Wyprowadzenie wyrażenia na okres orbitalny satelity planetarnego. Powaga. Zobacz, co oznacza „Okres orbity satelity” w innych słownikach

Cel: nauczyć się obliczać okres obrotu satelity wokół planety w zależności od jego masy, rozmiaru i rodzaju satelity.

Postęp:

1. W zeszycie narysuj tabelę znajdującą się na dole tabeli.

2. Oblicz okres obiegu każdego satelity dla każdej planety i przedstaw wynik w tabeli na stronie. Wiadomo, że planeta 2 razy cięższa od Ziemi jest 1,4 razy większa, a planeta o masie mniejszej od Ziemi jest 0,8 razy większa od Ziemi. Dane należy pobrać z okna informacyjnego na stronie „Symulacja ruchu satelity”. Przyjmuje się, że promień Ziemi wynosi 6400 km. Odpowiedź należy wyrazić w minutach i zaokrąglić do najbliższej liczby całkowitej.

3. Sprawdź otrzymane dane. W tym celu należy kliknąć przycisk „Sprawdź wyniki”.

4. Jeżeli występują błędy, popraw je.

5. Zapisz w zeszycie prawidłowe dane uzyskane w tabeli.

6. Wyciągnij wniosek, w jaki sposób okres obiegu satelity zależy od wielkości planety i rodzaju satelity.

2.2.2. Ruch pod wpływem grawitacja (satelity)

Kiedy satelity poruszają się (z wyłączonym silnikiem) po orbicie kołowej, działa na nie tylko jedna siła - siła przyciągania satelity do planety.

Na satelitę o masie m poruszającego się po orbicie kołowej na wysokości h nad powierzchnią planety (ryc. 2.2) działa wyłącznie siła grawitacji.

Ryż. 2.2

Siła ta skierowana jest w stronę środka planety i nadaje satelitowi przyspieszenie dośrodkowe. W tym przypadku zależność jest aktualna

sol m M r 2 = m v 2 r,

co pozwala nam uzyskać wzór do obliczeń prędkość ucieczki satelita:

gdzie G = 6,67 ⋅ 10 −11 N ⋅ m 2 /kg 2 - uniwersalna stała grawitacyjna; m - masa ciała; r = R + h - promień orbity; R jest promieniem planety; h to wysokość satelity nad powierzchnią planety.

Istnieją pierwsza, druga i trzecia prędkość kosmiczna. Dla planety Ziemia:

• pierwsza prędkość ucieczki- minimalna prędkość nadana satelitowi w pobliżu powierzchni Ziemi, przy której może on wejść na orbitę kołową i rozpocząć obrót wokół Ziemi na niskiej orbicie okołoziemskiej (h ≈ 0),

v 1 ≈ 7,9 km/s;

• druga prędkość ucieczki- minimalna prędkość nadana satelitowi w pobliżu powierzchni Ziemi, przy której może on oddalić się od Ziemi na dużą odległość i stać się satelitą Słońca,

v 2 ≈ 11,2 km/s;

• trzecia prędkość ucieczki- minimalna prędkość przekazywana satelitowi w pobliżu powierzchni Ziemi, z jaką może on opuścić Układ Słoneczny; jego wartość wynosi około 16,6 km/s.

Kiedy mówią o pierwszej prędkości ucieczki planety, mają na myśli, że satelita porusza się na wysokości h ≈ 0, tj. Promień orbity satelity r pokrywa się z promieniem planety R:

r = R.

Okres orbitowania satelity wokół planety (czas jednego obrotu) można zdefiniować jako stosunek długości orbity do pierwszej prędkości ucieczki:

gdzie L = 2πr jest długością orbity o promieniu r (obwód); v jest pierwszą prędkością ucieczki satelity na tej orbicie.

Przykład 5. Ile razy okres obiegu sztucznego satelity poruszającego się po orbicie kołowej na wysokości równej dwukrotności promienia Ziemi przekracza okres obiegu satelity krążącego po orbicie okołoziemskiej?

Rozwiązanie. Okres orbitalny satelity poruszającego się po orbicie kołowej na wysokości h 1 = 2R określa wzór

T 1 = 2 π (R + h 1) v 1,

gdzie R jest promieniem Ziemi; v 1 to pierwsza prędkość ucieczki satelity na wysokości h 1 .

Okres obiegu satelity poruszającego się po niskiej orbicie okołoziemskiej (h 2 ≈ 0) określa się wzorem

T 2 = 2 π (R + h 2) v 2,

gdzie v 2 jest pierwszą prędkością ucieczki satelity na niskiej orbicie okołoziemskiej.

Podstawienie wartości h 1 = 2R i h 2 = 0 do wzoru na obliczenie odpowiednich okresów daje:

T 1 = 6 π R v 1 i T 2 = 2 π R v 2 .

Stosunek okresu

T 1 T 2 = 3 v 2 v 1

wyraża się poprzez stosunek pierwszych prędkości kosmicznych satelity na odpowiednich orbitach.

Pierwsze prędkości kosmiczne wyznaczają następujące wzory:

• dla wysokości h 1 = 2R

v 1 = sol M R + godz 1 = sol M R + 2 R = sol M 3 R ;

• dla wysokości h 2 ≈ 0 (orbita Ziemi)

v 2 = sol M R + godz 2 = sol M R + 0 = sol M R ,

gdzie G = 6,67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 - uniwersalna stała grawitacyjna; M jest masą Ziemi.

Podstawiając v 1 i v 2 do wzoru na stosunek okresów, otrzymujemy

T 1 T 2 = 3 v 2 v 1 = 3 sol M R ⋅ 3 R sol M = 3 3 ≈ 5.2.

te. Okres orbitalny satelity poruszającego się na wysokości równej dwóm promieniom jest około 5,2 razy dłuższy od okresu orbitalnego satelity na niskiej orbicie okołoziemskiej.

Przykład 6. Promień pewnej planety jest 3 razy większy niż promień Ziemi, a jej gęstość jest 9 razy mniejsza niż gęstość Ziemi. Wyznacz stosunek pierwszych prędkości kosmicznych satelitów dla Ziemi i dla planety.

Rozwiązanie. Porównuje się następujące pierwsze prędkości ucieczki:

• dla powierzchni Ziemi

v 1 = G M Z R Z,

• dla powierzchni planety

gdzie G = 6,67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 - uniwersalna stała grawitacyjna; MZ - masa Ziemi; RZ - promień Ziemi; M jest masą planety; R jest promieniem planety.

Stosunek prędkości jest

v 1 v 2 = M Z R Z R M .

Zakładając, że Ziemia i planeta mają kształt kulisty, otrzymujemy wzory na obliczenie odpowiednich mas:

• dla Ziemi

M Z = ρ Z V Z = 4 3 π ρ Z R Z 3,

• dla planety

M = ρ V = 4 3 π ρ R 3 ,

gdzie ρ Z jest gęstością Ziemi; ρ jest gęstością planety.

Podstawmy wyrażenia na masy do wzoru na przełożenie prędkości:

v 1 v 2 = 4 3 π ρ З R 3 R 3 4 R π ρ R 3 = ρ З R 2 ρ R 2 = R Ô R ρ ρ .

Zgodnie z warunkami problemu R = 3R З i ρ З = 9ρ; dlatego wymagany współczynnik prędkości jest równy

v 1 v 2 = R 3 R 9 ρ ρ = 1,

te. prędkości satelitów są takie same dla powierzchni Ziemi i dla powierzchni planety.

Przykład 7. Satelita obraca się wokół pewnej planety po orbicie kołowej o promieniu 20 000 km z prędkością 12 km/s. Określ wielkość przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni planety, jeśli jej promień wynosi 12 000 km.

Rozwiązanie. Przyspieszenie swobodnego spadania na powierzchnię planety wyznaczamy za pomocą wzoru

gdzie G = 6,67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 - uniwersalna stała grawitacyjna; M jest masą planety; R jest promieniem planety.

Promień planety jest podany w treści zadania, a iloczyn (GM) można wyrazić ze wzoru na pierwszą prędkość ucieczki:

v = sol M R + godz = sol M r ,

gdzie r jest promieniem orbity satelity; stąd wymagana praca

GM = v 2 r.

Podstawmy (GM) do wyrażenia obliczającego g 0:

sol 0 = v 2 r R 2 .

Obliczenia pozwalają nam uzyskać wartość przyspieszenia ziemskiego na powierzchni planety:

sol 0 = (12 ⋅ 10 3) 2 ⋅ 2, 0 ⋅ 10 7 (12 ⋅ 10 6) 2 = 20 m/s 2.

W kosmosie grawitacja zapewnia siłę, która powoduje, że satelity (takie jak Księżyc) krążą wokół większych ciał (takich jak Ziemia). Orbity te mają na ogół kształt elipsy, ale najczęściej elipsa ta nie różni się zbytnio od koła. Dlatego w pierwszym przybliżeniu orbity satelitów można uznać za okrągłe. Znając masę planety i wysokość orbity satelity nad Ziemią, możemy obliczyć, jaka powinna być prędkość satelity wokół Ziemi.

Obliczanie prędkości satelity wokół Ziemi

Obracając się po orbicie kołowej wokół Ziemi, satelita w dowolnym punkcie swojej trajektorii może poruszać się tylko ze stałą prędkością bezwzględną, chociaż kierunek tej prędkości będzie się stale zmieniać. Jaka jest wielkość tej prędkości? Można to obliczyć, korzystając z drugiego prawa Newtona i prawa grawitacji.

Aby utrzymać kołową orbitę satelity masowego zgodnie z drugim prawem Newtona, potrzebna będzie siła dośrodkowa: , gdzie jest przyspieszenie dośrodkowe.

Jak wiadomo, przyspieszenie dośrodkowe określa się ze wzoru:

gdzie jest prędkością satelity, jest promieniem orbity kołowej, po której porusza się satelita.

Siłę dośrodkową zapewnia grawitacja, zatem zgodnie z prawem grawitacji:

gdzie kg to masa Ziemi, m 3 ⋅kg -1 ⋅s -2 to stała grawitacji.

Podstawiając wszystko do pierwotnego wzoru, otrzymujemy:

Wyrażając wymaganą prędkość, stwierdzamy, że prędkość satelity wokół Ziemi jest równa:

Jest to wzór na prędkość, jaką musi mieć satelita Ziemi w danym promieniu (tj. odległości od środka planety), aby utrzymać orbitę kołową. Prędkość nie może zmienić swojej wielkości, dopóki satelita utrzymuje stały promień orbity, to znaczy tak długo, jak nadal krąży wokół planety po torze kołowym.

Korzystając z otrzymanej formuły, należy wziąć pod uwagę kilka szczegółów:

Sztuczne satelity Ziemi z reguły krążą wokół planety na wysokości od 500 do 2000 km od powierzchni planety. Obliczmy, jak szybko taki satelita powinien poruszać się na wysokości 1000 km nad powierzchnią Ziemi. W tym przypadku km. Podstawiając liczby otrzymujemy:

Materiał przygotowany przez Siergieja Waleriewicza

Strona 1 z 2

171. Wyznacz okres obiegu sztucznej planety wokół Słońca, jeżeli wiadomo, że półoś wielka jej eliptycznej orbity jest o 10 7 km większa od półosi wielkiej orbity Ziemi.

172. Okres obiegu Komety Halleya wokół Słońca wynosi T = 76 lat. Minimalna odległość, w jakiej przechodzi od Słońca, wynosi 180 Gm. Określ maksymalną odległość, na jaką kometa Halleya oddala się od Słońca. Przyjmuje się, że promień orbity Ziemi jest równy R 0 = 150 Gm.

173. Zakładając, że orbita Ziemi jest kołowa, wyznacz prędkość liniową v ruchu Ziemi wokół Słońca.

174. Okres obiegu sztucznego satelity Ziemi wynosi 3 godziny.Zakładając, że jego orbita jest kołowa, określ, na jakiej wysokości od powierzchni Ziemi znajduje się satelita.

175. Planeta o masie M porusza się po okręgu wokół Słońca z prędkością v (względem heliocentrycznego układu odniesienia). Wyznacz okres obiegu tej planety wokół Słońca.

176. Oblicz, ile razy siła grawitacji na Ziemi jest większa od siły grawitacji na Marsie, jeśli promień Marsa wynosi 0,53 promienia Ziemi, a masa Marsa wynosi 0,11 masy Ziemi.

177. Wyznacz średnią gęstość Ziemi, zakładając, że znana jest stała grawitacji, promień Ziemi i przyspieszenie grawitacyjne na Ziemi.

178. Dwa punkty materialne o masach m 1 i m 2 znajdują się w odległości R od siebie.Wyznacz prędkość kątową obrotu, z jaką muszą się one obracać wokół wspólnego środka masy, aby odległość między nimi pozostała stała.

179. Dwie identyczne, jednorodne kule wykonane z tego samego materiału, stykając się ze sobą, przyciągają się. Określ, jak zmieni się siła przyciągania, jeśli masa kulek wzrośnie n = 3 razy w wyniku zwiększenia ich rozmiaru.

180. Wyznacz wysokość, na której przyspieszenie ziemskie wynosi 25% przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni Ziemi.

181. Zakładając, że gęstość Ziemi jest stała, wyznacz głębokość, na której przyspieszenie ziemskie wynosi 25% przyspieszenia ziemskiego na powierzchni Ziemi.

182. Na jakiej wysokości h przyspieszenie swobodnego spadania jest mniejsze niż połowa jego wartości na powierzchni Ziemi?

183. Stacjonarny sztuczny satelita Ziemi to satelita, który stale znajduje się nad tym samym punktem równika. Wyznacz odległość takiego satelity od środka Ziemi.

184. Na równiku pewnej planety (gęstość planet ρ = 3 g/cm 3) ciała ważą o połowę mniej niż na biegunie. Wyznacz okres obrotu planety wokół własnej osi.

185. Zakładając, że promień Ziemi jest znany, oblicz, na jakiej wysokości h nad powierzchnią Ziemi natężenie pola grawitacyjnego wynosi 4,9 N/kg.

186. Ustal, w którym punkcie (licząc od Ziemi) linii prostej łączącej środki Ziemi i Księżyca natężenie pola grawitacyjnego wynosi zero. Odległość między środkami Ziemi i Księżyca wynosi R, masa Ziemi jest 81 razy większa od masy Księżyca.

187. Istnieje cienki, jednorodny pręt o masie m i długości l. Dla punktu położonego na tej samej linii prostej z prętem w pewnej odległości A od jego najbliższego końca wyznacz: 1) potencjał pola grawitacyjnego pręta; 2) natężenie jego pola grawitacyjnego.

188. Cienki, jednorodny dysk o promieniu R ma masę m. Wyznacz w punkcie A, położonym na osi dysku w odległości h od niego: 1) potencjał pola grawitacyjnego; 2) siła pola grawitacyjnego.Naprzód