ある記数法から別の記数法に転送します。ナンバーシステム。あるシステムから別のシステムへの転送

1.さまざまな番号システムの序数アカウント。

現代では、位置番号システム、つまり、数字で表される数字が番号レコード内の数字の位置に依存するシステムを使用しています。したがって、以下では、「位置」という用語を省略して、それらについてのみ説明します。

あるシステムから別のシステムに数値を変換する方法を学ぶために、例を使用して数値の順次記録がどのように行われるかを理解します。 10進法.

10進法があるので、10文字（数字）で数字を構成します。序数のカウントを開始します：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。数は終わりました。数値の桁容量を増やし、最下位ビットをゼロにします：10。次に、すべての桁がなくなるまで、最下位ビットを再び増やします：11、12、13、14、15、16、17、18、19。最上位ビットを1増やし、最下位ビットをゼロにします：20。両方の桁にすべての桁を使用すると（数値99が得られます）、数値の桁容量を再度増やし、既存の桁をリセットします：100。等々。

2番目、3番目、5番目のシステムでも同じことを試してみましょう（2番目のシステム、3番目のシステムなどの指定を入力します）。


0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10	3
4	100	11	4
5	101	12	10
6	110	20	11
7	111	21	12
8	1000	22	13
9	1001	100	14
10	1010	101	20
11	1011	102	21
12	1100	110	22
13	1101	111	23
14	1110	112	24
15	1111	120	30

記数法の基数が10を超える場合は、追加の文字を入力する必要があります。通常、ラテンアルファベットの文字を入力します。たとえば、12 aryシステムの場合、10桁に加えて、2文字が必要です。


0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10
11
12	10
13	11
14	12
15	13

2.10進数システムから他のシステムへの変換。

整数の正の10進数を異なる基数の記数法に変換するには、この数値を基数で割る必要があります。結果の商を再び底で割り、さらに商が底より小さくなるまで割ります。その結果、最後の商と最後から始まるすべての余りを1行で記述します。

例1。 10進数の46を2進数システムに変換します。

例2。 10進数の672を8進数の記数法に変換します。

例3。 10進数934を16進数システムに変換してみましょう。

3.任意の記数法から10進数への変換。

他のシステムから10進数に数値を変換する方法を学ぶために、10進数の通常の表記法を分析してみましょう。
たとえば、10進数325は5単位、2 10、300です。

状況は他の記数法でもまったく同じですが、10、100などではなく、記数法の基数を掛けるだけです。例として3進数1201を取り上げましょう。ゼロから始めて右から左に数字に番号を付け、数字の桁の次数で3を数字の積の合計として表します。

これは、数値の10進表現です。

例4。 8進数511を10進数表記に変換します。

例5。 16進数1151を10進数システムに変換してみましょう。

4.バイナリシステムからベースの「2の累乗」（4、8、16など）のシステムへの変換。

2進数を基数「2の累乗」の数値に変換するには、2進数シーケンスを右から左の累乗に等しい桁数に従ってグループに分割し、各グループを対応する桁に置き換える必要があります。新しいシステム計算。

たとえば、バイナリ1100001111010110を8進数に変換します。これを行うには、右から3文字のグループに分割し（以降）、対応テーブルを使用して、各グループを新しい数字に置き換えます。

第1節で対応表の作成方法を学びました。


0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7

それらの。

例6。 2進数の1100001111010110を16進数に変換します。


0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7
1000	8
1001	9
1010	NS
1011	NS
1100	NS
1101	NS
1110	E
1111	NS

5.ベースの「2の累乗」（4、8、16など）のシステムからバイナリに転送します。

この翻訳は、前の翻訳と似ています。裏：各桁をルックアップテーブルの2進数のグループに置き換えます。

例7。 16進数のC3A6を2進数のシステムに変換してみましょう。

これを行うには、番号の各桁を対応表の4桁のグループに置き換え、必要に応じて、先頭にゼロが付いたグループを追加します。

さまざまなサイズのネットワークのセットアップに従事していて、毎日計算に直面している場合、そのようなチートシートは必要ありません。すべてが無条件の反射で行われます。ただし、ネットワークをめったに調べない場合、プレフィックス21のマスクが10進数の形式であるか、同じプレフィックスを持つネットワークアドレスが何であるかを常に覚えているとは限りません。この点で、私はいくつかの小さな記事を書くことにしました-数字をに翻訳することに関するチートシートさまざまなシステム番号、ネットワークアドレス、マスクなど。このパートでは、数値をさまざまな数値システムに変換する方法について説明します。

1.番号システム

あなたがに関連する何かをしているときコンピューターネットワークそしてIT、とにかくこの概念に出くわすでしょう。そして、賢いIT担当者として、実際にはめったに使用しない場合でも、これを少なくとも少し理解する必要があります。
IPアドレスからの各桁の変換について考えてみましょう 98.251.16.138 次の数体系に：

バイナリ
オクタル
10進数
16進数

1.110進数

数値は10進数で記述されているため、10進数から10進数への変換はスキップします🙂

1.1.110進数→2進数

ご存知のように、2進数システムは、ほとんどすべての最新のコンピューターや他の多くのコンピューティングデバイスで使用されています。システムは非常に単純です。0と1しかありません。
10進数を2進数に変換するには、モジュロ2除算（つまり、2による整数除算）を使用する必要があります。その結果、常に1または0になります。この場合、結果は右から左。例では、すべてをその場所に配置します。

図1.1-数値を10進数から2進数に変換する

図1.2-10進数から2進数への数値の変換

98の除算について説明します。98を2で除算すると、49になり、余りは0になります。次に、除算を続け、49を2で除算すると、24になり、余りは1になります。除数で1または0に到達する方法。次に、結果を右から左に書き込みます。

1.1.210進数→8進数

8進数システムは、基数8の整数システムです。つまり、その中のすべての数値は0〜7の範囲で表され、10進法から変換するには、8を法とする除算を使用する必要があります。

図1.3-10進数から8進数への数値の変換

分割は2部構成のシステムに似ています。

1.1.310進数→16進数

16進法は、8進法にほぼ完全に取って代わっています。基数は16ですが、0から9までの10進数+ A（数値10）からF（数値15）までのラテン文字が使用されます。設定を確認するたびに遭遇します。ネットワークアダプター MACアドレスです。 IPv6を使用する場合も同じです。

図1.4-数値を10進数から16進数に変換する

1.2バイナリ

前の例では、すべての10進数を他の数値システムに変換しました。そのうちの1つは2進数です。それでは、各数値をバイナリ形式から変換してみましょう。

1.2.12進数→10進数

数値を2進数から10進数に変換するには、2つのニュアンスを知っている必要があります。 1つ目は、各0と1の因数が2であるということです。 n度、ここで、nは右から左に正確に1つ増加します。 2番目-乗算後、すべての数値を加算する必要があり、10進数形式の数値を取得します。合計すると、次のような式になります。

D =（an×pn-1）+（an-1×pn-2）+（an-2×pn-3）+…、（1.2.1）

どこ、
Dは私たちが探している10進数です。
NS-2進数の文字数。
a-n番目の位置（つまり、最初の文字、2番目など）の2進数形式の数値。
p-係数の2.8または16の累乗 NS（記数法による）

たとえば、110102という番号を考えてみましょう。式を見て、次のように記述します。

数字は5文字で構成されています（ NS=5)

a 5 = 1、a 4 = 1、a 3 = 0、a 2 = 1、a 1 = 0

p = 2（2進数から10進数に変換するため）

その結果、次のようになります。

D =（1×2 5-1）+（1×2 5-2）+（0×2 5-3）+（1×2 5-4）+（0×2 5-5）= 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10

右から左への書き込みに慣れている人にとって、フォームは次のようになります。

D =（0×2 5-5）+（1×2 5-4）+（0×2 5-3）+（1×2 5-2）+（1×2 5-1）= 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10

しかし、私たちが知っているように、合計は用語の順列から変化しません。数値を10進数に変換してみましょう。

図1.5-2進数から10進数への数値の変換

1.2.2バイナリ→8進数

翻訳するときは、2進数を右から左に3文字のグループに分割する必要があります。最後のグループが3文字で構成されていない場合は、欠落しているビットをゼロに置き換えるだけです。例えば：

10101001 = 0 10 101 001

1011100 = 00 1 011 100

ビットの各グループは、8進数の1つです。どれを見つけるには、ビットのグループごとに上記の式1.2.1を使用する必要があります。その結果、私たちは得ます。

図1.6-2進数から8進数への数値の変換

1.2.3バイナリ→16進数

ここでは、2進数を右から左に4文字のグループに分割し、その後、上記のように、グループの欠落しているビットにゼロを追加する必要があります。最後のグループがゼロで構成されている場合、それらは無視する必要があります。

110101011 = 000 1 1010 1011

1011100 = 0 101 1100

001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000

ビットの各グループは、16進数の1つです。ビットの各グループに式1.2.1を使用します。

図1.7-2進数から16進数への数値の変換

1.38進数

このシステムでは、残りの変換がスムーズに行われるため、16進システムに変換する場合にのみ問題が発生する可能性があります。

1.3.18進数→2進数

8進数の各数値は、前述のように、2進数の3ビットのグループです。翻訳には、チートシートを使用する必要があります。

図1.8-8進法から数値を変換するための拍車

このプレートを使用して、数値をバイナリシステムに変換します。

図1.9-8進数から2進数への数値の変換

出力について少し説明します。最初の数値は142です。これは、それぞれ3ビットの3つのグループがあることを意味します。スパーを使用すると、番号1が001、番号4が100、番号2が010であることがわかります。その結果、番号001100010になります。

1.3.28進数→10進数

ここでは、係数8（つまり、p = 8）でのみ式1.2.1を使用します。その結果、

図1.10-8進数から10進数への数値の変換

数字は3文字で構成されています（ NS=3)

a 3 = 1、a 2 = 4、a 1 = 2

p = 8（8進数から10進数に変換するため）

その結果、次のようになります。

D =（1×8 3-1）+（4×8 3-2）+（2×8 3-3）= 64 + 32 + 2 = 98 10

1.3.38進数→16進数

前に述べたように、変換のために、最初に数値を2進法に変換し、次に2進法から16進法に変換して、4ビットのグループに分割する必要があります。以下のスプリアスが使用できます。

図1.11-16進法から数値を変換するための拍車

このラベルは、2進数から16進数への変換に役立ちます。それでは、数字を翻訳してみましょう。

図1.12-数値を8進数から16進数に変換する

1.416進数

このシステムは、8進数に変換したときに同じ問題があります。しかし、それについては後で詳しく説明します。

1.4.116進数→2進数

上記のように、各16進数は2進数の4ビットのグループです。翻訳には、上にあるチートシートを使用できます。結果として：

図1.13-数値を16進数から2進数に変換する

最初の番号-62を見てみましょう。プレート（図1.11）を使用すると、6が0110、2が0010であることがわかります。その結果、番号は01100010になります。

1.4.216進数→10進数

ここでは、係数16（つまり、p = 16）でのみ式1.2.1を使用します。その結果、

図1.14-数値を16進数から10進数に変換する

最初の数字を見てみましょう。式1.2.1に基づく：

数字は2文字で構成されています（ NS=2)

a 2 = 6、a 1 = 2

p = 16（16進数から10進数に変換するため）

その結果、私たちは持っています。

D =（6×16 2-1）+（2×16 2-2）= 96 + 2 = 98 10

1.4.316進数→8進数

8進数に変換するには、最初に2進数に変換してから、3ビットのグループに分割し、プレートを使用する必要があります（図1.8）。結果として：

図1.15-数値を16進数から8進数に変換する

IPアドレス、マスク、ネットワークについて説明します。

最短の記数法は2進数です。それは完全に設立されました 位置形式について番号を記録します。主な特徴は原理です 数字を2倍にする特定の位置から次の位置への遷移を実行するとき。ある記数法から別の記数法へ、あなたはの助けを借りて両方を翻訳することができます特別プログラム手動で。

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歴史的認識

歴史上のバイナリSSの出現は科学者に関連付けられています 数学者V.G. ライプニッツ。で操作を実行するためのルールについて最初に話したのは彼でした数値この種の。しかし当初、この原則は残っていました 未請求..。このアルゴリズムは、コンピューターの出現の黎明期に世界的に認められ、適用されました。

便利さとシンプルさ操作は、算術のこのサブセクションのより詳細な研究の必要性につながりました。そして、それはの開発に不可欠になりました。コンピューターテクノロジーとソフトウェア..。このようなメカニズムがドイツとフランスの市場に初めて登場しました。

注意！この特定の業界では、10進数に対するバイナリシステムの優位性に対する特定のポイントが1946年に設定され、A。Becks、H。Goldstein、およびJ. VonNeumannによる記事で実証されました。

数値を10進数から2進数に変換します。

2進演算の機能

すべてのバイナリCCは、適用のみに基づいています 2文字、これはデジタル回路の機能と非常によく一致しています。各シンボルは特定のアクションを担当します。これは、多くの場合、次の2つの状態を意味します。

穴の存在またはその欠如、例えば、パンチカードまたはパンチテープ。
磁気キャリア上では、磁化または減磁の状態に関与します。
信号レベル、高または低。

SSが使用される科学では、特定の用語が導入されており、その本質は次のとおりです。

少し - 少し、特定の意味を持つ2つのコンポーネントで構成されています。左側に配置されているのはシニアとして識別され、優先順位が付けられ、右側にはジュニアが配置されていますが、これはそれほど重要ではありません。
バイトは、で構成される単位です。 8ビット.

多くのモジュールが情報を認識して処理します 部分または単語..。各単語の重みは異なり、次の要素で構成できます。 8、16、または32ビット.

あるシステムから別のシステムへの転送のルール

の一つ重要な要因算術機械は あるSSから別のSSへの転送..。したがって、数値を2進法に変換する方法を示すプロセスを実行するための基本的なアルゴリズムに注意を払います。

10進法を2進法に変換する

最初に、システムを10進数から2進数システムに変換する方法の質問に移りましょう。このためにあります 翻訳ルール 10進数から2進数へ、つまり 数学的アクション.

10進数が必要です 2で割る..。商が残るまで除算を実行します単位..。 2進数システムが必要な場合、変換は次のように行われます。

186：2 = 93（残り0）

93：2 = 46（残り1）

46：2 = 23（残り0）

23：2 = 11（残り1）

11：2 = 5（残り1）

5：2 = 2（残り1）

除算プロセスが完了した後、商の単位と残りのすべてが順番に書き込まれます 逆の順序で..。つまり、18610 = 1111010です。 10進数をCCに変換するための規則を常に遵守する必要があります。

数値を10進数から2進数に変換します。

10進数のSSから8進数への変換

10進数のSSから8進数に変換する場合も、同様のプロセスが実行されます。「 置換ルール"。前の例でデータが2で除算された場合、ここで必要です 8で割った値。数値X10を8進数に変換するためのアルゴリズムは、次の手順で構成されています。

数値X10は8で除算され始めます。次の除算のために結果の商を取り、余りは次のように記述されます。 下位ビット.
商が等しい結果が得られるまで除算を続けます零または残り、その意味によって 8未満..。この場合、すべての残差を次のように記述します。 最下位ビットオーダー.

たとえば、数値160110を8進数に変換する必要があります。

1601：8 = 200（残り1）

200：8 = 25（残り0）

25：8 = 3（残り1）

したがって、次のようになります。161010= 31018。

10進数から8進数への変換。

10進数は16進数で記述します

10進数から16進数のSSへの変換は、置換システムを使用して同じ方法で実行されます。しかし、数字に加えて、彼らはまた使用します ラテンアルファベットの文字 A、B、C、D、E、F。ここで、Aは10の余りを表し、Fは15の余りを表します。10進数は16で除算されます。たとえば、10710を16進数に変換します。

107：16 = 6（残り11-Bを置き換える）

6は16未満です。分割を停止し、10710 = 6B16と記述します。

別のシステムからバイナリへの移行

次の質問は、数値の8進数表記から2進数表記に変換する方法です。任意のシステムから2進数への数値の変換は非常に簡単です。この件の助手は 記数法表.

サービス目的..。このサービスは、ある番号システムから別の番号システムに番号を変換するように設計されています。オンラインモード..。これを行うには、数値を変換するシステムのベースを選択します。整数と数値の両方をコンマで入力できます。

34などの整数と637.333などの小数の両方を入力できます。小数の場合、変換精度は小数点の後に示されます。

以下は、この計算機でも使用されます。

数字を表す方法

バイナリ （2進数）数字-各桁は1ビット（0または1）の値を意味し、数字が文字「b」の後に、常に最上位ビットが左側に書き込まれます。便宜上、テトラッドはスペースで区切ることができます。たとえば、10100101bです。
16進数 （16進数）番号-各テトラッドは1文字0 ... 9、A、B、...、Fで表されます。このような表現はさまざまな方法で表すことができます。ここでは、最後の16進数の後の文字「h」のみです。使用されている。たとえば、A5h。プログラムテキストでは、プログラミング言語の構文に応じて、同じ番号を0xA5および0A5hと表すことができます。数字と記号名を区別するために、文字で表される最上位の16進数の左側にマイナーゼロ（0）が追加されます。
10進数 （10進数）数値-各バイト（ワード、ダブルワード）は通常の数値で表され、10進数表現（文字「d」）は通常省略されます。前の例のバイトの10進値は165です。2進表記や16進表記とは異なり、10進は各ビットの意味を精神的に判断するのが難しく、場合によってはそうする必要があります。
オクタル （8進数）数値-ビットの各トリプレット（除算は最下位のものから始まります）は0〜7の数字として書き込まれ、最後に記号「o」が付けられます。同じ数字は245°と表記されます。バイトを均等に分割できないため、8進数システムは不便です。

ある記数法から別の記数法に数値を変換するためのアルゴリズム

10進整数から他の記数法への変換は、余りに新しい記数法の底よりも小さい数が含まれるまで、その数を新しい記数法の底で割ることによって実行されます。新しい番号は、最後の番号から始まる除算の余りとして書き込まれます。
正しい小数部分の別のPSSへの変換は、すべてのゼロが小数部に残るまで、または指定された変換精度が達成されるまで、数値の小数部分のみに新しい記数法の基数を掛けることによって実行されます。各乗算演算を実行した結果、古い数値から始めて、新しい数値の1桁が形成されます。
誤った分数の変換は、1と2のルールに従って実行されます。全体と小数部分は、コンマで区切られて一緒に書き込まれます。

例1。

2から8から16の記数法への変換。
これらのシステムは2の倍数であるため、変換は対応表を使用して実行されます（以下を参照）。

2進数システムから8進数（16進数）に数値を変換するには、2進数をコンマから右と左に3桁（16進数の場合は4桁）のグループに分割し、極端なグループを次のように補足する必要があります。必要に応じてゼロ。各グループは、対応する8進数または16進数に置き換えられます。

例2。 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
ここでは001 = 1; 010 = 2; 111 = 7; 010 = 2; 101 = 5; 001 = 1

16進法に変換する場合は、同じ規則に従って、数値を4桁ずつの部分に分割する必要があります。
例3。 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
ここで0010 = 2; 1011 = B; 1010 = 12; 1011 = 13

2、8、16から10進数への変換は、数値を別々の数値に分割し、その序数に対応する累乗されたシステムの基数（数値の変換元）を乗算することによって実行されます。翻訳される数の数。この場合、数値は小数点の左側に番号が付けられ（最初の番号は0に番号が付けられます）、増加すると番号が付けられ、右側に番号が付けられます（つまり、負の符号が付けられます）。結果が合計されます。

例4。
2進数から10進数への変換の例。

1010010.101 2 = 1 2 6 + 0 2 5 + 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 + 1 2 -1 + 0 2-2 + 1 2 -3 =
= 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0.5 + 0 + 0.125 = 82.625 108進数から10進数への変換の例。 108.5 8 = 1 * 8 2 + 0 8 1 + 8 8 0 + 5 8 -1 = 64 + 0 + 8 + 0.625 = 72.625 106進数から10進数への変換の例。 108.5 16 = 1 16 2 + 0 16 1 + 8 16 0 + 5 16 -1 = 256 + 0 + 8 + 0.3125 = 264.3125 10

もう一度、ある記数法から別の記数法に数値を変換するためのアルゴリズムを繰り返します

10進数システムから：
- 数を、翻訳される記数法の基数で割ります。
- 数の整数部分の除算の余りを見つけます。
- 除算の余りをすべて逆順;
2進数システム
- 10進法に変換するには、対応する桁の次数で2を底とする積の合計を見つける必要があります。
- 数値を8進数に変換するには、数値を3進数に分割する必要があります。
  たとえば、1000 110 = 1000 110 = 106 8
- 数値を2進数から16進数に変換するには、数値を4桁のグループに分割する必要があります。
  たとえば、1000110 = 100 0110 = 46 16

位置システムはと呼ばれます、数字の重要性または重みは、数字内の位置によって異なります。システム間の関係を表に示します。
記数法対応表：

バイナリSS	16進数SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	NS
1011	NS
1100	NS
1101	NS
1110	E
1111	NS

8進数変換テーブル

ルール。ある記数法から別の記数法に数値を変換するには、元の数を新しい記数法の底で割る必要があります。結果の商を新しい記数法に基づいて再度除算し、それまで除算を続けます。商が新しい記数法の底より小さくなるまで。最後の除算から始まる除算の結果の剰余は、逆の順序で書き込まれます。これは、新しい番号システムでの番号の記録になります。

例。数値135を10桁のSSから2項、8桁、および16進表記システムに変換します。