Λογιστικά συστήματα στην επιστήμη των υπολογιστών πώς να μεταφράσουν. Αριθμητικά συστήματα. Μεταφορά από το ένα σύστημα στο άλλο

Τρόποι μετάφρασης αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο.

Μετάφραση αριθμών από ένα σύστημα θέσης αριθμού σε άλλο: τη μετάφραση ακεραίων.

Για να μεταφερθεί ένας ακέραιος από ένα σύστημα αριθμών με τη βάση d1 σε μια άλλη με τη βάση d2, είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε διαδοχικά αυτόν τον αριθμό και τα προκύπτοντα πηλίγματα στην βάση d2 του νέου συστήματος μέχρις ότου ληφθεί πηλίκο μικρότερο από τη βάση d2. Το τελευταίο πηλίκο είναι το κυριότερο ψηφίο του αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών με τη βάση d2 και τα ψηφία που ακολουθούν είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης, γραμμένο στη σειρά που είναι απέναντι από την απόδειξή τους. Εκτελέστε αριθμητικές πράξεις στο σύστημα αριθμών στο οποίο είναι γραμμένο ο μεταφρασμένος αριθμός.

Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 11 (10) στο σύστημα δυαδικών αριθμών.

Απάντηση: 11 (10) \u003d 1011 (2).

Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 122 (10) στο σύστημα οκταδικού αριθμού.

   Απάντηση: 122 (10) \u003d 172 (8).

Παράδειγμα 3. Μετατρέψτε τον αριθμό 500 (10) στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

   Απάντηση: 500 (10) \u003d 1F4 (16).

Μετάφραση αριθμών από ένα σύστημα θέσης αριθμού σε άλλο: μετάφραση κανονικών κλασμάτων.

Προκειμένου να μεταφερθεί το σωστό κλάσμα από το σύστημα αριθμών με τη βάση d1 στο σύστημα με τη βάση d2, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστεί το αρχικό κλάσμα και τα κλασματικά μέρη των προϊόντων που προκύπτουν από τη βάση του νέου συστήματος αριθμών d2. Το σωστό κλάσμα του αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών με τη βάση d2 σχηματίζεται με τη μορφή ολόκληρων τμημάτων των έργων που προκύπτουν, ξεκινώντας από το πρώτο.
   Εάν η μεταφορά παράγει ένα κλάσμα με τη μορφή μιας άπειρης ή αποκλίνουσας σειράς, η διαδικασία μπορεί να ολοκληρωθεί όταν επιτευχθεί η απαραίτητη ακρίβεια.

Όταν μεταφράζουμε μικτούς αριθμούς, είναι απαραίτητο να μεταφέρουμε ξεχωριστά το ακέραιο και τα κλασματικά μέρη σύμφωνα με τους κανόνες για την μετατόπιση ακέραιων αριθμών και τακτικών κλασμάτων και στη συνέχεια να συνδυάσουμε και τα δύο αποτελέσματα σε ένα μεικτό αριθμό στο νέο σύστημα αριθμών.

Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 0.625 (10) σε δυαδικό.

   Απάντηση: 0,625 (10) \u003d 0,101 (2).

Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 0.6 (10) στο σύστημα οκταδικού αριθμού.

   Απάντηση: 0,6 (10) \u003d 0,463 (8).

Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 0.7 (10) στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

   Απάντηση: 0,7 (10) \u003d 0, Β333 (16).

Μετατροπή δυαδικών, οκταγώνων και δεκαεξαδικών αριθμών σε δεκαδικά ψηφία.

Για να μετατρέψετε τον αριθμό του συστήματος P-ary σε δεκαδικό, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο αποσύνθεσης:
anan-1 ... a1a0 \u003d anPn + an-1Pn-1 + ... + a1P + a0.

Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 101.11 (2) σε δεκαδικό.

Απάντηση: 101.11 (2) \u003d 5.75 (10).

Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 57.24 (8) σε δεκαδικό.

Απάντηση: 57,24 (8) \u003d 47,3125 (10).

Παράδειγμα 3. Μετατρέψτε τον αριθμό 7Α, 84 (16) στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 7Α, 84 (16) \u003d 122.515625 (10).

Μετατροπή οκταδικών και δεκαεξαδικών αριθμών στο δυαδικό σύστημα αριθμών και αντίστροφα.

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το σύστημα οκταδικού αριθμού σε δυαδικό, πρέπει να γράψετε κάθε ψηφίο αυτού του αριθμού με έναν τριψήφιο δυαδικό αριθμό (τριάδα).

Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 16.24 (8) στη δυαδική ένδειξη.

   Απάντηση: 16.24 (8) \u003d 1110.0101 (2).

Για να μεταφέρετε έναν δυαδικό αριθμό πίσω στο σύστημα οκταδικού αριθμού, πρέπει να διαιρέσετε τον αρχικό αριθμό σε τριάδες στα αριστερά και δεξιά του δεκαδικού σημείου και να αντιπροσωπεύετε κάθε ομάδα με ένα ψηφίο στο σύστημα οκταδικού αριθμού. Οι άκρως ατελείς τριάδες συμπληρώνουν μηδενικά.

Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 1110,0101 (2) στο σύστημα οκταδικού αριθμού.

   Απάντηση: 1110.0101 (2) \u003d 16.24 (8).

Για να μεταφράσετε έναν αριθμό από τον δεκαεξαδικό συμβολισμό σε δυαδικό, πρέπει να γράψετε κάθε ψηφίο αυτού του αριθμού σε τετραψήφιο δυαδικό αριθμό (tetrad).

Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 7Α, 7Ε (16) σε δυαδική ένδειξη.


   Απάντηση: 7Α, 7Ε (16) \u003d 1111010.0111111 (2).

Σημείωση: τα μηδενικά μηδενικά αριστερά για τους ακέραιους αριθμούς και τα δεξιά για τα κλάσματα δεν είναι γραμμένα.

Για να αντιστρέψουμε την μετάφραση ενός δυαδικού αριθμού σε ένα δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών, είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε τον αρχικό αριθμό σε τετράδες στα αριστερά και στα δεξιά του κόμμα και να αντιπροσωπεύουν κάθε ομάδα με ένα ψηφίο στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών. Οι άκρως ατελείς τριάδες συμπληρώνουν μηδενικά.

Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 1111010.0111111 (2) σε δεκαεξαδική σημείωση.

2.3. Μετάφραση αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο

2.3.1. Μετάφραση ακεραίων από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο

Μπορείτε να διαμορφώσετε έναν αλγόριθμο για τη μετάφραση ακεραίων από ένα σύστημα με βάση σ   στο βασικό σύστημα q :

1. Η βάση του νέου συστήματος αριθμών εκφράζεται σε αριθμούς από το σύστημα αρχικών αριθμών και οι ακόλουθες ενέργειες εκτελούνται στο αρχικό σύστημα αριθμών.

2. Συνεχώς πραγματοποιήστε τη διαίρεση ενός δεδομένου αριθμού ληφθέντων ακέραιων αριθμών στη βάση του νέου συστήματος αριθμών μέχρι να αποκτήσουμε ένα πηλίκο, μικρότερο διαιρέτη.

3. Τα προκύπτοντα υπολείμματα, τα οποία είναι τα ψηφία ενός αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών, θα πρέπει να ευθυγραμμιστούν με το αλφάβητο του νέου συστήματος αριθμών.

4. Δημιουργήστε έναν αριθμό στο νέο σύστημα αριθμών, γράφοντας τον, ξεκινώντας από το τελευταίο υπόλοιπο.

Παράδειγμα 2.12Μετατρέψτε τον δεκαδικό αριθμό 173 10 στο σύστημα οκταδικών αριθμών:

Παίρνουμε: 173 10 \u003d 255 8

  Παράδειγμα 2.13.   Μετατροπή δεκαδικού αριθμού 173 10 σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών:

Παίρνουμε: 173 10 \u003d AD 16.

  Παράδειγμα 2.14.Μετατρέψτε το δεκαδικό 11 10 σε δυαδικό. Η παραπάνω ακολουθία ενεργειών (αλγόριθμος μετάφρασης) απεικονίζεται πιο εύκολα ως εξής:

Παίρνουμε: 11 10 \u003d 1011 2.

  Παράδειγμα 2.15.Μερικές φορές είναι πιο βολικό να γράφουμε τον αλγόριθμο μετάφρασης με τη μορφή πίνακα. Μετατρέψτε τον δεκαδικό αριθμό 363 10 σε δυαδικό αριθμό.

Διαχωριστικό

Παίρνουμε: 363 10 \u003d 101101011 2

2.3.2. Μεταφορά κλασματικών αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο

Μπορείτε να διατυπώσετε έναν αλγόριθμο για τη μετάφραση κανονικών κλασμάτων με βάση σ   σε κλάσμα με βάση q:

1. Η βάση του νέου συστήματος αριθμών εκφράζεται σε αριθμούς από το αρχικό σύστημα αριθμών και όλες οι επακόλουθες ενέργειες εκτελούνται στο αρχικό σύστημα αριθμών.

2. Πολλαπλοί δεδομένοι αριθμοί και προκύπτοντα κλασματικά μέρη των προϊόντων βάσει του νέου συστήματος έως ότου το κλασματικό μέρος του προϊόντος γίνει ίσο με το μηδέν ή επιτυγχάνεται η απαιτούμενη ακρίβεια της αναπαράστασης του αριθμού.

3. Τα ολόκληρα μέρη των έργων που προκύπτουν, τα οποία είναι τα ψηφία ενός αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών, πρέπει να ευθυγραμμιστούν με το αλφάβητο του νέου αριθμητικού συστήματος.

4. Συνθέστε το κλασματικό μέρος του αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών, ξεκινώντας από το σύνολο του πρώτου προϊόντος.

  Παράδειγμα 2.17.Μετατρέψτε τον αριθμό 0.65625 10 σε οκταδικό σύστημα αριθμών.

Παίρνουμε: 0.65625 10 \u003d 0.52 8

  Παράδειγμα 2.17.Μετατρέψτε τον αριθμό 0.65625 10 στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

	x16

Παίρνουμε: 0.65625 10 \u003d 0, A8 1

  Παράδειγμα 2.18.Μετατρέψτε το δεκαδικό κλάσμα 0.5625 10 σε ένα δυαδικό σύστημα αριθμών.

	x2
	x2
	x2
	x2

Παίρνουμε: 0.5625 10 \u003d 0.1001 2

  Παράδειγμα 2.19.   Μετατρέψτε το δεκαδικό κλάσμα 0,7 10 στη δυαδική σημείωση.

Προφανώς, αυτή η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί επ 'αόριστον, δίνοντας όλο και περισσότερες νέες ενδείξεις στην εικόνα του δυαδικού ισοδύναμου του αριθμού 0,7 10. Έτσι, σε τέσσερα βήματα παίρνουμε τον αριθμό 0.1011 2, και σε επτά βήματα ο αριθμός 0.1011001 2, ο οποίος είναι μια πιο ακριβής αναπαράσταση του αριθμού 0.7 10 στο σύστημα δυαδικών αριθμών κλπ. Μια τέτοια ατελείωτη διαδικασία κόβεται σε κάποιο βήμα, όταν πιστεύουν ότι επιτυγχάνεται η απαιτούμενη ακρίβεια της αναπαράστασης του αριθμού.

2.3.3. Αυθεντική μετάφραση

Μετάφραση αυθαίρετων αριθμών, δηλ. οι αριθμοί που περιέχουν το ακέραιο και τα κλασματικά τμήματα εκτελούνται σε δύο στάδια: ολόκληρο το τμήμα μεταφράζεται ξεχωριστά και το κλασματικό τμήμα μεταφράζεται χωριστά. Στην τελική εγγραφή του προκύπτοντος αριθμού, το ακέραιο τμήμα διαχωρίζεται από το κλασματικό κόμμα (τελεία).

  Παράδειγμα 2.20. Μετατρέψτε τον αριθμό 17.25 10 σε δυαδικό.

Παίρνουμε: 17.25 10 \u003d 1001.01 2

Παράδειγμα 2.21.Μετατρέψτε 124,25 10 σε οκταδικό.

Παίρνουμε: 124.25 10 \u003d 174.2 8

2.3.4. Μετάφραση αριθμών από το σύστημα αριθμών με τη βάση 2 στο σύστημα αριθμών με τη βάση 2 n και αντίστροφα

  Μετάφραση ακεραίων.   Εάν η βάση του συστήματος αριθμητικών αριθμών είναι μια δύναμη 2, τότε μια μεταφορά κορυφαίου αριθμού από ένα σύστημα q-ary number σε 2-ary και αντίστροφα μπορεί να γίνει σύμφωνα με απλούστερους κανόνες. Για να γράψουμε έναν ακέραιο δυαδικό αριθμό στο σύστημα αριθμών με τη βάση q \u003d 2 n, χρειάζεστε:

1. Σπάστε τον δυαδικό αριθμό από τα δεξιά προς τα αριστερά σε ομάδες των n ψηφίων σε κάθε ένα.

2. Εάν η τελευταία αριστερή ομάδα περιέχει λιγότερα από n ψηφία, τότε πρέπει να συμπληρωθεί με μηδενικά αριστερά στον επιθυμητό αριθμό ψηφίων.

Παράδειγμα 2.22.Ο αριθμός 101100001000110010 2 θα μετατραπεί στο σύστημα οκταδικού αριθμού.

Διαχωρίζουμε τον αριθμό από τα δεξιά προς τα αριστερά σε τριάδες και γράφουμε το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο κάτω από κάθε ένα από αυτά:

Παίρνουμε την οκταδική αναπαράσταση του αρχικού αριθμού: 541062 8.

Παράδειγμα 2.23.Ο αριθμός 1000000000111110000111 2 θα μετατραπεί στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Διαχωρίζουμε τους αριθμούς από τα δεξιά προς τα αριστερά σε σημειωματάρια και κάτω από κάθε ένα γράφει το αντίστοιχο δεκαεξαδικό ψηφίο:

Παίρνουμε την δεκαεξαδική απεικόνιση του αρχικού αριθμού: 200F87 16.

Μετάφραση κλασματικών αριθμών.   Για να γράψετε ένα κλασματικό δυαδικό αριθμό στο σύστημα αριθμών με τη βάση q \u003d 2 n, χρειάζεστε:

1. Σπάστε τον δυαδικό αριθμό από αριστερά προς τα δεξιά σε ομάδες των n ψηφίων σε κάθε ένα.

2. Εάν η τελευταία δεξιά ομάδα περιέχει λιγότερα από n ψηφία, τότε πρέπει να συμπληρωθεί με μηδενικά δεξιά στο επιθυμητό αριθμό ψηφίων.

3. Εξετάστε κάθε ομάδα ως δυαδικό δυαδικό αριθμό και γράψτε την με το αντίστοιχο ψηφίο στο σύστημα αριθμών με τη βάση q \u003d 2 n.

  Παράδειγμα 2.24.Ο αριθμός 0.10110001 2 θα μετατραπεί σε σύστημα οκταδικού αριθμού.

Διαχωρίζουμε τον αριθμό από αριστερά προς τα δεξιά σε τριάδες και γράφουμε το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο κάτω από κάθε ένα από αυτά:

Λαμβάνουμε την οκταδική αναπαράσταση του αρχικού αριθμού: 0.542 8.

  Παράδειγμα 2.25.Ο αριθμός 0.100000000011 2 θα μετατραπεί σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών. Καταργούμε τον αριθμό από αριστερά προς τα δεξιά σε σημειωματάρια και γράφουμε το αντίστοιχο δεκαεξαδικό ψηφίο κάτω από κάθε ένα από αυτά:

Λαμβάνουμε την δεκαεξαδική απεικόνιση του αρχικού αριθμού: 0.803 16

Μετάφραση αυθαίρετων αριθμών.   Για να γράψετε έναν αυθαίρετο δυαδικό αριθμό στο σύστημα αριθμών με τη βάση q \u003d 2 n, χρειάζεστε:

1. Διαχωρίστε το ακέραιο τμήμα αυτού του δυαδικού αριθμού από τα δεξιά προς τα αριστερά και το κλασματικό από αριστερά προς τα δεξιά σε ομάδες των n ψηφίων σε κάθε ένα.

2. Εάν υπάρχουν λιγότερα από n ψηφία στις τελευταίες αριστερές ή / και δεξιά ομάδες, τότε πρέπει να συμπληρωθούν με μηδενικά αριστερά ή / και δεξιά στον επιθυμητό αριθμό ψηφίων.

3. Εξετάστε κάθε ομάδα ως δυαδικό δυαδικό αριθμό και γράψτε τον με τον αντίστοιχο αριθμό στο σύστημα αριθμών με τη βάση q \u003d 2 n

Παράδειγμα 2.26.Θα μεταφράσουμε τον αριθμό 111100101,0111 2 στο σύστημα οκταδικού αριθμού.

Διαχωρίζουμε τα ακέραια και κλασματικά τμήματα του αριθμού σε τριάδες και γράφουμε το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο κάτω από κάθε ένα από αυτά:

Παίρνουμε την οκταδική αναπαράσταση του αρχικού αριθμού: 745.34 8.

  Παράδειγμα 2.27.Ο αριθμός 11101001000,11010010 2 θα μετατραπεί στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Διαχωρίζουμε τα ακέραια και κλασματικά τμήματα του αριθμού σε σημειωματάρια και κάτω από κάθε ένα γράφει το αντίστοιχο δεκαεξαδικό ψηφίο:

Παίρνουμε την δεκαεξαδική απεικόνιση του αρχικού αριθμού: 748, D2 16.

  Μετάφραση αριθμών από αριθμητικά συστήματα με βάση q \u003d 2   n στο δυαδικό σύστημα.   Για να μετατραπεί ένας αυθαίρετος αριθμός γραμμένος στο σύστημα αριθμών με τη βάση q \u003d 2 n σε ένα σύστημα δυαδικών αριθμών, θα πρέπει να αντικαταστήσετε κάθε ψηφίο αυτού του αριθμού με το αντίστοιχο n-ψηφίων του στο σύστημα δυαδικών αριθμών.

  Παράδειγμα 2.28. Θα μεταφράσουμε τον δεκαεξαδικό αριθμό 4AC35 16 στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Σύμφωνα με τον αλγόριθμο:

Παίρνουμε: 1001010110000110101 2.

Αρμοδιότητες (Απαντήσεις)

2.38. Συμπληρώστε τον πίνακα, σε κάθε γραμμή του οποίου ο ίδιος ακέραιος θα πρέπει να γράφεται σε διαφορετικά συστήματα αριθμών.

Δυαδικό	Οκτώλ	Δεκαδικό	Δεκαεξαδικό

2.39. Συμπληρώστε τον πίνακα, σε κάθε γραμμή του οποίου πρέπει να γράψετε τον ίδιο κλασματικό αριθμό σε διαφορετικά συστήματα αριθμών.

Δυαδικό	Οκτώλ	Δεκαδικό	Δεκαεξαδικό

2.40. Συμπληρώστε τον πίνακα, σε κάθε γραμμή του οποίου ο ίδιος αυθαίρετος αριθμός (ο αριθμός μπορεί να περιέχει τόσο το ακέραιο όσο και το κλασματικό μέρος) πρέπει να γράφεται σε διαφορετικά συστήματα αριθμών.

Δυαδικό	Οκτώλ	Δεκαδικό	Δεκαεξαδικό
			59, Β

Παρατήρηση 1

Εάν θέλετε να μεταφράσετε έναν αριθμό από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο, είναι πιο βολικό να αρχίσετε να το μεταφράζετε σε ένα σύστημα δεκαδικού αριθμού και μόνο τότε από έναν δεκαδικό αριθμό σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών.

  Κανόνες μετατροπής αριθμών από οποιοδήποτε δεκαδικό σύστημα

Στην τεχνολογία υπολογιστών που χρησιμοποιεί αριθμητική της μηχανής, παίζει μεγάλο ρόλο η μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο. Παρακάτω παρατίθενται οι βασικοί κανόνες για τέτοιους μετασχηματισμούς (μεταφράσεις).

Κατά τη μετάφραση ενός δυαδικού αριθμού σε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να αναπαριστούμε τον δυαδικό αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως προϊόν του ψηφίου του αριθμού και του αντίστοιχου βαθμού του βασικού αριθμού, στην περίπτωση αυτή $ 2 $, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

(N-2) + A_ (n-2) \\ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \\ cdot 2 ^ 1 + A_1 \\ cdot 2 ^ 0 $

Σχήμα 1. Πίνακας 1

Παράδειγμα 1

Μετατρέψτε το $ 11110101_2 $ σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Λύση.   Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω πίνακα των $ 1 $ βάσης βαθμών $ 2 $, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου:

$ 11110101_2 \u003d 1 \\ cdot 27 + 1 \\ cdot 26 + 1 \\ cdot 25 + 1 \\ cdot 24 + 0 \\ cdot 23 + 1 \\ cdot 22 + 0 \\ cdot 21 + 1 \\ cdot 20 \u003d 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 \u003d 245_ (10) $

Για να μετατρέψουμε έναν αριθμό από ένα σύστημα οκταδικού αριθμού σε ένα δεκαδικό, είναι απαραίτητο να τον αναπαριστούμε με τη μορφή πολυωνύμου, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως προϊόν του ψηφίου του αριθμού και του αντίστοιχου βαθμού του βασικού αριθμού, στην περίπτωση αυτή $ 8 $, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

(N-2) + A_ (n-2) \\ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \\ cdot 8 ^ 1 + A_1 \\ cdot 8 ^ 0 $

Σχήμα 2. Πίνακας 2

Παράδειγμα 2

Ο αριθμός $ 75013_8 $ θα πρέπει να μετατραπεί σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Λύση.   Χρησιμοποιώντας τον πίνακα των $ 2 $ βαθμών βάσης $ 8 $, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου:

$ 75013_8 \u003d 7 \\ cdot 8 ^ 4 + 5 \\ cdot 8 ^ 3 + 0 \\ cdot 8 ^ 2 + 1 \\ cdot 8 ^ 1 + 3 \\ cdot 8 ^ 0 \u003d 31243_

Για να μετατρέψουμε έναν αριθμό από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να το παρουσιάσουμε με τη μορφή πολυωνύμου, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως προϊόν του ψηφίου του αριθμού και του αντίστοιχου βαθμού του βασικού αριθμού, στην περίπτωση αυτή $ 16 $, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

(16) \u003d A_n \\ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \\ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \\ cdot 16 ^ n-3. .. + A_2 \\ cdot 16 ^ 1 + A_1 \\ cdot 16 ^ 0 $

Σχήμα 3. Πίνακας 3

Παράδειγμα 3

Μετατρέψτε το $ FFA2_ (16) $ σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Λύση.   Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω πίνακα των $ 3 $ βαθμών βάσης $ 8 $, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό με τη μορφή πολυωνύμου:

$ FFA2_ (16) \u003d 15 \\ cdot 16 ^ 3 + 15 \\ cdot 16 ^ 2 + 10 \\ cdot 16 ^ 1 + 2 \\ cdot 16 ^ 0 \u003d 61440 + 3840 + 160 + 2 \u003d 65442_

  Κανόνες μετατροπής αριθμών από το δεκαδικό σύστημα σε άλλο

• Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα σε δυαδικό, πρέπει να διαιρείται διαδοχικά κατά $ 2 $ έως ότου υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $ 1 $. Ο αριθμός στο δυαδικό σύστημα αναπαρίσταται ως η ακολουθία του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και του υπολοίπου της διαίρεσης με την αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα 4

Ο αριθμός $ 22_ (10) $ πρέπει να μετατραπεί σε δυαδική.

Λύση:

Σχήμα 4

$22_{10} = 10110_2$

• Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δεκαδικό σε οκταδικό, πρέπει να διαιρείται διαδοχικά κατά $ 8 $ έως ότου υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $ 7 $. Ο αριθμός στο σύστημα οκταδικού αριθμού αντιπροσωπεύεται ως ακολουθία ψηφίων του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και του υπολοίπου του τμήματος με την αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα 5

Μετατροπή $ 571_ (10) $ σε οκταδικό σύστημα αριθμών.

Λύση:

Σχήμα 5

$571_{10} = 1073_8$

• Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα στο δεκαεξαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρείται διαδοχικά κατά $ 16 $ έως ότου υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $ 15 $. Ο αριθμός στο δεκαεξαδικό σύστημα αντιπροσωπεύεται ως ακολουθία ψηφίων του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και του υπολοίπου της διαίρεσης με την αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα 6

Μετατρέψτε $ 7467_ (10) $ σε δεκαεξαδική τιμή.

Λύση:

Σχήμα 6

$ 7467_ (10) \u003d 1D2B_ (16) $

Για να μεταφράσουμε το σωστό κλάσμα από το δεκαδικό σύστημα στο δεκαδικό, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε το κλασματικό τμήμα του μετατρεπόμενου αριθμού με τη βάση του συστήματος στο οποίο πρόκειται να μετατραπεί. Το κλάσμα στο νέο σύστημα θα παρουσιαστεί με τη μορφή ολόκληρων τμημάτων έργων, αρχής γενομένης από την πρώτη.

Για παράδειγμα: $ 0.3125 _ ((10)) $ στο σύστημα οκταδικού αριθμού θα μοιάζει με $ 0.24 _ ((8)) $.

Σε αυτή την περίπτωση, κάποιος μπορεί να αντιμετωπίσει ένα πρόβλημα όταν ένα πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα μπορεί να αντιστοιχεί σε ένα άπειρο (περιοδικό) κλάσμα σε ένα μη δεκαδικό αριθμό. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός χαρακτήρων στο κλάσμα που αντιπροσωπεύεται στο νέο σύστημα θα εξαρτηθεί από την απαιτούμενη ακρίβεια. Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι οι ακέραιοι παραμένουν ακέραιοι, και τα τακτικά κλάσματα παραμένουν κλάσματα σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών.

  Κανόνες για τη μεταφορά αριθμών από δυαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο

• Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα σύστημα δυαδικών αριθμών σε οκταδικό, πρέπει να χωριστεί σε τριάδες (τριπλάσια ψηφία), ξεκινώντας με το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, αν είναι απαραίτητο, προσθέτοντας την υψηλότερη τριάδα με μηδενικά, στη συνέχεια αντικαταστήστε κάθε τριάδα με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον πίνακα 4.

Σχήμα 7. Πίνακας 4

Παράδειγμα 7

Μετατρέψτε τον αριθμό $ 1001011_2 $ στο σύστημα οκταδικού αριθμού.

Λύση. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα 4, θα μετατρέψουμε τον αριθμό από το σύστημα δυαδικών αριθμών σε οκταδικό:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το σύστημα δυαδικών αριθμών σε δεκαεξαδικό, θα πρέπει να χωριστεί σε τετράδες (τέσσερα ψηφία), ξεκινώντας με το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, αν είναι απαραίτητο, προσθέτοντας το υψηλότερο τετράδα με μηδενικά και στη συνέχεια αντικαθιστώντας κάθε tetrad με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον πίνακα 4.

Η μετάφραση αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο είναι ένα σημαντικό μέρος της αριθμητικής μηχανής. Εξετάστε τους βασικούς κανόνες της μετάφρασης.

1. Για να μεταφράσουμε ένα δυαδικό αριθμό σε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να το γράψουμε με τη μορφή ενός πολυωνύμου αποτελούμενου από τα προϊόντα των ψηφίων ενός αριθμού και της αντίστοιχης ισχύος του 2 και να υπολογίσουμε σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

Κατά τη μετάφραση είναι βολικό να χρησιμοποιείτε τον πίνακα εξουσιών των δύο:

Πίνακας 4. Βαθμοί 2

n (βαθμό)

2. Για να μετατρέψουμε έναν οκταδικό αριθμό σε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να το γράψουμε με τη μορφή πολυωνύμου που αποτελείται από τα προϊόντα των ψηφίων του αριθμού και της αντίστοιχης ισχύος του αριθμού 8 και να υπολογιστεί σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

Κατά τη μετάφραση, είναι σκόπιμο να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα εξουσιών των οκτώ:

Πίνακας 5. Οι εξουσίες του αριθμού 8

n (βαθμό)

Ένα παράδειγμα. Μετατροπή αριθμού σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.

3. Για να μετατρέψουμε έναν δεκαεξαδικό αριθμό σε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να το γράψουμε με τη μορφή πολυωνύμου αποτελούμενου από τα προϊόντα των ψηφίων ενός αριθμού και της αντίστοιχης ισχύος των 16 και να υπολογίσουμε σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

Κατά τη μετάφραση είναι βολικό να χρησιμοποιείτε τον πίνακα εξουσιών των 16:

Πίνακας 6. Βαθμοί 16

n (βαθμό)

Ένα παράδειγμα. Μετατροπή αριθμού σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.

4. Για να μεταφράσετε έναν δεκαδικό αριθμό στο δυαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρείται διαδοχικά με 2 έως ότου υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με 1. Ο αριθμός στο δυαδικό σύστημα γράφεται ως η ακολουθία του τελευταίου αποτελέσματος διαίρεσης και το υπόλοιπο της διαίρεσης με την αντίστροφη σειρά.

Ένα παράδειγμα. Μετατρέψτε τον αριθμό σε δυαδικό.

5. Για τη μετατροπή ενός δεκαδικού αριθμού στο οκταδικό σύστημα, πρέπει να διαιρείται διαδοχικά κατά 8 έως ότου υπάρχει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με 7. Ένας αριθμός στο οκταδικό σύστημα γράφεται ως ακολουθία ψηφίων του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και το υπόλοιπο της διαίρεσης με την αντίστροφη σειρά.

6. Για να μετατρέψετε ένα δεκαδικό αριθμό στο δεκαεξαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρείται διαδοχικά με 16 έως ότου υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με 15. Ένας αριθμός στο δεκαεξαδικό σύστημα γράφεται ως ακολουθία ψηφίων του τελευταίου αποτελέσματος διαίρεσης και το υπόλοιπο της διαίρεσης στην αντίστροφη σειρά.

Ένα παράδειγμα. Μετατρέψτε τον αριθμό σε δεκαεξαδικό συμβολισμό.

7. Για να μεταφράσετε έναν αριθμό από το δυαδικό σύστημα σε οκταδικό, πρέπει να χωριστεί σε τριάδες (τριπλάσια ψηφία), ξεκινώντας με το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, αν είναι απαραίτητο, προσθέτοντας την υψηλότερη τριάδα με μηδενικά και αντικαταστήστε κάθε τριάδα με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο.

Ένα παράδειγμα. Μετατροπή αριθμού σε οκταδικό σύστημα αριθμών.

8. Για να μεταφράσετε έναν αριθμό από το δυαδικό σύστημα σε δεκαεξαδικό, πρέπει να χωριστεί σε τετράδες (τέσσερα ψηφία), ξεκινώντας με το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, αν είναι απαραίτητο, προσθέτοντας το κύριο τετράδα με μηδενικά και αντικαταστήζοντας κάθε tetrad με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο (Πίνακας 3).

Εγχειρίδιο οδηγιών

Σχετικά βίντεο

Στο σύστημα λογαριασμού που χρησιμοποιούμε καθημερινά, δέκα ψηφία - από το μηδέν μέχρι το εννέα. Επομένως, ονομάζεται δεκαδικό. Ωστόσο, σε τεχνικούς υπολογισμούς, ειδικά εκείνους που σχετίζονται με υπολογιστές, άλλοι συστήματοςειδικότερα δυαδικό και δεκαεξαδικό. Επομένως, πρέπει να είστε σε θέση να μεταφράσετε τους αριθμούς   από ένα συστήματος   αρίθμηση σε άλλο.

Θα χρειαστείτε

• - ένα κομμάτι χαρτί.
• - μολύβι ή στυλό
• - αριθμομηχανή.

Εγχειρίδιο οδηγιών

Το δυαδικό σύστημα είναι το απλούστερο. Έχει μόνο δύο ψηφία - μηδέν και ένα. Κάθε ψηφίο είναι δυαδικό τους αριθμούςξεκινώντας από το τέλος, αντιστοιχεί στη δύναμη των δύο. Δύο ισούται με ένα, το πρώτο - δύο, το δεύτερο - τέσσερα, το τρίτο - οκτώ, και ούτω καθεξής.

Υποθέστε ότι σας δίνεται ο δυαδικός αριθμός 1010110. Οι μονάδες σε αυτό βρίσκονται στο δεύτερο, τρίτο, πέμπτο και έβδομο μέρος από το τέλος. Επομένως, στο δεκαδικό σύστημα, αυτός ο αριθμός είναι 2 ^ 1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 4 + 2 ^ 6 \u003d 2 + 4 + 16 + 64 \u003d 86.

Αντίστροφη πρόβλημα - δεκαδικό τους αριθμούς   συστήματος. Ας υποθέσουμε ότι έχετε τον αριθμό 57. Για να πάρετε την είσοδο του, πρέπει να διαιρέσετε διαδοχικά αυτόν τον αριθμό κατά 2 και να γράψετε το υπόλοιπο της διαίρεσης. Ο δυαδικός αριθμός θα χτιστεί από το τέλος μέχρι την αρχή.
Το πρώτο βήμα θα σας δώσει το τελευταίο ψηφίο: 57/2 \u003d 28 (υπόλοιπο 1).
Στη συνέχεια παίρνετε το δεύτερο από το τέλος: 28/2 \u003d 14 (υπόλοιπο 0).
Περαιτέρω βήματα: 14/2 \u003d 7 (υπόλοιπο 0).
7/2 \u003d 3 (υπόλειμμα 1).
3/2 \u003d 1 (υπόλειμμα 1).
1/2 \u003d 0 (υπόλοιπο 1).
Αυτό είναι το τελευταίο βήμα επειδή το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι μηδέν. Ως αποτέλεσμα, παίρνετε τον δυαδικό αριθμό 111001.
Ελέγξτε τη σωστή απάντηση: 111001 \u003d 2 ^ 0 + 2 ^ 3 + 2 ^ 4 + 2 ^ 5 \u003d 1 + 8 + 16 + 32 \u003d 57.

Το δεύτερο που χρησιμοποιείται σε θέματα υπολογιστών είναι δεκαεξαδικό. Δεν είναι δέκα, αλλά δεκαέξι ψηφία. Για την αποφυγή νέων συμβόλων, τα πρώτα δέκα ψηφία του δεκαεξαδικού συστήματος σημειώνονται με συνηθισμένους αριθμούς και τα υπόλοιπα έξι με λατινικά γράμματα: Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΣΤ. Δεκαδικός συμβολισμός, αντιστοιχούν τους αριθμούςm από 10 έως 15. Προκειμένου να αποφευχθεί η σύγχυση, ο αριθμός που έχει εγγραφεί στο δεκαεξαδικό σύστημα προηγείται από ένα σύμβολο # ή χαρακτήρες 0x.

Μετατροπή δεκαδικών αντίστροφων συστήματος   σε δεκαεξαδική γίνεται με την ίδια μέθοδο υπολειμμάτων όπως και σε δυαδική. Για παράδειγμα, πάρτε τον αριθμό 10000. Διαδοχικά διαιρώντας το με 16 και καταγράφοντας τα υπόλοιπα, θα πάρετε:
10000/16 \u003d 625 (υπόλοιπο 0).
625/16 \u003d 39 (υπόλειμμα 1).
39/16 \u003d 2 (υπόλειμμα 7).
2/16 \u003d 0 (υπόλειμμα 2).
Το αποτέλεσμα του υπολογισμού θα είναι ο δεκαεξαδικός αριθμός # 2710.
Ελέγξτε την απάντηση: # 2710 \u003d 1 * (16 ^ 1) + 7 * (16 ^ 2) + 2 * (16 ^ 3) \u003d 16 + 1792 + 8192 \u003d 10000.

Μετάφραση τους αριθμούς   από έξι συστήματος   δυαδικό είναι πολύ πιο εύκολο. Ο αριθμός 16 είναι ένας αριθμός: 16 \u003d 2 ^ 4. Επομένως, κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο μπορεί να γραφτεί ως τετραψήφιος δυαδικός αριθμός. Εάν λάβετε λιγότερους από τέσσερις χαρακτήρες σε δυαδικό αριθμό, προσθέστε μηδενικά στην αρχή.
Για παράδειγμα, # 1F7E \u003d (0001) (1111) (0111) (1110) \u003d 1111101111110.
Ελέγξτε τη σωστή απάντηση: και τα δύο τους αριθμούς   σε δεκαδική σημείωση, είναι 8062.

Για να μεταφράσετε, πρέπει να σπάσετε τον δυαδικό αριθμό σε ομάδες τεσσάρων ψηφίων ξεκινώντας από το τέλος και να αντικαταστήσετε κάθε ομάδα με δεκαεξαδικό ψηφίο.
Για παράδειγμα, το 11000110101001 μετατρέπεται σε (0011) (0001) (1010) (1001), το οποίο σε δεκαεξαδική σημείωση δίνει # 31A9. Η σωστή απάντηση επιβεβαιώνεται με την υποδιαστολή: και οι δύο τους αριθμούς   ίσο με 12713.

Συμβουλή 5: Πώς να μετατρέψετε έναν αριθμό σε δυαδικό

Λόγω της περιορισμένης χρήσης συμβόλων, το δυαδικό σύστημα είναι πιο κατάλληλο για χρήση σε υπολογιστές και άλλες ψηφιακές συσκευές. Υπάρχουν μόνο δύο χαρακτήρες: 1 και 0, γι 'αυτό συστήματος   χρησιμοποιούνται στο έργο των μητρώων.

Εγχειρίδιο οδηγιών

Το δυαδικό είναι θέση, δηλ. η θέση κάθε ψηφίου στον αριθμό αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη κατηγορία, η οποία ισούται με δύο στον κατάλληλο βαθμό. Ο βαθμός αρχίζει από το μηδέν και αυξάνεται καθώς μετακινείτε από δεξιά προς αριστερά. Για παράδειγμα τον αριθμό   101 είναι 1 * 2 ^ 0 + 0 * 2 ^ 1 + 1 * 2 ^ 2 \u003d 5.

Σκεφτείτε ένα δεκαδικό σε δυαδικό συστήματος   διαιρώντας με 2. για να μεταφράσει το δεκαδικό τον αριθμό   25 στον κώδικα, είναι απαραίτητο να το διαιρέσει κατά 2 έως 0. Το υπόλοιπο που λαμβάνεται σε κάθε βήμα της διαίρεσης γράφεται στη γραμμή από δεξιά προς τα αριστερά, αφού γράψει τον αριθμό του τελευταίου υπολοίπου αυτό θα είναι το τελικό