Odvodenie výrazu pre obežnú dobu planetárneho satelitu. Gravitácia. Pozrite sa, čo je „obdobie obehu satelitu“ v iných slovníkoch

Cieľ: naučiť sa vypočítať periódu otáčania družice okolo planéty v závislosti od jej hmotnosti, veľkosti a typu družice.

Pokrok:

1. Nakreslite tabuľku uvedenú v spodnej časti tabuľky do zošita.

2. Vypočítajte obežnú dobu pre každý satelit pre každú planétu a výsledok prezentujte v tabuľke na stránke. Je známe, že planéta, ktorá je 2-krát ťažšia ako Zem, je 1,4-krát väčšia a planéta, ktorá je svojou hmotnosťou menšia ako Zem, je 0,8-krát väčšia ako Zem. Údaje je potrebné prevziať z informačného okna na stránke „Simulácia pohybu satelitu“. Polomer Zeme sa považuje za 6400 km. Odpoveď by mala byť vyjadrená v minútach, zaokrúhlená na najbližšie celé číslo.

3. Skontrolujte prijaté údaje. Ak to chcete urobiť, kliknite na tlačidlo "Skontrolovať výsledky".

4. Ak sa vyskytnú chyby, opravte ich.

5. Správne získané údaje si zapíšte do tabuľky v zošite.

6. Urobte záver o tom, ako závisí orbitálna doba satelitu od veľkosti planéty a typu satelitu.

2.2.2. Pohyb pod vplyvom gravitácia (satelity)

Keď sa satelity pohybujú (s vypnutým motorom) po kruhovej dráhe, pôsobí na ne len jedna sila – sila príťažlivosti satelitu k planéte.

Na satelit s hmotnosťou m a pohybujúci sa po kruhovej dráhe vo výške h nad povrchom planéty (obr. 2.2) pôsobí iba gravitačná sila.

Ryža. 2.2

Táto sila smeruje do stredu planéty a dodáva satelitu dostredivé zrýchlenie. V tomto prípade je vzťah platný

G m M r 2 = m v 2 r,

čo nám umožňuje získať vzorec na výpočet úniková rýchlosť satelit:

kde G = 6,67 ⋅ 10 −11 N ⋅ m 2 /kg 2 - univerzálna gravitačná konštanta; m - telesná hmotnosť; r = R + h - orbitálny polomer; R je polomer planéty; h je výška satelitu nad povrchom planéty.

Existuje prvá, druhá a tretia kozmická rýchlosť. Pre planétu Zem:

• prvá úniková rýchlosť- minimálna rýchlosť udelená satelitu v blízkosti zemského povrchu, pri ktorej môže vstúpiť na kruhovú dráhu a začať rotovať okolo Zeme na nízkej obežnej dráhe Zeme (h ≈ 0),

v 1 ≈ 7,9 km/s;

• druhá úniková rýchlosť- minimálna rýchlosť udelená satelitu blízko povrchu Zeme, pri ktorej sa môže vzdialiť od Zeme na veľkú vzdialenosť a stať sa satelitom Slnka,

v 2 ≈ 11,2 km/s;

• tretia úniková rýchlosť- minimálna rýchlosť hlásená satelitu blízko povrchu Zeme, pri ktorej môže opustiť slnečnú sústavu; jeho hodnota je približne 16,6 km/s.

Keď hovoria o prvej únikovej rýchlosti pre planétu, myslia tým, že satelit sa pohybuje vo výške h ≈ 0, t.j. Polomer obežnej dráhy satelitu r sa zhoduje s polomerom planéty R:

r = R.

Obdobie obehu satelitu okolo planéty (čas jednej otáčky) možno definovať ako pomer dĺžky obežnej dráhy k prvej únikovej rýchlosti:

kde L = 2πr je dĺžka obežnej dráhy s polomerom r (obvod); v je prvá úniková rýchlosť satelitu na tejto obežnej dráhe.

Príklad 5. Koľkokrát prekročí obežná doba umelej družice pohybujúcej sa po kruhovej dráhe vo výške rovnajúcej sa dvojnásobku polomeru Zeme obežnú dobu družice rotujúcej na obežnej dráhe blízko Zeme?

Riešenie. Doba obehu družice pohybujúcej sa po kruhovej dráhe vo výške h 1 = 2R je určená vzorcom

T1 = 2 π (R + h 1) v 1,

kde R je polomer Zeme; v 1 je prvá úniková rýchlosť satelitu vo výške h 1 .

Orbitálna doba satelitu pohybujúceho sa na nízkej obežnej dráhe Zeme (h 2 ≈ 0) je určená vzorcom

T2 = 2 π (R + h2) v 2,

kde v 2 je prvá úniková rýchlosť satelitu na nízkej obežnej dráhe Zeme.

Nahradením hodnôt h 1 = 2R a h 2 = 0 do vzorca na výpočet zodpovedajúcich období:

Ti = 6 π R v 1 a T 2 = 2 π R v 2.

Pomer období

T 1 T 2 = 3 v 2 v 1

je vyjadrená pomerom prvých kozmických rýchlostí satelitu na zodpovedajúcich dráhach.

Prvé kozmické rýchlosti sú určené nasledujúcimi vzorcami:

• pre výšku h 1 = 2R

v1 = GMR + h1 = GMR + 2R = GM3R;

• pre výšku h 2 ≈ 0 (obežná dráha Zeme)

v2 = GMR + h2 = GMR + 0 = GMR,

kde G = 6,67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 - univerzálna gravitačná konštanta; M je hmotnosť Zeme.

Dosadením v 1 a v 2 do vzorca pre pomer periód dostaneme

T 1 T 2 = 3 v 2 v 1 = 3 G M R ⋅ 3 R G M = 3 3 ≈ 5.2.

tie. Obežná doba družice pohybujúcej sa vo výške rovnajúcej sa dvom polomerom presahuje obežnú dobu družice na nízkej obežnej dráhe Zeme približne 5,2-krát.

Príklad 6. Polomer určitej planéty je 3-krát väčší ako polomer Zeme a jej hustota je 9-krát menšia ako hustota Zeme. Určte pomer prvých kozmických rýchlostí satelitov pre Zem a pre planétu.

Riešenie. Porovnávajú sa nasledujúce prvé únikové rýchlosti:

• pre povrch Zeme

v 1 = G M Z R Z,

• pre povrch planéty

kde G = 6,67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 - univerzálna gravitačná konštanta; MZ - hmotnosť Zeme; RZ - polomer Zeme; M je hmotnosť planéty; R je polomer planéty.

Rýchlostný pomer je

v 1 v 2 = M Z R Z R M .

Za predpokladu, že Zem a planéta majú guľový tvar, dostaneme vzorce na výpočet zodpovedajúcich hmotností:

• pre Zem

M Z = ρ Z V Z = 4 3 π ρ Z R Z 3,

• pre planétu

M = ρ V = 4 3 π ρ R 3,

kde ρ Z je hustota Zeme; ρ je hustota planéty.

Dosadíme výrazy pre hmotnosti do vzorca pre rýchlostný pomer:

v 1 v 2 = 4 3 π ρ З R З 3 R З 3 4 R π ρ R 3 = ρ З R З 2 ρ R 2 = R З R ρ З ρ .

Podľa podmienok úlohy R = 3R З a ρ З = 9ρ; preto sa požadovaný pomer otáčok rovná

v 1 v 2 = R З 3 R З 9 ρ ρ = 1,

tie. rýchlosti satelitov sú rovnaké pre povrch Zeme aj pre povrch planéty.

Príklad 7. Družica rotuje okolo určitej planéty po kruhovej dráhe s polomerom 20 000 km rýchlosťou 12 km/s. Určte veľkosť gravitačného zrýchlenia na povrchu planéty, ak je jej polomer 12 000 km.

Riešenie. Zrýchlenie voľného pádu na povrchu planéty zistíme pomocou vzorca

kde G = 6,67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 - univerzálna gravitačná konštanta; M je hmotnosť planéty; R je polomer planéty.

Polomer planéty je špecifikovaný vo vyhlásení o probléme; súčin (GM) možno vyjadriť zo vzorca pre prvú únikovú rýchlosť:

v = G M R + h = G M r ,

kde r je polomer obežnej dráhy satelitu; teda požadovaná práca

GM = v 2 r.

Dosadíme (GM) do výrazu na výpočet g 0:

g° = v2rR2.

Výpočet nám umožňuje získať hodnotu gravitačného zrýchlenia na povrchu planéty:

g 0 = (12 ⋅ 10 3) 2 ⋅ 2, 0 ⋅ 10 7 (12 ⋅ 10 6) 2 = 20 m/s 2.

Vo vesmíre poskytuje gravitácia silu, ktorá spôsobuje, že satelity (napríklad Mesiac) obiehajú väčšie telesá (napríklad Zem). Tieto dráhy majú vo všeobecnosti tvar elipsy, ale najčastejšie sa táto elipsa veľmi nelíši od kruhu. Preto pri prvej aproximácii možno dráhy satelitov považovať za kruhové. Keď poznáme hmotnosť planéty a výšku obežnej dráhy satelitu nad Zemou, môžeme vypočítať, aká by mala byť rýchlosť satelitu okolo Zeme.

Výpočet rýchlosti satelitu okolo Zeme

Satelit rotujúci po kruhovej dráhe okolo Zeme sa v ktoromkoľvek bode svojej trajektórie môže pohybovať iba konštantnou absolútnou rýchlosťou, hoci smer tejto rýchlosti sa bude neustále meniť. Aká je veľkosť tejto rýchlosti? Dá sa vypočítať pomocou druhého Newtonovho zákona a gravitačného zákona.

Na udržanie kruhovej dráhy hmotného satelitu v súlade s druhým Newtonovým zákonom bude potrebná dostredivá sila: , kde je dostredivé zrýchlenie.

Ako je známe, dostredivé zrýchlenie je určené vzorcom:

kde je rýchlosť satelitu, je polomer kruhovej dráhy, po ktorej sa satelit pohybuje.

Dostredivá sila je poskytovaná gravitáciou, preto v súlade so zákonom gravitácie:

kde kg je hmotnosť Zeme, m 3 ⋅kg -1 ⋅s -2 je gravitačná konštanta.

Nahradením všetkého do pôvodného vzorca dostaneme:

Vyjadrením požadovanej rýchlosti zistíme, že rýchlosť satelitu okolo Zeme sa rovná:

Toto je vzorec pre rýchlosť, ktorú musí mať satelit Zeme na danom polomere (t. j. vzdialenosti od stredu planéty), aby si udržal kruhovú obežnú dráhu. Rýchlosť sa nemôže meniť, pokiaľ si satelit udržiava konštantný polomer obežnej dráhy, teda pokiaľ pokračuje v obiehaní planéty po kruhovej dráhe.

Pri použití výsledného vzorca je potrebné zvážiť niekoľko podrobností:

Umelé satelity Zeme spravidla obiehajú okolo planéty vo výške 500 až 2000 km od povrchu planéty. Vypočítajme si, ako rýchlo by sa mal takýto satelit pohybovať vo výške 1000 km nad povrchom Zeme. V tomto prípade km. Nahradením čísel dostaneme:

Materiál pripravil Sergej Valerievich

Strana 1 z 2

171. Určte periódu obehu okolo Slnka umelej planéty, ak je známe, že hlavná poloos jej eliptickej dráhy je o 10 7 km väčšia ako hlavná poloos zemskej dráhy.

172. Doba obehu Halleyovej kométy okolo Slnka je T = 76 rokov. Minimálna vzdialenosť, v ktorej prechádza od Slnka, je 180 Gm. Určte maximálnu vzdialenosť, na ktorú sa Halleyova kométa vzdiali od Slnka. Polomer obežnej dráhy Zeme sa rovná R 0 = 150 Gm.

173. Za predpokladu, že obežná dráha Zeme je kruhová, určite lineárnu rýchlosť v pohybu Zeme okolo Slnka.

174. Doba obehu umelého satelitu Zeme je 3 hodiny. Za predpokladu, že jeho obežná dráha je kruhová, určite, v akej výške od povrchu Zeme sa satelit nachádza.

175. Planéta s hmotnosťou M sa pohybuje po kružnici okolo Slnka rýchlosťou v (vzhľadom na heliocentrickú vzťažnú sústavu). Určte obdobie rotácie tejto planéty okolo Slnka.

176. Určte, koľkokrát je gravitačná sila na Zemi väčšia ako gravitačná sila na Marse, ak je polomer Marsu 0,53 polomeru Zeme a hmotnosť Marsu je 0,11 hmotnosti Zeme.

177. Určte priemernú hustotu Zeme za predpokladu, že je známa gravitačná konštanta, polomer Zeme a gravitačné zrýchlenie na Zemi.

178. Dva hmotné body s hmotnosťou m 1 a m 2 sú od seba vzdialené R. Určte uhlovú rýchlosť otáčania, s ktorou sa musia otáčať okolo spoločného ťažiska tak, aby vzdialenosť medzi nimi zostala konštantná.

179. Dve rovnaké homogénne gule z rovnakého materiálu, ktoré sa navzájom dotýkajú, sa navzájom priťahujú. Určte, ako sa zmení sila príťažlivosti, ak sa hmotnosť guľôčok zväčší n = 3-krát v dôsledku zväčšenia ich veľkosti.

180. Určte výšku, v ktorej je tiažové zrýchlenie 25 % tiažového zrýchlenia na povrchu Zeme.

181. Za predpokladu, že hustota Zeme je konštantná, určte hĺbku, v ktorej je gravitačné zrýchlenie 25% gravitačného zrýchlenia na povrchu Zeme.

182. V akej výške h je zrýchlenie voľného pádu menšie ako polovica jeho hodnoty na povrchu Zeme.

183. Stacionárny umelý satelit Zeme je satelit, ktorý sa neustále nachádza nad tým istým bodom rovníka. Určte vzdialenosť takejto družice od stredu Zeme.

184. Na rovníku určitej planéty (hustota planéty ρ = 3 g/cm 3) telesá vážia o polovicu menej ako na póle. Určte periódu otáčania planéty okolo vlastnej osi.

185. Za predpokladu, že je známy polomer Zeme, určte, v akej výške h nad povrchom Zeme je sila gravitačného poľa rovná 4,9 N/kg.

186. Určte, v ktorom bode (počítajúc od Zeme) na priamke spájajúcej stredy Zeme a Mesiaca je sila gravitačného poľa nulová. Vzdialenosť medzi stredmi Zeme a Mesiaca je R, hmotnosť Zeme je 81-krát väčšia ako hmotnosť Mesiaca.

187. Je tu tenká homogénna tyčinka s hmotnosťou m a dĺžkou l. Pre bod umiestnený na rovnakej priamke s tyčou vo vzdialenosti a z jej najbližšieho konca určte: 1) potenciál gravitačného poľa tyče; 2) intenzita jeho gravitačného poľa.

188. Tenký homogénny disk s polomerom R má hmotnosť m. Určte v bode A, ktorý sa nachádza na osi disku vo vzdialenosti h od neho: 1) potenciál gravitačného poľa; 2) sila gravitačného poľa