Μετάφραση αριθμών από δεκαδικό 0. Μετάφραση αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο σε απευθείας σύνδεση
Παρατήρηση 1
Εάν θέλετε να μεταφράσετε έναν αριθμό από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο, είναι πιο βολικό να αρχίσετε να το μεταφράζετε σε ένα σύστημα δεκαδικού αριθμού και μόνο τότε από έναν δεκαδικό αριθμό σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών.
Κανόνες μετατροπής αριθμών από οποιοδήποτε δεκαδικό σύστημα
Στην τεχνολογία υπολογιστών που χρησιμοποιεί αριθμητική της μηχανής, παίζει μεγάλο ρόλο η μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο. Παρακάτω παρατίθενται οι βασικοί κανόνες για τέτοιους μετασχηματισμούς (μεταφράσεις).
Κατά τη μετάφραση ενός δυαδικού αριθμού σε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να αναπαριστούμε τον δυαδικό αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως προϊόν του ψηφίου του αριθμού και του αντίστοιχου βαθμού του βασικού αριθμού, στην περίπτωση αυτή $ 2 $, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:
(N-2) + A_ (n-2) \\ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \\ cdot 2 ^ 1 + A_1 \\ cdot 2 ^ 0 $
Σχήμα 1. Πίνακας 1
Παράδειγμα 1
Μετατρέψτε το $ 11110101_2 $ σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση. Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω πίνακα των $ 1 $ βάσης βαθμών $ 2 $, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου:
$ 11110101_2 \u003d 1 \\ cdot 27 + 1 \\ cdot 26 + 1 \\ cdot 25 + 1 \\ cdot 24 + 0 \\ cdot 23 + 1 \\ cdot 22 + 0 \\ cdot 21 + 1 \\ cdot 20 \u003d 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 \u003d 245_ (10) $
Για να μετατρέψουμε έναν αριθμό από ένα σύστημα οκταδικού αριθμού σε ένα δεκαδικό, είναι απαραίτητο να τον αναπαριστούμε με τη μορφή πολυωνύμου, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως προϊόν του ψηφίου του αριθμού και του αντίστοιχου βαθμού του βασικού αριθμού, στην περίπτωση αυτή $ 8 $, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:
(N-2) + A_ (n-2) \\ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \\ cdot 8 ^ 1 + A_1 \\ cdot 8 ^ 0 $
Σχήμα 2. Πίνακας 2
Παράδειγμα 2
Ο αριθμός $ 75013_8 $ θα πρέπει να μετατραπεί σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα των $ 2 $ βαθμών βάσης $ 8 $, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου:
$ 75013_8 \u003d 7 \\ cdot 8 ^ 4 + 5 \\ cdot 8 ^ 3 + 0 \\ cdot 8 ^ 2 + 1 \\ cdot 8 ^ 1 + 3 \\ cdot 8 ^ 0 \u003d 31243_
Για να μετατρέψουμε έναν αριθμό από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να το παρουσιάσουμε με τη μορφή πολυωνύμου, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως προϊόν του ψηφίου του αριθμού και του αντίστοιχου βαθμού του βασικού αριθμού, στην περίπτωση αυτή $ 16 $, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:
(16) \u003d A_n \\ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \\ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \\ cdot 16 ^ n-3. .. + A_2 \\ cdot 16 ^ 1 + A_1 \\ cdot 16 ^ 0 $
Σχήμα 3. Πίνακας 3
Παράδειγμα 3
Μετατρέψτε το $ FFA2_ (16) $ σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση. Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω πίνακα των $ 3 $ βαθμών βάσης $ 8 $, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου:
$ FFA2_ (16) \u003d 15 \\ cdot 16 ^ 3 + 15 \\ cdot 16 ^ 2 + 10 \\ cdot 16 ^ 1 + 2 \\ cdot 16 ^ 0 \u003d 61440 + 3840 + 160 + 2 \u003d 65442_
Κανόνες μετατροπής αριθμών από το δεκαδικό σύστημα σε άλλο
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα σε δυαδικό, πρέπει να διαιρείται διαδοχικά κατά $ 2 $ έως ότου υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $ 1 $. Ο αριθμός στο δυαδικό σύστημα αναπαρίσταται ως η ακολουθία του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και του υπολοίπου της διαίρεσης με την αντίστροφη σειρά.
Παράδειγμα 4
Ο αριθμός $ 22_ (10) $ πρέπει να μετατραπεί σε δυαδική.
Λύση:
Σχήμα 4
$22_{10} = 10110_2$
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δεκαδικό σε οκταδικό, πρέπει να διαιρείται διαδοχικά κατά $ 8 $ έως ότου υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $ 7 $. Ο αριθμός στο σύστημα οκταδικού αριθμού αντιπροσωπεύεται ως ακολουθία ψηφίων του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και του υπολοίπου του τμήματος με την αντίστροφη σειρά.
Παράδειγμα 5
Μετατροπή $ 571_ (10) $ σε οκταδικό σύστημα αριθμών.
Λύση:
Σχήμα 5
$571_{10} = 1073_8$
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα στο δεκαεξαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρείται διαδοχικά κατά $ 16 $ έως ότου υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $ 15 $. Ο αριθμός στο δεκαεξαδικό σύστημα αντιπροσωπεύεται ως ακολουθία ψηφίων του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και του υπολοίπου της διαίρεσης με την αντίστροφη σειρά.
Παράδειγμα 6
Μετατρέψτε $ 7467_ (10) $ σε δεκαεξαδική τιμή.
Λύση:
Σχήμα 6
$ 7467_ (10) \u003d 1D2B_ (16) $
Για να μεταφράσουμε το σωστό κλάσμα από το δεκαδικό σύστημα στο δεκαδικό, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε το κλασματικό τμήμα του μετατρεπόμενου αριθμού με τη βάση του συστήματος στο οποίο πρόκειται να μετατραπεί. Το κλάσμα στο νέο σύστημα θα παρουσιαστεί με τη μορφή ολόκληρων τμημάτων έργων, αρχής γενομένης από την πρώτη.
Για παράδειγμα: $ 0.3125 _ ((10)) $ στο σύστημα οκταδικού αριθμού θα μοιάζει με $ 0.24 _ ((8)) $.
Σε αυτή την περίπτωση, κάποιος μπορεί να αντιμετωπίσει ένα πρόβλημα όταν ένα πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα μπορεί να αντιστοιχεί σε ένα άπειρο (περιοδικό) κλάσμα σε ένα μη δεκαδικό αριθμό. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός χαρακτήρων στο κλάσμα που αντιπροσωπεύεται στο νέο σύστημα θα εξαρτηθεί από την απαιτούμενη ακρίβεια. Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι οι ακέραιοι παραμένουν ακέραιοι, και τα τακτικά κλάσματα παραμένουν κλάσματα σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών.
Κανόνες για τη μεταφορά αριθμών από δυαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα σύστημα δυαδικών αριθμών σε οκταδικό, πρέπει να χωριστεί σε τριάδες (τριπλάσια ψηφία), ξεκινώντας με το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, αν είναι απαραίτητο, προσθέτοντας την υψηλότερη τριάδα με μηδενικά, στη συνέχεια αντικαταστήστε κάθε τριάδα με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον πίνακα 4.
Σχήμα 7. Πίνακας 4
Παράδειγμα 7
Μετατρέψτε τον αριθμό $ 1001011_2 $ στο σύστημα οκταδικού αριθμού.
Λύση. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα 4, θα μετατρέψουμε τον αριθμό από το σύστημα δυαδικών αριθμών σε οκταδικό:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το σύστημα δυαδικών αριθμών σε δεκαεξαδικό, θα πρέπει να χωριστεί σε τετράδες (τέσσερα ψηφία), ξεκινώντας με το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, αν είναι απαραίτητο, προσθέτοντας το υψηλότερο τετράδα με μηδενικά και στη συνέχεια αντικαθιστώντας κάθε tetrad με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον πίνακα 4.
Παρατήρηση 1
Εάν θέλετε να μεταφράσετε έναν αριθμό από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο, είναι πιο βολικό να αρχίσετε να το μεταφράζετε σε ένα σύστημα δεκαδικού αριθμού και μόνο τότε από έναν δεκαδικό αριθμό σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών.
Κανόνες μετατροπής αριθμών από οποιοδήποτε δεκαδικό σύστημα
Στην τεχνολογία υπολογιστών που χρησιμοποιεί αριθμητική της μηχανής, παίζει μεγάλο ρόλο η μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο. Παρακάτω παρατίθενται οι βασικοί κανόνες για τέτοιους μετασχηματισμούς (μεταφράσεις).
Κατά τη μετάφραση ενός δυαδικού αριθμού σε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να αναπαριστούμε τον δυαδικό αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως προϊόν του ψηφίου του αριθμού και του αντίστοιχου βαθμού του βασικού αριθμού, στην περίπτωση αυτή $ 2 $, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:
(N-2) + A_ (n-2) \\ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \\ cdot 2 ^ 1 + A_1 \\ cdot 2 ^ 0 $
Σχήμα 1. Πίνακας 1
Παράδειγμα 1
Μετατρέψτε το $ 11110101_2 $ σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση. Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω πίνακα των $ 1 $ βάσης βαθμών $ 2 $, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου:
$ 11110101_2 \u003d 1 \\ cdot 27 + 1 \\ cdot 26 + 1 \\ cdot 25 + 1 \\ cdot 24 + 0 \\ cdot 23 + 1 \\ cdot 22 + 0 \\ cdot 21 + 1 \\ cdot 20 \u003d 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 \u003d 245_ (10) $
Για να μετατρέψουμε έναν αριθμό από ένα σύστημα οκταδικού αριθμού σε ένα δεκαδικό, είναι απαραίτητο να τον αναπαριστούμε με τη μορφή πολυωνύμου, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως προϊόν του ψηφίου του αριθμού και του αντίστοιχου βαθμού του βασικού αριθμού, στην περίπτωση αυτή $ 8 $, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:
(N-2) + A_ (n-2) \\ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \\ cdot 8 ^ 1 + A_1 \\ cdot 8 ^ 0 $
Σχήμα 2. Πίνακας 2
Παράδειγμα 2
Ο αριθμός $ 75013_8 $ θα πρέπει να μετατραπεί σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα των $ 2 $ βαθμών βάσης $ 8 $, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου:
$ 75013_8 \u003d 7 \\ cdot 8 ^ 4 + 5 \\ cdot 8 ^ 3 + 0 \\ cdot 8 ^ 2 + 1 \\ cdot 8 ^ 1 + 3 \\ cdot 8 ^ 0 \u003d 31243_
Για να μετατρέψουμε έναν αριθμό από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να το παρουσιάσουμε με τη μορφή πολυωνύμου, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως προϊόν του ψηφίου του αριθμού και του αντίστοιχου βαθμού του βασικού αριθμού, στην περίπτωση αυτή $ 16 $, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:
(16) \u003d A_n \\ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \\ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \\ cdot 16 ^ n-3. .. + A_2 \\ cdot 16 ^ 1 + A_1 \\ cdot 16 ^ 0 $
Σχήμα 3. Πίνακας 3
Παράδειγμα 3
Μετατρέψτε το $ FFA2_ (16) $ σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση. Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω πίνακα των $ 3 $ βαθμών βάσης $ 8 $, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου:
$ FFA2_ (16) \u003d 15 \\ cdot 16 ^ 3 + 15 \\ cdot 16 ^ 2 + 10 \\ cdot 16 ^ 1 + 2 \\ cdot 16 ^ 0 \u003d 61440 + 3840 + 160 + 2 \u003d 65442_
Κανόνες μετατροπής αριθμών από το δεκαδικό σύστημα σε άλλο
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα σε δυαδικό, πρέπει να διαιρείται διαδοχικά κατά $ 2 $ έως ότου υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $ 1 $. Ο αριθμός στο δυαδικό σύστημα αναπαρίσταται ως η ακολουθία του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και του υπολοίπου της διαίρεσης με την αντίστροφη σειρά.
Παράδειγμα 4
Ο αριθμός $ 22_ (10) $ πρέπει να μετατραπεί σε δυαδική.
Λύση:
Σχήμα 4
$22_{10} = 10110_2$
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δεκαδικό σε οκταδικό, πρέπει να διαιρείται διαδοχικά κατά $ 8 $ έως ότου υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $ 7 $. Ο αριθμός στο σύστημα οκταδικού αριθμού αντιπροσωπεύεται ως ακολουθία ψηφίων του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και του υπολοίπου του τμήματος με την αντίστροφη σειρά.
Παράδειγμα 5
Μετατροπή $ 571_ (10) $ σε οκταδικό σύστημα αριθμών.
Λύση:
Σχήμα 5
$571_{10} = 1073_8$
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα στο δεκαεξαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρείται διαδοχικά κατά $ 16 $ έως ότου υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $ 15 $. Ο αριθμός στο δεκαεξαδικό σύστημα αντιπροσωπεύεται ως ακολουθία ψηφίων του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και του υπολοίπου της διαίρεσης με την αντίστροφη σειρά.
Παράδειγμα 6
Μετατρέψτε $ 7467_ (10) $ σε δεκαεξαδική τιμή.
Λύση:
Σχήμα 6
$ 7467_ (10) \u003d 1D2B_ (16) $
Για να μεταφράσουμε το σωστό κλάσμα από το δεκαδικό σύστημα στο δεκαδικό, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε το κλασματικό τμήμα του μετατρεπόμενου αριθμού με τη βάση του συστήματος στο οποίο πρόκειται να μετατραπεί. Το κλάσμα στο νέο σύστημα θα παρουσιαστεί με τη μορφή ολόκληρων τμημάτων έργων, αρχής γενομένης από την πρώτη.
Για παράδειγμα: $ 0.3125 _ ((10)) $ στο σύστημα οκταδικού αριθμού θα μοιάζει με $ 0.24 _ ((8)) $.
Σε αυτή την περίπτωση, κάποιος μπορεί να αντιμετωπίσει ένα πρόβλημα όταν ένα πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα μπορεί να αντιστοιχεί σε ένα άπειρο (περιοδικό) κλάσμα σε ένα μη δεκαδικό αριθμό. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός χαρακτήρων στο κλάσμα που αντιπροσωπεύεται στο νέο σύστημα θα εξαρτηθεί από την απαιτούμενη ακρίβεια. Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι οι ακέραιοι παραμένουν ακέραιοι, και τα τακτικά κλάσματα παραμένουν κλάσματα σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών.
Κανόνες για τη μεταφορά αριθμών από δυαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα σύστημα δυαδικών αριθμών σε οκταδικό, πρέπει να χωριστεί σε τριάδες (τριπλάσια ψηφία), ξεκινώντας με το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, αν είναι απαραίτητο, προσθέτοντας την υψηλότερη τριάδα με μηδενικά, στη συνέχεια αντικαταστήστε κάθε τριάδα με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον πίνακα 4.
Σχήμα 7. Πίνακας 4
Παράδειγμα 7
Μετατρέψτε τον αριθμό $ 1001011_2 $ στο σύστημα οκταδικού αριθμού.
Λύση. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα 4, θα μετατρέψουμε τον αριθμό από το σύστημα δυαδικών αριθμών σε οκταδικό:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το σύστημα δυαδικών αριθμών σε δεκαεξαδικό, θα πρέπει να χωριστεί σε τετράδες (τέσσερα ψηφία), ξεκινώντας με το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, αν είναι απαραίτητο, προσθέτοντας το υψηλότερο τετράδα με μηδενικά και στη συνέχεια αντικαθιστώντας κάθε tetrad με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον πίνακα 4.
Στόχοι μαθήματος:
- επαναλάβετε το υλικό μελέτης στο σύστημα αριθμών.
- να μάθουν να μεταφράζουν έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα θέσης αριθμού και αντιστρόφως.
- να ελέγχει τις αρχές της μεταφοράς αριθμών από το ένα σύστημα στο άλλο.
- να αναπτύξουν λογική σκέψη.
Μάθημα
Στην αρχή του μαθήματος, μια σύντομη επανάληψη και επαλήθευση της εργασίας στο σπίτι.
Ποιες είναι οι αριθμητικές πληροφορίες στη μνήμη του υπολογιστή;
Ποια είναι τα συστήματα αριθμών που χρησιμοποιούνται;
Τι είδους συστήματα αριθμών γνωρίζετε; Δώστε τα παραδείγματα σας.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των συστημάτων θέσης και των μη-θέσεων συστημάτων;
Ο στόχος του μαθήματος μας είναι να μάθουμε πώς να μεταφράζουμε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα θέσης αριθμών και αντίστροφα. Αλλά στην αρχή θα δούμε πώς μπορείτε
αντιπροσωπεύουν οποιονδήποτε μη αρνητικό ακέραιο αριθμό:
Στα συστήματα θέσης, η τιμή ενός ακέραιου ρεκόρ καθορίζεται από τον ακόλουθο κανόνα: αφήστε ένα a n-1 a n-2 ... a 1 a 0 να είναι η εγγραφή του αριθμού Α και i τα ψηφία, τότε
όπου p είναι ένας ακέραιος μεγαλύτερος του 1, ο οποίος ονομάζεται βάση του συστήματος αριθμών
Έτσι, για ένα δεδομένο p, οποιοσδήποτε μη αρνητικός ακέραιος θα μπορούσε να γραφτεί σύμφωνα με τον τύπο (1) και, επιπλέον, μοναδικά, οι αριθμητικές τιμές διαφόρων ψηφίων θα πρέπει να είναι διαφορετικοί ακέραιοι που ανήκουν στο διάστημα από 0 έως ρ-1.
1) δεκαδικό σύστημα
ψηφία: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
αριθμός 5735 \u003d 5 · 10 3 + 7 · 10 2 + 3 · 10 1 + 8 · 10 0
2) Σύστημα Trinity
ψηφία: 0,1,2
αριθμός 201 3 \u003d 2 · 3 2 + 0 · 3 1 + 1 · 3 0
Σημείωση: Ο χαμηλότερος δείκτης στο αρχείο αριθμών υποδεικνύει τη βάση του αριθμητικού συστήματος στο οποίο είναι γραμμένο ο αριθμός. Για το δεκαδικό σύστημα, ο δείκτης μπορεί να παραλειφθεί.
Αναπαράσταση αρνητικών και κλασματικών αριθμών:
Σε όλα τα συστήματα θέσης, το σύμβολο '- используется χρησιμοποιείται για την εγγραφή αρνητικών αριθμών καθώς και στο δεκαδικό σύστημα. Ένα κόμμα χρησιμοποιείται για να διαχωρίσει το ακέραιο τμήμα του αριθμού από το κλασματικό. Η τιμή του αρχείου a n n-1 a n-2 ... a 1 a 0, a -1 a -2 ... a m-2 a m-1 a m του αριθμού A καθορίζεται από τον τύπο, που είναι μια γενίκευση του τύπου (1):
75,6 \u003d 7 · 10 1 + 5 · 10 0 + 6 · 10 -1
-2,314 5 \u003d - (2, 5 0 + 3 · 5 -1 + 1 · 5 -2 + 4 · 5 -3)
Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αυθαίρετου αριθμού σε δεκαδικό:
Θα πρέπει να γίνει κατανοητό ότι κατά τη μετάφραση ενός αριθμού από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο, η ποσοτική αξία του αριθμού δεν αλλάζει, αλλά μόνο η μορφή της γραφής των αλλαγών αριθμού, όπως ακριβώς και όταν μεταφράζουμε το όνομα ενός αριθμού, για παράδειγμα, από τα ρωσικά στα αγγλικά.
Η μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αυθαίρετου αριθμού σε δεκαδικό γίνεται με άμεσο υπολογισμό από τον τύπο (1) για ακέραιους αριθμούς και τύπο (2) για κλασματικούς αριθμούς.
Μετατροπή αριθμών από δεκαδική σε αυθαίρετη.
Για να μεταφέρουμε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα σε ένα σύστημα με βάση p σημαίνει να βρούμε τους συντελεστές στον τύπο (2). Αυτό είναι μερικές φορές εύκολο να κάνει με μια απλή επιλογή. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι πρέπει να μεταφράσετε τον αριθμό 23.5 σε ένα οκταδικό σύστημα. Είναι εύκολο να δούμε ότι 23.5 \u003d 16 + 7 + 0.5 \u003d 2 · 8 + 7 + 4/8 \u003d 2 · 8 1 + 7 · 8 0 + 4 · 8 -1 \u003d 27.48. Είναι σαφές ότι η απάντηση δεν είναι πάντα τόσο προφανής. Στη γενική περίπτωση, χρησιμοποιείται μια μέθοδος μετάφρασης χωριστά του ακέραιου και των κλασματικών τμημάτων ενός αριθμού.
Ο ακόλουθος αλγόριθμος χρησιμοποιείται για να μεταφράσει ακέραιους αριθμούς (που λαμβάνονται με βάση τον τύπο (1)):
1. Βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο διαιρώντας τον αριθμό με p. Το υπόλοιπο θα είναι το επόμενο ψηφίο ai (j \u003d 0,1,2 ...) του αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών.
2. Εάν το πηλίκο είναι μηδέν, τότε η μετάφραση του αριθμού ολοκληρώνεται, αλλιώς εφαρμόζεται η παράγραφος 1 στον πηλίκο.
Παρατήρηση 1. Οι αριθμοί ai στη σημείωση ενός αριθμού αριθμούνται από δεξιά προς τα αριστερά.
Παρατήρηση 2. Αν p\u003e 10, τότε είναι απαραίτητο να εισαγάγετε σημειώσεις για αριθμούς με αριθμητικές τιμές μεγαλύτερες ή ίσες με 10.
Μετατρέψτε τον αριθμό 165 στο σύστημα επταπλών αριθμών.
165: 7 \u003d 23 (υπόλοιπο 4) \u003d\u003e α \u003d 4
23: 7 \u003d 3 (υπόλοιπο 2) \u003d\u003e a 1 \u003d 2
3: 7 \u003d 0 (υπόλοιπο 3) \u003d\u003e α 2 \u003d 3
Γράφουμε το αποτέλεσμα: a 2 a 1 a 0, δηλ. 3247.
Μετά τον έλεγχο από τον τύπο (1), θα επαληθεύσουμε την ορθότητα της μετάφρασης:
3247 \u003d 3 · 7 2 + 2 · 7 1 + 4 · 7 0 \u003d 3 · 49 + 2 · 7 + 4 \u003d 147 + 14 + 4 \u003d 165.
Για να μεταφράσουμε τα κλασματικά τμήματα των αριθμών, χρησιμοποιείται ένας αλγόριθμος, ο οποίος λαμβάνεται με βάση τον τύπο (2):
1. Πολλαπλασιάστε το κλασματικό μέρος του αριθμού με p.
2. Το σύνολο του αποτελέσματος θα είναι το επόμενο ψηφίο am (m \u003d -1, -2, -3 ...) του αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών. Εάν το κλασματικό μέρος του αποτελέσματος είναι μηδέν, τότε η μετάφραση του αριθμού ολοκληρώνεται, διαφορετικά εφαρμόζουμε την παράγραφο 1 σε αυτό.
Παρατήρηση 1. Οι αριθμοί m του καταλόγου αριθμών είναι διατεταγμένοι από αριστερά προς τα δεξιά με αύξουσα σειρά της απόλυτης τιμής του m.
Παρατήρηση 2. Συνήθως, ο αριθμός των κλασματικών ψηφίων σε ένα νέο αρχείο ενός αριθμού περιορίζεται εκ των προτέρων. Αυτό σας επιτρέπει να εκτελέσετε μια κατά προσέγγιση μετάφραση με δεδομένη ακρίβεια. Στην περίπτωση άπειρων κλασμάτων, αυτός ο περιορισμός εξασφαλίζει το πεπερασμένο του αλγορίθμου.
Μετατρέψτε τον αριθμό 0.625 σε δυαδικό.
0.6252 \u003d 1.25 (ακέραιο τμήμα 1) \u003d\u003e α -1 \u003d 1
0.252 \u003d 0.5 (ακέραιος 0) \u003d\u003e α-2 \u003d 0
0.5 · 2 \u003d 1.00 (ακέραιο τμήμα 1) \u003d\u003e α-3 \u003d 1
Έτσι, 0,62510 \u003d 0,1012
Μετά τον έλεγχο με τον τύπο (2), θα επαληθεύσουμε την ορθότητα της μετάφρασης:
0.1012 \u003d 1 · 2-1 + 0 · 2-2 + 1 · 2 -3 \u003d 1/2 + 1/8 \u003d 0.5 + 0.125 \u003d 0.625.
Μετατρέψτε τον αριθμό 0.165 στο σύστημα τεταρτοταγούς αριθμού, περιορίζοντάς τον σε τέσσερα τετραπαιδικά ψηφία.
0.165.4 \u003d 0.66 (ακέραιος 0) \u003d\u003e α -1 \u003d 0
0.66 · 4 \u003d 2.64 (ακέραιο μέρος 2) \u003d\u003e α -2 \u003d 2
0.64 · 4 \u003d 2.56 (ακέραιο μέρος 2) \u003d\u003e a-3 \u003d 2
0,56 · 4 \u003d 2,24 (ακέραιο μέρος 2) \u003d\u003e -4 \u003d 2
Έτσι, 0.16510 "0.02224
Εκτελούμε την αντίστροφη μετάφραση για να βεβαιωθείτε ότι το απόλυτο σφάλμα δεν υπερβαίνει το 4-4:
0.02224 \u003d 0 · 4 -1 + 2 · 4 -2 + 2 · 4 -3 + 2 · 4 -4 \u003d 2/16 + 2/64 + 2/256 \u003d 1/8 + 1/32 + 1 / 128 \u003d 21/128 \u003d 0.1640625
|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625
Μετάφραση αριθμών από ένα αυθαίρετο σύστημα σε άλλο
Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει πρώτα να μετατρέψετε τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα και μετά από το δεκαδικό στο επιθυμητό.
Με έναν ειδικό τρόπο, οι αριθμοί μεταφράζονται για συστήματα με πολλαπλές βάσεις.
Έστω p και q οι βάσεις των δύο αριθμητικών συστημάτων. Θα ονομάσουμε αυτά τα συστήματα συστημάτων αριθμών με πολλαπλές βάσεις αν p \u003d qn ή q \u003d pn, όπου n είναι θετικός ακέραιος. Έτσι, για παράδειγμα, τα συστήματα αριθμών με τις βάσεις 2 και 8 είναι αριθμητικά συστήματα με πολλαπλές βάσεις.
Έστω p \u003d qn και πρέπει να μεταφράσουμε τον αριθμό από το σύστημα αριθμών με τη βάση q στο σύστημα αριθμών με τη βάση p. Διαχωρίζουμε τα ακέραια και κλασματικά τμήματα του αρχείου αριθμών σε ομάδες των διαδοχικά γραμμένων ψηφίων αριστερά και δεξιά του κόμματος. Εάν ο αριθμός των ψηφίων στην εγγραφή του ακέραιου μέρους του αριθμού δεν είναι πολλαπλάσιο του n, τότε ο αντίστοιχος αριθμός μηδενικών πρέπει να προστεθεί στα αριστερά. Αν ο αριθμός των ψηφίων στο κλασματικό μέρος του αριθμού δεν είναι πολλαπλάσιο του n, στη συνέχεια δεξιά προστίθενται μηδενικά. Κάθε τέτοια ομάδα ψηφίων ενός αριθμού στο παλιό σύστημα αριθμών θα αντιστοιχεί σε ένα ψηφίο ενός αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών.
Μετατροπή 1100001,111 2 στο σύστημα τετραπλού αριθμού.
Προσθέτοντας μηδενικά και επισημαίνοντας ζεύγη αριθμών, παίρνουμε 01100001.111102.
Τώρα θα μεταφράσουμε κάθε ζεύγος αριθμών ξεχωριστά, χρησιμοποιώντας το στοιχείο Μεταφορά αριθμών από ένα αυθαίρετο σύστημα σε άλλο.
Έτσι, 1100001,1112 \u003d 01100001,11102 \u003d 1201,324.
Υποθέστε τώρα ότι πρέπει να μεταφέρουμε από ένα σύστημα με μια μεγάλη βάση q, σε ένα σύστημα με μικρότερη βάση p, δηλ. q \u003d pn. Στην περίπτωση αυτή, ένα ψηφίο του αριθμού στο παλιό σύστημα αριθμών αντιστοιχεί σε n ψηφία του αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών.
Παράδειγμα: Έλεγχος προηγούμενης μετάφρασης αριθμών.
1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112
Στο δεκαεξαδικό σύστημα υπάρχουν αριθμοί με αριθμητικές τιμές 10,11,12,13,14,15. Για τον χαρακτηρισμό τους χρησιμοποιούνται τα πρώτα έξι γράμματα του λατινικού αλφαβήτου A, B, C, D, E, F.
Εδώ υπάρχει ένας πίνακας αριθμών από 0 έως 16, γραμμένο σε συστήματα αριθμών με βάσεις 10, 2, 8 και 16.
| Δεκαδικό αριθμό | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| Σε οκταδικό | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 |
| Στο δυαδικό | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 |
| Σε δεκαεξαδικό | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | Α | Β | Γ | Δ | Ε | F | 10 |
Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα πεζά λατινικά γράμματα a-f για να εγγράψετε δεκαδικά ψηφία.
Παράδειγμα: Μεταφράζουμε τον αριθμό 110101001010101010100,11 2 στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.
Χρησιμοποιούμε την πολλαπλότητα των βάσεων των αριθμητικών συστημάτων (16 \u003d 2 4). Ο αριθμός των ομάδων ανά τέσσερα, προσθέτοντας τον απαιτούμενο αριθμό μηδενικών στα αριστερά και τα δεξιά
000110101001010101010100,1100 2
και, ελέγχοντας τον πίνακα, παίρνουμε: 1A9554, C 16
Συμπέρασμα:
Σε ποιο σύστημα αριθμών είναι καλύτερο να γράφετε αριθμούς - αυτό είναι θέμα ευκολίας και παράδοσης. Από τεχνική άποψη, είναι βολικό να χρησιμοποιείται δυαδικό σύστημα σε έναν υπολογιστή, αφού χρησιμοποιεί μόνο δύο ψηφία 0 και 1, τα οποία μπορούν να αναπαρασταθούν από δύο εύκολα διακριτές καταστάσεις "χωρίς σήμα" και "υπάρχει σήμα".
Αλλά ένα άτομο, αντίθετα, είναι άβολο να ασχοληθεί με δυαδικές σημειώσεις αριθμών λόγω του γεγονότος ότι είναι μακρύτερες από τις δεκαδικές και έχουν πολλά επαναλαμβανόμενα ψηφία. Επομένως, εάν είναι απαραίτητο, εργάζονται με παραστάσεις μηχανών αριθμών που χρησιμοποιούν οκταλικά ή δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών. Οι βάσεις αυτών των συστημάτων είναι ακέραιες δυνάμεις δύο και επομένως οι αριθμοί μεταφράζονται εύκολα από αυτά τα συστήματα σε δυαδικό και αντίστροφα.
Γράφουμε την εργασία:
α) Καταγράψτε την ημερομηνία γέννησης όλων των μελών της οικογένειάς σας σε διάφορα συστήματα αριθμών.
β) Μετατρέψτε τους αριθμούς από το δυαδικό σύστημα σε οκταδικό και δεκαεξαδικό και, στη συνέχεια, ελέγξτε τα αποτελέσματα κάνοντας τις αντίστροφες μεταφράσεις:
α) 1001111110111.011 2;
Τυχόν δυσκολίες και παρεξηγήσεις με τη μετατροπή αριθμών από δυαδικό σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών; Εγγραφείτε για μεμονωμένα μαθήματα στην επιστήμη των υπολογιστών και στις ΤΠΕ. Στα ιδιωτικά μας μαθήματα, οι μαθητές και εγώ αναλύουμε όχι μόνο το θεωρητικό μέρος, αλλά και επιλύουμε έναν τεράστιο αριθμό διαφορετικών θεματικών ασκήσεων.
Πρέπει να ξέρετε τι είναι ένα δυαδικό ή δυαδικό σύστημα αριθμών
Πριν να σκεφτείτε πώς να μεταφράσετε έναν αριθμό από 2 σε 16, πρέπει να καταλάβετε καλά ποιοι είναι οι αριθμοί στο δυαδικό σύστημα. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι το αλφάβητο του συστήματος δυαδικών αριθμών αποτελείται από δύο έγκυρα στοιχεία - 0 και 1 . Αυτό σημαίνει ότι απολύτως οποιοσδήποτε αριθμός γραμμένος σε δυαδική μορφή θα αποτελείται από ένα σύνολο μηδενικών και από αυτά. Ακολουθούν παραδείγματα αριθμών γραμμένων στη δυαδική αναπαράσταση: 10010, 100, 111101010110, 1000001.
Πρέπει να ξέρετε τι είναι ένα δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.
Βρήκαμε το δυαδικό σύστημα, θυμόμαστε τα βασικά σημεία, τώρα μιλάμε για το δεκαεξαδικό σύστημα. Το αλφάβητο του συστήματος δεκαεξαδικών αριθμών αποτελείται από δεκαέξι διαφορετικούς χαρακτήρες: 10 αραβικούς αριθμούς (από 0 έως 9) και 6 πρωταρχικά λατινικά γράμματα (από το "Α" στο "F"). Αυτό σημαίνει ότι απολύτως οποιοσδήποτε αριθμός γραμμένος σε δεκαεξαδική μορφή θα αποτελείται από τους χαρακτήρες του παραπάνω αλφαβήτου. Ακολουθούν παραδείγματα αριθμών γραμμένων σε δεκαεξαδική σημείωση:
| 810Α | Fcdf | 198303 | 100FFF0 |
Ας μιλήσουμε για τον αλγόριθμο για τη μετατροπή ενός αριθμού από το 2ο στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών
Θα χρειαστεί να εξετάσουμε υποχρεωτικά τον πίνακα κωδικοποίησης Tetrad. Χωρίς τη χρήση αυτού του πίνακα, θα είναι αρκετά δύσκολο να μεταφράσετε γρήγορα αριθμούς από 2 σε 16 σύστημα.
Σκοπός του πίνακα κωδικοποίησης Tetrad: συγκρίνουν χωρίς αμφιβολία τα σύμβολα του συστήματος δυαδικών αριθμών και του δεκαεξαδικού αριθμητικού συστήματος.
Ο πίνακας Tetrad έχει την ακόλουθη δομή:
Πίνακας Tetrad |
|||||||
0000 - 0 | 0001 - 1 | 0010 - 2 | 0011 - 3 | 0100 - 4 | 0101 - 5 | 0110 - 6 | 0111 - 7 |
1000 - 8 | 1001 - 9 | 1010 - Α | 1011 - Β | 1100 - Γ | 1101 - Δ | 1110 - Ε | 1111 - F |
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να μετατρέψουμε τον αριθμό 101011111001010 2 σε δεκαεξαδικό σύστημα. Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε τον πηγαίο δυαδικό κώδικα σε ομάδες τεσσάρων ψηφίων και, πολύ σημαντικό, το διαμέρισμα πρέπει να ξεκινά από δεξιά προς τα αριστερά.
101 . 0111 . 1100 . 1010
Μετά τη διάσπαση πήραμε τέσσερις ομάδες: 101, 0111, 1100 και 1010. Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στο αριστερό τμήμα, δηλαδή στο τμήμα 101. Όπως βλέπετε, το μήκος του είναι 3 ψηφία και είναι απαραίτητο το μήκος του να είναι τέσσερα, επομένως συμπληρώνουμε αυτό το τμήμα οδηγώντας ασήμαντο μηδέν:
101 -> 0 101.
Πείτε μου, και σε ποια βάση προσθέτουμε περίπου 0 στα αριστερά του αριθμού; Το γεγονός είναι ότι η προσθήκη ασήμαντων μηδενικών δεν επηρεάζει την αξία του αρχικού αριθμού. Επομένως, έχουμε κάθε δικαίωμα να προσθέσουμε στα αριστερά του δυαδικού αριθμού όχι μόνο ένα μηδέν, αλλά, κατ 'αρχήν, οποιοδήποτε αριθμό μηδενικών και να πάρουμε τον αριθμό του επιθυμητού μήκους.
Στο τελικό στάδιο της μετατροπής, κάθε μία από τις δυαδικές ομάδες που λαμβάνονται πρέπει να μετατραπεί στην αντίστοιχη τιμή σύμφωνα με τον πίνακα κωδικοποίησης Tetrad.
| 0101 -> 5 | 0111 -> 7 | 1100 -> Γ | 1010 -> Α |
101011111001010 2 \u003d 57CA 16
Και τώρα σας προτείνω να εξοικειωθείτε με τη λύση πολυμέσων, η οποία δείχνει πώς μετατρέπεται από μια δυαδική κατάσταση σε μια δεκαεξαδική κατάσταση:
Συνοπτικά συμπεράσματα
Σε αυτό το σύντομο άρθρο εξετάσαμε το θέμα " Συστήματα αριθμών: πώς να μεταφράσετε από 2 σε 16". Εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις, παρανοήσεις, τότε καλέστε και εγγραφείτε για τα μεμονωμένα μαθήματά μου στην επιστήμη των υπολογιστών και τον προγραμματισμό. Θα σας προσφέρω να λύσετε περισσότερες από δώδεκα ασκήσεις και δεν θα έχετε καμία ερώτηση. Σε γενικές γραμμές, τα συστήματα αριθμών αποτελούν ένα εξαιρετικά σημαντικό θέμα που αποτελεί τη βάση που χρησιμοποιείται καθ 'όλη τη διάρκεια του μαθήματος.
Παρατήρηση 1
Εάν θέλετε να μεταφράσετε έναν αριθμό από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο, είναι πιο βολικό να αρχίσετε να το μεταφράζετε σε ένα σύστημα δεκαδικού αριθμού και μόνο τότε από έναν δεκαδικό αριθμό σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών.
Κανόνες μετατροπής αριθμών από οποιοδήποτε δεκαδικό σύστημα
Στην τεχνολογία υπολογιστών που χρησιμοποιεί αριθμητική της μηχανής, παίζει μεγάλο ρόλο η μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο. Παρακάτω παρατίθενται οι βασικοί κανόνες για τέτοιους μετασχηματισμούς (μεταφράσεις).
Κατά τη μετάφραση ενός δυαδικού αριθμού σε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να αναπαριστούμε τον δυαδικό αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως προϊόν του ψηφίου του αριθμού και του αντίστοιχου βαθμού του βασικού αριθμού, στην περίπτωση αυτή $ 2 $, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:
(N-2) + A_ (n-2) \\ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \\ cdot 2 ^ 1 + A_1 \\ cdot 2 ^ 0 $
Σχήμα 1. Πίνακας 1
Παράδειγμα 1
Μετατρέψτε το $ 11110101_2 $ σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση. Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω πίνακα των $ 1 $ βάσης βαθμών $ 2 $, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου:
$ 11110101_2 \u003d 1 \\ cdot 27 + 1 \\ cdot 26 + 1 \\ cdot 25 + 1 \\ cdot 24 + 0 \\ cdot 23 + 1 \\ cdot 22 + 0 \\ cdot 21 + 1 \\ cdot 20 \u003d 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 \u003d 245_ (10) $
Για να μετατρέψουμε έναν αριθμό από ένα σύστημα οκταδικού αριθμού σε ένα δεκαδικό, είναι απαραίτητο να τον αναπαριστούμε με τη μορφή πολυωνύμου, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως προϊόν του ψηφίου του αριθμού και του αντίστοιχου βαθμού του βασικού αριθμού, στην περίπτωση αυτή $ 8 $, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:
(N-2) + A_ (n-2) \\ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \\ cdot 8 ^ 1 + A_1 \\ cdot 8 ^ 0 $
Σχήμα 2. Πίνακας 2
Παράδειγμα 2
Ο αριθμός $ 75013_8 $ θα πρέπει να μετατραπεί σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα των $ 2 $ βαθμών βάσης $ 8 $, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου:
$ 75013_8 \u003d 7 \\ cdot 8 ^ 4 + 5 \\ cdot 8 ^ 3 + 0 \\ cdot 8 ^ 2 + 1 \\ cdot 8 ^ 1 + 3 \\ cdot 8 ^ 0 \u003d 31243_
Για να μετατρέψουμε έναν αριθμό από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να το παρουσιάσουμε με τη μορφή πολυωνύμου, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως προϊόν του ψηφίου του αριθμού και του αντίστοιχου βαθμού του βασικού αριθμού, στην περίπτωση αυτή $ 16 $, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:
(16) \u003d A_n \\ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \\ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \\ cdot 16 ^ n-3. .. + A_2 \\ cdot 16 ^ 1 + A_1 \\ cdot 16 ^ 0 $
Σχήμα 3. Πίνακας 3
Παράδειγμα 3
Μετατρέψτε το $ FFA2_ (16) $ σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση. Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω πίνακα των $ 3 $ βαθμών βάσης $ 8 $, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου:
$ FFA2_ (16) \u003d 15 \\ cdot 16 ^ 3 + 15 \\ cdot 16 ^ 2 + 10 \\ cdot 16 ^ 1 + 2 \\ cdot 16 ^ 0 \u003d 61440 + 3840 + 160 + 2 \u003d 65442_
Κανόνες μετατροπής αριθμών από το δεκαδικό σύστημα σε άλλο
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα σε δυαδικό, πρέπει να διαιρείται διαδοχικά κατά $ 2 $ έως ότου υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $ 1 $. Ο αριθμός στο δυαδικό σύστημα αναπαρίσταται ως η ακολουθία του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και του υπολοίπου της διαίρεσης με την αντίστροφη σειρά.
Παράδειγμα 4
Ο αριθμός $ 22_ (10) $ πρέπει να μετατραπεί σε δυαδική.
Λύση:
Σχήμα 4
$22_{10} = 10110_2$
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δεκαδικό σε οκταδικό, πρέπει να διαιρείται διαδοχικά κατά $ 8 $ έως ότου υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $ 7 $. Ο αριθμός στο σύστημα οκταδικού αριθμού αντιπροσωπεύεται ως ακολουθία ψηφίων του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και του υπολοίπου του τμήματος με την αντίστροφη σειρά.
Παράδειγμα 5
Μετατροπή $ 571_ (10) $ σε οκταδικό σύστημα αριθμών.
Λύση:
Σχήμα 5
$571_{10} = 1073_8$
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα στο δεκαεξαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρείται διαδοχικά κατά $ 16 $ έως ότου υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $ 15 $. Ο αριθμός στο δεκαεξαδικό σύστημα αντιπροσωπεύεται ως ακολουθία ψηφίων του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και του υπολοίπου της διαίρεσης με την αντίστροφη σειρά.
Παράδειγμα 6
Μετατρέψτε $ 7467_ (10) $ σε δεκαεξαδική τιμή.
Λύση:
Σχήμα 6
$ 7467_ (10) \u003d 1D2B_ (16) $
Για να μεταφράσουμε το σωστό κλάσμα από το δεκαδικό σύστημα στο δεκαδικό, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε το κλασματικό τμήμα του μετατρεπόμενου αριθμού με τη βάση του συστήματος στο οποίο πρόκειται να μετατραπεί. Το κλάσμα στο νέο σύστημα θα παρουσιαστεί με τη μορφή ολόκληρων τμημάτων έργων, αρχής γενομένης από την πρώτη.
Για παράδειγμα: $ 0.3125 _ ((10)) $ στο σύστημα οκταδικού αριθμού θα μοιάζει με $ 0.24 _ ((8)) $.
Σε αυτή την περίπτωση, κάποιος μπορεί να αντιμετωπίσει ένα πρόβλημα όταν ένα πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα μπορεί να αντιστοιχεί σε ένα άπειρο (περιοδικό) κλάσμα σε ένα μη δεκαδικό αριθμό. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός χαρακτήρων στο κλάσμα που αντιπροσωπεύεται στο νέο σύστημα θα εξαρτηθεί από την απαιτούμενη ακρίβεια. Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι οι ακέραιοι παραμένουν ακέραιοι, και τα τακτικά κλάσματα παραμένουν κλάσματα σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών.
Κανόνες για τη μεταφορά αριθμών από δυαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα σύστημα δυαδικών αριθμών σε οκταδικό, πρέπει να χωριστεί σε τριάδες (τριπλάσια ψηφία), ξεκινώντας με το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, αν είναι απαραίτητο, προσθέτοντας την υψηλότερη τριάδα με μηδενικά, στη συνέχεια αντικαταστήστε κάθε τριάδα με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον πίνακα 4.
Σχήμα 7. Πίνακας 4
Παράδειγμα 7
Μετατρέψτε τον αριθμό $ 1001011_2 $ στο σύστημα οκταδικού αριθμού.
Λύση. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα 4, θα μετατρέψουμε τον αριθμό από το σύστημα δυαδικών αριθμών σε οκταδικό:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το σύστημα δυαδικών αριθμών σε δεκαεξαδικό, θα πρέπει να χωριστεί σε τετράδες (τέσσερα ψηφία), ξεκινώντας με το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, αν είναι απαραίτητο, προσθέτοντας το υψηλότερο τετράδα με μηδενικά και στη συνέχεια αντικαθιστώντας κάθε tetrad με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον πίνακα 4.
