

行列の - 行での分解の公式も同様の方法で証明されます。

定理2

次の等式が有効です。

次のように行列から取得される行列を考えます。行列のすべての列は、番目の列を除き、行列の列と同じです。行列の 3 番目の列が - 番目の列と一致すると、それらには 2 つの同一の列があるため、行列の行列式は 0 に等しくなります。 - 番目の列の行列の行列式を展開してみましょう。

それから。式（２）も同様に示される。

結果：

行列積の決定因子

スカラー場、

基本行列に順序があるとすると、等式が真になります。

1) .、つまり -row にスカラーを乗算することで行列から取得されます。マトリックスの決定要因。

行列は -row にスカラーを乗算して取得されるため、行列式は

-row に加算して得られる行列

-基本行列
1)、証明は補題 1 から続きます。

2)、陳述 (1) の証明が提供される

定理1

2 つの行列の積の行列式は、それらの行列式の積に等しい、つまり、

証拠：

行列の行が線形独立であるとすると、基本変換のチェーンが存在します。

補題 2 により、次のことがわかります。 () から次のようになります:

2) 行は線形依存しているため、行が 0 の段階行列に変換される一連の基本変換が存在します。、。それから

製品にもゼロの線が入っていることから、

行列式がゼロになるための必要十分条件

スカラーのフィールド - フィールド上の行列

定理1

行列の行（列）は線形従属です

適切性:

行列の行 (列) が線形従属である場合、ある行は他の行の線形結合になります (それぞれ行列式の 8 つのプロパティ)

必要性：

そうしましょう。行が線形依存していることを証明しましょう。文字列が線形に独立していると仮定すると、変換する一連の基本変換が存在します。ポイント II で証明されたことから、次のことがわかります。矛盾を受け取りました。行列の - 行は線形依存しているが、(列ベクトルの数) は線形依存していることを証明してみましょう。

定理2

次の条件は同等です。

2) - 線形依存性
3) - リバーシブル
4) 初等行列の積として表すことができる

証拠：

定理 1 で証明される

マトリックス分割

行列、行列、行列、行列と書くと

そしてそれらは何らかのマトリックスを形成します。この場合、それらはマトリックスブロックと呼ばれることがあります。そしてそれに応じてマークを付けました。表現 (1) は行列分割と呼ばれます。

行列積が存在し、ブロックに分割されており、行列の列に沿った分割が行列の行に沿った分割に対応する場合、その積には次の式で与えられるブロックがあることが期待できます。

したがって、因子の適切な分割によって得られるブロックに関する行列の積は、スカラー要素に関するこれらの行列の積と形式的に一致すると仮定します。これを例で示してみましょう。

演習 1. させて

これは直接計算で確認できます

定理(1)

の行列をブロック数とし、を行列とし、の行列をサイズのブロックとします。次にブロックがあります

証拠。各製品が存在し、行列であることに注意してください。したがって、行列は存在し、今後も存在します。固定の場合はそれぞれに列があり、固定の場合はそれぞれに行があり、これは何らかの行列のブロックを意味します。

ブロックセル内にある行列要素を考えます。セルと行列の要素の合計があるため、 . ただし、セル内の行列要素は、行列の行の要素と行列の列の要素の積の合計です。さらに、行列の行の要素は行の一部の要素と一致します。つまり、インデックスは不等式によって決定されます。

行列の列の要素がの要素になります。したがって、

行列式の次数マイナーを定義しました。一般に、行列から行を除くすべての行と列を除くすべての列を削除した場合、結果の行列の行列式は次数行列のマイナーと呼ばれます。

マトリックスではプリンシパルと呼ばれるマイナー。が行列の場合、代数の補数は、たとえば次のようになります。

正方行列がいくつかの行列 (長方形の場合もあります) の積である場合、因子の特性の観点から積の行列式を表現することが重要な場合があります。次の定理は、この種の強力な結果です。

コメント。行列乗算の演算は非可換です。実際、製品 AB が存在する場合、寸法の不一致により BA がまったく存在しない可能性があります (前の例を参照)。 AB と BA の両方が存在する場合、それらは異なる次元を持つことができます (if)。

同じ次数の正方行列の場合、積 AB と BA は存在し、同じ次元を持ちますが、それらの対応する要素は一般に等しくありません。

ただし、製品 AB と BA が一致する場合もあります。

同じ次数の正方行列 A と単位行列 E の積を考えてみましょう。

製品 EA でも同じ結果が得られます。したがって、任意の正方行列 A AE = EA = A に対して。

逆行列。

定義 3.7. 正方行列 A は、特異な場合と非特異な場合と呼ばれます。

定義 3.8. AB = BA = E の場合、正方行列 B は、同じ次数の正方行列 A の逆行列と呼ばれます。この場合、B と表されます。

与えられた行列の逆行列が存在する条件とその計算方法を考えてみましょう。

定理3.2。逆行列が存在するには、元の行列が正則であることが必要かつ十分です。

証拠。

1) 必要性: それ以来 (定理 3.1)、したがって

2) 十分性: 次の形式で行列を設定します。

この場合、主対角線上にない積の要素 (または) は、行列 A の 1 つの行 (または列) の要素と別の列の要素の代数補数との積の合計に等しくなります。したがって、次のようになります。は 0 に等しくなります (2 つの等しい列を持つ行列式として)。主対角線上の要素は等しいため、次のようになります。

*=。定理は証明されました。

コメント。逆行列の計算方法をもう一度定式化しましょう。その要素は、転置行列 A の要素の代数的補数を行列式で割ったものです。

シール