Μεταφορά από 1 σύστημα αριθμών σε άλλο. Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο στο διαδίκτυο
Παρατήρηση 1
Εάν θέλετε να μεταφράσετε έναν αριθμό από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο, είναι πιο βολικό να αρχίσετε να το μεταφράζετε σε ένα σύστημα δεκαδικού αριθμού και μόνο τότε από έναν δεκαδικό αριθμό σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών.
Κανόνες μετατροπής αριθμών από οποιοδήποτε δεκαδικό σύστημα
Στην τεχνολογία υπολογιστών που χρησιμοποιεί αριθμητική της μηχανής, παίζει μεγάλο ρόλο η μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο. Παρακάτω παρατίθενται οι βασικοί κανόνες για τέτοιους μετασχηματισμούς (μεταφράσεις).
Κατά τη μετάφραση ενός δυαδικού αριθμού σε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να αναπαριστούμε τον δυαδικό αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως προϊόν του ψηφίου του αριθμού και του αντίστοιχου βαθμού του βασικού αριθμού, στην περίπτωση αυτή $ 2 $, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:
(N-2) + A_ (n-2) \\ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \\ cdot 2 ^ 1 + A_1 \\ cdot 2 ^ 0 $
Σχήμα 1. Πίνακας 1
Παράδειγμα 1
Μετατρέψτε το $ 11110101_2 $ σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση. Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω πίνακα των $ 1 $ βάσης βαθμών $ 2 $, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου:
$ 11110101_2 \u003d 1 \\ cdot 27 + 1 \\ cdot 26 + 1 \\ cdot 25 + 1 \\ cdot 24 + 0 \\ cdot 23 + 1 \\ cdot 22 + 0 \\ cdot 21 + 1 \\ cdot 20 \u003d 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 \u003d 245_ (10) $
Για να μετατρέψουμε έναν αριθμό από ένα σύστημα οκταδικού αριθμού σε ένα δεκαδικό, είναι απαραίτητο να τον αναπαριστούμε με τη μορφή πολυωνύμου, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως προϊόν του ψηφίου του αριθμού και του αντίστοιχου βαθμού του βασικού αριθμού, στην περίπτωση αυτή $ 8 $, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:
(N-2) + A_ (n-2) \\ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \\ cdot 8 ^ 1 + A_1 \\ cdot 8 ^ 0 $
Σχήμα 2. Πίνακας 2
Παράδειγμα 2
Ο αριθμός $ 75013_8 $ θα πρέπει να μετατραπεί σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα των $ 2 $ βαθμών βάσης $ 8 $, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου:
$ 75013_8 \u003d 7 \\ cdot 8 ^ 4 + 5 \\ cdot 8 ^ 3 + 0 \\ cdot 8 ^ 2 + 1 \\ cdot 8 ^ 1 + 3 \\ cdot 8 ^ 0 \u003d 31243_
Για να μετατρέψουμε έναν αριθμό από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να το παρουσιάσουμε με τη μορφή πολυωνύμου, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως προϊόν του ψηφίου του αριθμού και του αντίστοιχου βαθμού του βασικού αριθμού, στην περίπτωση αυτή $ 16 $, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:
(16) \u003d A_n \\ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \\ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \\ cdot 16 ^ n-3. .. + A_2 \\ cdot 16 ^ 1 + A_1 \\ cdot 16 ^ 0 $
Σχήμα 3. Πίνακας 3
Παράδειγμα 3
Μετατρέψτε το $ FFA2_ (16) $ σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση. Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω πίνακα των $ 3 $ βαθμών βάσης $ 8 $, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου:
$ FFA2_ (16) \u003d 15 \\ cdot 16 ^ 3 + 15 \\ cdot 16 ^ 2 + 10 \\ cdot 16 ^ 1 + 2 \\ cdot 16 ^ 0 \u003d 61440 + 3840 + 160 + 2 \u003d 65442_
Κανόνες μετατροπής αριθμών από το δεκαδικό σύστημα σε άλλο
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα σε δυαδικό, πρέπει να διαιρείται διαδοχικά κατά $ 2 $ έως ότου υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $ 1 $. Ο αριθμός στο δυαδικό σύστημα αναπαρίσταται ως η ακολουθία του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και του υπολοίπου της διαίρεσης με την αντίστροφη σειρά.
Παράδειγμα 4
Ο αριθμός $ 22_ (10) $ πρέπει να μετατραπεί σε δυαδική.
Λύση:
Σχήμα 4
$22_{10} = 10110_2$
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δεκαδικό σε οκταδικό, πρέπει να διαιρείται διαδοχικά κατά $ 8 $ έως ότου υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $ 7 $. Ο αριθμός στο σύστημα οκταδικού αριθμού αντιπροσωπεύεται ως ακολουθία ψηφίων του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και του υπολοίπου του τμήματος με την αντίστροφη σειρά.
Παράδειγμα 5
Μετατροπή $ 571_ (10) $ σε οκταδικό σύστημα αριθμών.
Λύση:
Σχήμα 5
$571_{10} = 1073_8$
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα στο δεκαεξαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρείται διαδοχικά κατά $ 16 $ έως ότου υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $ 15 $. Ο αριθμός στο δεκαεξαδικό σύστημα αντιπροσωπεύεται ως ακολουθία ψηφίων του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και του υπολοίπου της διαίρεσης με την αντίστροφη σειρά.
Παράδειγμα 6
Μετατρέψτε $ 7467_ (10) $ σε δεκαεξαδική τιμή.
Λύση:
Σχήμα 6
$ 7467_ (10) \u003d 1D2B_ (16) $
Για να μεταφράσουμε το σωστό κλάσμα από το δεκαδικό σύστημα στο δεκαδικό, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε το κλασματικό τμήμα του μετατρεπόμενου αριθμού με τη βάση του συστήματος στο οποίο πρόκειται να μετατραπεί. Το κλάσμα στο νέο σύστημα θα παρουσιαστεί με τη μορφή ολόκληρων τμημάτων έργων, αρχής γενομένης από την πρώτη.
Για παράδειγμα: $ 0.3125 _ ((10)) $ στο σύστημα οκταδικού αριθμού θα μοιάζει με $ 0.24 _ ((8)) $.
Σε αυτή την περίπτωση, κάποιος μπορεί να αντιμετωπίσει ένα πρόβλημα όταν ένα πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα μπορεί να αντιστοιχεί σε ένα άπειρο (περιοδικό) κλάσμα σε ένα μη δεκαδικό αριθμό. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός χαρακτήρων στο κλάσμα που αντιπροσωπεύεται στο νέο σύστημα θα εξαρτηθεί από την απαιτούμενη ακρίβεια. Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι οι ακέραιοι παραμένουν ακέραιοι, και τα τακτικά κλάσματα παραμένουν κλάσματα σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών.
Κανόνες για τη μεταφορά αριθμών από δυαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα σύστημα δυαδικών αριθμών σε οκταδικό, πρέπει να χωριστεί σε τριάδες (τριπλάσια ψηφία), ξεκινώντας με το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, αν είναι απαραίτητο, προσθέτοντας την υψηλότερη τριάδα με μηδενικά, στη συνέχεια αντικαταστήστε κάθε τριάδα με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον πίνακα 4.
Σχήμα 7. Πίνακας 4
Παράδειγμα 7
Μετατρέψτε τον αριθμό $ 1001011_2 $ στο σύστημα οκταδικού αριθμού.
Λύση. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα 4, θα μετατρέψουμε τον αριθμό από το σύστημα δυαδικών αριθμών σε οκταδικό:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το σύστημα δυαδικών αριθμών σε δεκαεξαδικό, θα πρέπει να χωριστεί σε τετράδες (τέσσερα ψηφία), ξεκινώντας με το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, αν είναι απαραίτητο, προσθέτοντας το υψηλότερο τετράδα με μηδενικά και στη συνέχεια αντικαθιστώντας κάθε tetrad με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον πίνακα 4.
2.3. Μετάφραση αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο
2.3.1. Μετάφραση ακεραίων από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο
Μπορείτε να διαμορφώσετε έναν αλγόριθμο για τη μετάφραση ακεραίων από ένα σύστημα με βάση σ στο βασικό σύστημα q :
1. Η βάση του νέου συστήματος αριθμών εκφράζεται σε αριθμούς από το σύστημα αρχικών αριθμών και οι ακόλουθες ενέργειες εκτελούνται στο αρχικό σύστημα αριθμών.
2. Συνεχώς πραγματοποιήστε τη διαίρεση ενός δεδομένου αριθμού ληφθέντων ακέραιων αριθμών στη βάση του νέου συστήματος αριθμών μέχρι να αποκτήσουμε ένα πηλίκο, μικρότερο διαιρέτη.
3. Τα προκύπτοντα υπολείμματα, τα οποία είναι τα ψηφία ενός αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών, θα πρέπει να ευθυγραμμιστούν με το αλφάβητο του νέου συστήματος αριθμών.
4. Δημιουργήστε έναν αριθμό στο νέο σύστημα αριθμών, γράφοντας τον, ξεκινώντας από το τελευταίο υπόλοιπο.
Παράδειγμα 2.12Μετατρέψτε τον δεκαδικό αριθμό 173 10 στο σύστημα οκταδικών αριθμών:
Παίρνουμε: 173 10 \u003d 255 8
Παράδειγμα 2.13. Μετατροπή δεκαδικού αριθμού 173 10 σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών:
Παίρνουμε: 173 10 \u003d AD 16.
Παράδειγμα 2.14.Μετατρέψτε το δεκαδικό 11 10 σε δυαδικό. Η παραπάνω ακολουθία ενεργειών (αλγόριθμος μετάφρασης) απεικονίζεται πιο εύκολα ως εξής:
Παίρνουμε: 11 10 \u003d 1011 2.
Παράδειγμα 2.15.Μερικές φορές είναι πιο βολικό να γράφουμε τον αλγόριθμο μετάφρασης με τη μορφή πίνακα. Μετατρέψτε τον δεκαδικό αριθμό 363 10 σε δυαδικό αριθμό.
|
Διαχωριστικό |
|||||||||
Παίρνουμε: 363 10 \u003d 101101011 2
2.3.2. Μεταφορά κλασματικών αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο
Μπορείτε να διατυπώσετε έναν αλγόριθμο για τη μετάφραση κανονικών κλασμάτων με βάση σ σε κλάσμα με βάση q:
1. Η βάση του νέου συστήματος αριθμών εκφράζεται σε αριθμούς από το αρχικό σύστημα αριθμών και όλες οι επακόλουθες ενέργειες εκτελούνται στο αρχικό σύστημα αριθμών.
2. Πολλαπλοί δεδομένοι αριθμοί και προκύπτοντα κλασματικά μέρη των προϊόντων βάσει του νέου συστήματος έως ότου το κλασματικό μέρος του προϊόντος γίνει ίσο με το μηδέν ή επιτυγχάνεται η απαιτούμενη ακρίβεια της αναπαράστασης του αριθμού.
3. Τα ολόκληρα μέρη των έργων που προκύπτουν, τα οποία είναι τα ψηφία ενός αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών, πρέπει να ευθυγραμμιστούν με το αλφάβητο του νέου αριθμητικού συστήματος.
4. Συνθέστε το κλασματικό μέρος του αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών, ξεκινώντας από το σύνολο του πρώτου προϊόντος.
Παράδειγμα 2.17.Μετατρέψτε τον αριθμό 0.65625 10 σε οκταδικό σύστημα αριθμών.
Παίρνουμε: 0.65625 10 \u003d 0.52 8
Παράδειγμα 2.17.Μετατρέψτε τον αριθμό 0.65625 10 στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.
|
x16 |
|
Παίρνουμε: 0.65625 10 \u003d 0, A8 1
Παράδειγμα 2.18.Μετατρέψτε το δεκαδικό κλάσμα 0.5625 10 σε ένα δυαδικό σύστημα αριθμών.
|
x2 |
|
|
x2 |
|
|
x2 |
|
|
x2 |
|
Παίρνουμε: 0.5625 10 \u003d 0.1001 2
Παράδειγμα 2.19. Μετατρέψτε το δεκαδικό κλάσμα 0,7 10 στη δυαδική σημείωση.
Προφανώς, αυτή η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί επ 'αόριστον, δίνοντας όλο και περισσότερες νέες ενδείξεις στην εικόνα του δυαδικού ισοδύναμου του αριθμού 0,7 10. Έτσι, σε τέσσερα βήματα παίρνουμε τον αριθμό 0.1011 2, και σε επτά βήματα ο αριθμός 0.1011001 2, ο οποίος είναι μια πιο ακριβής αναπαράσταση του αριθμού 0.7 10 στο σύστημα δυαδικών αριθμών κλπ. Μια τέτοια ατελείωτη διαδικασία κόβεται σε κάποιο βήμα, όταν πιστεύουν ότι επιτυγχάνεται η απαιτούμενη ακρίβεια της αναπαράστασης του αριθμού.
2.3.3. Αυθεντική μετάφραση
Μετάφραση αυθαίρετων αριθμών, δηλ. οι αριθμοί που περιέχουν το ακέραιο και τα κλασματικά τμήματα εκτελούνται σε δύο στάδια: ολόκληρο το τμήμα μεταφράζεται ξεχωριστά και το κλασματικό τμήμα μεταφράζεται χωριστά. Στην τελική εγγραφή του προκύπτοντος αριθμού, το ακέραιο τμήμα διαχωρίζεται από το κλασματικό κόμμα (τελεία).
Παράδειγμα 2.20. Μετατρέψτε τον αριθμό 17.25 10 σε δυαδικό.
Παίρνουμε: 17.25 10 \u003d 1001.01 2
Παράδειγμα 2.21.Μετατρέψτε 124,25 10 σε οκταδικό.
Παίρνουμε: 124.25 10 \u003d 174.2 8
2.3.4. Μετάφραση αριθμών από το σύστημα αριθμών με τη βάση 2 στο σύστημα αριθμών με τη βάση 2 n και αντίστροφα
Μετάφραση ακεραίων. Εάν η βάση του συστήματος αριθμητικών αριθμών είναι μια δύναμη 2, τότε μια μεταφορά κορυφαίου αριθμού από ένα σύστημα q-ary number σε 2-ary και αντίστροφα μπορεί να γίνει σύμφωνα με απλούστερους κανόνες. Για να γράψουμε έναν ακέραιο δυαδικό αριθμό στο σύστημα αριθμών με τη βάση q \u003d 2 n, χρειάζεστε:
1. Σπάστε τον δυαδικό αριθμό από τα δεξιά προς τα αριστερά σε ομάδες των n ψηφίων σε κάθε ένα.
2. Εάν η τελευταία αριστερή ομάδα περιέχει λιγότερα από n ψηφία, τότε πρέπει να συμπληρωθεί με μηδενικά αριστερά στον επιθυμητό αριθμό ψηφίων.
Παράδειγμα 2.22.Ο αριθμός 101100001000110010 2 θα μετατραπεί στο σύστημα οκταδικού αριθμού.
Διαχωρίζουμε τον αριθμό από τα δεξιά προς τα αριστερά σε τριάδες και γράφουμε το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο κάτω από κάθε ένα από αυτά:
Παίρνουμε την οκταδική αναπαράσταση του αρχικού αριθμού: 541062 8.
Παράδειγμα 2.23.Ο αριθμός 1000000000111110000111 2 θα μετατραπεί στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.
Διαχωρίζουμε τους αριθμούς από τα δεξιά προς τα αριστερά σε σημειωματάρια και κάτω από κάθε ένα γράφει το αντίστοιχο δεκαεξαδικό ψηφίο:
Παίρνουμε την δεκαεξαδική απεικόνιση του αρχικού αριθμού: 200F87 16.
Μετάφραση κλασματικών αριθμών. Για να γράψετε ένα κλασματικό δυαδικό αριθμό στο σύστημα αριθμών με τη βάση q \u003d 2 n, χρειάζεστε:
1. Σπάστε τον δυαδικό αριθμό από αριστερά προς τα δεξιά σε ομάδες των n ψηφίων σε κάθε ένα.
2. Εάν η τελευταία δεξιά ομάδα περιέχει λιγότερα από n ψηφία, τότε πρέπει να συμπληρωθεί με μηδενικά δεξιά στο επιθυμητό αριθμό ψηφίων.
3. Εξετάστε κάθε ομάδα ως δυαδικό δυαδικό αριθμό και γράψτε την με το αντίστοιχο ψηφίο στο σύστημα αριθμών με τη βάση q \u003d 2 n.
Παράδειγμα 2.24.Ο αριθμός 0.10110001 2 θα μετατραπεί σε σύστημα οκταδικού αριθμού.
Διαχωρίζουμε τον αριθμό από αριστερά προς τα δεξιά σε τριάδες και γράφουμε το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο κάτω από κάθε ένα από αυτά:
Λαμβάνουμε την οκταδική αναπαράσταση του αρχικού αριθμού: 0.542 8.
Παράδειγμα 2.25.Ο αριθμός 0.100000000011 2 θα μετατραπεί σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών. Καταργούμε τον αριθμό από αριστερά προς τα δεξιά σε σημειωματάρια και γράφουμε το αντίστοιχο δεκαεξαδικό ψηφίο κάτω από κάθε ένα από αυτά:
Λαμβάνουμε την δεκαεξαδική απεικόνιση του αρχικού αριθμού: 0.803 16
Μετάφραση αυθαίρετων αριθμών. Για να γράψετε έναν αυθαίρετο δυαδικό αριθμό στο σύστημα αριθμών με τη βάση q \u003d 2 n, χρειάζεστε:
1. Διαχωρίστε το ακέραιο τμήμα αυτού του δυαδικού αριθμού από τα δεξιά προς τα αριστερά και το κλασματικό από αριστερά προς τα δεξιά σε ομάδες των n ψηφίων σε κάθε ένα.
2. Εάν υπάρχουν λιγότερα από n ψηφία στις τελευταίες αριστερές ή / και δεξιά ομάδες, τότε πρέπει να συμπληρωθούν με μηδενικά αριστερά ή / και δεξιά στον επιθυμητό αριθμό ψηφίων.
3. Εξετάστε κάθε ομάδα ως δυαδικό δυαδικό αριθμό και γράψτε τον με τον αντίστοιχο αριθμό στο σύστημα αριθμών με τη βάση q \u003d 2 n
Παράδειγμα 2.26.Θα μεταφράσουμε τον αριθμό 111100101,0111 2 στο σύστημα οκταδικού αριθμού.
Διαχωρίζουμε τα ακέραια και κλασματικά τμήματα του αριθμού σε τριάδες και γράφουμε το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο κάτω από κάθε ένα από αυτά:
Παίρνουμε την οκταδική αναπαράσταση του αρχικού αριθμού: 745.34 8.
Παράδειγμα 2.27.Ο αριθμός 11101001000,11010010 2 θα μετατραπεί στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.
Διαχωρίζουμε τα ακέραια και κλασματικά τμήματα του αριθμού σε σημειωματάρια και κάτω από κάθε ένα γράφει το αντίστοιχο δεκαεξαδικό ψηφίο:
Παίρνουμε την δεκαεξαδική απεικόνιση του αρχικού αριθμού: 748, D2 16.
Μετάφραση αριθμών από αριθμητικά συστήματα με βάση q \u003d 2 n στο δυαδικό σύστημα. Για να μετατραπεί ένας αυθαίρετος αριθμός γραμμένος στο σύστημα αριθμών με τη βάση q \u003d 2 n σε ένα σύστημα δυαδικών αριθμών, θα πρέπει να αντικαταστήσετε κάθε ψηφίο αυτού του αριθμού με το αντίστοιχο n-ψηφίων του στο σύστημα δυαδικών αριθμών.
Παράδειγμα 2.28. Θα μεταφράσουμε τον δεκαεξαδικό αριθμό 4AC35 16 στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Σύμφωνα με τον αλγόριθμο:
Παίρνουμε: 1001010110000110101 2.
Αρμοδιότητες (Απαντήσεις)
2.38. Συμπληρώστε τον πίνακα, σε κάθε γραμμή του οποίου ο ίδιος ακέραιος θα πρέπει να γράφεται σε διαφορετικά συστήματα αριθμών.
|
Δυαδικό |
Οκτώλ |
Δεκαδικό |
Δεκαεξαδικό |
2.39. Συμπληρώστε τον πίνακα, σε κάθε γραμμή του οποίου πρέπει να γράψετε τον ίδιο κλασματικό αριθμό σε διαφορετικά συστήματα αριθμών.
|
Δυαδικό |
Οκτώλ |
Δεκαδικό |
Δεκαεξαδικό |
2.40. Συμπληρώστε τον πίνακα, σε κάθε γραμμή του οποίου ο ίδιος αυθαίρετος αριθμός (ο αριθμός μπορεί να περιέχει τόσο το ακέραιο όσο και το κλασματικό μέρος) πρέπει να γράφεται σε διαφορετικά συστήματα αριθμών.
|
Δυαδικό |
Οκτώλ |
Δεκαδικό |
Δεκαεξαδικό |
|
59, Β |
Για να μετατρέψετε γρήγορα τους αριθμούς από δεκαδικό σε δυαδικό, πρέπει να γνωρίζετε τους αριθμούς "2 στην ισχύ". Για παράδειγμα, 2 10 \u003d 1024 κ.λπ. Αυτό θα σας επιτρέψει να λύσετε μερικά παραδείγματα μετάφρασης σε κυριολεκτικά δευτερόλεπτα. Ένα τέτοιο καθήκον είναι εργασία A1 από το demo USE 2012. Μπορείτε, φυσικά, πολύ και κουραστικό να διαιρέσετε τον αριθμό κατά "2". Αλλά είναι καλύτερα να αποφασίσετε διαφορετικά, εξοικονομώντας πολύτιμο χρόνο στην εξέταση.
Η μέθοδος είναι πολύ απλή. Η ουσία του είναι η εξής: αν ο αριθμός που πρέπει να μετατραπεί από το δεκαδικό σύστημα είναι ίσος με τον αριθμό "2 στην ισχύ", τότε αυτός ο αριθμός στο δυαδικό σύστημα περιέχει τον αριθμό των μηδενικών ίσων με την ισχύ. Πριν από αυτά τα μηδενικά, προσθέστε "1".
- Μεταφράζουμε τον αριθμό 2 από το δεκαδικό σύστημα. 2 \u003d 2 1. Επομένως, σε ένα δυαδικό σύστημα, ένας αριθμός περιέχει 1 μηδέν. Βάζουμε "1" μπροστά και παίρνουμε 10 2.
- Μεταφράζουμε 4 από το δεκαδικό σύστημα. 4 \u003d 2 2. Επομένως, σε ένα δυαδικό σύστημα, ένας αριθμός περιέχει 2 μηδενικά. Βάζουμε "1" μπροστά και παίρνουμε 100 2.
- Μεταφράζουμε 8 από το δεκαδικό σύστημα. 8 \u003d 2 3. Επομένως, σε ένα δυαδικό σύστημα, ένας αριθμός περιέχει 3 μηδενικά. Βάζουμε "1" μπροστά και παίρνουμε 1000 2.
Ομοίως για τους άλλους αριθμούς 2 σε βαθμό.
Αν ο αριθμός που θέλετε να μεταφράσετε είναι μικρότερος από τον αριθμό "2 στην ισχύ", τότε στον δυαδικό σύστημα ο αριθμός αυτός αποτελείται μόνο από μονάδες των οποίων ο αριθμός είναι ίσος με την ισχύ.
- Ας μεταφράσουμε 3 από το δεκαδικό σύστημα. 3 \u003d 2 2 -1. Επομένως, σε ένα δυαδικό σύστημα, ένας αριθμός περιέχει 2 μονάδες. Παίρνουμε 11 2.
- Μεταφράζουμε 7 από το δεκαδικό σύστημα. 7 \u003d 2 3-1. Επομένως, σε ένα δυαδικό σύστημα, ένας αριθμός περιέχει 3 μονάδες. Παίρνουμε 111 2.
Στο σχήμα, τα τετράγωνα δείχνουν τη δυαδική αναπαράσταση του αριθμού, και στα αριστερά, το δεκαδικό χρώμα ροζ.
Η μετάφραση είναι παρόμοια για άλλους αριθμούς "2 στη δύναμη του-1".
Είναι σαφές ότι η μετάφραση των αριθμών από το 0 έως το 8 μπορεί να γίνει γρήγορα είτε με διαίρεση, είτε απλά να γνωρίζουμε από κοντά την εκπροσώπησή τους στο δυαδικό σύστημα. Έδωσα αυτά τα παραδείγματα για να κατανοήσετε την αρχή αυτής της μεθόδου και να την χρησιμοποιήσετε για να μεταφράσετε περισσότερους "εντυπωσιακούς αριθμούς", για παράδειγμα, για να μεταφράσετε τους αριθμούς 127, 128, 255, 256, 511, 512 κλπ.
Μπορείτε να αντιμετωπίσετε τέτοια προβλήματα όταν πρέπει να μεταφράσετε έναν αριθμό που δεν είναι ίσος με τον αριθμό "2 σε βαθμό", αλλά κοντά σε αυτόν. Μπορεί να είναι περισσότερο ή λιγότερο από τον αριθμό "2 σε βαθμό". Η διαφορά μεταξύ του μεταφρασμένου αριθμού και του αριθμού "2 στην εξουσία" πρέπει να είναι μικρή. Για παράδειγμα, μέχρι 3. Η αναπαράσταση αριθμών από το 0 έως το 3 στο δυαδικό σύστημα που χρειάζεται απλά να γνωρίζετε χωρίς μετάφραση.
Εάν ο αριθμός είναι μεγαλύτερος, τότε το επιλύστε ως εξής:
Αρχικά, μεταφράστε τον αριθμό "2 στην ισχύ" στο δυαδικό σύστημα. Και στη συνέχεια προσθέτουμε σε αυτό τη διαφορά μεταξύ του αριθμού "2 στην εξουσία" και του μεταφρασμένου αριθμού.
Για παράδειγμα, μεταφράστε 19 από το δεκαδικό σύστημα. Είναι μεγαλύτερο από τον αριθμό "2 στην ισχύ" κατά 3.
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
3 10 =11 2 .
19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .
Εάν ο αριθμός είναι μικρότερος από τον αριθμό "2 στη δύναμη του", τότε είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τον αριθμό "2 στη δύναμη του -1". Το επιλύουμε έτσι:
Πρώτα, μεταφράστε τον αριθμό "2 στη δύναμη του-1" στο δυαδικό σύστημα. Και τότε αφαιρούμε από αυτό τη διαφορά μεταξύ του αριθμού "2 έως την ισχύ του-1" και του μεταφρασμένου αριθμού.
Για παράδειγμα, μεταφράστε 29 από το δεκαδικό σύστημα. Είναι μεγαλύτερο από τον αριθμό "2 έως την ισχύ του-1" από 2. 29 \u003d 31-2.
31 10 =11111 2 .
2 10 =10 2 .
29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2
Αν η διαφορά μεταξύ του μεταφρασμένου αριθμού και του αριθμού "2 σε ισχύ" είναι μεγαλύτερη από τρία, τότε μπορείτε να διαιρέσετε τον αριθμό σε στοιχεία, να μεταφράσετε κάθε μέρος σε ένα δυαδικό σύστημα και να το προσθέσετε.
Για παράδειγμα, μεταφράστε τον αριθμό 528 από το δεκαδικό σύστημα. 528 \u003d 512 + 16. Μεταφράζουμε χωριστά τα 512 και 16.
512=2 9
. 512 10 =1000000000
2 .
16=2 4
. 16 10 =10000
2 .
Τώρα προσθέστε τη στήλη:
Το αποτέλεσμα έχει ήδη ληφθεί!
Αριθμητικά συστήματα
Υπάρχουν συστήματα θέσης και μη θέσης αριθμών. Το αραβικό σύστημα αριθμών που χρησιμοποιούμε στην καθημερινή ζωή είναι θετικό, ενώ το ρωμαϊκό δεν είναι. Στα συστήματα θέσης αριθμού θέσης, η θέση ενός αριθμού καθορίζει με μοναδικό τρόπο την αξία ενός αριθμού. Σκεφτείτε το με το παράδειγμα του αριθμού 6372 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Ο αριθμός αυτός αριθμείται από τα δεξιά προς τα αριστερά από το μηδέν:
Στη συνέχεια ο αριθμός 6372 μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:
6372 \u003d 6000 + 300 + 70 + 2 \u003d 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.
Ο αριθμός 10 καθορίζει το σύστημα αριθμών (στην περίπτωση αυτή, 10). Οι τιμές της θέσης ενός δεδομένου αριθμού λαμβάνονται ως βαθμοί.
Σκεφτείτε τον πραγματικό δεκαδικό αριθμό 1287.923. Την αριθμούσαμε ξεκινώντας από τη μηδενική θέση του αριθμού από το δεκαδικό σημείο αριστερά και δεξιά:
Τότε ο αριθμός 1287.923 μπορεί να αναπαρασταθεί ως:
1287.923 \u003d 1000 + 200 + 80 + 7 + 0.9 + 0.02 + 0.003 \u003d 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 10 -2 + 3 · 10-3.
Στη γενική περίπτωση, ο τύπος μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:
C n s n + Cn-1 s n-1 + ... + C 1 s 1 + C 0 · s 0 + D -1 · s -1 + D -2 · s -2 + ... + D -k · s -k
όπου C n είναι ένας ακέραιος στη θέση n, D -k - κλασματικός αριθμός στη θέση (-k), s - σύστημα αριθμών.
Λίγα λόγια για τα συστήματα αριθμών Ο αριθμός σε δεκαδικό σύστημα αριθμών αποτελείται από πολλά ψηφία (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), σε ένα σύστημα οκταδικών αριθμών αποτελείται από πολλά ψηφία (0,1, 2,3,4,5,6,7), στη δυαδική ένδειξη - από το σύνολο των ψηφίων (0,1), στην δεκαεξαδική μνεία - από το σύνολο των ψηφίων (0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), όπου τα Α, Β, C, D, E, F αντιστοιχούν στους αριθμούς 10,11,12,13,14,15. οι αριθμοί παρουσιάζονται σε διαφορετικά συστήματα αριθμών.
| Πίνακας 1 | |||
|---|---|---|---|
| Σύστημα αριθμών | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | Α |
| 11 | 1011 | 13 | Β |
| 12 | 1100 | 14 | Γ |
| 13 | 1101 | 15 | Δ |
| 14 | 1110 | 16 | Ε | 15 | 1111 | 17 | F |
Μετάφραση αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο
Για να μεταφράσετε αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο, ο ευκολότερος τρόπος είναι να μετατρέψετε πρώτα τον αριθμό στο σύστημα δεκαδικού αριθμού και, στη συνέχεια, από το σύστημα του δεκαδικού αριθμού στο σύστημα αριθμημένων επιθυμητών αριθμών.
Μετατρέψτε αριθμούς από οποιοδήποτε σύστημα αριθμού σε δεκαδικό σύστημα αριθμών
Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1), μπορείτε να μεταφράσετε αριθμούς από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε ένα σύστημα δεκαδικών αριθμών.
Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 1011101.001 από δυαδικό συμβολισμό (SS) σε δεκαδικό SS. Λύση:
1 2 6 +0 2 5+ 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2+ 0 2 1 + 1 2 0+ 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2-3 \u003d 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 \u003d 93.125
Παράδειγμα2. Μετατρέψτε τον αριθμό 1011101.001 από το σύστημα οκταδικού αριθμού (CC) σε δεκαδικό SS. Λύση:
Παράδειγμα 3 . Μετατροπή AB572.CDF από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό SS. Λύση:
Εδώ Α - μεταφέρθηκε με 10, Β - στις 11, Γ- στις 12, F - μέχρι τις 15.
Μετατροπή αριθμών από σύστημα δεκαδικού αριθμού σε άλλο σύστημα αριθμών
Για να μεταφράσετε αριθμούς από το σύστημα δεκαδικού αριθμού σε άλλο σύστημα αριθμών, πρέπει να μεταφράσετε το ακέραιο τμήμα του αριθμού και του κλασματικού τμήματος του αριθμού χωριστά.
Το ακέραιο τμήμα του αριθμού μετατρέπεται από το δεκαδικό SS σε ένα άλλο σύστημα αριθμών - διαιρώντας ολόκληρο το τμήμα του αριθμού με βάση το σύστημα αριθμών (για δυαδικό SS-2, 8-δεκαδικό SS-8, 16 δεκαδικό-16 κ.λπ. ) για να ληφθεί ολόκληρο το κατάλοιπο, μικρότερο από τη βάση του SS.
Παράδειγμα 4 . Μετατρέψτε τον αριθμό 159 από το δεκαδικό SS σε δυαδικό SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Όπως μπορεί να φανεί από το Σχ. 1, ο αριθμός 159 όταν διαιρείται με 2 δίνει το πηλίκο 79 και το υπόλοιπο 1. Στη συνέχεια, ο αριθμός 79 όταν διαιρείται με 2 δίνει το πηλίκο 39 και το υπόλοιπο 1, κλπ. Ως αποτέλεσμα, έχοντας κατασκευάσει τον αριθμό από το υπόλοιπο τμήμα (από δεξιά προς τα αριστερά), λαμβάνουμε τον αριθμό σε δυαδικό SS: 10011111 . Ως εκ τούτου, μπορείτε να γράψετε:
159 10 =10011111 2 .
Παράδειγμα 5 . Μετατρέψτε τον αριθμό 615 από το δεκαδικό SS σε οκταδικό SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Κατά τη μετατροπή ενός αριθμού από ένα δεκαδικό SS σε ένα οκταδικό SS, πρέπει να διαιρέσετε διαδοχικά τον αριθμό κατά 8 έως ότου αποκτήσετε ένα υπόλοιπο κάτω από 8. Ως αποτέλεσμα, κατασκευάζοντας τον αριθμό από το υπόλοιπο της διαίρεσης (από δεξιά προς τα αριστερά) παίρνουμε τον αριθμό σε οκταδικό SS: 1147 (βλέπε σχήμα 2). Ως εκ τούτου, μπορείτε να γράψετε:
615 10 =1147 8 .
Παράδειγμα 6 . Θα μετατρέψουμε τον αριθμό 19673 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δεκαεξαδικό SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Όπως μπορείτε να δείτε από το Σχήμα 3, το υπόλοιπο 4, 12, 13, 9 αποκτήθηκε διαιρώντας διαδοχικά τον αριθμό 19673 με 16. Στην δεκαεξαδική μνεία, ο αριθμός 12 αντιστοιχεί στο C, ο αριθμός 13 στον D. Επομένως, ο δεκαεξαδικός αριθμός μας είναι 4CD9.
Για να μεταφράσουμε τα σωστά δεκαδικά κλάσματα (έναν πραγματικό αριθμό με μηδενικό τμήμα ακέραιου αριθμού) σε ένα σύστημα αριθμών με βάση s, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε αυτόν τον αριθμό διαδοχικά με s έως ότου ληφθεί καθαρό μηδέν στο κλασματικό μέρος ή δεν έχουμε τον απαιτούμενο αριθμό ψηφίων. Εάν κατά τον πολλαπλασιασμό λαμβάνουμε έναν αριθμό με ακέραιο αριθμό διαφορετικό από μηδέν, τότε αυτό το ακέραιο τμήμα δεν θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη (πιστώνονται διαδοχικά στο αποτέλεσμα).
Εξετάστε τα παραπάνω με παραδείγματα.
Παράδειγμα 7 . Θα μεταφράσουμε τον αριθμό 0.214 από το σύστημα δεκαδικού αριθμού σε δυαδικό SS.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Όπως μπορεί να φανεί από το Σχήμα 4, ο αριθμός 0.214 πολλαπλασιάζεται διαδοχικά κατά 2. Αν ο πολλαπλασιασμός καταλήξει σε έναν αριθμό με ένα ακέραιο τμήμα διαφορετικό από το μηδέν, τότε το ακέραιο τμήμα γράφεται ξεχωριστά (στα αριστερά του αριθμού) και ο αριθμός γράφεται με το μηδενικό ακέραιο τμήμα. Εάν, κατά τον πολλαπλασιασμό, παίρνετε έναν αριθμό με ένα μηδενικό ακέραιο τμήμα, τότε το μηδέν γράφεται στα αριστερά του. Η διαδικασία πολλαπλασιασμού συνεχίζεται μέχρις ότου ληφθεί καθαρό μηδέν στο κλασματικό μέρος ή αποκτήσουμε τον απαιτούμενο αριθμό ψηφίων. Γράφοντας τους έντονους αριθμούς (Εικ. 4) από πάνω προς τα κάτω παίρνουμε τον απαιτούμενο αριθμό στο σύστημα δυαδικών αριθμών: 0. 0011011 .
Ως εκ τούτου, μπορείτε να γράψετε:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Παράδειγμα 8 . Θα μεταφράσουμε τον αριθμό 0.125 από το σύστημα δεκαδικού αριθμού σε δυαδικό SS.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Για να φέρουμε τον αριθμό 0.125 από το δεκαδικό SS σε δυαδικό, ο αριθμός αυτός πολλαπλασιάζεται διαδοχικά κατά 2. Στο τρίτο στάδιο, αποδίδεται 0. Συνεπώς, επιτυγχάνεται το ακόλουθο αποτέλεσμα:
0.125 10 =0.001 2 .
Παράδειγμα 9 . Θα μεταφράσουμε τον αριθμό 0.214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δεκαεξαδικό CC.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Μετά τα παραδείγματα 4 και 5, παίρνουμε τους αριθμούς 3, 6, 12, 8, 11, 4. Αλλά στο δεκαεξαδικό CC, οι αριθμοί 12 και 11 αντιστοιχούν στους αριθμούς C και B. Συνεπώς, έχουμε:
0.214 10 \u003d 0.36C8B4 16.
Παράδειγμα 10 . Θα μεταφράσουμε τον αριθμό 0.512 από το σύστημα δεκαδικού αριθμού στο οκταδικό SS.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Λήψη:
0.512 10 =0.406111 8 .
Παράδειγμα 11 . Θα μεταφράσουμε τον αριθμό 159.125 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS. Για να γίνει αυτό, μεταφράζουμε χωριστά το ακέραιο τμήμα του αριθμού (Παράδειγμα 4) και το κλασματικό μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 8). Περαιτέρω, συνδυάζοντας αυτά τα αποτελέσματα, επιτυγχάνουμε:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Παράδειγμα 12 . Θα μετατρέψουμε τον αριθμό 19673.214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δεκαεξαδικό SS. Για να γίνει αυτό, μεταφράζουμε ξεχωριστά το ακέραιο τμήμα του αριθμού (Παράδειγμα 6) και το κλασματικό τμήμα του αριθμού (Παράδειγμα 9). Επιπλέον, συνδυάζουμε τα αποτελέσματα αυτά.
Στόχοι μαθήματος:
- επαναλάβετε το υλικό μελέτης στο σύστημα αριθμών.
- να μάθουν να μεταφράζουν έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα θέσης αριθμού και αντιστρόφως.
- να ελέγχει τις αρχές της μεταφοράς αριθμών από το ένα σύστημα στο άλλο.
- να αναπτύξουν λογική σκέψη.
Μάθημα
Στην αρχή του μαθήματος, μια σύντομη επανάληψη και επαλήθευση της εργασίας στο σπίτι.
Ποιες είναι οι αριθμητικές πληροφορίες στη μνήμη του υπολογιστή;
Ποια είναι τα συστήματα αριθμών που χρησιμοποιούνται;
Τι είδους συστήματα αριθμών γνωρίζετε; Δώστε τα παραδείγματα σας.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των συστημάτων θέσης και των μη-θέσεων συστημάτων;
Ο στόχος του μαθήματος μας είναι να μάθουμε πώς να μεταφράζουμε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα θέσης αριθμών και αντίστροφα. Αλλά στην αρχή θα δούμε πώς μπορείτε
αντιπροσωπεύουν οποιονδήποτε μη αρνητικό ακέραιο αριθμό:
Στα συστήματα θέσης, η τιμή ενός ακέραιου ρεκόρ καθορίζεται από τον ακόλουθο κανόνα: αφήστε ένα a n-1 a n-2 ... a 1 a 0 να είναι η εγγραφή του αριθμού Α και i τα ψηφία, τότε
όπου p είναι ένας ακέραιος μεγαλύτερος από 1, ο οποίος ονομάζεται βάση του συστήματος αριθμών
Έτσι, για ένα δεδομένο p, οποιοσδήποτε μη αρνητικός ακέραιος θα μπορούσε να γραφτεί σύμφωνα με τον τύπο (1) και, επιπλέον, μοναδικά, οι αριθμητικές τιμές διαφορετικών ψηφίων θα πρέπει να είναι διαφορετικοί ακέραιοι που ανήκουν στο διάστημα από 0 έως p-1.
1) δεκαδικό σύστημα
ψηφία: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
αριθμός 5735 \u003d 5 · 10 3 + 7 · 10 2 + 3 · 10 1 + 8 · 10 0
2) Σύστημα Trinity
ψηφία: 0,1,2
αριθμός 201 3 \u003d 2 · 3 2 + 0 · 3 1 + 1 · 3 0
Σημείωση: Ο χαμηλότερος δείκτης στο αρχείο αριθμών υποδεικνύει τη βάση του αριθμητικού συστήματος στο οποίο είναι γραμμένο ο αριθμός. Για το δεκαδικό σύστημα, ο δείκτης μπορεί να παραλειφθεί.
Αναπαράσταση αρνητικών και κλασματικών αριθμών:
Σε όλα τα συστήματα θέσης, το σύμβολο '- используется χρησιμοποιείται για την εγγραφή αρνητικών αριθμών καθώς και στο δεκαδικό σύστημα. Ένα κόμμα χρησιμοποιείται για να διαχωρίσει το ακέραιο τμήμα του αριθμού από το κλασματικό. Η τιμή του αρχείου a n n-1 a n-2 ... a 1 a 0, a -1 a -2 ... a m-2 a m-1 a m του αριθμού A καθορίζεται από τον τύπο, που είναι μια γενίκευση του τύπου (1):
75,6 \u003d 7 · 10 1 + 5 · 10 0 + 6 · 10 -1
-2,314 5 \u003d - (2, 5 0 + 3 · 5 -1 + 1 · 5 -2 + 4 · 5 -3)
Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αυθαίρετου αριθμού σε δεκαδικό:
Θα πρέπει να γίνει κατανοητό ότι όταν μεταφράζεται ένας αριθμός από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο, η ποσοτική αξία του αριθμού δεν αλλάζει, αλλά μόνο η μορφή της γραφής των αριθμητικών αλλαγών, όπως ακριβώς και όταν μεταφράζουμε το όνομα ενός αριθμού, για παράδειγμα, από τα ρωσικά στα αγγλικά.
Η μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αυθαίρετου αριθμού σε δεκαδικό γίνεται με άμεσο υπολογισμό από τον τύπο (1) για ακέραιους αριθμούς και τον τύπο (2) για κλασματικούς αριθμούς.
Μετατροπή αριθμών από δεκαδική σε αυθαίρετη.
Για να μεταφέρουμε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα σε ένα σύστημα με βάση p σημαίνει να βρούμε τους συντελεστές στον τύπο (2). Αυτό είναι μερικές φορές εύκολο να κάνει με μια απλή επιλογή. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι πρέπει να μεταφράσετε τον αριθμό 23.5 σε ένα οκταδικό σύστημα. Είναι εύκολο να δούμε ότι 23.5 \u003d 16 + 7 + 0.5 \u003d 2 · 8 + 7 + 4/8 \u003d 2 · 8 1 + 7 · 8 0 + 4 · 8 -1 \u003d 27.48. Είναι σαφές ότι η απάντηση δεν είναι πάντα τόσο προφανής. Στη γενική περίπτωση, χρησιμοποιείται μια μέθοδος μετάφρασης χωριστά του ακέραιου και των κλασματικών τμημάτων ενός αριθμού.
Ο ακόλουθος αλγόριθμος χρησιμοποιείται για να μεταφράσει ακέραιους αριθμούς (που λαμβάνονται με βάση τον τύπο (1)):
1. Βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο διαιρώντας τον αριθμό με p. Το υπόλοιπο θα είναι το επόμενο ψηφίο ai (j \u003d 0,1,2 ...) του αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών.
2. Εάν το πηλίκο είναι μηδέν, τότε η μετάφραση του αριθμού ολοκληρώνεται, αλλιώς εφαρμόζεται η παράγραφος 1 στον πηλίκο.
Παρατήρηση 1. Οι αριθμοί ai στη σημείωση ενός αριθμού αριθμούνται από δεξιά προς τα αριστερά.
Παρατήρηση 2. Αν p\u003e 10, τότε είναι απαραίτητο να εισαγάγετε σημειώσεις για αριθμούς με αριθμητικές τιμές μεγαλύτερες ή ίσες με 10.
Μετατρέψτε τον αριθμό 165 στο σύστημα επταπλών αριθμών.
165: 7 \u003d 23 (υπόλοιπο 4) \u003d\u003e α \u003d 4
23: 7 \u003d 3 (υπόλοιπο 2) \u003d\u003e a 1 \u003d 2
3: 7 \u003d 0 (υπόλοιπο 3) \u003d\u003e α 2 \u003d 3
Γράφουμε το αποτέλεσμα: a 2 a 1 a 0, δηλ. 3247.
Μετά τον έλεγχο από τον τύπο (1), θα επαληθεύσουμε την ορθότητα της μετάφρασης:
3247 \u003d 3 · 7 2 + 2 · 7 1 + 4 · 7 0 \u003d 3 · 49 + 2 · 7 + 4 \u003d 147 + 14 + 4 \u003d 165.
Για να μεταφράσουμε τα κλασματικά τμήματα των αριθμών, χρησιμοποιείται ένας αλγόριθμος, ο οποίος λαμβάνεται με βάση τον τύπο (2):
1. Πολλαπλασιάστε το κλασματικό μέρος του αριθμού με p.
2. Το σύνολο του αποτελέσματος θα είναι το επόμενο ψηφίο am (m \u003d -1, -2, -3 ...) του αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών. Εάν το κλασματικό μέρος του αποτελέσματος είναι μηδέν, τότε η μετάφραση του αριθμού ολοκληρώνεται, διαφορετικά εφαρμόζουμε την παράγραφο 1 σε αυτό.
Παρατήρηση 1. Οι αριθμοί m του καταλόγου αριθμών είναι διατεταγμένοι από αριστερά προς τα δεξιά με αύξουσα σειρά της απόλυτης τιμής του m.
Παρατήρηση 2. Συνήθως, ο αριθμός των κλασματικών ψηφίων σε ένα νέο αρχείο αριθμών περιορίζεται εκ των προτέρων. Αυτό σας επιτρέπει να εκτελέσετε μια κατά προσέγγιση μετάφραση με δεδομένη ακρίβεια. Στην περίπτωση άπειρων κλασμάτων, αυτός ο περιορισμός εξασφαλίζει το πεπερασμένο του αλγορίθμου.
Μετατρέψτε τον αριθμό 0.625 σε δυαδικό.
0.6252 \u003d 1.25 (ακέραιο τμήμα 1) \u003d\u003e α -1 \u003d 1
0.252 \u003d 0.5 (ακέραιος 0) \u003d\u003e α-2 \u003d 0
0.5 · 2 \u003d 1.00 (ακέραιο τμήμα 1) \u003d\u003e α-3 \u003d 1
Έτσι, 0,62510 \u003d 0,1012
Μετά τον έλεγχο με τον τύπο (2), θα επαληθεύσουμε την ορθότητα της μετάφρασης:
0.1012 \u003d 1 · 2-1 + 0 · 2-2 + 1 · 2 -3 \u003d 1/2 + 1/8 \u003d 0.5 + 0.125 \u003d 0.625.
Μετατρέψτε τον αριθμό 0.165 στο σύστημα τεταρτοταγούς αριθμού, περιορίζοντάς τον σε τέσσερα τετραπαιδικά ψηφία.
0.165.4 \u003d 0.66 (ακέραιος 0) \u003d\u003e α -1 \u003d 0
0.66 · 4 \u003d 2.64 (ακέραιο μέρος 2) \u003d\u003e α -2 \u003d 2
0.64 · 4 \u003d 2.56 (ακέραιο μέρος 2) \u003d\u003e a-3 \u003d 2
0,56 · 4 \u003d 2,24 (ακέραιο μέρος 2) \u003d\u003e -4 \u003d 2
Έτσι, 0.16510 "0.02224
Εκτελούμε την αντίστροφη μετάφραση για να βεβαιωθείτε ότι το απόλυτο σφάλμα δεν υπερβαίνει το 4-4:
0.02224 \u003d 0 · 4 -1 + 2 · 4 -2 + 2 · 4 -3 + 2 · 4 -4 \u003d 2/16 + 2/64 + 2/256 \u003d 1/8 + 1/32 + 1 / 128 \u003d 21/128 \u003d 0.1640625
|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625
Μετάφραση αριθμών από ένα αυθαίρετο σύστημα σε άλλο
Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει πρώτα να μετατρέψετε τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα και μετά από το δεκαδικό στο επιθυμητό.
Με έναν ειδικό τρόπο, οι αριθμοί μεταφράζονται για συστήματα με πολλαπλές βάσεις.
Έστω p και q οι βάσεις των δύο αριθμητικών συστημάτων. Θα ονομάσουμε αυτά τα συστήματα συστημάτων αριθμών με πολλαπλές βάσεις αν p \u003d qn ή q \u003d pn, όπου n είναι θετικός ακέραιος. Έτσι, για παράδειγμα, τα συστήματα αριθμών με τις βάσεις 2 και 8 είναι αριθμητικά συστήματα με πολλαπλές βάσεις.
Έστω p \u003d qn και πρέπει να μεταφράσουμε τον αριθμό από το σύστημα αριθμών με τη βάση q στο σύστημα αριθμών με τη βάση p. Διαχωρίζουμε τα ακέραια και κλασματικά τμήματα του αρχείου αριθμών σε ομάδες των διαδοχικά γραμμένων ψηφίων αριστερά και δεξιά του κόμματος. Εάν ο αριθμός των ψηφίων στην εγγραφή του ακέραιου μέρους του αριθμού δεν είναι πολλαπλάσιο του n, τότε ο αντίστοιχος αριθμός μηδενικών πρέπει να προστεθεί στα αριστερά. Αν ο αριθμός των ψηφίων στο κλασματικό μέρος του αριθμού δεν είναι πολλαπλάσιο του n, στη συνέχεια δεξιά προστίθενται μηδενικά. Κάθε τέτοια ομάδα ψηφίων ενός αριθμού στο παλιό σύστημα αριθμών θα αντιστοιχεί σε ένα ψηφίο ενός αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών.
Μετατροπή 1100001,111 2 στο σύστημα τετραπλού αριθμού.
Προσθέτοντας μηδενικά και επισημαίνοντας ζεύγη αριθμών, παίρνουμε 01100001.111102.
Τώρα θα μεταφράσουμε κάθε ζεύγος αριθμών ξεχωριστά, χρησιμοποιώντας το στοιχείο Μεταφορά αριθμών από ένα αυθαίρετο σύστημα σε άλλο.
Έτσι, 1100001,1112 \u003d 01100001,11102 \u003d 1201,324.
Υποθέστε τώρα ότι πρέπει να μεταφέρουμε από ένα σύστημα με μια μεγάλη βάση q, σε ένα σύστημα με μικρότερη βάση p, δηλ. q \u003d pn. Στην περίπτωση αυτή, ένα ψηφίο του αριθμού στο παλιό σύστημα αριθμών αντιστοιχεί σε n ψηφία του αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών.
Παράδειγμα: Έλεγχος προηγούμενης μετάφρασης αριθμών.
1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112
Στο δεκαεξαδικό σύστημα υπάρχουν αριθμοί με αριθμητικές τιμές 10,11,12,13,14,15. Για τον χαρακτηρισμό τους χρησιμοποιούνται τα πρώτα έξι γράμματα του λατινικού αλφαβήτου A, B, C, D, E, F.
Εδώ υπάρχει ένας πίνακας αριθμών από 0 έως 16, γραμμένο σε συστήματα αριθμών με βάσεις 10, 2, 8 και 16.
| Δεκαδικό αριθμό | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| Σε οκταδικό | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 |
| Στο δυαδικό | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 |
| Σε δεκαεξαδικό | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | Α | Β | Γ | Δ | Ε | F | 10 |
Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα πεζά λατινικά γράμματα a-f για να εγγράψετε δεκαδικά ψηφία.
Παράδειγμα: Μεταφράζουμε τον αριθμό 110101001010101010100,11 2 στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.
Χρησιμοποιούμε την πολλαπλότητα των βάσεων των αριθμητικών συστημάτων (16 \u003d 2 4). Ο αριθμός των ομάδων ανά τέσσερα, προσθέτοντας τον απαιτούμενο αριθμό μηδενικών στα αριστερά και τα δεξιά
000110101001010101010100,1100 2
και, ελέγχοντας τον πίνακα, παίρνουμε: 1A9554, C 16
Συμπέρασμα:
Σε ποιο σύστημα αριθμών είναι καλύτερο να γράφετε αριθμούς - αυτό είναι θέμα ευκολίας και παράδοσης. Από τεχνική άποψη, είναι βολικό να χρησιμοποιείται δυαδικό σύστημα σε έναν υπολογιστή, αφού χρησιμοποιεί μόνο δύο ψηφία 0 και 1, τα οποία μπορούν να αναπαρασταθούν από δύο εύκολα διακριτές καταστάσεις "χωρίς σήμα" και "υπάρχει σήμα".
Αλλά ένα άτομο, αντίθετα, είναι άβολο να ασχοληθεί με δυαδικές σημειώσεις αριθμών λόγω του γεγονότος ότι είναι μακρύτερες από τις δεκαδικές και έχουν πολλά επαναλαμβανόμενα ψηφία. Επομένως, εάν είναι απαραίτητο, εργάζονται με παραστάσεις μηχανών αριθμών που χρησιμοποιούν οκταλικά ή δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών. Οι βάσεις αυτών των συστημάτων είναι ακέραιες δυνάμεις δύο και επομένως οι αριθμοί μεταφράζονται εύκολα από αυτά τα συστήματα σε δυαδικό και αντίστροφα.
Γράφουμε την εργασία:
α) Καταγράψτε την ημερομηνία γέννησης όλων των μελών της οικογένειάς σας σε διάφορα συστήματα αριθμών.
β) Μετατρέψτε τους αριθμούς από το δυαδικό σύστημα σε οκταδικό και δεκαεξαδικό και, στη συνέχεια, ελέγξτε τα αποτελέσματα κάνοντας τις αντίστροφες μεταφράσεις:
α) 1001111110111.011 2;
