Konwersja macierzy do postaci krokowej. Macierze diagonalne. Kryterium liniowej zależności wektorów

Definicja

Nazywa się macierz kwadratową przekątna, jeśli wszystkie jego elementy znajdujące się poza główną przekątną są równe zero.

Komentarz. Elementy przekątne macierzy (czyli elementy na głównej przekątnej) również mogą wynosić zero.

Przykład

Definicja

Skalarny zwaną macierzą diagonalną, w której wszystkie elementy przekątne są sobie równe.

Komentarz. Jeśli macierz zerowa jest kwadratowa, to jest również skalarna.

Przykład

Definicja

Macierz jednostkowa jest macierzą skalarną rzędu, której elementy przekątne są równe 1.

Komentarz. Aby skrócić zapis, można pominąć porządek macierzy jednostkowej; wtedy macierz jednostkowa jest po prostu oznaczona przez .

Przykład

jest macierzą tożsamości drugiego rzędu.

2.10. Sprowadzenie macierzy do postaci diagonalnej

Macierz normalna (w szczególności symetryczna). A można sprowadzić do postaci diagonalnej poprzez transformację podobieństwa -

A = TΛT −1

Tutaj Λ = diag(λ 1 ,..., λ N) jest macierzą diagonalną, której elementy są wartościami własnymi macierzy A, A T jest macierzą złożoną z odpowiednich wektorów własnych macierzy A, tj. T = (w 1 ,...,w N).

Na przykład,

Ryż. 23 Redukcja do postaci diagonalnej

Matryca kroków

Definicja

Weszłam jest macierzą spełniającą następujące warunki:

Definicja

Weszłam nazywa się macierzą zawierającą wiersze, w której pierwsze elementy przekątne są niezerowe, a elementy leżące poniżej głównej przekątnej i elementy ostatnich wierszy są równe zeru, czyli jest to macierz postaci:

Definicja

Głównym elementem wiersza macierzy nazywa się jego pierwszy niezerowy element.

Przykład

Ćwiczenia. Znajdź główne elementy każdego wiersza macierzy

Rozwiązanie. Głównym elementem pierwszego wiersza jest pierwszy niezerowy element tego wiersza, a zatem główny element wiersza nr 1; podobnie - główny element drugiej linii.

Inna definicja macierzy schodkowej.

Definicja

Macierz nazywa się wkroczył, Jeśli:

wszystkie jego linie zerowe znajdują się po liniach niezerowych;

w każdej niezerowej linii, począwszy od drugiej, jej główny element znajduje się na prawo (w kolumnie o wyższym numerze) od głównego elementu poprzedniej linii.

Z definicji macierze kroków obejmują macierz zerową, a także macierz zawierającą jeden wiersz.

Przykład

Przykłady macierzy kroków:

, , , ,

Przykłady macierzy, które nie są rzutami:

, ,

Przykład

Ćwiczenia. Dowiedz się, czy macierz jest wkroczył.

Rozwiązanie. Sprawdzamy spełnienie warunków z definicji:

Zatem podana macierz jest stopniowalna.

W tym temacie rozważymy pojęcie macierzy, a także rodzaje macierzy. Ponieważ terminów w tym temacie jest dużo, dodam krótkie podsumowanie, aby ułatwić poruszanie się po materiale.

Definicja macierzy i jej elementu. Notacja.

Matryca to tabela zawierająca $m$ wierszy i $n$ kolumn. Elementami macierzy mogą być obiekty o zupełnie innym charakterze: liczby, zmienne lub np. inne macierze. Na przykład macierz $\left(\begin(array) (cc) 5 i 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ zawiera 3 wiersze i 2 kolumny; jego elementy są liczbami całkowitymi. Macierz $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ zawiera 2 wiersze i 4 kolumny.

Różne sposoby zapisu macierzy: pokaż\ukryj

Macierz można zapisać nie tylko w nawiasach okrągłych, ale także w nawiasach kwadratowych lub podwójnych prostych. Poniżej znajduje się ta sama macierz w różnych formach zapisu:

$$ \left(\begin(tablica) (cc) 5 i 3 \\ 0 i -87 \\ 8 i 0 \end(tablica) \right);\;\; \left[ \begin(tablica) (cc) 5 i 3 \\ 0 i -87 \\ 8 i 0 \end(tablica) \right]; \;\; \left \Vert \begin(tablica) (cc) 5 i 3 \\ 0 i -87 \\ 8 i 0 \end(tablica) \right \Vert $$

Nazywa się iloczyn $m\razy n$ rozmiar matrycy. Na przykład, jeśli macierz zawiera 5 wierszy i 3 kolumny, to mówimy o macierzy o rozmiarze $5\razy 3$. Macierz $\left(\begin(array)(cc) 5 i 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ ma rozmiar $3 \times 2$.

Zazwyczaj macierze są oznaczane wielkimi literami alfabetu łacińskiego: $A$, $B$, $C$ i tak dalej. Na przykład $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 i 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Numeracja linii przebiega od góry do dołu; kolumny - od lewej do prawej. Przykładowo pierwszy wiersz macierzy $B$ zawiera elementy 5 i 3, natomiast druga kolumna zawiera elementy 3, -87, 0.

Elementy macierzy są zwykle oznaczane małymi literami. Na przykład elementy macierzy $A$ są oznaczone przez $a_(ij)$. Podwójny indeks $ij$ zawiera informację o położeniu elementu w macierzy. Liczba $i$ to numer wiersza, a liczba $j$ to numer kolumny, na przecięciu której znajduje się element $a_(ij)$. Na przykład na przecięciu drugiego wiersza i piątej kolumny macierzy $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ element $a_(25) = 59 dolarów:

W ten sam sposób na przecięciu pierwszego wiersza i pierwszej kolumny mamy element $a_(11)=51$; na przecięciu trzeciego wiersza i drugiej kolumny - element $a_(32)=-15$ i tak dalej. Zwróć uwagę, że wpis $a_(32)$ brzmi „trzy dwa”, ale nie „trzydzieści dwa”.

Aby skrócić macierz $A$, której rozmiar wynosi $m\times n$, stosuje się zapis $A_(m\times n)$. Często używany jest następujący zapis:

$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$

Tutaj $(a_(ij))$ wskazuje oznaczenie elementów macierzy $A$, tj. mówi, że elementy macierzy $A$ oznaczamy jako $a_(ij)$. W rozszerzonej formie macierz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ można zapisać następująco:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Wprowadźmy inny termin - równe macierze.

Nazywa się dwie macierze o tym samym rozmiarze $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i $B_(m\times n)=(b_(ij))$ równy, jeśli odpowiadające im elementy są równe, tj. $a_(ij)=b_(ij)$ dla wszystkich $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1,n)$.

Objaśnienie wpisu $i=\overline(1,m)$: show\hide

Zapis „$i=\overline(1,m)$” oznacza, że ​​parametr $i$ zmienia się od 1 do m. Przykładowo zapis $i=\overline(1,5)$ wskazuje, że parametr $i$ przyjmuje wartości 1, 2, 3, 4, 5.

Aby więc macierze były równe, muszą zostać spełnione dwa warunki: zbieżność rozmiarów i równość odpowiednich elementów. Na przykład macierz $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ nie jest równa macierzy $B=\left(\ Begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$, ponieważ macierz $A$ ma rozmiar $3\razy 2$ i macierz $B$ ma rozmiar 2 $\razy 2 $. Ponadto macierz $A$ nie jest równa macierzy $C=\left(\begin(array)(cc) 5 i 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ , ponieważ $a_( 21)\neq c_(21)$ (tj. $0\neq 98$). Ale dla macierzy $F=\left(\begin(array)(cc) 5 i 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ możemy spokojnie zapisać $A= F$, ponieważ zarówno rozmiary, jak i odpowiadające im elementy macierzy $A$ i $F$ pokrywają się.

Przykład nr 1

Określ rozmiar macierzy $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Wskaż, jakie są elementy $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Macierz ta zawiera 5 wierszy i 3 kolumny, więc jej rozmiar wynosi 5 $\razy 3 $. Dla tej macierzy możesz także użyć zapisu $A_(5\times 3)$.

Element $a_(12)$ znajduje się na przecięciu pierwszego wiersza i drugiej kolumny, więc $a_(12)=-2$. Element $a_(33)$ znajduje się na przecięciu trzeciego wiersza i trzeciej kolumny, więc $a_(33)=23$. Element $a_(43)$ znajduje się na przecięciu czwartego wiersza i trzeciej kolumny, więc $a_(43)=-5$.

Odpowiedź: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Rodzaje macierzy w zależności od ich wielkości. Przekątne główne i wtórne. Ślad matrycy.

Niech będzie dana pewna macierz $A_(m\timen)$. Jeżeli $m=1$ (macierz składa się z jednego wiersza) to dana macierz jest wywoływana wiersz-macierzy. Jeżeli $n=1$ (macierz składa się z jednej kolumny) to taką macierz nazywa się kolumna-macierz. Na przykład $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ jest macierzą wierszową, a $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ jest macierzą kolumnową.

Jeśli macierz $A_(m\times n)$ spełnia warunek $m\neq n$ (czyli liczba wierszy nie jest równa liczbie kolumn), to często mówi się, że $A$ jest prostokątem matryca. Na przykład macierz $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ ma rozmiar $2\times 4 $, te. zawiera 2 wiersze i 4 kolumny. Ponieważ liczba wierszy nie jest równa liczbie kolumn, macierz ta jest prostokątna.

Jeżeli macierz $A_(m\times n)$ spełnia warunek $m=n$ (tj. liczba wierszy jest równa liczbie kolumn), to mówimy, że $A$ jest macierzą kwadratową rzędu $ n$. Na przykład $\left(\begin(array) (cc) -1 i -2 \\ 5 i 9 \end(array) \right)$ jest macierzą kwadratową drugiego rzędu; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ jest macierzą kwadratową trzeciego rzędu. Ogólnie macierz kwadratową $A_(n\times n)$ można zapisać w następujący sposób:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Mówi się, że elementy $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ są włączone główna przekątna macierze $A_(n\razy n)$. Elementy te nazywane są główne elementy ukośne(lub po prostu elementy ukośne). Elementy $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ są włączone boczna (mniejsza) przekątna; nazywają się boczne elementy ukośne. Na przykład dla macierzy $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( tablica) \right)$ mamy:

Elementy $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ są głównymi elementami przekątnymi; elementy $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ są elementami bocznymi przekątnymi.

Nazywa się sumą głównych elementów przekątnych po którym następuje macierz i jest oznaczony przez $\Tr A$ (lub $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Na przykład dla macierzy $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 i -9 i 5 i 6 \end(array)\right)$ mamy:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Pojęcie elementów przekątnych jest również stosowane w przypadku macierzy innych niż kwadratowe. Na przykład dla macierzy $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ głównymi elementami przekątnymi będą $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Rodzaje macierzy w zależności od wartości ich elementów.

Jeżeli wszystkie elementy macierzy $A_(m\times n)$ są równe zero, to taką macierz nazywa się zero i jest zwykle oznaczany literą $O$. Na przykład $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0 \end(array) \right)$ - macierze zerowe.

Rozważmy pewien niezerowy wiersz macierzy $A$, tj. ciąg znaków zawierający co najmniej jeden element inny niż zero. Wiodący element niezerowego ciągu nazywamy jego pierwszym (licząc od lewej do prawej) niezerowym elementem. Rozważmy na przykład następującą macierz:

$$W=\left(\begin(array)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(array)\right)$ $

W drugiej linii elementem wiodącym będzie element czwarty, tj. $w_(24)=12$, a w trzeciej linii elementem wiodącym będzie element drugi, czyli: $w_(32)=-9$.

Nazywa się macierz $A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ wkroczył, jeśli spełnia dwa warunki:

1. Wiersze o wartości null, jeśli są obecne, znajdują się poniżej wszystkich wierszy o wartości innej niż null.
2. Numery wiodących elementów niezerowych wierszy tworzą ciąg ściśle rosnący, tj. jeśli $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ są elementami wiodącymi niezerowych wierszy macierzy $A$, to $k_1\lt(k_2)\ lt\ldots\lt( k_r)$.

Przykłady macierzy kroków:

$$ \left(\begin(tablica)(cccccc) 0 i 0 i 2 i 0 i -4 i 1\\ 0 i 0 i 0 i 0 i -9 i 0\\ 0 i 0 i 0 i 0 i 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(tablica)(cccc) 5 i -2 i 2 i -8\\ 0 i 4 i 0 i 0\\ 0 i 0 i 0 i -10 \end(tablica)\right). $$

Dla porównania: macierz $Q=\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(array)\right)$ nie jest macierzą schodkową, gdyż naruszony jest drugi warunek w definicji macierzy schodkowej. Wiodące elementy drugiego i trzeciego wiersza $q_(24)=7$ i $q_(32)=10$ mają liczby $k_2=4$ i $k_3=2$. Dla macierzy schodkowej musi być spełniony warunek $k_2\lt(k_3)$, który w tym przypadku jest naruszony. Zauważmy, że jeśli zamienimy drugi i trzeci wiersz, otrzymamy macierz krokową: $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 i 6 \\0 i 0 i 0 i 7 i 9\end(tablica)\right)$.

Nazywa się macierz kroków trapezowy Lub trapezowy, jeśli elementy wiodące $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ spełniają warunki $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r = r$, tj. wiodącymi są elementy ukośne. Ogólnie macierz trapezową można zapisać w następujący sposób:

$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(array) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(array)\right) $$

Przykłady macierzy trapezowych:

$$ \left(\begin(tablica)(cccccc) 4 i 0 i 2 i 0 i -4 i 1\\ 0 i -2 i 0 i 0 i -9 i 0\\ 0 i 0 i 0 i 0 & 0 i 0\\ 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0\\ 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(tablica)(cccc) 5 i -2 i 2 i -8\\ 0 i 4 i 0 i 0\\ 0 i 0 i -3 i -10 \end(tablica)\right). $$

Podajmy jeszcze kilka definicji macierzy kwadratowych. Jeżeli wszystkie elementy macierzy kwadratowej znajdujące się pod główną przekątną są równe zero, wówczas nazywa się taką macierz górna macierz trójkątna. Na przykład $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ to górna macierz trójkątna. Należy zauważyć, że definicja górnej macierzy trójkątnej nie mówi nic o wartościach elementów znajdujących się nad główną przekątną lub na głównej przekątnej. Mogą wynosić zero lub nie – to nie ma znaczenia. Na przykład $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ jest także górną macierzą trójkątną.

Jeżeli wszystkie elementy macierzy kwadratowej znajdujące się powyżej głównej przekątnej są równe zero, wówczas nazywa się taką macierz dolna macierz trójkątna. Na przykład $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - dolna macierz trójkątna. Należy zauważyć, że definicja dolnej macierzy trójkątnej nie mówi nic o wartościach elementów znajdujących się pod lub na głównej przekątnej. Mogą wynosić zero lub nie – to nie ma znaczenia. Na przykład $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ i $\left(\ rozpocząć (tablica) (ccc) 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0\\ 0 i 0 i 0 \end(array) \right)$ są także dolnymi macierzami trójkątnymi.

Nazywa się macierz kwadratową przekątna, jeśli wszystkie elementy tej macierzy nie leżące na głównej przekątnej są równe zero. Przykład: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ koniec(tablica)\right)$. Elementy na głównej przekątnej mogą być dowolne (równe zeru lub nie) - nie ma to znaczenia.

Nazywa się macierzą diagonalną pojedynczy, jeśli wszystkie elementy tej macierzy znajdujące się na głównej przekątnej są równe 1. Na przykład $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - macierz tożsamości czwartego rzędu; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ to macierz tożsamości drugiego rzędu.

Aby doprowadzić macierz do postaci schodkowej (ryc. 1.4), należy wykonać następujące kroki.

1. W pierwszej kolumnie wybierz element inny niż zero ( elementem wiodącym ). Ciąg znaków z elementem wiodącym ( linia wiodąca ), jeśli nie jest to pierwszy wiersz, przestaw go w miejsce pierwszego wiersza (transformacja typu I). Jeśli w pierwszej kolumnie nie ma elementu wiodącego (wszystkie elementy są równe zero), to wykluczamy tę kolumnę i kontynuujemy poszukiwania elementu wiodącego w pozostałej części macierzy. Transformacja kończy się, gdy zostaną wyeliminowane wszystkie kolumny lub pozostała część macierzy będzie zawierała wszystkie elementy zerowe.

2. Podziel wszystkie elementy wiersza wiodącego przez element wiodący (transformacja typu II). Jeśli linia wiodąca jest ostatnia, wówczas transformacja powinna się na tym zakończyć.

3. Do każdej linii znajdującej się poniżej linii wiodącej należy dodać wiersz wiodący, pomnożony odpowiednio przez taką liczbę, aby elementy pod linią wiodącą były równe zeru (przekształcenie typu III).

4. Po wyłączeniu z rozważań wiersza i kolumny, na przecięciu których znajduje się element wiodący, przechodzimy do kroku 1, w którym wszystkie opisane działania dotyczą reszty macierzy.

Twierdzenie o rozkładzie pozycji według elementów rzędu.

Twierdzenie o rozkładzie wyznacznika na elementy wiersza lub kolumny pozwala nam zredukować obliczenia wyznacznika - th Order() do obliczania wyznaczników kolejności .

Jeżeli wyznacznik ma elementy równe zero, to najwygodniej jest rozwinąć wyznacznik na elementy wiersza lub kolumny zawierające największą liczbę zer.

Korzystając z właściwości wyznaczników, możesz przekształcić wyznacznik - uporządkować tak, aby wszystkie elementy określonego wiersza lub kolumny, z wyjątkiem jednego, stały się równe zero. Zatem obliczenie wyznacznika - rzędu, jeżeli jest różna od zera, sprowadzimy do obliczenia jednego wyznacznika - zamówienie.

Zadanie 3.1. Oblicz wyznacznik

Rozwiązanie. Dodając pierwszą linię do drugiej linii, pierwszą linię pomnożoną przez 2 do trzeciej linii i pierwszą linię pomnożoną przez -5 do czwartej linii, otrzymamy

Rozkładając wyznacznik na elementy pierwszej kolumny, mamy

.

W otrzymanym wyznaczniku trzeciego rzędu zerujmy wszystkie elementy pierwszej kolumny, z wyjątkiem pierwszej. Aby to zrobić, do drugiej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez (-1), do trzeciej pomnożoną przez 5, dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez 8. Ponieważ trzecią linię pomnożyliśmy przez 5, to (aby wyznacznik się nie zmienia) pomnóż go przez . Mamy

Rozłóżmy otrzymany wyznacznik na elementy pierwszej kolumny:

Twierdzenie Laplace'a(1). Twierdzenie o dodatkach obcych(2)

1) Wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego rzędu i ich uzupełnień algebraicznych.

2) Suma iloczynów elementów dowolnego rzędu wyznacznika przez uzupełnienia algebraiczne odpowiednich elementów drugiego rzędu jest równa zeru (twierdzenie o mnożeniu przez inne uzupełnienia algebraiczne).

Każdy punkt na płaszczyźnie o wybranym układzie współrzędnych jest określony przez parę (α, β) jego współrzędnych; liczby α i β można również rozumieć jako współrzędne wektora promienia zakończonego w tym punkcie. Podobnie w przestrzeni trójka (α, β, γ) definiuje punkt lub wektor o współrzędnych α, β, γ. Na tym właśnie opiera się dobrze znana czytelnikowi interpretacja geometryczna układów równań liniowych z dwiema lub trzema niewiadomymi. Zatem w przypadku układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

za 1 x + b 1 y = do 1,

za 2 x + b 2 y = do 2

każde z równań interpretujemy jako prostą na płaszczyźnie (patrz rys. 26), a rozwiązanie (α, β) interpretujemy jako punkt przecięcia tych prostych lub jako wektor o współrzędnych ap (figura odpowiada w przypadku, gdy system ma unikalne rozwiązanie).

Ryż. 26

To samo można zrobić z układem równań liniowych z trzema niewiadomymi, interpretując każde równanie jako równanie płaszczyzny w przestrzeni.

W matematyce i jej różnych zastosowaniach (w szczególności w teorii kodowania) mamy do czynienia z układami równań liniowych zawierających więcej niż trzy niewiadome. Układ równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2, ..., x n jest układem równań w postaci

za 11 x 1 + za 12 x 2 + ... + za 1n x n = b 1,

za 21 x 1 + za 22 x 2 + ... + za 2n x n = b 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m,

gdzie a ij oraz b i są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Liczba równań w układzie może być dowolna i nie jest w żaden sposób powiązana z liczbą niewiadomych. Współczynniki dla niewiadomych a ij mają podwójną numerację: pierwszy indeks i oznacza numer równania, drugi indeks j - liczbę niewiadomych, przy której stoi ten współczynnik.

Każde rozwiązanie układu jest rozumiane jako zbiór (rzeczywistych) wartości niewiadomych (α 1 , α 2 , ..., α N ), zamieniając każde równanie w prawdziwą równość.

Chociaż bezpośrednia interpretacja geometryczna układu (1) dla n > 3 nie jest już możliwa, całkiem możliwe i pod wieloma względami wygodne jest rozszerzenie języka geometrycznego przestrzeni dwu- lub trójwymiarowej na przypadek dowolnego n. Temu celowi służą dalsze definicje.

Każdy uporządkowany zbiór n liczb rzeczywistych (α 1 , α 2 , ..., α N ) nazywa się n-wymiarowym wektorem arytmetycznym, a same liczby α 1 , α 2 , ..., α N - współrzędne tego wektora.

Do oznaczania wektorów stosuje się z reguły pogrubioną czcionkę, a dla wektora a o współrzędnych α 1, α 2, ..., α n zachowana jest zwykła forma zapisu:

a = (α 1, α 2, ..., α n).

Przez analogię do zwykłej płaszczyzny zbiór wszystkich n-wymiarowych wektorów spełniających równanie liniowe z n niewiadomymi nazywa się hiperpłaszczyzną w przestrzeni n-wymiarowej. Przy tej definicji zbiór wszystkich rozwiązań układu (1) jest niczym innym jak przecięciem kilku hiperpłaszczyzn.

Dodawanie i mnożenie wektorów n-wymiarowych wyznaczają te same zasady, co w przypadku wektorów zwykłych. Mianowicie, jeśli

a = (α 1, α 2, ..., α n), b = (β 1, β 2, ..., β n) (2)

Dwa n-wymiarowe wektory, wówczas ich suma nazywana jest wektorem

α + β = (α 1 + β 1, α 2 + β 2, ..., α n + β n). (3)

Iloczyn wektora a i liczby λ jest wektorem

λa = (λα 1, λα 2, ..., λα n). (4)

Zbiór wszystkich n-wymiarowych wektorów arytmetycznych z operacjami dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę nazywany jest arytmetyczną n-wymiarową przestrzenią wektorową L n.

Korzystając z wprowadzonych operacji, można rozważać dowolne kombinacje liniowe kilku wektorów, czyli wyrażenia postaci

λ 1 za 1 + λ 2 za 2 + ... + λ k za k,

gdzie λ i są liczbami rzeczywistymi. Na przykład liniowa kombinacja wektorów (2) o współczynnikach λ i μ jest wektorem

λa + μb = (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n).

W trójwymiarowej przestrzeni wektorowej szczególną rolę odgrywa trójka wektorów i, j, k (wektory jednostkowe współrzędnych), na które rozkładany jest dowolny wektor a:

a = xi + yj + zk,

gdzie x, y, z są liczbami rzeczywistymi (współrzędnymi wektora a).

W przypadku n-wymiarowym tę samą rolę odgrywa następujący układ wektorów:

mi 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

mi 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

mi 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

mi n = (0, 0, 0, ..., 1).

Każdy wektor a jest oczywiście kombinacją liniową wektorów e 1, e 2, ..., e n:

za = za 1 mi 1 + za 2 mi 2 + ... + za n mi n, (6)

a współczynniki α 1, α 2, ..., α n pokrywają się ze współrzędnymi wektora a.

Oznaczając przez 0 wektor, którego wszystkie współrzędne są równe zeru (w skrócie wektor zerowy), wprowadzamy następującą ważną definicję:

Układ wektorów a 1, a 2, ... i k nazywa się liniowo zależnym, jeśli istnieje kombinacja liniowa równa wektorowi zerowemu

λ 1 za 1 + λ 2 za 2 + ... + λ k za k = 0,

w którym co najmniej jeden ze współczynników h 1, λ 2, ..., λ k jest różny od zera. W przeciwnym razie system nazywa się liniowo niezależnym.

Zatem wektory

za 1 = (1, 0, 1, 1), za 2 = (1, 2, 1, 1) i 3 = (2, 2, 2, 2)

są liniowo zależne, ponieważ

za 1 + za 2 - za 3 = 0.

Zależność liniowa, jak widać z definicji, jest równoważna (dla k ≥ 2) temu, że przynajmniej jeden z wektorów układu jest liniową kombinacją pozostałych.

Jeżeli układ składa się z dwóch wektorów a 1 i a 2, to liniowa zależność układu oznacza, że ​​jeden z wektorów jest proporcjonalny do drugiego, powiedzmy, a 1 = λa 2; w przypadku trójwymiarowym jest to równoważne kolinearności wektorów a 1 i a 2. W ten sam sposób liniowa zależność układu I trzech wektorów w przestrzeni zwykłej oznacza, że ​​wektory te są współpłaszczyznowe. Pojęcie zależności liniowej jest zatem naturalnym uogólnieniem pojęć kolinearności i współpłaszczyznowości.

Łatwo sprawdzić, że wektory e 1, e 2, ..., e n układu (5) są liniowo niezależne. W konsekwencji w przestrzeni n-wymiarowej istnieją układy n liniowo niezależnych wektorów. Można wykazać, że dowolny układ o większej liczbie wektorów jest liniowo zależny.

Dowolny układ a 1 , a 2 , ..., a n składający się z n liniowo niezależnych wektorów n-wymiarowej przestrzeni L n nazywany jest jego bazą.

Dowolny wektor a przestrzeni L n rozkłada się w unikalny sposób na wektory o dowolnej bazie a 1, a 2, ..., a n:

za = λ 1 za 1 + λ 2 za 2 + ... + λ n za n.

Fakt ten można łatwo ustalić na podstawie definicji podstawy.

Kontynuując analogię z przestrzenią trójwymiarową, w przypadku n-wymiarowym można wyznaczyć iloczyn skalarny a b wektorów, wyznaczając

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .

Dzięki tej definicji zachowane są wszystkie podstawowe właściwości iloczynu skalarnego wektorów trójwymiarowych. Wektory aib nazywamy ortogonalnymi, jeśli ich iloczyn skalarny jest równy zero:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

Teoria kodów liniowych wykorzystuje jeszcze jedno ważne pojęcie – pojęcie podprzestrzeni. Podzbiór V przestrzeni L n nazywany jest podprzestrzenią tej przestrzeni jeśli

1) dla dowolnych wektorów a, b należących do V, ich suma a + b również należy do V;

2) dla dowolnego wektora a należącego do V i dla dowolnej liczby rzeczywistej λ wektor λa również należy do V.

Przykładowo zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów e 1, e 2 z układu (5) będzie podprzestrzenią przestrzeni L n.

W algebrze liniowej udowadnia się, że w dowolnej podprzestrzeni V istnieje taki liniowo niezależny układ wektorów a 1, a 2, ..., a k, że każdy wektor a podprzestrzeni jest liniową kombinacją tych wektorów:

za = λ 1 za 1 + λ 2 za 2 + ... + λ k za k .

Wskazany układ wektorów nazywany jest podstawą podprzestrzeni V.

Z definicji przestrzeni i podprzestrzeni wynika od razu, że przestrzeń L n jest grupą przemienną ze względu na operację dodawania wektorów, a dowolna jej podprzestrzeń V jest podgrupą tej grupy. W tym sensie można na przykład rozważyć coset przestrzeni L n w odniesieniu do podprzestrzeni V.

Podsumowując, podkreślamy, że jeśli w teorii n-wymiarowej przestrzeni arytmetycznej zamiast liczb rzeczywistych (czyli elementów pola liczb rzeczywistych) weźmiemy pod uwagę elementy dowolnego ciała F, to wszystkie podane definicje i fakty powyżej pozostaną ważne.

W teorii kodowania ważną rolę odgrywa przypadek, gdy pole F jest polem reszt Zp, które jak wiemy jest skończone. W tym przypadku odpowiednia przestrzeń n-wymiarowa jest również skończona i zawiera, jak łatwo zauważyć, elementy pn.

Pojęcie przestrzeni, podobnie jak pojęcia grupy i pierścienia, również pozwala na aksjomatyczną definicję. Po szczegóły odsyłamy Feedera do dowolnego kursu algebry liniowej.

Kombinacja liniowa. Liniowo zależne i niezależne układy wektorowe.

liniowa kombinacja wektorów

Liniowa kombinacja wektorów zwany wektorem

Gdzie - współczynniki kombinacji liniowej. Jeśli kombinację nazywa się trywialną, jeśli nie jest trywialna.

Zależność liniowa i niezależność wektorowa

System liniowo zależne

System liniowo niezależny

Kryterium liniowej zależności wektorów

W celu wektorów (r > 1) były liniowo zależne, konieczne i wystarczające jest, aby przynajmniej jeden z tych wektorów był liniową kombinacją pozostałych.

Wymiar przestrzeni liniowej

Przestrzeń liniowa V zwany N-wymiarowy (ma wymiar N), jeśli zawiera:

1) istnieje N wektory liniowo niezależne;

2) dowolny system n+1 wektory są liniowo zależne.

Oznaczenia: N= przyćmione V;.

Nazywa się system wektorowy liniowo zależny, jeśli istnieje niezerowy zbiór liczb stanowiący kombinację liniową

Nazywa się system wektorowy liniowo niezależny, jeśli od równości do zera kombinacji liniowej

równa się zeru wszyscy współczynniki

Zagadnienie liniowej zależności wektorów w ogólnym przypadku sprowadza się do pytania o istnienie niezerowego rozwiązania jednorodnego układu równań liniowych o współczynnikach równych odpowiednim współrzędnym tych wektorów.

Aby dokładnie zrozumieć pojęcia „zależność liniowa” i „niezależność liniowa” układu wektorów, warto rozwiązać problemy typu:

Liniowość I i II kryteria liniowości.

System wektorowy jest liniowo zależna wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z wektorów układu jest kombinacją liniową pozostałych wektorów tego układu.

Dowód. Niech układ wektorów będzie liniowo zależny. Wtedy istnieje taki zestaw współczynników , że , i co najmniej jeden współczynnik jest różny od zera. Udawajmy, że. Następnie

to znaczy jest to liniowa kombinacja pozostałych wektorów układu.

Niech jeden z wektorów układu będzie kombinacją liniową pozostałych wektorów. Załóżmy, że jest to wektor, tj . To oczywiste. Ustaliliśmy, że kombinacja liniowa wektorów układu jest równa zeru, a jeden ze współczynników jest różny od zera (równy ).

Oferta10 . 7 Jeżeli układ wektorów zawiera podsystem zależny liniowo, to cały układ jest liniowo zależny.

Dowód.

Niech podsystem będzie w układzie wektorów , , jest liniowo zależne, to znaczy , i co najmniej jeden współczynnik jest różny od zera. Następnie utwórzmy kombinację liniową. Jest oczywiste, że ta kombinacja liniowa jest równa zeru i że wśród współczynników znajduje się jeden niezerowy.

Podstawą układu wektorowego jest moc główna.

Baza niezerowego układu wektorów jest jego równoważnym liniowo niezależnym podsystemem. Układ zerowy nie ma podstawy.

Właściwość 1: Podstawa liniowego niezależnego układu pokrywa się sama ze sobą.

Przykład: Układ liniowo niezależnych wektorów, ponieważ żaden z wektorów nie może być wyrażony liniowo przez inne.

Właściwość 2: (Kryterium podstawowe) Liniowo niezależny podsystem danego układu jest jego bazą wtedy i tylko wtedy, gdy jest maksymalnie liniowo niezależny.

Dowód: Biorąc pod uwagę system Konieczność Niech baza. Następnie z definicji, a jeśli , gdzie , system jest liniowo zależny, ponieważ jest liniowo zdegenerowany przez , a zatem jest maksymalnie liniowo niezależny. Adekwatność Niech podsystem będzie maksymalnie liniowo niezależny, a następnie gdzie . liniowo zależny liniowo degeneruje się poprzez stąd podstawę układu.

Właściwość 3: (Główna właściwość bazy) Każdy wektor układu można wyrazić poprzez bazę w unikalny sposób.

Dowód Niech wektor zostanie zdegenerowany przez bazę na dwa sposoby: , wtedy

Ranga systemu wektorowego.

Definicja: Rząd niezerowego układu wektorów w przestrzeni liniowej to liczba wektorów jego podstawy. Ranga systemu zerowego jest z definicji zerowa. Właściwości rangi: 1) Ranga układu liniowo niezależnego pokrywa się z liczbą jego wektorów. 2) Ranga układu liniowo zależnego jest mniejsza niż liczba jego wektorów. 3) Szeregi równoważnych systemów pokrywają się -rankrank. 4) Ranga podsystemu jest mniejsza lub równa randze systemu. 5) Jeśli oba mają rangę rangi, wówczas mają wspólną podstawę. 6) Rangi układu nie można zmienić, jeżeli dodamy do niego wektor będący liniową kombinacją pozostałych wektorów układu. 7) Rangi układu nie można zmienić, jeśli zostanie z niego usunięty wektor będący liniową kombinacją pozostałych wektorów.

Aby znaleźć rząd układu wektorów, należy zastosować metodę Gaussa, aby zredukować układ do kształtu trójkątnego lub trapezowego.

Równoważne systemy wektorowe.

Przykład:

Przekształćmy dane wektorowe w macierz, aby znaleźć podstawę. Otrzymujemy:

Teraz, korzystając z metody Gaussa, przekształcimy macierz do postaci trapezowej:

1) W naszej macierzy głównej anulujemy całą pierwszą kolumnę z wyjątkiem pierwszego wiersza, od drugiej odejmiemy pierwszą pomnożoną przez , od trzeciej odejmiemy pierwszą pomnożoną przez , a od czwartej nie odejmiemy nic ponieważ pierwszy element czwartego wiersza, czyli przecięcie pierwszej kolumny i czwartej linii, jest równe zeru. Otrzymujemy macierz: 2) Teraz w macierzy zamieńmy wiersze 2, 3 i 4, aby ułatwić rozwiązanie, tak aby zamiast elementu był jeden. Zmieńmy czwartą linijkę zamiast drugiej, drugą zamiast trzeciej i trzecią w miejsce czwartej. Otrzymujemy macierz: 3) W macierzy anulujemy wszystkie elementy pod elementem . Ponieważ element naszej macierzy znów jest równy zero, nie odejmujemy niczego od czwartej linii, ale do trzeciej dodajemy drugą pomnożoną przez . Otrzymujemy macierz: 4) Ponownie zamieńmy wiersze 3 i 4 w macierzy. Otrzymujemy macierz: 5) W macierzy dodaj trzeci wiersz do czwartego wiersza, pomnożony przez 5. Otrzymamy macierz, która będzie miała postać trójkąta:

W systemach ich rangi pokrywają się ze względu na właściwości rangi, a ich ranga jest równa rangi rangi

Uwagi: 1) W odróżnieniu od tradycyjnej metody Gaussa, jeśli wszystkie elementy w wierszu macierzy podzielimy przez określoną liczbę, nie mamy prawa zmniejszać rzędu macierzy ze względu na właściwości macierzy. Jeśli będziemy chcieli zmniejszyć wiersz o określoną liczbę, będziemy musieli o tę liczbę zmniejszyć całą macierz. 2) Jeśli otrzymamy wiersz zależny liniowo, możemy go usunąć z naszej macierzy i zastąpić wierszem zerowym. Przykład: Od razu widać, że druga linia jest wyrażona przez pierwszą, jeśli pomnożymy pierwszą przez 2. W tym przypadku możemy zastąpić całą drugą linię zerem. Otrzymujemy: W rezultacie po doprowadzeniu macierzy do postaci trójkątnej lub trapezowej, gdzie nie ma ona liniowo zależnych wektorów, wszystkie niezerowe wektory macierzy będą podstawą macierzy, a ich liczba będzie rangą.

Oto także przykład układu wektorów w postaci wykresu: Biorąc pod uwagę układ, w którym , , i . Podstawą tego układu będą oczywiście wektory i , ponieważ wektory są przez nie wyrażane. Układ ten w formie graficznej będzie wyglądał następująco:

Elementarne odtworzenie. Systemy typu krokowego.

Elementarne przekształcenia macierzy- są to przekształcenia macierzy, w wyniku których zostaje zachowana równoważność macierzy. Zatem przekształcenia elementarne nie zmieniają zbioru rozwiązań układu liniowych równań algebraicznych, który reprezentuje ta macierz.

W metodzie Gaussa stosuje się transformacje elementarne w celu zredukowania macierzy do postaci trójkątnej lub schodkowej.

Podstawowe konwersje ciągów są nazywane:

Na niektórych kursach algebry liniowej permutacja wierszy macierzy nie jest rozróżniana jako odrębna transformacja elementarna ze względu na fakt, że permutację dowolnych dwóch wierszy macierzy można uzyskać mnożąc dowolny wiersz macierzy przez stałą i dodając kolejny wiersz do dowolnego pomnożonego wiersza macierzy przez stałą , .

Podobnie zdefiniowany elementarne transformacje kolumnowe.

Transformacje elementarne odwracalny.

Zapis wskazuje, że macierz można otrzymać poprzez elementarne przekształcenia (lub odwrotnie).

Macierz jest szczególnym obiektem w matematyce. Przedstawiany jest w formie prostokątnej lub kwadratowej tabeli, złożonej z określonej liczby wierszy i kolumn. W matematyce istnieje wiele rodzajów macierzy, różniących się rozmiarem i zawartością. Numery jego wierszy i kolumn nazywane są zamówieniami. Obiekty te wykorzystywane są w matematyce do porządkowania zapisu układów równań liniowych i wygodnego wyszukiwania ich wyników. Równania wykorzystujące macierz rozwiązuje się metodą Carla Gaussa, Gabriela Cramera, mollami i dodatkami algebraicznymi, a także wieloma innymi metodami. Podstawową umiejętnością pracy z macierzami jest redukcja do Jednak najpierw zastanówmy się, jakie typy macierzy wyróżniają matematycy.

Typ zerowy

Wszystkie składniki tego typu macierzy są zerami. Tymczasem liczba jego wierszy i kolumn jest zupełnie inna.

Typ kwadratowy

Liczba kolumn i wierszy tego typu macierzy jest taka sama. Inaczej mówiąc, jest to stół w kształcie „kwadratu”. Liczba kolumn (lub wierszy) nazywana jest kolejnością. Za przypadki szczególne uważa się istnienie macierzy drugiego rzędu (macierz 2x2), czwartego rzędu (4x4), dziesiątego rzędu (10x10), siedemnastego rzędu (17x17) i tak dalej.

Wektor kolumnowy

Jest to jeden z najprostszych typów macierzy, zawierający tylko jedną kolumnę, w której znajdują się trzy wartości liczbowe. Reprezentuje liczbę wolnych terminów (liczb niezależnych od zmiennych) w układach równań liniowych.

Widok podobny do poprzedniego. Składa się z trzech elementów numerycznych, zorganizowanych z kolei w jedną linię.

Typ diagonalny

Wartości liczbowe w postaci diagonalnej macierzy przyjmują jedynie składowe głównej przekątnej (zaznaczonej na zielono). Główna przekątna zaczyna się od elementu znajdującego się w lewym górnym rogu i kończy odpowiednio na elemencie w prawym dolnym rogu. Pozostałe składniki są równe zeru. Typ diagonalny jest tylko macierzą kwadratową pewnego rzędu. Wśród macierzy diagonalnych można wyróżnić macierz skalarną. Wszystkie jego składniki przyjmują te same wartości.

Podtyp macierzy diagonalnej. Wszystkie jego wartości liczbowe są jednostkami. Stosując jeden typ tablicy macierzy, dokonuje się jej podstawowych przekształceń lub znajduje macierz odwrotną do pierwotnej.

Typ kanoniczny

Kanoniczna forma macierzy jest uważana za jedną z głównych; Zredukowanie do niego jest często konieczne do pracy. Liczba wierszy i kolumn w macierzy kanonicznej jest różna i niekoniecznie należy ona do typu kwadratowego. Jest ona nieco podobna do macierzy jednostkowej, jednak w jej przypadku nie wszystkie składowe głównej przekątnej przyjmują wartość równą jedności. Mogą występować dwie lub cztery główne jednostki przekątne (wszystko zależy od długości i szerokości matrycy). Lub może w ogóle nie być jednostek (wtedy uważa się to za zero). Pozostałe składniki typu kanonicznego oraz elementy przekątne i jednostkowe są równe zeru.

Typ trójkątny

Jeden z najważniejszych typów macierzy, stosowany przy poszukiwaniu jej wyznacznika i przy wykonywaniu prostych operacji. Typ trójkątny pochodzi od typu diagonalnego, więc matryca jest również kwadratowa. Trójkątny typ macierzy dzieli się na górny trójkątny i dolny trójkątny.

W górnej macierzy trójkątnej (rys. 1) tylko elementy znajdujące się powyżej głównej przekątnej przyjmują wartość równą zero. Składniki samej przekątnej i znajdującej się pod nią części macierzy zawierają wartości liczbowe.

Natomiast w dolnej macierzy trójkątnej (ryc. 2) elementy znajdujące się w dolnej części macierzy są równe zeru.

Typ niezbędny do znalezienia rangi macierzy, a także do wykonywania na nich elementarnych operacji (wraz z typem trójkątnym). Macierz kroków została tak nazwana, ponieważ zawiera charakterystyczne „kroki” zer (jak pokazano na rysunku). W typie schodkowym tworzona jest przekątna zer (niekoniecznie główna), a wszystkie elementy pod tą przekątną również mają wartości równe zeru. Warunek jest następujący: jeśli w macierzy kroków znajduje się wiersz zerowy, to pozostałe wiersze pod nim również nie zawierają wartości liczbowych.

W związku z tym sprawdziliśmy najważniejsze typy macierzy niezbędnych do pracy z nimi. Przyjrzyjmy się teraz problemowi przekształcenia macierzy do wymaganej postaci.

Redukcja do formy trójkątnej

Jak doprowadzić macierz do postaci trójkątnej? Najczęściej w zadaniach trzeba przekształcić macierz do postaci trójkątnej, aby znaleźć jej wyznacznik, inaczej zwany wyznacznikiem. Podczas wykonywania tej procedury niezwykle ważne jest „zachowanie” głównej przekątnej macierzy, ponieważ wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi składników jej głównej przekątnej. Przypomnę także alternatywne metody znajdowania wyznacznika. Wyznacznik typu kwadratowego wyznacza się za pomocą specjalnych wzorów. Można na przykład zastosować metodę trójkąta. W przypadku pozostałych macierzy stosuje się metodę rozkładu na wiersze, kolumny lub ich elementy. Można także zastosować metodę nieletnich i dodawania macierzy algebraicznych.

Przeanalizujmy szczegółowo proces sprowadzania macierzy do postaci trójkątnej na przykładach niektórych zadań.

Ćwiczenie 1

Należy znaleźć wyznacznik prezentowanej macierzy metodą sprowadzenia jej do postaci trójkątnej.

Podana nam macierz jest macierzą kwadratową trzeciego rzędu. Dlatego, aby przekształcić go w kształt trójkąta, będziemy musieli wyzerować dwie składowe pierwszej kolumny i jedną składową drugiej.

Aby doprowadzić ją do postaci trójkątnej, transformację zaczynamy od lewego dolnego rogu macierzy – od liczby 6. Aby sprowadzić ją do zera, należy pomnożyć pierwszy wiersz przez trzy i odjąć go od ostatniego wiersza.

Ważny! Górny rząd nie zmienia się, ale pozostaje taki sam jak w oryginalnej matrycy. Nie ma potrzeby zapisywania ciągu czterokrotnie większego niż oryginalny. Ale wartości ciągów, których składniki należy ustawić na zero, stale się zmieniają.

Pozostaje tylko ostatnia wartość - element trzeciego wiersza drugiej kolumny. To jest liczba (-1). Aby wyzerować, odejmij drugą od pierwszej linii.

Sprawdźmy:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Oznacza to, że odpowiedź na zadanie to -22.

Zadanie 2

Konieczne jest znalezienie wyznacznika macierzy poprzez sprowadzenie jej do postaci trójkątnej.

Prezentowana macierz należy do typu kwadratowego i jest macierzą czwartego rzędu. Oznacza to, że konieczne jest obrócenie trzech składników pierwszej kolumny, dwóch składników drugiej kolumny i jednego składnika trzeciej kolumny do zera.

Zacznijmy ją redukować od elementu znajdującego się w lewym dolnym rogu - od cyfry 4. Musimy tę liczbę sprowadzić do zera. Najłatwiej to zrobić, pomnożąc górną linię przez cztery, a następnie odejmując ją od czwartej. Zapiszmy wynik pierwszego etapu transformacji.

Zatem składnik czwartego rzędu jest ustawiony na zero. Przejdźmy do pierwszego elementu trzeciej linii, do liczby 3. Wykonujemy podobną operację. Mnożymy pierwszą linię przez trzy, odejmujemy ją od trzeciej linii i zapisujemy wynik.

Udało nam się wyzerować wszystkie składniki pierwszej kolumny tej macierzy kwadratowej, z wyjątkiem cyfry 1 – elementu głównej przekątnej, który nie wymaga transformacji. Teraz ważne jest, aby zachować powstałe zera, dlatego przekształcenia będziemy wykonywać wierszami, a nie kolumnami. Przejdźmy do drugiej kolumny prezentowanej macierzy.

Zacznijmy jeszcze raz od dołu - od elementu drugiej kolumny ostatniego rzędu. Ta liczba to (-7). Jednak w tym przypadku wygodniej jest zacząć od liczby (-1) - elementu drugiej kolumny trzeciego wiersza. Aby wyzerować, odejmij drugą od trzeciej linii. Następnie mnożymy drugą linię przez siedem i odejmujemy ją od czwartej. Zamiast elementu znajdującego się w czwartym wierszu drugiej kolumny otrzymaliśmy zero. Przejdźmy teraz do trzeciej kolumny.

W tej kolumnie musimy zamienić tylko jedną liczbę na zero - 4. Nie jest to trudne: po prostu dodajemy trzecią linię do ostatniej linii i widzimy potrzebne zero.

Po wszystkich dokonanych przekształceniach doprowadziliśmy proponowaną macierz do postaci trójkątnej. Teraz, aby znaleźć jej wyznacznik, wystarczy pomnożyć powstałe elementy głównej przekątnej. Otrzymujemy: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Zatem rozwiązaniem jest 160.

Więc teraz kwestia zredukowania macierzy do postaci trójkątnej nie będzie Ci przeszkadzać.

Redukcja do formy schodkowej

W przypadku elementarnych operacji na macierzach forma schodkowa jest mniej „potrzebna” niż forma trójkątna. Najczęściej służy do wyznaczania rangi macierzy (tj. liczby jej niezerowych wierszy) lub do wyznaczania wierszy liniowo zależnych i niezależnych. Jednak schodkowy typ matrycy jest bardziej uniwersalny, ponieważ nadaje się nie tylko dla typu kwadratowego, ale także dla wszystkich innych.

Aby sprowadzić macierz do postaci krokowej, należy najpierw znaleźć jej wyznacznik. Powyższe metody są do tego odpowiednie. Celem znalezienia wyznacznika jest sprawdzenie, czy można go przekształcić w macierz schodkową. Jeśli wyznacznik jest większy lub mniejszy od zera, możesz bezpiecznie przystąpić do zadania. Jeśli będzie równa zeru, nie będzie możliwości zredukowania macierzy do postaci schodkowej. W takim przypadku należy sprawdzić, czy nie występują błędy w zapisie lub w przekształceniach macierzy. Jeśli nie ma takich niedokładności, zadania nie można rozwiązać.

Przyjrzyjmy się, jak zredukować macierz do postaci krokowej, korzystając z przykładów kilku zadań.

Ćwiczenie 1. Znajdź rangę podanej tabeli macierzowej.

Przed nami macierz kwadratowa trzeciego rzędu (3x3). Wiemy, że aby znaleźć rangę należy ją sprowadzić do postaci stopniowej. Dlatego najpierw musimy znaleźć wyznacznik macierzy. Skorzystajmy z metody trójkąta: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Wyznacznik = 12. Jest większy od zera, co oznacza, że ​​macierz można sprowadzić do postaci schodkowej. Zacznijmy to przekształcać.

Zacznijmy od elementu lewej kolumny trzeciej linii - liczby 2. Pomnóż górną linię przez dwa i odejmij ją od trzeciej. Dzięki tej operacji zarówno potrzebny nam element, jak i liczba 4 - element drugiej kolumny trzeciego wiersza - zmieniły się na zero.

Widzimy, że w wyniku redukcji powstała macierz trójkątna. W naszym przypadku nie możemy kontynuować transformacji, gdyż pozostałych składników nie da się zredukować do zera.

Oznacza to, że dochodzimy do wniosku, że liczba wierszy zawierających wartości liczbowe w tej macierzy (lub jej randze) wynosi 3. Odpowiedź na zadanie: 3.

Zadanie 2. Wyznacz liczbę liniowo niezależnych wierszy tej macierzy.

Musimy znaleźć ciągi, których nie można przekonwertować na zero za pomocą żadnej transformacji. Tak naprawdę musimy znaleźć liczbę niezerowych wierszy, czyli rząd prezentowanej macierzy. Aby to zrobić, uprośćmy to.

Widzimy macierz, która nie należy do typu kwadratowego. Ma wymiary 3x4. Redukcję zacznijmy także od elementu lewego dolnego rogu – liczby (-1).

Dalsze jego przekształcenia są niemożliwe. Oznacza to, że dochodzimy do wniosku, że liczba w nim liniowo niezależnych prostych i odpowiedź na zadanie wynosi 3.

Teraz zredukowanie macierzy do postaci schodkowej nie jest dla Ciebie zadaniem niemożliwym.

Na przykładach tych zadań zbadaliśmy redukcję macierzy do postaci trójkątnej i postaci schodkowej. Aby zamienić żądane wartości tabel macierzowych na zero, w niektórych przypadkach trzeba użyć wyobraźni i poprawnie przekonwertować ich kolumny lub wiersze. Powodzenia w matematyce i pracy z macierzami!

Macierz, rodzaje macierzy, operacje na macierzach.

Rodzaje macierzy:

1. Prostokątny: M I N- dowolne dodatnie liczby całkowite

2. Kwadrat: m=n

3. Wiersz macierzy: m=1. Na przykład (1 3 5 7) - w wielu praktycznych problemach taką macierz nazywa się wektorem

4. Kolumna matrycy: n=1. Na przykład

5. Macierz diagonalna: m=n I a ij =0, Jeśli i≠j. Na przykład

6. Macierz jednostkowa: m=n I

7. Macierz zerowa: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Macierz trójkątna: Wszystkie elementy poniżej głównej przekątnej wynoszą 0.

9. Macierz symetryczna:m=n I a ij = a ji(tj. równe elementy znajdują się w miejscach symetrycznych względem głównej przekątnej), a zatem A"=A

Na przykład,

10. Macierz skośno-symetryczna: m=n I a ij = -a ji(tj. przeciwległe elementy znajdują się w miejscach symetrycznych względem głównej przekątnej). W związku z tym na głównej przekątnej znajdują się zera (od kiedy ja=j mamy a ii = -a ii)

Działania na macierzach:

1. Dodatek

2. Odejmowanie macierze - działanie elementarne

3. Praca macierze na liczbach - operacja elementarna

4. Mnożenie A*B macierze zgodnie z regułą wiersz do kolumny(liczba kolumn macierzy A musi być równa liczbie wierszy macierzy B)

A mk *B kn =C mn i każdy element z ij matryce Cmn jest równa sumie iloczynów elementów i-tego rzędu macierzy A przez odpowiednie elementy j-tej kolumny macierzy B, tj.

Zademonstrujmy działanie mnożenia macierzy na przykładzie

5. Transpozycja macierzy A. Transponowana macierz jest oznaczona przez A T lub A"

,Na przykład

Zamieniono wiersze i kolumny

Własności operacji na macierzach:

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)”=λ(A)”

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

2. Wyznaczniki drugiego i trzeciego rzędu (podstawowe pojęcia, własności, obliczenia)

Właściwość 1. Wyznacznik nie zmienia się podczas transpozycji, tj.

Dowód.

Komentarz. Poniższe własności wyznaczników zostaną sformułowane tylko dla ciągów. Ponadto z właściwości 1 wynika, że ​​kolumny będą miały te same właściwości.

Własność 2. Mnożąc elementy rzędu wyznacznika przez określoną liczbę, cały wyznacznik mnoży się przez tę liczbę, tj.

.

Dowód.

Własność 3. Wyznacznik mający ciąg zerowy jest równy 0.

Dowód tej własności wynika z Własności 2 dla k = 0.

Właściwość 4. Wyznacznik mający dwa równe ciągi wynosi 0.

Dowód.

Własność 5. Wyznacznik, którego dwa wiersze są proporcjonalne, jest równy 0.

Dowód wynika z właściwości 2 i 4.

Własność 6. Przy zmianie układu dwóch wierszy wyznacznika mnoży się go przez –1.

Dowód.

Własność 7.

Możesz sam udowodnić tę właściwość, porównując wartości lewej i prawej strony równości znalezionej za pomocą definicji 1.5.

Właściwość 8. Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie, jeżeli do elementów jednego wiersza dodamy odpowiednie elementy innego wiersza i pomnożymy je przez tę samą liczbę.

Drobny. Dodawanie algebraiczne. Twierdzenie Laplace'a.

Metoda redukcji do postaci trójkątnej polega na takim przekształceniu danego wyznacznika, gdy wszystkie jego elementy leżące po jednej stronie jednej z jego przekątnych staną się równe zeru.

Przykład 8. Oblicz wyznacznik

Redukcja do formy trójkątnej.

Rozwiązanie. Odejmijmy pierwszą linię wyznacznika od pozostałych linii. Wtedy otrzymamy

.

Wyznacznik ten jest równy iloczynowi elementów głównej przekątnej. Tak mamy

Komentarz. Wszystko omówione powyżej można uogólnić na wyznaczniki n-tego rzędu.

Sprowadzenie macierzy do postaci schodkowej. Elementarne przekształcenia wierszy i kolumn.

Elementarne przekształcenia macierzy nazywane są następujące przekształcenia:

I. Permutacja dwóch kolumn (wierszy) macierzy.

II. Mnożenie wszystkich elementów jednej kolumny (wiersza) macierzy przez tę samą liczbę różną od zera.

III. Dodanie do elementów jednej kolumny (wiersza) odpowiednich elementów innej kolumny (wiersza) pomnożonych przez tę samą liczbę.

Macierz otrzymaną z macierzy pierwotnej poprzez skończoną liczbę przekształceń elementarnych nazywa się równowartość . Wskazuje na to .

Transformacje elementarne służą uproszczeniu macierzy, które w przyszłości zostaną wykorzystane do rozwiązywania różnych problemów.

Aby doprowadzić macierz do postaci schodkowej (ryc. 1.4), należy wykonać następujące kroki.

1. W pierwszej kolumnie wybierz element inny niż zero ( elementem wiodącym ). Ciąg znaków z elementem wiodącym ( linia wiodąca ), jeśli nie jest to pierwszy wiersz, przestaw go w miejsce pierwszego wiersza (transformacja typu I). Jeśli w pierwszej kolumnie nie ma elementu wiodącego (wszystkie elementy są równe zero), to wykluczamy tę kolumnę i kontynuujemy poszukiwania elementu wiodącego w pozostałej części macierzy. Transformacja kończy się, gdy zostaną wyeliminowane wszystkie kolumny lub pozostała część macierzy będzie zawierała wszystkie elementy zerowe.

2. Podziel wszystkie elementy wiersza wiodącego przez element wiodący (transformacja typu II). Jeśli linia wiodąca jest ostatnia, wówczas transformacja powinna się na tym zakończyć.

3. Do każdej linii znajdującej się poniżej linii wiodącej należy dodać wiersz wiodący, pomnożony odpowiednio przez taką liczbę, aby elementy pod linią wiodącą były równe zeru (przekształcenie typu III).

4. Po wyłączeniu z rozważań wiersza i kolumny, na przecięciu których znajduje się element wiodący, przechodzimy do kroku 1, w którym wszystkie opisane działania dotyczą reszty macierzy.

Przykład 1.29. Sprowadź do postaci macierzy schodkowej